Algebra ročník 11

Téma: "Metódy riešenia logaritmických rovníc"

Ciele lekcie:

vzdelávacie: budovanie vedomostí o rôzne cesty riešenie logaritmických rovníc, schopnosť ich aplikovať v každej konkrétnej situácii a zvoliť si akúkoľvek metódu riešenia;

vyvíja: rozvoj schopností pozorovať, porovnávať, aplikovať poznatky v novej situácii, identifikovať vzory, zovšeobecňovať; formovanie zručností vzájomnej kontroly a sebakontroly;

vzdelávacie: výchova zodpovedného prístupu k vzdelávacej práci, starostlivé vnímanie látky na hodine, presnosť vedenia záznamov.

Typ lekcie : lekcia oboznamovania sa s novým materiálom.

"Vynález logaritmov skrátením práce astronóma predĺžil jeho život."
Francúzsky matematik a astronóm P.S. Laplace

Počas vyučovania

I. Stanovenie cieľa vyučovacej hodiny

Preštudovaná definícia logaritmu, vlastnosti logaritmov a logaritmická funkcia nám umožnia riešiť logaritmické rovnice. Všetky logaritmické rovnice, bez ohľadu na to, aké zložité sú, sa riešia pomocou rovnakých algoritmov. Tieto algoritmy dnes zvážime v lekcii. Je ich málo. Ak ich zvládnete, každá rovnica s logaritmami bude realizovateľná pre každého z vás.

Napíšte si do poznámkového bloku tému lekcie: "Metódy riešenia logaritmických rovníc." Pozývam všetkých k spolupráci.

II. Aktualizácia základných vedomostí

Pripravme sa na štúdium témy lekcie. Každú úlohu vyriešite a odpoveď zapíšete, podmienku napísať nemôžete. Pracovať v pároch.

1) Pre aké hodnoty x má funkcia zmysel:

a)

b)

v)

e)

(Odpovede sú skontrolované pre každú snímku a chyby sú vytriedené)

2) Zhodujú sa grafy funkcií?

a) y = x a

b)a

3) Prepíšte rovnosti ako logaritmické rovnosti:

4) Zapíšte čísla ako logaritmy so základom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítajte :

6) Pokúste sa obnoviť alebo doplniť chýbajúce prvky v týchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Vyhlásenie sa zobrazí na obrazovke:

"Rovnica je zlatý kľúč, ktorý odomkne všetok matematický sezam."
Moderný poľský matematik S. Koval

Pokúste sa sformulovať definíciu logaritmickej rovnice. (Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu ).

ZvážteNajjednoduchšia logaritmická rovnica: log a x = b (kde a>0, a ≠ 1). Pretože logaritmická funkcia na množine rastie (alebo klesá). kladné čísla a má všetky reálne hodnoty, potom z koreňovej vety vyplýva, že pre každé b má táto rovnica, navyše, len jedno riešenie, a to kladné.

Pamätajte na definíciu logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je exponent, na ktorý sa musí základ a zvýšiť, aby sme dostali číslo x ). Z definície logaritmu hneď vyplýva, žea v je takéto riešenie.

Napíšte názov:Metódy riešenia logaritmických rovníc

1. Podľa definície logaritmu .

Takto sú najjednoduchšie rovnice formulára.

Zvážteč. 514(a ): Vyriešte rovnicu

Ako to navrhujete riešiť? (Podľa definície logaritmu )

Riešenie . , teda 2x - 4 = 4; x = 4.

odpoveď: 4.

V tejto úlohe 2x - 4 > 0, keďže> 0, takže sa nemôžu objaviť žiadne cudzie korene aoverenie nie je potrebné . Podmienku 2x - 4 > 0 v tejto úlohe nie je potrebné vypisovať.

2. Potenciácia (prechod od logaritmu daného výrazu k tomuto samotnému výrazu).

Zvážteč. 519(g): log 5 ( X 2 +8)- log 5 ( X+1)=3 log 5 2

Akú vlastnosť ste si všimli?(Základy sú rovnaké a logaritmy týchto dvoch výrazov sú rovnaké) . Čo sa dá robiť?(potenciovať).

V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy, že akékoľvek riešenie je obsiahnuté medzi všetkými x, pre ktoré sú logaritmické výrazy kladné.

Riešenie: ODZ:

X 2 +8>0 nerovnosť navyše

log 5 ( X 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( X+1)

log 5 ( X 2 +8)= log 5 (8 X+8)

Zosilnite pôvodnú rovnicu

X 2 +8= 8 X+8

dostaneme rovnicuX 2 +8= 8 X+8

Poďme to vyriešiť:X 2 -8 X=0

x = 0, x = 8

Odpoveď: 0; osem

Všeobecneprechod na ekvivalentný systém :

Rovnica

(Systém obsahuje nadbytočnú podmienku – jednu z nerovností možno ignorovať).

Otázka pre triedu : Ktoré z týchto troch riešení sa vám páčilo najviac? (Diskusia o metódach).

Máte právo rozhodnúť sa akýmkoľvek spôsobom.

3. Zavedenie novej premennej .

Zvážteč. 520(g) . .

čo si si všimol? (to kvadratická rovnica relatívne k log3x) Vaše návrhy? (Zadať novú premennú)

Riešenie . ODZ: x > 0.

