Înmulțirea numerelor întregi, reguli, exemple. Înmulțirea numerelor naturale și proprietățile sale

Să analizăm conceptul de înmulțire cu un exemplu:

Turiştii au stat trei zile pe drum. În fiecare zi mergeau pe aceeași potecă de 4200 m. Cât de departe au mers în trei zile? Rezolvați problema în două moduri.

Soluţie:
Să luăm în considerare problema în detaliu.

În prima zi drumeții au parcurs 4200 m. În a doua zi, aceeași potecă a fost parcursă de turiști 4200m iar în a treia zi - 4200m. Să scriem în limbaj matematic:
4200+4200+4200=12600m.
Vedem modelul numărului 4200 repetându-se de trei ori, prin urmare, putem înlocui suma prin înmulțire:
4200⋅3=12600m.
Răspuns: turiștii au parcurs 12.600 de metri în trei zile.

Luați în considerare un exemplu:

Pentru a nu scrie o înregistrare lungă, o putem scrie ca înmulțire. Numărul 2 se repetă de 11 ori, astfel încât exemplul de înmulțire ar arăta astfel:
2⋅11=22

Rezuma. Ce este înmulțirea?

Multiplicare este o acţiune care înlocuieşte repetarea termenului de m n ori.

Se numesc notația m⋅n și rezultatul acestei expresii produs al numerelor, iar numerele m și n sunt numite multiplicatori.

Să ne uităm la un exemplu:
7⋅12=84
Se numesc expresia 7⋅12 și rezultatul 84 produs al numerelor.
Se numesc numerele 7 și 12 multiplicatori.

Există mai multe legi ale înmulțirii în matematică. Luați în considerare:

Legea comutativă a înmulțirii.

Luați în considerare problema:

Am dat două mere celor 5 dintre prietenii noștri. Din punct de vedere matematic, intrarea va arăta astfel: 2⋅5.
Sau le-am dat 5 mere la doi dintre prietenii noștri. Din punct de vedere matematic, intrarea va arăta astfel: 5⋅2.
În primul și al doilea caz, vom distribui același număr de mere egal cu 10 bucăți.

Dacă înmulțim 2⋅5=10 și 5⋅2=10, atunci rezultatul nu se va schimba.

Proprietatea legii comutative a înmulțirii:
Produsul nu se schimbă de la schimbarea locurilor factorilor.
m⋅ n=n⋅m

Legea asociativă a înmulțirii.

Să ne uităm la un exemplu:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 sau 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 obținem,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅ b) ⋅ c= A⋅(b⋅ c)

Proprietatea legii asociative a înmulțirii:
Pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl puteți înmulți mai întâi cu primul factor și apoi înmulțiți produsul rezultat cu al doilea.

Schimbarea mai multor factori și punerea lor între paranteze nu schimbă rezultatul sau produsul.

Aceste legi sunt valabile pentru orice numere naturale.

Înmulțirea oricărui număr natural cu unul.

Luați în considerare un exemplu:
7⋅1=7 sau 1⋅7=7
A⋅1=a sau 1⋅A= A
Când înmulțiți orice număr natural cu unul, produsul va fi întotdeauna același număr.

Înmulțirea oricărui număr natural cu zero.

6⋅0=0 sau 0⋅6=0
A⋅0=0 sau 0⋅A=0
Când înmulțiți orice număr natural cu zero, produsul va fi egal cu zero.

Întrebări la subiectul „Înmulțirea”:

Ce este un produs al numerelor?
Răspuns: produsul numerelor sau înmulțirea numerelor este expresia m⋅n, unde m este termenul, iar n este numărul de repetări ale acestui termen.

Pentru ce este înmulțirea?
Răspuns: pentru a nu scrie o adunare lungă de numere, ci pentru a scrie prescurtat. De exemplu, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Care este rezultatul înmulțirii?
Răspuns: sensul lucrării.

Ce înseamnă înmulțirea 3⋅5?
Raspuns: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Dacă înmulți un milion cu zero, care este produsul?
Raspuns: 0

Exemplul #1:
Înlocuiți suma cu produsul: a) 12+12+12+12+12 b) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
Răspuns: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Exemplul #2:
Scrieți sub forma unui produs: a) a + a + a + a b) c + c + c + c + c + c + c
Soluţie:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Sarcina 1:
Mama a cumpărat 3 cutii de ciocolată. Fiecare cutie contine 8 bomboane. Câte dulciuri a cumpărat mama?
Soluţie:
Sunt 8 bomboane într-o cutie și avem 3 astfel de cutii.
8+8+8=8⋅3=24 bomboane
Răspuns: 24 de bomboane.

