exponenciálne rovnice. Ako viete, USE zahŕňa jednoduché rovnice. Niektoré sme už zvážili - sú to logaritmické, trigonometrické, racionálne. Tu sú exponenciálne rovnice.

V nedávnom článku sme pracovali s exponenciálnymi výrazmi, bude sa to hodiť. Samotné rovnice sa riešia jednoducho a rýchlo. Vyžaduje sa iba poznať vlastnosti exponentov a ... O tomtoĎalej.

Uvádzame vlastnosti exponentov:

Nulová mocnina ľubovoľného čísla sa rovná jednej.

Dôsledok tejto vlastnosti:

Ešte trochu teórie.

Exponenciálna rovnica je rovnica obsahujúca premennú v exponente, to znamená, že táto rovnica má tvar:

f(X) výraz, ktorý obsahuje premennú

Metódy riešenia exponenciálne rovnice

1. V dôsledku transformácií možno rovnicu zredukovať do tvaru:

Potom použijeme vlastnosť:

2. Pri získavaní rovnice tvaru a f (X) = b keď sa použije definícia logaritmu, dostaneme:

3. V dôsledku transformácií môžete získať rovnicu v tvare:

Používa sa logaritmus:

Vyjadrite a nájdite x.

V úlohách POUŽÍVAŤ možnosti bude stačiť použiť prvý spôsob.

To znamená, že je potrebné reprezentovať ľavú a pravú časť ako stupne s rovnakou základňou a potom porovnávame ukazovatele a riešime obvyklú lineárnu rovnicu.

Zvážte rovnice:

Nájdite koreň rovnice 4 1-2x = 64.

Je potrebné dbať na to, aby bola ľavá a pravá časť exponenciálne výrazy s jednou základňou. 64 môžeme vyjadriť ako 4 na mocninu 3. Získame:

4 1–2x = 4 3

1-2x = 3

- 2x = 2

x = - 1

Vyšetrenie:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

odpoveď: -1

Nájdite koreň rovnice 3 x-18 = 1/9.

To je známe

Takže 3 x-18 = 3-2

Základy sú rovnaké, môžeme porovnávať ukazovatele:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Vyšetrenie:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

odpoveď: 16

Nájdite koreň rovnice:

Predstavme zlomok 1/64 ako jednu štvrtinu až tretinu:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Vyšetrenie:

odpoveď: 11

Nájdite koreň rovnice:

Predstavme si 1/3 ako 3 -1 a 9 ako 3 na druhú, dostaneme:

(3 – 1) 8 – 2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Teraz môžeme porovnávať ukazovatele:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Vyšetrenie:

odpoveď: 5

26654. Nájdite koreň rovnice:

Riešenie:

Odpoveď: 8,75

Skutočne, bez ohľadu na to, akú mocninu zdvihneme kladné číslo a, v žiadnom prípade nemôžeme získať záporné číslo.

Akákoľvek exponenciálna rovnica sa po vhodných transformáciách redukuje na riešenie jednej alebo viacerých jednoduchých.V tejto časti sa budeme zaoberať aj riešením niektorých rovníc, nenechajte si to ujsť!To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

V štádiu prípravy na záverečné testovanie si stredoškoláci potrebujú zdokonaliť vedomosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto stredoškoláci, bez ohľadu na úroveň ich prípravy, musia starostlivo ovládať teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Absolventi, ktorí sa naučili zvládať tento typ úloh, budú môcť počítať s vysokým skóre pri zložení skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie spolu so Shkolkovo!

Pri opakovaní preberaných látok sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Realizujeme kompletne nová metóda príprava na záverečný test. Štúdiom na našej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť presne tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia školy "Shkolkovo" zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetko potrebné na úspešné odovzdanie POUŽÍVAJTE materiál tým najjednoduchším a najdostupnejším spôsobom.

Hlavné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretický odkaz".

Pre lepšie osvojenie si učiva odporúčame precvičiť si zadania. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste porozumeli výpočtovému algoritmu. Potom pokračujte v úlohách v časti „Katalógy“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobovali ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbených“. Môžete ich teda rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!

Táto lekcia je určená pre tých, ktorí sa práve začínajú učiť exponenciálne rovnice. Ako vždy, začnime definíciou a jednoduchými príkladmi.

Ak čítate túto lekciu, mám podozrenie, že už aspoň minimálne rozumiete najjednoduchším rovniciam – lineárnym a štvorcovým: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atď. Schopnosť riešiť takéto konštrukcie je absolútne nevyhnutná, aby sme „neviseli“ v téme, o ktorej sa teraz bude diskutovať.

Takže exponenciálne rovnice. Uvediem pár príkladov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=-3\]

Niektoré sa vám môžu zdať komplikovanejšie, niektoré sú naopak príliš jednoduché. Všetky však spája jedna dôležitá vlastnosť: obsahujú exponenciálnu funkciu $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Preto uvádzame definíciu:

Exponenciálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje exponenciálnu funkciu, t.j. výraz v tvare $((a)^(x))$. Okrem zadanej funkcie môžu takéto rovnice obsahovať akékoľvek ďalšie algebraické konštrukcie - polynómy, korene, trigonometriu, logaritmy atď.

Dobre teda. Rozumel definícii. Teraz otázka znie: ako vyriešiť všetky tieto svinstvá? Odpoveď je jednoduchá a zložitá zároveň.

Začnime dobrou správou: z mojej skúsenosti s mnohými študentmi môžem povedať, že pre väčšinu z nich sú exponenciálne rovnice oveľa jednoduchšie ako rovnaké logaritmy a ešte viac trigonometria.

