Die Schüler bekommen viele Matheaufgaben. Darunter sind sehr oft Aufgaben mit folgender Formulierung: Es gibt zwei Werte. Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen? Es ist notwendig, solche Aufgaben ausführen zu können, da die erworbenen Fähigkeiten verwendet werden, um mit Brüchen zu arbeiten, wenn verschiedene Nenner. In dem Artikel werden wir analysieren, wie man das LCM und die grundlegenden Konzepte findet.

Bevor Sie die Antwort auf die Frage finden, wie Sie das LCM finden, müssen Sie den Begriff Multiple definieren. Meistens lautet die Formulierung dieses Konzepts wie folgt: Ein Vielfaches mit einem bestimmten Wert A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also für 4, 8, 12, 16, 20 usw. bis zu die geforderte Grenze.

In diesem Fall kann die Anzahl der Teiler für einen bestimmten Wert begrenzt werden, und es gibt unendlich viele Vielfache. Derselbe Wert gilt auch für natürliche Werte. Dies ist ein Indikator, der durch sie ohne Rest geteilt wird. Nachdem wir uns mit dem Konzept des kleinsten Werts für bestimmte Indikatoren befasst haben, fahren wir fort, wie man ihn findet.

Suche nach dem NOC

Das kleinste Vielfache von zwei oder mehr Exponenten ist das kleinste natürliche Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen vollständig teilbar ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen solchen Wert zu finden. Betrachten wir die folgenden Methoden:

1. Wenn die Zahlen klein sind, dann schreibe in die Zeile alles, was durch sie teilbar ist. Machen Sie so weiter, bis Sie etwas Gemeinsames zwischen ihnen finden. Im Datensatz werden sie mit dem Buchstaben K gekennzeichnet. Beispielsweise ist für 4 und 3 das kleinste Vielfache 12.
2. Wenn diese groß sind oder Sie ein Vielfaches für 3 oder mehr Werte finden müssen, dann sollten Sie hier eine andere Technik verwenden, bei der Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Legen Sie zuerst den größten der angegebenen aus, dann den ganzen Rest. Jeder von ihnen hat seine eigene Anzahl von Multiplikatoren. Lassen Sie uns als Beispiel 20 (2*2*5) und 50 (5*5*2) zerlegen. Unterstreiche für die kleineren Faktoren die Faktoren und füge sie zum größten hinzu. Das Ergebnis ist 100, was das kleinste gemeinsame Vielfache der obigen Zahlen ist.
3. Beim Finden von 3 Zahlen (16, 24 und 36) sind die Prinzipien die gleichen wie für die anderen beiden. Lassen Sie uns jeden von ihnen erweitern: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Lediglich zwei Zweien aus der Zerlegung der Zahl 16 wurden bei der Erweiterung der größten nicht berücksichtigt, wir addieren sie und erhalten 144, also das kleinste Ergebnis für die zuvor angegebenen Zahlenwerte.

Jetzt kennen wir die allgemeine Technik, um den kleinsten Wert für zwei, drei oder mehr Werte zu finden. Es gibt jedoch auch private Methoden, hilft bei der Suche nach NOCs, wenn die vorherigen nicht helfen.

So finden Sie GCD und NOC.

Private Wege des Findens

Wie bei jedem mathematischen Abschnitt gibt es spezielle Fälle, LCMs zu finden, die in bestimmten Situationen helfen:

• wenn eine der Zahlen ohne Rest durch die anderen teilbar ist, dann ist das kleinste Vielfache dieser Zahlen gleich (NOC 60 und 15 ist gleich 15);
• Teilerfremde Zahlen haben keine gemeinsamen Primteiler. Ihr kleinster Wert ist gleich dem Produkt dieser Zahlen. Für die Zahlen 7 und 8 ist dies also 56;
• die gleiche Regel gilt für andere Fälle, auch für Sonderfälle, die in der Fachliteratur nachzulesen sind. Dies sollte auch Fälle der Zerlegung zusammengesetzter Zahlen umfassen, die Gegenstand separater Artikel und sogar Doktorarbeiten sind.

Sonderfälle sind seltener als Standardbeispiele. Aber dank ihnen können Sie lernen, mit Brüchen unterschiedlicher Komplexität zu arbeiten. Dies gilt insbesondere für Brüche., wobei es verschiedene Nenner gibt.