Sarcina #2:
Profesorul de artă le-a spus celor opt elevi săi să pregătească șapte creioane pe lecție. Câte creioane aveau copiii în total?
Soluţie:
Puteți calcula suma sarcinii. Primul elev avea 7 creioane, al doilea elev avea 7 creioane și așa mai departe.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Înregistrarea s-a dovedit a fi incomod și lung, vom înlocui suma cu produsul.
7⋅8=56
Răspunsul este 56 de creioane.

Sarcina 1.2
Sunt date două numere întregi X și T. Dacă au semne diferite, apoi atribuiți lui X valoarea produsului acestor numere și lui T valoarea diferenței lor modulo. Dacă numerele au aceleași semne, atunci atribuiți lui X valoarea diferenței modulo numerelor originale și lui T valoarea produsului acestor numere. Afișați noile valori X și T pe ecran.

Sarcina este, de asemenea, ușoară. „Neînțelegerile” pot apărea numai dacă ați uitat care este diferența modulo (sper că acesta este produsul a două numere întregi, vă mai amintiți))).

Diferența modulo două numere

Diferența modulo a două numere întregi (deși nu neapărat numere întregi - nu contează, doar că numerele sunt numere întregi în problema noastră) - asta, vorbind într-un mod simplu, când rezultatul calculului este modulul diferenței din două numere.

Adică, operația de scădere a unui număr dintr-altul este mai întâi efectuată. Și apoi se calculează modulul rezultatului acestei operații.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă astfel:

Dacă cineva a uitat ce este un modul sau cum să-l calculeze în Pascal, atunci vedeți.

Algoritm pentru determinarea semnelor a două numere

Soluția problemei este în general destul de simplă. Dificultatea pentru începători poate determina doar definirea semnelor a două numere. Adică, este necesar să răspundem la întrebarea: cum să aflați dacă numerele au aceleași semne sau diferite.

În primul rând, cere compararea alternativă a numerelor cu zero. Acest lucru este acceptabil. Dar codul sursă va fi destul de mare. Prin urmare, este mai corect să utilizați următorul algoritm:

1. Înmulțiți numere între ele
2. Dacă rezultatul este mai mic decât zero, atunci numerele au semne diferite.
3. Dacă rezultatul este zero sau mai mare decât zero, atunci numerele au aceleași semne

Am efectuat acest algoritm sub forma unui . Și programul în sine s-a dovedit a fi același cu cel arătat în exemplele Pascal și C++ de mai jos.

Rezolvarea problemei 1.2 în Pascal numere de verificare a programului; var A, X, T: întreg; //************************************************ ** **************** // Verifică dacă numerele N1 și N2 au același semn. Dacă da, atunci // returnează TRUE, în caz contrar - FALSE //************************************ **** **************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; începe := (N1 * N2) >= 0; Sfârşit; //************************************************ ** **************** // PROGRAM PRINCIPAL //**************************** ** ************************************ începe scrierea ("X = "); ReadLn(X); Scrie ("T = "); ReadLn(T); dacă ZnakNumbers(X, T) atunci //Dacă numerele au aceleași semne începe A:= (X - T); //Obține diferența modulo numerele originale T:= X * T; end else //Dacă numerele au semne diferite, începe A:= X * T; T:= Abs(X - T); Sfârşit; X:=A; //Scrieți valoarea A în X WriteLn("X = ", X); //Ieșire X WriteLn("T = ", T); //Ieșire T WriteLn("Sfârșitul. Apăsați ENTER..."); ReadLn; Sfârşit.

Rezolvarea problemei 1.2 în C++#include #include folosind namespace std; int A, X, T; //************************************************ ** **************** // Verifică dacă numerele N1 și N2 au același semn. Dacă da, atunci // returnează TRUE, în caz contrar - FALSE //************************************ **** ******************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) ) >= 0); ) //******************************************** ********** ***************** // PROGRAM PRINCIPAL //**************** ************** ************************************ * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Dacă numerele au aceleași semne ( A = abs(X - T); // Obțineți diferența modulo numerele originale T = X * T; ) else // Dacă numerele au semne diferite ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // Scrieți valoarea A cout la X

Optimizare

Acest program simplu poate fi simplificat și mai mult prin neutilizarea unei funcții și modificarea puțin codul sursă. Acest lucru va reduce puțin numărul total de linii de cod sursă. Cum să o faci - gândește-te singur.