Je tu však aj zlá správa: občas zostavovateľov úloh k všelijakým učebniciam a skúškam navštívi „inšpirácia“ a ich drogami zapálený mozog začne produkovať také brutálne rovnice, že ich riešenie začína byť problematické nielen pre študentov – dokonca aj mnohí učitelia sa na takýchto problémoch zaseknú.

Nehovorme však o smutných veciach. A vráťme sa k tým trom rovniciam, ktoré boli dané na samom začiatku príbehu. Pokúsme sa vyriešiť každý z nich.

Prvá rovnica: $((2)^(x))=4$. No a na akú moc musí byť povýšené číslo 2, aby dostalo číslo 4? Možno to druhé? Veď $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — a dostali sme správnu číselnú rovnosť, t.j. naozaj $x=2$. No, ďakujem, čiapočka, ale táto rovnica bola taká jednoduchá, že ju dokázala vyriešiť aj moja mačka. :)

Pozrime sa na nasledujúcu rovnicu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tu je to však trochu ťažšie. Mnoho študentov vie, že $((5)^(2))=25$ je násobilka. Niektorí sa tiež domnievajú, že $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ je v podstate definícia záporných mocnín (podobná vzorcu $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Nakoniec len pár vyvolených tipuje, že tieto fakty možno skombinovať a výsledkom je nasledujúci výsledok:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Naša pôvodná rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Šípka doprava ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz je to už úplne vyriešené! Na ľavej strane rovnice je exponenciálna funkcia, na pravej strane rovnice je exponenciálna funkcia, nikde inde nie je nič okrem nich. Preto je možné „vyhodiť“ základy a hlúpo prirovnať ukazovatele:

Získali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, ktorú môže každý študent vyriešiť iba v niekoľkých riadkoch. Dobre, v štyroch riadkoch:

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

Ak nerozumiete tomu, čo sa stalo v posledných štyroch riadkoch, vráťte sa k téme „lineárne rovnice“ a zopakujte si ju. Pretože bez jasnej asimilácie tejto témy je príliš skoro na to, aby ste sa zaoberali exponenciálnymi rovnicami.

\[((9)^(x))=-3\]

No a ako sa rozhodneš? Prvá myšlienka: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, takže pôvodnú rovnicu možno prepísať takto:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Potom si pripomíname, že pri zvýšení stupňa na moc sa ukazovatele znásobia:

\[((\vľavo(((3)^(2)) \vpravo))^(x))=((3)^(2x))\Šípka doprava ((3)^(2x))=-((3)^(1))\]

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

A za takéto rozhodnutie dostávame úprimne zaslúženú dvojku. Pretože my sme s vyrovnanosťou Pokémona poslali znamienko mínus pred trojicu k sile práve tejto trojky. A to nemôžete urobiť. A preto. Pozrite sa na rôzne mocniny trojky:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)(2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2)))(3) ^(-2)))(3))(3))\s)\s)\frac(1) qrt(3) \\ ( (3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pri zostavovaní tejto tablety som čo najskôr neprevrátil: považoval som pozitívne stupne a negatívne a dokonca zlomkové ... no, kde je aspoň jeden záporné číslo? On nie je! A nemôže byť, pretože exponenciálna funkcia $y=((a)^(x))$ po prvé vždy trvá len kladné hodnoty(nezáleží na tom, koľko vynásobíte jednotku alebo vydelíte dvoma, stále to bude kladné číslo) a po druhé, základ takejto funkcie - číslo $a$ - je z definície kladné číslo!

Ako potom vyriešiť rovnicu $((9)^(x))=-3$? Nie, nie sú tam žiadne korene. A v tomto zmysle sú exponenciálne rovnice veľmi podobné tým kvadratickým - tiež nemusia existovať žiadne korene. Ale ak v kvadratické rovnice počet koreňov je určený diskriminantom (diskriminant je kladný - 2 korene, záporný - bez koreňov), potom v exponenciáli všetko závisí od toho, čo je napravo od znamienka rovnosti.

Sformulujeme teda kľúčový záver: najjednoduchšia exponenciálna rovnica v tvare $((a)^(x))=b$ má koreň práve vtedy, keď $b>0$. Keď poznáte tento jednoduchý fakt, môžete ľahko určiť, či rovnica, ktorá vám bola navrhnutá, má korene alebo nie. Tie. oplatí sa to vôbec riešiť alebo rovno napísať, že tam nie sú korene.

Toto poznanie nám mnohonásobne pomôže, keď musíme riešiť zložitejšie problémy. Medzitým dosť textov - je čas naštudovať si základný algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc.

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Takže sformulujme problém. Je potrebné vyriešiť exponenciálnu rovnicu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Podľa „naivného“ algoritmu, ktorý sme použili predtým, je potrebné reprezentovať číslo $b$ ako mocninu čísla $a$:

Navyše, ak je namiesto premennej $x$ akýkoľvek výraz, dostaneme novú rovnicu, ktorá sa už dá vyriešiť. Napríklad:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((2)^(x))=8\šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(3))\šípka doprava x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Šípka doprava ((3)^(-x))=((3)^(4))\Šípka doprava -x=4\Šípka doprava x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Šípka doprava ((5)^(2x))=((5)^(3))\Šípka doprava 2x=3\Šípka doprava x=\frac(3)(2). \\\end(zarovnať)\]

A napodiv, táto schéma funguje asi v 90% prípadov. A čo potom zvyšných 10%? Zvyšných 10 % sú mierne „schizofrenické“ exponenciálne rovnice tvaru:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na akú silu potrebujete zvýšiť 2, aby ste dostali 3? V prvom? Ale nie: $((2)^(1))=2$ nestačí. V druhom? Ani jedno: $((2)^(2))=4$ je príliš veľa. Čo potom?

