Įranga:

• kompiuteris,
• multimedijos projektorius,
• ekranas,
• 1 priedas(skaidrių pristatymas programoje „PowerPoint“) „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“
• 2 priedas(Tipo lygties „Trys skirtingos bazės laipsniai" Word)
• 3 priedas(dalomoji medžiaga Word for praktinis darbas).
• 4 priedas(namų darbams skirta dalomoji medžiaga Word programoje).

Per užsiėmimus

1. Organizacinis etapas

• pamokos temos žinutė (užrašyta lentoje),
• apibendrinamosios pamokos poreikis 10–11 klasėse:

Mokinių rengimo aktyviam žinių įsisavinimui etapas

Kartojimas

Apibrėžimas.

Eksponentinė lygtis – tai lygtis, kurios rodiklyje yra kintamasis (atsako studentas).

Mokytojo pastaba. Eksponentinės lygtys priklauso transcendentinių lygčių klasei. Šis sunkiai ištariamas pavadinimas rodo, kad tokios lygtys, paprastai kalbant, negali būti išspręstos formulių pavidalu.

Kompiuteriuose juos galima išspręsti tik apytiksliai skaitiniais metodais. Bet kaip su egzamino klausimais? Visa gudrybė yra ta, kad egzaminuotojas sukomponuoja problemą taip, kad ji tiesiog priimtų analitinį sprendimą. Kitaip tariant, jūs galite (ir turėtumėte!) atlikti tokias identiškas transformacijas, kurios sumažina duotąją eksponentinė lygtisį paprasčiausią eksponentinę lygtį. Tai yra paprasčiausia lygtis ir vadinama: paprasčiausia eksponentinė lygtis. Tai išspręsta logaritmas.

Situacija su eksponentinės lygties sprendimu primena kelionę labirintu, kurią specialiai sugalvojo problemos sudarytojas. Iš šių labai bendrų svarstymų išplaukia gana konkrečios rekomendacijos.

Norėdami sėkmingai išspręsti eksponentines lygtis, turite:

1. Ne tik aktyviai žinokite visas eksponentines tapatybes, bet ir suraskite kintamojo reikšmių rinkinius, kuriuose šios tapatybės yra apibrėžtos, kad naudojant šias tapatybes neįgytumėte nereikalingų šaknų, o juo labiau - neprarastumėte lygties sprendiniai.

2. Aktyviai žinoti visas eksponentines tapatybes.

3. Aiškiai, detaliai ir be klaidų atlikti matematines lygčių transformacijas (perkelti terminus iš vienos lygties dalies į kitą, nepamirštant pakeisti ženklo, sumažinti trupmeną į bendrą vardiklį ir pan.). Tai vadinama matematine kultūra. Tuo pačiu metu patys skaičiavimai turėtų būti atliekami automatiškai rankomis, o galva turėtų galvoti apie bendrą sprendimo kreipiamąją giją. Būtina kuo kruopščiau ir detaliau atlikti transformacijas. Tik tai garantuos teisingą, be klaidų sprendimą. Ir atminkite: maža aritmetinė klaida gali tiesiog sukurti transcendentinę lygtį, kurios iš principo analitiškai išspręsti neįmanoma. Pasirodo, pasiklydote ir įlėkėte į labirinto sieną.

4. Žinoti uždavinių sprendimo būdus (tai yra žinoti visus sprendimo labirinto kelius). Norėdami teisingai orientuotis kiekviename etape, turėsite (sąmoningai arba intuityviai!):

• apibrėžti lygties tipas;
• prisiminti atitinkamą tipą sprendimo metodas užduotys.

Studijuojamos medžiagos apibendrinimo ir sisteminimo etapas.

Mokytojas kartu su mokiniais, naudodamas kompiuterį, atlieka apžvalginį visų tipų eksponentinių lygčių ir jų sprendimo metodų pakartojimą bei sudaro bendrą schemą. (Naudojama L.Ya. Borevskio mokomoji kompiuterinė programa „Matematikos kursas – 2000“, PowerPoint pristatymo autorė T.N.Kupcova.)

Ryžiai. vienas. Paveiksle parodyta bendra visų tipų eksponentinių lygčių schema.

Kaip matyti iš šios diagramos, eksponentinių lygčių sprendimo strategija yra sumažinti šią eksponentinę lygtį į lygtį, pirmiausia, su tais pačiais pagrindais , o tada - ir su tais pačiais rodikliais.

Gavę lygtį su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, pakeisite šį laipsnį nauju kintamuoju ir gausite paprastą algebrinę lygtį (dažniausiai trupmeninę racionaliąją arba kvadratinę) šio naujo kintamojo atžvilgiu.

Išspręsdami šią lygtį ir atlikdami atvirkštinį pakaitalą, gausite paprastų eksponentinių lygčių rinkinį, kuris išsprendžiamas bendras vaizdas naudojant logaritmus.

Išsiskiria lygtys, kuriose atsiranda tik (privačių) galių produktai. Naudojant eksponentinę tapatybę, galima šias lygtis nedelsiant perkelti į vieną bazę, ypač į paprasčiausią eksponentinę lygtį.

Apsvarstykite, kaip sprendžiama eksponentinė lygtis su trimis skirtingomis laipsnių bazėmis.

(Jei mokytojas turi L.Ya. Borevsky mokymo kompiuterinę programą „Matematikos kursas - 2000“, tada natūraliai dirbame su disku, jei ne, galite iš jo išspausdinti tokio tipo lygtį kiekvienam stalui, pateikta žemiau .)

Ryžiai. 2. Lygčių sprendimo planas.

Ryžiai. 3. Pradedama spręsti lygtį

Ryžiai. keturi. Lygties sprendinio pabaiga.

Dirba praktinius darbus

Nustatykite lygties tipą ir išspręskite.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Apibendrinant pamoką

Pamokos įvertinimas.

pamokos pabaiga

Dėl mokytojo

Praktinių darbų atsakymų schema.

Pratimas: iš lygčių sąrašo pasirinkite nurodyto tipo lygtis (atsakymo numerį įrašykite į lentelę):

1. Trys skirtingos bazės
2. Dvi skirtingos bazės – skirtingi eksponentai
3. Galių bazės – vieno skaičiaus laipsniai
4. Tos pačios bazės, skirtingi eksponentai
5. Tos pačios laipsnio bazės – tie patys rodikliai
6. Galių produktas
7. Du skirtingi laipsnių pagrindai – tie patys rodikliai
8. Paprasčiausios eksponentinės lygtys

1. (jėgų sandauga)

2. (tos pačios bazės - skirtingi eksponentai)

Paskaita: „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“.

