Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a se nerovná 1) je číslo c takové, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimněte si, že logaritmus nezáporného čísla není definován. Také základ logaritmu musí být kladné číslo, ne rovno 1. Pokud například odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základ -2 logaritmu 4 je 2.

Základní logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je důležité, aby oblasti definice pravé a levé části tohoto vzorce byly různé. Levá strana je definována pouze pro b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá strana je definována pro libovolné b a vůbec nezávisí na a. Použití základní logaritmické "identity" při řešení rovnic a nerovnic tedy může vést ke změně DPV.

Dva zřejmé důsledky definice logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Když totiž zvýšíme číslo a na první mocninu, dostaneme stejné číslo, a když ho zvýšíme na nulovou mocninu, dostaneme jedničku.

Logaritmus součinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chtěl bych školáky varovat před bezmyšlenkovitým uplatňováním těchto vzorců při luštění logaritmické rovnice a nerovnosti. Při jejich použití „zleva doprava“ se ODZ zužuje a při přechodu od součtu nebo rozdílu logaritmů k logaritmu součinu nebo podílu se ODZ rozšiřuje.

Výraz log a (f (x) g (x)) je skutečně definován ve dvou případech: když jsou obě funkce striktně kladné, nebo když jsou f(x) a g(x) obě menší než nula.

Převedeme-li tento výraz na součet log a f (x) + log a g (x) , jsme nuceni se omezit pouze na případ, kdy f(x)>0 a g(x)>0. Dochází k zúžení rozsahu přípustných hodnot, a to je kategoricky nepřijatelné, protože to může vést ke ztrátě řešení. Podobný problém existuje pro vzorec (6).

Stupeň lze odečíst ze znaménka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A znovu bych rád vyzval k přesnosti. Zvažte následující příklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Levá strana rovnosti je samozřejmě definována pro všechny hodnoty f(x) kromě nuly. Pravá strana je pouze pro f(x)>0! Odebráním výkonu z logaritmu opět zúžíme ODZ. Opačný postup vede k rozšíření rozsahu přípustných hodnot. Všechny tyto poznámky platí nejen pro mocninu 2, ale také pro jakoukoli sudou mocninu.

Vzorec pro přesun na novou základnu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten vzácný případ, kdy se ODZ během převodu nezmění. Pokud jste moudře zvolili základ c (kladný a nerovná se 1), vzorec pro přechod na nový základ je naprosto bezpečný.

Zvolíme-li číslo b jako nový základ c, získáme důležitý konkrétní případ vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Několik jednoduchých příkladů s logaritmy

Příklad 1 Vypočítejte: lg2 + lg50.
Řešení. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Použili jsme vzorec pro součet logaritmů (5) a definici dekadického logaritmu.

Příklad 2 Vypočítejte: lg125/lg5.
Řešení. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Použili jsme nový základní přechodový vzorec (8).

Tabulka vzorců souvisejících s logaritmy

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Funkce LN v Excelu je určena k výpočtu přirozený logaritmusčísla a vrátí odpovídající číselná hodnota. Přirozený logaritmus je základní e logaritmus (Eulerovo číslo přibližně 2,718).

Funkce LOG v Excelu se používá k výpočtu logaritmu čísla, zatímco základ logaritmu lze zadat explicitně jako druhý argument této funkce.

Funkce LOG10 v Excelu je navržena pro výpočet logaritmu čísla se základem 10 (desetinný logaritmus).

Příklady použití funkcí LN, LOG a LOG10 v Excelu

Archeologové našli pozůstatky starověkého zvířete. K určení jejich stáří bylo rozhodnuto použít metodu radiokarbonové analýzy. Výsledkem měření se ukázalo, že obsah radioaktivního izotopu C 14 byl 17 % množství, které se obvykle vyskytuje v živých organismech. Vypočítejte stáří pozůstatků, je-li poločas rozpadu izotopu uhlíku 14 5760 let.

Pohled na původní tabulku:

K řešení používáme následující vzorec:

Tento vzorec byl získán na základě vzorce x=t*(lgB-lgq)/lgp, kde:

• q je množství izotopu uhlíku v počátečním okamžiku (v okamžiku smrti zvířete), vyjádřené jako jednotka (nebo 100 %);
• B je množství izotopu v době analýzy pozůstatků;
• t je poločas rozpadu izotopu;
• p je číselná hodnota udávající, kolikrát se změní množství látky (izotopu uhlíku) za časové období t.