Nechaj, potom bude mať rovnica tvar:. Diskriminant D > 0. Korene podľa Vietovej vety:.

Späť na výmenu:alebo.

Vyriešením najjednoduchších logaritmických rovníc dostaneme:

; .

Odpoveď : 27;

4. Logaritmus oboch strán rovnice.

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie : ODZ: x>0, vezmeme logaritmus oboch strán rovnice v základe 10:

. Použite vlastnosť logaritmu stupňa:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Nech lgx = y, potom (y + 3) y = 4

, (D > 0) korene podľa Vietovej vety: y1 = -4 a y2 = 1.

Vráťme sa k náhrade, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to nasledovné: ak jedna z funkcií y = f(x) zvyšuje a druhý y = g(x) klesá na intervale X, potom rovnica f(x)=g(x) má najviac jeden koreň na intervale X .

Ak existuje koreň, dá sa to uhádnuť. .

Odpoveď : 2

„Správnej aplikácii metód sa možno naučiť,
len ich aplikovaním na rôzne príklady.
Dánsky historik matematiky G. G. Zeiten

ja v. Domáca úloha

S. 39 zvážte príklad 3, vyriešte č. 514 (b), č. 529 (b), č. 520 (b), č. 523 (b)

V. Zhrnutie lekcie

Aké metódy riešenia logaritmických rovníc sme zvažovali v lekcii?

V ďalších lekciách sa pozrieme na zložitejšie rovnice. Na ich riešenie sú užitočné študované metódy.

Zobrazuje sa posledná snímka:

„Čo je viac než čokoľvek na svete?
Priestor.
Čo je najmúdrejšie?
Čas.
Čo je najpríjemnejšie?
Dosiahnite, čo chcete."
Thales

Chcem, aby každý dosiahol to, čo chce. Ďakujeme za spoluprácu a pochopenie.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Záverečné videá z dlhej série lekcií o riešení logaritmických rovníc. Tentoraz budeme pracovať primárne s logaritmom ODZ - práve z dôvodu nesprávneho zaúčtovania (alebo dokonca ignorovania) definičnej domény vzniká najviac chýb pri riešení takýchto problémov.

V tomto krátkom videonávode si rozoberieme aplikáciu vzorcov na sčítanie a odčítanie pre logaritmy a tiež sa budeme zaoberať zlomkovými racionálnymi rovnicami, s ktorými má veľa študentov tiež problémy.

O čom sa bude diskutovať? Hlavný vzorec, ktorým by som sa chcel zaoberať, vyzerá takto:

log a (f g ) = log a f + log a g

Toto je štandardný prechod od súčinu k súčtu logaritmov a naopak. Tento vzorec pravdepodobne poznáte od úplného začiatku štúdia logaritmov. Je tu však jeden háčik.

Pokiaľ sú premenné a, f a g obyčajné čísla, neexistujú žiadne problémy. Tento vzorec funguje skvele.

Akonáhle sa však namiesto f a g objavia funkcie, nastáva problém rozšírenia alebo zúženia definičnej oblasti v závislosti od spôsobu konverzie. Posúďte sami: v logaritme napísanom vľavo je oblasť definície nasledovná:

fg > 0

Ale v súčte napísanom vpravo je oblasť definície už trochu iná:

f > 0

g > 0

Tento súbor požiadaviek je prísnejší ako pôvodný. V prvom prípade sa uspokojíme s možnosťou f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 sa vykonáva).

Pri prechode z ľavej konštrukcie na pravú sa teda oblasť definície zužuje. Ak sme najprv mali súčet a prepíšeme ho ako súčin, potom sa oblasť definície rozšíri.

Inými slovami, v prvom prípade by sme mohli prísť o korene a v druhom o ďalšie. Toto treba brať do úvahy pri riešení reálnych logaritmických rovníc.

Takže prvá úloha znie:

[Titul obrázku]

Vľavo vidíme súčet logaritmov v rovnakom základe. Preto je možné pridať tieto logaritmy:

[Titul obrázku]

Ako vidíte, vpravo sme nahradili nulu vzorcom:

a = log b b a

Upravme našu rovnicu trochu viac:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Pred nami je kanonická forma logaritmickej rovnice, môžeme prečiarknuť znamienko log a prirovnať argumenty:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Venujte pozornosť: odkiaľ pochádza modul? Dovoľte mi pripomenúť, že odmocnina presného štvorca sa presne rovná modulu:

[Titul obrázku]

Potom riešime klasickú rovnicu s modulom:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Tu sú dvaja kandidáti na odpoveď. Sú to riešenia pôvodnej logaritmickej rovnice? V žiadnom prípade!

Nemáme právo nechať všetko len tak a zapísať odpoveď. Pozrite sa na krok, v ktorom nahradíme súčet logaritmov jedným logaritmom súčinu argumentov. Problém je, že v pôvodných výrazoch máme funkcie. Preto by sa malo vyžadovať:

x(x - 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Keď sme transformovali produkt a získali presný štvorec, požiadavky sa zmenili:

(x - 5) 2 > 0

Kedy je táto požiadavka splnená? Áno, takmer vždy! Okrem prípadu, keď x − 5 = 0. To znamená, nerovnosť sa zníži na jeden prepichnutý bod:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Ako vidíte, došlo k rozšíreniu domény definície, o ktorej sme hovorili na samom začiatku lekcie. Preto sa môžu objaviť aj extra korene.