1 . eksponentinės lygtys.

Lygtys, kurių eksponente yra nežinomųjų, vadinamos eksponentinėmis lygtimis. Paprasčiausia iš jų yra lygtis ax = b, kur a > 0 ir a ≠ 1.

1) b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Jei b > 0, naudojant funkcijos monotoniškumą ir šaknies teoremą, lygtis turi vieną šaknį. Norint jį rasti, b turi būti pavaizduotas kaip b = aс, ax = bс ó x = c arba x = logab.

eksponentinės lygtys pagal algebrinės transformacijos veda prie standartinių lygčių, kurios išsprendžiamos šiais metodais:

1) sumažinimo iki vienos bazės būdas;

2) vertinimo metodas;

3) grafinis metodas;

4) naujų kintamųjų įvedimo būdas;

5) faktorizavimo metodas;

6) eksponentinės – galios lygtys;

7) eksponentinis su parametru.

2 . Sumažinimo iki vieno pagrindo metodas.

Metodas remiasi tokia laipsnių savybe: jei du laipsniai lygūs ir jų bazės lygios, tai jų eksponentai yra lygūs, t.y., lygtį reikia pabandyti redukuoti į formą

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį:

1 . 3x=81;

Pavaizduokime dešinę lygties pusę forma 81 = 34 ir parašykite lygtį, lygiavertę pradinei 3 x = 34; x = 4. Atsakymas: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ir eikite į rodiklių lygtį 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Atsakymas: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 0,2, 0,04, √5 ir 25 yra 5 laipsniai. Pasinaudokime tuo ir pakeiskime pradinę lygtį taip:

, iš kur 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iš kurio randame sprendimą x = -1. Atsakymas: -1.

5. 3x = 5. Pagal logaritmo apibrėžimą x = log35. Atsakymas: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Perrašykime lygtį į 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, t.y..png" width="181" height="49 src="> Taigi x - 4 =0, x = 4. Atsakymas: keturi.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pasinaudodami laipsnių savybėmis, rašome lygtį forma e x+1 = 2, x =1. Atsakymas: 1.

Užduočių bankas Nr.1.

Išspręskite lygtį:

Testo numeris 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) be šaknų
	1) 7;1 2) be šaknų 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

2 testas

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) be šaknų 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Vertinimo metodas.

Šaknies teorema: jei funkcija f (x) didėja (mažėja) intervale I, skaičius a yra bet kokia šio intervalo f reikšmė, tada lygtis f (x) = a intervale I turi vieną šaknį.

Sprendžiant lygtis įvertinimo metodu, naudojama ši teorema ir funkcijos monotoniškumo savybės.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtis: 1. 4x = 5 - x.

Sprendimas. Perrašykime lygtį į 4x + x = 5.

1. jei x \u003d 1, tada 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 yra tiesa, tada 1 yra lygties šaknis.

Funkcija f(x) = 4x didėja R, o g(x) = x didėja R => h(x)= f(x)+g(x) didėja R kaip didėjančių funkcijų suma, taigi x = 1 yra vienintelė lygties 4x = 5 – x šaknis. Atsakymas: 1.

2.

Sprendimas. Perrašome lygtį į formą .

1. jei x = -1, tai , 3 = 3-tiesa, taigi x = -1 yra lygties šaknis.

2. įrodyti, kad jis yra unikalus.

3. F(x) = - mažėja R, o g(x) = - x - mažėja R => h(x) = f(x) + g(x) - mažėja R, nes suma mažėjančių funkcijų . Taigi pagal šaknies teoremą x = -1 yra vienintelė lygties šaknis. Atsakymas: -1.

Užduočių bankas Nr.2. išspręsti lygtį

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Naujų kintamųjų įvedimo metodas.

Metodas aprašytas 2.1 skyriuje. Naujo kintamojo įvedimas (pakeitimas) dažniausiai atliekamas po lygties sąlygų transformacijų (supaprastinimo). Apsvarstykite pavyzdžius.

Pavyzdžiai. R valgymo lygtis: 1. .

Perrašykime lygtį kitaip: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Sprendimas. Perrašykime lygtį kitaip:

Pažymėkite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> – netinka.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> yra neracionali lygtis. Atminkite, kad

Lygties sprendimas yra x = 2,5 ≤ 4, taigi 2,5 yra lygties šaknis. Atsakymas: 2.5.

Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą ir abi puses padalinkime iš 56x+6 ≠ 0. Gauname lygtį

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, taigi..png" width="118" height="56">

Kvadratinės lygties šaknys – t1 = 1 ir t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Sprendimas . Perrašome lygtį į formą

ir atkreipkite dėmesį, kad tai yra vienalytė antrojo laipsnio lygtis.

Padalinkite lygtį iš 42x, gausime

Pakeiskite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Atsakymas: 0; 0.5.

3 užduočių bankas. išspręsti lygtį

b)

G)

3 testas su atsakymų pasirinkimu. Minimalus lygis.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) be šaknų 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) be šaknų 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testas #4 su atsakymų pasirinkimu. Bendras lygis.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5) 2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) be šaknų

5. Faktorizacijos metodas.

1. Išspręskite lygtį: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , iš kur

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Sprendimas. Išimkime 6x kairėje lygties pusėje ir 2x dešinėje. Gauname lygtį 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Kadangi 2x >0 visiems x, mes galime padalyti abi šios lygties puses iš 2x, nebijodami prarasti sprendinių. Gauname 3x = 1 x = 0.

3.

Sprendimas. Lygtį išsprendžiame faktoringo būdu.

Mes pasirenkame dvinario kvadratą

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 yra lygties šaknis.

Lygtis x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

6 testas Bendras lygis.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentinės – galios lygtys.

Prie eksponentinių lygčių pridedamos vadinamosios eksponentinės galios lygtys, t. y. (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formos lygtys.

Jei žinoma, kad f(x)>0 ir f(x) ≠ 1, tai lygtis, kaip ir eksponentinė, sprendžiama sulyginant eksponentus g(x) = f(x).

Jei sąlyga neatmeta galimybės, kad f(x)=0 ir f(x)=1, tai sprendžiant eksponentinės galios lygtį turime atsižvelgti į šiuos atvejus.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Sprendimas. x2 +2x-8 - prasminga bet kuriam x, nes daugianomas, todėl lygtis yra lygiavertė aibei

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentinės lygtys su parametrais.

