ลอการิทึมของจำนวนบวก b ถึงฐาน a (a>0, a ไม่เท่ากับ 1) เป็นจำนวน c โดยที่ a c = b: บันทึก a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

โปรดทราบว่าไม่มีการกำหนดลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นบวก นอกจากนี้ ฐานของลอการิทึมต้องเป็นจำนวนบวก ไม่เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น ถ้าเรายกกำลังสอง -2 เราจะได้เลข 4 แต่ไม่ได้หมายความว่าฐาน -2 ลอการิทึมของ 4 เป็น 2

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บันทึก a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

สิ่งสำคัญคือโดเมนของคำจำกัดความของส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของสูตรนี้ต้องแตกต่างกัน ด้านซ้ายกำหนดไว้สำหรับ b>0, a>0 และ a ≠ 1 เท่านั้น ส่วนด้านขวากำหนดไว้สำหรับ b ใดๆ และไม่ขึ้นอยู่กับ a เลย ดังนั้นการประยุกต์ใช้ "เอกลักษณ์" ลอการิทึมพื้นฐานในการแก้สมการและอสมการสามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงใน DPV

ผลลัพธ์ที่ชัดเจนสองประการของคำจำกัดความของลอการิทึม

บันทึก a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
บันทึก a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

แน่นอน เมื่อยกกำลัง a ขึ้นเป็นเลขยกกำลังหนึ่ง เราจะได้เลขเดียวกัน และเมื่อยกกำลังเป็นศูนย์ เราจะได้เลขหนึ่ง

ลอการิทึมของผลคูณและลอการิทึมของผลหาร

บันทึก a (b c) = บันทึก a b + บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

บันทึก a b c = บันทึก a b − บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

ฉันต้องการเตือนเด็กนักเรียนเกี่ยวกับการใช้สูตรเหล่านี้โดยไม่คิดเมื่อแก้ไข สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน เมื่อใช้ "จากซ้ายไปขวา" ODZ จะแคบลง และเมื่อย้ายจากผลรวมหรือผลต่างของลอการิทึมไปยังลอการิทึมของผลคูณหรือผลหาร ODZ จะขยาย

อันที่จริง นิพจน์ล็อก a (f (x) g (x)) ถูกกำหนดไว้ในสองกรณี: เมื่อทั้งสองฟังก์ชันเป็นบวกอย่างเคร่งครัด หรือเมื่อ f(x) และ g(x) ทั้งคู่มีค่าน้อยกว่าศูนย์

การแปลงนิพจน์นี้เป็นผลรวมของล็อก a f (x) + บันทึก a g (x) เราถูกบังคับให้จำกัดเฉพาะในกรณีที่ f(x)>0 และ g(x)>0 เท่านั้น มีการจำกัดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ซึ่งเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้อย่างเด็ดขาด เนื่องจากอาจนำไปสู่การสูญเสียโซลูชัน มีปัญหาที่คล้ายกันสำหรับสูตร (6)

ระดับสามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

บันทึก a b p = p บันทึก a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

และอีกครั้งฉันต้องการเรียกความถูกต้อง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

บันทึก a (f (x) 2 = 2 บันทึก a f (x)

ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันถูกกำหนดอย่างชัดเจนสำหรับค่าทั้งหมดของ f(x) ยกเว้นศูนย์ ด้านขวาสำหรับ f(x)>0 เท่านั้น! การดึงพลังออกจากลอการิทึม เราทำให้ ODZ แคบลงอีกครั้ง ขั้นตอนย้อนกลับนำไปสู่การขยายช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ข้อสังเกตทั้งหมดนี้ไม่เพียงแต่ใช้กับกำลังของ 2 เท่านั้น แต่ยังใช้กับกำลังคู่ใดๆ

สูตรการย้ายฐานใหม่

บันทึก a b = บันทึก c b บันทึก c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

กรณีที่หายากเมื่อ ODZ ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลง หากคุณเลือกฐาน c อย่างชาญฉลาด (เป็นบวกและไม่เท่ากับ 1) สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่จะปลอดภัยอย่างยิ่ง

