În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. Expresia de sub semnul rădăcinii se numește expresie rădăcină. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenului. expresie algebrica, adică necesită definirea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 din 2: Găsirea rădăcinilor

Denumire rădăcină. O expresie sub semnul rădăcină () înseamnă că este necesar să se extragă o rădăcină de un anumit grad din această expresie.

• Rădăcina este notată printr-un semn.
• Indicele (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: (27)
• Dacă exponentul (gradul) rădăcinii este absent, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este rădăcina pătrată (sau rădăcina gradului doi).
• Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5 (2)
• Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (amintim că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
• Dacă lucrați cu rădăcini pentru prima dată, faceți notițe adecvate asupra multiplicatorului și exponentului rădăcinii, pentru a nu vă încurca și a înțelege mai bine scopul acestora.

Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, cum ar fi 2a + 2b 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.

Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii de rădăcină diferite, de exemplu, (2) + (3) (5). Dar puteți adăuga numere sub aceeași rădăcină, de exemplu, (2 + 3) = (5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este aproximativ 2,236).

Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii de rădăcină, dar exponenți diferiți, de exemplu, (64) + (64) (această sumă nu este egală cu (64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4, 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ egală cu 2.297).

Partea 2 din 2: Simplificarea și adăugarea de rădăcini

Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași exponenți și aceleași expresii de rădăcină. De exemplu, luați în considerare expresia:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent să fie în serie.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și aceeași expresie rădăcină să fie în serie.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplificați-vă rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul redat și factorul rădăcină sunt înmulțite.

În exemplul de mai sus, factor 50 în 2*25 și numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16, puteți extrage rădăcinile pătrate (respectiv 5 și 4) și puteți scoate 5 și 4 de sub rădăcină, respectiv înmulțindu-le cu factorii 2 și 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Numărul 81 poate fi descompus în 3 * 27, iar rădăcina cubă a lui 3 poate fi luată de la numărul 27. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). La rădăcină cub din 3 nu există astfel de rădăcini.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Expresie simplificată finală: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a exponenților lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Atentie, doar AZI!

Toate interesante

Numărul care se află sub semnul rădăcinii interferează adesea cu soluția ecuației, este incomod să lucrezi cu el. Chiar dacă este ridicată la o putere, fracționară sau nu poate fi reprezentată ca număr întreg într-o anumită măsură, se poate încerca să o derivă din...

O rădăcină a unui număr x este un număr care, atunci când este ridicat la puterea rădăcinii, va fi egal cu x. Multiplicatorul este numărul înmulțit. Adică, într-o expresie ca x*ª-&radic-y, trebuie să adăugați x sub rădăcină. Instrucțiunea 1 Determinați gradul...

Dacă expresia rădăcină conține un set de operații matematice cu variabile, atunci uneori, ca urmare a simplificării sale, este posibil să se obțină o valoare relativ simplă, din care o parte poate fi scoasă de sub rădăcină. Această simplificare este utilă...

Operațiile aritmetice cu rădăcini de diferite grade pot simplifica foarte mult calculele din fizică și tehnologie și le pot face mai precise. Când înmulțiți și împărțiți, este mai convenabil să nu extrageți rădăcina din fiecare factor sau dividend și divizor, dar mai întâi ...

Rădăcina pătrată a numărului x este numărul a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operațiile aritmetice de adunare și scădere pe rădăcini pătrate. Instruire...

O rădăcină în matematică poate avea două semnificații: este o operație aritmetică și fiecare dintre soluțiile unei ecuații, algebrică, parametrică, diferențială sau oricare alta. Instrucțiunea 1 Rădăcina gradului n al numărului a este un astfel de număr încât...

Când se efectuează diverse operații aritmetice cu rădăcini, este adesea necesar să se poată transforma expresii radicale. Pentru a simplifica calculele, poate fi necesar să scoateți factorul din semnul radicalului sau să îl puneți sub el. Această acțiune poate...

Rădăcina este o pictogramă care denotă operația matematică de găsire a unui astfel de număr, a cărei ridicare la puterea indicată înainte de semnul rădăcinii ar trebui să dea numărul indicat chiar sub acest semn. Adesea, pentru a rezolva probleme în care există...

Semnul rădăcinii în științele matematice este simbolul rădăcinilor. Numărul de sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. În absența unui exponent, rădăcina este un pătrat, în caz contrar figura indică ...

rădăcină aritmetică gradul al n-lea dintr-un număr real a se numește un astfel de număr nenegativ x, a n-a putere care este egal cu numărul a. Acestea. (n) a = x, x^n = a. Exista diferite căi adunarea unei rădăcini aritmetice și a unui număr rațional...

Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este adevărată. Există rădăcini de grad impar pentru negativ și numere pozitive, iar rădăcinile de grad par sunt doar pentru cele pozitive...

Conţinut:

Adunarea și scăderea rădăcinilor pătrate este posibilă numai dacă au aceeași expresie a rădăcinii, adică puteți adăuga sau scădea 2√3 și 4√3, dar nu 2√3 și 2√5. Puteți simplifica expresia rădăcină pentru a le converti în rădăcini cu aceeași expresie radicală (și apoi le adăugați sau scădeți).