Jako výsledek výpočtů dostaneme:

Nalezené pozůstatky jsou staré téměř 15 tisíc let.



Vkladová kalkulačka se složeným úročením v Excelu

Klient banky vložil vklad ve výši 50 000 rublů s úrokovou sazbou 14,5 % (složený úrok). Určete, jak dlouho bude trvat zdvojnásobení investované částky?

Zajímavý fakt! Chcete-li tento problém rychle vyřešit, můžete použít empirickou metodu Hrubý odhad termínech (v letech), aby se zdvojnásobila investice investovaná se složeným úrokem. Takzvané pravidlo 72 (nebo 70 či pravidlo 69). Chcete-li to provést, musíte použít jednoduchý vzorec - číslo 72 děleno úrokovou sazbou: 72 / 14,5 \u003d 4,9655 let. Hlavní nevýhodou pravidla „kouzelného“ čísla 72 je chyba. Čím vyšší úroková sazba, tím vyšší chyba v pravidle 72. Například při úrokové sazbě 100 % ročně dosahuje chyba v letech až 0,72 (a v procentech je to až 28 %!).

Pro přesný výpočet načasování zdvojnásobení investic použijeme funkci LOG. Za prvé, podívejme se na chybu pravidla 72 při úrokové sazbě 14,5 % ročně.

Pohled na původní tabulku:

Pro výpočet budoucí hodnoty investice při známé úrokové sazbě můžete použít následující vzorec: S=A(100%+n%) t , kde:

• S je očekávaná částka na konci období;
• A je výše vkladu;
• n - úroková sazba;
• t je doba uchování depozitních prostředků v bance.

V tomto příkladu lze tento vzorec zapsat jako 100000=50000*(100%+14,5%) t nebo 2=(100%+14,5%) t . Pak, abyste našli t, můžete rovnici přepsat jako t=log (114,5 %) 2 nebo t=log 1,1452 .

Abychom zjistili hodnotu t, napíšeme v Excelu následující vzorec pro složené úročení vkladu:

LOG(B4/B2;1+B3)

Popis argumentů:

• B4/B2 - poměr očekávaného a počátečního množství, který je ukazatelem logaritmu;
• 1+B3 - úrokový zisk (základ logaritmu).

Jako výsledek výpočtů dostaneme:

Vklad se po něco málo přes 5 letech zdvojnásobí. Pro přesné určení let a měsíců používáme vzorec:

Funkce SELECT zahodí vše za desetinnou čárkou ve zlomkovém čísle, podobně jako funkce INTEGER. Rozdíl mezi funkcemi SELECT a WHOLE je pouze ve výpočtech se zápornými zlomkovými čísly. Kromě toho má OTBR druhý argument, kde můžete zadat počet desetinných míst, která se mají ponechat. Proto v tomto případě můžete použít kteroukoli z těchto dvou funkcí podle volby uživatele.

Ukázalo se to 5 let a 1 měsíc a 12 dní. Nyní porovnáme přesné výsledky s pravidlem 72 a určíme míru chyby. Pro tento příklad je vzorec:

Hodnotu buňky B3 musíme vynásobit 100, protože její aktuální hodnota je 0,145, která se zobrazuje v procentech. Jako výsledek:

Poté, co zkopírujeme vzorec z buňky B6 do buňky B8 a do buňky B9:

Pojďme vypočítat chybové členy:

Potom do buňky B10 zkopírujte vzorec znovu z buňky B6. V důsledku toho dostaneme rozdíl:

A nakonec spočítejme procentuální rozdíl, abychom zkontrolovali, jak se mění velikost odchylky a jak významně zvýšení úrokové sazby ovlivňuje míru nesouladu mezi pravidlem 72 a skutečností:

Nyní, abychom si vizualizovali proporcionální závislost nárůstu chyby a zvýšení úrovně úrokové sazby, zvýšíme úrokovou sazbu na 100 % ročně:

Rozdíl v chybovosti není na první pohled významný oproti 14,5 % ročně – pouze cca 2 měsíce a 100 % ročně – během 3 měsíců. Podíl chyb v době návratnosti je však více než ¼, tedy spíše 28 %.

