Ako riešiť rovnice s rôznymi stupňami. exponenciálne rovnice. Komplexný sprievodca (2019)

Diéta a fitness

V štádiu prípravy na záverečné testovanie si stredoškoláci potrebujú zdokonaliť vedomosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto stredoškoláci, bez ohľadu na úroveň ich prípravy, musia starostlivo ovládať teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Absolventi, ktorí sa naučili zvládať tento typ úloh, budú môcť počítať s vysokým skóre pri zložení skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie spolu so Shkolkovo!

Pri opakovaní preberaných látok sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Realizujeme kompletne nová metóda príprava na záverečný test. Štúdiom na našej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť presne tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia školy "Shkolkovo" zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetko potrebné na úspešné odovzdanie POUŽÍVAJTE materiál tým najjednoduchším a najdostupnejším spôsobom.

Hlavné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretický odkaz".

Pre lepšie osvojenie si učiva odporúčame precvičiť si zadania. Pozrite si príklady na tejto stránke. exponenciálne rovnice s riešením na pochopenie výpočtového algoritmu. Potom pokračujte v úlohách v časti „Katalógy“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobovali ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbených“. Môžete ich teda rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!

Prednáška: "Metódy riešenia exponenciálnych rovníc."

1 . exponenciálne rovnice.

Rovnice obsahujúce v exponente neznáme sa nazývajú exponenciálne rovnice. Najjednoduchšia z nich je rovnica ax = b, kde a > 0 a a ≠ 1.

1) Pre b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pre b > 0 má rovnica pomocou monotónnosti funkcie a koreňovej vety jeden koreň. Aby sme ho našli, musí byť b reprezentované ako b = aс, ax = bс ó x = c alebo x = logab.

exponenciálne rovnice podľa algebraické transformácie vedú k štandardným rovniciam, ktoré sa riešia pomocou nasledujúcich metód:

1) metóda redukcie na jednu základňu;

2) metóda hodnotenia;

3) grafická metóda;

4) metóda zavádzania nových premenných;

5) metóda faktorizácie;

6) exponenciálne - mocninné rovnice;

7) exponenciálny s parametrom.

2 . Spôsob redukcie na jeden základ.

Metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti stupňov: ak sú dva stupne rovnaké a ich základy sú rovnaké, potom sa ich exponenty rovnajú, t. j. treba sa pokúsiť rovnicu zredukovať do tvaru

Príklady. Vyriešte rovnicu:

1 . 3x = 81;

Predstavme si pravú stranu rovnice v tvare 81 = 34 a napíšme rovnicu ekvivalentnú pôvodnému 3 x = 34; x = 4. Odpoveď: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> a prejdite na rovnicu pre exponenty 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpoveď: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Všimnite si, že čísla 0,2, 0,04, √5 a 25 sú mocniny 5. Využime to a transformujme pôvodnú rovnicu takto:

, odkiaľ 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z čoho nájdeme riešenie x = -1. odpoveď: -1.

5. 3x = 5. Podľa definície logaritmu x = log35. Odpoveď: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepíšme rovnicu ako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, t.j.png" width="181" height="49 src="> Preto x - 4 =0, x = 4. Odpoveď: štyri.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pomocou vlastností mocnín zapíšeme rovnicu v tvare e. x+1 = 2, x =1. odpoveď: 1.

Banka úloh č.1.

Vyriešte rovnicu:

Test číslo 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez koreňov
	1) 7;1 2) bez koreňov 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test č. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez koreňov 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metóda hodnotenia.

Koreňová veta: ak funkcia f (x) rastie (klesá) na intervale I, číslo a je ľubovoľná hodnota, ktorú na tomto intervale nadobúda f, potom rovnica f (x) = a má jeden koreň na intervale I.

Pri riešení rovníc metódou odhadu sa využíva táto veta a vlastnosti monotónnosti funkcie.

Príklady. Riešiť rovnice: 1. 4x = 5 - x.

Riešenie. Prepíšme rovnicu ako 4x + x = 5.

1. ak x \u003d 1, potom 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 platí, potom 1 je koreň rovnice.

Funkcia f(x) = 4x je rastúca na R a g(x) = x je rastúca na R => h(x)= f(x)+g(x) je rastúca na R ako súčet rastúcich funkcií, takže x = 1 je jediným koreňom rovnice 4x = 5 – x. odpoveď: 1.

Riešenie. Rovnicu prepíšeme do tvaru .

1. ak x = -1, potom , 3 = 3-pravda, takže x = -1 je koreň rovnice.

2. dokázať, že je jedinečný.

3. Funkcia f(x) = - klesá na R, a g(x) = - x - klesá na R => h(x) = f(x) + g(x) - klesá na R, ako súčet klesajúcich funkcií. Takže podľa koreňovej vety je x = -1 jediným koreňom rovnice. odpoveď: -1.

Banka úloh č.2. vyriešiť rovnicu

a) 4x + 1 = 6 - x;

c) 2x – 2 = 1 – x;

4. Metóda zavádzania nových premenných.

Metóda je opísaná v časti 2.1. Zavedenie novej premennej (substitúcia) sa zvyčajne uskutočňuje po transformáciách (zjednodušení) členov rovnice. Zvážte príklady.

Príklady. R jesť rovnica: 1. .

Prepíšme rovnicu inak: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> t.j.png" width="210" height = "45">

Riešenie. Prepíšme rovnicu inak:

Označte https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nevhodné.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> je iracionálna rovnica. Upozorňujeme, že

Riešenie rovnice je x = 2,5 ≤ 4, teda 2,5 je koreň rovnice. Odpoveď: 2.5.

Riešenie. Prepíšme rovnicu do tvaru a obe strany vydeľme 56x+6 ≠ 0. Dostaneme rovnicu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, takže..png" width="118" height="56">

Korene kvadratickej rovnice - t1 = 1 a t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Riešenie . Rovnicu prepíšeme do tvaru

a všimnite si, že ide o homogénnu rovnicu druhého stupňa.

Vydelíme rovnicu 42x a dostaneme

Nahraďte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odpoveď: 0; 0,5.

Banka úloh č. 3. vyriešiť rovnicu

Test č. 3 s výberom odpovedí. Minimálna úroveň.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2; 1 2) -1; 0 3) bez koreňov 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez koreňov 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test č. 4 s výberom odpovedí. Všeobecná úroveň.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez koreňov

5. Metóda faktorizácie.

1. Vyriešte rovnicu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Riešenie..png" width="169" height="69"> , odkiaľ

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Riešenie. Vyberme 6x na ľavej strane rovnice a 2x na pravej strane. Dostaneme rovnicu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Keďže 2x >0 pre všetky x, môžeme obe strany tejto rovnice vydeliť 2x bez strachu, že stratíme riešenia. Dostaneme 3x = 1ó x = 0.

Riešenie. Rovnicu riešime faktoringom.

Vyberieme druhú mocninu binomu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je koreň rovnice.

Rovnica x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15,x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test č. 6 Všeobecná úroveň.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenciálne - mocninné rovnice.

Exponenciálne rovnice sú spojené s takzvanými exponenciálnymi rovnicami, t. j. rovnicami v tvare (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ak je známe, že f(x)>0 a f(x) ≠ 1, potom rovnicu, podobne ako exponenciálnu, riešime rovnítkom exponentov g(x) = f(x).

