हाई स्कूल के छात्रों और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों द्वारा इस प्रश्न का आसानी से उत्तर देने की संभावना है। लेकिन जो लोग पेशे से इससे दूर हैं उनके लिए यह और भी मुश्किल होगा। यह वास्तव में क्या है?

सार और पदनाम

परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस सेट में सकारात्मक, नकारात्मक, साथ ही शून्य भी शामिल हैं। भिन्न का अंश एक पूर्णांक होना चाहिए, और हर का होना चाहिए

इस समुच्चय को गणित में Q के रूप में निरूपित किया जाता है और इसे "फ़ील्ड" कहा जाता है परिमेय संख्या"। इसमें सभी पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं, जिन्हें क्रमशः जेड और एन के रूप में दर्शाया गया है। सेट क्यू स्वयं सेट आर में शामिल है। यह वह अक्षर है जो तथाकथित वास्तविक या

प्रदर्शन

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, परिमेय संख्याएँ एक समुच्चय है जिसमें सभी पूर्णांक और भिन्नात्मक मान शामिल होते हैं। उन्हें प्रस्तुत किया जा सकता है अलग - अलग रूप. सबसे पहले, एक साधारण अंश के रूप में: 5/7, 1/5, 11/15, आदि। बेशक, पूर्णांक भी इसी रूप में लिखे जा सकते हैं: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, आदि। दूसरे, एक अन्य प्रकार का प्रतिनिधित्व है दशमलवअंतिम भिन्नात्मक भाग के साथ: 0.01, -15.001006, आदि। यह शायद सबसे सामान्य रूपों में से एक है।

लेकिन एक तीसरा भी है - आवधिक अंश। यह प्रकार बहुत आम नहीं है, लेकिन फिर भी इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 10/3 को 3.33333... या 3,(3) के रूप में लिखा जा सकता है। इस मामले में, अलग-अलग अभ्यावेदन को समान संख्या माना जाएगा। समान भिन्नों को भी कहा जाएगा, उदाहरण के लिए, 3/5 और 6/10। ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट हो गया है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। लेकिन उनके लिए इस शब्द का प्रयोग क्यों किया जाता है?

नाम की उत्पत्ति

आधुनिक रूसी में "तर्कसंगत" शब्द का आम तौर पर थोड़ा अलग अर्थ होता है। यह बल्कि "उचित", "माना जाता है" है। लेकिन गणितीय शब्द इसके प्रत्यक्ष अर्थ के करीब हैं। लैटिन में, "अनुपात" "अनुपात", "अंश" या "विभाजन" है। इस प्रकार, नाम इस बात का सार दर्शाता है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। हालांकि, दूसरा अर्थ

सच्चाई से दूर नहीं।

उनके साथ कार्रवाई

गणितीय समस्याओं को हल करते समय, हम स्वयं को जाने बिना परिमेय संख्याओं का लगातार सामना करते हैं। और उनके पास कई दिलचस्प गुण हैं। वे सभी या तो समुच्चय की परिभाषा से या क्रियाओं से अनुसरण करते हैं।

सबसे पहले, परिमेय संख्याओं में क्रम संबंध गुण होते हैं। इसका मतलब है कि दो संख्याओं के बीच केवल एक अनुपात मौजूद हो सकता है - वे या तो एक दूसरे के बराबर हैं, या एक दूसरे से बड़ा या छोटा है। अर्थात।:

या ए = बीया ए> बीया एक< b.

इसके अलावा, यह संपत्ति संबंध की पारगमनशीलता को भी दर्शाती है। यानी अगर एकअधिक बी, बीअधिक सी, फिर एकअधिक सी. गणित की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

(ए> बी) ^ (बी> सी) => (ए> सी)।

दूसरे, परिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ हैं, जो कि जोड़, घटाव, भाग और निश्चित रूप से गुणा हैं। इसी समय, परिवर्तनों की प्रक्रिया में कई गुणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

• ए + बी = बी + ए (शब्दों का प्रतिस्थापन, कम्यूटेटिविटी);
• 0 + ए = ए + 0;
• (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (सहयोगिता);
• ए + (-ए) = 0;
• एबी = बीए;
• (एबी) सी = ए (बीसी) (वितरण);
• ए एक्स 1 = 1 एक्स ए = ए;
• ए एक्स (1 / ए) = 1 (इस मामले में, ए 0 के बराबर नहीं है);
• (ए + बी) सी = एसी + एबी;
• (ए > बी) ^ (सी > 0) => (एसी> बीसी)।

जब सामान्य, और नहीं या पूर्ण संख्याओं की बात आती है, तो उनके साथ संचालन कुछ कठिनाइयों का कारण बन सकता है। इसलिए, जोड़ और घटाव तभी संभव है जब हर बराबर हों। यदि वे शुरू में भिन्न हैं, तो आपको कुछ संख्याओं से संपूर्ण भिन्न के गुणन का उपयोग करके एक सामान्य खोजना चाहिए। तुलना भी अक्सर तभी संभव होती है जब यह शर्त पूरी हो।

साधारण अंशों का विभाजन और गुणन पर्याप्त के अनुसार किया जाता है सरल नियम. एक सामान्य भाजक को कम करना आवश्यक नहीं है। अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा किया जाता है, जबकि क्रिया करने की प्रक्रिया में, यदि संभव हो तो, अंश को जितना संभव हो उतना कम और सरल किया जाना चाहिए।

विभाजन के लिए, यह क्रिया थोड़े अंतर के साथ पहले के समान है। दूसरी भिन्न के लिए, आपको व्युत्क्रम ज्ञात करना चाहिए, अर्थात्,