Znalí študenti už pravdepodobne uhádli: v takých prípadoch, keď nie je možné vyriešiť „krásne“, je s prípadom spojené „ťažké delostrelectvo“ - logaritmy. Dovoľte mi pripomenúť, že pomocou logaritmov môže byť každé kladné číslo reprezentované ako mocnina akéhokoľvek iného kladné číslo(okrem jednotky):

Pamätáte si tento vzorec? Keď svojim študentom hovorím o logaritmoch, vždy vás varujem: tento vzorec (je to aj základná logaritmická identita alebo, ak chcete, definícia logaritmu) vás bude prenasledovať veľmi dlho a „vynorí sa“ na najneočakávanejších miestach. No vynorila sa. Pozrime sa na našu rovnicu a tento vzorec:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\koniec (zarovnanie)\]

Ak predpokladáme, že $a=3$ je naše pôvodné číslo vpravo a $b=2$ je samotný základ exponenciálnej funkcie, na ktorú chceme znížiť pravú stranu, dostaneme nasledovné:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3)); \\& ((2)^(x))=3\Šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Šípka doprava x=((\log )_(2))3. \\\end(zarovnať)\]

Dostali sme trochu zvláštnu odpoveď: $x=((\log )_(2))3$. Pri nejakej inej úlohe by s takouto odpoveďou mnohí zapochybovali a začali svoje riešenie preverovať: čo ak sa niekde stala chyba? Ponáhľam sa vás potešiť: nie je tu žiadna chyba a logaritmy v koreňoch exponenciálnych rovníc sú celkom typickou situáciou. Tak si zvykajte. :)

Teraz analogicky vyriešime zostávajúce dve rovnice:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Šípka doprava ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15))\Šípka doprava x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Šípka doprava ((4)^(2x))=(4)^(((\log )_(4))11))\Šípka doprava 2x=((\log )_(4))11\Šípka doprava x=\frac(1)(2)(()\log 1_(4). \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Mimochodom, posledná odpoveď môže byť napísaná inak:

Boli sme to my, kto zaviedol multiplikátor do argumentu logaritmu. Ale nikto nám nebráni pridať tento faktor k základu:

V tomto prípade sú všetky tri možnosti správne - je to tak rôzne formy záznamy rovnakého čísla. Ktorý si vyberiete a zapíšete do tohto rozhodnutia, je len na vás.

Tak sme sa naučili riešiť akékoľvek exponenciálne rovnice v tvare $((a)^(x))=b$, kde čísla $a$ a $b$ sú striktne kladné. Tvrdá realita nášho sveta je však taká, že takéto jednoduché úlohy vás stretnú veľmi, veľmi zriedka. Častejšie sa stretnete s niečím takým:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

No a ako sa rozhodneš? Dá sa to vôbec riešiť? A ak áno, ako?

Žiadna panika. Všetky tieto rovnice sú rýchlo a jednoducho zredukované na tie jednoduché vzorce, ktoré sme už zvážili. Stačí si vedieť zapamätať pár trikov z kurzu algebry. A samozrejme, neexistujú tu žiadne pravidlá pre prácu s titulmi. O tom všetkom teraz budem hovoriť. :)

Transformácia exponenciálnych rovníc

Prvá vec, ktorú si treba zapamätať, je, že každá exponenciálna rovnica, bez ohľadu na to, aká môže byť zložitá, musí byť tak či onak zredukovaná na najjednoduchšie rovnice – práve tie, ktoré sme už uvažovali a ktoré vieme vyriešiť. Inými slovami, schéma riešenia akejkoľvek exponenciálnej rovnice vyzerá takto:

1. Zapíšte pôvodnú rovnicu. Napríklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Urob nejaké hlúposti. Alebo dokonca nejaké svinstvo s názvom „transformovať rovnicu“;
3. Na výstupe získajte najjednoduchšie výrazy ako $((4)^(x))=4$ alebo niečo podobné. Navyše jedna počiatočná rovnica môže poskytnúť niekoľko takýchto výrazov naraz.

S prvým bodom je všetko jasné - dokonca aj moja mačka môže napísať rovnicu na list. Zdá sa, že aj s tretím bodom je to viac-menej jasné – takých rovníc sme už riešili vyššie.

Ale čo druhý bod? Aké sú premeny? Čo previesť na čo? A ako?

Nuž, poďme na to. V prvom rade by som chcel upozorniť na nasledovné. Všetky exponenciálne rovnice sú rozdelené do dvoch typov:

1. Rovnica sa skladá z exponenciálnych funkcií s rovnakým základom. Príklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Vzorec obsahuje exponenciálne funkcie s rôznymi základňami. Príklady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ a $((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Začnime rovnicami prvého typu – tie sa riešia najjednoduchšie. A pri ich riešení nám pomôže taká technika, ako je výber stabilných výrazov.

Zvýraznenie stabilného výrazu

Pozrime sa ešte raz na túto rovnicu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

čo vidíme? Štyri sú zvýšené v rôznych stupňoch. Ale všetky tieto mocniny sú jednoduché súčty premennej $x$ s inými číslami. Preto je potrebné pamätať na pravidlá pre prácu s titulmi:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a)^(y))). \\\end(zarovnať)\]

Jednoducho povedané, sčítanie exponentov sa dá previesť na súčin mocnín a odčítanie sa ľahko prevedie na delenie. Skúsme použiť tieto vzorce na mocniny z našej rovnice:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^(x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \\\end(align)\]

Prepíšeme pôvodnú rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť a potom zhromaždíme všetky výrazy vľavo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4-11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(zarovnať)\]

Prvé štyri výrazy obsahujú prvok $((4)^(x))$ — vyberme ho zo zátvorky:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(zarovnať)\]

Zostáva rozdeliť obe časti rovnice zlomkom $-\frac(11)(4)$, t.j. v podstate vynásobte prevráteným zlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dostaneme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right)=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Pôvodnú rovnicu sme zredukovali na najjednoduchšiu a dostali sme konečnú odpoveď.