Udělejme jednoduchý graf pro vizuální analýzu toho, jak závislost změny úrokové sazby a procenta chyby pravidla 72 koreluje se skutečností:

Čím vyšší je úroková sazba, tím hůře funguje pravidlo 72. Z toho můžeme vyvodit následující závěr: do 32,2 % ročně můžete klidně použít pravidlo 72. Pak je chyba menší než 10 procent. Bude to stačit, pokud nejsou vyžadovány přesné, ale složité výpočty doby návratnosti investic dvakrát.

Investiční složená úroková kalkulačka s kapitalizací v Excelu

Klientovi banky bylo nabídnuto složení vkladu s průběžným navyšováním celkové částky (kapitalizace se složeným úrokem). Úroková sazba je 13 % ročně. Určete, jak dlouho bude trvat ztrojnásobení původní částky (250 000 rublů). O kolik by se měla zvýšit úroková sazba, aby se čekací doba zkrátila na polovinu?

Poznámka: protože v tomto příkladu ztrojnásobíme objem investic, pravidlo 72 zde nefunguje.

Pohled na původní datovou tabulku:

Nepřetržitý růst lze popsat vzorcem ln(N)=p*t, kde:

• N je poměr konečné výše vkladu k počáteční;
• p je úroková sazba;
• t je počet let, které uplynuly od provedení vkladu.

Potom t=ln(N)/p. Na základě této rovnosti zapíšeme vzorec v Excelu:

Popis argumentů:

• B3/B2 - poměr konečné a počáteční částky vkladu;
• B4 - úroková sazba.

Ztrojnásobení počáteční částky vkladu bude trvat téměř 8,5 roku. Pro výpočet sazby, která zkrátí čekací dobu na polovinu, použijeme vzorec:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Výsledek:

To znamená, že je nutné zdvojnásobit počáteční úrokovou sazbu.

Vlastnosti použití funkcí LN, LOG a LOG10 v Excelu

Funkce LN má následující syntaxi:

LN(číslo)

• číslo je jediný povinný argument, který přijímá reálná čísla z rozsahu kladné hodnoty.

Poznámky:

1. Funkce LN je inverzní funkcí EXP. Ten vrací hodnotu získanou zvýšením čísla e na zadanou mocninu. Funkce LN určuje mocninu, na kterou musí být umocněno číslo e (základ), aby se získal logaritmický exponent (argument čísla).
2. Pokud je argumentem číslo číslo v rozsahu záporných hodnot nebo nuly, výsledkem funkce LN je kód chyby #NUM!.

Syntaxe funkce LOG je následující:

LOG(číslo ;[základ])

Popis argumentů:

• číslo - povinný argument, který charakterizuje číselnou hodnotu exponentu logaritmu, to znamená číslo získané v důsledku zvýšení základny logaritmu na určitou mocninu, kterou vypočítá funkce LOG;
• [základ] je volitelný argument, který charakterizuje číselnou hodnotu základu logaritmu. Pokud argument není výslovně uveden, předpokládá se, že logaritmus je desítkový (tj. základ je 10).

Poznámky:

1. Přestože výsledkem funkce LOG může být záporné číslo (například funkce =LOG(2;0,25) vrátí -0,5), musí být argumenty této funkce převzaty z rozsahu kladných hodnot. Pokud je některý z argumentů záporné číslo, funkce LOG vrátí kód chyby #NUM!.
2. Pokud je jako argument [základ] předána 1, funkce LOG vrátí chybový kód #DIV/0!, protože výsledek zvýšení 1 na libovolnou mocninu bude vždy stejný a roven 1.

Funkce LOG10 má následující syntaxi:

LOG10(číslo)

• number je jediný a povinný argument, jehož význam je shodný se stejnojmenným argumentem funkcí LN a LOG.

Poznámka: pokud bylo jako argument předáno číslo záporné číslo nebo 0, funkce LOG10 vrátí chybový kód #NUM!.

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, na který musíte zvýšit číslo a, abyste dostali číslo b.

