Lekce a prezentace na téma: "Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Matematický konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arkussinus, arkussinus, arktangens a arkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice - rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujeme formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |а|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: Т(kx+m)=a, T- libovolná goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát přejdeme rovnou k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Rozhodneme se v obecný pohled naše rovnice: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Pro k Pro k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu .
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefili znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že nezasáhneme ani pro velké k.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Zvažovali jsme nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i ​​složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Pojďme řešit rovnici:

Řešení:
K vyřešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označované: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Najděte kořeny kvadratické rovnice: t=-1 a t=1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali jsme nejjednodušší goniometrickou rovnici, pojďme najít její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice zní: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice ve tvaru a sin(x)+b cos(x) se nazývá homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Abychom vyřešili homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělíme ji cos(x): Není možné dělit kosinusem, pokud se rovná nule, přesvědčme se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostali jsme rozpor, takže můžeme klidně dělit nulou.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjměte společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pro x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy se držte těchto pravidel!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, pokud a \u003d 0, pak naše rovnice bude mít tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), příklad řešení je na předchozí skluzavka

2. Je-li a≠0, pak musíte obě části rovnice vydělit druhou mocninou kosinusu, dostaneme:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x), dostaneme rovnici:

Vyřešte příklad č.:3

Řešte rovnici:
Řešení:

Vydělte obě strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Provedeme změnu proměnné t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Najděte kořeny kvadratické rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpověď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyřešte příklad č.:4

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Můžeme řešit takové rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpověď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyřešte příklad č.:5

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Zavedeme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice budou kořeny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpověď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úkoly pro samostatné řešení.

1) Řešte rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Řešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A najděte všechny kořeny na segmentu [π/2; π].

3) Řešte rovnici: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Řešte rovnici: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Řešte rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Řešte rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Goniometrické rovnice nejsou nejjednodušší téma. Bolestně jsou různorodé.) Například tyto:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Atd...

Ale tyto (a všechny ostatní) trigonometrické příšery mají dva společné a povinné rysy. Za prvé - nebudete tomu věřit - v rovnicích jsou goniometrické funkce.) Za druhé: všechny výrazy s x jsou v rámci těchto stejných funkcí. A jen tam! Pokud se někde objeví x mimo, například, hřích2x + 3x = 3, toto bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice vyžadují individuální přístup. Zde je nebudeme uvažovat.

Ani v této lekci nebudeme řešit zlé rovnice.) Zde se budeme zabývat nejjednodušší goniometrické rovnice. Proč? Ano, protože rozhodnutí žádný goniometrické rovnice se skládají ze dvou stupňů. V první fázi je zlá rovnice různými transformacemi redukována na jednoduchou. Na druhé - tato nejjednodušší rovnice je vyřešena. Není jiná cesta.

Takže pokud máte problémy ve druhé fázi, první fáze nedává moc smysl.)

Jak vypadají elementární goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tady A znamená libovolné číslo. Žádný.

Mimochodem, uvnitř funkce nemusí být čisté x, ale nějaký druh výrazu, například:

cos(3x+π/3) = 1/2

atd. To komplikuje život, ale neovlivňuje způsob řešení goniometrické rovnice.

Jak řešit goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice lze řešit dvěma způsoby. První způsob: pomocí logiky a trigonometrické kružnice. Tuto cestu zde prozkoumáme. Druhý způsob - použití paměti a vzorců - bude zvažován v příští lekci.

První způsob je jasný, spolehlivý a těžko zapomenutelný.) Hodí se na řešení goniometrických rovnic, nerovnic a všelijakých záludných nestandardních příkladů. Logika je silnější než paměť!

Rovnice řešíme pomocí trigonometrické kružnice.

Zařazujeme elementární logiku a schopnost používat trigonometrický kruh. Nemůžeš!? Nicméně... V trigonometrii to budete mít těžké...) Ale to nevadí. Podívejte se na lekce "Trigonometrický kruh ...... Co to je?" a "Počítání úhlů na trigonometrické kružnici." Všechno je tam jednoduché. Na rozdíl od učebnic...)

Ach, víš!? A dokonce zvládl "Praktická práce s trigonometrickou kružnicí"!? Přijměte gratulace. Toto téma vám bude blízké a srozumitelné.) Potěší především to, že trigonometrickému kruhu je jedno, kterou rovnici řešíte. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - všechno je pro něj stejné. Princip řešení je stejný.

Vezmeme tedy libovolnou elementární goniometrickou rovnici. Alespoň toto:

cosx = 0,5

Potřebuji najít X. Mluvit lidskou řečí, potřebujete najděte úhel (x), jehož kosinus je 0,5.