Ako zabrániť vzniku týchto extra koreňov? Je to veľmi jednoduché: pozrieme sa na naše získané korene a porovnáme ich s doménou pôvodnej rovnice. Poďme počítať:

x (x − 5) > 0

Budeme riešiť pomocou intervalovej metódy:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Prijaté čísla označujeme na priamke. Všetky body sú prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna. Vezmeme akékoľvek číslo väčšie ako 5 a dosadíme:

[Titul obrázku]

Zaujímajú nás intervaly (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ak označíme svoje korene na úsečke, uvidíme, že x = 4 nám nevyhovuje, pretože tento koreň leží mimo domény pôvodnej logaritmickej rovnice.

Vrátime sa k populácii, prečiarkneme koreň x \u003d 4 a zapíšeme odpoveď: x \u003d 6. Toto je konečná odpoveď na pôvodnú logaritmickú rovnicu. Všetko, úloha je vyriešená.

Prejdeme k druhej logaritmickej rovnici:

[Titul obrázku]

Riešime to. Všimnite si, že prvý člen je zlomok a druhý je rovnaký zlomok, ale prevrátený. Nenechajte sa zastrašiť výrazom lgx - je to len základný 10 logaritmus, môžeme napísať:

lgx = log 10 x

Keďže máme dva obrátené zlomky, navrhujem zaviesť novú premennú:

[Titul obrázku]

Preto je možné našu rovnicu prepísať takto:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1)2/t = 0.

Ako vidíte, čitateľ zlomku je presný štvorec. Zlomok je nula, keď jeho čitateľ je nula a jeho menovateľ je nenulový:

(t - 1)2 = 0; t ≠ 0

Riešime prvú rovnicu:

t - 1 = 0;

t = 1.

Táto hodnota spĺňa druhú požiadavku. Preto možno tvrdiť, že sme našu rovnicu úplne vyriešili, ale len s ohľadom na premennú t . Teraz si pripomeňme, čo je t:

[Titul obrázku]

Dostali sme pomer:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = -1

Prinášame túto rovnicu do kanonického tvaru:

lgx = lg 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

Výsledkom je, že sme dostali jediný koreň, ktorý je teoreticky riešením pôvodnej rovnice. Stále však hrajme na istotu a napíšme doménu pôvodnej rovnice:

[Titul obrázku]

Preto náš koreň spĺňa všetky požiadavky. Našli sme riešenie pôvodnej logaritmickej rovnice. Odpoveď: x = 0,1. Problém je vyriešený.

V dnešnej lekcii je len jeden kľúčový bod: keď použijete vzorec na prechod od súčinu k súčtu a naopak, nezabudnite, že doména definície sa môže zúžiť alebo rozšíriť v závislosti od toho, ktorým smerom sa prechod uskutoční.

Ako pochopiť, čo sa deje: kontrakcia alebo expanzia? Veľmi jednoduché. Ak boli predtým funkcie spolu a teraz sa oddelili, rozsah definície sa zúžil (pretože existuje viac požiadaviek). Ak boli funkcie najprv oddelené a teraz sú spolu, potom sa oblasť definície rozširuje (na produkt sa kladie menej požiadaviek ako na jednotlivé faktory).

Vzhľadom na túto poznámku by som rád poznamenal, že druhá logaritmická rovnica tieto transformácie vôbec nevyžaduje, t. j. argumenty nikde nepridávame ani nenásobíme. Tu by som však chcel upozorniť na ďalší úžasný trik, ktorý vám umožňuje výrazne zjednodušiť riešenie. Ide o zmenu premennej.

Pamätajte však, že žiadna náhrada nás neoslobodzuje od rozsahu pôsobnosti. Preto sme po nájdení všetkých koreňov nelenili a vrátili sme sa k pôvodnej rovnici nájsť jej ODZ.

Často pri zmene premennej dôjde k nepríjemnej chybe, keď žiaci zistia hodnotu t a myslia si, že riešenie sa skončilo. V žiadnom prípade!

Keď nájdete hodnotu t , musíte sa vrátiť k pôvodnej rovnici a zistiť, čo presne sme označili týmto písmenom. V dôsledku toho musíme vyriešiť ešte jednu rovnicu, ktorá však bude oveľa jednoduchšia ako tá pôvodná.

To je presne zmysel zavedenia novej premennej. Pôvodnú rovnicu sme rozdelili na dve stredné, z ktorých každá sa rieši oveľa jednoduchšie.

Ako riešiť "vnorené" logaritmické rovnice

Dnes pokračujeme v štúdiu logaritmických rovníc a analýze konštrukcií, keď je jeden logaritmus pod znakom iného logaritmu. Obe rovnice budeme riešiť pomocou kanonického tvaru.