Ak podmienka nevylučuje možnosť f(x)=0 a f(x)=1, tak pri riešení exponenciálnej mocninnej rovnice musíme tieto prípady zvážiť.

1..png" width="182" height="116 src=">

Riešenie. x2 +2x-8 - dáva zmysel pre ľubovoľné x, pretože polynóm, takže rovnica je ekvivalentná množine

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Exponenciálne rovnice s parametrami.

1. Pre aké hodnoty parametra p má rovnica 4 (5 – 3)•2 +4p2–3p = 0 (1) jednoznačné riešenie?

Riešenie. Zavedme zmenu 2x = t, t > 0, potom rovnica (1) bude mať tvar t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminant rovnice (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Rovnica (1) má jedinečné riešenie, ak rovnica (2) má jeden kladný koreň. To je možné v nasledujúcich prípadoch.

1. Ak D = 0, teda p = 1, potom rovnica (2) bude mať tvar t2 – 2t + 1 = 0, teda t = 1, preto rovnica (1) má jedinečné riešenie x = 0.

2. Ak p1, potom 9(p – 1)2 > 0, potom rovnica (2) má dva rôzne korene t1 = p, t2 = 4p – 3. Množina systémov spĺňa podmienku úlohy

Nahradením t1 a t2 do systémov máme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Riešenie. Nechaj potom rovnica (3) bude mať tvar t2 – 6t – a = 0. (4)

Nájdite hodnoty parametra a, pre ktoré aspoň jeden koreň rovnice (4) spĺňa podmienku t > 0.

Zaveďme funkciu f(t) = t2 – 6t – a. Možné sú nasledujúce prípady.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Prípad 2. Rovnica (4) má jedinečné kladné riešenie, ak

D = 0, ak a = – 9, potom rovnica (4) bude mať tvar (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Prípad 3. Rovnica (4) má dva korene, ale jeden z nich nespĺňa nerovnosť t > 0. To je možné, ak

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Teda pri a 0 má rovnica (4) jediný kladný koreň . Potom rovnica (3) má jedinečné riešenie

Pre< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Ak< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ak a = – 9, potom x = – 1;

ak je  0, potom

Porovnajme metódy riešenia rovníc (1) a (3). Všimnite si, že pri riešení rovnice (1) bola redukovaná na kvadratickú rovnicu, ktorej diskriminant je plný štvorec; teda korene rovnice (2) boli okamžite vypočítané podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice a potom boli vyvodené závery týkajúce sa týchto koreňov. Rovnica (3) bola zredukovaná na kvadratickú rovnicu (4), ktorej diskriminant nie je dokonalý štvorec, preto je vhodné pri riešení rovnice (3) použiť vety o umiestnení koreňov štvorcového trinomu a grafický model. Všimnite si, že rovnicu (4) možno vyriešiť pomocou Vietovej vety.

Poďme riešiť zložitejšie rovnice.

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

Riešenie. ODZ: x1, x2.

Predstavme si náhradu. Nech 2x = t, t > 0, potom v dôsledku transformácií bude mať rovnica tvar t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nájdite hodnoty a, pre ktoré je aspoň jeden koreň rovnica (*) spĺňa podmienku t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpoveď: ak a > - 13, a  11, a  5, potom ak a - 13,

a = 11, a = 5, potom neexistujú žiadne korene.

Bibliografia.

1. Guzeev základy vzdelávacej technológie.

2. Technológia Guzeev: od recepcie k filozofii.

M. "Riaditeľ" č.4, 1996

3. Guzeev a organizačné formy učenie.

4. Guzeev a prax integrálnej vzdelávacej technológie.

M. "Vzdelávanie ľudí", 2001

5. Guzeev z foriem lekcie - seminár.

Matematika v škole číslo 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Vzdelávacie technológie Selevko.

M. "Výchova ľudí", 1998

7. Školáci Episheva sa učia matematiku.

M. "Osvietenie", 1990

8. Ivanov pripraviť hodiny - workshopy.

Matematika v škole číslo 6, 1990, s. 37-40.

9. Smirnov model vyučovania matematiky.

Matematika v škole číslo 1, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko spôsoby organizácie praktickej práce.

Matematika v škole číslo 1, 1993, s. 27 - 28.

11. O jednom z typov samostatnej práce.

Matematika v škole číslo 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Chazankin Tvorivé schopnostiškolákov.

Matematika v škole číslo 2, 1989, s. desať.

13. Scanavi. Vydavateľstvo, 1997

14. a kol., Algebra a začiatky analýzy. Didaktické materiály pre

15. Krivonogovove úlohy z matematiky.

M. "Prvý september", 2002

16. Čerkasov. Príručka pre stredoškolákov a

vstup na univerzity. "A S T - tlačová škola", 2002

17. Zhevnyak pre uchádzačov o štúdium na univerzitách.

Minsk a RF "Recenzia", 1996

18. Písomné D. Príprava na skúšku z matematiky. M. Rolf, 1999

19. a iné.Učiť sa riešiť rovnice a nerovnice.

M. "Intelekt - Stred", 2003

20. a iné Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu na E G E.

M. "Intelekt - Stred", 2003 a 2004

21 a iné.Varianty CMM. Testovacie centrum Ministerstva obrany Ruskej federácie, 2002, 2003

22. Goldbergove rovnice. "Quantum" č. 3, 1971

23. Volovič M. Ako úspešne učiť matematiku.

Matematika, 1997 č. 3.

24 Okunev za lekciu, deti! M. Osveta, 1988

25. Yakimanskaya - orientované vzdelávanie v škole.

26. Liimets pracujú na lekcii. M. Vedomosti, 1975

Táto lekcia je určená pre tých, ktorí sa práve začínajú učiť exponenciálne rovnice. Ako vždy, začnime definíciou a jednoduchými príkladmi.

Ak čítate túto lekciu, mám podozrenie, že už aspoň minimálne rozumiete najjednoduchším rovniciam – lineárnym a štvorcovým: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atď. Schopnosť riešiť takéto konštrukcie je absolútne nevyhnutná, aby sme „neviseli“ v téme, o ktorej sa teraz bude diskutovať.

Takže exponenciálne rovnice. Uvediem pár príkladov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektoré sa vám môžu zdať komplikovanejšie, niektoré sú naopak príliš jednoduché. Všetky však spája jedna dôležitá vlastnosť: obsahujú exponenciálnu funkciu $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Preto uvádzame definíciu:

Exponenciálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje exponenciálnu funkciu, t.j. výraz v tvare $((a)^(x))$. Okrem zadanej funkcie môžu takéto rovnice obsahovať akékoľvek ďalšie algebraické konštrukcie - polynómy, korene, trigonometriu, logaritmy atď.

Dobre teda. Rozumel definícii. Teraz otázka znie: ako vyriešiť všetky tieto svinstvá? Odpoveď je jednoduchá a zložitá zároveň.

Začnime dobrou správou: z mojej skúsenosti s mnohými študentmi môžem povedať, že pre väčšinu z nich sú exponenciálne rovnice oveľa jednoduchšie ako rovnaké logaritmy a ešte viac trigonometria.

No je tu aj zlá správa: občas zostavovateľov úloh k všelijakým učebniciam a skúškam navštívi „inšpirácia“ a ich drogami zapálený mozog začne produkovať také brutálne rovnice, že ich riešenie začína byť problematické nielen pre študentov – aj mnohí učitelia sa zaseknú na takýchto problémoch.

