ในวิชาคณิตศาสตร์ รากสามารถเป็นกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือมีเลขชี้กำลังอื่นๆ ซึ่งเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายราก นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่านิพจน์รูท การเติมรูตนั้นคล้ายกับการเติมเทอม นิพจน์พีชคณิตนั่นคือต้องมีคำจำกัดความของรากที่คล้ายคลึงกัน

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 2: ค้นหาราก

การกำหนดรูตนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายราก () หมายความว่าจำเป็นต้องแยกรากในระดับหนึ่งออกจากนิพจน์นี้

• รูตแสดงด้วยเครื่องหมาย
• ดัชนี (ระดับ) ของรูทเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 27 เขียนเป็น: (27)
• หากไม่มีเลขชี้กำลัง (ดีกรี) ของราก เลขชี้กำลังจะเท่ากับ 2 นั่นคือรากที่สอง (หรือรากของดีกรีที่สอง)
• ตัวเลขที่เขียนก่อนเครื่องหมายรูทเรียกว่าตัวคูณ (นั่นคือ ตัวเลขนี้คูณด้วยรูท) เช่น 5 (2)
• หากไม่มีตัวประกอบอยู่ข้างหน้ารูท มันจะเท่ากับ 1 (จำได้ว่าจำนวนใดๆ ที่คูณด้วย 1 เท่ากับตัวมันเอง)
• หากคุณกำลังทำงานกับรูทเป็นครั้งแรก ให้จดบันทึกที่เหมาะสมเกี่ยวกับตัวคูณและเลขชี้กำลังของรูท เพื่อไม่ให้สับสนและเข้าใจจุดประสงค์ของมันมากขึ้น

จำไว้ว่ารากใดพับได้และรากใดพับไม่ได้เช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเพิ่มพจน์ที่แตกต่างกันของนิพจน์ เช่น 2a + 2b 4ab คุณไม่สามารถเพิ่มรากที่แตกต่างกันได้

คุณไม่สามารถเพิ่มรากด้วยนิพจน์รากที่แตกต่างกันได้ เช่น (2) + (3) (5) แต่คุณสามารถเพิ่มตัวเลขภายใต้รากเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น (2 + 3) = (5) (รากที่สองของ 2 ประมาณ 1.414 รากที่สองของ 3 ประมาณ 1.732 และรากที่สองของ 5 ประมาณ 2.236 ).

คุณไม่สามารถบวกรากด้วยนิพจน์รากเดียวกันได้ แต่เลขชี้กำลังต่างกัน เช่น (64) + (64) (ผลรวมนี้ไม่เท่ากับ (64) เนื่องจากรากที่สองของ 64 คือ 8 รากที่สามของ 64 คือ 4, 8 + 4 = 12 ซึ่งมากกว่ารากที่ห้าของ 64 มาก ซึ่งมีค่าประมาณ 2.297)

ส่วนที่ 2 ของ 2: ลดความซับซ้อนและเพิ่มราก

ระบุและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกันรากที่คล้ายกันคือรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันและมีนิพจน์รากเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• ขั้นแรก เขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันอยู่ในอนุกรม
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• จากนั้นเขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันและนิพจน์รากเดียวกันอยู่ในอนุกรม
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

ลดความซับซ้อนของรากของคุณเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกนิพจน์ราก (ถ้าเป็นไปได้) ออกเป็นสองปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกนำออกมาจากใต้ราก ในกรณีนี้ จำนวนที่แสดงผลและปัจจัยรากจะถูกคูณ

ในตัวอย่างข้างต้น แยก 50 เป็น 2*25 และหมายเลข 32 เป็น 2*16 จาก 25 และ 16 คุณสามารถแยกรากที่สอง (ตามลำดับ 5 และ 4) และนำ 5 และ 4 ออกจากใต้ราก คูณด้วยตัวประกอบ 2 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้น คุณจะได้นิพจน์แบบง่าย: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

ตัวเลข 81 สามารถแยกตัวประกอบเป็น 3 * 27 และรากที่สามของ 3 สามารถนำมาจากหมายเลข 27 ได้ หมายเลข 3 นี้สามารถดึงออกมาจากใต้รากได้ ดังนั้น คุณจะได้นิพจน์ที่ง่ายยิ่งขึ้นไปอีก: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

เพิ่มตัวประกอบของรากที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา มีสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 2 (เพิ่มได้) และสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 3 (เพิ่มได้) ที่ รากลูกบาศก์ใน 3 ไม่มีรากดังกล่าว

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

นิพจน์ตัวย่อสุดท้าย: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• ไม่มีกฎที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับลำดับที่รากถูกเขียนในนิพจน์ ดังนั้น คุณสามารถเขียนรากในลำดับจากน้อยไปมากของเลขชี้กำลังและในลำดับจากน้อยไปมากของนิพจน์ราก

โปรดทราบ วันนี้วันเดียวเท่านั้น!

น่าสนใจทั้งหมด

ตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทมักจะรบกวนการแก้สมการจึงไม่สะดวกในการทำงานกับมัน แม้ว่าจะยกกำลัง เศษส่วน หรือไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มได้ในระดับหนึ่ง เราสามารถลองหาค่าจาก...

รากของจำนวน x คือจำนวนที่เมื่อยกกำลังของรากจะเท่ากับ x ตัวคูณคือจำนวนที่ถูกคูณ นั่นคือ ในนิพจน์เช่น x*ª-&radic-y คุณต้องเติม x ใต้รูท คำสั่งที่ 1 กำหนดระดับ ...

หากนิพจน์รูทมีชุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พร้อมตัวแปร ดังนั้นในบางครั้ง อันเป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่าย จึงเป็นไปได้ที่จะได้ค่าที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งส่วนหนึ่งสามารถนำออกจากใต้รูทได้ การทำให้เข้าใจง่ายนี้มีประโยชน์...

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีรากขององศาต่างๆ สามารถลดความซับซ้อนของการคำนวณในฟิสิกส์และเทคโนโลยีได้อย่างมากและทำให้มีความแม่นยำมากขึ้น เมื่อคูณและหารจะสะดวกกว่าที่จะไม่แยกรากออกจากแต่ละปัจจัยหรือตัวหารและตัวหาร แต่ก่อนอื่น ...

สแควร์รูทของจำนวน x คือจำนวน a ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้วจะได้ตัวเลข x: a * a = a^2 = x, x = a เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการลบบนรากที่สองได้ คำแนะนำ...

รากในวิชาคณิตศาสตร์สามารถมีความหมายได้สองความหมาย: มันคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และแต่ละคำตอบของสมการ พีชคณิต พาราเมตริก ดิฟเฟอเรนเชียล หรืออื่นๆ คำสั่งที่ 1 รากของดีกรีที่ n ของจำนวน a เป็นตัวเลขที่ ...

เมื่อดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบต่างๆ กับราก มักจะจำเป็นต้องแปลงนิพจน์รากศัพท์ได้ เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น อาจจำเป็นต้องเอาตัวประกอบออกจากเครื่องหมายกรณฑ์หรือวางไว้ข้างใต้ การกระทำนี้สามารถ...

รูทคือไอคอนที่แสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการค้นหาตัวเลขดังกล่าว การเพิ่มกำลังที่ระบุก่อนเครื่องหมายรูตควรให้ตัวเลขที่ระบุใต้เครื่องหมายนี้ บ่อยครั้งในการแก้ปัญหาที่มี ...

เครื่องหมายของรากในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของราก ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากเรียกว่านิพจน์ราก ในกรณีที่ไม่มีเลขชี้กำลัง รูทจะเป็นกำลังสอง มิฉะนั้น ตัวเลขจะระบุ ...

รากเลขคณิต องศาที่ nจากจำนวนจริง a เรียกว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบ x องศาที่ nซึ่งเท่ากับจำนวน a. เหล่านั้น. (n) a = x, x^n = a. มีอยู่ วิธีต่างๆการบวกรากเลขคณิตและจำนวนตรรกยะ ...