Dnes pokračujeme v štúdiu logaritmických rovníc a analýze konštrukcií, keď je jeden logaritmus pod znakom druhého. Obe rovnice budeme riešiť pomocou kanonického tvaru. Dovoľte mi pripomenúť, že ak máme najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu tvaru log a f (x) \u003d b, potom na vyriešenie takejto rovnice vykonáme nasledujúce kroky. Najprv musíme nahradiť číslo b :

b = log a a b

Všimnite si, že a b je argument. Podobne v pôvodnej rovnici je argumentom funkcia f(x). Potom rovnicu prepíšeme a získame túto konštrukciu:

log a f(x) = log a a b

Potom môžeme vykonať tretí krok - zbaviť sa znamienka logaritmu a jednoducho napísať:

f(x) = a b

V dôsledku toho dostaneme novú rovnicu. V tomto prípade nie sú na funkciu f(x) kladené žiadne obmedzenia. Napríklad na jeho mieste môže byť aj logaritmická funkcia. A potom opäť dostaneme logaritmickú rovnicu, ktorú opäť zredukujeme na najjednoduchšiu a vyriešime cez kanonickú formu.

Ale dosť bolo textov. Poďme vyriešiť skutočný problém. Takže úloha číslo 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Ako vidíte, máme jednoduchú logaritmickú rovnicu. Úloha f (x) je konštrukcia 1 + 3 log 2 x a číslo b je číslo 2 (úloha a je tiež dva). Prepíšme tieto dve veci takto:

Je dôležité pochopiť, že prvé dve dvojky k nám prišli zo základu logaritmu, to znamená, že ak by v pôvodnej rovnici bolo 5, dostali by sme, že 2 = log 5 5 2. Vo všeobecnosti základ závisí výlučne od logaritmu, ktorý je na začiatku uvedený v úlohe. A v našom prípade je toto číslo 2.

Takže prepíšeme našu logaritmickú rovnicu, berúc do úvahy skutočnosť, že tá dvojka, ktorá je vpravo, je vlastne tiež logaritmus. Dostaneme:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Prejdeme k poslednému kroku našej schémy - zbavíme sa kanonickej formy. Môžeme povedať, stačí prečiarknuť znaky log. Z hľadiska matematiky však nie je možné „vyškrtnúť denník“ - je správnejšie povedať, že jednoducho porovnávame argumenty:

1 + 3 log 2 x = 4

Odtiaľto je ľahké nájsť 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Opäť máme najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu, vráťme ju do kanonickej formy. Aby sme to dosiahli, musíme vykonať nasledujúce zmeny:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Prečo je na základni dvojka? Pretože v našej kanonickej rovnici vľavo je logaritmus presne so základom 2. Úlohu prepíšeme s ohľadom na túto skutočnosť:

log 2 x = log 2 2

Opäť sa zbavíme znamienka logaritmu, t.j. jednoducho zrovnáme argumenty. Máme na to právo, pretože základy sú rovnaké a napravo ani naľavo sa nevykonali žiadne ďalšie akcie:

To je všetko! Problém je vyriešený. Našli sme riešenie logaritmickej rovnice.

Poznámka! Aj keď je premenná x v argumente (čiže existujú požiadavky na doménu definície), nebudeme klásť žiadne ďalšie požiadavky.

Ako som povedal vyššie, táto kontrola je nadbytočná, ak sa premenná vyskytuje iba v jednom argumente iba s jedným logaritmom. V našom prípade je x skutočne iba v argumente a iba pod jedným znakom log. Preto nie sú potrebné žiadne dodatočné kontroly.

Ak však tejto metóde nedôverujete, môžete ľahko overiť, že x = 2 je skutočne koreň. Toto číslo stačí dosadiť do pôvodnej rovnice.

Prejdime k druhej rovnici, je to trochu zaujímavejšie:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Ak výraz vo veľkom logaritme označíme funkciou f (x), dostaneme najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu, ktorou sme dnešnú video lekciu začali. Preto je možné použiť kanonickú formu, pre ktorú je potrebné reprezentovať jednotku v tvare log 2 2 1 = log 2 2.

Prepis našej veľkej rovnice:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Zbavíme sa znamienka logaritmu, pričom argumenty zrovnáme. Máme na to právo, pretože základy sú rovnaké vľavo aj vpravo. Všimnite si tiež, že log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Opäť je pred nami najjednoduchšia logaritmická rovnica tvaru log a f (x) \u003d b. Prejdeme na kanonickú formu, t.j. nulu reprezentujeme v tvare log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Prepíšeme našu rovnicu a zbavíme sa logaritmického znaku porovnaním argumentov:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Opäť sme dostali okamžitú odpoveď. Nevyžadujú sa žiadne ďalšie kontroly, pretože v pôvodnej rovnici obsahuje funkciu v argumente iba jeden logaritmus.

Preto nie sú potrebné žiadne dodatočné kontroly. Môžeme bezpečne povedať, že x = 1 je jediným koreňom tejto rovnice.

Ale ak by v druhom logaritme namiesto štyroch bola nejaká funkcia x (alebo 2x by nebolo v argumente, ale v základe) - potom by bolo potrebné skontrolovať definičný obor. V opačnom prípade existuje veľká šanca, že narazíte na ďalšie korene.

Odkiaľ pochádzajú tieto extra korene? Tento bod je potrebné pochopiť veľmi jasne. Pozrite sa na pôvodné rovnice: všade je funkcia x pod znamienkom logaritmu. Keďže sme teda napísali log 2 x , automaticky nastavíme požiadavku x > 0. Inak tento záznam jednoducho nemá zmysel.