Jak jsme kruh používali dříve? Nakreslili jsme na něj roh. Ve stupních nebo radiánech. A hned viděl goniometrické funkce tohoto úhlu. Nyní udělejme opak. Nakreslete na kružnici kosinus rovný 0,5 a okamžitě uvidíme roh. Zbývá jen napsat odpověď.) Ano, ano!

Nakreslíme kružnici a označíme kosinus rovný 0,5. Na kosinusové ose, samozřejmě. Takhle:

Nyní nakreslíme úhel, který nám tento kosinus dává. Najeďte myší na obrázek (nebo se dotkněte obrázku na tabletu) a vidět tento stejný roh X.

Který úhel má kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Někteří lidé budou skepticky chrochtat, ano... Říkají, stálo to za to oplotit kruh, když je stejně všechno jasné... Můžete samozřejmě chrochtat...) Ale je fakt, že tohle je omyl Odpovědět. Nebo spíše neadekvátní. Znalci kruhu chápou, že stále existuje celá řada úhlů, které také dávají kosinus rovný 0,5.

Pokud otočíte pohyblivou stranu OA na plnou otáčku, bod A se vrátí do své původní polohy. Se stejným kosinusem rovným 0,5. Tito. úhel se změní 360° nebo 2π radiány a kosinus není. Nový úhel 60° + 360° = 420° bude také řešením naší rovnice, protože

Takových plných rotací je nekonečně mnoho... A všechny tyto nové úhly budou řešením naší goniometrické rovnice. A všechny je potřeba nějak zapsat. Všechno. Jinak se k rozhodnutí nepřihlíží, ano...)

Matematika to umí jednoduše a elegantně. V jedné krátké odpovědi napište nekonečná množinařešení. Takto to vypadá pro naši rovnici:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

rozluštím. Ještě pište smysluplně hezčí než hloupě kreslit nějaká tajemná písmena, že?)

π /3 je stejný úhel jako my viděl na kruhu a odhodlaný podle tabulky cosinus.

2π je jedna celá otáčka v radiánech.

n - jedná se o počet kompletních, tzn. Celý revoluce. Je jasné že n může být 0, ±1, ±2, ±3.... a tak dále. Jak naznačuje krátký záznam:

n ∈ Z

n patří ( ∈ ) na množinu celých čísel ( Z ). Mimochodem, místo dopisu n lze použít písmena k, m, t atd.

Tento zápis znamená, že můžete vzít libovolné celé číslo n . Alespoň -3, alespoň 0, alespoň +55. Co chceš. Pokud toto číslo zapojíte do své odpovědi, získáte konkrétní úhel, který bude jistě řešením naší drsné rovnice.)

Nebo jinými slovy, x \u003d π / 3 je jediným kořenem nekonečné množiny. Chcete-li získat všechny ostatní kořeny, stačí přidat libovolný počet celých závitů k π / 3 ( n ) v radiánech. Tito. 2πn radián.

Všechno? Ne. Konkrétně natahuji potěšení. Abychom si to lépe zapamatovali.) Dostali jsme jen část odpovědí na naši rovnici. Tuto první část řešení napíšu takto:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jeden kořen, je to celá řada kořenů, zapsaná ve zkratce.

Ale existují i ​​jiné úhly, které také dávají kosinus rovný 0,5!

Vraťme se k našemu obrázku, podle kterého jsme zapsali odpověď. Tady je:

Najeďte myší na obrázek a vidět další roh, který také dává kosinus 0,5.Čemu se to podle vás rovná? Trojúhelníky jsou stejné... Ano! Rovná se úhlu X , pouze zakreslena v negativním směru. Tohle je roh -X. Ale už jsme spočítali x. π /3 nebo 60°. Proto můžeme bezpečně napsat:

x 2 \u003d - π / 3

A samozřejmě přidáme všechny úhly, které získáme plnými otáčkami:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je nyní vše.) V trigonometrickém kruhu jsme viděl(kdo tomu rozumí, samozřejmě)) Všechnoúhly, které dávají kosinus rovný 0,5. A tyto úhly zapsali do krátké matematické formy. Odpověď jsou dvě nekonečné řady kořenů:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správná odpověď.

Naděje, obecný princip řešení goniometrických rovnic s pomocí kruhu je pochopitelné. Na kružnici označíme kosinus (sinus, tangens, kotangens) z dané rovnice, narýsujeme odpovídající úhly a zapíšeme odpověď. Samozřejmě musíte přijít na to, jaké jsme rohy viděl na kruhu. Někdy to není tak zřejmé. No, jak jsem řekl, logika je zde nutná.)