รากที่ n ของจำนวนจริง a คือจำนวน b โดยที่ความเท่าเทียมกัน b^n = a เป็นจริง มีรากดีกรีคี่สำหรับลบและ ตัวเลขบวก, และรากของดีกรีที่เท่ากันมีไว้สำหรับคนที่เป็นบวกเท่านั้น…

เนื้อหา:

การบวกและการลบรากที่สองเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีนิพจน์รากเหมือนกัน นั่นคือ คุณสามารถเพิ่มหรือลบ 2√3 และ 4√3 ได้ แต่ไม่ใช่ 2√3 และ 2√5 คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์รูทเพื่อแปลงเป็นรูทด้วยนิพจน์รากเดียวกัน (แล้วบวกหรือลบออก)

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 การทำความเข้าใจพื้นฐาน

1. 1 (นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของรูท)เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกจำนวนรูทออกเป็นสองปัจจัย ตัวหนึ่งเป็นตัวเลขกำลังสอง (ตัวเลขที่สามารถแยกรูททั้งหมดได้ เช่น 25 หรือ 9) หลังจากนั้น ให้ทำการรูทของเลขกำลังสองแล้วจดค่าที่พบไว้ด้านหน้าเครื่องหมายรูท (ปัจจัยที่สองจะยังคงอยู่ใต้เครื่องหมายรูท) ตัวอย่างเช่น 6√50 - 2√8 + 5√12 ตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าเครื่องหมายรูทคือตัวประกอบของรูทที่สอดคล้องกัน และตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทคือหมายเลขรูท (นิพจน์) นี่คือวิธีแก้ปัญหานี้:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2 ที่นี่คุณแยก 50 เป็นตัวประกอบ 25 และ 2; จากนั้นจาก 25 คุณแยกรูทเท่ากับ 5 และดึง 5 ออกจากใต้รูท จากนั้นคูณ 5 ด้วย 6 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 30√2
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2 ที่นี่คุณแยก 8 เป็นตัวประกอบ 4 และ 2; จากนั้นจาก 4 คุณแยกรูทเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท จากนั้นคุณคูณ 2 ด้วย 2 (ตัวประกอบที่รูท) และคุณจะได้ 4√2
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3 ที่นี่คุณแยก 12 เป็นตัวประกอบ 4 และ 3; จากนั้นจาก 4 คุณแยกรูทเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท จากนั้นคุณคูณ 2 ด้วย 5 (ตัวประกอบที่รูท) และคุณจะได้ 10√3
2. 2 ขีดเส้นใต้รากที่มีนิพจน์รากเหมือนกันในตัวอย่างของเรา นิพจน์แบบง่ายคือ: 30√2 - 4√2 + 10√3 ในนั้นคุณต้องขีดเส้นใต้คำแรกและคำที่สอง ( 30√2 และ 4√2 ) เนื่องจากมีจำนวนรูทเท่ากัน 2 เฉพาะรากดังกล่าวเท่านั้นที่คุณสามารถเพิ่มและลบได้
3. 3 หากคุณได้รับนิพจน์ที่มีพจน์จำนวนมาก ซึ่งส่วนมากมีนิพจน์รุนแรงเหมือนกัน ให้ใช้เครื่องหมายขีดล่างเดี่ยว สองเท่า และสามขีดเพื่อระบุเงื่อนไขดังกล่าว เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ไขนิพจน์นี้
4. 4 ที่รูทซึ่งมีนิพจน์รากเหมือนกัน ให้บวกหรือลบตัวประกอบที่อยู่หน้าเครื่องหมายรูต และปล่อยให้นิพจน์รากเหมือนกัน (อย่าบวกหรือลบจำนวนราก!) แนวคิดคือการแสดงจำนวนรากที่มีนิพจน์รุนแรงบางอย่างอยู่ในนิพจน์นี้
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

ส่วนที่ 2 การฝึกปฏิบัติด้วยตัวอย่าง

1. 1 ตัวอย่างที่ 1: √(45) + 4√5.
   • ลดความซับซ้อน √(45) ตัวประกอบ 45: √(45) = √(9 x 5)
   • ย้าย 3 ออกจากใต้ราก (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • ตอนนี้เพิ่มตัวประกอบที่ราก: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 ตัวอย่างที่ 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • ลดความซับซ้อน 6√(40) ตัวประกอบ 40: 6√(40) = 6√(4 x 10)
   • ย้าย 2 ออกจากใต้ราก (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • คูณตัวประกอบก่อนรูทและรับ 12√10
   • ตอนนี้นิพจน์สามารถเขียนเป็น 12√10 - 3√(10) + √5 เนื่องจากสองเทอมแรกมีจำนวนรากเท่ากัน คุณจึงสามารถลบเทอมที่สองออกจากตัวแรกได้ และปล่อยให้ตัวแรกไม่เปลี่ยนแปลง
   • คุณจะได้รับ: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5
3. 3 ตัวอย่างที่ 3 9√5 -2√3 - 4√5. ในที่นี้ ไม่มีนิพจน์รุนแรงใดๆ แยกตัวประกอบได้ ดังนั้นการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นจะไม่ทำงาน คุณสามารถลบเทอมที่สามออกจากเทอมแรกได้ (เนื่องจากมีเลขรูทเหมือนกัน) และปล่อยให้เทอมที่สองไม่เปลี่ยนแปลง คุณจะได้รับ: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 ตัวอย่างที่ 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3
   • √4 = √(2 x 2) = 2
   • ตอนนี้คุณสามารถเพิ่ม 3 + 2 เพื่อรับ 5
   • คำตอบสุดท้าย: 5 - 3√2.
5. 5 ตัวอย่างที่ 5แก้นิพจน์ที่มีรากและเศษส่วน คุณสามารถเพิ่มและคำนวณเศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วม (เหมือนกัน) เท่านั้น นิพจน์ (√2)/4 + (√2)/2 ได้รับ
   • หาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดของเศษส่วนเหล่านี้ นี่คือจำนวนที่ตัวหารแต่ละตัวหารลงตัว ในตัวอย่างของเรา หมายเลข 4 หารด้วย 4 และ 2 ลงตัว
   • ตอนนี้คูณเศษส่วนที่สองด้วย 2/2 (เพื่อนำมาเป็นตัวส่วนร่วม เศษส่วนแรกถูกลดจำนวนลงไปแล้ว): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4
   • บวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• ก่อนบวกหรือลบราก ให้แน่ใจว่าได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก (ถ้าเป็นไปได้)

คำเตือน

• อย่าบวกหรือลบรูทด้วยนิพจน์รูทที่ต่างกัน
• ห้ามบวกหรือลบจำนวนเต็มและรูท เช่น 3 + (2x) 1/2 .
  • หมายเหตุ: "x" ยกกำลังสองและรากที่สองของ "x" คือสิ่งเดียวกัน (เช่น x 1/2 = √x)

สูตรราก คุณสมบัติของรากที่สอง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะคิดออกว่าคืออะไร สูตรสำหรับราก, สิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้เกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมด

สูตรราก คุณสมบัติของราก และกฎสำหรับการดำเนินการกับราก- โดยพื้นฐานแล้วสิ่งเดียวกัน สูตรสำหรับ รากที่สองน้อยอย่างน่าประหลาดใจ ซึ่งแน่นอนว่าพอใจ! คุณสามารถเขียนสูตรได้ทุกประเภท แต่เพียงสามสูตรก็เพียงพอแล้วสำหรับการทำงานจริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากสามสิ่งนี้ แม้ว่าหลายคนหลงทางในสามสูตรของรากเหง้าใช่ ...

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด เธออยู่ที่นั่น:

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เนื้อหา:

ในวิชาคณิตศาสตร์ รากสามารถเป็นกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือมีเลขชี้กำลังอื่นๆ ซึ่งเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายราก นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่านิพจน์รูท การเพิ่มรากคล้ายกับการเพิ่มเงื่อนไขของนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต กล่าวคือ ต้องมีคำจำกัดความของรากที่คล้ายคลึงกัน

ขั้นตอน

ตอนที่ 1 ค้นหาราก

1. 1 การกำหนดรูตนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายราก (√) หมายความว่าจำเป็นต้องแยกรากในระดับหนึ่งออกจากนิพจน์นี้
   • รูทแสดงด้วยเครื่องหมาย√
   • ดัชนี (ระดับ) ของรูทเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 27 เขียนดังนี้: 3 √(27)
   • หากไม่มีเลขชี้กำลัง (ดีกรี) ของราก เลขชี้กำลังจะเท่ากับ 2 นั่นคือรากที่สอง (หรือรากของดีกรีที่สอง)
   • ตัวเลขที่เขียนก่อนเครื่องหมายรูทเรียกว่าตัวประกอบ (นั่นคือ ตัวเลขนี้คูณด้วยรูท) เช่น 5√ (2)
   • หากไม่มีตัวประกอบอยู่ข้างหน้ารูท มันจะเท่ากับ 1 (จำได้ว่าจำนวนใดๆ ที่คูณด้วย 1 เท่ากับตัวมันเอง)
   • หากคุณกำลังทำงานกับรูทเป็นครั้งแรก ให้จดบันทึกที่เหมาะสมเกี่ยวกับตัวคูณและเลขชี้กำลังของรูท เพื่อไม่ให้สับสนและเข้าใจจุดประสงค์ของมันมากขึ้น
2. 2 จำไว้ว่ารากใดพับได้และรากใดพับไม่ได้เช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเพิ่มพจน์ที่แตกต่างกันของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น 2a + 2b ≠ 4ab คุณไม่สามารถเพิ่มรากที่แตกต่างกันได้
   • คุณไม่สามารถบวกรากด้วยนิพจน์รากต่าง ๆ เช่น √(2) + √(3) ≠ √(5) แต่คุณสามารถเพิ่มตัวเลขใต้รากเดียวกันได้ เช่น √(2 + 3) = √(5) (รากที่สองของ 2 ประมาณ 1.414 รากที่สองของ 3 ประมาณ 1.732 และรากที่สองของ 5 มีค่าประมาณ 2.236) .
   • คุณไม่สามารถบวกรากด้วยนิพจน์รากเดียวกันได้ แต่เลขชี้กำลังต่างกัน ตัวอย่างเช่น √ (64) + 3 √ (64) (ผลรวมนี้ไม่เท่ากับ 5 √ (64) เนื่องจากรากที่สองของ 64 คือ 8 รากที่สามของ 64 คือ 4 , 8 + 4 = 12 ซึ่งมากกว่ารากที่ห้าของ 64 ซึ่งมีค่าประมาณ 2.297)