1. Kokioms parametro p reikšmėms lygtis 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) turi unikalų sprendimą?

Sprendimas. Įveskime pokytį 2x = t, t > 0, tada (1) lygtis bus t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

(2) lygties diskriminantas yra D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

(1) lygtis turi unikalų sprendimą, jei (2) lygtis turi vieną teigiamą šaknį. Tai įmanoma šiais atvejais.

1. Jei D = 0, tai yra, p = 1, tada (2) lygtis bus t2 – 2t + 1 = 0, taigi t = 1, todėl (1) lygtis turi unikalų sprendimą x = 0.

2. Jei p1, tai 9(p – 1)2 > 0, tai (2) lygtis turi dvi skirtingas šaknis t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistemų aibė tenkina uždavinio sąlygą

Sistemose pakeitę t1 ir t2, turime

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Sprendimas. Leisti tada (3) lygtis bus t2 – 6t – a = 0. (4)

Raskime parametro a reikšmes, kurioms bent viena (4) lygties šaknis tenkina sąlygą t > 0.

Įveskime funkciją f(t) = t2 – 6t – a. Galimi šie atvejai.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

2 atvejis. (4) lygtis turi unikalų teigiamą sprendimą, jei

D = 0, jei a = – 9, tada (4) lygtis bus tokia: (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

3 atvejis. (4) lygtis turi dvi šaknis, bet viena iš jų netenkina nelygybės t > 0. Tai įmanoma, jei

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Taigi, esant a 0 lygtis (4) turi vieną teigiamą šaknį . Tada (3) lygtis turi unikalų sprendimą

Dėl< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jeigu< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jei a = – 9, tai x = – 1;

jei a  0, tada

Palyginkime (1) ir (3) lygčių sprendimo būdus. Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant (1) lygtį buvo sumažinta iki kvadratinės lygties, kurios diskriminantas yra visas kvadratas; taigi pagal kvadratinės lygties šaknų formulę buvo iš karto apskaičiuojamos (2) lygties šaknys, o tada dėl šių šaknų padarytos išvados. (3) lygtis redukuota į kvadratinę lygtį (4), kurios diskriminantas nėra tobulas kvadratas, todėl sprendžiant (3) lygtį patartina naudoti teoremas apie kvadratinio trinalio šaknų vietą ir grafinis modelis. Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtį galima išspręsti naudojant Vieta teoremą.

Išspręskime sudėtingesnes lygtis.

3 užduotis. Išspręskite lygtį

Sprendimas. ODZ: x1, x2.

Pristatykime pakaitalą. Tegu 2x = t, t > 0, tada dėl transformacijų lygtis bus t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Raskime a reikšmes, kurioms bent viena šaknis lygtis (*) tenkina sąlygą t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Atsakymas: jei a > - 13, a  11, a  5, tai jei a - 13,

a = 11, a = 5, tada nėra šaknų.

Bibliografija.

1. Guzejevas edukacinių technologijų pagrindai.

2. Guzeev technologija: nuo recepcijos iki filosofijos.

M. „Vadovas“ 1996 Nr.4

3. Guzejevas ir organizacinės formos mokymasis.

4. Guzejevas ir integralios ugdymo technologijos praktika.

M. „Liaudies švietimas“, 2001 m

5. Guzejevas iš pamokos – seminaro formų.

Matematika mokykloje Nr.2, 1987, 9 - 11 p.

6. Selevko edukacinės technologijos.

M. „Liaudies švietimas“, 1998 m

7. Epiševos moksleiviai mokosi matematikos.

M. „Švietimas“, 1990 m

8. Ivanovas rengti pamokas – dirbtuves.

Matematika 6 mokykloje, 1990, p. 37-40.

9. Smirnovo matematikos mokymo modelis.

Matematika 1 mokykloje, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko praktinio darbo organizavimo būdai.

Matematika 1 mokykloje, 1993, p. 27-28.

11. Apie vieną iš individualaus darbo rūšių.

Matematika 2 mokykloje, 1994, 63 - 64 p.

12. Chazankinas Kūrybiniai įgūdžiai moksleiviai.

Matematika 2 mokykloje, 1989, p. dešimt.

13. Scanavi. Leidykla, 1997 m

14. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia. Didaktinė medžiaga skirta

15. Krivonogovo matematikos užduotys.

M. „Rugsėjo pirmoji“, 2002 m

16. Čerkasovas. Vadovas aukštųjų mokyklų studentams ir

stojant į universitetus. „A S T – spaudos mokykla“, 2002 m

17. Zhevnyak stojantiesiems į universitetus.

Minskas ir RF „Apžvalga“, 1996 m

18. Raštu D. Pasiruošimas matematikos egzaminui. M. Rolfas, 1999 m

19. ir kt.. Mokymasis spręsti lygtis ir nelygybes.

M. „Intelektas – centras“, 2003 m

20. ir kt. Mokomoji medžiaga, skirta pasirengti E G E.

M. „Intelektas – centras“, 2003 ir 2004 m

21 ir kt. CMM variantai. Rusijos Federacijos gynybos ministerijos bandymų centras, 2002, 2003 m

22. Goldbergo lygtys. „Kvantas“ Nr.3, 1971 m

23. Volovičius M. Kaip sėkmingai dėstyti matematiką.

Matematika, 1997 Nr.3.

24 Okunev už pamoką, vaikai! M. Švietimas, 1988 m

25. Yakimanskaya - orientuotas ugdymas mokykloje.

26. Liimets dirba pamokoje. M. Žinios, 1975 m

Kas yra eksponentinė lygtis? Pavyzdžiai.

Taigi, eksponentinė lygtis... Naujas unikalus eksponatas mūsų bendroje įvairiausių lygčių parodoje!) Kaip ir beveik visada, bet kurio naujo matematinio termino raktinis žodis yra atitinkamas jį apibūdinantis būdvardis. Taigi ir čia. raktažodį termine "eksponentinė lygtis" yra žodis "demonstracinis". Ką tai reiškia? Šis žodis reiškia, kad nežinomasis (x) yra bet kokio laipsnio atžvilgiu. Ir tik ten! Tai nepaprastai svarbu.