Pași

Partea 1 Înțelegerea elementelor de bază

1. 1 (expresie sub semnul rădăcinii). Pentru a face acest lucru, descompuneți numărul rădăcinii în doi factori, dintre care unul este un număr pătrat (un număr din care poate fi extrasă o rădăcină întreagă, de exemplu, 25 sau 9). După aceea, luați rădăcina numărului pătrat și notați valoarea găsită în fața semnului rădăcinii (al doilea factor va rămâne sub semnul rădăcinii). De exemplu, 6√50 - 2√8 + 5√12. Numerele din fața semnului rădăcinii sunt factorii rădăcinilor corespunzătoare, iar numerele de sub semnul rădăcinii sunt numerele rădăcinii (expresii). Iată cum să rezolvi această problemă:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Aici factorizați 50 în factorii 25 și 2; apoi din 25 extragi rădăcina egală cu 5 și scoți 5 de sub rădăcină. Apoi înmulțiți 5 cu 6 (factorizați la rădăcină) și obțineți 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Aici factorizați 8 în factorii 4 și 2; apoi din 4 extragi rădăcina egală cu 2 și scoți 2 de sub rădăcină. Apoi înmulțiți 2 cu 2 (factorizați la rădăcină) și obțineți 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Aici factorizați 12 în factorii 4 și 3; apoi din 4 extragi rădăcina egală cu 2 și scoți 2 de sub rădăcină. Apoi înmulțiți 2 cu 5 (factorizați la rădăcină) și obțineți 10√3.
2. 2 Subliniați rădăcinile ale căror expresii rădăcină sunt aceleași.În exemplul nostru, expresia simplificată este: 30√2 - 4√2 + 10√3. În ea, trebuie să subliniați primul și al doilea termen ( 30√2 Și 4√2 ), deoarece au același număr de rădăcină 2. Numai astfel de rădăcini puteți adăuga și scădea.
3. 3 Dacă vi se oferă o expresie cu un număr mare de termeni, dintre care mulți au aceleași expresii radicale, utilizați liniuțe de subliniere simple, duble, triple pentru a indica astfel de termeni pentru a facilita rezolvarea acestei expresii.
4. 4 La rădăcinile ale căror expresii radicale sunt aceleași, adăugați sau scădeți factorii din fața semnului rădăcinii și lăsați expresia radicală aceeași (nu adăugați sau scădeți numerele radicale!). Ideea este de a arăta câte rădăcini cu o anumită expresie radicală sunt conținute în această expresie.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Partea 2 Exersare cu exemple

1. 1 Exemplul 1: √(45) + 4√5.
   • Simplificați √(45). Factorul 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Mutați 3 de sub rădăcină (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Acum adăugați factorii de la rădăcini: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Exemplul 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Simplificați 6√(40). Factorul 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Mutați 2 de sub rădăcină (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Înmulțiți factorii dinaintea rădăcinii și obțineți 12√10.
   • Acum expresia poate fi scrisă ca 12√10 - 3√(10) + √5. Deoarece primii doi termeni au aceleași numere radicale, puteți scădea al doilea termen din primul și îl puteți lăsa pe primul neschimbat.
   • Veți obține: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Exemplul 3 9√5 -2√3 - 4√5. Aici, niciuna dintre expresiile radicale nu poate fi factorizată, așa că simplificarea acestei expresii nu va funcționa. Puteți scădea al treilea termen din primul (deoarece au același număr de rădăcină) și lăsați al doilea termen neschimbat. Veți obține: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Exemplul 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Acum puteți adăuga doar 3 + 2 pentru a obține 5.
   • Răspuns final: 5 - 3√2.
5. 5 Exemplul 5 Rezolvați o expresie care conține rădăcini și fracții. Puteți adăuga și calcula doar fracții care au un numitor comun (același). Este dată expresia (√2)/4 + (√2)/2.
   • Aflați cel mai mic numitor comun al acestor fracții. Acesta este un număr care este divizibil egal cu fiecare numitor. În exemplul nostru, numărul 4 este divizibil cu 4 și 2.
   • Acum înmulțiți a doua fracție cu 2/2 (pentru a o aduce la un numitor comun; prima fracție a fost deja redusă la ea): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Adunați numărătorii și lăsați numitorul același: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Înainte de a adăuga sau scădea rădăcini, asigurați-vă că simplificați (dacă este posibil) expresiile radicale.

Avertizări

• Nu adăugați sau scădeți niciodată rădăcini cu expresii diferite de rădăcină.
• Nu adăugați sau scădeți niciodată un număr întreg și o rădăcină, de exemplu, 3 + (2x) 1/2 .
  • Notă: „x” la a doua putere și rădăcina pătrată a lui „x” sunt același lucru (adică x 1/2 = √x).

Formule de rădăcină. proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini- în esență este același lucru. Formule pentru rădăcini pătrate surprinzator de putin. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Conţinut:

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. Expresia de sub semnul rădăcinii se numește expresie rădăcină. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenilor unei expresii algebrice, adică necesită definirea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 Găsirea rădăcinilor

1. 1 Denumire rădăcină. O expresie sub semnul rădăcinii (√) înseamnă că este necesar să se extragă o rădăcină de un anumit grad din această expresie.
   • Rădăcina se notează cu semnul √.
   • Indicele (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie astfel: 3 √(27)
   • Dacă exponentul (gradul) rădăcinii este absent, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este rădăcina pătrată (sau rădăcina gradului doi).
   • Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește factor (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5√ (2)
   • Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (amintim că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
   • Dacă lucrați cu rădăcini pentru prima dată, faceți notițe adecvate asupra multiplicatorului și exponentului rădăcinii, pentru a nu vă încurca și a înțelege mai bine scopul acestora.
2. 2 Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, de exemplu, 2a + 2b ≠ 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.
   • Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii radicale diferite, de exemplu, √(2) + √(3) ≠ √(5). Dar puteți adăuga numere sub aceeași rădăcină, de exemplu, √(2 + 3) = √(5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este aproximativ 2,236).
   • Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii de rădăcină, dar exponenți diferiți, de exemplu, √(64) + 3 √(64) (această sumă nu este egală cu 5 √(64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubică a lui 64 este 4, 8 + 4 = 12, care este aproximativ egală cu rădăcina fi42, care este cu mult mai mare decât rădăcina fi42, care este aproximativ egală cu 642. ).