Nehovorme však o smutných veciach. A vráťme sa k tým trom rovniciam, ktoré boli dané na samom začiatku príbehu. Pokúsme sa vyriešiť každý z nich.

Prvá rovnica: $((2)^(x))=4$. No a na akú moc musí byť povýšené číslo 2, aby dostalo číslo 4? Možno to druhé? Veď $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — a dostali sme správnu číselnú rovnosť, t.j. naozaj $x=2$. No, ďakujem, čiapočka, ale táto rovnica bola taká jednoduchá, že ju dokázala vyriešiť aj moja mačka. :)

Pozrime sa na nasledujúcu rovnicu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tu je to však trochu ťažšie. Mnoho študentov vie, že $((5)^(2))=25$ je násobilka. Niektorí sa tiež domnievajú, že $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ je v podstate definícia záporných exponentov (podobne ako vo vzorci $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Nakoniec len pár vyvolených tipuje, že tieto fakty možno skombinovať a výsledkom je nasledujúci výsledok:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Naša pôvodná rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Šípka doprava ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz je to už úplne vyriešené! Na ľavej strane rovnice je exponenciálna funkcia, na pravej strane rovnice je exponenciálna funkcia, nikde inde nie je nič okrem nich. Preto je možné „vyhodiť“ základy a hlúpo prirovnať ukazovatele:

Získali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, ktorú môže každý študent vyriešiť iba v niekoľkých riadkoch. Dobre, v štyroch riadkoch:

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

Ak nerozumiete tomu, čo sa stalo v posledných štyroch riadkoch, vráťte sa k téme „lineárne rovnice“ a zopakujte si ju. Pretože bez jasnej asimilácie tejto témy je príliš skoro na to, aby ste sa zaoberali exponenciálnymi rovnicami.

\[((9)^(x))=-3\]

No a ako sa rozhodneš? Prvá myšlienka: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, takže pôvodnú rovnicu možno prepísať takto:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Potom si pripomíname, že pri zvýšení stupňa na moc sa ukazovatele znásobia:

\[((\vľavo(((3)^(2)) \vpravo))^(x))=((3)^(2x))\šípka doprava ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

A za takéto rozhodnutie dostávame úprimne zaslúženú dvojku. Pretože my sme s vyrovnanosťou Pokémona poslali znamienko mínus pred trojicu k sile práve tejto trojky. A to nemôžete urobiť. A preto. Pozrite sa na rôzne mocniny trojky:

\[\begin(matica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matica)\]

Pri zostavovaní tejto tablety som sa čo najskôr nezvrtol: považoval som pozitívne stupne a negatívne a dokonca zlomkové ... no, kde je aspoň jeden záporné číslo? On nie je! A nemôže byť, pretože exponenciálna funkcia $y=((a)^(x))$ po prvé vždy trvá len kladné hodnoty(nezáleží na tom, koľko vynásobíte jednotku alebo vydelíte dvoma, stále to bude kladné číslo) a po druhé, základ takejto funkcie - číslo $a$ - je z definície kladné číslo!

Ako potom vyriešiť rovnicu $((9)^(x))=-3$? Nie, nie sú tam žiadne korene. A v tomto zmysle sú exponenciálne rovnice veľmi podobné tým kvadratickým - tiež nemusia existovať žiadne korene. Ale ak v kvadratické rovnice počet koreňov je určený diskriminantom (diskriminant je kladný - 2 korene, záporný - bez koreňov), potom v exponenciáli všetko závisí od toho, čo je napravo od znamienka rovnosti.

Sformulujeme teda kľúčový záver: najjednoduchšia exponenciálna rovnica v tvare $((a)^(x))=b$ má koreň práve vtedy, keď $b>0$. Keď poznáte tento jednoduchý fakt, môžete ľahko určiť, či rovnica, ktorá vám bola navrhnutá, má korene alebo nie. Tie. oplatí sa to vôbec riešiť alebo rovno napísať, že tam nie sú korene.

Tieto poznatky nám mnohonásobne pomôžu, keď musíme riešiť zložitejšie problémy. Medzitým dosť textov - je čas naštudovať si základný algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc.

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Takže sformulujme problém. Je potrebné vyriešiť exponenciálnu rovnicu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Podľa „naivného“ algoritmu, ktorý sme použili predtým, je potrebné reprezentovať číslo $b$ ako mocninu čísla $a$:

Navyše, ak je namiesto premennej $x$ akýkoľvek výraz, dostaneme novú rovnicu, ktorá sa už dá vyriešiť. Napríklad:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((2)^(x))=8\šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(3))\šípka doprava x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Šípka doprava ((3)^(-x))=((3)^(4))\Šípka doprava -x=4\Šípka doprava x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Šípka doprava ((5)^(2x))=((5)^(3))\Šípka doprava 2x=3\Šípka doprava x=\frac(3)( 2). \\\end(zarovnať)\]

A napodiv, táto schéma funguje asi v 90% prípadov. A čo potom zvyšných 10%? Zvyšných 10 % sú mierne „schizofrenické“ exponenciálne rovnice tvaru:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na akú silu potrebujete zvýšiť 2, aby ste dostali 3? V prvom? Ale nie: $((2)^(1))=2$ nestačí. V druhom? Ani jedno: $((2)^(2))=4$ je príliš veľa. Čo potom?

Znalí študenti už pravdepodobne uhádli: v takých prípadoch, keď nie je možné vyriešiť „krásne“, je s prípadom spojené „ťažké delostrelectvo“ - logaritmy. Dovoľte mi pripomenúť, že pomocou logaritmov môže byť každé kladné číslo reprezentované ako mocnina akéhokoľvek iného kladné číslo(okrem jednotky):

Pamätáte si tento vzorec? Keď hovorím svojim študentom o logaritmoch, vždy vás varujem: tento vzorec (je to aj základná logaritmická identita alebo, ak chcete, definícia logaritmu) vás bude prenasledovať veľmi dlho a „vynorí sa“ vo väčšine prípadov. nečakané miesta. No vyplávala na povrch. Pozrime sa na našu rovnicu a tento vzorec:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ak predpokladáme, že $a=3$ je naše pôvodné číslo napravo a $b=2$ je samotný základ exponenciálnej funkcie, na ktorú tak chceme znížiť pravú stranu, dostaneme nasledovné:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Šípka doprava x=( (\log )_(2))3. \\\end(zarovnať)\]

Dostali sme trochu zvláštnu odpoveď: $x=((\log )_(2))3$. Pri nejakej inej úlohe by s takouto odpoveďou mnohí zapochybovali a začali svoje riešenie preverovať: čo ak sa niekde stala chyba? Ponáhľam sa vás potešiť: nie je tu žiadna chyba a logaritmy v koreňoch exponenciálnych rovníc sú celkom typickou situáciou. Tak si zvykajte. :)

Teraz analogicky vyriešime zostávajúce dve rovnice:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Šípka doprava x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Šípka doprava ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Šípka doprava 2x=( (\log )_(4))11\Šípka doprava x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Mimochodom, posledná odpoveď môže byť napísaná inak:

Boli sme to my, kto zaviedol multiplikátor do argumentu logaritmu. Ale nikto nám nebráni pridať tento faktor k základu:

V tomto prípade sú všetky tri možnosti správne - je to tak rôzne formy záznamy rovnakého čísla. Ktorý si vyberiete a zapíšete do tohto rozhodnutia, je len na vás.