ส่วนที่ 2 ลดความซับซ้อนและเพิ่มราก

1. 1 ระบุและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกันรากที่คล้ายกันคือรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันและมีนิพจน์รากเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • ขั้นแรก เขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันอยู่ในอนุกรม
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • จากนั้นเขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันและนิพจน์รากเดียวกันอยู่ในอนุกรม
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 ลดความซับซ้อนของรากของคุณเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกนิพจน์ราก (ถ้าเป็นไปได้) ออกเป็นสองปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกนำออกมาจากใต้ราก ในกรณีนี้ จำนวนที่แสดงผลและปัจจัยรากจะถูกคูณ
   • ในตัวอย่างข้างต้น แยก 50 เป็น 2*25 และหมายเลข 32 เป็น 2*16 จาก 25 และ 16 คุณสามารถนำสแควร์รูท (ตามลำดับ 5 และ 4) และนำ 5 และ 4 ออกจากใต้รูท คูณด้วยตัวประกอบ 2 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้นคุณจะได้นิพจน์แบบง่าย: 10√(2) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • ตัวเลข 81 สามารถแยกตัวประกอบเป็น 3 * 27 และรากที่สามของ 3 สามารถนำมาจากหมายเลข 27 ได้ หมายเลข 3 นี้สามารถดึงออกมาจากใต้รากได้ ดังนั้น คุณจะได้นิพจน์ที่ง่ายขึ้น: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 เพิ่มตัวประกอบของรากที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา มีสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 2 (เพิ่มได้) และสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 3 (เพิ่มได้) รากที่สามของ 3 ไม่มีรากดังกล่าว
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • นิพจน์ตัวย่อสุดท้าย: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• ไม่มีกฎที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับลำดับที่รากถูกเขียนในนิพจน์ ดังนั้น คุณสามารถเขียนรากในลำดับจากน้อยไปมากของเลขชี้กำลังและในลำดับจากน้อยไปมากของนิพจน์ราก

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่เข้มแข็ง”ไม่มาก »
และสำหรับผู้ที่ "")

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะคิดออกว่าคืออะไร สูตรสำหรับราก, สิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้เกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมด

สูตรราก คุณสมบัติของราก และกฎสำหรับการดำเนินการกับรากโดยพื้นฐานแล้วเป็นสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่อย่างที่น่าประหลาดใจสำหรับรากที่สอง ซึ่งแน่นอนว่าพอใจ! คุณสามารถเขียนสูตรได้ทุกประเภท แต่เพียงสามสูตรก็เพียงพอแล้วสำหรับการทำงานจริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากสามสิ่งนี้ แม้ว่าหลายคนหลงทางในสามสูตรของรากเหง้าใช่

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด เธออยู่ที่นั่น:

ฉันเตือนคุณ (จากบทเรียนที่แล้ว): a และ b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ! มิฉะนั้นสูตรจะไม่สมเหตุสมผล

คุณสมบัติของรากนี้อย่างที่คุณเห็น ง่าย สั้น และไม่เป็นอันตราย แต่ด้วยสูตรรูทนี้ คุณสามารถทำสิ่งที่มีประโยชน์มากมาย! มาดูกันเลย ตัวอย่างสิ่งเหล่านี้มีประโยชน์ทั้งหมด

ของดีมีประโยชน์แรก. สูตรนี้ช่วยให้เรา คูณราก.

วิธีการคูณราก?

ใช่ง่ายมาก ตรงไปที่สูตร ตัวอย่างเช่น:

ดูเหมือนว่าพวกเขาจะทวีคูณ แล้วอะไรล่ะ? มีความสุขมากมายไหม? ฉันเห็นด้วยเล็กน้อย แต่คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร ตัวอย่าง?

รากไม่ได้สกัดจากปัจจัยอย่างแน่นอน และผลลัพธ์ก็ยอดเยี่ยม! ดีขึ้นแล้วใช่ไหม เผื่อจะแจ้งให้ทราบว่าสามารถมีตัวคูณได้มากเท่าที่คุณต้องการ สูตรคูณรูทยังใช้ได้อยู่ ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้น ด้วยการคูณ ทุกอย่างชัดเจนว่าทำไมจึงมีความจำเป็น คุณสมบัติของราก- ยังพอเข้าใจ

สิ่งที่มีประโยชน์ที่สอง การป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของรูท

จะป้อนตัวเลขใต้รูทได้อย่างไร?

สมมติว่าเรามีนิพจน์นี้:

เป็นไปได้ไหมที่จะซ่อนผีสางไว้ในรูท? อย่างง่ายดาย! ถ้าคุณทำการรูทจากสองสูตร สูตรสำหรับการคูณรากก็จะได้ผล และวิธีทำรูตจากผีสาง? ใช่ นั่นไม่ใช่คำถามเช่นกัน! คู่คือ รากที่สองของสี่!

โดยวิธีการรูทนั้นสามารถสร้างได้จากจำนวนที่ไม่เป็นลบ! นี่จะเป็นรากที่สองของกำลังสองของตัวเลขนี้ 3 คือรูทของ 9. 8 คือรูทของ 64 11 คือรูทของ 121 เป็นต้น

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องลงสีให้ละเอียดขนาดนั้น ยกเว้นสำหรับผู้เริ่มต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบคูณด้วยรูทสามารถนำมาอยู่ใต้รูท แต่อย่าลืม! - ใต้รูทตัวเลขนี้จะกลายเป็น สี่เหลี่ยมตัวเขาเอง. การดำเนินการนี้ - การป้อนตัวเลขภายใต้รูท - เรียกอีกอย่างว่าการคูณตัวเลขด้วยรูท โดยทั่วไปสามารถเขียนได้ว่า:

กระบวนการนี้ง่ายอย่างที่คุณเห็น ทำไมเธอถึงต้องการ?

เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงใดๆ ขั้นตอนนี้ขยายความเป็นไปได้ของเรา โอกาสที่จะเปลี่ยนการแสดงออกที่โหดร้ายและไม่สบายใจเป็นการแสดงออกที่นุ่มนวล) กติกาง่ายๆ สำหรับคุณ ตัวอย่าง:

อย่างที่เห็น คุณสมบัติของราก,ซึ่งทำให้สามารถแนะนำปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูตได้ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการทำให้เข้าใจง่าย

นอกจากนี้ การเพิ่มตัวคูณภายใต้รูททำให้เปรียบเทียบค่าของรูทต่างๆ ได้ง่ายและง่ายดาย โดยไม่ต้องคำนวณและคำนวณใดๆ! สิ่งที่มีประโยชน์ประการที่สาม

จะเปรียบเทียบรากได้อย่างไร?

ทักษะนี้สำคัญมากในภารกิจที่มั่นคง เมื่อปลดล็อกโมดูล และสิ่งที่ยอดเยี่ยมอื่นๆ

เปรียบเทียบนิพจน์เหล่านี้ อันไหนมากกว่ากัน? ไม่มีเครื่องคิดเลข! แต่ละคนมีเครื่องคิดเลข เอ่อ-เอ่อ. สรุปใครๆ ก็ทำได้!)

คุณไม่พูดอย่างนั้นทันที และถ้าคุณป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของรูท?

จำไว้ (จู่ๆ ก็ไม่รู้?): ถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทมากกว่า ตัวรูทเองจะมากกว่า! ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องทันที โดยไม่มีการคำนวณและการคำนวณที่ซับซ้อน:

มันเยี่ยมมากใช่มั้ย? แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! จำได้ว่าสูตรทั้งหมดทำงานทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย จนถึงตอนนี้เราได้ใช้สูตรคูณรากจากซ้ายไปขวาแล้ว เรียกใช้คุณสมบัติรูทนี้ย้อนกลับจากขวาไปซ้าย แบบนี้:

และความแตกต่างคืออะไร? มันให้อะไรคุณหรือเปล่า!? แน่นอน! ตอนนี้คุณจะเห็นด้วยตัวคุณเอง

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยก (โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข!) รากที่สองของจำนวน 6561 บางคนในขั้นตอนนี้จะตกอยู่ในการต่อสู้ที่ไม่เท่ากันกับงาน แต่เราปากแข็งเราไม่ยอมแพ้! สิ่งที่มีประโยชน์ประการที่สี่

วิธีการแยกรากออกจากจำนวนมาก?