Keď však riešime logaritmickú rovnicu, zbavíme sa všetkých znakov loga a získame jednoduché konštrukcie. Tu už nie sú stanovené žiadne obmedzenia, pretože lineárna funkcia je definovaná pre akúkoľvek hodnotu x.

Práve tento problém, keď je výsledná funkcia definovaná všade a vždy a počiatočná nie je v žiadnom prípade všade a nie vždy, je dôvodom, prečo sa pri riešení logaritmických rovníc veľmi často objavujú extra odmocniny.

Ale opakujem ešte raz: toto sa deje iba v situácii, keď je funkcia buď v niekoľkých logaritmoch, alebo na báze jedného z nich. V problémoch, o ktorých dnes uvažujeme, nie sú v zásade žiadne problémy s rozšírením domény definície.

Prípady z rôznych dôvodov

Táto lekcia je venovaná zložité štruktúry. Logaritmy v dnešných rovniciach sa už nebudú riešiť "naprázdno" - najprv musíte vykonať nejaké transformácie.

Začneme riešiť logaritmické rovnice s úplne odlišnými základmi, ktoré nie sú vzájomnými presnými mocninami. Nebojte sa takýchto úloh - nie sú riešené ťažšie ako najjednoduchšie návrhy, ktoré sme analyzovali vyššie.

Ale predtým, než prejdeme priamo k úlohám, dovoľte mi pripomenúť vám vzorec na riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc pomocou kanonického tvaru. Zvážte takýto problém:

log a f(x) = b

Je dôležité, že funkcia f (x) je len funkcia a čísla a a b by mali byť presne čísla (bez akýchkoľvek premenných x). Samozrejme, doslova za minútu zvážime aj také prípady, keď namiesto premenných a a b sú funkcie, ale o to teraz nejde.

Ako si pamätáme, číslo b musí byť nahradené logaritmom v rovnakom základe a, ktorý je vľavo. Toto sa robí veľmi jednoducho:

b = log a a b

Samozrejme, slová „akékoľvek číslo b“ a „akékoľvek číslo a“ znamenajú také hodnoty, ktoré spĺňajú doménu definície. Konkrétne sa táto rovnica zaoberá iba základňou a > 0 a a ≠ 1.

Táto požiadavka je však splnená automaticky, pretože pôvodný problém už obsahuje logaritmus so základom a - určite bude väčší ako 0 a nie rovný 1. Preto pokračujeme v riešení logaritmickej rovnice:

log a f(x) = log a a b

Takýto zápis sa nazýva kanonická forma. Jeho výhoda spočíva v tom, že sa môžeme okamžite zbaviť znaku denníka porovnaním argumentov:

f(x) = a b

Práve túto techniku ​​teraz použijeme na riešenie logaritmických rovníc s premenlivým základom. Tak, poďme!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Čo bude ďalej? Niekto teraz povie, že musíte vypočítať správny logaritmus alebo ich zredukovať na jednu základňu alebo niečo iné. A skutočne, teraz musíte priviesť obe základne do rovnakej formy - buď 2 alebo 0,5. Naučme sa však raz a navždy nasledujúce pravidlo:

Ak logaritmická rovnica obsahuje desatinné miesta, nezabudnite previesť tieto zlomky z desatinných na obyčajné. Takáto transformácia môže výrazne zjednodušiť riešenie.

Takýto prechod sa musí vykonať okamžite, ešte pred vykonaním akýchkoľvek akcií a transformácií. Pozrime sa:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Čo nám takýto rekord dáva? Môžeme reprezentovať 1/2 a 1/8 ako záporný exponent:

[Titul obrázku]

Máme kánonickú formu. Porovnajte argumenty a získajte klasickú kvadratickú rovnicu:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4 x + 3 = 0

Pred nami je daná kvadratická rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť pomocou vzorcov Vieta. Podobné výpočty by ste mali vidieť na strednej škole doslova ústne:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

To je všetko! Pôvodná logaritmická rovnica je vyriešená. Máme dva korene.

Dovoľte mi pripomenúť, že v tomto prípade nie je potrebné definovať rozsah, pretože funkcia s premennou x je prítomná len v jednom argumente. Rozsah sa preto vykonáva automaticky.

Takže prvá rovnica je vyriešená. Prejdime k tomu druhému:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

A teraz si všimnite, že argument prvého logaritmu možno zapísať aj ako mocninu so záporným exponentom: 1/2 = 2 −1. Potom môžete odobrať mocniny na oboch stranách rovnice a vydeliť všetko −1:

[Titul obrázku]

A teraz sme dokončili veľmi dôležitý krok pri riešení logaritmickej rovnice. Možno si niekto niečo nevšimol, tak mi to dovoľte vysvetliť.

Pozrite sa na našu rovnicu: logaritmus je vľavo a vpravo, ale základný 2 logaritmus je vľavo a základný 3 logaritmus je vpravo.

Ide teda o logaritmy s rôznymi základmi, ktoré sa neredukujú na seba jednoduchým umocňovaním. Jediný spôsob, ako vyriešiť takéto problémy, je zbaviť sa jedného z týchto logaritmov. V tomto prípade, keďže stále uvažujeme o pomerne jednoduchých problémoch, logaritmus vpravo bol jednoducho vypočítaný a dostali sme najjednoduchšiu rovnicu - presne tú, o ktorej sme hovorili na samom začiatku dnešnej lekcie.