หากเราเลือกเลข b เป็นฐานใหม่ เราจะได้สูตรเฉพาะที่สำคัญ (8):

บันทึก a b = 1 บันทึก b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

ตัวอย่างง่ายๆ กับลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณ: lg2 + lg50
สารละลาย. lg2 + lg50 = lg100 = 2 เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของลอการิทึม (5) และนิยามของลอการิทึมฐานสิบ

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ: lg125/lg5
สารละลาย. lg125/lg5 = log 5 125 = 3 เราใช้สูตรการเปลี่ยนฐานใหม่ (8)

ตารางสูตรที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม

บันทึก a b = b (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a (b c) = บันทึก a b + บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

บันทึก a b c = บันทึก a b − บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

บันทึก a b p = p บันทึก a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

บันทึก a b = บันทึก c b บันทึก c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

บันทึก a b = 1 บันทึก b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

ฟังก์ชัน LN ใน Excel ออกแบบมาเพื่อคำนวณ ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลขและส่งกลับที่สอดคล้องกัน ค่าตัวเลข. ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมฐาน e (เลขออยเลอร์มีค่าประมาณ 2.718)

ฟังก์ชัน LOG ใน Excel ใช้เพื่อคำนวณลอการิทึมของตัวเลข ในขณะที่สามารถระบุฐานของลอการิทึมเป็นอาร์กิวเมนต์ที่สองของฟังก์ชันนี้ได้อย่างชัดเจน

ฟังก์ชัน LOG10 ใน Excel ออกแบบมาเพื่อคำนวณลอการิทึมของตัวเลขที่มีฐาน 10 (ลอการิทึมทศนิยม)

ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชัน LN, LOG และ LOG10 ใน Excel

นักโบราณคดีพบซากสัตว์ดึกดำบรรพ์ เพื่อกำหนดอายุของพวกเขาจึงตัดสินใจใช้วิธีการวิเคราะห์ด้วยเรดิโอคาร์บอน จากการวัดพบว่าเนื้อหาของไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี C 14 อยู่ที่ 17% ของปริมาณที่มักพบในสิ่งมีชีวิต คำนวณอายุของซากศพถ้าครึ่งชีวิตของไอโซโทปของคาร์บอน 14 คือ 5760 ปี

มุมมองของตารางเดิม:

เราใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อแก้ปัญหา:

สูตรนี้ได้มาจากสูตร x=t*(lgB-lgq)/lgp โดยที่:

• q คือปริมาณของไอโซโทปคาร์บอนในช่วงเวลาเริ่มต้น (ในขณะที่สัตว์ตาย) แสดงเป็นหน่วย (หรือ 100%)
• B คือปริมาณของไอโซโทป ณ เวลาที่วิเคราะห์ซาก
• t คือครึ่งชีวิตของไอโซโทป
• p คือค่าตัวเลขที่ระบุจำนวนครั้งที่ปริมาณของสาร (ไอโซโทปคาร์บอน) เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง t

จากการคำนวณเราได้รับ:

ซากที่พบมีอายุเกือบ 15,000 ปี



เครื่องคำนวณเงินฝากพร้อมดอกเบี้ยทบต้นใน Excel

ลูกค้าธนาคารฝากเงินจำนวน 50,000 รูเบิล ด้วยอัตราดอกเบี้ย 14.5% (ดอกเบี้ยทบต้น) กำหนดระยะเวลาที่จะใช้เวลาเพิ่มเป็นสองเท่าของเงินลงทุน?