Zároveň sme v procese riešenia objavili (a dokonca vyňali zo zátvorky) spoločný činiteľ $((4)^(x))$ - toto je stabilný výraz. Môže byť označená ako nová premenná, alebo ju môžete jednoducho presne vyjadriť a získať odpoveď. V každom prípade je kľúčový princíp riešenia nasledovný:

Nájdite v pôvodnej rovnici stabilný výraz obsahujúci premennú, ktorú možno ľahko odlíšiť od všetkých exponenciálnych funkcií.

Dobrou správou je, že takmer každá exponenciálna rovnica pripúšťa takýto stabilný výraz.

Je tu však aj zlá správa: takéto výrazy môžu byť veľmi zložité a môže byť dosť ťažké ich rozlíšiť. Pozrime sa teda na ďalší problém:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možno si teraz niekto položí otázku: „Pasha, si ukameňovaný? Tu sú rôzne základy - 5 a 0,2. Ale skúsme previesť mocninu so základom 0,2. Napríklad, zbavme sa desatinný zlomok, čím sa dostane na zvyčajné:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) \right))^(-\left (x+1 \right)))=(\left(\frac(1)(5)\left)(vpravo)-1)

Ako vidíte, číslo 5 sa predsa len objavilo, aj keď v menovateli. Zároveň bol ukazovateľ prepísaný na negatívny. A teraz si pripomenieme jedno z najdôležitejších pravidiel pre prácu s titulmi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right)))^)))^(x5)^1)\x]

Tu som, samozrejme, trochu podvádzal. Pretože pre úplné pochopenie musel byť vzorec na zbavenie sa negatívnych ukazovateľov napísaný takto:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))))=(1)(1))\right)=(1) (5)^(x+1))\ ]

Na druhej strane nám nič nebránilo pracovať len s jedným zlomkom:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left (x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(5)^(\left(-1 \right \)))\cdot vľavo \xleft (vpravo \)-5)^) vľavo \xleft (vpravo)(5) 1))\]

Ale v tomto prípade musíte byť schopní zvýšiť stupeň na iný stupeň (pripomínam vám: v tomto prípade sa ukazovatele sčítavajú). Ale nemusel som zlomky „preklápať“ - možno pre niekoho to bude jednoduchšie. :)

V každom prípade bude pôvodná exponenciálna rovnica prepísaná takto:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(zarovnať)\]

Ukazuje sa teda, že pôvodnú rovnicu je možné vyriešiť ešte jednoduchšie ako predtým zvažovanú rovnicu: tu ani nemusíte vyberať stabilný výraz - všetko sa zredukovalo samo. Zostáva len pamätať si, že $1=((5)^(0))$, odkiaľ dostaneme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie! Dostali sme konečnú odpoveď: $x=-2$. Zároveň by som rád poznamenal jeden trik, ktorý nám výrazne zjednodušil všetky výpočty:

V exponenciálnych rovniciach sa určite zbavte desatinných zlomkov, preložte ich na obyčajné. To vám umožní vidieť rovnaké základy stupňov a výrazne zjednodušiť riešenie.

Teraz prejdime k zložitejším rovniciam, v ktorých sú rôzne bázy, ktoré vo všeobecnosti nie sú navzájom redukovateľné pomocou mocnín.

Použitie vlastnosti exponent

Dovoľte mi pripomenúť, že máme dve obzvlášť drsné rovnice:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

Hlavným problémom je, že nie je jasné, čo a na akom základe viesť. Kde nastaviť výrazy? Kde sú spoločné dôvody? Nič z toho neexistuje.

Ale skúsme ísť inou cestou. Ak neexistujú žiadne hotové identické základne, môžete sa ich pokúsiť nájsť rozpočítaním dostupných základov.

Začnime prvou rovnicou:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cbodka 3\šípka doprava ((21)^(3x))=((\vľavo(7\cbodka 3 \vpravo))^(3x))=((7)^(3x))\cbodka ((3)^(3x)). \\\end(zarovnať)\]

Ale koniec koncov môžete urobiť opak - vytvorte číslo 21 z čísel 7 a 3. Je to obzvlášť ľahké urobiť vľavo, pretože ukazovatele oboch stupňov sú rovnaké:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Vybrali ste exponent zo súčinu a okamžite ste dostali krásnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť niekoľkými riadkami.

Teraz sa poďme zaoberať druhou rovnicou. Tu je všetko oveľa komplikovanejšie:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tomto prípade sa zlomky ukázali ako nezredukovateľné, ale ak by sa niečo dalo znížiť, určite to zredukujte. Výsledkom sú často zaujímavé dôvody, s ktorými už môžete pracovať.

Žiaľ, na nič sme neprišli. Vidíme však, že exponenty vľavo v súčine sú opačné:

Dovoľte mi pripomenúť: aby ste sa zbavili znamienka mínus v exponente, stačí zlomok „prehodiť“. Prepíšme teda pôvodnú rovnicu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(zarovnať)\]

V druhom riadku sme jednoducho uzavreli súčet zo súčinu podľa pravidla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ a v poslednom riadku sme číslo 100 jednoducho vynásobili zlomkom.

Teraz si všimnite, že čísla vľavo (v základni) a vpravo sú trochu podobné. Ako? Áno, samozrejme: sú to mocnosti rovnakého čísla! Máme:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

Naša rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac))-3) \)\10)-3)

Zároveň vpravo môžete získať aj stupeň s rovnakým základom, na ktorý stačí zlomok „prehodiť“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nakoniec naša rovnica bude mať tvar:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie. Jeho hlavnou myšlienkou je, že aj keby rôzne dôvody Snažíme sa hákom alebo podvodom zredukovať tieto dôvody na jeden a ten istý. V tom nám pomáhajú elementárne transformácie rovníc a pravidlá pre prácu s mocninami.