Partea 2 Simplificarea și adăugarea de rădăcini

1. 1 Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași exponenți și aceleași expresii de rădăcină. De exemplu, luați în considerare expresia:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent să fie în serie.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și aceeași expresie rădăcină să fie în serie.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Simplificați-vă rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul redat și factorul rădăcină sunt înmulțite.
   • În exemplul de mai sus, factor 50 în 2*25 și numărul 32 în 2*16. De la 25 și 16, puteți lua rădăcini pătrate (respectiv 5 și 4) și puteți scoate 5 și 4 de sub rădăcină, respectiv înmulțindu-le cu factorii 2 și 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 2√(3) + 6√ 3)(3) + 6√
   • Numărul 81 poate fi descompus în 3 * 27, iar rădăcina cubă a lui 3 poate fi luată de la numărul 27. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). O rădăcină cubă de 3 nu are astfel de rădăcini.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Expresie simplificată finală: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a exponenților lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei puternici „nu foarte. »
Și pentru cei care „foarte chiar. "")

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini sunt în esență același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da.

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Vă reamintesc (din lecția anterioară): a și b sunt numere nenegative! Altfel, formula nu are sens.

Această proprietate a rădăcinilor, după cum puteți vedea, simplu, scurt și inofensiv. Dar cu această formulă de rădăcină, poți face o mulțime de lucruri utile! Să aruncăm o privire la exemple toate aceste lucruri utile.

Lucru util primul. Această formulă ne permite inmulti radacinile.

Cum să înmulțim rădăcinile?

Da, foarte simplu. Direct la formula. De exemplu:

S-ar părea că s-au înmulțit, deci ce? Există multă bucurie? Sunt de acord, puțin. Dar cum iti place asta exemplu?

Rădăcinile nu sunt extrase tocmai din factori. Iar rezultatul este grozav! Deja mai bine, nu? Pentru orice eventualitate, vă voi informa că pot exista oricât de mulți multiplicatori doriți. Formula de multiplicare a rădăcinilor încă funcționează. De exemplu:

Deci, cu înmulțirea, totul este clar de ce este nevoie de acest lucru proprietatea rădăcinilor- este, de asemenea, de înțeles.

Lucru util al doilea. Introducerea unui număr sub semnul rădăcinii.

Cum se introduce un număr sub rădăcină?

Să presupunem că avem această expresie:

Este posibil să ascundeți deuce în interiorul rădăcinii? Uşor! Dacă faceți o rădăcină din două, formula de înmulțire a rădăcinilor va funcționa. Și cum să faci o rădăcină dintr-un doi? Da, nici asta nu este o întrebare! Dublul este rădăcină pătrată de patru!

Rădăcina, apropo, poate fi făcută din orice număr nenegativ! Aceasta va fi rădăcina pătrată a pătratului acestui număr. 3 este rădăcina lui 9. 8 este rădăcina lui 64. 11 este rădăcina lui 121. Ei bine, și așa mai departe.

Desigur, nu este nevoie să pictezi atât de detaliat. Cu excepția, pentru început. Este suficient să ne dăm seama că orice număr nenegativ înmulțit cu rădăcină poate fi adus sub rădăcină. Dar nu uita! - sub rădăcină acest număr va deveni pătrat se. Această acțiune - introducerea unui număr sub rădăcină - poate fi numită și înmulțirea numărului cu rădăcină. În termeni generali, se poate scrie:

Procesul este simplu, după cum puteți vedea. De ce este nevoie de ea?

Ca orice transformare, această procedură ne extinde posibilitățile. Oportunități de a transforma o expresie crudă și incomodă într-una moale și pufoasă). Iată unul simplu pentru tine exemplu:

După cum puteți vedea proprietate rădăcină, care face posibilă introducerea unui factor sub semnul rădăcinii, este destul de potrivită pentru simplificare.

În plus, adăugarea unui multiplicator sub rădăcină face ușoară și simplă compararea valorilor diferitelor rădăcini. Fara calcul si calculator! Al treilea lucru util.

Cum se compară rădăcinile?

Această abilitate este foarte importantă în misiuni solide, la deblocarea modulelor și alte lucruri interesante.

Comparați aceste expresii. Care este mai mult? Fără calculator! Fiecare cu un calculator. uh-uh. Pe scurt, toată lumea o poate face!)

Nu spui asta imediat. Și dacă introduci numere sub semnul rădăcinii?

Amintiți-vă (deodată, nu știați?): dacă numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, atunci rădăcina în sine este mai mare! De aici răspunsul imediat corect, fără calcule și calcule complicate:

E grozav, nu? Dar asta nu este tot! Amintiți-vă că toate formulele funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Am folosit până acum formula pentru înmulțirea rădăcinilor de la stânga la dreapta. Să rulăm această proprietate rădăcină înapoi, de la dreapta la stânga. Ca aceasta:

Și care este diferența? Îți dă ceva!? Cu siguranță! Acum vei vedea singur.

Să presupunem că trebuie să extragem (fără calculator!) rădăcina pătrată a numărului 6561. Unii oameni în această etapă vor cădea într-o luptă inegală cu sarcina. Dar suntem încăpățânați, nu renunțăm! Lucru util al patrulea.

Cum să extragi rădăcini din un număr mare?

Reamintim formula pentru extragerea rădăcinilor dintr-un produs. Cel pe care l-am postat mai sus. Dar unde este munca noastră? Avem un număr mare 6561 și atât. Da, nu există artă. Dar dacă avem nevoie, noi Hai sa facem! Să factorizez acest număr. Avem dreptul.

Mai întâi, să ne dăm seama cu ce acest număr este divizibil exact? Ce, nu știi!? Ai uitat semnele de divizibilitate!? Degeaba. Mergeți la Secțiunea Specială 555, subiectul „Fracțiuni”, acolo sunt. Acest număr este divizibil cu 3 și 9. Deoarece suma cifrelor (6+5+6+1=18) este divizibilă cu aceste numere. Acesta este unul dintre semnele divizibilității. Nu trebuie să împărțim la trei (acum veți înțelege de ce), dar vom împărți la 9. Cel puțin într-un colț. Primim 729. Deci am găsit doi factori! Primul este un nouă (noi l-am ales noi), iar al doilea este 729 (așa a ieșit). Deja poți scrie:

Înțelegi ideea? Să facem același lucru cu numărul 729. De asemenea, este divizibil cu 3 și 9. Din nou, nu împărțim la 3, împărțim la 9. Obținem 81. Și știm acest număr! Scriem:

Totul a ieșit ușor și elegant! Rădăcina a trebuit îndepărtată bucată cu bucată, bine, bine. Acest lucru se poate face cu orice număr mare. Înmulțiți-le și plecați!