Pokud , tak .

Logaritmus je extrémně důležitá matematická veličina, protože logaritmický počet umožňuje nejen řešit exponenciální rovnice, ale také pracovat s indikátory, rozlišovat exponenciální a logaritmické funkce, integrovat je a vést k přijatelnější formě pro výpočet.

V kontaktu s

Všechny vlastnosti logaritmů přímo souvisejí s vlastnostmi exponenciálních funkcí. Například fakt, že znamená, že:

Je třeba poznamenat, že při řešení konkrétních problémů mohou být vlastnosti logaritmů důležitější a užitečnější než pravidla pro práci s mocninami.

Zde jsou některé identity:

Zde jsou hlavní algebraické výrazy:

;

.

Pozornost! může existovat pouze pro x>0, x≠1, y>0.

Pokusme se pochopit otázku, co jsou přirozené logaritmy. Samostatný zájem o matematiku představují dva typy- první má v základu číslo "10" a nazývá se "desetinný logaritmus". Druhá se nazývá přírodní. Základem přirozeného logaritmu je číslo e. Právě o něm budeme v tomto článku hovořit podrobně.

Označení:

• lg x - desítkové;
• ln x - přírodní.

Pomocí identity můžeme vidět, že ln e = 1, stejně jako že lg 10=1.

přirozený log graf

Sestrojíme graf přirozeného logaritmu pomocí standardu klasickým způsobem podle bodů. Pokud si přejete, můžete zkontrolovat, zda stavíme funkci správně, prozkoumáním funkce. Má však smysl naučit se jej stavět "ručně", abyste věděli, jak správně vypočítat logaritmus.

Funkce: y = log x. Napišme si tabulku bodů, kterými bude graf procházet:

Vysvětleme, proč jsme zvolili takové hodnoty argumentu x. Všechno je to o identitě: Pro přirozený logaritmus bude tato identita vypadat takto:

Pro pohodlí si můžeme vzít pět referenčních bodů:

;

;

.

;

.

Počítání přirozených logaritmů je tedy poměrně jednoduchý úkol, navíc zjednodušuje výpočet operací s mocninami a převádí je na normální násobení.

Po sestavení grafu podle bodů získáme přibližný graf:

Oblastí přirozeného logaritmu (tj. všech platných hodnot argumentu X) jsou všechna čísla větší než nula.

Pozornost! Doména definice přirozeného logaritmu zahrnuje pouze kladná čísla! Rozsah nezahrnuje x=0. To je nemožné na základě podmínek existence logaritmu.

Rozsah hodnot (tj. všechny platné hodnoty funkce y = ln x) jsou všechna čísla v intervalu .

přirozený log limit

Při studiu grafu vyvstává otázka - jak se funkce chová, když y<0.

Je zřejmé, že graf funkce má tendenci křížit osu y, ale nebude to možné, protože přirozený logaritmus x<0 не существует.

Přirozená hranice log lze napsat takto:

Vzorec pro změnu základu logaritmu

Vypořádání se s přirozeným logaritmem je mnohem jednodušší než s logaritmem, který má libovolný základ. Proto se pokusíme naučit, jak jakýkoli logaritmus redukovat na přirozený, nebo jej vyjádřit v libovolném základu prostřednictvím přirozených logaritmů.

Začněme logaritmickou identitou:

Potom jakékoli číslo nebo proměnná y může být reprezentována jako:

kde x je libovolné číslo (kladné podle vlastností logaritmu).

Tento výraz lze logaritmizovat na obě strany. Udělejme to s libovolnou bází z:

Použijme vlastnost (jen místo "s" máme výraz):

Odtud dostaneme univerzální vzorec:

.

Zejména, pokud z=e, pak:

.

Podařilo se nám vyjádřit logaritmus na libovolnou základnu prostřednictvím poměru dvou přirozených logaritmů.

Řešíme problémy

Abyste se mohli lépe orientovat v přirozených logaritmech, zvažte příklady několika problémů.

Úkol 1. Je třeba vyřešit rovnici ln x = 3.

Řešení: Pomocí definice logaritmu: if , then , dostaneme:

Úkol 2. Vyřešte rovnici (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Řešení: Pomocí definice logaritmu: if , then , dostaneme:

.