Ale aké pravidlá a kedy použiť? Ako pochopiť, že v jednej rovnici musíte obe strany niečím rozdeliť a v inej - rozložiť základ exponenciálnej funkcie na faktory?

Odpoveď na túto otázku príde so skúsenosťami. Najprv vyskúšajte svoju ruku jednoduché rovnice, a potom postupne komplikujte úlohy - a čoskoro budú vaše schopnosti stačiť na vyriešenie akejkoľvek exponenciálnej rovnice z rovnakého USE alebo akejkoľvek nezávislej / testovacej práce.

A aby som vám pomohol v tejto ťažkej úlohe, navrhujem stiahnuť súbor rovníc na mojej webovej stránke pre nezávislé riešenie. Všetky rovnice majú odpovede, takže si ich môžete kedykoľvek overiť.

Čo je to exponenciálna rovnica? Príklady.

Takže, exponenciálna rovnica... Nový unikátny exponát na našej všeobecnej výstave širokej škály rovníc!) Ako takmer vždy, kľúčové slovo každého nového matematického výrazu je zodpovedajúce prídavné meno, ktoré ho charakterizuje. Takže aj tu. kľúčové slovo v termíne "exponenciálna rovnica" je slovo "demonštratívne". Čo to znamená? Toto slovo znamená, že neznáma (x) je v zmysle akéhokoľvek stupňa. A len tam! Toto je mimoriadne dôležité.

Napríklad tieto jednoduché rovnice:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Alebo dokonca tieto príšery:

2 hriech x = 0,5

Žiadam vás, aby ste okamžite venovali pozornosť jednej dôležitej veci: in dôvodov stupne (dole) - iba čísla. Ale v ukazovatele stupne (hore) - široká škála výrazov s x. Absolútne akékoľvek.) Všetko závisí od konkrétnej rovnice. Ak zrazu x vyjde v rovnici niekde inde, okrem indikátora (povedzme 3 x \u003d 18 + x 2), takáto rovnica už bude rovnicou zmiešaný typ. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Preto ich v tejto lekcii nebudeme brať do úvahy. Na radosť študentov.) Tu budeme uvažovať iba o exponenciálnych rovniciach v „čistej“ forme.

Všeobecne povedané, dokonca ani čisté exponenciálne rovnice nie sú jasne vyriešené vo všetkých prípadoch a nie vždy. Ale medzi bohatou škálou exponenciálnych rovníc existujú určité typy, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Práve tieto typy rovníc s vami zvážime. A príklady určite vyriešime.) Ubytujeme sa teda pohodlne a - na ceste! Rovnako ako v počítačových „strielačkách“ bude naša cesta prechádzať úrovňami.) Od základných po jednoduché, od jednoduchých po stredné a od stredného po zložité. Po ceste vás bude čakať aj tajný level – triky a metódy na riešenie neštandardných príkladov. Tie, o ktorých sa vo väčšine školských učebníc nedočítate... No a na konci vás samozrejme čaká záverečný šéf v podobe domácich úloh.)

Úroveň 0. Aká je najjednoduchšia exponenciálna rovnica? Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc.

Na začiatok sa pozrime na niektoré úprimné elementárne. Niekde začať treba, však? Napríklad táto rovnica:

2 x = 2 2

Aj bez akýchkoľvek teórií, jednoduchou logikou a zdravým rozumom je jasné, že x = 2. Inak to nejde, však? Žiadna iná hodnota x nie je dobrá... Teraz obráťme našu pozornosť na rozhodovací vstup táto skvelá exponenciálna rovnica:

2 x = 2 2

X = 2

čo sa nám stalo? A stalo sa nasledovné. V skutočnosti sme vzali a ... len vyhodili rovnaké základne (dvojky)! Úplne vyhodené. A čo sa páči, udrite do očí!

Áno, skutočne, ak sú v exponenciálnej rovnici vľavo a vpravo rovnakýčísla v akomkoľvek stupni, potom môžu byť tieto čísla vyradené a jednoducho prirovnať exponenty. Matematika umožňuje.) A potom môžete samostatne pracovať s ukazovateľmi a riešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Je to skvelé, však?

Tu je kľúčová myšlienka riešenia akejkoľvek (áno, presne akejkoľvek!) exponenciálnej rovnice: pomocou identických transformácií je potrebné zabezpečiť, aby v rovnici boli ľavé a pravé rovnaký základné čísla v rôznych stupňoch. A potom môžete bezpečne odstrániť rovnaké základy a prirovnať exponenty. A pracujte s jednoduchšou rovnicou.

A teraz si pamätáme železné pravidlo: je možné odstrániť rovnaké základy vtedy a len vtedy, ak sú v rovnici vľavo a vpravo základné čísla v hrdej osamelosti.

Čo to znamená v nádhernej izolácii? To znamená bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Vysvetlím.

Napríklad v rovnici

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nemôžete odstrániť trojčatá! prečo? Pretože na ľavej strane nemáme len osamelú trojku na stupni, ale práca 3 3 x-5. Do cesty prekáža ešte trojnásobok: koeficient, rozumiete.)

To isté možno povedať o rovnici

5 3 x = 5 2 x +5 x

Aj tu sú všetky základy rovnaké – päť. Ale napravo nemáme ani jeden stupeň päť: je tu súčet stupňov!