ความจริงที่น่าสนใจ! เพื่อแก้ปัญหานี้อย่างรวดเร็ว คุณสามารถใช้วิธีการเชิงประจักษ์ ประมาณการคร่าวๆเงื่อนไข (เป็นปี) เพื่อเพิ่มเงินลงทุนสองเท่าที่ลงทุนด้วยดอกเบี้ยทบต้น ที่เรียกว่ากฎ 72 (หรือ 70 หรือกฎ 69) ในการทำเช่นนี้คุณต้องใช้สูตรง่ายๆ - เลข 72 หารด้วยอัตราดอกเบี้ย: 72 / 14.5 \u003d 4.9655 ปี ข้อเสียเปรียบหลักของกฎ "เวทมนตร์" หมายเลข 72 คือข้อผิดพลาด ยิ่งอัตราดอกเบี้ยสูง ข้อผิดพลาดในกฎข้อ 72 ก็จะยิ่งสูงขึ้น ตัวอย่างเช่น ด้วยอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี ข้อผิดพลาดในปีต่างๆ จะสูงถึง 0.72 (และคิดเป็นเปอร์เซ็นต์มากถึง 28%)

เราจะใช้ฟังก์ชัน LOG เพื่อคำนวณระยะเวลาของการลงทุนสองเท่าอย่างแม่นยำ ประการหนึ่ง ลองตรวจสอบข้อผิดพลาดของกฎ 72 ที่อัตราดอกเบี้ย 14.5% ต่อปี

มุมมองของตารางเดิม:

ในการคำนวณมูลค่าในอนาคตของการลงทุนด้วยอัตราดอกเบี้ยที่ทราบ คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้: S=A(100%+n%) t โดยที่:

• S คือจำนวนเงินที่คาดหวังเมื่อสิ้นสุดระยะเวลา
• A คือจำนวนเงินฝาก
• n - อัตราดอกเบี้ย
• t คือระยะการคงเงินฝากไว้ในธนาคาร

สำหรับตัวอย่างนี้ สูตรนี้สามารถเขียนเป็น 100000=50000*(100%+14.5%) t หรือ 2=(100%+14.5%) t จากนั้น หากต้องการหา t คุณสามารถเขียนสมการใหม่เป็น t=log (114.5%) 2 หรือ t=log 1.1452

ในการหาค่าของ t เราเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับดอกเบี้ยทบต้นของเงินฝากใน Excel:

บันทึก(B4/B2;1+B3)

คำอธิบายของอาร์กิวเมนต์:

• B4/B2 - อัตราส่วนของจำนวนที่คาดไว้และจำนวนเริ่มต้นซึ่งเป็นตัวบ่งชี้ของลอการิทึม
• 1+B3 - ดอกเบี้ยที่ได้รับ (ฐานของลอการิทึม)

จากการคำนวณเราได้รับ:

เงินฝากจะเพิ่มเป็นสองเท่าหลังจากผ่านไป 5 ปีเล็กน้อย ในการระบุปีและเดือนอย่างแม่นยำ เราใช้สูตร:

ฟังก์ชัน SELECT จะละทิ้งทุกอย่างที่อยู่หลังจุดทศนิยมในจำนวนที่เป็นเศษส่วน คล้ายกับฟังก์ชัน INTEGER ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชัน SELECT และ WHOLE มีเฉพาะในการคำนวณที่มีเศษส่วนเป็นลบเท่านั้น นอกจากนี้ OTBR ยังมีอาร์กิวเมนต์ที่สองซึ่งคุณสามารถระบุจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่จะเว้นได้ ดังนั้น ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้หนึ่งในสองฟังก์ชันนี้ตามที่ผู้ใช้เลือก

ผ่านไป 5 ปี 1 เดือน 12 วัน ตอนนี้ให้เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แน่นอนกับกฎ 72 และกำหนดจำนวนข้อผิดพลาด สำหรับตัวอย่างนี้ สูตรคือ:

เราต้องคูณค่าของเซลล์ B3 ด้วย 100 เนื่องจากค่าปัจจุบันคือ 0.145 ซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ผลที่ตามมา:

หลังจากที่เราคัดลอกสูตรจากเซลล์ B6 ไปยังเซลล์ B8 และในเซลล์ B9 แล้ว:

ลองคำนวณเงื่อนไขข้อผิดพลาด:

จากนั้นในเซลล์ B10 ให้คัดลอกสูตรจากเซลล์ B6 อีกครั้ง เป็นผลให้เราได้รับความแตกต่าง:

และสุดท้าย ลองคำนวณความแตกต่างของเปอร์เซ็นต์เพื่อตรวจสอบว่าขนาดของส่วนเบี่ยงเบนเปลี่ยนแปลงอย่างไร และการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ยมีนัยสำคัญอย่างไรที่ส่งผลต่อระดับความแตกต่างระหว่างกฎ 72 และข้อเท็จจริง:

ตอนนี้เพื่อให้เห็นภาพการพึ่งพาตามสัดส่วนของการเพิ่มขึ้นของข้อผิดพลาดและการเพิ่มขึ้นของระดับอัตราดอกเบี้ย เราจะเพิ่มอัตราดอกเบี้ยเป็น 100% ต่อปี:

เมื่อมองแวบแรก ความแตกต่างของข้อผิดพลาดนั้นไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับ 14.5% ต่อปี - เพียงประมาณ 2 เดือนและ 100% ต่อปี - ภายใน 3 เดือน แต่ส่วนแบ่งของข้อผิดพลาดในระยะเวลาคืนทุนนั้นมากกว่า ¼ หรือมากกว่า 28%

ลองสร้างกราฟอย่างง่ายสำหรับการวิเคราะห์ด้วยภาพว่าการพึ่งพาการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยและเปอร์เซ็นต์ของข้อผิดพลาดของกฎ 72 มีความสัมพันธ์กับข้อเท็จจริงอย่างไร:

ยิ่งอัตราดอกเบี้ยสูงเท่าไร กฎ 72 ก็ยิ่งแย่ลงเท่านั้น ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: สูงถึง 32.2% ต่อปี คุณสามารถใช้กฎ 72 ได้อย่างปลอดภัย จากนั้น ข้อผิดพลาดจะน้อยกว่า 10 เปอร์เซ็นต์ มันจะทำถ้าแม่นยำ แต่ไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อนเกี่ยวกับระยะเวลาคืนทุนของการลงทุน 2 เท่า

เครื่องคำนวณดอกเบี้ยทบต้นการลงทุนพร้อมตัวพิมพ์ใหญ่ใน Excel

ลูกค้าธนาคารได้รับการเสนอให้ทำการฝากเงินโดยมีจำนวนเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (การแปลงเป็นทุนพร้อมดอกเบี้ยทบต้น) อัตราดอกเบี้ยอยู่ที่ 13% ต่อปี กำหนดว่าจะใช้เวลาเพิ่มเป็นสามเท่าของจำนวนเงินเริ่มต้น (250,000 รูเบิล) ควรเพิ่มอัตราดอกเบี้ยเท่าไรเพื่อลดเวลารอคอยลงครึ่งหนึ่ง?

หมายเหตุ: เนื่องจากในตัวอย่างนี้ เราเพิ่มเงินลงทุนเป็นสามเท่า กฎ 72 จึงใช้ไม่ได้ที่นี่

มุมมองของตารางข้อมูลต้นฉบับ:

การเติบโตอย่างต่อเนื่องสามารถอธิบายได้ด้วยสูตร ln(N)=p*t โดยที่:

• N คืออัตราส่วนของจำนวนเงินฝากขั้นสุดท้ายต่อจำนวนเริ่มต้น
• p คืออัตราดอกเบี้ย
• t คือจำนวนปีที่ผ่านไปนับตั้งแต่ทำการฝากเงิน

จากนั้น t=ln(N)/p จากความเท่าเทียมกันนี้ เราเขียนสูตรใน Excel:

คำอธิบายของอาร์กิวเมนต์:

• B3/B2 - อัตราส่วนของจำนวนเงินฝากสุดท้ายและเริ่มต้น
• B4 - อัตราดอกเบี้ย

จะใช้เวลาเกือบ 8.5 ปีในการเพิ่มจำนวนเงินฝากเริ่มต้นสามเท่า ในการคำนวณอัตราที่จะลดเวลารอลงครึ่งหนึ่ง เราใช้สูตร:

LN(B3/B2)/(0.5*B5)

ผลลัพธ์:

นั่นคือจำเป็นต้องเพิ่มอัตราดอกเบี้ยเริ่มต้นเป็นสองเท่า

คุณสมบัติของการใช้ฟังก์ชัน LN, LOG และ LOG10 ใน Excel

ฟังก์ชัน LN มีไวยากรณ์ดังต่อไปนี้:

LN (หมายเลข)

• number เป็นอาร์กิวเมนต์บังคับเพียงตัวเดียวที่ยอมรับจำนวนจริงจากช่วง ค่าบวก.

หมายเหตุ:

1. ฟังก์ชัน LN เป็นฟังก์ชันผกผันของ EXP หลังส่งคืนค่าที่ได้รับโดยการเพิ่มจำนวน e เป็นกำลังที่ระบุ ฟังก์ชัน LN ระบุกำลังที่ต้องยกเลข e (ฐาน) เพื่อให้ได้เลขยกกำลังลอการิทึม (อาร์กิวเมนต์ number)
2. ถ้าอาร์กิวเมนต์ number เป็นตัวเลขในช่วงของค่าลบหรือศูนย์ ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน LN คือรหัสข้อผิดพลาด #NUM!

ไวยากรณ์ของฟังก์ชัน LOG เป็นดังนี้:

LOG(ตัวเลข ;[ฐาน])

คำอธิบายของอาร์กิวเมนต์:

• ตัวเลข - อาร์กิวเมนต์บังคับที่แสดงลักษณะค่าตัวเลขของเลขชี้กำลังลอการิทึม นั่นคือ ตัวเลขที่ได้รับจากการเพิ่มฐานของลอการิทึมเป็นกำลังหนึ่ง ซึ่งจะคำนวณโดยฟังก์ชัน LOG
• [ฐาน] เป็นอาร์กิวเมนต์ทางเลือกที่แสดงค่าตัวเลขของฐานของลอการิทึม หากไม่ได้ระบุอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน จะถือว่าลอการิทึมเป็นทศนิยม (นั่นคือ ฐานคือ 10)

หมายเหตุ:

1. แม้ว่าผลลัพธ์ของฟังก์ชัน LOG จะเป็นจำนวนลบได้ (เช่น ฟังก์ชัน =LOG(2;0.25) จะส่งกลับ -0.5) อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันนี้ต้องนำมาจากช่วงของค่าบวก ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนลบ ฟังก์ชัน LOG จะส่งกลับรหัสข้อผิดพลาด #NUM!
2. ถ้า 1 ถูกส่งผ่านเป็นอาร์กิวเมนต์ [ฐาน] ฟังก์ชัน LOG จะส่งคืนรหัสข้อผิดพลาด #DIV/0! เนื่องจากผลลัพธ์ของการยกกำลัง 1 ใดๆ จะเหมือนกันและเท่ากับ 1 เสมอ

ฟังก์ชัน LOG10 มีสัญกรณ์ไวยากรณ์ดังต่อไปนี้:

LOG10(หมายเลข)

• number เป็นอาร์กิวเมนต์เดียวและจำเป็น ซึ่งมีความหมายเหมือนกับอาร์กิวเมนต์ที่มีชื่อเดียวกันของฟังก์ชัน LN และ LOG

หมายเหตุ: ถ้ามีการส่งผ่านตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ จำนวนลบหรือ 0 ฟังก์ชัน LOG10 จะส่งคืนรหัสข้อผิดพลาด #NUM!

ลอการิทึมของเลข b ถึงฐาน a คือเลขยกกำลังที่คุณต้องยกเลข a เพื่อให้ได้เลข b

ถ้า แล้ว .