Einige Beispiele

Schauen wir uns einige Beispiele an, anhand derer Sie das Prinzip der Suche nach dem kleinsten Vielfachen verstehen können:

1. Wir finden LCM (35; 40). Wir legen zuerst 35 = 5*7, dann 40 = 5*8 aus. Wir addieren 8 zur kleinsten Zahl und erhalten das NOC 280.
2. NOZ (45; 54). Wir legen jeden von ihnen an: 45 = 3*3*5 und 54 = 3*3*6. Wir addieren die Zahl 6 zu 45. Wir erhalten die NOC gleich 270.
3. Nun, das letzte Beispiel. Es gibt 5 und 4. Es gibt keine einfachen Vielfachen für sie, also ist das kleinste gemeinsame Vielfache in diesem Fall ihr Produkt, gleich 20.

Dank Beispielen können Sie verstehen, wie sich das NOC befindet, was die Nuancen sind und was die Bedeutung solcher Manipulationen ist.

Das NOC zu finden ist viel einfacher, als es zunächst scheinen mag. Dazu wird sowohl eine einfache Erweiterung als auch die Multiplikation einfacher Werte miteinander verwendet.. Die Fähigkeit, mit diesem Bereich der Mathematik zu arbeiten, hilft beim weiteren Studium mathematischer Themen, insbesondere Brüche. unterschiedliche Grade Schwierigkeiten.

Vergessen Sie nicht, Beispiele regelmäßig mit verschiedenen Methoden zu lösen, dies entwickelt den logischen Apparat und ermöglicht es Ihnen, sich an zahlreiche Begriffe zu erinnern. Lernen Sie Methoden, um einen solchen Indikator zu finden, und Sie werden in der Lage sein, mit den restlichen mathematischen Abschnitten gut zu arbeiten. Viel Spaß beim Mathe lernen!

Video

Dieses Video hilft Ihnen zu verstehen und sich daran zu erinnern, wie Sie das kleinste gemeinsame Vielfache finden.

Mit dem Online-Rechner finden Sie schnell den größten gemeinsamer Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei und einer beliebigen anderen Anzahl von Zahlen.

Rechner zum Finden von GCD und NOC

Finden Sie GCD und NOC

GCD und NOC gefunden: 5806

So verwenden Sie den Rechner

• Geben Sie Zahlen in das Eingabefeld ein
• Bei Eingabe falscher Zeichen wird das Eingabefeld rot hinterlegt
• Drücken Sie die Schaltfläche "Find GCD and NOC"

So geben Sie Zahlen ein

• Zahlen werden durch Leerzeichen, Punkte oder Kommas getrennt eingegeben
• Die Länge der eingegebenen Nummern ist nicht begrenzt, also wird es nicht schwierig sein, ggT und LCM von langen Zahlen zu finden

Was ist NOD und NOK?

Größter gemeinsamer Teiler aus mehreren Zahlen ist die größte natürliche ganze Zahl, durch die alle ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der größte gemeinsame Teiler wird mit abgekürzt GCD.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch jede der ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit abgekürzt NOK.

Wie überprüfe ich, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?

Um herauszufinden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist, können Sie einige Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen verwenden. Indem man sie dann kombiniert, kann man die Teilbarkeit durch einige von ihnen und ihre Kombinationen überprüfen.

Einige Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen

1. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 2
Um festzustellen, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist (ob sie gerade ist), genügt es, die letzte Ziffer dieser Zahl zu betrachten: Wenn sie gleich 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl gerade, was bedeutet, dass es durch 2 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 2 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl durch zwei teilbar ist.

2. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie die Summe der Ziffern berechnen und prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist. Auch wenn sich herausstellt, dass die Summe der Ziffern sehr groß ist, können Sie denselben Vorgang wiederholen wieder.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 3 teilbar ist.
Lösung: wir zählen die Summe der Ziffern: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch drei teilbar ist.

3. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine Null oder eine Fünf ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 5 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl NICHT durch fünf teilbar ist.

4. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 9
Dieses Zeichen ist dem Zeichen der Teilbarkeit durch drei sehr ähnlich: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 9 teilbar ist.
Lösung: wir berechnen die Quersumme: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch neun teilbar ist.

So finden Sie GCD und LCM von zwei Zahlen

So finden Sie den ggT zweier Zahlen

Die meisten auf einfache Weise Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen besteht darin, alle möglichen Teiler dieser Zahlen zu finden und den größten von ihnen auszuwählen.

Betrachten Sie diese Methode am Beispiel des Auffindens von GCD(28, 36) :

1. Wir faktorisieren beide Zahlen: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Wir finden gemeinsame Teiler, also solche, die beide Zahlen haben: 1, 2 und 2.
3. Wir berechnen das Produkt dieser Faktoren: 1 2 2 \u003d 4 - das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 36.