Tak sme sa naučili riešiť akékoľvek exponenciálne rovnice v tvare $((a)^(x))=b$, kde čísla $a$ a $b$ sú striktne kladné. Tvrdá realita nášho sveta je však taká, že takéto jednoduché úlohy vás stretnú veľmi, veľmi zriedka. Častejšie sa stretnete s niečím takým:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

No a ako sa rozhodneš? Dá sa to vôbec riešiť? A ak áno, ako?

Žiadna panika. Všetky tieto rovnice sú rýchlo a jednoducho zredukované na tie jednoduché vzorce, ktoré sme už zvážili. Stačí si vedieť zapamätať pár trikov z kurzu algebry. A samozrejme, neexistujú tu žiadne pravidlá pre prácu s titulmi. O tom všetkom teraz budem hovoriť. :)

Transformácia exponenciálnych rovníc

Prvá vec, ktorú si treba zapamätať, je, že každá exponenciálna rovnica, bez ohľadu na to, aká môže byť zložitá, musí byť tak či onak zredukovaná na najjednoduchšie rovnice – práve tie, o ktorých sme už uvažovali a ktoré vieme vyriešiť. Inými slovami, schéma riešenia akejkoľvek exponenciálnej rovnice vyzerá takto:

Zapíšte pôvodnú rovnicu. Napríklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Urob nejaké hlúposti. Alebo dokonca nejaké svinstvo s názvom „transformovať rovnicu“;
Na výstupe získajte najjednoduchšie výrazy ako $((4)^(x))=4$ alebo niečo podobné. Navyše jedna počiatočná rovnica môže poskytnúť niekoľko takýchto výrazov naraz.

S prvým bodom je všetko jasné - dokonca aj moja mačka môže napísať rovnicu na list. Zdá sa, že aj s tretím bodom je to viac-menej jasné – takých rovníc sme už riešili vyššie.

Ale čo druhý bod? Aké sú premeny? Čo previesť na čo? A ako?

Nuž, poďme na to. V prvom rade by som chcel upozorniť na nasledovné. Všetky exponenciálne rovnice sú rozdelené do dvoch typov:

Rovnica sa skladá z exponenciálnych funkcií s rovnakým základom. Príklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Vzorec obsahuje exponenciálne funkcie s rôznymi základňami. Príklady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ a $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Začnime rovnicami prvého typu – tie sa riešia najjednoduchšie. A pri ich riešení nám pomôže taká technika, ako je výber stabilných výrazov.

Zvýraznenie stabilného výrazu

Pozrime sa ešte raz na túto rovnicu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

čo vidíme? Štyri sú zvýšené v rôznych stupňoch. Ale všetky tieto mocniny sú jednoduché súčty premennej $x$ s inými číslami. Preto je potrebné pamätať na pravidlá pre prácu s titulmi:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(zarovnať)\]

Jednoducho povedané, sčítanie exponentov sa dá previesť na súčin mocnín a odčítanie sa ľahko prevedie na delenie. Skúsme použiť tieto vzorce na mocniny z našej rovnice:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(zarovnať)\]

Prepíšeme pôvodnú rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť a potom zhromaždíme všetky výrazy vľavo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenásť; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(zarovnať)\]

Prvé štyri výrazy obsahujú prvok $((4)^(x))$ — vyberme ho zo zátvorky:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(zarovnať)\]

Zostáva rozdeliť obe časti rovnice zlomkom $-\frac(11)(4)$, t.j. v podstate vynásobte prevráteným zlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dostaneme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Pôvodnú rovnicu sme zredukovali na najjednoduchšiu a dostali sme konečnú odpoveď.

Zároveň sme v procese riešenia objavili (a dokonca vyňali zo zátvorky) spoločný činiteľ $((4)^(x))$ - toto je stabilný výraz. Môže byť označená ako nová premenná, alebo ju môžete jednoducho presne vyjadriť a získať odpoveď. V každom prípade je kľúčový princíp riešenia nasledovný:

Nájdite v pôvodnej rovnici stabilný výraz obsahujúci premennú, ktorú možno ľahko odlíšiť od všetkých exponenciálnych funkcií.

Dobrou správou je, že takmer každá exponenciálna rovnica pripúšťa takýto stabilný výraz.

Je tu však aj zlá správa: takéto výrazy môžu byť veľmi zložité a môže byť dosť ťažké ich rozlíšiť. Pozrime sa teda na ďalší problém:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možno si teraz niekto položí otázku: „Pasha, si ukameňovaný? Tu sú rôzne základy - 5 a 0,2. Ale skúsme previesť mocninu so základom 0,2. Napríklad, zbavme sa desatinný zlomok, čím sa dostane na zvyčajné:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)))=((\vľavo(\frac(1)(5) \vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)) )\]

Ako vidíte, číslo 5 sa predsa len objavilo, aj keď v menovateli. Zároveň bol ukazovateľ prepísaný na negatívny. A teraz si pripomenieme jedno z najdôležitejších pravidiel pre prácu s titulmi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\šípka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tu som, samozrejme, trochu podvádzal. Pretože pre úplné pochopenie musel byť vzorec na zbavenie sa negatívnych ukazovateľov napísaný takto:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Šípka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1)) \ vpravo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Na druhej strane nám nič nebránilo pracovať len s jedným zlomkom:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)))=((5)^(\vľavo(-1 \vpravo)\cdot \vľavo(-\vľavo(x+1 \vpravo) \vpravo) ))=((5)^(x+1))\]

Ale v tomto prípade musíte byť schopní zvýšiť stupeň na iný stupeň (pripomínam vám: v tomto prípade sa ukazovatele sčítavajú). Ale nemusel som zlomky „preklápať“ - možno pre niekoho to bude jednoduchšie. :)

V každom prípade bude pôvodná exponenciálna rovnica prepísaná takto:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(zarovnať)\]

Ukazuje sa teda, že pôvodnú rovnicu je možné vyriešiť ešte jednoduchšie ako predtým zvažovanú rovnicu: tu ani nemusíte vyberať stabilný výraz - všetko sa zredukovalo samo. Zostáva len pamätať si, že $1=((5)^(0))$, odkiaľ dostaneme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie! Dostali sme konečnú odpoveď: $x=-2$. Zároveň by som rád poznamenal jeden trik, ktorý nám výrazne zjednodušil všetky výpočty:

V exponenciálnych rovniciach sa určite zbavte desatinných zlomkov, preložte ich na obyčajné. To vám umožní vidieť rovnaké základy stupňov a výrazne zjednodušiť riešenie.

Teraz prejdime k zložitejším rovniciam, v ktorých sú rôzne bázy, ktoré vo všeobecnosti nie sú navzájom redukovateľné pomocou mocnín.

Použitie vlastnosti exponent

Dovoľte mi pripomenúť, že máme dve obzvlášť drsné rovnice:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

Hlavným problémom je, že nie je jasné, čo a na akom základe viesť. Kde nastaviť výrazy? Kde sú spoločné dôvody? Nič z toho neexistuje.

Ale skúsme ísť inou cestou. Ak neexistujú žiadne hotové identické základne, môžete sa ich pokúsiť nájsť rozpočítaním dostupných základov.

Začnime prvou rovnicou:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cbodka 3\šípka doprava ((21)^(3x))=((\vľavo(7\cbodka 3 \vpravo))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(zarovnať)\]

Ale koniec koncov môžete urobiť opak - vytvorte číslo 21 z čísel 7 a 3. Je to obzvlášť ľahké urobiť vľavo, pretože ukazovatele oboch stupňov sú rovnaké:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Vybrali ste exponent zo súčinu a okamžite ste dostali krásnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť niekoľkými riadkami.