ลอการิทึมเป็นอย่างมาก ปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเนื่องจากแคลคูลัสลอการิทึมไม่เพียงช่วยแก้ปัญหาเท่านั้น สมการเลขชี้กำลังแต่ยังทำงานร่วมกับตัวบ่งชี้ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม รวมเข้าด้วยกันและนำไปสู่การคำนวณในรูปแบบที่ยอมรับได้มากขึ้น

ติดต่อกับ

คุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่นความจริงที่ว่า หมายความว่า:

ควรสังเกตว่าเมื่อแก้ปัญหาเฉพาะคุณสมบัติของลอการิทึมอาจมีความสำคัญและมีประโยชน์มากกว่ากฎสำหรับการทำงานกับพลัง

นี่คือเอกลักษณ์บางอย่าง:

นี่คือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตหลัก:

;

.

ความสนใจ!สามารถมีอยู่สำหรับ x>0, x≠1, y>0 เท่านั้น

ลองทำความเข้าใจกับคำถามว่าลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร แยกความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นตัวแทนของสองประเภท- ตัวแรกมีเลขฐาน "10" และเรียกว่า "ลอการิทึมฐานสิบ" ประการที่สองเรียกว่าเป็นธรรมชาติ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือเลข e เกี่ยวกับเขาที่เราจะพูดถึงรายละเอียดในบทความนี้

ชื่อ:

• lg x - ทศนิยม;
• ln x - เป็นธรรมชาติ

เมื่อใช้เอกลักษณ์ เราจะเห็นว่า ln e = 1 และ lg 10=1

กราฟบันทึกธรรมชาติ

เราสร้างกราฟของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้มาตรฐาน วิธีคลาสสิกตามจุด หากต้องการ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าเรากำลังสร้างฟังก์ชันอย่างถูกต้องหรือไม่โดยการตรวจสอบฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม คุณควรเรียนรู้วิธีสร้าง "ด้วยตนเอง" เพื่อให้ทราบวิธีการคำนวณลอการิทึมอย่างถูกต้อง

ฟังก์ชัน: y = บันทึก x มาเขียนตารางจุดที่กราฟจะผ่าน:

ให้เราอธิบายว่าทำไมเราถึงเลือกค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์ x มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับตัวตน: สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ ข้อมูลประจำตัวนี้จะมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้จุดอ้างอิงห้าจุด:

;

;

.

;

.

ดังนั้น การนับลอการิทึมธรรมชาติจึงเป็นงานที่ค่อนข้างง่าย ยิ่งกว่านั้น ยังทำให้การคำนวณการดำเนินการด้วยกำลังง่ายขึ้น ทำให้กลายเป็น การคูณปกติ

เมื่อสร้างกราฟตามจุดแล้ว เราจะได้กราฟโดยประมาณ:

โดเมนของลอการิทึมธรรมชาติ (นั่นคือ ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ X) คือตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าศูนย์

ความสนใจ!โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติรวมถึงเท่านั้น ตัวเลขที่เป็นบวก! ขอบเขตไม่รวม x=0 สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของลอการิทึม

ช่วงของค่า (เช่น ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของฟังก์ชัน y = ln x) คือตัวเลขทั้งหมดในช่วงเวลา

ขีด จำกัด บันทึกธรรมชาติ

เมื่อศึกษากราฟ คำถามก็เกิดขึ้น - ฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อ y<0.

เห็นได้ชัดว่า กราฟของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะตัดแกน y แต่จะไม่สามารถทำได้ เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติของ x<0 не существует.

ขีดจำกัดตามธรรมชาติ บันทึกสามารถเขียนได้ดังนี้:

สูตรสำหรับเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

การจัดการกับลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายกว่าการจัดการกับลอการิทึมที่มีฐานโดยพลการ นั่นเป็นเหตุผลที่เราจะพยายามเรียนรู้วิธีลดลอการิทึมใดๆ ให้เป็นค่าธรรมชาติ หรือแสดงในฐานโดยพลการผ่านค่าลอการิทึมธรรมชาติ

เริ่มจากเอกลักษณ์ลอการิทึม:

จากนั้นตัวเลขหรือตัวแปร y สามารถแสดงเป็น:

โดยที่ x คือจำนวนใดๆ (บวกตามคุณสมบัติของลอการิทึม)

นิพจน์นี้สามารถแปลงเป็นลอการิทึมได้ทั้งสองด้าน ลองทำสิ่งนี้กับฐาน z ตามอำเภอใจ:

ลองใช้คุณสมบัติ (เฉพาะแทน "กับ" เรามีนิพจน์):

จากที่นี่เราได้รับสูตรสากล:

.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า z=e ดังนั้น:

.