Pojďme například analyzovat jinou goniometrickou rovnici:

Upozorňuji, že číslo 0,5 není jediné možné číslo v rovnicích!) Jen je pro mě pohodlnější ho psát než odmocniny a zlomky.

Pracujeme podle obecného principu. Nakreslíme kružnici, označíme (na sinusové ose, samozřejmě!) 0,5. Nakreslíme najednou všechny úhly odpovídající tomuto sinusu. Dostáváme tento obrázek:

Nejprve se vypořádáme s úhlem. X v prvním čtvrtletí. Připomeneme si tabulku sinů a určíme hodnotu tohoto úhlu. Věc je jednoduchá:

x \u003d π / 6

Vybavujeme si celé otáčky a s čistým svědomím zapisujeme první sérii odpovědí:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovina práce je hotová. Nyní musíme definovat druhý roh... To je složitější než v kosinusu, ano... Ale logika nás zachrání! Jak určit druhý úhel přes x? Ano Snadno! Trojúhelníky na obrázku jsou stejné a červený roh X rovný úhlu X . Pouze se počítá od úhlu π v záporném směru. Proto je červená.) A pro odpověď potřebujeme úhel správně změřený od kladné poloosy OX, tzn. z úhlu 0 stupňů.

Najeďte kurzorem na obrázek a uvidíte vše. První roh jsem odstranil, abych nekomplikoval obraz. Úhel, který nás zajímá (nakreslený zeleně), se bude rovnat:

π - x

x známe to π /6 . Takže druhý úhel bude:

π - π /6 = 5π /6

Znovu si připomeneme přidání plných otáček a zapíšeme druhou sérii odpovědí:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je vše. Úplná odpověď se skládá ze dvou řad kořenů:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Rovnice s tečnou a kotangens lze snadno řešit pomocí stejného obecného principu pro řešení goniometrických rovnic. Pokud ovšem nevíte, jak nakreslit tečnu a kotangens na trigonometrické kružnici.

Ve výše uvedených příkladech jsem použil tabulkovou hodnotu sinus a kosinus: 0,5. Tito. jeden z těch významů, které student zná musí. Nyní rozšíříme naše schopnosti na všechny ostatní hodnoty. Rozhodněte se, tak se rozhodněte!)

Řekněme tedy, že potřebujeme vyřešit následující trigonometrickou rovnici:

V krátkých tabulkách taková hodnota kosinusu není. Chladně ignorujeme tuto hroznou skutečnost. Nakreslíme kružnici, označíme 2/3 na ose kosinus a nakreslíme odpovídající úhly. Dostáváme tento obrázek.

Pro začátek si rozumíme s úhlem v prvním čtvrtletí. Aby věděli, čemu se x rovná, odpověď by si hned zapsali! Nevíme... Selhání!? Uklidnit! Matematika nenechává své vlastní v potížích! Pro tento případ vymyslela obloukové kosiny. Nevím? Nadarmo. Zjistěte, je to mnohem jednodušší, než si myslíte. Podle tohoto odkazu neexistuje jediné záludné zaklínadlo o "inverzních goniometrických funkcích" ... V tomto tématu je to nadbytečné.

Pokud víte, řekněte si: "X je úhel, jehož kosinus je 2/3." A hned, čistě podle definice arkosinusu, můžeme napsat:

Vzpomeneme si na další otáčky a klidně si zapíšeme první řadu kořenů naší goniometrické rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá řada odmocnin se také zapisuje téměř automaticky, pro druhý úhel. Vše je stejné, pouze x (arccos 2/3) bude s mínusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A všechny věci! Toto je správná odpověď. Ještě jednodušší než s tabulkovými hodnotami. Nemusíte si nic pamatovat.) Mimochodem, ti nejpozornější si všimnou, že tento obrázek s řešením přes arkus kosinus se v podstatě neliší od obrázku pro rovnici cosx = 0,5.

Přesně tak! Obecná zásada proto je to běžné! Konkrétně jsem nakreslil dva téměř stejné obrázky. Kruh nám ukazuje úhel X svým kosinusem. Je to tabulkový kosinus, nebo ne - kruh nezná. O jaký druh úhlu se jedná, π / 3, nebo jaký druh arkosinusu se rozhodneme my.

Se sinem stejná píseň. Například:

Opět nakreslíme kruh, označíme sinus rovný 1/3, nakreslíme rohy. Ukazuje se tento obrázek:

A opět je obrázek téměř stejný jako u rovnice sinx = 0,5. Opět začínáme v první čtvrtině z rohu. Čemu se rovná x, je-li jeho sinus 1/3? Žádný problém!