เราจำสูตรการสกัดรากออกจากผลิตภัณฑ์ได้ ที่ผมโพสต์ไว้ข้างบน แต่งานของเราอยู่ที่ไหน เรามีจำนวนมาก 6561 และนั่นแหล่ะ ใช่ไม่มีศิลปะ แต่ถ้าเราต้องการ เรา มาทำกัน! ลองแยกตัวประกอบตัวเลขนี้ เรามีสิทธิ

อันดับแรก ลองหาว่าจำนวนนี้หารด้วยอะไรลงตัว? อะไรนะไม่รู้!? ลืมเครื่องหมายแบ่งแยกรึเปล่า!? เปล่าประโยชน์ ไปที่ส่วนพิเศษ 555 เรื่อง "เศษส่วน" ก็มี ตัวเลขนี้หารด้วย 3 และ 9 ลงตัว เพราะผลรวมของตัวเลข (6+5+6+1=18) หารด้วยตัวเลขเหล่านี้ลงตัว นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณของความแตกแยก เราไม่จำเป็นต้องหารด้วยสาม (ตอนนี้คุณจะเข้าใจแล้วว่าทำไม) แต่เราจะหารด้วย 9 อย่างน้อยก็ในมุมหนึ่ง เราได้ 729 เราจึงพบสองปัจจัย! อันแรกคือเก้า (เราเลือกเอง) และอันที่สองคือ 729 (กลายเป็นอย่างนั้น) คุณสามารถเขียนได้แล้ว:

รับความคิด? ลองทำเช่นเดียวกันกับหมายเลข 729 มันหารด้วย 3 กับ 9 ลงตัวเช่นกัน เราไม่หารด้วย 3 เราหารด้วย 9 เราได้ 81 และเรารู้ตัวเลขนี้แล้ว! เราเขียนลงไป:

ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่ายและสง่างาม! ต้องถอดรากออกทีละชิ้น โอเค สามารถทำได้ด้วยตัวเลขจำนวนมาก ทวีคูณพวกเขาและไป!

อีกอย่างทำไมคุณไม่ต้องหารด้วย 3 คุณเดา? ใช่เพราะรากของสามไม่ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน! เหมาะสมที่จะย่อยสลายเป็นปัจจัยที่สามารถสกัดได้อย่างน้อยหนึ่งราก มันคือ 4, 9, 16 หลุม เป็นต้น หารจำนวนมหาศาลของคุณด้วยตัวเลขเหล่านี้ แล้วคุณจะโชคดี!

แต่ไม่จำเป็น อาจจะไม่โชคดี สมมุติว่าเลข 432 เมื่อแยกตัวประกอบและใช้สูตรรากของผลคูณ จะให้ผลลัพธ์ดังนี้:

โอเค. เราได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์อยู่แล้ว ในทางคณิตศาสตร์ เป็นธรรมเนียมที่จะต้องละทิ้งมากที่สุด ตัวเล็กของความเป็นไปได้ ในกระบวนการแก้ไข ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตัวอย่าง (บางทีทุกอย่างอาจลดลงโดยไม่ทำให้เข้าใจง่าย) แต่ในคำตอบ จำเป็นต้องให้ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำให้เข้าใจง่ายขึ้นได้อีก

อีกอย่าง คุณรู้หรือไม่ว่าตอนนี้เราทำอะไรกับรูทของ 432 แล้ว

เรา เอาปัจจัยจากใต้เครื่องหมายของรากออก ! นั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการดำเนินการนี้ แล้วงานก็จะตก - " นำปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายราก“แต่ผู้ชายไม่รู้ด้วยซ้ำ) นี่เป็นอีกประโยชน์สำหรับคุณ คุณสมบัติของรากสิ่งที่มีประโยชน์ประการที่ห้า

จะเอาตัวคูณออกจากใต้รูทได้อย่างไร?

อย่างง่ายดาย. แยกนิพจน์รูตแยกตัวประกอบและแยกรูทที่แยกออกมา พวกเรามอง:

ไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติ สิ่งสำคัญคือต้องเลือกตัวคูณที่เหมาะสม ที่นี่เราได้ย่อยสลาย 72 เป็น 36 2 และทุกอย่างก็ออกมาดี หรือพวกเขาสามารถย่อยสลายได้แตกต่างกัน: 72 = 6 12 แล้วไง!? ไม่มีการสกัดรากจาก 6 หรือ 12 จะทำอย่างไร!

ไม่เป็นไร. หรือมองหาตัวเลือกการสลายตัวอื่น ๆ หรือวางทุกอย่างต่อไปจนสุด! แบบนี้:

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างได้ผล อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่วิธีที่เร็วที่สุด แต่เป็นวิธีที่น่าเชื่อถือที่สุด แบ่งจำนวนออกเป็นปัจจัยที่เล็กที่สุด แล้วรวบรวมจำนวนเดียวกันในกอง วิธีนี้ใช้สำเร็จเมื่อคูณรากที่ไม่สะดวก ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณ:

คูณทุกอย่าง - คุณได้เลขเด็ด! แล้วจะแยกรากออกจากมันได้อย่างไร! ทวีคูณอีกครั้ง? ไม่ เราไม่ต้องการงานพิเศษ เราแยกส่วนออกเป็นปัจจัยทันทีและรวบรวมเป็นกอง:

นั่นคือทั้งหมดที่ แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องหยุดนิ่ง ทุกอย่างถูกกำหนดโดยความสามารถส่วนบุคคลของคุณ นำตัวอย่างมาสู่สถานะที่ ทุกอย่างชัดเจนสำหรับคุณดังนั้นคุณสามารถนับได้แล้ว สิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาด ไม่ใช่ผู้ชายสำหรับคณิตศาสตร์ แต่เป็นคณิตศาสตร์สำหรับผู้ชาย!)

มาประยุกต์ความรู้ไปปฏิบัติกัน? มาเริ่มกันง่ายๆ ก่อน:

กฎการบวกรากที่สอง

คุณสมบัติของรากที่สอง

จนถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขห้าตัว: การบวก การลบ การคูณการหารและการยกกำลัง และคุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในการคำนวณ เช่น a + b = b + a และ n -b n = (ab) n เป็นต้น

บทนี้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การหารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ เพื่อให้ใช้งานได้สำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะทำในส่วนนี้

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
เราต้องพิสูจน์ว่าเพื่อ ตัวเลขติดลบ x, y, z, x = yz

ดังนั้น x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b จากนั้น x 2 \u003d y 2 z 2 เช่น x 2 \u003d (yz) 2

ถ้า สี่เหลี่ยมตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองตัวเท่ากัน จากนั้นตัวเลขก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าจากความเท่าเทียมกัน x 2 \u003d (yz) 2 ตามด้วย x \u003d yz และสิ่งนี้จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

เราให้บันทึกสั้น ๆ ของการพิสูจน์ทฤษฎีบท:

หมายเหตุ 1 ทฤษฎีบทยังคงใช้ได้ในกรณีที่นิพจน์รุนแรงเป็นผลคูณของปัจจัยที่ไม่เป็นลบมากกว่าสองตัว

หมายเหตุ 2 ทฤษฎีบท 1 สามารถเขียนได้โดยใช้ “if. แล้ว” (ตามธรรมเนียมของทฤษฎีบทในวิชาคณิตศาสตร์) เราให้สูตรที่สอดคล้องกัน: ถ้า a และ b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกัน .

นี่คือวิธีที่เรากำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้

(สูตรสั้นๆ ที่สะดวกกว่าในการใช้งานในทางปฏิบัติ: รากของเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนของราก หรือรากของผลหารเท่ากับผลหารของราก)

คราวนี้เราจะให้เพียงบันทึกสั้นๆ ของการพิสูจน์ และคุณสามารถลองแสดงความคิดเห็นที่เหมาะสมได้ เช่นเดียวกับความคิดเห็นที่ประกอบขึ้นเป็นสาระสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1

ตัวอย่างที่ 1. คำนวณ .
วิธีการแก้. การใช้คุณสมบัติแรก รากที่สอง(ทฤษฎีบท 1) เราได้รับ

หมายเหตุ 3 แน่นอน ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ: คูณตัวเลข 36, 64, 9 แล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ที่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณจะยอมรับว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นดูมีวัฒนธรรมมากกว่า

หมายเหตุ 4. ในวิธีแรก เราดำเนินการคำนวณแบบตัวต่อตัว วิธีที่สองนั้นสวยงามกว่า:
เราสมัคร สูตร a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) และใช้คุณสมบัติของรากที่สอง

หมายเหตุ 5. "คนหัวร้อน" บางครั้งเสนอ "วิธีแก้ปัญหา" ต่อไปนี้ให้กับตัวอย่างที่ 3:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง: คุณเห็น - ผลลัพธ์ไม่เหมือนกับในตัวอย่างของเรา 3 ความจริงก็คือไม่มีคุณสมบัติ เป็นไม่มีและคุณสมบัติ มีคุณสมบัติเกี่ยวกับการคูณและหารรากที่สองเท่านั้น ระมัดระวังและระมัดระวังอย่าใช้ความคิดเพ้อฝัน

ตัวอย่างที่ 4. คำนวณ: ก)
วิธีการแก้. สูตรใดๆ ในพีชคณิตไม่เพียงแต่ใช้ "จากขวาไปซ้าย" แต่ยังใช้ "จากซ้ายไปขวา" ด้วย ดังนั้น คุณสมบัติแรกของรากที่สองหมายความว่า ถ้าจำเป็น มันสามารถแสดงเป็น และในทางกลับกัน ซึ่งสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สองของรากที่สอง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เรามาแก้ตัวอย่างที่เสนอ

เมื่อสรุปย่อหน้าแล้ว เราสังเกตคุณสมบัติที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งที่ค่อนข้างง่ายและในขณะเดียวกัน:
ถ้า a > 0 และ n - ตัวเลขธรรมชาติ , แล้ว

ตัวอย่างที่ 5คำนวณ โดยไม่ต้องใช้ตารางตัวเลขและเครื่องคิดเลข

วิธีการแก้. ลองแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

หมายเหตุ 6 ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่คล้ายกันใน § 15 เดาได้ง่ายว่าคำตอบจะเป็น "80 with a tail" ตั้งแต่ 80 2 2 หา "หาง" กัน นั่นคือ หลักสุดท้ายของตัวเลขที่ต้องการ จนถึงตอนนี้ เราทราบแล้วว่าหากแยกรูทแล้ว คำตอบก็คือ 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 หรือ 89 จำเป็นต้องตรวจสอบตัวเลขเพียงสองตัวเท่านั้น: 84 และ 86 เนื่องจากมีเพียงตัวเลขเหล่านี้เท่านั้น เมื่อยกกำลังสองจะได้ผลลัพธ์ สี่หลักตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 6 คือ ตัวเลขเดียวกันกับที่ลงท้ายด้วยหมายเลข 7056 เรามี 84 2 \u003d 7056 - นี่คือสิ่งที่เราต้องการ วิธี,

มอร์ดโควิช เอ. จี. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: Proc. เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันฯ - ครั้งที่ 3 จบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

หนังสือ ดาวน์โหลด ตำราคณิตศาสตร์ บทคัดย่อ เพื่อช่วยครูและนักเรียน เรียนออนไลน์

หากคุณมีการแก้ไขหรือข้อเสนอแนะสำหรับบทเรียนนี้ เขียนถึงเรา

หากคุณต้องการดูการแก้ไขและข้อเสนอแนะอื่นๆ สำหรับบทเรียน โปรดดูที่นี่ - ฟอรัมการศึกษา

วิธีการบวกรากที่สอง

รากที่สองของตัวเลข Xเรียกเลขหมาย อาซึ่งอยู่ในกระบวนการคูณด้วยตัวมันเอง ( A*A) สามารถให้หมายเลข X.
เหล่านั้น. A * A = A 2 = X, และ √X = เอ.

เหนือรากที่สอง ( √x) เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ เช่น การลบและการบวก หากต้องการลบและเพิ่มราก จะต้องเชื่อมต่อโดยใช้เครื่องหมายที่สอดคล้องกับการกระทำเหล่านี้ (เช่น √x - √y ).
แล้วนำรากมาให้ รูปแบบที่ง่ายที่สุด- หากมีความคล้ายคลึงกันระหว่างพวกเขาจำเป็นต้องสร้างนักแสดง ประกอบด้วยความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ของคำที่คล้ายกันนั้นถูกนำมาใช้พร้อมกับเครื่องหมายของเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องจากนั้นจะรวมอยู่ในวงเล็บและรูททั่วไปจะแสดงอยู่นอกวงเล็บตัวคูณ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับนั้นทำให้ง่ายขึ้นตามกฎปกติ

ขั้นตอนที่ 1. แยกรากที่สอง

ขั้นแรก ในการบวกรากที่สอง คุณต้องแยกรากเหล่านี้ก่อน สามารถทำได้ถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ที่กำหนด √4 + √9 . หมายเลขแรก 4 เป็นกำลังสองของจำนวน 2 . ตัวที่สอง 9 เป็นกำลังสองของจำนวน 3 . จึงสามารถหาความเท่าเทียมกันได้ดังนี้ √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
ทุกอย่างตัวอย่างได้รับการแก้ไข แต่มันไม่ได้เกิดขึ้นอย่างนั้นเสมอไป

ขั้นตอนที่ 2 นำตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้รูท

หากไม่มีกำลังสองเต็มใต้เครื่องหมายรูท คุณสามารถลองเอาตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ √24 + √54 .

ลองแยกตัวประกอบตัวเลข:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

ในรายการ 24 เรามีตัวคูณ 4 สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์ได้ ในรายการ 54 เรามีตัวคูณ 9 .

เราได้รับความเท่าเทียมกัน:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างนี้ เราได้ลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท ซึ่งจะทำให้นิพจน์ที่กำหนดง่ายขึ้น

ขั้นตอนที่ 3 การลดตัวส่วน

พิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ ผลรวมของรากที่สองสองตัวเป็นตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่างเช่น A / (√a + √b).
ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับภารกิจ "กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน"
ลองใช้วิธีการต่อไปนี้: คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √a - √b.

ตอนนี้เราได้สูตรคูณตัวย่อในตัวส่วน:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

ในทำนองเดียวกัน หากตัวส่วนมีความแตกต่างของราก: √a - √bตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยนิพจน์ √a + √b.

ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

ตัวอย่างการลดตัวส่วนที่ซับซ้อน

ตอนนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างที่ค่อนข้างซับซ้อนในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง: 12 / (√2 + √3 + √5) .
คุณต้องนำตัวเศษและตัวส่วนมาคูณด้วยนิพจน์ √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

ขั้นตอนที่ 4 คำนวณค่าโดยประมาณบนเครื่องคิดเลข

หากคุณต้องการเพียงค่าโดยประมาณ สามารถทำได้โดยใช้เครื่องคิดเลขโดยคำนวณค่าของรากที่สอง แยกจากกัน สำหรับแต่ละตัวเลข ค่าจะถูกคำนวณและบันทึกด้วยความแม่นยำที่ต้องการ ซึ่งกำหนดโดยจำนวนตำแหน่งทศนิยม นอกจากนี้ การดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดจะดำเนินการ เช่นเดียวกับตัวเลขทั่วไป

ตัวอย่างการคำนวณโดยประมาณ

จำเป็นต้องคำนวณค่าประมาณของนิพจน์นี้ √7 + √5 .

เป็นผลให้เราได้รับ:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

โปรดทราบ: ไม่ควรเพิ่มรากที่สองเป็นจำนวนเฉพาะไม่ว่าในกรณีใด ถือเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้โดยสิ้นเชิง นั่นคือ ถ้าคุณบวกรากที่สองของห้าและสาม เราไม่สามารถหารากที่สองของแปดได้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์: หากคุณตัดสินใจที่จะแยกตัวประกอบตัวเลข เพื่อให้ได้ค่ากำลังสองจากใต้เครื่องหมายราก คุณต้องตรวจสอบย้อนกลับ กล่าวคือ คูณปัจจัยทั้งหมดที่เป็นผลมาจากการคำนวณ และผลลัพธ์สุดท้ายของสิ่งนี้ การคำนวณทางคณิตศาสตร์ควรเป็นตัวเลขที่เราได้รับตั้งแต่แรก

การกระทำกับราก: การบวกและการลบ

การแยกรากที่สองของตัวเลขไม่ใช่การดำเนินการเดียวที่สามารถทำได้ด้วยปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถเพิ่มและลบรากที่สองได้เช่นเดียวกับตัวเลขทั่วไป

กฎสำหรับการบวกและการลบรากที่สอง

การดำเนินการต่างๆ เช่น การบวกและการลบรากที่สองจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์รากเหมือนกัน

คุณสามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ 2 3 และ 6 3, แต่ไม่ใช่ 5 6 และ 9 4 . หากเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์และนำไปที่รูทด้วยหมายเลขรูทเดียวกัน ให้ลดความซับซ้อน แล้วบวกหรือลบ

การกระทำของรูท: พื้นฐาน

6 50 — 2 8 + 5 12

1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก. ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแยกนิพจน์ของรูทออกเป็น 2 แฟคเตอร์ ซึ่งหนึ่งในนั้นคือตัวเลขสแควร์ (ตัวเลขที่แยกสแควร์รูททั้งหมดออกมา เช่น 25 หรือ 9)
2. จากนั้นคุณต้องรูทของเลขกำลังสองและเขียนค่าผลลัพธ์ก่อนเครื่องหมายรูท โปรดทราบว่ามีการป้อนปัจจัยที่สองภายใต้เครื่องหมายรูท
3. หลังจากขั้นตอนการทำให้เข้าใจง่าย จำเป็นต้องขีดเส้นใต้รากด้วยนิพจน์รากเดียวกัน - เฉพาะพวกมันเท่านั้นที่สามารถเพิ่มและลบได้
4. สำหรับรากที่มีนิพจน์รากเดียวกัน จำเป็นต้องบวกหรือลบปัจจัยที่อยู่ก่อนเครื่องหมายราก นิพจน์รากยังคงไม่เปลี่ยนแปลง อย่าบวกหรือลบหมายเลขรูท!