Teraz sa poďme zaoberať druhou rovnicou. Tu je všetko oveľa komplikovanejšie:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tomto prípade sa zlomky ukázali ako nezredukovateľné, ale ak by sa niečo dalo znížiť, určite to zredukujte. Výsledkom sú často zaujímavé dôvody, s ktorými už môžete pracovať.

Žiaľ, na nič sme neprišli. Vidíme však, že exponenty vľavo v súčine sú opačné:

Dovoľte mi pripomenúť: aby ste sa zbavili znamienka mínus v exponente, stačí zlomok „prehodiť“. Prepíšme teda pôvodnú rovnicu:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(zarovnať)\]

V druhom riadku sme len uzavreli súčet zo súčinu podľa pravidla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ a v tom druhom jednoducho vynásobili číslo 100 zlomkom.

Teraz si všimnite, že čísla vľavo (v základni) a vpravo sú trochu podobné. Ako? Áno, samozrejme: sú to mocnosti rovnakého čísla! Máme:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \vpravo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \vpravo))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

Naša rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \vpravo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \vpravo))^(3\vľavo(x-1 \vpravo)))=((\vľavo(\frac(10)(3) \vpravo))^(3x-3))\]

Zároveň vpravo môžete získať aj stupeň s rovnakým základom, na ktorý stačí zlomok „prehodiť“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nakoniec naša rovnica bude mať tvar:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie. Jeho hlavnou myšlienkou je, že aj keby rôzne základy x snažíme sa hákom alebo podvodníkom zredukovať tieto dôvody na jeden a ten istý. V tom nám pomáhajú elementárne transformácie rovníc a pravidlá pre prácu s mocninami.

Ale aké pravidlá a kedy použiť? Ako pochopiť, že v jednej rovnici musíte obe strany niečím rozdeliť a v inej - rozložiť základ exponenciálnej funkcie na faktory?

Odpoveď na túto otázku príde so skúsenosťami. Najprv vyskúšajte svoju ruku jednoduché rovnice, a potom postupne komplikujte úlohy - a čoskoro budú vaše schopnosti stačiť na vyriešenie akejkoľvek exponenciálnej rovnice z rovnakého USE alebo akejkoľvek nezávislej / testovacej práce.

A aby som vám pomohol v tejto ťažkej úlohe, navrhujem stiahnuť súbor rovníc na mojej webovej stránke pre nezávislé riešenie. Všetky rovnice majú odpovede, takže si ich môžete kedykoľvek overiť.

Čo je to exponenciálna rovnica? Príklady.

Takže, exponenciálna rovnica... Nový unikátny exponát na našej všeobecnej výstave širokej škály rovníc!) Ako takmer vždy, kľúčové slovo každého nového matematického výrazu je zodpovedajúce prídavné meno, ktoré ho charakterizuje. Takže aj tu. kľúčové slovo v termíne "exponenciálna rovnica" je slovo "demonštratívne". Čo to znamená? Toto slovo znamená, že neznáma (x) je v zmysle akéhokoľvek stupňa. A len tam! Toto je mimoriadne dôležité.

Napríklad tieto jednoduché rovnice:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Alebo dokonca tieto príšery:

2 hriech x = 0,5

Žiadam vás, aby ste okamžite venovali pozornosť jednej dôležitej veci: in dôvodov stupne (dole) - iba čísla. Ale v ukazovatele stupne (hore) - široká škála výrazov s x. Absolútne akékoľvek.) Všetko závisí od konkrétnej rovnice. Ak zrazu x vyjde v rovnici niekde inde, okrem indikátora (povedzme 3 x \u003d 18 + x 2), takáto rovnica už bude rovnicou zmiešaný typ. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Preto ich v tejto lekcii nebudeme brať do úvahy. Na radosť študentov.) Tu budeme uvažovať iba o exponenciálnych rovniciach v „čistej“ forme.

Všeobecne povedané, dokonca ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vo všetkých prípadoch a nie vždy jasne vyriešené. Ale medzi bohatou škálou exponenciálnych rovníc existujú určité typy, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Práve tieto typy rovníc s vami zvážime. A príklady určite vyriešime.) Ubytujeme sa teda pohodlne a - na ceste! Rovnako ako v počítačových „strielačkách“ bude naša cesta prechádzať úrovňami.) Od základných po jednoduché, od jednoduchých po stredné a od stredného po zložité. Po ceste vás bude čakať aj tajný level – triky a metódy na riešenie neštandardných príkladov. Tie, o ktorých sa vo väčšine školských učebníc nedočítate... No a na konci vás samozrejme čaká záverečný šéf v podobe domácich úloh.)

Úroveň 0. Aká je najjednoduchšia exponenciálna rovnica? Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc.

Na začiatok sa pozrime na niektoré úprimné elementárne. Niekde začať treba, však? Napríklad táto rovnica:

2 x = 2 2

Aj bez akýchkoľvek teórií, jednoduchou logikou a zdravým rozumom je jasné, že x = 2. Inak to nejde, však? Žiadna iná hodnota x nie je dobrá... Teraz obráťme našu pozornosť na rozhodovací vstup táto skvelá exponenciálna rovnica:

2 x = 2 2

X = 2

čo sa nám stalo? A stalo sa nasledovné. V skutočnosti sme vzali a ... len vyhodili rovnaké základne (dvojky)! Úplne vyhodené. A čo sa páči, udrite do očí!

Áno, skutočne, ak sú v exponenciálnej rovnici vľavo a vpravo rovnakýčísla v akomkoľvek stupni, potom môžu byť tieto čísla vyradené a jednoducho prirovnať exponenty. Matematika umožňuje.) A potom môžete samostatne pracovať s ukazovateľmi a riešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Je to skvelé, však?

Tu je kľúčová myšlienka riešenia akejkoľvek (áno, presne akejkoľvek!) exponenciálnej rovnice: pomocou identických transformácií je potrebné zabezpečiť, aby v rovnici boli ľavé a pravé rovnaký základné čísla v rôznych mocninách. A potom môžete bezpečne odstrániť rovnaké základy a prirovnať exponenty. A pracujte s jednoduchšou rovnicou.

A teraz si pamätáme železné pravidlo: je možné odstrániť rovnaké základy vtedy a len vtedy, ak sú v rovnici vľavo a vpravo základné čísla v hrdej osamelosti.

Čo to znamená v nádhernej izolácii? To znamená bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Vysvetlím.

Napríklad v rovnici

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nemôžete odstrániť trojčatá! prečo? Pretože na ľavej strane nemáme len osamelú trojku na stupni, ale práca 3 3 x-5. Do cesty prekáža ešte trojnásobok: koeficient, rozumiete.)

To isté možno povedať o rovnici

5 3 x = 5 2 x +5 x

Aj tu sú všetky základy rovnaké – päť. Ale napravo nemáme ani jeden stupeň päť: je tu súčet stupňov!