Apropo, de ce nu ai trebuit să împărți la 3, ai ghicit? Da, pentru că rădăcina lui trei nu este tocmai extrasă! Este logic să se descompună în astfel de factori încât cel puțin o rădăcină să poată fi extrasă bine. Este 4, 9, 16 bine și așa mai departe. Împărțiți pe rând numărul vostru uriaș la aceste numere, vedeți și aveți noroc!

Dar nu neapărat. Poate nu norocos. Să presupunem că numărul 432, atunci când este factorizat și utilizând formula rădăcină pentru produs, va da următorul rezultat:

Ei bine, bine. Am simplificat expresia oricum. La matematică, se obișnuiește să lași cel mai mult numar mic a posibilului. În procesul de rezolvare, totul depinde de exemplu (poate că totul este redus fără simplificare), dar în răspuns este necesar să se dea un rezultat care nu poate fi simplificat în continuare.

Apropo, știți ce am făcut acum cu rădăcina lui 432?

Noi factori scoși de sub semnul rădăcinii ! Așa se numește această operațiune. Și atunci sarcina va cădea - " scoateți factorul de sub semnul rădăcinii„Dar bărbații nici măcar nu știu.) Iată o altă utilizare pentru tine proprietățile rădăcinii. Lucru util al cincilea.

Cum să scoți multiplicatorul de sub rădăcină?

Uşor. Factorizați expresia rădăcinii și extrageți rădăcinile care sunt extrase. Ne uitam:

Nimic supranatural. Este important să alegeți multiplicatorii potriviți. Aici am descompus 72 ca 36 2. Și totul a ieșit bine. Sau ar fi putut-o descompune diferit: 72 = 6 12. Si ce!? Nici de la 6, nici de la 12 nu se extrage radacina. Ce să fac?!

E bine. Sau căutați alte opțiuni de descompunere sau continuați să puneți totul până la capăt! Ca aceasta:

După cum puteți vedea, totul a funcționat. Acesta, apropo, nu este cel mai rapid, ci cel mai fiabil mod. Descompuneți numărul în cei mai mici factori, apoi colectați aceiași în grămezi. Metoda este, de asemenea, aplicată cu succes la înmulțirea rădăcinilor incomode. De exemplu, trebuie să calculați:

Înmulțiți totul - obțineți un număr nebun! Și apoi cum să extragi rădăcina din ea?! Înmulțiți din nou? Nu, nu avem nevoie de muncă suplimentară. Ne descompunem imediat în factori și îi colectăm în grămezi:

Asta e tot. Desigur, nu este necesar să vă așezați până la oprire. Totul este determinat de abilitățile tale personale. A adus exemplul într-o stare în care totul este clar pentru tine asa ca poti sa numeri deja. Principalul lucru este să nu faci greșeli. Nu un om pentru matematică, ci matematică pentru un bărbat!)

Să aplicăm cunoștințele în practică? Să începem cu unul simplu:

Regula pentru adăugarea rădăcinilor pătrate

Proprietățile rădăcinilor pătrate

Până acum, am efectuat cinci operații aritmetice pe numere: adunare, scădere, multiplicare, împărțirea și exponentiația și diverse proprietăți ale acestor operații au fost utilizate în mod activ în calcule, de exemplu, a + b = b + a și n -b n = (ab) n etc.

Acest capitol introduce o nouă operație - luarea rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ. Pentru a-l folosi cu succes, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni, pe care le vom face în această secțiune.

Dovada. Să introducem următoarea notație:
Trebuie să dovedim asta pt numere negative x, y, z, x = yz.

Deci x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Atunci x 2 \u003d y 2 z 2, adică x 2 \u003d (yz) 2.

Dacă pătrate două numere nenegative sunt egale, atunci numerele în sine sunt egale, ceea ce înseamnă că din egalitatea x 2 \u003d (yz) 2 rezultă că x \u003d yz, iar acest lucru trebuia demonstrat.

Oferim o scurtă înregistrare a demonstrației teoremei:

Observație 1. Teorema rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de doi factori nenegativi.

Observația 2. Teorema 1 poate fi scris folosind „dacă. , apoi” (cum se obișnuiește pentru teoremele din matematică). Dăm formula corespunzătoare: dacă a și b sunt numere nenegative, atunci egalitatea .

Așa formulăm următoarea teoremă.

(O formulare scurtă care este mai convenabilă de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor sau rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.)

De data aceasta vom oferi doar o scurtă înregistrare a demonstrației și puteți încerca să faceți comentarii adecvate, similare cu cele care au alcătuit esența demonstrației teoremei 1.

Exemplul 1. Calculați .
Soluţie. Folosind prima proprietate rădăcini pătrate(Teorema 1), obținem

Observația 3. Desigur, acest exemplu poate fi rezolvat diferit, mai ales dacă aveți un calculator la îndemână: înmulțiți numerele 36, 64, 9, apoi luați rădăcina pătrată a produsului rezultat. Cu toate acestea, veți fi de acord că soluția propusă mai sus arată mai culturală.

Observația 4. În prima metodă, am efectuat calcule frontale. A doua modalitate este mai elegantă:
am aplicat formulă a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) și a folosit proprietatea rădăcinilor pătrate.

Observația 5. Unii „capete fierbinți” oferă uneori următoarea „soluție” pentru Exemplul 3:

Acest lucru, desigur, nu este adevărat: vedeți - rezultatul nu este același ca în exemplul nostru 3. Faptul este că nu există nicio proprietate ca nu si proprietati Există doar proprietăți referitoare la înmulțirea și împărțirea rădăcinilor pătrate. Fii atent și atent, nu accepta iluzii.