Stručne povedané, máme právo odstrániť rovnaké základy iba vtedy, keď naša exponenciálna rovnica vyzerá takto a iba takto:

af (X) = a g (X)

Tento typ exponenciálnej rovnice sa nazýva najjednoduchšie. Alebo vedecky, kanonický . A nech je tá skrútená rovnica pred nami akákoľvek, tak či onak, zredukujeme ju na takú jednoduchú (kánonickú) formu. Alebo v niektorých prípadoch na agregátov rovnice tohto druhu. Potom môže byť naša najjednoduchšia rovnica in všeobecný pohľad prepísať takto:

F(x) = g(x)

A to je všetko. Toto bude ekvivalentná transformácia. Zároveň úplne akékoľvek výrazy s x môžu byť použité ako f(x) a g(x). Hocičo.

Možno sa obzvlášť zvedavý študent opýta: prečo, preboha, tak ľahko a jednoducho zahodíme rovnaké základy vľavo a vpravo a dávame rovnítko medzi exponenty? Intuícia je intuícia, ale zrazu sa v nejakej rovnici a z nejakého dôvodu tento prístup ukáže ako nesprávny? Je vždy legálne hádzať rovnaké základy? Bohužiaľ, za rigoróznu matematickú odpoveď záujem Spýtaj sa musíte sa hlboko a vážne ponoriť do všeobecnej teórie štruktúry a správania funkcií. A trochu konkrétnejšie – vo fenoméne prísna monotónnosť. Najmä prísna monotónnosť exponenciálna funkciar= a x. Keďže práve exponenciálna funkcia a jej vlastnosti sú základom riešenia exponenciálnych rovníc, áno.) Podrobnú odpoveď na túto otázku poskytneme v samostatnej špeciálnej lekcii venovanej riešeniu zložitých neštandardných rovníc s využitím monotónnosti rôznych funkcií.)

Vysvetliť tento bod podrobne teraz znamená len vytiahnuť mozog priemerného školáka a vopred ho vystrašiť suchou a ťažkou teóriou. Toto neurobím.) Pre naše hlavné tento momentúloha - Naučte sa riešiť exponenciálne rovnice!Úplne najjednoduchšie! Preto, až kým sa nezapotíme a smelo vyhodíme tie isté dôvody. Toto Môcť, vezmite ma za slovo!) A potom už riešime ekvivalentnú rovnicu f (x) = g (x). Spravidla je jednoduchšia ako pôvodná exponenciála.

Predpokladá sa, samozrejme, že ľudia už vedia riešiť aspoň , a rovnice, už bez x v ukazovateľoch.) Kto ešte nevie ako, pokojne zatvorte túto stránku, prejdite sa po príslušných odkazoch a vyplňte staré medzery. Inak to budeš mať ťažké, áno...

O iracionálnych, trigonometrických a iných brutálnych rovniciach, ktoré sa môžu objaviť aj v procese odstraňovania báz, mlčím. Ale neznepokojujte sa, zatiaľ nebudeme uvažovať o úprimnom cíne v stupňoch: je príliš skoro. Budeme trénovať iba na najjednoduchších rovniciach.)

Teraz zvážte rovnice, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Aby sme ich rozlíšili, nazvime ich jednoduché exponenciálne rovnice. Takže poďme na ďalšiu úroveň!

Úroveň 1. Jednoduché exponenciálne rovnice. Poznať tituly! prirodzené ukazovatele.

Kľúčové pravidlá pri riešení akýchkoľvek exponenciálnych rovníc sú pravidlá zaobchádzania s titulmi. Bez týchto vedomostí a zručností nebude fungovať nič. žiaľ. Takže, ak sú problémy s titulmi, tak na začiatok ste vítaní. Okrem toho potrebujeme aj . Tieto transformácie (až dve!) sú základom pre riešenie všetkých rovníc matematiky vo všeobecnosti. A nielen vitríny. Takže, kto zabudol, prejdite sa aj na odkaz: Obliekla som si ich z nejakého dôvodu.

Ale len akcie so schopnosťami a rovnakými transformáciami nestačia. Vyžaduje si to aj osobné pozorovanie a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké dôvody, nie? Preto skúmame príklad a hľadáme ich v explicitnej alebo skrytej forme!

Napríklad táto rovnica:

3 2x – 27x +2 = 0

Prvý pohľad na dôvodov. Sú iní! Tri a dvadsaťsedem. Na paniku a upadnutie do zúfalstva je však priskoro. Je načase si to pripomenúť

27 = 3 3

Čísla 3 a 27 sú príbuzní v stupni! Navyše, príbuzní.) Preto máme plné právo zapísať:

27 x +2 = (3 3) x + 2

A teraz spájame naše poznatky o akcie s titulmi(a varoval som ťa!). Existuje taký veľmi užitočný vzorec:

(am) n = a mn

Teraz, ak to spustíte v kurze, vo všeobecnosti to dopadne dobre:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pôvodný príklad teraz vyzerá takto:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Skvelé, základy stupňov sa zarovnali. O čo sme sa snažili. Polovica práce je hotová.) A teraz spustíme základnú transformáciu identity – prenesieme 3 3 (x +2) doprava. Nikto nezrušil základné úkony matematiky, áno.) Dostávame:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Čo nám dáva takúto rovnicu? A skutočnosť, že teraz je naša rovnica znížená do kánonickej podoby: vľavo a vpravo sú rovnaké čísla (trojice) v mocninách. A obe trojičky - v nádhernej izolácii. Odvážne odstránime trojičky a získame:

2x = 3(x+2)

Vyriešime to a dostaneme:

X = -6

To je všetko. Toto je správna odpoveď.)

A teraz chápeme priebeh rozhodnutia. Čo nás v tomto príklade zachránilo? Zachránila nás znalosť stupňov trojky. ako presne? my identifikovanéčíslo 27 zašifrované tri! Tento trik (šifrovanie rovnakej základne pod rôzne čísla) je jedným z najpopulárnejších v exponenciálnych rovniciach! Pokiaľ nie je najobľúbenejší. Áno, a tiež, mimochodom. Preto je pozorovanie a schopnosť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach také dôležité v exponenciálnych rovniciach!

