Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: žinių apie įvairiais būdais logaritminių lygčių sprendimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

ugdyti: ugdyti gebėjimus stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti; savitarpio kontrolės ir savikontrolės įgūdžių ugdymas;

ugdomasis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, dėmesingą pamokos medžiagos suvokimą, kruopštų užrašymą.

Pamokos tipas: pamoka apie naujos medžiagos įvedimą.

„Logaritmų išradimas, nors ir sumažino astronomo darbą, prailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant vienodus algoritmus. Šiandienos pamokoje apžvelgsime šiuos algoritmus. Jų nėra daug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Informacinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Išspręsi kiekvieną užduotį ir užrašai atsakymą; sąlygos rašyti nereikia. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

5) Apskaičiuokite:

6) Pabandykite atkurti arba papildyti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas toks teiginys:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atveria visus matematinius sezamus."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kowal

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu).

Pasvarstykime Paprasčiausia logaritminė lygtis:žurnalasAx = b(kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija rinkinyje didėja (arba mažėja). teigiami skaičiai ir ima visas realias reikšmes, tada pagal šaknies teoremą išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi ir tik vieną sprendimą ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas bazei a yra galios, iki kurios reikia pakelti bazę a, rodiklis, norint gauti skaičių x). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kad AV yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą: Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą.

Taip išsprendžiamos paprasčiausios formos lygtys.

Pasvarstykime Nr. 514(a)): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą)

Sprendimas. , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes > 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų ir nereikia tikrinti. Šioje užduotyje sąlygos 2x - 4 > 0 išrašyti nereikia.

2. Potencija(perėjimas nuo nurodytos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

Pasvarstykime Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Kokią savybę pastebėjote? (Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi.) Ką galima padaryti? (Potencializuoti).

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritminės išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X2+8>0 yra nereikalinga nelygybė

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Sustiprinkime pradinę lygtį

gauname lygtį x2+8= 8x+8

Išspręskime: x2-8x=0

Atsakymas: 0; 8

IN bendras vaizdas pereiti prie lygiavertės sistemos:

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – į vieną iš nelygybių nereikia atsižvelgti).

Klausimas klasei: Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas.

Pasvarstykime Nr. 520 (g). .

Ką pastebėjai? (Šį kvadratinė lygtis apie log3x) Jūsų pasiūlymai? (Įveskite naują kintamąjį)

Sprendimas. ODZ: x > 0.

Leiskite , tada lygtis įgauna tokią formą:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžkime prie pakeitimo: arba.

Išsprendę paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

Atsakymas: 27;

4. Logaritmas abi lygties puses.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas: ODZ: x>0, paimkite abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

Taikykime laipsnio logaritmo savybę:

(logx + 3) logx = 4

Tegul logx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; lgx = 1, .

Atsakymas: 0,0001; 10.

5. Sumažinimas iki vieno pagrindo.

Nr.523(c). Išspręskite lygtį:

Sprendimas: ODZ: x>0. Pereikime prie 3 bazės.

6. Funkcinis-grafinis metodas.

№ 509 d. Išspręskite lygtį grafiškai: = 3 - x.

Kaip siūlote spręsti? (Naudodami taškus sudarykite dviejų funkcijų y = log2x ir y = 3 - x grafikus ir ieškokite grafikų susikirtimo taškų abscisių).

Pažiūrėkite į savo sprendimą skaidrėje.

Yra būdas išvengti grafikų sudarymo . Tai yra taip : jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja, o kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)= g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X.

Jei yra šaknis, tai galima atspėti.

Mūsų atveju funkcija didėja, kai x>0, o funkcija y = 3 - x mažėja visoms x reikšmėms, įskaitant ir x>0, o tai reiškia, kad lygtis turi ne daugiau kaip vieną šaknį. Atkreipkite dėmesį, kad esant x = 2 lygtis virsta tikra lygybe, nes .

„Teisingai taikyti metodus galima išmokti
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams“.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

ašV. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, išspręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus apžvelgėme klasėje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, bus naudingi tiriami metodai.