Ještě jednou použijeme definici logaritmu:

.

Tím pádem:

.

Odpověď můžete přibližně vypočítat, nebo ji můžete nechat v tomto tvaru.

Úkol 3. Vyřešte rovnici.

Řešení: Udělejme substituci: t = ln x. Potom bude mít rovnice následující tvar:

.

Máme kvadratickou rovnici. Pojďme najít jeho diskriminant:

První kořen rovnice:

.

Druhý kořen rovnice:

.

Když si pamatujeme, že jsme provedli substituci t = ln x, dostaneme:

Ve statistice a teorii pravděpodobnosti jsou logaritmické veličiny velmi běžné. To není překvapivé, protože číslo e - často odráží rychlost růstu exponenciálních hodnot.

V informatice, programování a počítačové teorii jsou logaritmy zcela běžné, například za účelem uložení N bitů do paměti.

V teoriích fraktálů a dimenzí se neustále používají logaritmy, protože rozměry fraktálů jsou určeny pouze s jejich pomocí.

V mechanice a fyzice neexistuje žádná sekce, kde by nebyly použity logaritmy. Barometrické rozdělení, všechny principy statistické termodynamiky, Ciolkovského rovnice a tak dále jsou procesy, které lze matematicky popsat pouze pomocí logaritmů.

V chemii se logaritmus používá v Nernstových rovnicích, popisech redoxních procesů.

Je úžasné, že i v hudbě se pro zjištění počtu dílů oktávy používají logaritmy.

Přirozený logaritmus Funkce y=ln x její vlastnosti

Důkaz hlavní vlastnosti přirozeného logaritmu

Návod

Zapište si daný logaritmický výraz. Pokud výraz používá logaritmus 10, pak je jeho zápis zkrácen a vypadá takto: lg b je dekadický logaritmus. Pokud má logaritmus číslo e jako základ, pak se výraz zapíše: ln b je přirozený logaritmus. Rozumí se, že výsledkem libovolného je mocnina, na kterou musí být základní číslo zvýšeno, aby získalo číslo b.

Při hledání součtu dvou funkcí je stačí rozlišit jednu po druhé a sečíst výsledky: (u+v)" = u"+v";

Při hledání derivace součinu dvou funkcí je nutné derivaci první funkce vynásobit druhou a přidat derivaci druhé funkce, vynásobenou první funkcí: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Abychom našli derivaci podílu dvou funkcí, je nutné od součinu derivace dělitele vynásobeného funkcí dělitele odečíst součin derivace dělitele násobeného funkcí dělitele a toto vše vydělit funkcí dělitele na druhou. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Pokud je zadána komplexní funkce, pak je nutné vynásobit derivaci vnitřní funkce a derivaci vnější. Nechť y=u(v(x)), pak y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocí výše získaného můžete odlišit téměř jakoukoli funkci. Pojďme se tedy podívat na několik příkladů:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Nechybí ani úlohy pro výpočet derivace v bodě. Nechť je dána funkce y=e^(x^2+6x+5), musíte najít hodnotu funkce v bodě x=1.
1) Najděte derivaci funkce: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítejte hodnotu funkce v daném bodě y"(1)=8*e^0=8

Související videa

Užitečná rada

Naučte se tabulku elementárních derivací. To ušetří spoustu času.

Prameny:

• konstantní derivace

Jaký je tedy rozdíl mezi iracionální rovnicí a racionální? Pokud je neznámá proměnná pod znaménkem druhé odmocniny, pak je rovnice považována za iracionální.

Návod

Hlavní metodou řešení takových rovnic je metoda zvedání obou stran rovnic do čtverce. Nicméně. to je přirozené, prvním krokem je zbavit se znaménka. Technicky není tato metoda obtížná, ale někdy může vést k potížím. Například rovnice v(2x-5)=v(4x-7). Umocněním obou stran získáte 2x-5=4x-7. Takovou rovnici není těžké vyřešit; x=1. Ale číslo 1 nebude uvedeno rovnic. Proč? Dosaďte v rovnici jednotku místo hodnoty x. A pravá a levá strana bude obsahovat výrazy, které nedávají smysl, tzn. Taková hodnota neplatí pro druhou odmocninu. Proto je 1 cizí kořen, a proto tato rovnice nemá žádné kořeny.