Predstavme si číslo 2, ktoré je napravo, ako log 2 2 2 = log 2 4. A potom sa zbavme znamienka logaritmu, po ktorom nám zostane len kvadratická rovnica:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Pred nami je obvyklá kvadratická rovnica, ale nie je redukovaná, pretože koeficient na x 2 je odlišný od jednoty. Preto to vyriešime pomocou diskriminantu:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (-9 - 11) / 10 \u003d -2

To je všetko! Našli sme oba korene, čo znamená, že sme dostali riešenie pôvodnej logaritmickej rovnice. V pôvodnom probléme je totiž funkcia s premennou x prítomná len v jednom argumente. V dôsledku toho nie sú potrebné žiadne ďalšie kontroly v oblasti definície - oba korene, ktoré sme našli, určite spĺňajú všetky možné obmedzenia.

Toto by mohol byť koniec dnešného videonávodu, ale na záver by som chcel ešte raz povedať: pri riešení logaritmických rovníc nezabudnite previesť všetky desatinné zlomky na obyčajné. Vo väčšine prípadov to značne zjednodušuje ich riešenie.

Zriedkavo, veľmi zriedkavo sa vyskytujú problémy, pri ktorých zbavenie sa desatinných zlomkov len komplikuje výpočty. V takýchto rovniciach je však spravidla na začiatku jasné, že nie je potrebné zbaviť sa desatinných zlomkov.

Vo väčšine ostatných prípadov (najmä ak práve začínate trénovať riešenie logaritmických rovníc) sa kľudne zbavte desatinných zlomkov a preložte ich na obyčajné. Prax totiž ukazuje, že takto si veľmi zjednodušíte následné riešenie a výpočty.

Jemnosti a triky riešenia

Dnes prejdeme k zložitejším problémom a budeme riešiť logaritmickú rovnicu, ktorá nie je založená na čísle, ale na funkcii.

A aj keď je táto funkcia lineárna, bude potrebné urobiť malé zmeny v schéme riešenia, ktorej význam sa scvrkáva na dodatočné požiadavky kladené na oblasť definície logaritmu.

Ťažké úlohy

Táto lekcia bude dosť dlhá. V ňom rozoberieme dve pomerne vážne logaritmické rovnice, pri riešení ktorých mnohí študenti robia chyby. Počas mojej praxe učiteľa matematiky som sa neustále stretával s dvomi typmi chýb:

1. Výskyt extra koreňov v dôsledku rozšírenia domény definície logaritmov. Aby ste sa vyhli takýmto urážlivým chybám, stačí pozorne sledovať každú transformáciu;
2. Strata koreňov v dôsledku toho, že študent zabudol zvážiť niektoré "jemné" prípady - práve na takéto situácie sa dnes zameriame.

Toto je posledná lekcia o logaritmických rovniciach. Bude to dlhé, budeme analyzovať zložité logaritmické rovnice. Urobte si pohodlie, uvarte si čaj a začneme.

Prvá rovnica vyzerá celkom štandardne:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Okamžite si všimneme, že oba logaritmy sú navzájom obrátenými kópiami. Pripomeňme si úžasný vzorec:

log a b = 1/log b a

Tento vzorec má však množstvo obmedzení, ktoré vznikajú, ak namiesto čísel a a b existujú funkcie premennej x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Tieto požiadavky sú kladené na základe logaritmu. Na druhej strane, v zlomku musíme mať 1 ≠ a > 0, pretože nielen premenná a je v argumente logaritmu (teda a > 0), ale samotný logaritmus je v menovateli logaritmu zlomok. Ale log b 1 = 0 a menovateľ musí byť nenulový, takže a ≠ 1.

Obmedzenia pre premennú a sú teda zachované. Čo sa však stane s premennou b? Na jednej strane b > 0 vyplýva zo základu, na druhej strane premenná b ≠ 1, pretože základ logaritmu musí byť iný ako 1. Celkovo z pravej strany vzorca vyplýva, že 1 ≠ b > 0.

Ale tu je problém: druhá požiadavka (b ≠ 1) chýba v prvej nerovnosti na ľavom logaritme. Inými slovami, pri vykonávaní tejto transformácie musíme skontrolujte samostatneže argument b je iný ako jeden!

Pozrime sa na to. Aplikujme náš vzorec:

[Titul obrázku]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Takže už z pôvodnej logaritmickej rovnice vyplýva, že a aj b musia byť väčšie ako 0 a nie rovné 1. Logaritmickú rovnicu teda môžeme jednoducho prevrátiť:

Navrhujem zaviesť novú premennú:

log x + 1 (x − 0,5) = t

V tomto prípade bude naša konštrukcia prepísaná nasledovne:

(t2-1)/t = 0

Všimnite si, že v čitateli máme rozdiel druhých mocnín. Rozdiel štvorcov odhalíme pomocou skráteného vzorca násobenia:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

Zlomok je nula, keď jeho čitateľ je nula a jeho menovateľ je nenulový. Čitateľ však obsahuje súčin, takže každý faktor prirovnáme k nule:

ti = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

Ako vidíte, obe hodnoty premennej t nám vyhovujú. Tým sa však riešenie nekončí, pretože potrebujeme nájsť nie t , ale hodnotu x . Vrátime sa k logaritmu a dostaneme:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Uveďme každú z týchto rovníc do kanonickej podoby:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

V prvom prípade sa zbavíme znamienka logaritmu a prirovnáme argumenty:

x - 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Takáto rovnica nemá korene, preto ani prvá logaritmická rovnica nemá korene. Ale s druhou rovnicou je všetko oveľa zaujímavejšie:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Vyriešime pomer - dostaneme:

(x − 0,5) (x + 1) = 1

Pripomínam, že pri riešení logaritmických rovníc je oveľa pohodlnejšie uviesť všetky bežné desatinné zlomky, takže prepíšme našu rovnicu takto:

(x − 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2 x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2 x - 3/2 = 0.