Exemplul 4. Calculați: a)
Soluţie. Orice formulă în algebră este folosită nu numai „de la dreapta la stânga”, ci și „de la stânga la dreapta”. Deci, prima proprietate a rădăcinilor pătrate înseamnă că, dacă este necesar, poate fi reprezentată ca și invers, care poate fi înlocuită cu expresia Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor pătrate. Având în vedere acest lucru, să rezolvăm exemplul propus.

În încheierea paragrafului, remarcăm încă o proprietate destul de simplă și în același timp importantă:
dacă a > 0 și n - numar natural , Acea

Exemplul 5 calculati fără a folosi un tabel de pătrate de numere și un calculator.

Soluţie. Să descompunăm numărul rădăcină în factori primi:

Observația 6. Acest exemplu ar putea fi rezolvat în același mod ca exemplul similar din § 15. Este ușor de ghicit că răspunsul va fi „80 cu coadă”, deoarece 80 2 2 . Să găsim „coada”, adică ultima cifră a numărului dorit. Până acum știm că dacă se extrage rădăcina, atunci răspunsul poate fi 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 sau 89. Trebuie verificate doar două numere: 84 și 86, deoarece numai ele, la pătrat, vor da rezultatul. patru cifre un număr care se termină cu 6, adică aceeași cifră care se termină cu numărul 7056. Avem 84 2 \u003d 7056 - de asta avem nevoie. Mijloace,

Mordkovich A. G., Algebră. Nota 8: Proc. pentru învăţământul general instituţii.- ed. a III-a, finalizat. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Cărți, manuale de matematică descărcate, rezumate pentru a ajuta profesorul și elevii să învețe online

Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție, scrieți-ne.

Dacă doriți să vedeți alte corecții și sugestii pentru lecții, vedeți aici - Forumul Educației.

Cum să adăugați rădăcini pătrate

Rădăcina pătrată a unui număr X numit un număr A, care în procesul de a se înmulți singur ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Peste rădăcini pătrate ( √x), ca și în cazul altor numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x - √y ).
Și apoi aduceți-le rădăcinile cea mai simpla forma- daca sunt altele asemanatoare intre ele, este necesar sa se faca o distributie. Constă în faptul că coeficienții termenilor similari sunt luați cu semnele termenilor corespunzători, apoi sunt încadrați între paranteze și rădăcina comună este afișată în afara parantezelor multiplicatoare. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1. Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, trebuie mai întâi să extragi aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, se poate obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Totul, exemplul este rezolvat. Dar nu întotdeauna se întâmplă așa.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului unui număr de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate întregi sub semnul rădăcinii, puteți încerca să scoateți multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, luați expresia √24 + √54 .

Să factorizăm numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitatea:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3. Reducerea numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul unei fracții, de exemplu, A / (√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul conține diferența rădăcinilor: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm ca exemplu o fracție:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un exemplu de reducere complexă a numitorului

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complicat de a scăpa de iraționalitate în numitor.

Să luăm ca exemplu o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Separat, pentru fiecare număr, valoarea este calculată și înregistrată cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În plus, toate operațiunile necesare sunt efectuate, ca și în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul estimat

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat, obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie adăugate rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adăugați rădăcina pătrată a lui cinci și trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva un pătrat de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule, iar rezultatul final al acestui calcul matematic ar trebui să fie numărul pe care ni l-a dat inițial.

Acțiune cu rădăcini: adunare și scădere

Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr nu este singura operație care poate fi efectuată cu acest fenomen matematic. La fel ca numerele obișnuite, rădăcinile pătrate pot fi adunate și scăzute.

Reguli pentru adăugarea și scăderea rădăcinilor pătrate

Acțiuni precum adăugarea și scăderea unei rădăcini pătrate sunt posibile numai dacă expresia rădăcinii este aceeași.

Puteți adăuga sau scădea expresii 2 3 și 6 3, dar nu 5 6 Și 9 4 . Dacă este posibil să simplificați expresia și să o aduceți la rădăcini cu același număr de rădăcină, atunci simplificați și apoi adăugați sau scădeți.

Acțiunile rădăcină: elementele de bază

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Simplificați expresia rădăcină. Pentru a face acest lucru, este necesar să descompuneți expresia rădăcinii în 2 factori, dintre care unul este un număr pătrat (numărul din care este extrasă întreaga rădăcină pătrată, de exemplu, 25 sau 9).
2. Apoi trebuie să luați rădăcina numărului pătratși scrieți valoarea rezultată înainte de semnul rădăcină. Vă rugăm să rețineți că al doilea factor este introdus sub semnul rădăcină.
3. După procesul de simplificare, este necesar să se sublinieze rădăcinile cu aceleași expresii radicale - doar ele pot fi adăugate și scăzute.
4. Pentru rădăcinile cu aceleași expresii radicale, este necesar să se adauge sau să scadă factorii care preced semnul rădăcinii. Expresia rădăcină rămâne neschimbată. Nu adăugați sau scădeți numere de rădăcină!

Dacă aveți un exemplu cu o mulțime de expresii radicale identice, atunci subliniați astfel de expresii cu linii simple, duble și triple pentru a facilita procesul de calcul.

Să încercăm acest exemplu:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Mai întâi trebuie să descompuneți 50 în 2 factori 25 și 2, apoi luați rădăcina lui 25, care este 5, și scoateți 5 de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 5 cu 6 (multiplicatorul de la rădăcină) și să obțineți 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Mai întâi, trebuie să descompuneți 8 în 2 factori: 4 și 2. Apoi, din 4, extrageți rădăcina, care este egală cu 2, și scoateți 2 de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 2 cu 2 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Mai întâi, trebuie să descompuneți 12 în 2 factori: 4 și 3. Apoi extrageți rădăcina din 4, care este 2, și scoateți-o de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 2 cu 5 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 10 3 .

Rezultat simplificare: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ca rezultat, am văzut câte expresii radicale identice sunt conținute în acest exemplu. Acum să exersăm cu alte exemple.