เราสามารถแสดงลอการิทึมเป็นฐานโดยพลการผ่านอัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติสองตัว

เราแก้ปัญหา

เพื่อให้นำทางในลอการิทึมธรรมชาติได้ดีขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่างปัญหาต่างๆ

ภารกิจที่ 1. จำเป็นต้องแก้สมการ ln x = 3

สารละลาย:การใช้นิยามของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราจะได้:

ภารกิจที่ 2. แก้สมการ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3

วิธีแก้ไข: ใช้นิยามของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราจะได้:

.

เราใช้นิยามของลอการิทึมอีกครั้ง:

.

ดังนั้น:

.

คุณสามารถคำนวณคำตอบโดยประมาณหรือทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้

ภารกิจที่ 3แก้สมการ

สารละลาย:มาแทนกัน: t = ln x จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

.

เรามีสมการกำลังสอง มาหาความแตกต่างกัน:

รากแรกของสมการ:

.

รากที่สองของสมการ:

.

จำไว้ว่าเราทำการแทนที่ t = ln x เราได้รับ:

ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ปริมาณลอการิทึมเป็นเรื่องปกติมาก ไม่น่าแปลกใจเพราะจำนวน e - มักจะสะท้อนถึงอัตราการเติบโตของค่าเลขชี้กำลัง

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรมและทฤษฎีคอมพิวเตอร์ ลอการิทึมเป็นเรื่องปกติทั่วไป ตัวอย่างเช่น เพื่อเก็บ N บิตในหน่วยความจำ

ในทฤษฎีเศษส่วนและมิติ ลอการิทึมถูกใช้อย่างต่อเนื่อง เนื่องจากมิติของเศษส่วนถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือเท่านั้น

ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ไม่มีส่วนที่ไม่ได้ใช้ลอการิทึม การกระจายตัวของบรรยากาศ หลักการทั้งหมดของอุณหพลศาสตร์ทางสถิติ สมการ Tsiolkovsky และอื่นๆ เป็นกระบวนการที่สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้ลอการิทึมเท่านั้น

ในวิชาเคมี ลอการิทึมใช้ในสมการ Nernst ซึ่งเป็นคำอธิบายของกระบวนการรีดอกซ์

น่าอัศจรรย์แม้แต่ในดนตรีเพื่อค้นหาจำนวนส่วนของอ็อกเทฟก็ยังใช้ลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y=ln x คุณสมบัติของมัน

การพิสูจน์คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติ

คำแนะนำ

เขียนนิพจน์ลอการิทึมที่กำหนด หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมของ 10 สัญกรณ์จะถูกทำให้สั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b เป็นลอการิทึมทศนิยม ถ้าลอการิทึมมีเลข e เป็นฐาน นิพจน์จะถูกเขียน: ln b คือลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของ any คือพลังที่ต้องยกเลขฐานเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชัน และเพิ่มผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อหาอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง และเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง คูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ในการหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องนำผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร นำผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร แล้วหาร ทั้งหมดนี้โดยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ก็จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) จากนั้น y"(x)=y"(u)*v"(x)

เมื่อใช้ข้อมูลข้างต้น คุณสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชันได้เกือบทุกชนิด ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ที่จุด ให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) คุณต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) คำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น สิ่งนี้จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์คงที่