หากคุณมีตัวอย่างที่มีนิพจน์รุนแรงเหมือนกันจำนวนมาก ให้ขีดเส้นใต้นิพจน์ดังกล่าวด้วยบรรทัดเดียว สอง และสามเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณ

ลองมาดูตัวอย่างนี้กัน:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . ก่อนอื่นคุณต้องแยก 50 ออกเป็น 2 แฟคเตอร์ 25 และ 2 จากนั้นให้ทำการรูทของ 25 ซึ่งก็คือ 5 และลบ 5 ออกจากใต้รูท หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 5 ด้วย 6 (ตัวคูณที่รูท) และรับ 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . ขั้นแรก คุณต้องแยก 8 ปัจจัยออกเป็น 2 ตัว: 4 และ 2 จากนั้นจาก 4 ให้แยกรากซึ่งเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้ราก หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 2 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . ขั้นแรก คุณต้องแยกส่วนประกอบ 12 เป็น 2 ปัจจัย: 4 และ 3 จากนั้นแยกรากออกจาก 4 ซึ่งก็คือ 2 แล้วนำออกจากใต้ราก หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 5 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 10 3 .

ผลการลดความซับซ้อน: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

ด้วยเหตุนี้ เราจึงเห็นจำนวนนิพจน์รุนแรงที่เหมือนกันในตัวอย่างนี้ มาฝึกกับตัวอย่างอื่นๆ กัน

• ลดความซับซ้อน (45) . เราแยกตัวประกอบ 45: (45) = (9 × 5) ;
• เรานำ 3 ออกจากใต้รูท (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• เราบวกตัวประกอบที่ราก: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• ลดความซับซ้อน 6 40 . เราแยกตัวประกอบ 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• เรานำ 2 จากใต้รูท (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• เราคูณปัจจัยที่อยู่หน้าราก: 12 10;
• เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบย่อ: 12 10 - 3 10 + 5;
• เนื่องจากสองพจน์แรกมีจำนวนรากเหมือนกัน เราจึงสามารถลบออกได้: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5

ดังที่เราเห็น เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้จำนวนรากง่ายขึ้น ดังนั้น ในตัวอย่าง เรามองหาสมาชิกที่มีจำนวนรากเดียวกัน ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (บวก ลบ ฯลฯ) และเขียนผลลัพธ์:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

เคล็ดลับ:

• ก่อนบวกหรือลบ จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก (ถ้าเป็นไปได้)
• ห้ามเพิ่มและลบรูทด้วยนิพจน์รูทที่แตกต่างกันโดยเด็ดขาด
• อย่าบวกหรือลบจำนวนเต็มหรือรากที่สอง: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• เมื่อดำเนินการกับเศษส่วน คุณต้องหาจำนวนที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวหารลงตัว จากนั้นนำเศษส่วนไปยังตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกตัวเศษ โดยไม่เปลี่ยนแปลงตัวส่วน

คุณสมบัติของรากที่สองของเลขคณิต กำลังของรากที่สองเลขคณิต

การแปลงรากที่สองของเลขคณิต การแปลงรากที่สองทางคณิตศาสตร์

สกัด รากที่สองของพหุนามจำเป็นต้องคำนวณพหุนามและแยกรากออกจากจำนวนผลลัพธ์

ความสนใจ!เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากแต่ละเทอม (ลดและลบ) แยกกัน

Shchob ที่จะชนะ รากที่สองของพหุนามความต้องการคือการคำนวณคำที่มีรูปแบบสมบูรณ์และจากจำนวนที่ลบออกเพื่อทำการรูท

เคารพ!เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากผลิตภัณฑ์เสริมอาหารผิว (เปลี่ยนแปลงและมองเห็นได้) OKremo

เพื่อแยกรากที่สองของผลิตภัณฑ์ (ผลหาร)คุณสามารถคำนวณรากที่สองของแต่ละปัจจัย (เงินปันผลและตัวหาร) และรับค่าผลลัพธ์ด้วยผลคูณ (ผลหาร)

เพื่อชนะสแควร์รูทของ dobutka (บางส่วน)คุณสามารถคำนวณรากที่สองของตัวคูณสกิน (หารและ dilnik) และลบค่าด้วยการเสริม (บ่อย)

การหารากที่สองของเศษส่วนคุณต้องแยกรากที่สองของตัวเศษและตัวส่วนออกจากกัน และปล่อยให้ค่าผลลัพธ์เป็นเศษส่วนหรือคำนวณเป็นผลหาร (ถ้าเป็นไปได้ตามเงื่อนไข)

เพื่อชนะรากที่สองของเศษส่วนคุณต้องใช้รากที่สองของสมุดตัวเลขและธงของ okremo และกีดกันค่าของเศษส่วนด้วยเศษส่วนหรือนับเป็นส่วนหนึ่ง (ตามที่เป็นไปได้สำหรับจิตใจ)

ปัจจัยสามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายรากและสามารถนำปัจจัยมาใช้ภายใต้เครื่องหมายราก เมื่อปัจจัยถูกดึงออกมา รากจะถูกดึงออกมาจากปัจจัยนั้น และเมื่อนำปัจจัยออกไป ปัจจัยจะถูกยกขึ้นเป็นกำลังที่สอดคล้องกัน

เครื่องหมายรากที่ 3 สามารถคูณได้ และเครื่องหมายรากสามารถคูณได้ ด้วยความผิดพลาดของตัวคูณ รากจะบิด และด้วยการแนะนำ รากจะถูกสร้างขึ้นที่เท้าที่สูงขึ้น

ตัวอย่าง. นำมาใช้

ในการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของรากที่สอง คุณต้องนำนิพจน์รากเป็นหนึ่งฐานของดีกรี ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกรากออกจากองศาและเขียนก่อนเครื่องหมายราก และรากที่สองที่เหลือด้วย สามารถเพิ่มนิพจน์รูทเดียวกันได้ โดยเพิ่มสัมประสิทธิ์ก่อนรูทเครื่องหมาย และเพิ่มสแควร์รูทเดียวกัน

ในการที่จะสร้างผลรวม (ราคา) ของรากที่สองขึ้นมาใหม่ จำเป็นต้องนำรากที่สองมาที่ฐานหนึ่งของขั้นตอน เท่าที่จะทำได้ เพื่อทำการรูทของขั้นบันไดและจดไว้ก่อนเครื่องหมายของ รากและคำตอบของรากที่สองด้วยคำรากเดียวกัน สิ่งที่ฉันสามารถบวกและบวกรากที่สองเดียวกันได้

เรานำนิพจน์รากศัพท์ทั้งหมดมาที่ฐาน 2

จากระดับที่เท่ากัน รากจะถูกดึงออกมาอย่างสมบูรณ์ จากระดับคี่ รากของฐานในระดับ 1 จะถูกทิ้งไว้ภายใต้เครื่องหมายของรูท

เราให้จำนวนเต็มที่คล้ายกันและเพิ่มสัมประสิทธิ์ที่มีรากเดียวกัน เราเขียนทวินามเป็นผลคูณของจำนวนและทวินามของผลรวม

นำรากย่อยทั้งหมดของ virazi ไปที่ฐาน 2

จากสเตจที่จับคู่ รูตจะถูกวาดเป็นแถว จากสเตจ unpaired รูตของฐานในสเตจ 1 จะถูกเติมภายใต้สัญลักษณ์ของรูท

ขอแนะนำให้เพิ่มตัวเลขและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายกันลงในรากเดียวกัน เราเขียนทวินามเป็นส่วนเสริมของจำนวน i ของทวินามซูมิ