• Simplificați (45) . Factorizăm 45: (45) = (9 × 5) ;
• Scoatem 3 de sub rădăcină (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Adunăm factorii de la rădăcini: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Simplificarea 6 40 . Factorizăm 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Scoatem 2 de sub rădăcină (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Înmulțim factorii care se află în fața rădăcinii: 12 10;
• Scriem expresia într-o formă simplificată: 12 10 - 3 10 + 5;
• Deoarece primii doi termeni au aceleași numere de rădăcină, le putem scădea: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

După cum putem vedea, nu este posibilă simplificarea numerelor radicale, prin urmare, în exemplu, căutăm membri cu aceleași numere radicale, efectuăm operații matematice (adunare, scădere etc.) și scriem rezultatul:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Sfat:

• Înainte de a adăuga sau scădea, este imperativ să simplificați (dacă este posibil) expresiile radicale.
• Adăugarea și scăderea rădăcinilor cu expresii de rădăcină diferite este strict interzisă.
• Nu adăugați sau scădeți un număr întreg sau rădăcină pătrată: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Când efectuați acțiuni cu fracții, trebuie să găsiți un număr care este divizibil cu fiecare numitor, apoi aduceți fracțiile la un numitor comun, apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorii neschimbați.

Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice. Puterea rădăcinii pătrate aritmetice

Conversia rădăcinilor pătrate aritmetice. Conversia rădăcinilor pătrate aritmetice

A extrage rădăcina pătrată a unui polinom, este necesar să se calculeze polinomul și să se extragă rădăcina din numărul rezultat.

Atenţie! Este imposibil să extragi rădăcina din fiecare termen (redus și scăzut) separat.

Shchob să câștige rădăcină pătrată a polinomului, cerința este să se calculeze termenul bogat și din numărul scăzut să se ia rădăcina.

Respect! Este imposibil să extragi rădăcina din suplimentul de piele (schimbat și vizibil) OKremo.

Pentru a extrage rădăcina pătrată a produsului (coeficient), puteți calcula rădăcina pătrată a fiecărui factor (dividend și divizor) și luați valorile rezultate după produs (cot).

Pentru a câștiga rădăcina pătrată a dobutka (părți), puteți calcula rădăcina pătrată a multiplicatorului de piele (divizat și dilnik) și puteți elimina valoarea luând un suplimentar (frecvent).

Pentru a lua rădăcina pătrată a unei fracții, trebuie să extrageți separat rădăcina pătrată a numărătorului și numitorului și lăsați valorile rezultate ca o fracție sau să calculați ca un coeficient (dacă este posibil prin condiție).

Pentru a câștiga rădăcina pătrată a fracției, trebuie să luați rădăcina pătrată a cărții de numere și steagul okremo și să privați valoarea fracției cu o fracție sau să o numărați ca parte (cum este posibil pentru minte).

Un factor poate fi scos de sub semnul rădăcinii și un factor poate fi introdus sub semnul rădăcinii. Când un factor este scos, rădăcina este extrasă din el, iar când este introdusă, este ridicată la puterea corespunzătoare.

Al treilea semn rădăcină poate fi înmulțit, iar semnul rădăcină poate fi înmulțit. Din vina multiplicatorului, rădăcinile sunt răsucite, iar odată cu introducerea, rădăcinile sunt construite la picioarele mai înalte.

Exemple. aplica

Pentru a converti suma (diferența) rădăcinilor pătrate, trebuie să aduceți expresiile rădăcinii la o bază a gradului, dacă este posibil, extrageți rădăcinile din grade și scrieți-le înaintea semnelor rădăcinilor, iar rădăcinile pătrate rămase cu aceleași expresii de rădăcină pot fi adăugate, pentru care se adaugă coeficienții înainte de semnul rădăcinii și se adaugă aceeași rădăcină pătrată.

Pentru a reface suma (costul) rădăcinilor pătrate, este necesar să aduceți rădăcinile sub-rădăcinii la una dintre bazele pasului, deoarece este posibil, să luați pașii rădăcinii și să le scrieți înainte de semnele rădăcinilor și puteți rezolva rădăcinile pătrate cu aceleași rădăcini pătrate, pentru care se adaugă coeficienții înainte de semnul rădăcinii pătrate și se adaugă același semn rădăcinii.

Aducem toate expresiile radicale la baza 2.

Din grad par se extrage complet rădăcina, dintr-un grad impar rădăcina bazei de gradul 1 se lasă sub semnul rădăcinii.

Oferim numere întregi similare și adăugăm coeficienții cu aceleași rădăcini. Scriem binomul ca produs al unui număr și binomul sumei.

Aduceți toate subrădăcinile virazi la baza 2.

Din stadiul pereche, rădăcinile sunt desenate pe rând, din stadiul nepereche, rădăcinile bazei din stadiul 1 sunt umplute sub semnul rădăcinii.

Se sugerează că la aceleași rădăcini se adaugă numere și coeficienți similari. Scriem binomul ca supliment al numărului i al binomului sumi.

Aducem expresiile radicale la cea mai mică bază sau produsul puterilor cu cele mai mici baze. Extragem rădăcina din grade egale de expresii radicale, lăsăm resturile sub forma unei baze de grad cu un indicator de 1 sau produsul unor astfel de baze sub semnul rădăcinii. Oferim termeni similari (adăugăm coeficienții acelorași rădăcini).

Conducem rădăcina virazilor la cea mai mică bază sau adăugarea de trepte cu cele mai mici baze. Din treptele vaporoase de sub rădăcinile virazului se iau rădăcinile, surplusul de la baza treptei cu indicatorul 1 sau adăugarea unor astfel de baze se umple sub semnul rădăcinii. Sugerăm termeni similari (adunăm coeficienții acelorași rădăcini).

Să înlocuim împărțirea fracțiilor cu înmulțirea (cu înlocuirea celei de-a doua fracții cu reciprocă). Înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Sub fiecare semn al rădăcinii, evidențiem gradele. Să anulăm aceiași factori la numărător și numitor. Extragem rădăcini din puterile egale.