แล้วสมการอตรรกยะกับสมการอตรรกยะต่างกันอย่างไร? ถ้าตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ สมการนั้นจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีการยกทั้งสองข้าง สมการเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ ขั้นตอนแรกคือการกำจัดสัญญาณ ในทางเทคนิควิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการ v(2x-5)=v(4x-7) เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง คุณจะได้ 2x-5=4x-7 สมการดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก x=1. แต่จะไม่ได้รับหมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนหน่วยในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล นั่นคือ ค่าดังกล่าวไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากภายนอก ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองส่วน และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบในสมการเดิม

พิจารณาอีกข้อหนึ่ง
2x+vx-3=0
แน่นอนสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้า ทรานสเฟอร์ คอมพาวด์ สมการที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ ไปทางขวา แล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการเหตุผลที่เป็นผลลัพธ์และราก แต่อีกอันที่สง่างามกว่า ป้อนตัวแปรใหม่ vx=วาย ดังนั้น คุณจะได้สมการเช่น 2y2+y-3=0 นั่นคือสมการกำลังสองตามปกติ ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ถัดไปแก้สอง สมการ vx=1; vx \u003d -3/2 สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมเกี่ยวกับความจำเป็นในการตรวจสอบราก

การแก้ตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย สิ่งนี้ต้องการการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด งานจะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณแบบย่อด้วยพีชคณิต (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีสูตรตรีโกณมิติมากมายที่มีเอกลักษณ์เหมือนกัน

อันที่จริง กำลังสองของผลบวกของพจน์สองเท่ากับกำลังสองของพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของพจน์แรกและพจน์ที่สอง บวกกำลังสองของพจน์ที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสอง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำจากตำราการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน ดังที่คุณทราบ คำตอบของอินทิกรัลที่แน่นอนคือฟังก์ชันที่อนุพันธ์จะให้อินทิกรัล ฟังก์ชันนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ ตามหลักการนี้ ปริพันธ์พื้นฐานจะถูกสร้างขึ้น
กำหนดโดยรูปแบบของอินทิกรัลซึ่งอินทิกรัลของตารางที่เหมาะสมในกรณีนี้ ไม่สามารถระบุได้ทันที บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้ก็ต่อเมื่อมีการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น

วิธีการแทนตัวแปร

ถ้าอินทิกแรนด์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนาม ให้ลองใช้เมธอดการเปลี่ยนตัวแปร ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของอินทิกรันด์ด้วยตัวแปรใหม่ ตามอัตราส่วนระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม โดยการสร้างความแตกต่างของนิพจน์นี้ ให้ค้นหาความแตกต่างใหม่ใน ดังนั้น คุณจะได้รูปแบบใหม่ของอินทิกรัลแบบเก่า แบบใกล้เคียง หรือแม้แต่แบบตารางใดๆ

คำตอบของปริพันธ์ชนิดที่สอง

ถ้าอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลประเภทที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎสำหรับการย้ายจากอินทิกรัลเหล่านี้ไปเป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคืออัตราส่วน Ostrogradsky-Gauss กฎนี้ทำให้สามารถส่งผ่านจากการไหลของโรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปยังอินทิกรัลสามส่วนเหนือความแตกต่างของสนามเวกเตอร์ที่กำหนดได้

การทดแทนขีดจำกัดของการรวม

หลังจากพบแอนติเดริเวทีฟแล้ว จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกัน ขั้นแรก ให้แทนค่าของขีดจำกัดบนลงในนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้รับจำนวนหนึ่ง ถัดไป ให้ลบจำนวนอื่นออกจากจำนวนผลลัพธ์ ซึ่งเป็นค่าจำกัดล่างที่เป็นผลลัพธ์ของแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในลิมิตอินทิเกรตมีค่าเป็นอนันต์ เมื่อแทนที่มันในฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ จำเป็นต้องไปที่ลิมิตและค้นหาสิ่งที่นิพจน์มีแนวโน้ม
ถ้าอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดทางเรขาคณิตของการอินทิกรัลเพื่อที่จะเข้าใจวิธีการคำนวณอินทิกรัล ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ลิมิตของการอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาณที่จะอินทิเกรต