Paskutinė parodyta skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausia?
Laikas.
Kokia geriausia dalis?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Linkiu kiekvienam pasiekti tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Logaritminė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis (x) ir išraiškos su juo yra po logaritminės funkcijos ženklu. Sprendžiant logaritmines lygtis daroma prielaida, kad jau esate susipažinę su ir .
Kaip išspręsti logaritmines lygtis?

Paprasčiausia lygtis yra log a x = b, kur a ir b yra kai kurie skaičiai, x yra nežinomas.
Logaritminės lygties sprendimas yra x = a b, jei: a > 0, a 1.

Pažymėtina, kad jei x yra kažkur už logaritmo ribų, pavyzdžiui, log 2 x = x-2, tai tokia lygtis jau vadinama mišria ir jai išspręsti reikia specialaus požiūrio.

Idealus atvejis yra tada, kai susiduriate su lygtimi, kurioje po logaritmo ženklu yra tik skaičiai, pavyzdžiui, x+2 = log 2 2. Čia pakanka žinoti logaritmų savybes, kad ją išspręstumėte. Tačiau tokia sėkmė nepasitaiko dažnai, todėl ruoškitės sunkesniems dalykams.

Bet pirmiausia pradėkime nuo paprastos lygtys. Norint juos išspręsti, patartina turėti labai bendrą logaritmo supratimą.

Paprastų logaritminių lygčių sprendimas

Tai apima log 2 x = log 2 16 tipo lygtis. Plika akimi matosi, kad praleidę logaritmo ženklą gauname x = 16.

Norint išspręsti sudėtingesnę logaritminę lygtį, ji paprastai redukuojama iki įprastos algebrinės lygties arba iki paprastos logaritminės lygties log a x = b. Paprasčiausiose lygtyse tai vyksta vienu judesiu, todėl jos vadinamos paprasčiausiomis.

Aukščiau pateiktas logaritmų atsisakymo būdas yra vienas iš pagrindinių logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimo būdų. Matematikoje ši operacija vadinama potenciacija. Šio tipo operacijoms taikomos tam tikros taisyklės arba apribojimai:

• logaritmai turi tas pačias skaitines bazes
• Abiejose lygties pusėse esantys logaritmai yra laisvieji, t.y. be jokių koeficientų ar kitų įvairių išraiškų.

Tarkime, lygtyje log 2 x = 2log 2 (1 - x) potencija netaikoma – koeficientas 2 dešinėje to neleidžia. Toliau pateiktame pavyzdyje log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) taip pat neatitinka vieno iš apribojimų – kairėje yra du logaritmai. Jei būtų tik vienas, tai būtų visai kitas reikalas!

Paprastai logaritmus galite pašalinti tik tuo atveju, jei lygtis turi tokią formą:

log a (...) = log a (...)

Skliausteliuose galima dėti absoliučiai bet kokias išraiškas; tai neturi jokios įtakos stiprinimo operacijai. O panaikinus logaritmus, liks paprastesnė lygtis - tiesinė, kvadratinė, eksponentinė ir pan., kurią, tikiuosi, jau žinote kaip išspręsti.

Paimkime kitą pavyzdį:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Pritaikome potenciją, gauname:

3 žurnalas (2x-1) = 2

Remiantis logaritmo apibrėžimu, būtent, kad logaritmas yra skaičius, iki kurio turi būti pakelta bazė, norint gauti išraišką, kuri yra po logaritmo ženklu, t.y. (4x-1), gauname:

Vėl gavome gražų atsakymą. Čia mes padarėme nepašalindami logaritmų, tačiau čia taip pat taikomas potenciavimas, nes logaritmą galima sudaryti iš bet kokio skaičiaus ir būtent tokio, kokio mums reikia. Šis metodas labai padeda sprendžiant logaritmines lygtis ir ypač nelygybes.

Išspręskime logaritminę lygtį log 3 (2x-1) = 2 naudodami potenciaciją:

Įsivaizduokime skaičių 2 kaip logaritmą, pavyzdžiui, šį log 3 9, nes 3 2 =9.

Tada log 3 (2x-1) = log 3 9 ir vėl gauname tą pačią lygtį 2x-1 = 9. Tikiuosi, kad viskas aišku.

Taigi mes pažvelgėme į tai, kaip išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis, kurios iš tikrųjų yra labai svarbios, nes sprendžiant logaritmines lygtis, net ir pačios baisiausios ir iškreiptos, galiausiai visada tenka išspręsti paprasčiausias lygtis.