Pavyzdžiui, šios paprastos lygtys:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ar net šie monstrai:

2 sin x = 0,5

Prašau nedelsiant atkreipti dėmesį į vieną svarbų dalyką: į pagrindu laipsniai (apačioje) - tik skaičiai. Bet į rodikliai laipsniai (viršuje) – daugybė išraiškų su x. Visiškai bet kokia.) Viskas priklauso nuo konkrečios lygties. Jei staiga, be rodiklio (tarkim, 3 x \u003d 18 + x 2), lygtyje kažkur kitur pasirodys x, tada tokia lygtis jau bus lygtis mišrus tipas. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Todėl šioje pamokoje mes jų nenagrinėsime. Mokinių džiaugsmui.) Čia nagrinėsime tik „gryna“ formos eksponencines lygtis.

Paprastai tariant, net ir grynos eksponentinės lygtys ne visais atvejais ir ne visada yra aiškiai išsprendžiamos. Tačiau tarp daugybės eksponentinių lygčių yra tam tikrų tipų, kuriuos galima ir reikia išspręsti. Būtent šių tipų lygtis mes apsvarstysime kartu su jumis. O pavyzdžius būtinai išspręsime.) Taigi įsitaisome patogiai ir – kelyje! Kaip ir kompiuterinėse „šaulėse“, mūsų kelionė eis per lygius.) Nuo elementaraus iki paprasto, nuo paprasto iki vidutinio ir nuo vidutinio iki sudėtingo. Pakeliui jūsų lauks ir slaptas lygis – nestandartinių pavyzdžių sprendimo gudrybės ir metodai. Tokių, apie kuriuos neskaitysi daugumoje mokyklinių vadovėlių... Na, o pabaigoje, žinoma, laukia galutinis viršininkas namų darbų pavidalu.)

0 lygis. Kokia yra paprasčiausia eksponentinė lygtis? Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pirmiausia pažvelkime į kai kuriuos atvirus pradinius dalykus. Jūs turite kažkur pradėti, tiesa? Pavyzdžiui, ši lygtis:

2 x = 2 2

Net ir be jokių teorijų, remiantis paprasta logika ir sveiku protu, aišku, kad x = 2. Kitaip niekaip, tiesa? Jokia kita x reikšmė nėra gera... Dabar atkreipkime dėmesį sprendimo įrašasši nuostabi eksponentinė lygtis:

2 x = 2 2

X = 2

Kas mums atsitiko? Ir atsitiko taip. Mes, tiesą sakant, ėmėme ir ... tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (du)! Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikyk tiesiai į akis!

Taip, iš tikrųjų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, tada šiuos skaičius galima atmesti ir tiesiog sulyginti eksponentus. Matematika leidžia.) Ir tada jūs galite dirbti atskirai su rodikliais ir išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai puiku, tiesa?

Čia yra pagrindinė bet kokios (taip, tiksliai bet kurios!) eksponentinės lygties sprendimo idėja: naudojant identiškas transformacijas, būtina užtikrinti, kad kairė ir dešinė lygtyje būtų tas pats įvairių laipsnių baziniai skaičiai. Ir tada jūs galite saugiai pašalinti tuos pačius pagrindus ir sulyginti eksponentus. Ir dirbkite su paprastesne lygtimi.

Ir dabar mes prisimename geležinę taisyklę: galima pašalinti tuos pačius pagrindus, jei ir tik tada, kai lygtyje kairėje ir dešinėje baziniai skaičiai yra išdidžioje vienatvėje.

Ką tai reiškia nuostabioje izoliacijoje? Tai reiškia be jokių kaimynų ir koeficientų. paaiškinu.

Pavyzdžiui, lygtyje

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Jūs negalite pašalinti trynukų! Kodėl? Nes kairėje turime ne tik vienišus tris laipsnius, bet dirbti 3 3 x-5 . Papildomas trigubas trukdo: koeficientas, supranti.)

Tą patį galima pasakyti ir apie lygtį

5 3 x = 5 2 x +5 x

Čia irgi visos bazės vienodos – penkios. Bet dešinėje mes neturime nė vieno laipsnio penkių: yra laipsnių suma!

Trumpai tariant, mes turime teisę pašalinti tas pačias bazes tik tada, kai mūsų eksponentinė lygtis atrodo taip ir tik taip:

af (x) = a g (x)

Tokio tipo eksponentinė lygtis vadinama paprasčiausias. Arba moksliškai, kanoninis . Ir nesvarbu, kokia būtų priešais mus esanti iškreipta lygtis, vienaip ar kitaip, mes ją sumažinsime iki tokios paprastos (kanoninės) formos. Arba tam tikrais atvejais agregataišios rūšies lygtys. Tada mūsų paprasčiausią lygtį galima perrašyti bendra forma taip:

F(x) = g(x)

Štai ir viskas. Tai bus lygiavertė transformacija. Tuo pačiu metu absoliučiai bet kokios išraiškos su x gali būti naudojamos kaip f(x) ir g(x). Nesvarbu.

Galbūt ypač smalsus studentas paklaus: kodėl mes taip lengvai ir paprastai atmetame tuos pačius pagrindus kairėje ir dešinėje ir sulyginame eksponentus? Intuicija yra intuicija, bet staiga, tam tikroje lygtyje ir dėl kokių nors priežasčių, šis požiūris pasirodys klaidingas? Ar visada legalu mėtyti tuos pačius pagrindus? Deja, už griežtą matematinį atsakymą į tai palūkanos Klausti reikia giliai ir rimtai įsigilinti į bendrą funkcijų struktūros ir elgesio teoriją. Ir kiek konkrečiau – reiškinyje griežtas monotoniškumas. Visų pirma, griežtas monotoniškumas eksponentinė funkcijay= a x. Kadangi būtent eksponentinė funkcija ir jos savybės yra pagrindas sprendžiant eksponenlines lygtis, taip.) Išsamus atsakymas į šį klausimą bus pateiktas atskiroje specialioje pamokoje, skirtoje sudėtingų nestandartinių lygčių sprendimui naudojant skirtingų funkcijų monotoniškumą.)

Išsamiai paaiškinti šį klausimą dabar reiškia tik ištraukti vidutinio moksleivio smegenis ir anksčiau laiko išgąsdinti sausa ir sunkia teorija. Aš šito nedarysiu.) Mūsų pagrindinis Šis momentas užduotis - Išmokite spręsti eksponentines lygtis! Pats paprasčiausias! Todėl tol, kol neprakaituosime ir drąsiai išmesime tas pačias priežastis. tai gali, laikykis mano žodžio!) Ir tada jau sprendžiame ekvivalentinę lygtį f (x) = g (x). Paprastai jis yra paprastesnis nei pradinis eksponentinis.