Praktické rady:

Musíte poznať silu populárnych čísel. V tvári!

Samozrejme, každý môže zvýšiť dve na siedmu mocninu alebo tri na piatu. Nie podľa mňa, teda aspoň na drafte. Ale v exponenciálnych rovniciach je oveľa častejšie potrebné nezvyšovať na mocninu, ale naopak zistiť, aké číslo a do akej miery sa skrýva za číslom, povedzme 128 alebo 243. A to je už zložitejšie ako jednoduché umocňovanie, vidíte. Cítite ten rozdiel, ako sa hovorí!

Keďže schopnosť rozpoznať stupne v tvári je užitočná nielen na tejto úrovni, ale aj na nasledujúcich, máme pre vás malú úlohu:

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odpovede (samozrejme rozptýlené):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Áno áno! Nečudujte sa, že odpovedí je viac ako úloh. Napríklad 2 8, 4 4 a 16 2 sú všetky 256.

Úroveň 2. Jednoduché exponenciálne rovnice. Poznať tituly! Záporné a zlomkové exponenty.

Na tejto úrovni už využívame naše znalosti titulov naplno. Konkrétne do tohto fascinujúceho procesu zapájame negatívne a zlomkové ukazovatele! Áno áno! Musíme si vybudovať silu, však?

Napríklad táto hrozná rovnica:

Opäť sa najprv pozrite na základy. Základy sú rôzne! A tentoraz sa na seba ani zďaleka nepodobajú! 5 a 0,04... A na elimináciu báz sú potrebné tie isté... Čo robiť?

Je to v poriadku! V skutočnosti je všetko po starom, akurát spojenie medzi päťkou a 0,04 je vizuálne zle viditeľné. Ako sa dostaneme von? A prejdime k obvyklému zlomku v čísle 0,04! A tam, vidíte, všetko sa tvorí.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ukázalo sa, že 0,04 je 1/25! No, kto by si bol pomyslel!)

No, ako? Teraz je spojenie medzi číslami 5 a 1/25 ľahšie viditeľné? Tak to je...

A teraz, podľa pravidiel prevádzky s právomocami s negatívny ukazovateľ dá sa napísať pevnou rukou:

To je skvelé. Tak sme sa dostali na rovnakú základňu – päťku. Teraz nahradíme nepríjemné číslo 0,04 v rovnici číslom 5 -2 a dostaneme:

Opäť, podľa pravidiel operácií s právomocami, môžeme teraz písať:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Pre každý prípad pripomínam (zrazu, kto nevie), že základné pravidlá akcie s právomocami sú platné pre akýkoľvek ukazovatele! Vrátane negatívnych.) Takže kľudne vezmite a vynásobte ukazovatele (-2) a (x-1) podľa príslušného pravidla. Naša rovnica je stále lepšia a lepšia:

Všetky! Okrem osamelých pätiek v stupňoch vľavo a vpravo nie je nič iné. Rovnica je zredukovaná na kanonickú formu. A potom - po vrúbkovanej dráhe. Odstránime päťky a prirovnáme ukazovatele:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Príklad je takmer hotový. Základná matematika stredných tried zostáva - otvárame (správne!) Zátvorky a zbierame všetko vľavo:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Vyriešime to a dostaneme dva korene:

X 1 = 1; X 2 = 3

To je všetko.)

Teraz sa zamyslime znova. V tomto príklade sme opäť museli rozpoznať rovnaké číslo v rôznej miere! Totiž vidieť zašifrovanú päťku v čísle 0,04. A tentoraz v negatívny stupeň! Ako sa nám to podarilo? V pohybe - v žiadnom prípade. Ale po prechode z desatinného zlomku 0,04 na obyčajný zlomok 1/25 sa všetko zvýraznilo! A potom celé rozhodnutie išlo ako po masle.)

Preto ďalšia zelená praktická rada.

Ak sú v exponenciálnej rovnici desatinné zlomky, potom prejdeme od desatinných zlomkov k obyčajným. IN bežné zlomky je oveľa jednoduchšie rozpoznať mocniny mnohých populárnych čísel! Po rozpoznaní prejdeme od zlomkov k mocninám so zápornými exponentmi.

Majte na pamäti, že takáto finta v exponenciálnych rovniciach sa vyskytuje veľmi, veľmi často! A osoba nie je v predmete. Pozrie sa napríklad na čísla 32 a 0,125 a rozčúli sa. Je mu neznáme, že ide o tú istú dvojku, len v rôzneho stupňa... Ale už ste v téme!)

Vyriešte rovnicu:

In! Vyzerá to ako tichý horor ... Zdanie však klame. Toto je najjednoduchšia exponenciálna rovnica, napriek tomu, že je desivá vzhľad. A teraz vám to ukážem.)

Najprv sa zaoberáme všetkými číslami, ktoré sú v základoch a v koeficientoch. Očividne sú iní, áno. Ale stále riskujeme a snažíme sa ich vyrobiť rovnaký! Skúsme sa dostať rovnaký počet v rôznych stupňoch. A pokiaľ možno čo najmenší počet. Takže, začnime dešifrovať!

No so štyrmi naraz je všetko jasné – je to 2 2 . Tak už niečo.)

So zlomkom 0,25 - to ešte nie je jasné. Treba skontrolovať. Používame praktické rady – prejdite od desatinného k bežnému:

0,25 = 25/100 = 1/4

Už oveľa lepšie. Zatiaľ je už jasne vidieť, že 1/4 je 2 -2. Skvelé a číslo 0,25 je tiež podobné dvojke.)

Zatiaľ je všetko dobré. Ale najhoršie číslo zo všetkých zostáva - druhá odmocnina z dvoch!Čo robiť s touto paprikou? Dá sa to vyjadriť aj ako mocnina dvoch? A ktovie...