Viską, ką darėme aukščiau, labai praleidome vieną svarbus punktas, kuri ateityje vaidins lemiamą vaidmenį. Faktas yra tas, kad bet kurios logaritminės lygties, net ir pačios elementariausios, sprendimas susideda iš dviejų lygių dalių. Pirmasis yra pačios lygties sprendimas, antrasis - darbas su leistinų verčių diapazonu (APV). Tai yra būtent pirmoji mūsų įvaldyta dalis. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose ODZ neturi jokios įtakos atsakymui, todėl mes to nesvarstėme.

Paimkime kitą pavyzdį:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Išoriškai ši lygtis niekuo nesiskiria nuo elementariosios, kurią galima labai sėkmingai išspręsti. Tačiau taip nėra. Ne, žinoma, išspręsime, bet greičiausiai neteisingai, nes joje yra nedidelė pasala, į kurią iškart patenka ir C klasės mokiniai, ir puikūs mokiniai. Pažiūrėkime atidžiau.

Tarkime, kad reikia rasti lygties šaknį arba šaknų sumą, jei jų yra keletas:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Mes naudojame potenciją, čia tai priimtina. Dėl to gauname įprastą kvadratinę lygtį.

Raskite lygties šaknis:

Paaiškėjo, kad dvi šaknys.

Atsakymas: 3 ir -1

Iš pirmo žvilgsnio viskas teisinga. Bet patikrinkime rezultatą ir pakeiskime jį pradine lygtimi.

Pradėkime nuo x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Patikrinimas buvo sėkmingas, dabar eilė yra x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Gerai, sustok! Iš išorės viskas tobula. Vienas dalykas – nėra logaritmų iš neigiamų skaičių! Tai reiškia, kad šaknis x = -1 netinka mūsų lygčiai išspręsti. Ir todėl teisingas atsakymas bus 3, o ne 2, kaip rašėme.

Čia ODZ atliko savo lemtingą vaidmenį, kurį mes pamiršome.

Leiskite jums priminti, kad priimtinų reikšmių diapazonas apima tas x reikšmes, kurios yra leidžiamos arba prasmingos pradiniam pavyzdžiui.

Be ODZ bet koks, net ir visiškai teisingas, bet kokios lygties sprendimas virsta loterija – 50/50.

Kaip galėtume sugauti sprendžiant iš pažiūros elementarų pavyzdį? Bet būtent stiprinimo momentu. Dingo logaritmai, o kartu su jais ir visi apribojimai.

Ką tokiu atveju daryti? Atsisakyti panaikinti logaritmus? Ir visiškai atsisakyti išspręsti šią lygtį?

Ne, mes tiesiog, kaip tikri herojai iš vienos žinomos dainos, apsuksime aplinkkelį!

Prieš pradėdami spręsti bet kokią logaritminę lygtį, užrašysime ODZ. Bet po to su mūsų lygtimi galite daryti ką tik širdis geidžia. Gavę atsakymą, mes tiesiog išmetame tas šaknis, kurios nėra įtrauktos į mūsų ODZ, ir užrašome galutinę versiją.

Dabar nuspręskime, kaip įrašyti ODZ. Norėdami tai padaryti, atidžiai išnagrinėjame pradinę lygtį ir ieškome joje įtartinų vietų, tokių kaip padalijimas iš x, lyginė šaknis ir pan. Kol neišsprendėme lygties, nežinome, kam x yra lygus, bet tikrai žinome, kad yra x, kuriuos pakeitus bus dalijimas iš 0 arba išskyrimas kvadratinė šaknis iš neigiamas skaičius, akivaizdžiai netinka kaip atsakymas. Todėl tokie x yra nepriimtini, o likusi dalis sudarys ODZ.

Dar kartą panaudokime tą pačią lygtį:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Kaip matote, nėra padalijimo iš 0, kvadratinės šaknys taip pat ne, bet logaritmo pagrinde yra išraiškų su x. Iš karto prisiminkime, kad išraiška logaritmo viduje visada turi būti >0. Šią sąlygą rašome ODZ forma:

Tie. Dar nieko neišsprendėme, bet jau užsirašėme privalomą sąlygą visai sublogaritminei išraiškai. Garbanotas petnešos reiškia, kad šios sąlygos turi būti teisingos vienu metu.