Žinoma, daroma prielaida, kad žmonės jau žino, kaip išspręsti bent , ir lygtis, jau be x rodikliuose.) Kas dar nežino kaip, drąsiai uždarykite šį puslapį, eikite atitinkamomis nuorodomis ir užpildykite senos spragos. Priešingu atveju jums bus sunku, taip ...

Aš tyliu apie neracionalias, trigonometrines ir kitas žiaurias lygtis, kurios taip pat gali atsirasti šalinant bazes. Tačiau neišsigąskite, kol kas atviro alavo laipsniais nesvarstysime: dar per anksti. Mes mokysime tik paprasčiausias lygtis.)

Dabar apsvarstykite lygtis, kurioms reikia papildomų pastangų, kad jas sumažintumėte iki paprasčiausių. Norėdami juos atskirti, pavadinkime juos paprastos eksponentinės lygtys. Taigi pereikime į kitą lygį!

1 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkite laipsnius! natūralūs rodikliai.

Pagrindinės taisyklės sprendžiant bet kokias eksponentines lygtis yra laipsnio tvarkymo taisyklės. Be šių žinių ir įgūdžių niekas neveiks. Deja. Taigi, jei kyla problemų su laipsniais, pradžiai esate laukiami. Be to, mums taip pat reikia. Šios transformacijos (net dvi!) yra pagrindas sprendžiant visas matematikos lygtis apskritai. Ir ne tik vitrinos. Taigi, kas pamiršo, pasivaikščiokite ir nuorodoje: aš juos užsidėjau ne be priežasties.

Tačiau vien veiksmų su galiomis ir identiškų transformacijų neužtenka. Tai taip pat reikalauja asmeninio stebėjimo ir išradingumo. Mums reikia to paties pagrindo, ar ne? Taigi mes išnagrinėjame pavyzdį ir ieškome jų aiškia ar užmaskuota forma!

Pavyzdžiui, ši lygtis:

3 2x – 27x +2 = 0

Pirmas žvilgsnis pagrindu. Jie skirtingi! Treji ir dvidešimt septyneri. Tačiau panikuoti ir pulti į neviltį dar anksti. Laikas tai prisiminti

27 = 3 3

Skaičiai 3 ir 27 yra laipsnio giminės! Be to, artimieji.) Todėl mes turime visas teises užrašyti:

27 x +2 = (3 3) x+2

Ir dabar mes sujungiame savo žinias apie veiksmai su laipsniais(ir aš jus perspėjau!). Yra tokia labai naudinga formulė:

(am) n = a mn

Dabar, jei paleisite jį kurso metu, paprastai viskas gerai:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pradinis pavyzdys dabar atrodo taip:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Puiku, laipsnių pagrindai susilygino. Ko mes siekėme. Pusė darbo atlikta.) O dabar pradedame pagrindinę tapatybės transformaciją – perkeliame 3 3 (x +2) į dešinę. Elementarių matematikos veiksmų niekas neatšaukė, taip.) Gauname:

3 2 x = 3 3 (x + 2)

Kas suteikia mums tokią lygtį? Ir tai, kad dabar mūsų lygtis yra sumažinta į kanoninę formą: kairėje ir dešinėje yra tie patys skaičiai (trigubai) laipsniais. Ir abu trynukai – puikioje izoliacijoje. Drąsiai pašaliname trynukus ir gauname:

2x = 3 (x+2)

Mes išsprendžiame tai ir gauname:

X=-6

Tai viskas. Tai yra teisingas atsakymas.)

Ir dabar mes suprantame sprendimo eigą. Kas mus išgelbėjo šiame pavyzdyje? Mus išgelbėjo žinios apie trigubo laipsnius. Kaip tiksliai? Mes nustatyta numeris 27 užšifruoti trys! Šis triukas (to paties pagrindo šifravimas pagal skirtingi skaičiai) yra viena populiariausių eksponentinėse lygtyse! Nebent pats populiariausias. Taip, ir taip pat, beje. Štai kodėl stebėjimas ir gebėjimas atpažinti kitų skaičių laipsnius skaičiais yra toks svarbus eksponentinėse lygtyse!

Praktinis patarimas:

Turite žinoti populiarių skaičių galias. Į veidą!

Žinoma, kiekvienas gali pakelti du į septintą laipsnį arba tris į penktą. Ne mano galvoje, tai bent juodraštyje. Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti iki laipsnio, o, priešingai, išsiaiškinti, koks skaičius ir kiek slepiasi už skaičiaus, tarkime, 128 ar 243. O tai jau daugiau suprantate, sudėtingesnis nei paprastas eksponentas. Pajuskite skirtumą, kaip sakoma!

Kadangi gebėjimas atpažinti laipsnius veide yra naudingas ne tik šiame, bet ir toliau nurodytuose lygiuose, štai jums nedidelė užduotis:

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Atsakymai (žinoma, išsibarstę):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Taip taip! Nenustebkite, kad atsakymų yra daugiau nei užduočių. Pavyzdžiui, 2 8, 4 4 ir 16 2 yra 256.

2 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkite laipsnius! Neigiami ir trupmeniniai rodikliai.

Šiame lygyje mes jau iki galo panaudojame savo žinias apie laipsnius. Būtent į šį žavų procesą įtraukiame neigiamus ir trupmeninius rodiklius! Taip taip! Turime sukaupti galią, tiesa?

Pavyzdžiui, ši baisi lygtis:

Vėlgi, pirmiausia pažiūrėkite į pagrindus. Pagrindai skirtingi! Ir šį kartą jie nė iš tolo nepanašūs vienas į kitą! 5 ir 0,04... O bazėms panaikinti reikia tų pačių... Ką daryti?

Viskas gerai! Tiesą sakant, viskas tas pats, tik ryšys tarp penkių ir 0,04 vizualiai prastai matomas. Kaip mums išeiti? Ir pereikime prie įprastos trupmenos skaičiuje 0,04! Ir ten, matai, viskas susiformuoja.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Oho! Pasirodo, 0,04 yra 1/25! Na, kas galėjo pagalvoti!)

Na, kaip? Dabar lengviau matyti ryšį tarp skaičių 5 ir 1/25? Tai štai kas...