Stručne povedané, máme právo odstrániť rovnaké základy iba vtedy, keď naša exponenciálna rovnica vyzerá takto a iba takto:

af (X) = a g (X)

Tento typ exponenciálnej rovnice sa nazýva najjednoduchšie. Alebo vedecky, kanonický . A nech je tá skrútená rovnica pred nami akákoľvek, tak či onak, zredukujeme ju na takú jednoduchú (kánonickú) formu. Alebo v niektorých prípadoch na agregátov rovnice tohto druhu. Potom môže byť naša najjednoduchšia rovnica in všeobecný pohľad prepísať takto:

F(x) = g(x)

A to je všetko. Toto bude ekvivalentná transformácia. Zároveň úplne akékoľvek výrazy s x môžu byť použité ako f(x) a g(x). Hocičo.

Možno sa obzvlášť zvedavý študent opýta: prečo, preboha, tak ľahko a jednoducho zahodíme rovnaké základy vľavo a vpravo a dávame rovnítko medzi exponenty? Intuícia je intuícia, ale zrazu sa v nejakej rovnici a z nejakého dôvodu tento prístup ukáže ako nesprávny? Je vždy legálne hádzať rovnaké základy? Bohužiaľ, za rigoróznu matematickú odpoveď záujem Spýtaj sa musíte sa hlboko a vážne ponoriť do všeobecnej teórie štruktúry a správania funkcií. A trochu konkrétnejšie – vo fenoméne prísna monotónnosť. Najmä prísna monotónnosť exponenciálna funkciar= a x. Keďže práve exponenciálna funkcia a jej vlastnosti sú základom riešenia exponenciálnych rovníc, áno.) Podrobnú odpoveď na túto otázku poskytneme v samostatnej špeciálnej lekcii venovanej riešeniu zložitých neštandardných rovníc s využitím monotónnosti rôznych funkcií.)

Vysvetliť tento bod podrobne teraz znamená len vytiahnuť mozog priemerného školáka a vopred ho vystrašiť suchou a ťažkou teóriou. Toto neurobím.) Pre naše hlavné tento momentúloha - Naučte sa riešiť exponenciálne rovnice!Úplne najjednoduchšie! Preto, až kým sa nezapotíme a smelo vyhodíme tie isté dôvody. to môcť, vezmite ma za slovo!) A potom už riešime ekvivalentnú rovnicu f (x) = g (x). Spravidla je jednoduchšia ako pôvodná exponenciála.

Predpokladá sa, samozrejme, že ľudia už vedia riešiť aspoň , a rovnice, už bez x v ukazovateľoch.) Kto ešte nevie ako, pokojne zatvorte túto stránku, prejdite sa po príslušných odkazoch a vyplňte staré medzery. Inak to budeš mať ťažké, áno...

O iracionálnych, trigonometrických a iných brutálnych rovniciach, ktoré sa môžu objaviť aj v procese odstraňovania báz, mlčím. Ale neznepokojujte sa, zatiaľ nebudeme uvažovať o úprimnom cíne v stupňoch: je príliš skoro. Budeme trénovať iba na najjednoduchších rovniciach.)

Teraz zvážte rovnice, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Aby sme ich rozlíšili, nazvime ich jednoduché exponenciálne rovnice. Takže poďme na ďalšiu úroveň!

Úroveň 1. Jednoduché exponenciálne rovnice. Poznať tituly! prirodzené ukazovatele.

Kľúčové pravidlá pri riešení akýchkoľvek exponenciálnych rovníc sú pravidlá zaobchádzania s titulmi. Bez týchto vedomostí a zručností nebude fungovať nič. žiaľ. Takže, ak sú problémy s titulmi, tak na začiatok ste vítaní. Okrem toho potrebujeme aj . Tieto transformácie (až dve!) sú základom pre riešenie všetkých rovníc matematiky vo všeobecnosti. A nielen vitríny. Takže, kto zabudol, prejdite sa aj na odkaz: Obliekla som si ich z nejakého dôvodu.

Ale len akcie so schopnosťami a rovnakými transformáciami nestačia. Vyžaduje si to aj osobné pozorovanie a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké dôvody, nie? Preto skúmame príklad a hľadáme ich v explicitnej alebo skrytej forme!

Napríklad táto rovnica:

3 2x – 27x +2 = 0

Prvý pohľad na dôvodov. Sú iní! Tri a dvadsaťsedem. Na paniku a upadnutie do zúfalstva je však priskoro. Je načase si to pripomenúť

27 = 3 3

Čísla 3 a 27 sú príbuzní v stupni! Navyše, príbuzní.) Preto máme plné právo zapísať:

27 x +2 = (3 3) x + 2

A teraz spájame naše poznatky o akcie s právomocami(a varoval som ťa!). Existuje taký veľmi užitočný vzorec:

(am) n = a mn

Teraz, ak to spustíte v kurze, vo všeobecnosti to dopadne dobre:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pôvodný príklad teraz vyzerá takto:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Skvelé, základy stupňov sa zarovnali. O čo sme sa snažili. Polovica práce je hotová.) A teraz spustíme základnú transformáciu identity – prenesieme 3 3 (x +2) doprava. Nikto nezrušil základné úkony matematiky, áno.) Dostávame:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Čo nám dáva takúto rovnicu? A skutočnosť, že teraz je naša rovnica znížená do kánonickej podoby: vľavo a vpravo sú rovnaké čísla (trojice) v mocninách. A obe trojičky - v nádhernej izolácii. Odvážne odstránime trojičky a získame:

2x = 3(x+2)

Vyriešime to a dostaneme:

X = -6

To je všetko. Toto je správna odpoveď.)

A teraz chápeme priebeh rozhodnutia. Čo nás v tomto príklade zachránilo? Zachránila nás znalosť stupňov trojky. ako presne? my identifikovanéčíslo 27 zašifrované tri! Tento trik (šifrovanie rovnakej základne pod rôzne čísla) je jedným z najpopulárnejších v exponenciálnych rovniciach! Pokiaľ nie je najobľúbenejší. Áno, a tiež, mimochodom. Preto je pozorovanie a schopnosť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach také dôležité v exponenciálnych rovniciach!

Praktické rady:

Musíte poznať silu populárnych čísel. Do tváre!

Samozrejme, každý môže zvýšiť dve na siedmu mocninu alebo tri na piatu. Nie podľa mňa, teda aspoň na drafte. Ale v exponenciálnych rovniciach je oveľa častejšie potrebné nezvyšovať na mocninu, ale naopak zistiť, aké číslo a do akej miery sa skrýva za číslom, povedzme, 128 alebo 243. A to už je viac komplikovanejšie ako jednoduché umocňovanie, vidíte. Cítite ten rozdiel, ako sa hovorí!

Keďže schopnosť rozpoznať stupne v tvári je užitočná nielen na tejto úrovni, ale aj na nasledujúcich, máme pre vás malú úlohu:

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odpovede (samozrejme rozptýlené):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Áno áno! Nečudujte sa, že odpovedí je viac ako úloh. Napríklad 2 8, 4 4 a 16 2 sú všetky 256.

Úroveň 2. Jednoduché exponenciálne rovnice. Poznať tituly! Záporné a zlomkové exponenty.

Na tejto úrovni už využívame naše znalosti titulov naplno. Konkrétne do tohto fascinujúceho procesu zapájame negatívne a zlomkové ukazovatele! Áno áno! Musíme si vybudovať silu, však?

Napríklad táto hrozná rovnica:

Opäť sa najprv pozrite na základy. Základy sú rôzne! A tentoraz sa na seba ani zďaleka nepodobajú! 5 a 0,04... A na elimináciu báz sú potrebné tie isté... Čo robiť?