So finden Sie das LCM von zwei Zahlen

Es gibt zwei gängige Methoden, um das kleinste Vielfache von zwei Zahlen zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann eine solche Zahl auswählen, die beiden Zahlen gemeinsam und gleichzeitig die kleinste ist. Und die zweite besteht darin, den ggT dieser Zahlen zu finden. Betrachten wir es einfach.

Um das LCM zu berechnen, müssen Sie das Produkt der ursprünglichen Zahlen berechnen und es dann durch den zuvor gefundenen ggT dividieren. Lassen Sie uns das LCM für die gleichen Zahlen 28 und 36 finden:

1. Finden Sie das Produkt der Zahlen 28 und 36: 28 36 = 1008
2. ggT(28, 36) ist bereits als 4 bekannt
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finden von GCD und LCM für mehrere Zahlen

Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden. Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, können Sie auch die folgende Beziehung verwenden: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).

Eine ähnliche Beziehung gilt auch für das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Beispiel: Finden Sie GCD und LCM für die Zahlen 12, 32 und 36.

1. Zuerst faktorisieren wir die Zahlen: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden: 1, 2 und 2 .
3. Ihr Produkt ergibt ggT: 1 2 2 = 4
4. Nun suchen wir das LCM: Dazu finden wir zuerst das LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Um das LCM aller drei Zahlen zu finden, müssen Sie ggT(96, 36) finden: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , ggT = 1 2 , 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ein Vielfaches ist eine Zahl, durch die teilbar ist angegebene Nummer ohne jede Spur. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Zahlengruppe ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe ohne Rest teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren der gegebenen Zahlen finden. LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die auf Gruppen von zwei oder mehr Zahlen anwendbar sind.

Schritte

Eine Reihe von Multiples

Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide kleiner als 10 sind. Wenn große Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

• Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8. Dies sind kleine Zahlen, daher kann diese Methode verwendet werden.

1. Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine gegebene Zahl teilbar ist. Mehrere Zahlen finden Sie im Einmaleins.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die Vielfache der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.

3. Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt. Möglicherweise müssen Sie lange Reihen von Vielfachen schreiben, um die Gesamtsumme zu finden. Die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Zum Beispiel, die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 vorkommt, ist die Zahl 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8.

   Primfaktorzerlegung

   1. Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide größer als 10 sind. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher kann diese Methode verwendet werden.

   2. Faktorisiere die erste Zahl. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden, wenn Sie sie multiplizieren, erhalten Sie eine bestimmte Zahl. Nachdem Sie Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichheit auf.

      • Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Die Primfaktoren der Zahl 20 sind also die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   3. Zerlege die zweite Zahl in Primfaktoren. Gehen Sie dabei genauso vor, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die multipliziert diese Zahl ergeben.

      • Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Die Primfaktoren der Zahl 84 sind also die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   4. Schreiben Sie die Faktoren auf, die beiden Zahlen gemeinsam sind. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor aufschreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).

      • Zum Beispiel ist der gemeinsame Faktor für beide Zahlen 2, also schreibe 2 × (\displaystyle 2\times) und streichen Sie die 2 in beiden Ausdrücken durch.
      • Der gemeinsame Faktor für beide Zahlen ist ein weiterer Faktor von 2, also schreibe 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streiche die zweite 2 in beiden Ausdrücken.

   5. Addiere die restlichen Faktoren zur Multiplikationsoperation. Dies sind Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) beide Zweier (2) sind durchgestrichen, da es sich um gemeinsame Teiler handelt. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.

   Gemeinsame Teiler finden

   1. Zeichne ein Gitter wie bei einem Tic-Tac-Toe-Spiel. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei anderen parallelen Linien schneiden. Dies führt zu drei Zeilen und drei Spalten (das Raster sieht dem #-Zeichen sehr ähnlich). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Reihe und zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und dritte Spalte.

      • Finde zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30. Schreibe 18 in die erste Zeile und zweite Spalte und 30 in die erste Zeile und dritte Spalte.

   2. Finden Sie den Teiler, der beiden Zahlen gemeinsam ist. Notieren Sie es in der ersten Zeile und der ersten Spalte. Es ist besser, nach Primteilern zu suchen, aber das ist keine Voraussetzung.

      • Zum Beispiel sind 18 und 30 gerade Zahlen, also ist ihr gemeinsamer Teiler 2. Schreiben Sie also 2 in die erste Zeile und die erste Spalte.