เรานำพจน์รากศัพท์มาใช้กับฐานที่เล็กที่สุดหรือผลคูณของกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุด เราแยกรากออกจากระดับของนิพจน์รากที่สอง ปล่อยให้ส่วนที่เหลืออยู่ในรูปของฐานของดีกรีที่มีตัวบ่งชี้ 1 หรือผลคูณของฐานดังกล่าวภายใต้เครื่องหมายของราก เราให้คำที่คล้ายกัน (เพิ่มสัมประสิทธิ์ของรากเดียวกัน)

เรานำรากของ virazi ไปยังฐานที่เล็กที่สุดหรือการเพิ่มขั้นตอนด้วยฐานที่เล็กที่สุด จากขั้นตอนที่ร้อนแรงภายใต้รากของ viraz รากจะถูกนำส่วนเกินที่ฐานของขั้นตอนด้วยตัวบ่งชี้ 1 หรือการเพิ่มของฐานดังกล่าวจะถูกเติมภายใต้สัญลักษณ์ของรูท เราแนะนำคำที่คล้ายกัน (เราบวกค่าสัมประสิทธิ์ของรากเดียวกัน)

ลองแทนที่การหารเศษส่วนด้วยการคูณ (ด้วยการแทนที่เศษส่วนที่สองด้วยส่วนกลับ) คูณทั้งเศษและส่วนแยกกัน ภายใต้เครื่องหมายรากแต่ละอัน เราเน้นองศา ลองยกเลิกตัวประกอบเดียวกันในตัวเศษและส่วนกัน เราสกัดรากจากพลังที่เท่ากัน

เราแทนที่การหารเศษส่วนด้วยการคูณ (ด้วยการแทนที่เศษส่วนอื่นด้วยผลตอบแทน) คูณตัวเลข okremo และแบนเนอร์ของเศษส่วน ขั้นตอนสามารถมองเห็นได้ภายใต้สัญลักษณ์ของราก เราจะเร่งตัวคูณเดียวกันในสมุดตัวเลขและแบนเนอร์ ตำหนิรากของขั้นบันไดคู่

เพื่อเปรียบเทียบรากที่สองสองตัว, การแสดงออกที่รุนแรงของพวกมันจะต้องถูกทำให้อยู่ในระดับที่มีฐานเดียวกัน จากนั้นยิ่งมีการแสดงระดับของการแสดงออกที่รุนแรงมากขึ้นเท่าใด คุ้มค่ามากขึ้นรากที่สอง.

ในตัวอย่างนี้ นิพจน์รากถอนโคนไม่สามารถลดลงเหลือหนึ่งฐานได้ เนื่องจากฐานคือ 3 ในฐานแรก และ 3 และ 7 ในฐานที่สอง

วิธีที่สองในการเปรียบเทียบคือการเพิ่มปัจจัยรากให้กับนิพจน์รากและเปรียบเทียบ ค่าตัวเลขนิพจน์ที่รูต สำหรับสแควร์รูท ยิ่งนิพจน์รูทมาก ค่าของรูทก็จะยิ่งมากขึ้น

เพื่อให้ตรงกับรากที่สอง, รูทย่อยของพวกมันจะต้องถูกนำไปยังระดับที่มีพื้นฐานเดียวกัน ในขณะที่ยิ่งตัวบ่งชี้ระดับของรูทย่อยของไวรัสมีค่ามากเท่าใด ค่าของรากที่สองก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ในกรณีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะนำรากเหง้าของ virazi มาสู่ฐานหนึ่ง เนื่องจากในอันแรก พื้นฐานคือ 3 และอีกอันคือ 3 และ 7

อีกวิธีหนึ่งในการทำให้เท่าเทียมกันคือการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์รูทให้กับรูทไวเรสและทำให้ค่าตัวเลขของรูทไวเรสเท่ากัน สแควร์รูทมีไวราซย่อยมากกว่า ค่ารูทยิ่งมากขึ้น

โดยใช้กฎการกระจายของการคูณและกฎสำหรับการคูณรากด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน (ในกรณีของเรา รากที่สอง) เราได้ผลรวมของรากที่สองสองตัวกับผลคูณภายใต้เครื่องหมายราก เราแยก 91 ออกเป็นปัจจัยเฉพาะและถอนรากออกจากวงเล็บด้วยปัจจัยรากทั่วไป (13 * 5)

เราได้รับผลคูณของรูตและทวินาม ซึ่งโมโนเมียลตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม (1)

Vikoristovuyuchi rozpodilny กฎของการคูณและกฎของการคูณของรากด้วยตัวบ่งชี้เดียวกัน (ในกรณีของเรา - รากที่สอง) เอาผลรวมของรากที่สองสองอันพร้อมเครื่องหมายเพิ่มเติมของราก เราสามารถจัดวางตัวคูณ 91 อย่างง่าย ๆ และทำการรูทสำหรับส่วนโค้งจากตัวคูณรูต (13 * 5)

เราทำการบวกรูทและเลขฐานสองซึ่งมีหนึ่งในชื่อย่อในจำนวนเต็ม (1)

ตัวอย่างที่ 9:

ในนิพจน์รากที่สอง เราเลือกโดยแยกตัวประกอบของตัวเลขที่เราแยกรากที่สองทั้งหมดได้ เราแยกรากที่สองออกจากกำลังและใส่ตัวเลขด้วยสัมประสิทธิ์ของรากที่สอง

พจน์ของพหุนามนี้มีตัวประกอบร่วม √3 ซึ่งสามารถดึงออกจากวงเล็บได้ ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน

ใน sub-root virases มันถูกมองว่าเป็นตัวคูณของตัวเลข ซึ่งสามารถหาสแควร์รูทได้ เราโทษรากที่สองของขั้นตอนและใส่ตัวเลขด้วยสัมประสิทธิ์ของรากที่สอง

พจน์ของพหุนามนี้มีตัวคูณร่วม √3 ซึ่งสามารถตำหนิแขนได้ เราขอแนะนำเพิ่มเติมที่คล้ายกัน

ผลคูณของผลบวกและผลต่างของฐานที่เหมือนกันสองฐาน (3 และ √5) สามารถเขียนได้โดยใช้สูตรคูณแบบย่อเป็นผลต่างของกำลังสองของฐาน

รากที่สองกำลังสองจะเท่ากับนิพจน์รากที่สองเสมอ ดังนั้นเราจะกำจัดรากที่สอง (เครื่องหมายราก) ในนิพจน์

ผลรวม Dobutok และผลต่างของฐานที่เหมือนกันสองฐาน (3 і √5) จากสูตรการคูณเร็วสามารถเขียนเป็นผลต่างของฐานสอง

สแควร์รูทของสแควร์ zavzhd เท่ากับ sub-root virase ดังนั้นเราจะเรียกรากศัพท์ (เครื่องหมายรูท) ของ virase

กลับไปที่โรงเรียน. การเติมราก

ในยุคของคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ การคำนวณรูทของตัวเลขไม่ใช่เรื่องยาก ตัวอย่างเช่น √2704=52 เครื่องคิดเลขใดๆ จะคำนวณให้คุณ โชคดีที่เครื่องคิดเลขไม่ได้มีแค่ใน Windows เท่านั้น แต่ยังอยู่ในโทรศัพท์ธรรมดา แม้กระทั่งโทรศัพท์ที่ง่ายที่สุด จริงอยู่ถ้าจู่ ๆ (ด้วยความน่าจะเป็นเล็กน้อยการคำนวณซึ่งรวมถึงการเพิ่มราก) คุณพบว่าตัวเองไม่มีเงินอยู่แล้วอนิจจาคุณจะต้องพึ่งพาสมองของคุณเท่านั้น

การฝึกใจไม่เคยล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับผู้ที่ไม่ได้ทำงานกับตัวเลขบ่อยนักและยิ่งมีรากมากขึ้น การบวกและการลบราก - ออกกำลังกายดีๆเพื่อจิตใจที่เบื่อหน่าย และฉันจะแสดงให้คุณเห็นการเพิ่มรูททีละขั้นตอน ตัวอย่างของนิพจน์สามารถดังต่อไปนี้

สมการที่จะทำให้ง่ายขึ้นคือ:

นี่คือการแสดงออกที่ไม่ลงตัว เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณต้องลดนิพจน์รากศัพท์ทั้งหมดเป็น ปริทัศน์. เราทำเป็นขั้นตอน:

หมายเลขแรกไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป มาต่อกันที่เทอมที่สองกัน

3√48 เราแยกตัวประกอบ 48: 48=2×24 หรือ 48=3×16 รากที่สองของ 24 ไม่ใช่จำนวนเต็ม กล่าวคือ มีเศษเป็นเศษส่วน เนื่องจากเราต้องการค่าที่แน่นอน รากโดยประมาณจึงไม่เหมาะกับเรา สแควร์รูทของ 16 คือ 4, ดึงมันออกมาจากใต้เครื่องหมายรูท เราได้: 3×4×√3=12×√3