O dabar pagal operacijų taisykles su įgaliojimais neigiamas rodiklis galima parašyti tvirta ranka:

Tai yra puiku. Taigi patekome į tą pačią bazę – penkias. Dabar nepatogų skaičių 0,04 lygtyje pakeičiame 5 -2 ir gauname:

Vėlgi, pagal operacijų su įgaliojimais taisykles dabar galime rašyti:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Tik tuo atveju primenu (staiga, kas nežino). pagrindinės taisyklės galioja veiksmai su įgaliojimais bet koks rodikliai! Įskaitant ir neigiamus.) Taigi drąsiai imkite ir padauginkite rodiklius (-2) ir (x-1) pagal atitinkamą taisyklę. Mūsų lygtis vis gerėja:

Viskas! Be vienišų penketukų laipsniais kairėje ir dešinėje, nieko kito nėra. Lygtis sumažinama iki kanoninės formos. Ir tada - palei raižytą takelį. Išimame penketukus ir sulyginame rodiklius:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Pavyzdys beveik baigtas. Lieka elementari viduriniųjų klasių matematika - atidarome (teisingai!) skliaustus ir surenkame viską kairėje:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Mes išsprendžiame tai ir gauname dvi šaknis:

x 1 = 1; x 2 = 3

Tai viskas.)

Dabar pagalvokime dar kartą. Šiame pavyzdyje vėl turėjome atpažinti tą patį skaičių įvairiais laipsniais! Būtent, norėdami pamatyti užšifruotą penketuką skaičiuje 0,04. Ir šį kartą į neigiamas laipsnis! Kaip mes tai padarėme? Judant – jokiu būdu. Tačiau po perėjimo iš dešimtainė trupmena 0,04 iki paprastosios trupmenos 1/25 viskas buvo paryškinta! Ir tada visas sprendimas buvo kaip laikrodis.)

Todėl dar vienas žalias praktinis patarimas.

Jei eksponentinėje lygtyje yra dešimtainių trupmenų, tai nuo dešimtainių trupmenų pereiname prie įprastų. AT bendrosios trupmenos daug lengviau atpažinti daugelio populiarių skaičių galias! Po atpažinimo pereiname nuo trupmenų prie laipsnių su neigiamais eksponentais.

Turėkite omenyje, kad toks apgaulė eksponentinėse lygtyse pasitaiko labai, labai dažnai! Ir žmogus nėra temoje. Jis žiūri, pavyzdžiui, į skaičius 32 ir 0,125 ir susinervina. Jam nežinoma, kad tai yra ta pati deuce, tik in įvairaus laipsnio... Bet jūs jau kalbate apie temą!)

Išspręskite lygtį:

Į! Atrodo, tylus siaubas... Tačiau išvaizda apgauna. Tai pati paprasčiausia eksponentinė lygtis, nepaisant jos bauginančios išvaizda. Ir dabar aš jums tai parodysiu.)

Pirma, mes susiduriame su visais skaičiais, esančiais bazėse ir koeficientuose. Akivaizdu, kad jie skiriasi, taip. Bet vis tiek rizikuojame ir stengiamės juos padaryti tas pats! Pabandykime prieiti tą patį skaičių skirtingais laipsniais. Ir, pageidautina, mažiausio įmanomo skaičiaus. Taigi, pradėkime iššifruoti!

Na, su keturiais iš karto viskas aišku – tai 2 2 . Taigi, jau kažkas.)

Su trupmena 0,25 – dar neaišku. Reikia patikrinti. Mes naudojame praktinius patarimus – pereikite nuo dešimtainio į paprastą:

0,25 = 25/100 = 1/4

Jau daug geriau. Kol kas jau aiškiai matyti, kad 1/4 yra 2 -2. Puiku, o skaičius 0,25 taip pat panašus į dviženklį.)

Kol kas viskas gerai. Tačiau lieka pats blogiausias skaičius - kvadratinė šaknis iš dviejų! Ką daryti su šiuo pipiru? Ar tai taip pat gali būti pavaizduota kaip dviejų galia? Ir kas žino...

Na, ir vėl lipame į savo žinių apie laipsnius lobyną! Šį kartą papildomai susiejame savo žinias apie šaknis. Nuo 9 klasės jūs ir aš turėjome ištverti, kad bet kurią šaknį, jei norite, visada galima paversti laipsniu su trupmena.

Kaip šitas:

Mūsų atveju:

Kaip! Pasirodo, dviejų kvadratinė šaknis yra 2 1/2. Viskas!

Tai gerai! Visi mūsų nepatogūs skaičiai iš tikrųjų pasirodė esąs užšifruotas dvitaškis.) Nesiginčiju, kažkur labai sudėtingai užšifruota. Bet mes taip pat didiname savo profesionalumą spręsdami tokius šifrus! Ir tada jau viskas aišku. Skaičius 4, 0,25 ir dviejų šaknį savo lygtyje pakeičiame laipsniu du:

Viskas! Visų laipsnių pagrindai pavyzdyje tapo vienodi – du. Ir dabar naudojami standartiniai veiksmai su laipsniais:

esua n = esu + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Kairėje pusėje gausite:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Dešinėje pusėje bus:

Ir dabar mūsų blogio lygtis pradėjo atrodyti taip:

Tiems, kurie nesuprato, kaip tiksliai pasirodė ši lygtis, klausimas nėra susijęs su eksponentinėmis lygtimis. Klausimas apie veiksmus su galiomis. Aš skubiai paprašiau pakartoti tų, kurie turi problemų!

Čia yra finišo linija! Gaunama eksponentinės lygties kanoninė forma! Na, kaip? Ar aš jus įtikinau, kad tai nėra taip baisu? ;) Nuimame dvejetus ir sulyginame rodiklius:

Belieka tik išspręsti šią tiesinę lygtį. Kaip? Žinoma, identiškų transformacijų pagalba.) Išspręskite tai, kas jau yra! Abi dalis padauginkite iš dviejų (kad pašalintumėte trupmeną 3/2), perkelkite terminus su X į kairę, be X į dešinę, atveskite kaip vienetus, suskaičiuokite – ir būsite laimingi!

Viskas turėtų pasirodyti gražiai:

X=4

Dabar persvarstykime sprendimą. Šiame pavyzdyje mus išgelbėjo perėjimas iš kvadratinė šaknis į laipsnis su rodikliu 1/2. Be to, tik toks gudrus pakeitimas padėjo mums visur pasiekti tą patį pagrindą (deuce), kuris išgelbėjo situaciją! Ir jei ne tai, mes turėtume visas galimybes sustingti amžinai ir niekada nesusidoroti su šiuo pavyzdžiu, taip ...

Todėl nepamirštame ir kitų praktinių patarimų:

Jei eksponentinėje lygtyje yra šaknų, tada nuo šaknų pereiname prie laipsnių su trupmeniniais rodikliais. Labai dažnai tik tokia transformacija paaiškina tolesnę situaciją.