Pred nami je daná kvadratická rovnica, ktorú možno ľahko vyriešiť pomocou vzorcov Vieta:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Máme dva korene - sú kandidátmi na riešenie pôvodnej logaritmickej rovnice. Aby sme pochopili, aké korene budú skutočne siahať do odpovede, vráťme sa k pôvodnému problému. Teraz skontrolujeme každý z našich koreňov, aby sme zistili, či zodpovedajú rozsahu:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > -1.

Tieto požiadavky sa rovnajú dvojitej nerovnosti:

1 ≠ x > 0,5

Odtiaľ hneď vidíme, že odmocnina x = −1,5 nám nevyhovuje, ale x = 1 je celkom spokojná. Preto x = 1 je konečným riešením logaritmickej rovnice.

Prejdime k druhej úlohe:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prvý pohľad sa môže zdať, že všetky logaritmy rôzne dôvody a rôzne argumenty. Čo robiť s takýmito štruktúrami? Najprv si všimnite, že čísla 25, 5 a 625 sú mocniny 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

A teraz použijeme pozoruhodnú vlastnosť logaritmu. Faktom je, že z argumentu môžete získať stupne vo forme faktorov:

log a b n = n ∙ log a b

Obmedzenia sa vzťahujú aj na túto transformáciu, ak existuje funkcia namiesto b. Ale u nás je b len číslo a nevznikajú žiadne ďalšie obmedzenia. Prepíšme našu rovnicu:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Dostali sme rovnicu s tromi členmi obsahujúcimi znak log. Okrem toho sú argumenty všetkých troch logaritmov rovnaké.

Je čas prevrátiť logaritmy, aby sa dostali na rovnaký základ - 5. Keďže premenná b je konštanta, rozsah sa nemení. Len prepíšeme:

[Titul obrázku]

Ako sa očakávalo, v menovateli „vyliezli“ rovnaké logaritmy. Navrhujem zmeniť premennú:

log 5 x = t

V tomto prípade bude naša rovnica prepísaná takto:

Vypíšeme čitateľa a otvoríme zátvorky:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Vraciame sa k našej frakcii. Čitateľ musí byť nula:

[Titul obrázku]

A menovateľ sa líši od nuly:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2

Posledné požiadavky sú splnené automaticky, pretože sú všetky „viazané“ na celé čísla a všetky odpovede sú iracionálne.

Takže je vyriešená zlomkovo-racionálna rovnica, nájdu sa hodnoty premennej t. Vrátime sa k riešeniu logaritmickej rovnice a zapamätáme si, čo je t:

[Titul obrázku]

Privedieme túto rovnicu do kanonického tvaru, dostaneme číslo s iracionálnym stupňom. Nenechajte sa zmiasť – aj takéto argumenty možno prirovnať:

[Titul obrázku]

Máme dva korene. Presnejšie, dvaja kandidáti na odpovede – preverme im dodržanie rozsahu. Keďže základom logaritmu je premenná x, požadujeme nasledovné:

1 ≠ x > 0;

S rovnakým úspechom tvrdíme, že x ≠ 1/125, inak sa základ druhého logaritmu zmení na jeden. Nakoniec x ≠ 1/25 pre tretí logaritmus.

Celkovo máme štyri obmedzenia:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Teraz otázka znie: spĺňajú naše korene tieto požiadavky? Určite spokojný! Pretože 5 na ľubovoľný výkon bude väčší ako nula a požiadavka x > 0 je automaticky splnená.

Na druhej strane, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, čo znamená, že tieto obmedzenia pre naše korene (ktoré, dovoľte mi pripomenúť, majú iracionálne číslo v indikátor) sú tiež splnené a obe odpovede sú riešením problému.

Takže máme konečnú odpoveď. Kľúčové body V tomto sú dve úlohy:

1. Buďte opatrní pri obrátení logaritmu, keď sú argument a základ obrátené. Takéto transformácie ukladajú zbytočné obmedzenia na oblasť definície.
2. Nebojte sa previesť logaritmy: môžete ich nielen prevrátiť, ale aj otvárať podľa súčtového vzorca a vo všeobecnosti ich meniť podľa akýchkoľvek vzorcov, ktoré ste študovali pri riešení logaritmických výrazov. Vždy si však pamätajte, že niektoré transformácie rozširujú rozsah a niektoré ho zužujú.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Inštrukcia

Zapíšte si dané logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom sa jeho zápis skráti a vyzerá takto: lg b je desiatkový logaritmus. Ak má logaritmus číslo e ako základ, potom sa výraz zapíše: ln b - prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom ľubovoľného je mocnina, na ktorú sa musí základné číslo zvýšiť, aby sa dostalo číslo b.