Je to v poriadku! V skutočnosti je všetko po starom, akurát spojenie medzi päťkou a 0,04 je vizuálne zle viditeľné. Ako sa dostaneme von? A prejdime k obvyklému zlomku v čísle 0,04! A tam, vidíte, všetko sa tvorí.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ukázalo sa, že 0,04 je 1/25! No, kto by si bol pomyslel!)

No, ako? Teraz je spojenie medzi číslami 5 a 1/25 ľahšie viditeľné? Tak to je...

A teraz, podľa pravidiel prevádzky s právomocami s negatívny ukazovateľ dá sa napísať pevnou rukou:

To je skvelé. Tak sme sa dostali na rovnakú základňu – päťku. Teraz nahradíme nepríjemné číslo 0,04 v rovnici číslom 5 -2 a dostaneme:

Opäť, podľa pravidiel operácií s právomocami, môžeme teraz písať:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Pre každý prípad pripomínam (zrazu, kto nevie), že základné pravidlá akcie s právomocami sú platné pre akýkoľvek ukazovatele! Vrátane negatívnych.) Takže kľudne vezmite a vynásobte ukazovatele (-2) a (x-1) podľa príslušného pravidla. Naša rovnica je stále lepšia a lepšia:

Všetko! Okrem osamelých pätiek v stupňoch vľavo a vpravo nie je nič iné. Rovnica je zredukovaná na kanonickú formu. A potom - po vrúbkovanej dráhe. Odstránime päťky a prirovnáme ukazovatele:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Príklad je takmer hotový. Základná matematika stredných tried zostáva - otvárame (správne!) Zátvorky a zbierame všetko vľavo:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Vyriešime to a dostaneme dva korene:

X 1 = 1; X 2 = 3

To je všetko.)

Teraz sa zamyslime znova. V tomto príklade sme opäť museli rozpoznať rovnaké číslo v rôznej miere! Totiž vidieť zašifrovanú päťku v čísle 0,04. A tentoraz v negatívny stupeň! Ako sa nám to podarilo? V pohybe - v žiadnom prípade. Ale po prechode z desatinného zlomku 0,04 na obyčajný zlomok 1/25 sa všetko zvýraznilo! A potom celé rozhodnutie išlo ako po masle.)

Preto ďalšia zelená praktická rada.

Ak sú v exponenciálnej rovnici desatinné zlomky, potom prejdeme od desatinných zlomkov k obyčajným. AT bežné zlomky je oveľa jednoduchšie rozpoznať mocniny mnohých populárnych čísel! Po rozpoznaní prejdeme od zlomkov k mocninám so zápornými exponentmi.

Majte na pamäti, že takáto finta v exponenciálnych rovniciach sa vyskytuje veľmi, veľmi často! A osoba nie je v predmete. Pozrie sa napríklad na čísla 32 a 0,125 a rozčúli sa. Nie je mu známe, že ide o rovnakú dvojku, len v rôznych stupňoch ... Ale už ste v téme!)

Vyriešte rovnicu:

In! Vyzerá to ako tichý horor ... Zdanie však klame. Toto je najjednoduchšia exponenciálna rovnica, napriek tomu, že je desivá vzhľad. A teraz vám to ukážem.)

Najprv sa zaoberáme všetkými číslami, ktoré sú v základoch a v koeficientoch. Očividne sú iní, áno. Ale stále riskujeme a snažíme sa ich vyrobiť rovnaký! Skúsme sa dostať rovnaký počet v rôznych stupňoch. A pokiaľ možno čo najmenší počet. Takže, začnime dešifrovať!

No so štyrmi naraz je všetko jasné – je to 2 2 . Tak už niečo.)

So zlomkom 0,25 - to ešte nie je jasné. Treba skontrolovať. Používame praktické rady – prejdite od desatinného k bežnému:

0,25 = 25/100 = 1/4

Už oveľa lepšie. Zatiaľ je už jasne vidieť, že 1/4 je 2 -2. Skvelé a číslo 0,25 je tiež podobné dvojke.)

Zatiaľ je všetko dobré. Ale najhoršie číslo zo všetkých zostáva - druhá odmocnina z dvoch!Čo robiť s touto paprikou? Dá sa to vyjadriť aj ako mocnina dvoch? A ktovie...

No a opäť lezieme do našej pokladnice vedomostí o tituloch! Tentoraz navyše prepájame naše poznatky o koreňoch. Od 9. ročníka sme museli strpieť, že každý koreň, ak sa chce, sa dá vždy premeniť na stupeň so zlomkom.

Páči sa ti to:

V našom prípade:

Ako! Ukazuje sa, že druhá odmocnina z dvoch je 2 1/2. To je všetko!

To je v poriadku! Všetky naše nepohodlné čísla sa v skutočnosti ukázali ako zašifrovaná dvojka.) Nehádam sa, niekde veľmi sofistikovane zašifrované. Ale zvyšujeme aj našu profesionalitu pri riešení takýchto šifier! A potom je už všetko zrejmé. Čísla 4, 0,25 a odmocninu z dvoch v našej rovnici nahradíme mocninou dvoch:

Všetko! Základy všetkých stupňov v príklade sa stali rovnakými - dvoma. A teraz sa používajú štandardné akcie so stupňami:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Pre ľavú stranu dostanete:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Pre pravú stranu bude:

A teraz naša zlá rovnica začala vyzerať takto:

Pre tých, ktorí neprišli na to, ako presne táto rovnica dopadla, potom otázka nie je o exponenciálnych rovniciach. Otázka sa týka akcií s právomocami. Naliehavo som požiadal, aby som to zopakoval tým, ktorí majú problémy!

Tu je cieľová čiara! Získa sa kánonický tvar exponenciálnej rovnice! No, ako? Presvedčil som ťa, že to nie je také strašidelné? ;) Odstraňujeme dvojky a porovnávame ukazovatele:

Zostáva len vyriešiť túto lineárnu rovnicu. Ako? S pomocou identických transformácií, samozrejme.) Vyriešte, čo už tam je! Vynásobte obe časti dvoma (aby ste odstránili zlomok 3/2), posuňte členy s X doľava, bez X doprava, prineste rovnaké jednotky, počítajte - a budete šťastní!

Všetko by malo dopadnúť krásne:

X = 4

Teraz si rozhodnutie premyslime. V tomto príklade nás zachránil prechod z odmocnina do stupňa s exponentom 1/2. Navyše len takáto prefíkaná premena nám všade pomohla dospieť k rovnakému základu (dvojke), čo zachránilo situáciu! A ak nie, potom by sme mali šancu navždy zamrznúť a nikdy sa s týmto príkladom vyrovnať, áno ...

Preto nezanedbávame nasledujúce praktické rady:

Ak sú v exponenciálnej rovnici odmocniny, potom prejdeme od odmocničiek k mocninám so zlomkovými exponentmi. Veľmi často len takáto premena objasní ďalšiu situáciu.

Samozrejme, záporné a zlomkové mocniny sú už oveľa ťažšie. prirodzené stupne. Aspoň čo sa týka zrakového vnímania a najmä rozpoznávania sprava doľava!

Je jasné, že priame zvýšenie napríklad dvojky na -3 alebo štvorky na -3/2 to tak nie je. veľký problém. Pre tých, ktorí vedia.)