Înlocuim împărțirea fracțiilor cu o înmulțire (cu înlocuirea unei alte fracții cu un randament). Înmulțiți numere okremo și bannere de fracții. Pașii sunt vizibili sub semnul pielii rădăcinii. Vom accelera aceiași multiplicatori în cartea de numere și banner. Da vina pe rădăcina treptelor gemene.

Pentru a compara două rădăcini pătrate, expresiile lor radicale trebuie aduse într-un grad cu aceeași bază, atunci cu cât se arată mai mult gradul expresiei radicale, cu atât mai multă valoare rădăcină pătrată.

În acest exemplu, expresiile radicale nu pot fi reduse la o singură bază, deoarece baza este 3 în prima și 3 și 7 în a doua.

A doua modalitate de a compara este să adăugați factorul rădăcină la expresia rădăcină și să comparați valori numerice expresii înrădăcinate. Pentru o rădăcină pătrată, cu cât expresia rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii este mai mare.

Pentru a potrivi două rădăcini pătrate, subrădăcinile lor trebuie aduse la un nivel cu aceeași bază, în timp ce cu cât indicatorul gradului subrădăcinii virusului este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii pătrate este mai mare.

În acest caz, nu este posibil să se aducă la o bază rădăcinile rădăcinii virazi, deoarece în prima baza este 3, iar în cealaltă - 3 și 7.

O altă modalitate de a egaliza este să adăugați coeficientul rădăcină la viraza rădăcină și să egalizați valorile numerice ale virasei rădăcină. Rădăcina pătrată are mai mult sub-rădăcină viraz, cu atât mai multă valoare a rădăcinii.

Folosind legea distributivă a înmulțirii și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași exponenți (în cazul nostru, rădăcini pătrate), am obținut suma a două rădăcini pătrate cu produsul sub semnul rădăcinii. Descompunem 91 în factori primi și scoatem rădăcina din paranteze cu factori radicali comuni (13 * 5).

Am obținut produsul dintre o rădăcină și un binom, în care unul dintre monomii este un număr întreg (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny legea înmulțirii și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași indicatori (în cazul nostru - rădăcini pătrate), au luat suma a două rădăcini pătrate cu un semn suplimentar al rădăcinii. Putem așeza 91 de multiplicatori în termeni simpli și putem lua rădăcina pentru arcade din multiplicatorii de rădăcină (13 * 5).

Am luat adunarea unei rădăcini și a unui binar, care are unul dintre mononoamele în întregul număr (1).

Exemplul 9:

În expresiile radicale, selectăm prin factori numerele din care putem extrage întreaga rădăcină pătrată. Extragem rădăcinile pătrate din puteri și punem numerele după coeficienții rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un factor comun √3, care poate fi scos din paranteze. Să prezentăm termeni similari.

În virasele sub-rădăcină, este văzut ca multiplicatori ai numărului, din care se poate lua rădăcina pătrată. Dăm vina pe rădăcinile pătrate ale treptelor și punem numerele după coeficienții rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un multiplicator comun √3, care poate fi acuzat pentru brațe. Vă sugerăm completări similare.

Produsul sumei și diferenței a două baze identice (3 și √5) poate fi scris folosind formula de înmulțire prescurtată ca diferență a pătratelor bazelor.

Rădăcina pătrată pătrată este întotdeauna egală cu expresia radicală, așa că vom scăpa de radicalul (semnul rădăcinii) din expresie.

Dobutok suma și diferența a două baze identice (3 і √5) din formula de înmulțire rapidă pot fi scrise ca diferență de baze pătrate.

Rădăcina pătrată a zavzhd pătrată este egală cu sub-rădăcina virasei, așa că vom numi radicalul (semnul rădăcinii) virasei.

Înapoi la școală. Adăugarea de rădăcini

În vremea computerelor electronice moderne, calcularea rădăcinii unui număr nu este o sarcină dificilă. De exemplu, √2704=52, orice calculator va calcula acest lucru pentru tine. Din fericire, calculatorul nu este doar în Windows, ci și într-un telefon obișnuit, chiar și cel mai simplu. Adevărat, dacă dintr-o dată (cu un grad mic de probabilitate, al cărui calcul, apropo, include adăugarea de rădăcini) te trezești fără fonduri disponibile, atunci, din păcate, va trebui să te bazezi doar pe creierul tău.

Antrenamentul minții nu eșuează niciodată. Mai ales pentru cei care nu lucrează cu numere atât de des și cu atât mai mult cu rădăcini. Adunarea și scăderea rădăcinilor - antrenament bun pentru o minte plictisită. Și vă voi arăta adăugarea rădăcinilor pas cu pas. Exemple de expresii pot fi următoarele.

Ecuația de simplificat este:

Aceasta este o expresie irațională. Pentru a o simplifica, trebuie să reduceți toate expresiile radicale la vedere generala. O facem în etape:

Primul număr nu mai poate fi simplificat. Să trecem la al doilea termen.

3√48 factorizăm 48: 48=2×24 sau 48=3×16. Rădăcina pătrată a lui 24 nu este un număr întreg, adică are un rest fracționar. Deoarece avem nevoie de o valoare exactă, rădăcinile aproximative nu sunt potrivite pentru noi. Rădăcina pătrată a lui 16 este 4, scoate-o de sub semnul rădăcinii. Se obține: 3×4×√3=12×√3

Următoarea noastră expresie este negativă, adică. scris cu semnul minus -4×√(27.) Factorizarea 27. Obținem 27=3×9. Nu folosim factori fracționari, deoarece este mai dificil să calculăm rădăcina pătrată din fracții. Scoatem 9 de sub semn, adică. calculați rădăcina pătrată. Obținem următoarea expresie: -4×3×√3 = -12×√3

Următorul termen √128 calculează partea care poate fi scoasă de sub rădăcină. 128=64×2 unde √64=8. Dacă vă este mai ușor, puteți reprezenta această expresie astfel: √128=√(8^2×2)

Rescriem expresia cu termeni simplificați:

Acum adăugăm numerele cu aceeași expresie radicală. Nu puteți adăuga sau scădea expresii cu expresii radicale diferite. Adăugarea de rădăcini necesită respectarea acestei reguli.