Žinoma, neigiamos ir trupmeninės galios jau yra daug sunkesnės. natūralūs laipsniai. Bent jau vizualinio suvokimo ir ypač atpažinimo iš dešinės į kairę prasme!

Akivaizdu, kad tiesiogiai pakelti, pavyzdžiui, du laipsniu -3 arba keturių laipsnį -3/2, nėra taip didelė problema. Tiems, kurie žino.)

Bet eik, pavyzdžiui, iškart supranti tai

0,125 = 2 -3

Arba

Čia galioja tik praktika ir turtinga patirtis, taip. Ir, žinoma, aiškus vaizdas, Kas yra neigiamas ir trupmeninis rodiklis. Ir taip pat – praktiniai patarimai! Taip, taip, tie žalias.) Tikiuosi, kad jie vis dėlto padės jums geriau orientuotis visoje margoje laipsnių įvairovėje ir žymiai padidins jūsų sėkmės tikimybę! Taigi neapleiskime jų. Aš ne veltui žaliai Kartais rašau.)

Kita vertus, jei tapsite „tu“ net ir turėdami tokias egzotines galias kaip neigiamas ir trupmeninis, tuomet jūsų galimybės sprendžiant eksponenlines lygtis labai išsiplės ir jūs jau galėsite susidoroti su beveik bet kokio tipo eksponeninėmis lygtimis. Na, jei ne bet kokia, tai 80 procentų visų eksponentinių lygčių – tikrai! Taip, taip, aš nejuokauju!

Taigi, mūsų pirmoji pažinties su eksponentinėmis lygtimis dalis priėjo prie logiškos išvados. Ir kaip tarpinę treniruotę tradiciškai siūlau šiek tiek išspręsti savarankiškai.)

1 pratimas.

Kad mano žodžiai apie neigiamų ir trupmeninių laipsnių iššifravimą nebūtų veltui, siūlau žaisti nedidelį žaidimą!

Išreikškite skaičių kaip dviejų laipsnį:

Atsakymai (netvarkingai):

Įvyko? Puiku! Tada atliekame kovinę misiją – sprendžiame pačias paprasčiausias ir paprasčiausias eksponentines lygtis!

2 užduotis.

Išspręskite lygtis (visi atsakymai yra netvarka!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Atsakymai:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Įvyko? Tiesa, daug lengviau!

Tada išsprendžiame tokį žaidimą:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Atsakymai:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ir šie pavyzdžiai vieno liko? Puiku! Jūs augate! Tada čia yra dar keli pavyzdžiai, kuriais galite užkąsti:

Atsakymai:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ir ar tai nuspręsta? Na, pagarba! Nuimu kepurę.) Taigi pamoka nenuėjo veltui, o pradinį eksponentinių lygčių sprendimo lygį galima laikyti sėkmingai įvaldytu. Pirmyn – kiti lygiai ir sudėtingesnės lygtys! Ir naujos technikos bei požiūriai. Ir nestandartinių pavyzdžių. Ir naujų staigmenų.) Visa tai – kitoje pamokoje!

Kažkas neveikė? Taigi greičiausiai problemos yra . Arba į . Arba abu vienu metu. Čia aš bejėgis. Dar kartą galiu pasiūlyti tik viena – nepatingėkite ir pasivaikščiokite po nuorodas.)

Tęsinys.)

Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Galios arba eksponentinės lygtys- tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra, deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.

x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2

Toliau pateiktame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar aišku, kad pagrindai kairėje ir dešinėje yra vienodi ir lygūs trims, o tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai yra skirtingi du ir keturi. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus, matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas – iš skliaustų galime dėti 2 2x:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokite 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padaliname iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje aišku, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:

Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Atgal į kintamąjį x.

Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite skiltyje PADĖTI SPRENDIMS užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.

Prisijunkite prie grupės

Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ką eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Svarbu.

Štai kur tu eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

3 x 2 x = 8 x + 3

Pastaba! Laipsnių pagrindu (žemiau) - tik skaičiai. AT rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su x. Jei staiga lygtyje x atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:

tai bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su eksponentinių lygčių sprendimas gryniausia forma.

Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada yra aiškiai išspręstos. Tačiau yra tam tikrų tipų eksponentinių lygčių, kurias galima ir reikia išspręsti. Tai yra rūšys, kurias mes apžvelgsime.

Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pradėkime nuo kažko labai paprasto. Pavyzdžiui:

Net ir be jokios teorijos, paprastu pasirinkimu aišku, kad x = 2. Nieko daugiau, tiesa!? Jokių kitų x vertės ritinių. O dabar pažvelkime į šios sudėtingos eksponentinės lygties sprendimą:

Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tas pačias apatines (trigubas). Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikykite!

Iš tiesų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, šie skaičiai gali būti pašalinti ir lygūs eksponentams. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai gerai, tiesa?)

Tačiau prisiminkime ironiškai: pagrindus galite nuimti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:

2 x +2 x + 1 = 2 3 arba

Jūs negalite pašalinti dvigubų!

Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip atsikratyti blogio eksponentinės išraiškos prie paprastesnių lygčių.

– Štai tie laikai! - sakai tu. "Kas duos tokį primityvą ant kontrolinio ir egzaminų!?"

Priverstas sutikti. Niekas to nepadarys. Tačiau dabar žinote, kur kreiptis sprendžiant painius pavyzdžius. Būtina tai atsiminti, kai tas pats bazinis numeris yra kairėje - dešinėje. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Mes paimame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu mus protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.

Apsvarstykite pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad juos būtų galima padaryti paprasčiausius. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.

Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra veiksmai su galiomis. Nežinant apie šiuos veiksmus niekas neveiks.

Prie veiksmų su laipsniais reikia pridėti asmeninį stebėjimą ir išradingumą. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba užšifruota forma.

Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?

Pateiksime pavyzdį:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pirmas žvilgsnis į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau dar per anksti nusiminti. Laikas tai prisiminti

Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma užsirašyti:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jei prisiminsime formulę iš veiksmų su galiomis:

(a n) m = a nm ,

paprastai veikia puikiai:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Originalus pavyzdys atrodo taip:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Perkeliame 2 3 (x+1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos veiksmų!), gauname:

2 2 x \u003d 2 3 (x + 1)

Tai praktiškai viskas. Pagrindo pašalinimas:

Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname

Tai teisingas atsakymas.

Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuntoje – užšifruotas dvikovas. Ši technika (bendrų bazių kodavimas skirtingais skaičiais) yra labai populiarus eksponentinių lygčių triukas! Taip, net logaritmais. Skaičiuose reikia mokėti atpažinti kitų skaičių galias. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.

Faktas yra tai, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padauginkite, kad ir ant popieriaus lapo, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 pasirodys, jei žinote daugybos lentelę.) Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia kelti ne iki laipsnio, o atvirkščiai ... koks skaičius, kokiu mastu slepiasi už skaičiaus 243, arba, tarkim, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.

Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, taip... Ar pasitreniruosime?

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atsakymai (žinoma, netvarkoje!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jei atidžiai pažvelgsi, pamatysi keistas faktas. Atsakymų yra daugiau nei klausimų! Na, būna... Pavyzdžiui, 2 6 , 4 3 , 8 2 yra visi 64.

Tarkime, kad atkreipėte dėmesį į informaciją apie pažintį su skaičiais.) Leiskite jums priminti, kad spręsdami eksponentines lygtis taikome visas matematinių žinių fondą. Įskaitant iš žemesnių ir vidurinių klasių. Tu ne iškart į vidurinę mokyklą, ar ne?

Pavyzdžiui, sprendžiant eksponentines lygtis labai dažnai padeda bendrojo koeficiento dėjimas iš skliaustų (sveiki 7 klasei!). Pažiūrėkime pavyzdį:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ir vėl pirmas žvilgsnis – aikštelėje! Skirtingi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Ir mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras yra gana įgyvendinamas!) Nes:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Pagal tas pačias taisykles veiksmams su laipsniais:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Puiku, galite parašyti:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Taigi, kas toliau!? Trijų negalima išmesti ... Aklavietė?

Visai ne. Prisimenant universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę visi matematikos užduotys:

Jei nežinai, ką daryti, daryk, ką gali!

Pažiūrėk, viskas susiformuoja).

Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje gali daryti? Taip, kairėje pusėje tiesiogiai prašoma skliaustų! Bendras koeficientas 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!

Primename, kad norint pašalinti bazes, reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mus trikdo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:

Op-pa! Viskas buvo gerai!

Tai yra galutinis atsakymas.

Tačiau pasitaiko, kad išvažiuojama tuo pačiu pagrindu, tačiau jų likvidavimas – ne. Tai atsitinka kito tipo eksponentinėse lygtyse. Paimkime šį tipą.

Kintamojo keitimas sprendžiant eksponentines lygtis. Pavyzdžiai.

Išspręskime lygtį:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirma – kaip įprasta. Pereikime prie bazės. Į dvikovą.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Gauname lygtį:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ir čia mes pakabinsime. Ankstesnės gudrybės neveiks, kad ir kaip pasuktumėte. Turėsime gauti iš kito galingo ir universalaus būdo arsenalo. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.

Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju 2 x) rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui, t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Viskas tiesiog tampa aišku ir suprantama!

Taigi tegul

Tada 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Savo lygtyje visus laipsnius x pakeičiame t:

Na, išaušta?) Kvadratinės lygtys dar nepamiršai? Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:

Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia x, o ne t. Grįžtame prie Xs, t.y. darant pakaitalą. Pirmiausia t 1:

Tai yra,

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:

Hm... Kairė 2 x, dešinė 1... Kabliukas? Taip, visai ne! Pakanka prisiminti (iš veiksmų su laipsniais, taip ...), kad vienybė yra bet koks skaičių iki nulio. Bet koks. Ko jums reikės, mes įdėsime. Mums reikia dviejų. Priemonės:

Dabar viskas. Turi 2 šaknis:

Tai yra atsakymas.

At sprendžiant eksponentines lygtis pabaigoje kartais gaunama kokia nors nepatogi išraiška. Tipas:

Nuo septyneto dvivietis per paprastą laipsnį neveikia. Jie nėra giminaičiai... Kaip aš galiu čia būti? Kažkas gali būti sumišęs ... Bet asmuo, kuris perskaitė šioje svetainėje temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypsok ir tvirta ranka užsirašyk visiškai teisingą atsakymą:

Egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Reikalingas konkretus skaičius. Bet užduotyse „C“ – lengvai.

Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Išskirkime pagrindinį.

Praktiniai patarimai:

1. Pirmiausia žiūrime pagrindu laipsnių. Pažiūrėkime, ar jų nepavyks padaryti tas pats. Pabandykime tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su galiomis. Nepamirškite, kad skaičius be x taip pat gali būti paverstas laipsniais!

2. Bandome įvesti eksponentinę lygtį į formą, kai kairė ir dešinė yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu. Mes naudojame veiksmai su galiomis ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais – skaičiuojame.

3. Jei antrasis patarimas nepasiteisino, bandome taikyti kintamąjį pakeitimą. Rezultatas gali būti lengvai išsprendžiama lygtis. Dažniausiai – kvadratas. Arba trupmena, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.

4. Norint sėkmingai išspręsti eksponenlines lygtis, reikia žinoti kai kurių skaičių laipsnius „iš akies“.

Kaip įprasta, pamokos pabaigoje kviečiama šiek tiek išspręsti.) Savarankiškai. Nuo paprasto iki sudėtingo.

Išspręskite eksponentines lygtis:

Sunkiau:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Raskite šaknų produktą:

2 3-x + 2 x = 9

Įvyko?

Na, tada pats sudėtingiausias pavyzdys (vis dėlto jis išspręstas mintyse ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kas įdomiau? Tada čia jums blogas pavyzdys. Gana traukiant padidintą sunkumą. Užsiminsiu, kad šiame pavyzdyje išradingumo ir labiausiai universali taisyklė visos matematikos problemos.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Paprastesnis pavyzdys, skirtas atsipalaiduoti):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Taip taip! Tai mišraus tipo lygtis! Į ką šioje pamokoje nesvarstėme. Ir ką jas laikyti, jas reikia išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia išradingumo... Ir taip, septinta klasė jums padės (tai užuomina!).

Atsakymai (netvarkingi, atskirti kabliataškiais):

vienas; 2; 3; keturi; nėra sprendimų; 2; -2; -5; keturi; 0.

Ar viskas pasisekė? Puikiai.

Yra problema? Jokiu problemu! Specialiajame 555 skyriuje visos šios eksponentinės lygtys išspręstos su išsamiais paaiškinimais. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visomis eksponentinėmis lygtimis. Ne tik su šiais.)

Paskutinis įdomus klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.