   3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Schreiben Sie jeden Quotienten unter die entsprechende Zahl. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

      • Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also schreibe 15 unter 30.

   4. Finden Sie einen Teiler, der beiden Quotienten gemeinsam ist. Wenn es keinen solchen Divisor gibt, überspringen Sie die nächsten beiden Schritte. Schreibe andernfalls den Divisor in die zweite Zeile und die erste Spalte.

      • Zum Beispiel sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreibe 3 in die zweite Zeile und erste Spalte.

   5. Teilen Sie jeden Quotienten durch den zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.

      • Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.

   6. Ergänzen Sie ggf. das Raster mit weiteren Zellen. Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.

   7. Kreise die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Reihe des Rasters ein. Schreiben Sie dann die hervorgehobenen Zahlen als Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel stehen die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Reihe, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden gegebenen Zahlen berechnet.

      • Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.

   Euklids Algorithmus

   1. Denken Sie an die mit der Divisionsoperation verbundene Terminologie. Der Dividend ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt werden soll. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Der Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) sich ausruhen. 3:
        15 ist das Teilbare
        6 ist der Divisor
        2 ist privat
        3 ist der Rest.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen steht in direktem Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Dies Verbindung zwischen GCD und NOC ist durch den folgenden Satz definiert.

Satz.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei positiven ganzen Zahlen a und b ist gleich dem Produkt von a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler von a und b, d. h. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Nachweisen.

Lassen M ist ein Vielfaches der Zahlen a und b. Das heißt, M ist durch a teilbar, und gemäß der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, so dass die Gleichheit M = a·k wahr ist. Aber M ist auch durch b teilbar, dann ist a k durch b teilbar.

Bezeichne ggT(a, b) als d . Dann können wir die Gleichungen a=a 1 ·d und b=b 1 ·d aufschreiben, und a 1 =a:d und b 1 =b:d werden teilerfremde Zahlen sein. Daher kann die im vorherigen Absatz erhaltene Bedingung, dass a k durch b teilbar ist, wie folgt umformuliert werden: a 1 d k ist durch b 1 d teilbar, und dies ist aufgrund der Teilbarkeitseigenschaften äquivalent zu der Bedingung, dass a 1 k durch b eins teilbar ist.

Wir müssen auch zwei wichtige Folgerungen aus dem betrachteten Theorem aufschreiben.

Gemeinsame Vielfache zweier Zahlen sind gleich Vielfache ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Dies ist wahr, da jedes gemeinsame Vielfache von M Zahlen a und b durch die Gleichheit M=LCM(a, b) t für einen ganzzahligen Wert t definiert ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der teilerfremden positiven Zahlen a und b ist gleich ihrem Produkt.

Der Grund für diese Tatsache ist ziemlich offensichtlich. Da a und b teilerfremd sind, ist ggT(a, b)=1 , also LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von drei oder mehr Zahlen

Das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von drei oder mehr Zahlen kann auf das sukzessive Finden des LCM von zwei Zahlen reduziert werden. Wie das geht, zeigt der folgende Satz: a 1 , a 2 , …, a k stimmen mit gemeinsamen Vielfachen der Zahlen m k-1 überein und a k stimmen also mit Vielfachen von m k überein. Und da das kleinste positive Vielfache der Zahl m k die Zahl m k selbst ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Winogradov I. M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
• Kulikov L. Ya. ua Aufgabensammlung der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der fiz.-mat. Spezialgebiete pädagogischer Institute.

Das unten dargestellte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel unter der Überschrift LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Beziehung zwischen LCM und ggT. Hier werden wir darüber sprechen Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), und Besondere Aufmerksamkeit Schauen wir uns die Beispiele an. Lassen Sie uns zunächst zeigen, wie das LCM zweier Zahlen in Bezug auf den ggT dieser Zahlen berechnet wird. Überlege als Nächstes, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem du Zahlen in Primfaktoren zerlegst. Danach konzentrieren wir uns darauf, das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, und achten auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT

Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und ggT. Die bestehende Beziehung zwischen LCM und ggT ermöglicht es Ihnen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen durch den bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die zugehörige Formel hat die Form LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Betrachten Sie Beispiele zum Finden des LCM gemäß der obigen Formel.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70 .

Lösung.

In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Lassen Sie uns die Beziehung zwischen LCM und GCD verwenden, die durch die Formel ausgedrückt wird LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Das heißt, wir müssen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, danach können wir das LCM dieser Zahlen nach der geschriebenen Formel berechnen.