Iracionální rovnice je tedy řešena metodou kvadratury obou jejích částí. A po vyřešení rovnice je nutné odříznout cizí kořeny. Chcete-li to provést, dosaďte nalezené kořeny do původní rovnice.

Zvažte další.
2x+vx-3=0
Tuto rovnici lze samozřejmě vyřešit pomocí stejné rovnice jako předchozí. Přenosové sloučeniny rovnic, které nemají odmocninu, na pravou stranu a poté použijte metodu kvadratury. vyřešit výslednou racionální rovnici a kořeny. Ale jiný, elegantnější. Zadejte novou proměnnou; vx=y. Podle toho dostanete rovnici jako 2y2+y-3=0. To je obvyklá kvadratická rovnice. Najděte jeho kořeny; y1=1 a y2=-3/2. Dále vyřešte dva rovnic vx=1; vx \u003d -3/2. Druhá rovnice nemá kořeny, z první zjistíme, že x=1. Nezapomeňte na nutnost kontroly kořenů.

Řešení identit je celkem snadné. To vyžaduje provádění stejných transformací, dokud není dosaženo cíle. S pomocí nejjednodušších aritmetických operací bude tedy úloha vyřešena.

Budete potřebovat

• - papír;
• - pero.

Návod

Nejjednodušší takové transformace jsou algebraické zkrácené násobení (např. druhá mocnina součtu (rozdíl), rozdíl druhých mocnin, součet (rozdíl), třetí mocnina součtu (rozdíl)). Kromě toho existuje mnoho goniometrických vzorců, které jsou v podstatě stejné identity.

Druhá mocnina součtu dvou členů se skutečně rovná druhé mocnině prvního plus dvojnásobku součinu prvního a druhého plus druhé mocniny druhého, tj. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte obojí

Obecné principy řešení

Opakujte z učebnice matematické analýzy nebo vyšší matematiky, což je určitý integrál. Jak víte, řešení určitého integrálu je funkce, jejíž derivace dá integrand. Tato funkce se nazývá primitivní. Podle tohoto principu se konstruují základní integrály.
Určete podle tvaru integrandu, který z tabulkových integrálů je v tomto případě vhodný. Ne vždy je možné to určit okamžitě. Často se tabulkový tvar stane patrným až po několika transformacích, aby se integrand zjednodušil.

Variabilní substituční metoda

Pokud je integrand goniometrickou funkcí, jejímž argumentem je nějaký polynom, zkuste použít metodu změny proměnných. Chcete-li to provést, nahraďte polynom v argumentu integrandu nějakou novou proměnnou. Na základě poměru mezi novou a starou proměnnou určete nové limity integrace. Odlišením tohoto výrazu najděte nový diferenciál v . Získáte tak nový tvar starého integrálu, blízký nebo dokonce odpovídající libovolnému tabulkovému.

Řešení integrálů druhého druhu

Pokud je integrál integrálem druhého druhu, vektorovou formou integrandu, pak budete muset použít pravidla pro přechod od těchto integrálů ke skalárním. Jedním z takových pravidel je Ostrogradského-Gaussův poměr. Tento zákon umožňuje přejít od rotorového toku nějaké vektorové funkce k trojnému integrálu přes divergenci daného vektorového pole.

Substituce mezí integrace

Po nalezení primitivního prvku je nutné dosadit limity integrace. Nejprve dosaďte do výrazu pro primitivní funkci hodnotu horní meze. Dostanete nějaké číslo. Dále od výsledného čísla odečtěte další číslo, výslednou dolní mez k primitivní derivaci. Pokud je jednou z integračních limit nekonečno, pak při dosazení do primitivní funkce je nutné jít do limity a najít, k čemu výraz inklinuje.
Pokud je integrál dvourozměrný nebo trojrozměrný, budete muset reprezentovat geometrické limity integrace, abyste pochopili, jak integrál vypočítat. Ve skutečnosti v případě, řekněme, trojrozměrného integrálu, mohou být limity integrace celé roviny, které omezují objem, který má být integrován.