No a opäť lezieme do našej pokladnice vedomostí o tituloch! Tentoraz navyše prepájame naše poznatky o koreňoch. Od 9. ročníka sme museli strpieť, že každý koreň, ak sa chce, sa dá vždy premeniť na stupeň so zlomkom.

Páči sa ti to:

V našom prípade:

Ako! Ukazuje sa, že druhá odmocnina z dvoch je 2 1/2. To je všetko!

To je v poriadku! Všetky naše nepohodlné čísla sa v skutočnosti ukázali ako zašifrovaná dvojka.) Nehádam sa, niekde veľmi sofistikovane zašifrované. Ale zvyšujeme aj našu profesionalitu pri riešení takýchto šifier! A potom je už všetko zrejmé. Čísla 4, 0,25 a odmocninu z dvoch v našej rovnici nahradíme mocninou dvoch:

Všetky! Základy všetkých stupňov v príklade sa stali rovnakými - dvoma. A teraz sa používajú štandardné akcie so stupňami:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Pre ľavú stranu dostanete:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Pre pravú stranu bude:

A teraz naša zlá rovnica začala vyzerať takto:

Pre tých, ktorí neprišli na to, ako presne táto rovnica dopadla, potom otázka nie je o exponenciálnych rovniciach. Otázka sa týka akcií s právomocami. Naliehavo som požiadal, aby som to zopakoval tým, ktorí majú problémy!

Tu je cieľová čiara! Získa sa kánonický tvar exponenciálnej rovnice! No, ako? Presvedčil som ťa, že to nie je také strašidelné? ;) Odstraňujeme dvojky a porovnávame ukazovatele:

Zostáva len vyriešiť túto lineárnu rovnicu. Ako? S pomocou identických transformácií, samozrejme.) Vyriešte, čo už tam je! Vynásobte obe časti dvoma (aby ste odstránili zlomok 3/2), posuňte členy s X doľava, bez X doprava, prineste rovnaké jednotky, počítajte - a budete šťastní!

Všetko by malo dopadnúť krásne:

X = 4

Teraz si rozhodnutie premyslime. V tomto príklade nás zachránil prechod z odmocnina Komu stupňa s exponentom 1/2. Navyše len takáto prefíkaná premena nám všade pomohla dospieť k rovnakému základu (dvojke), čo zachránilo situáciu! A ak nie, potom by sme mali šancu navždy zamrznúť a nikdy sa s týmto príkladom vyrovnať, áno ...

Preto nezanedbávame nasledujúce praktické rady:

Ak sú v exponenciálnej rovnici odmocniny, potom prejdeme od odmocničiek k mocninám so zlomkovými exponentmi. Veľmi často len takáto premena objasní ďalšiu situáciu.

Samozrejme, záporné a zlomkové mocniny sú už oveľa ťažšie. prirodzené stupne. Aspoň čo sa týka zrakového vnímania a najmä rozpoznávania sprava doľava!

Je jasné, že priame zvýšenie napríklad dvojky na -3 alebo štvorky na -3/2 to tak nie je. veľký problém. Pre tých, ktorí vedia.)

Ale choďte napríklad, okamžite si to uvedomte

0,125 = 2 -3

Alebo

Tu vládne len prax a bohaté skúsenosti, áno. A, samozrejme, jasný výhľad, Čo je záporný a zlomkový exponent. a - praktické rady! Áno, áno, tie zelená.) Dúfam, že vám napriek tomu pomôžu lepšie sa zorientovať vo všetkých pestrých stupňoch a výrazne zvýšia vaše šance na úspech! Nezanedbávajme ich teda. Nie som márna v zelenej farbe Občas píšem.)

Na druhej strane, ak sa stanete „vy“ aj s takými exotickými mocnosťami, akými sú záporná a zlomková, potom sa vaše možnosti pri riešení exponenciálnych rovníc ohromne rozšíria a už budete schopní zvládnuť takmer akýkoľvek typ exponenciálnych rovníc. No, ak nie žiadne, tak 80 percent všetkých exponenciálnych rovníc – určite! Áno, áno, nerobím si srandu!

Takže naša prvá časť oboznámenia sa s exponenciálnymi rovnicami dospela k logickému záveru. A ako medzitréning tradične navrhujem vyriešiť si trochu po svojom.)

Cvičenie 1.

Aby moje slová o dešifrovaní záporných a zlomkových stupňov neboli márne, navrhujem zahrať si malú hru!

Vyjadrite číslo ako mocninu dvoch:

Odpovede (v neporiadku):

Stalo? Skvelé! Potom robíme bojovú misiu - riešime najjednoduchšie a jednoduché exponenciálne rovnice!

Úloha 2.

Vyriešte rovnice (všetky odpovede sú neporiadok!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Odpovede:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Stalo? Naozaj, oveľa jednoduchšie!

Potom vyriešime nasledujúcu hru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Odpovede:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

A tieto príklady jedného vľavo? Skvelé! Rastiete! Potom tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré môžete ochutnať:

Odpovede:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

A je rozhodnuté? No rešpekt! Snímam klobúk.) Hodina teda nebola márna a počiatočnú úroveň riešenia exponenciálnych rovníc možno považovať za úspešne zvládnutú. Vpred - ďalšie úrovne a zložitejšie rovnice! A nové techniky a prístupy. A neštandardné príklady. A nové prekvapenia.) To všetko - v ďalšej lekcii!

Niečo nefungovalo? Problémy sú teda s najväčšou pravdepodobnosťou v . Alebo v . Alebo oboje naraz. Tu som bezmocný. Opäť môžem ponúknuť len jedno - nebuďte leniví a prejdite si odkazy.)

Pokračovanie nabudúce.)