Finden Sie ggT(126, 70) mit dem Euklid-Algorithmus: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , also ggT(126, 70)=14 .

Nun finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antworten:

LCM(126, 70)=630 .

Beispiel.

Was ist LCM(68, 34)?

Lösung.

Als 68 ist ohne Rest durch 34 teilbar, dann ist ggT(68, 34)=34 . Nun berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antworten:

LCM(68, 34)=68 .

Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel der folgenden Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b entspricht: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a .

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn wir ein Produkt aus allen Primfaktoren dieser Zahlen bilden und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren, die in den Erweiterungen dieser Zahlen vorhanden sind, aus diesem Produkt ausschließen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Aus der Gleichheit folgt die angekündigte Regel zum Auffinden des LCM LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. ggT(a, b) wiederum ist gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Erweiterungen der Zahlen a und b vorkommen (was im Abschnitt über die Ermittlung des ggT durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben wird). ).

Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Bilden Sie das Produkt aller Faktoren dieser Erweiterungen: 2 3 3 5 5 5 7 . Jetzt schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die sowohl in der Erweiterung der Zahl 75 als auch in der Erweiterung der Zahl 210 vorhanden sind (solche Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2 3 5 5 7 an. Der Wert dieses Produkts ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 75 und 210, also LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Beispiel.

Nachdem du die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren zerlegt hast, finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren:

Wir erhalten 441=3 3 7 7 und 700=2 2 5 5 7 .

Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren bilden, die an der Erweiterung dieser Zahlen beteiligt sind: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lassen Sie uns aus diesem Produkt alle Faktoren ausschließen, die gleichzeitig in beiden Erweiterungen vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor - dies ist die Zahl 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Auf diese Weise, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antworten:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Die Regel zur Ermittlung des LCM durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn wir die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addieren, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.

Nehmen wir zum Beispiel alle gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Erweiterungen in Primfaktoren sind wie folgt: 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Zerlegung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2 3 5 5 7 , dessen Wert LCM(75 , 210).

Beispiel.

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Lösung.

Wir erhalten zunächst die Zerlegung der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2 2 3 7 und 648=2 2 2 3 3 3 3 . Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Zerlegung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , was gleich 4 536 ist. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 84 und 648 4.536.

Antworten:

LCM(84, 648)=4 536 .

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann man finden, indem man nacheinander das LCM von zwei Zahlen findet. Erinnern Sie sich an den entsprechenden Satz, mit dem Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen finden können.

Satz.

Seien ganze Zahlen gegeben positive Zahlen a 1 , a 2 , …, a k , wird das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen durch sequentielle Berechnung gefunden m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Betrachten Sie die Anwendung dieses Satzes am Beispiel der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.

Beispiel.

Finden Sie das LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.

Lösung.

In diesem Beispiel a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Zuerst finden wir m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Dazu bestimmen wir mit dem euklidischen Algorithmus ggT(140, 9) , wir haben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , also ggT( 140, 9)=1 , woher LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Das heißt, m 2 = 1 260 .

Jetzt finden wir m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Berechnen wir es durch ggT(1 260, 54) , was auch durch den Euklid-Algorithmus bestimmt wird: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dann ggT(1 260, 54)=18 , also LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggT(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Das heißt, m 3 \u003d 3 780.

Links zu finden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Dazu finden wir ggT(3 780, 250) mit dem Euklid-Algorithmus: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daher ggT(3 780, 250)=10 , woher ggT(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Das heißt, m 4 \u003d 94 500.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.

Antworten:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

In vielen Fällen wird das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen bequem durch Primfaktorzerlegung gegebener Zahlen gefunden. In diesem Fall sollte die folgende Regel befolgt werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Erweiterung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung von die dritte Zahl wird zu den erhaltenen Faktoren addiert und so weiter.

Betrachten Sie ein Beispiel für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von fünf Zahlen 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Lösung.

Zuerst erhalten wir die Erweiterungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 Primfaktoren) und 143=11 13 .

Um das LCM dieser Zahlen zu finden, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (das sind 2 , 2 , 3 und 7 ) die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Erweiterung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Erweiterung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der dritten Zahl 48 hinzu, erhalten wir eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Zu dieser Menge müssen im nächsten Schritt keine Faktoren hinzugefügt werden, da 7 bereits darin enthalten ist. Schließlich ergänzen wir zu den Faktoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 und 7 die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Erweiterung der Zahl 143 . Wir erhalten das Produkt 2 2 2 2 3 7 11 13 , was 48 048 entspricht.