นิพจน์ถัดไปของเราคือลบ นั่นคือ เขียนด้วยเครื่องหมายลบ -4×√(27.) แฟคตอริ่ง 27. เราได้ 27=3×9 เราไม่ใช้ตัวประกอบเศษส่วนเพราะจะคำนวณรากที่สองจากเศษส่วนได้ยากกว่า เรานำ 9 ออกจากใต้ป้ายนั่นคือ คำนวณรากที่สอง เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: -4×3×√3 = -12×√3

เทอมถัดไป √128 คำนวณส่วนที่สามารถนำออกจากใต้รูทได้ 128=64×2 โดยที่ √64=8 ถ้ามันทำให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณ คุณสามารถแสดงนิพจน์นี้ได้ดังนี้: √128=√(8^2×2)

เราเขียนนิพจน์ใหม่ด้วยเงื่อนไขแบบง่าย:

ตอนนี้เราบวกตัวเลขด้วยนิพจน์รากเดียวกัน คุณไม่สามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ที่มีนิพจน์รุนแรงต่างกันได้ การเพิ่มรากต้องปฏิบัติตามกฎนี้

เราได้รับคำตอบต่อไปนี้:

√2=1×√2 - ฉันหวังว่าเป็นเรื่องปกติในพีชคณิตที่จะละเว้นองค์ประกอบดังกล่าวจะไม่เป็นข่าวสำหรับคุณ

นิพจน์สามารถแสดงได้ไม่เฉพาะด้วยรากที่สองเท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยรากที่สามหรือรากที่ n ด้วย

การบวกและการลบของรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกัน แต่มีนิพจน์รากที่เท่ากัน เกิดขึ้นดังนี้:

หากเรามีนิพจน์เช่น √a+∛b+∜b เราก็สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

เราได้ลดคำศัพท์ที่คล้ายกันสองคำให้เป็นเลขชี้กำลังร่วมของรูท คุณสมบัติของรากถูกนำมาใช้ที่นี่ ซึ่งบอกว่า: ถ้าจำนวนของระดับของการแสดงออกที่รุนแรงและจำนวนของเลขชี้กำลังของรากถูกคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน การคำนวณจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หมายเหตุ: เลขชี้กำลังจะถูกเพิ่มเมื่อคูณเท่านั้น

พิจารณาตัวอย่างที่มีเศษส่วนอยู่ในนิพจน์

มาแก้ปัญหาทีละขั้นตอน:

5√8=5*2√2 - เรานำส่วนที่แยกออกมาจากใต้ราก

หากเนื้อความของรูทแสดงด้วยเศษส่วน บ่อยครั้งเศษส่วนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากรากที่สองของเงินปันผลและตัวหารถูกนำมา เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันที่อธิบายไว้ข้างต้น

นี่คือคำตอบ

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ รูทที่มีเลขชี้กำลังคู่จะไม่ถูกดึงออกจากจำนวนลบ ถ้านิพจน์รุนแรงระดับคู่เป็นค่าลบ แสดงว่านิพจน์นั้นแก้ไม่ได้

การเพิ่มรากจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อนิพจน์รากศัพท์ตรงกันเท่านั้น เนื่องจากเป็นคำที่คล้ายคลึงกัน เช่นเดียวกับความแตกต่าง

การเพิ่มรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันทำได้โดยการลดเงื่อนไขทั้งสองให้อยู่ในระดับรากทั่วไป กฎหมายนี้ดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดตัวส่วนร่วมเมื่อบวกหรือลบเศษส่วน

หากนิพจน์รากศัพท์มีตัวเลขยกกำลัง นิพจน์นี้สามารถลดความซับซ้อนได้โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนร่วมระหว่างรูทและเลขชี้กำลัง

รากที่สองของผลิตภัณฑ์และเศษส่วน

รากที่สองของ a คือจำนวนที่มีกำลังสองคือ a ตัวอย่างเช่น ตัวเลข -5 และ 5 คือรากที่สองของตัวเลข 25 นั่นคือ รากของสมการ x^2=25 คือรากที่สองของตัวเลข 25 ตอนนี้คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับ การดำเนินการรากที่สอง: ศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

รากที่สองของผลิตภัณฑ์

√(a*b)=√a*√b

รากที่สองของผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวเท่ากับผลคูณของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าคุณสมบัตินี้ยังใช้กับกรณีที่นิพจน์รากคือผลคูณของสาม สี่ ฯลฯ ตัวคูณที่ไม่เป็นลบ

บางครั้งมีสูตรอื่นของคุณสมบัตินี้ ถ้า a และ b เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: √(a*b) =√a*√b ไม่มีความแตกต่างระหว่างพวกเขาอย่างแน่นอน คุณสามารถใช้คำใดคำหนึ่งหรืออีกคำหนึ่งได้ (ซึ่งสะดวกกว่าที่จะจำ)

รากที่สองของเศษส่วน

ถ้า a>=0 และ b>0 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

√(a/b)=√a/√b.

ตัวอย่างเช่น √(9/25) = √9/√25 =3/5;

คุณสมบัตินี้ยังมีสูตรที่แตกต่างกันในความคิดของฉันสะดวกกว่าที่จะจำ
รากที่สองของผลหารเท่ากับผลหารของราก

เป็นที่น่าสังเกตว่าสูตรเหล่านี้ใช้ได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย นั่นคือถ้าจำเป็น เราสามารถแสดงผลิตภัณฑ์ของรากเป็นรากของผลิตภัณฑ์ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สอง

อย่างที่คุณเห็น คุณสมบัติเหล่านี้สะดวกมาก และฉันต้องการมีคุณสมบัติเดียวกันสำหรับการบวกและการลบ:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

แต่น่าเสียดายที่คุณสมบัติดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่มีรากและดังนั้น ไม่สามารถทำได้ในการคำนวณ.

• 13. ขับรถผ่านแยกจราจร 2018 พร้อมแสดงความคิดเห็นออนไลน์ 13.1. เมื่อเลี้ยวขวาหรือซ้าย ผู้ขับขี่ต้องให้ทางแก่คนเดินถนนและนักปั่นจักรยานที่ข้าม ทางด่วนถนนที่มันเปลี่ยนเป็น คำแนะนำนี้ใช้กับทุกคน […]
• ประชุมผู้ปกครอง "สิทธิ หน้าที่ และความรับผิดชอบของผู้ปกครอง" การนำเสนอบทเรียน ดาวน์โหลดงานนำเสนอ (536.6 kB) Attention! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึง […]
• ภูมิภาค ทุนมารดาในภูมิภาค Orel ทุนการคลอดบุตรในภูมิภาค (MK) ใน Orel และภูมิภาค Oryol ก่อตั้งขึ้นในปี 2554 ตอนนี้เป็นมาตรการเพิ่มเติมของการสนับสนุนทางสังคม ครอบครัวใหญ่ในรูปแบบเงินสดจ่ายครั้งเดียว […]
• จำนวนเงินเบี้ยเลี้ยงเมื่อลงทะเบียนใน วันแรกในปี 2018 ไม่พบหน้าที่คุณร้องขอ คุณอาจป้อนที่อยู่ผิดหรือหน้าถูกลบ ใช้ […]
• ทนายความด้านกิจการเศรษฐกิจ อาชญากรรมในแวดวงเศรษฐกิจเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างใหญ่โต การกระทำดังกล่าวรวมถึงการฉ้อโกง ธุรกิจที่ผิดกฎหมาย การฟอกเงิน การธนาคารที่ผิดกฎหมาย […]
• บริการกดของธนาคารกลาง สหพันธรัฐรัสเซีย(ธนาคารแห่งรัสเซีย) บริการกด 107016, มอสโก, เซนต์. Neglinnaya, 12www.cbr.ru ในการแต่งตั้งผู้บริหารชั่วคราวกระทรวงการต่างประเทศและการประชาสัมพันธ์ของธนาคารแห่งรัสเซียแจ้งว่าตามวรรค 2 […]
• ลักษณะทั่วไปและ รีวิวสั้นๆการจำแนกประเภทของแอ่งน้ำ การจำแนกประเภทของแอ่งน้ำสำหรับการนำทางของเรือสำราญ (เล็ก) ที่ดูแลโดย GIMS ของรัสเซีย ดำเนินการขึ้นอยู่กับ […]
• Kucherena = ทนายความของ Viktor Tsoi และนี่คือข้อยกเว้น: จดหมายวันนี้จาก Anatoly Kucherena ในความต่อเนื่องของหัวข้อ ยังไม่มีใครตีพิมพ์จดหมายฉบับนี้ และฉันคิดว่าควร ตอนที่ 1 สำหรับตอนนี้ ในไม่ช้าฉันจะเผยแพร่ส่วนที่สองซึ่งลงนามโดยทนายความที่มีชื่อเสียง ทำไมมันถึงสำคัญ? […]