Suma este rezultatul adunării, iar cuvântul se poate referi nu numai la numere.

Diferența este ceea ce obții după scăderea numerelor.

Produs - ceea ce se obține după înmulțire, cuvântul are un alt sens.

Coeficientul este ceea ce se obține după împărțire.

eu. Concepte matematice SUMĂ, DIFERENTĂ, PRODUS, PARȚIAL legate de termeni matematici Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea.

Toate definițiile sunt date aici pe setul de numere naturale.

Fiecărei perechi de numere i se atribuie un număr numit ele SUMĂ.

Suma este formată din câte unități există în numerele (termenii) perechii date.

SUMĂ este rezultatul adăugării de sume.

Scăderea este operația inversă a adunării. Constă în găsirea unuia dintre termeni după sumă și a celuilalt termen. Această sumă se numește redusă, acest termen se numește scădere, iar termenul dorit se numește DIFERENȚĂ.

DIFERENȚĂ este numărul care este rezultatul scăderii, restul scăderii.

Fiecărei perechi de numere i se poate atribui un număr care este format din câte unități există în primul număr al perechii, luate de câte ori există unități în al doilea număr al perechii. Acest număr corespunzător unei perechi de numere (se numesc factori) este numit MUNCĂ.

MUNCĂ este rezultatul înmulțirii.

Împărțirea este inversul înmulțirii.

Diviziunea este găsirea unuia dintre factori după produs și celălalt factor. Acest produs se numește divizibil, acest factor se numește divizor, iar factorul dorit este PRIVAT, adică numărul obţinut prin împărţirea unui număr la altul.

II. ALTE SEMNIFICAȚII ALE CUVINTELLOR SUMĂ, DIFERENTĂ, PRODUS, PARTICULE.

Toate cuvintele folosite ca concepte matematice pot avea alte semnificații lexicale.

SUMĂîn sens figurat înseamnă totalitatea, cantitatea totală a ceva.

De exemplu. Profesionalismul unui profesor constă în cantitatea de cunoștințe, abilități și abilități pe care le transmite elevilor săi. Lipsa sumei de bani necesare a obligat să refuze cumpărarea.

DIFERENȚĂ are sensul de diferență, deosebiri, diferențe în ceva.

De exemplu. Diferența de interese este mult mai gravă decât diferența de vârstă. Prietenia poate începe cu ideea unei comunități de opinii și dușmănie - cu o diferență de opinii.

MUNCĂînseamnă ceva produs în procesul muncii, crearea a ceva, un produs al muncii, creativitate, artă etc.

De exemplu. Înalt piesă de artă face o persoană să se gândească la viața lui. La concursul tinerilor pianiști, băiatul a interpretat opera lui P.I. Ceaikovski. Această cutie este o adevărată operă de artă.

PRIVAT- acesta este ceva personal, personal, aparținând unei singure persoane, aceasta este proprietatea lui, a lui și numai a lui. Și fie că este vorba despre gânduri personale, fie că este proprietate sau altceva, dar îi aparține doar lui, o persoană privată.

De exemplu. Un prieten mi-a dat un caiet cu inscripția Privatequot ;. Este bine să contrastezi privatul cu publicul?

De fapt, toate cele patru cuvinte din întrebare, și anume sumă, diferență, produs și coeficient, reflectă cele patru operații matematice de bază care sunt bazele. Odată cu învățarea acestor acțiuni începe o călătorie fascinantă în lumea matematicii. În acest fel,

Sumă, diferență, produs, coeficient - acesta este rezultatul acțiunilor matematice, cu care ne-am început cu toții cunoașterea cu matematica. În viață, folosim și aceste cuvinte, dar le dăm mai mult sens matematic, deși putem adăuga nu numere. Lucrarea poate fi și artistică. Acesta este un sens complet diferit al cuvântului pe care îl folosim în viață.

Toți acești patru termeni sunt folosiți în principal în matematică.

O sumă este atunci când două numere sunt adăugate împreună;

Diferența este scăderea unui număr din altul;

Coeficientul este împărțirea unui număr cu altul;

Un produs este înmulțirea unui număr cu altul.

Coeficientul este rezultatul împărțirii numerelor, produsul este rezultatul înmulțirii numerelor, suma este rezultatul adunării numerelor, diferența este rezultatul scăderii. Acestea sunt operații matematice elementare care pot fi efectuate cu numere.