Obținem următorul răspuns:

√2=1×√2 - Sper că este obișnuit în algebră să omiteți astfel de elemente să nu fie o noutate pentru dvs.

Expresiile pot fi reprezentate nu numai prin rădăcini pătrate, ci și prin rădăcini cubice sau a n-a.

Adunarea și scăderea rădăcinilor cu exponenți diferiți, dar cu o expresie echivalentă a rădăcinilor, se produce după cum urmează:

Dacă avem o expresie ca √a+∛b+∜b, atunci putem simplifica această expresie astfel:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Am redus doi termeni similari la exponentul comun al rădăcinii. Aici a fost folosită proprietatea rădăcinilor, care spune: dacă numărul gradului expresiei radicalului și numărul exponentului rădăcinii sunt înmulțite cu același număr, atunci calculul său va rămâne neschimbat.

Notă: exponenții sunt adăugați numai atunci când sunt înmulțiți.

Luați în considerare un exemplu în care fracțiile sunt prezente într-o expresie.

Să rezolvăm pas cu pas:

5√8=5*2√2 - scoatem partea extrasă de sub rădăcină.

Dacă corpul rădăcinii este reprezentat de o fracție, atunci de multe ori această fracție nu se va schimba dacă se ia rădăcina pătrată a dividendului și a divizorului. Ca rezultat, am obținut egalitatea descrisă mai sus.

Iată răspunsul.

Principalul lucru de reținut este că o rădăcină cu exponent par nu este extrasă din numerele negative. Dacă o expresie radicală de grad egal este negativă, atunci expresia este de nerezolvat.

Adăugarea rădăcinilor este posibilă numai dacă expresiile radicale coincid, deoarece sunt termeni similari. Același lucru este valabil și pentru diferență.

Adăugarea rădăcinilor cu exponenți numerici diferiți se realizează prin reducerea ambilor termeni la un grad comun de rădăcină. Această lege funcționează în același mod ca și reducerea la un numitor comun la adunarea sau scăderea fracțiilor.

Dacă expresia radicală conține un număr ridicat la o putere, atunci această expresie poate fi simplificată cu condiția ca între rădăcină și exponent să existe un numitor comun.

Rădăcina pătrată a unui produs și a unei fracții

Rădăcina pătrată a lui a este un număr al cărui pătrat este a. De exemplu, numerele -5 și 5 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 25. Adică rădăcinile ecuației x^2=25 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 25. Acum trebuie să învățați cum să lucrați cu operația cu rădăcina pătrată: studiați proprietățile de bază ale acesteia.

Rădăcina pătrată a produsului

√(a*b)=√a*√b

Rădăcina pătrată a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor numere. De exemplu, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Este important de înțeles că această proprietate se aplică și în cazul în care expresia radicală este produsul lui trei, patru etc. multiplicatori nenegativi.

Uneori există o altă formulare a acestei proprietăți. Dacă a și b sunt numere nenegative, atunci este valabilă următoarea egalitate: √(a*b) =√a*√b. Nu există absolut nicio diferență între ele, puteți folosi fie una, fie cealaltă formulare (care este mai convenabil de reținut).

Rădăcina pătrată a unei fracții

Dacă a>=0 și b>0, atunci următoarea egalitate este adevărată:

√(a/b)=√a/√b.

De exemplu, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Această proprietate are și o formulare diferită, în opinia mea, mai convenabil de reținut.
Rădăcina pătrată a câtului este egală cu câtul rădăcinilor.

Este de remarcat faptul că aceste formule funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Adică, dacă este necesar, putem reprezenta produsul rădăcinilor ca rădăcină a produsului. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate.

După cum puteți vedea, aceste proprietăți sunt foarte convenabile și aș dori să am aceleași proprietăți pentru adunare și scădere:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Dar, din păcate, astfel de proprietăți sunt pătrate nu au rădăcini, și așa nu se poate face în calcule..

• 13. Conducerea prin intersecții de trafic 2018 cu comentarii online 13.1. La virarea la dreapta sau la stânga, șoferul trebuie să cedeze trecerea pietonilor și bicicliștilor carosabil drumul în care se transformă. Această instrucțiune se aplică tuturor […]
• Întâlnirea părinților „Drepturile, îndatoririle și responsabilitățile părinților” Prezentare pentru lecție Descărcați prezentarea (536.6 kB) Atenție! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate […]
• Regional capitalul maternîn regiunea Orel Capitala maternității regionale (MK) în Orel și regiunea Oryol a fost înființată în 2011. Acum este o măsură suplimentară de sprijin social. familii numeroase sub forma unui numerar unic [...]
• Cuantumul indemnizației forfetare la înregistrare în întâlniri timpuriiîn 2018 Pagina pe care ați solicitat-o ​​nu a fost găsită. Este posibil să fi introdus o adresă greșită sau pagina a fost ștearsă. Utilizare […]
• Avocat în Afaceri Economice Crimele în sfera economică este un concept destul de voluminos. Astfel de acte includ fraudă, afaceri ilegale, spălare de bani, operațiuni bancare ilegale […]
• Serviciul de presă al Băncii Centrale Federația Rusă(Banca Rusiei) Serviciul de presă 107016, Moscova, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Cu privire la numirea unei administrații interimare, Departamentul pentru Relații Externe și Publice al Băncii Rusiei informează că, în conformitate cu paragraful 2 […]
• caracteristici generaleȘi scurtă recenzie căi navigabile Clasificarea bazinelor de apă Clasificarea bazinelor de apă pentru navigarea navelor (mici) de agrement, supravegheată de GIMS din Rusia, se realizează în funcție de […]
• Kucherena = avocatul lui Viktor Tsoi Și acesta este un exclusiv: scrisoarea de astăzi de la Anatoly Kucherena. În continuarea subiectului. Nimeni nu a publicat încă această scrisoare. Și ar trebui, cred. Partea 1 pentru moment. În curând voi publica partea a doua, semnată de celebrul avocat. De ce este important? […]