Ale choďte napríklad, okamžite si to uvedomte

0,125 = 2 -3

Alebo

Tu vládne len prax a bohaté skúsenosti, áno. A, samozrejme, jasný výhľad, Čo je záporný a zlomkový exponent. Ako aj - praktické rady! Áno, áno, tie zelená.) Dúfam, že vám napriek tomu pomôžu lepšie sa zorientovať vo všetkých pestrých stupňoch a výrazne zvýšia vaše šance na úspech! Nezanedbávajme ich teda. Nie som márna v zelenej farbe Občas píšem.)

Na druhej strane, ak sa stanete „vy“ aj s takými exotickými mocnosťami, akými sú záporná a zlomková, potom sa vaše možnosti pri riešení exponenciálnych rovníc ohromne rozšíria a už budete schopní zvládnuť takmer akýkoľvek typ exponenciálnych rovníc. No, ak nie žiadne, tak 80 percent všetkých exponenciálnych rovníc – určite! Áno, áno, nerobím si srandu!

Takže naša prvá časť oboznámenia sa s exponenciálnymi rovnicami dospela k logickému záveru. A ako medzitréning tradične navrhujem vyriešiť si trochu po svojom.)

Cvičenie 1.

Aby moje slová o dešifrovaní záporných a zlomkových stupňov neboli márne, navrhujem zahrať si malú hru!

Vyjadrite číslo ako mocninu dvoch:

Odpovede (v neporiadku):

Stalo? Výborne! Potom robíme bojovú misiu - riešime najjednoduchšie a jednoduché exponenciálne rovnice!

Úloha 2.

Vyriešte rovnice (všetky odpovede sú neporiadok!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Odpovede:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Stalo? Naozaj, oveľa jednoduchšie!

Potom vyriešime nasledujúcu hru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Odpovede:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

A tieto príklady jedného vľavo? Výborne! Rastiete! Potom tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré môžete ochutnať:

Odpovede:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

A je rozhodnuté? No rešpekt! Snímam klobúk.) Hodina teda nebola márna a počiatočnú úroveň riešenia exponenciálnych rovníc možno považovať za úspešne zvládnutú. Vpred - ďalšie úrovne a zložitejšie rovnice! A nové techniky a prístupy. A neštandardné príklady. A nové prekvapenia.) To všetko - v ďalšej lekcii!

Niečo nefungovalo? Problémy sú teda s najväčšou pravdepodobnosťou v . Alebo v . Alebo oboje naraz. Tu som bezmocný. Opäť môžem ponúknuť len jedno - nebuďte leniví a prejdite si odkazy.)

Pokračovanie nabudúce.)

Vybavenie:

počítač,
multimediálny projektor,
obrazovka,
Príloha 1(prezentácia v PowerPointe) „Metódy riešenia exponenciálnych rovníc“
Dodatok 2(Riešenie rovnice ako „Tri rôzne základy stupňov“ vo Worde)
Dodatok 3(list vo Worde pre praktická práca).
Dodatok 4(list vo Worde na domácu úlohu).

Počas vyučovania

1. Organizačná etapa

posolstvo k téme hodiny (napísané na tabuli),
potreba zovšeobecňujúcej hodiny v ročníkoch 10-11:

Fáza prípravy študentov na aktívnu asimiláciu vedomostí

Opakovanie

Definícia.

Exponenciálna rovnica je rovnica obsahujúca v exponente premennú (odpovedá žiak).

Poznámka učiteľa. Exponenciálne rovnice patria do triedy transcendentálnych rovníc. Tento ťažko vysloviteľný názov naznačuje, že takéto rovnice sa vo všeobecnosti nedajú riešiť vo forme vzorcov.

Na počítačoch sa dajú vyriešiť len približne numerickými metódami. Ale čo skúšobné otázky? Celý trik je v tom, že skúšajúci poskladá problém tak, že pripustí len analytické riešenie. Inými slovami, môžete (a mali by ste!) robiť také identické transformácie, ktoré zredukujú danú exponenciálnu rovnicu na najjednoduchšiu exponenciálnu rovnicu. Toto je najjednoduchšia rovnica a nazýva sa: najjednoduchšia exponenciálna rovnica. Je to vyriešené logaritmus.

Situácia s riešením exponenciálnej rovnice pripomína cestu bludiskom, ktorú špeciálne vymyslel zostavovateľ úlohy. Z týchto veľmi všeobecných úvah vyplývajú celkom konkrétne odporúčania.

Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte:

1. Nielen aktívne poznať všetky exponenciálne identity, ale nájsť aj množiny hodnôt premennej, na ktorej sú tieto identity definované, aby človek pri používaní týchto identít nezískal zbytočné korene, ba čo viac, nestratil riešenia rovnice.

2. Aktívne poznať všetky exponenciálne identity.

3. Prehľadne, podrobne a bez chýb vykonajte matematické transformácie rovníc (preneste členy z jednej časti rovnice do druhej, nezabudnite zmeniť znamienko, zlomok zmenšiť na spoločného menovateľa atď.). Toto sa nazýva matematická kultúra. Samotné výpočty by sa zároveň mali vykonávať automaticky rukami a hlava by mala premýšľať o všeobecnom vodiacom vlákne riešenia. Premeny je potrebné robiť čo najšetrnejšie a najpodrobnejšie. Len to zaručí správne, bezchybné riešenie. A pamätajte: malá aritmetická chyba môže jednoducho vytvoriť transcendentálnu rovnicu, ktorá sa v zásade nedá vyriešiť analyticky. Ukázalo sa, že ste zablúdili a narazili na stenu labyrintu.

4. Poznať metódy riešenia problémov (teda poznať všetky cesty labyrintom riešenia). Pre správnu orientáciu v každej fáze budete musieť (vedome alebo intuitívne!):

definovať typ rovnice;
zapamätajte si príslušný typ metóda riešeniaúlohy.

Etapa zovšeobecňovania a systematizácie študovaného materiálu.

Učiteľ spolu so žiakmi za zapojenia počítača prevedie prehľadové zopakovanie všetkých typov exponenciálnych rovníc a spôsobov ich riešenia a zostaví všeobecnú schému. (Používa sa výukový počítačový program L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", autorom prezentácie v PowerPointe je T.N. Kuptsova.)

Ryža. jeden. Na obrázku je znázornená všeobecná schéma všetkých typov exponenciálnych rovníc.

Ako je možné vidieť z tohto diagramu, stratégiou riešenia exponenciálnych rovníc je najskôr túto exponenciálnu rovnicu zredukovať na rovnicu, s rovnakými základmi , a potom - a s rovnakými exponentmi.

Po získaní rovnice s rovnakými základmi a exponentmi nahradíte tento stupeň novou premennou a získate jednoduchú algebraickú rovnicu (zvyčajne zlomkovú racionálnu alebo kvadratickú) vzhľadom na túto novú premennú.

Vyriešením tejto rovnice a vykonaním inverznej substitúcie skončíte so súborom jednoduchých exponenciálnych rovníc, ktoré sa riešia všeobecným spôsobom pomocou logaritmov.

Rovnice stoja oddelene, v ktorých sa vyskytujú iba produkty (súkromných) mocnín. Pomocou exponenciálnych identít je možné tieto rovnice okamžite priviesť k jednej báze, najmä k najjednoduchšej exponenciálnej rovnici.

Zvážte, ako sa rieši exponenciálna rovnica s tromi rôznymi základňami stupňov.

(Ak má učiteľ učebný počítačový program od L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", potom samozrejme pracujeme s diskom, ak nie, môžete si z neho vytlačiť tento typ rovnice pre každú lavicu, ktorý je uvedený nižšie .)