ODZ užrašytas, bet reikia išspręsti ir susidariusią nelygybių sistemą, ką mes ir padarysime. Gauname atsakymą x > v3. Dabar mes tikrai žinome, kuris x mums netiks. Ir tada mes pradedame spręsti pačią logaritminę lygtį, ką mes padarėme aukščiau.

Gavus atsakymus x 1 = 3 ir x 2 = -1, nesunku pastebėti, kad mums tinka tik x1 = 3, ir jį užrašome kaip galutinį atsakymą.

Ateityje labai svarbu atsiminti: bet kurią logaritminę lygtį sprendžiame 2 etapais. Pirmasis – išspręsti pačią lygtį, antrasis – išspręsti ODZ sąlygą. Abu etapai atliekami nepriklausomai vienas nuo kito ir lyginami tik rašant atsakymą, t.y. išmeskite viską, kas nereikalinga, ir užrašykite teisingą atsakymą.

Norėdami sustiprinti medžiagą, primygtinai rekomenduojame žiūrėti vaizdo įrašą:

Vaizdo įraše rodomi kiti žurnalo sprendimo pavyzdžiai. lygtis ir intervalo metodo parengimas praktikoje.

Į šį klausimą, kaip išspręsti logaritmines lygtis Tai kol kas viskas. Jei ką nors nusprendžia žurnalas. lygtys lieka neaiškios ar nesuprantamos, rašykite savo klausimus komentaruose.

Pastaba: Socialinio ugdymo akademija (ASE) pasiruošusi priimti naujus studentus.

Logaritminių lygčių sprendimas. 1 dalis.

Logaritminė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po logaritmo ženklu (ypač logaritmo pagrindu).

Paprasčiausias logaritminė lygtis turi formą:

Bet kurios logaritminės lygties sprendimas apima perėjimą nuo logaritmų prie išraiškų logaritmų ženklu. Tačiau šis veiksmas išplečia leistinų lygties verčių diapazoną ir gali sukelti pašalinių šaknų atsiradimą. Kad neatsirastų svetimų šaknų, galite tai padaryti vienu iš trijų būdų:

1. Atlikite lygiavertį perėjimą nuo pradinės lygties iki sistemos, apimančios

priklausomai nuo to, kuri nelygybė ar paprastesnė.

Jei lygtyje yra nežinomasis logaritmo bazėje:

tada einame į sistemą:

2. Atskirai raskite priimtinų lygties verčių diapazoną, tada išspręskite lygtį ir patikrinkite, ar rasti sprendiniai atitinka lygtį.

3. Išspręskite lygtį ir tada patikrinti: rastus sprendinius pakeiskite į pradinę lygtį ir patikrinkite, ar gauname teisingą lygybę.

Bet kokio sudėtingumo logaritminė lygtis galiausiai visada redukuojama iki paprasčiausios logaritminės lygties.

Visas logaritmines lygtis galima suskirstyti į keturis tipus:

1 . Lygtys, kuriose yra logaritmų tik iki pirmos laipsnio. Transformacijų ir panaudojimo pagalba jie įvedami į formą

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Sulyginkime po logaritmo ženklu esančias išraiškas:

Patikrinkime, ar mūsų lygties šaknis tenkina:

Taip, tai tenkina.

Atsakymas: x=5

2 . Lygtys, kuriose yra logaritmų laipsniams, išskyrus 1 (ypač trupmenos vardiklyje). Tokias lygtis galima išspręsti naudojant įvedant kintamojo pakeitimą.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Raskime ODZ lygtį:

Lygtyje yra logaritmų kvadratas, todėl ją galima išspręsti pakeitus kintamąjį.

Svarbu! Prieš įvesdami pakeitimą, turite „išskirti“ logaritmus, kurie yra lygties dalis, į „plytas“, naudodami logaritmų savybes.

„Ištraukiant“ logaritmus, svarbu labai atsargiai naudoti logaritmų savybes:

Be to, čia yra dar vienas subtilus taškas, o norėdami išvengti dažnos klaidos, naudosime tarpinę lygybę: logaritmo laipsnį parašysime tokia forma:

Taip pat,

Pakeiskime gautas išraiškas į pradinę lygtį. Mes gauname:

Dabar matome, kad nežinomasis yra lygtyje kaip dalis . Pristatome pakaitalą: . Kadangi jis gali turėti bet kokią realią reikšmę, kintamajam netaikome jokių apribojimų.