Pri hľadaní súčtu dvoch funkcií ich stačí odlíšiť jednu po druhej a pridať výsledky: (u+v)" = u"+v";

Pri hľadaní derivácie súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie, vynásobenú prvou funkciou: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Aby sme našli deriváciu kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa odpočítať súčin derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa a rozdeliť to všetko pomocou funkcie deliteľa na druhú. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ak je daná komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu vnútornej funkcie a deriváciu vonkajšej. Nech y=u(v(x)), potom y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocou vyššie uvedeného môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Existujú aj úlohy na výpočet derivácie v bode. Nech je daná funkcia y=e^(x^2+6x+5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x=1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y"(1)=8*e^0=8

Podobné videá

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku základných derivácií. To ušetrí veľa času.

Zdroje:

• konštantná derivácia

Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod znamienkom odmocnina, potom sa rovnica považuje za iracionálnu.

Inštrukcia

Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda zdvíhania oboch strán rovnice do štvorca. Avšak. je to prirodzené, prvým krokom je zbaviť sa znamienka. Technicky táto metóda nie je náročná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica v(2x-5)=v(4x-7). Umocnením oboch strán získate 2x-5=4x-7. Takúto rovnicu nie je ťažké vyriešiť; x=1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice. prečo? Nahraďte v rovnici jednotku namiesto hodnoty x. A pravá a ľavá strana budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, tzn. Takáto hodnota neplatí pre druhú odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch jej častí. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Ak to chcete urobiť, nahraďte nájdené korene v pôvodnej rovnici.

Zvážte inú.
2x+vx-3=0
Samozrejme, že táto rovnica môže byť vyriešená pomocou rovnakej rovnice ako predchádzajúca. Prenosové zlúčeniny rovnice, ktoré nemajú odmocninu, na pravú stranu a potom použite metódu odmocnenia. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale iná, elegantnejšia. Zadajte novú premennú; vx=y. Podľa toho dostanete rovnicu ako 2y2+y-3=0. To je obvyklá kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3/2. Ďalej vyriešte dve rovnice vx=1; vx \u003d -3/2. Druhá rovnica nemá korene, z prvej zistíme, že x=1. Nezabudnite na potrebu kontroly koreňov.

Riešenie identít je celkom jednoduché. To si vyžaduje identické transformácie, kým sa nedosiahne cieľ. Úloha bude teda vyriešená pomocou najjednoduchších aritmetických operácií.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Inštrukcia

Najjednoduchšie takéto transformácie sú algebraické skrátené násobenia (napríklad druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel druhých mocnín, súčet (rozdiel), druhá mocnina súčtu (rozdiel)). Okrem toho je ich veľa trigonometrické vzorce, čo sú v podstate rovnaké identity.

Druhá mocnina súčtu dvoch členov sa skutočne rovná druhej mocnine prvého a dvojnásobku súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého, teda (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné princípy riešenia

Opakujte z učebnice matematickej analýzy alebo vyššej matematiky, ktorá je určitým integrálom. Ako viete, riešenie určitý integrál existuje funkcia, ktorej derivácia dá integrand. Táto funkcia sa nazýva primitívna. Podľa tohto princípu sú zostrojené základné integrály.
Určte podľa tvaru integrandu, ktorý z tabuľkových integrálov je v tomto prípade vhodný. Nie vždy sa to dá okamžite určiť. Často sa tabuľková forma stane viditeľnou až po niekoľkých transformáciách, aby sa integrand zjednodušil.

Metóda variabilnej substitúcie

Ak je integrand goniometrickou funkciou, ktorej argumentom je nejaký polynóm, skúste použiť metódu zmeny premenných. Ak to chcete urobiť, nahraďte polynóm v argumente integrandu nejakou novou premennou. Na základe pomeru medzi novou a starou premennou určte nové hranice integrácie. Odlíšením tohto výrazu nájdite nový diferenciál v . Tak budete dostávať nový druh bývalý integrál, blízky alebo dokonca zodpovedajúci ktorémukoľvek tabuľkovému.

Riešenie integrálov druhého druhu

Ak je integrál integrálom druhého druhu, vektorovou formou integrandu, potom budete musieť použiť pravidlá na prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z takýchto pravidiel je Ostrogradského-Gaussov pomer. Tento zákon umožňuje prejsť od rotorového toku nejakej vektorovej funkcie k trojnému integrálu cez divergenciu daného vektorového poľa.

Nahradenie hraníc integrácie

Po nájdení primitívneho prvku je potrebné dosadiť hranice integrácie. Najprv dosaďte do výrazu pre primitívnu hodnotu hodnotu hornej hranice. Dostanete nejaké číslo. Potom od výsledného čísla odčítajte ďalšie číslo, výslednú dolnú hranicu primitívnej funkcie. Ak je jedna z integračných limitov nekonečno, potom ju dosaďte do primitívna funkcia treba ísť na doraz a nájsť k čomu výraz inklinuje.
Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, potom budete musieť reprezentovať geometrické limity integrácie, aby ste pochopili, ako vypočítať integrál. V skutočnosti v prípade, povedzme, trojrozmerného integrálu, limity integrácie môžu byť celé roviny, ktoré obmedzujú objem, ktorý sa má integrovať.