Acestea sunt concepte matematice.

Suma este rezultatul adunării. Numerele care se adună se numesc primul termen și al doilea termen. Se notează prin următorul semn: +.

Diferența este rezultatul scăderii. Numerele care se scad se numesc minuend (cel mai mare) si subtrahend (cel mai mic). Se notează prin următorul semn: -.

Un produs este rezultatul unei înmulțiri. Numerele care se înmulțesc sunt numite primul multiplicator și al doilea multiplicator. Se notează prin următorul semn: *.

Coeficientul este rezultatul diviziunii. Numerele care se împart se numesc dividend (cel mai mare), divizor (cel mai mic). Se notează prin acest semn: :.

Toate aceste concepte sunt predate în școala elementară.

În matematică, există patru operații simple care pot fi aplicate la două numere și obțin următoarele rezultate:

suma este rezultatul adunării numerelor,

diferența este rezultatul scăderii unui număr de la altul,

produsul este rezultatul înmulțirii numerelor,

coeficientul este deja rezultatul împărțirii numerelor.

Suma în matematică este numărul pe care îl obținem ca urmare a adunării unui număr la altul. Diferența este opusul adunării, când scazi un număr mai mic dintr-un număr mai mare. Un produs este un număr care rezultă din înmulțirea unui număr cu altul. Diferența este numărul opus al produsului. Obținem diferența astfel: împărțim un număr la altul.

Sunt matematician prin studii, specialitate: profesor de matematică. Ea a lucrat toată viața ca profesoară de matematică într-o universitate pedagogică.

Este necesar să faceți o rezervare. În viitor, vom vorbi despre sumă, diferență, produs, coeficient numere.

Răspunsurile la aceste întrebări, deși simple, provoacă dificultăți elevilor. Pentru a putea analiza mai în detaliu acest subiect generalizant, vă aduc la cunoștință material util despre el. Nota se numește Matematică pentru blonde.

Mi-a plăcut metoda de predare.

Se pune o întrebare provocatoare:

Este diferența împărțită sau înmulțită?

Încearcă să intereseze (niciuna dintre versiunile propuse nu este corectă!)))

Atunci ei raspund:

Diferența este de a lua. Rezultatul scăderii se numește diferență.

Obțineți la fel:

Suma este de adunat. Rezultatul adunării se numește sumă.

Produsul trebuie să se înmulțească. Rezultatul înmulțirii se numește produs.

Privat este diviziune. Rezultatul împărțirii se numește coeficient.

Asa de limbaj simplu sunt explicate conceptele corecte de sumă, diferență, produs și coeficient în matematică. Doar frazele sunt scrise într-un mod ușor simplificat: diferența este de a scădea, suma este de a adăuga, produsul este de a înmulți, câtul este de a împărți. Mai exact, ei nu spun asta.

Asa de, rezultat al adunării numerelor(termenii) - acestea sunt ale lor sumă, rezultatul scăderii numerelor(redus si scazut) este diferență, rezultat al înmulțirii numerelor(factori) este muncă, A rezultat al împărțirii numerelor(divizibil cu divizor), iar divizorul nu trebuie să fie egal cu zero, altfel împărțirea nu poate fi efectuată, există privat aceste numere.

Nu mă gândesc la alte semnificații ale acestor cuvinte, matematica umbrește totul.)))

Cuvintele Sumă, Diferență, Produs și Coeficient sunt foarte familiare elevilor din școli și din alte instituții de învățământ și vin cu aceste definiții în fiecare lecție de matematică.

1) Sumă

Suma este rezultatul obținut după adăugarea (+) a două sau mai multe numere.

Suma este, de asemenea, costul final al mărfurilor (suma de plătit), corpul total de cunoștințe, impresii și multe altele.

2) Diferență

În matematică, înseamnă rezultatul scăderii unui număr (-).

Cuvântul diferență poate fi folosit și ca cuvânt pentru diferența de ceva. De exemplu, diferență de opinie, diferență de opinii, diferență de indicatori etc.

3) Muncă

Produsul este rezultatul obținut după înmulțirea numerelor (*).

Pe lângă matematică, acest cuvânt este folosit și ca desemnare pentru rezultatul procesului de creație (o operă de artă), ca verb de la produce.

4) sincer

Acest cuvânt denotă rezultatul împărțirii a două numere (:).

Cuvântul privat putem auzi și când denotăm apartenența a ceva la un singur proprietar (persoană privată, proprietate privată, materie privată).