Logaritminės lygtys. Mes ir toliau svarstome Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždavinius. Kai kurių lygčių sprendimus jau išnagrinėjome straipsniuose „“, „“. Šiame straipsnyje apžvelgsime logaritmines lygtis. Iš karto pasakysiu, kad sprendžiant tokias lygtis vieningo valstybinio egzamino metu nebus jokių sudėtingų transformacijų. Jie yra paprasti.

Pakanka žinoti ir suprasti pagrindinį logaritminį tapatumą, žinoti logaritmo savybes. Atkreipkite dėmesį, kad ją išsprendę PRIVALOTE atlikti patikrinimą – gautą reikšmę pakeiskite į pradinę lygtį ir apskaičiuokite, galų gale turėtumėte gauti teisingą lygybę.

Apibrėžimas:

Skaičiaus logaritmas iki bazės b yra eksponentas.į kurią b turi būti pakeltas norint gauti a.

Pavyzdžiui:

Log 3 9 = 2, nes 3 2 = 9

Logaritmų savybės:

Ypatingi logaritmų atvejai:

Išspręskime problemas. Pirmajame pavyzdyje atliksime patikrinimą. Ateityje patikrinkite patys.

Raskite lygties šaknį: log 3 (4–x) = 4

Kadangi log b a = x b x = a, tai

3 4 = 4 – x

x = 4–81

x = – 77

Egzaminas:

3 žurnalas (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Teisingai.

Atsakymas: 77

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 2 (4 – x) = 7

Raskite lygties log 5 šaknį(4 + x) = 2

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę.

Kadangi log a b = x b x = a, tai

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x = 21

Egzaminas:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Teisingai.

Atsakymas: 21

Raskite lygties šaknį log 3 (14 – x) = log 3 5.

Vyksta tokia savybė, jos reikšmė tokia: jei kairėje ir dešinėje lygties pusėse turime logaritmus su ta pačia baze, tai po logaritmų ženklus galime sutapatinti išraiškas.

14 – x = 5

x=9

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 9

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį log 5 (5 – x) = log 5 3.

Raskite lygties šaknį: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jei log c a = log c b, tai a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6

Raskite lygties log 1/8 (13 – x) = – 2 šaknį.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13–64

x = – 51

Atlikite patikrinimą.

Nedidelis papildymas – turtas čia naudojamas

laipsnių ().

Atsakymas: 51

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 1/7 (7 – x) = – 2

Raskite lygties šaknį log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Paverskime dešinę pusę. Naudokimės turtu:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jei log c a = log c b, tai a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 21

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Išspręskite lygtį log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jei log c a = log c b, tai a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 2,75

Spręskite patys:

Raskite lygties log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) šaknį.

Išspręskite lygtį log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Būtina gauti formos išraišką dešinėje lygties pusėje:

2 žurnalas (......)

Mes atstovaujame 1 kaip bazinį 2 logaritmą:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x) + 2 log 2

Mes gauname:

2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x)

Jei log c a = log c b, tai a = b, tada

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 0,4

Spręskite patys: Toliau reikia išspręsti kvadratinę lygtį. Beje,

šaknys yra 6 ir – 4.

Šaknis "-4" nėra sprendimas, nes logaritmo bazė turi būti didesnė už nulį, o su "– 4" tai lygu " – 5" Sprendimas yra 6 šaknis.Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6.

R valgyti savarankiškai:

Išspręskite lygtį log x –5 49 = 2. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite mažesne.

Kaip matėte, jokių sudėtingų transformacijų su logaritminėmis lygtimisNr. Pakanka žinoti logaritmo savybes ir mokėti jas taikyti. Vieningo valstybinio egzamino problemos, susijusios su transformacija logaritmines išraiškas, atliekamos rimtesnės transformacijos ir reikalingi gilesni sprendimo įgūdžiai. Mes pažvelgsime į tokius pavyzdžius, nepraleiskite jų!Linkiu sėkmės!!!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.