Takže první balíček kořenů je připraven:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pojďme se podívat na druhý úhel. V příkladu s hodnotou tabulky 0,5 se rovnalo:

π - x

Tak tady to bude úplně stejné! Pouze x je jiné, arcsin 1/3. No a co!? Druhý balíček kořenů můžete bezpečně napsat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je zcela správná odpověď. I když to nevypadá moc povědomě. Ale je to srozumitelné, doufám.)

Takto se řeší goniometrické rovnice pomocí kruhu. Tato cesta je jasná a srozumitelná. Právě on šetří v goniometrických rovnicích s výběrem kořenů na daném intervalu, v goniometrických nerovnicích - ty se obecně řeší téměř vždy v kruhu. Zkrátka v jakýchkoliv úlohách, které jsou trochu složitější než standardní.

Uvádět znalosti do praxe?

Řešte goniometrické rovnice:

Zpočátku je to jednodušší, přímo na této lekci.

Teď je to složitější.

Nápověda: zde musíte myslet na kruh. Osobně.)

A nyní navenek nenáročné ... Říká se jim také speciální případy.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: Zde musíte v kruhu zjistit, kde jsou dvě řady odpovědí a kde jedna ... A jak zapsat jednu místo dvou sérií odpovědí. Ano, aby se neztratil ani jeden kořen z nekonečného počtu!)

No, docela jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nápověda: zde musíte vědět, co je arcsinus, arckosinus? Co je arkus tangens, arkus tangens? Většina jednoduché definice. Nemusíte si ale pamatovat žádné tabulkové hodnoty!)

Odpovědi jsou samozřejmě v nepořádku):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne všechno se daří? Stalo se to. Přečtěte si lekci znovu. Pouze promyšleně(je tam takové zastaralé slovo...) A sledujte odkazy. Hlavní odkazy jsou o kruhu. Bez toho v trigonometrii - jak přejít silnici se zavázanýma očima. Někdy to funguje.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Při řešení mnoha matematické problémy, zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové úlohy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a kvadratické nerovnice, zlomkové rovnice a rovnice redukující na kvadratické. Princip úspěšného řešení každé ze zmíněných úloh je následující: je třeba si ujasnit, jaký typ úlohy se řeší, pamatovat na nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Podle vzhled rovnic někdy je obtížné určit její typ. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Vyjádřete goniometrickou funkci pomocí známých složek.

Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní substituce

Schéma řešení

Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.

Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) hřích (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2 Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, takže

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1. Použití všeho druhu trigonometrické vzorce, přiveďte tuto rovnici k rovnici řešené metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.

Významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně zaujímají goniometrické rovnice.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

• Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

• Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé polohy x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
• Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) získáte odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpověď je napsána takto:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Příklad 2 cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpověď: x \u003d π / 4 + πn.
• Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpověď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

• Chcete-li převést goniometrické rovnice, použijte algebraické transformace(faktoring, redukce homogenní členové atd.) a goniometrické identity.
• Příklad 5. Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hledání úhlů ze známých hodnot funkcí.

  • Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit, jak najít úhly ze známých hodnot funkcí. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
  • Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také roven 0,732.

• Odložte roztok na jednotkovém kruhu.

  • Řešení goniometrické rovnice můžete umístit na jednotkovou kružnici. Řešením goniometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
  • Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici jsou vrcholy čtverce.
  • Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného šestiúhelníku.

• Metody řešení goniometrických rovnic.

  • Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrickou funkci, řešte tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud tato rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
    • Metoda 1
  • Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
  • Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Příklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Příklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Danou goniometrickou rovnici převeďte na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak nahraďte tuto goniometrickou funkci nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atd.).
  • Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice vypadá takto:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice vypadá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnice se dvěma kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje rozsah funkce (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a poté najděte x pro t = tg x.

Při řešení mnoha matematické problémy, zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové problémy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a kvadratické nerovnice, zlomkové rovnice a rovnice redukující na kvadratické. Princip úspěšného řešení každé ze zmíněných úloh je následující: je třeba si ujasnit, jaký typ úlohy se řeší, pamatovat na nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Někdy je obtížné určit její typ podle vzhledu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Vyjádřete goniometrickou funkci pomocí známých složek.

Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní substituce

Schéma řešení

Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.

Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) hřích (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2 Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, takže

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1. Pomocí všemožných goniometrických vzorců přiveďte tuto rovnici k rovnici, kterou lze řešit metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.

Významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně zaujímají goniometrické rovnice.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!

blog.site, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.