"पलट दो। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत।

अंत में, परिमेय संख्याओं में निहित एक अन्य गुण को आर्किमिडीज का अभिगृहीत कहा जाता है। शब्द "सिद्धांत" भी अक्सर साहित्य में पाया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट के लिए मान्य है, लेकिन हर जगह नहीं। इस प्रकार, यह सिद्धांत तर्कसंगत कार्यों के कुछ संग्रह के लिए काम नहीं करता है। संक्षेप में, इस स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि दो मात्राओं a और b के अस्तित्व को देखते हुए, आप हमेशा b को पार करने के लिए पर्याप्त a ले सकते हैं।

आवेदन क्षेत्र

इसलिए, उन लोगों के लिए जिन्होंने सीखा या याद किया है कि तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं, यह स्पष्ट हो जाता है कि उनका उपयोग हर जगह किया जाता है: लेखांकन, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकी, रसायन शास्त्र और अन्य विज्ञानों में। स्वाभाविक रूप से, उनका गणित में भी स्थान है। हमेशा यह नहीं जानते कि हम उनके साथ काम कर रहे हैं, हम लगातार परिमेय संख्याओं का उपयोग करते हैं। यहां तक ​​कि छोटे बच्चे भी वस्तुओं को गिनना सीखते हैं, एक सेब को टुकड़ों में काटते हैं या अन्य सरल क्रियाएं करते हैं, उनका सामना होता है। वे सचमुच हमें घेर लेते हैं। और फिर भी, कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वे पर्याप्त नहीं हैं, विशेष रूप से, पाइथागोरस प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके, कोई भी अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता को समझ सकता है।

परिमेय संख्याओं का विषय काफी व्यापक है। आप इसके बारे में अंतहीन बात कर सकते हैं और हर बार नए चिप्स से आश्चर्यचकित होकर पूरी रचनाएँ लिख सकते हैं।

भविष्य में गलतियों से बचने के लिए, इस पाठ में हम परिमेय संख्याओं के विषय में थोड़ा तल्लीन करेंगे, इससे आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे और आगे बढ़ेंगे।

पाठ सामग्री

एक परिमेय संख्या क्या है

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ एक -एक भिन्न का अंश है बीभिन्न का भाजक है। और बीशून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।

परिमेय संख्याओं में संख्याओं की निम्नलिखित श्रेणियां शामिल हैं:

• पूर्णांक (उदाहरण के लिए -2, -1, 0 1, 2, आदि)

• दशमलव अंश (उदाहरण के लिए 0.2 आदि)

• अनंत आवर्त भिन्न (उदाहरण के लिए, 0, (3), आदि)

इस श्रेणी की प्रत्येक संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 1पूर्णांक 2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। तो संख्या 2 न केवल पूर्णांकों पर लागू होती है, बल्कि परिमेय संख्याओं पर भी लागू होती है।

उदाहरण 2मिश्रित संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है।

माध्यम मिश्रित संख्यातर्कसंगत संख्याओं को संदर्भित करता है।

उदाहरण 3दशमलव 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न दशमलव भिन्न 0.2 को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त किया गया था। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि दशमलव भिन्न 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह परिमेय संख्याओं पर भी लागू होता है।

उदाहरण 4अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न एक शुद्ध आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह भी परिमेय संख्याओं से संबंधित है।

भविष्य में, सभी संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, हम उत्तरोत्तर एक वाक्यांश कहेंगे - परिमेय संख्या.

निर्देशांक रेखा पर परिमेय संख्याएं

जब हमने ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन किया तो हमने निर्देशांक रेखा पर विचार किया। याद रखें कि यह एक सीधी रेखा है जिस पर कई बिंदु स्थित हैं। निम्नलिखित नुसार:

यह आंकड़ा -5 से 5 तक समन्वय रेखा का एक छोटा सा टुकड़ा दिखाता है।

निर्देशांक रेखा पर प्रपत्र 2, 0, -3 के पूर्णांकों को अंकित करना कठिन नहीं है।

अधिकता और भी दिलचस्प बातेंस्थिति शेष संख्याओं के साथ है: साधारण भिन्नों, मिश्रित संख्याओं, दशमलव भिन्नों आदि के साथ। ये संख्याएँ पूर्णांकों के बीच स्थित होती हैं और इनमें से अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह संख्या बिल्कुल शून्य और एक के बीच है।

आइए यह समझने की कोशिश करें कि भिन्न अचानक शून्य और एक के बीच क्यों स्थित होता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूर्णांकों के बीच अन्य संख्याएँ होती हैं - साधारण भिन्न, दशमलव भिन्न, मिश्रित संख्याएँ, आदि। उदाहरण के लिए, यदि आप निर्देशांक रेखा के खंड को 0 से बढ़ाकर 1 कर देते हैं, तो आप निम्न चित्र देख सकते हैं

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 0 और 1 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 0.5 के समान स्थान पर स्थित होता है। इस आकृति की सावधानीपूर्वक जांच करने से इस प्रश्न का उत्तर मिलता है कि भिन्न ठीक वहीं स्थित क्यों है।

भिन्न का अर्थ है 1 को 2 से भाग देना। और यदि हम 1 को 2 से भाग दें, तो हमें 0.5 . प्राप्त होता है

दशमलव अंश 0.5 को अन्य भिन्नों के रूप में प्रच्छन्न किया जा सकता है। किसी भिन्न के मूल गुण से हम जानते हैं कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को किसी संख्या से गुणा किया जाए, उदाहरण के लिए संख्या 4 से, तो हमें एक नई भिन्न प्राप्त होती है, और यह भिन्न भी 0.5 के बराबर होती है।

इसका मतलब यह है कि समन्वय रेखा पर, अंश उसी स्थान पर स्थित हो सकता है जहां अंश स्थित था

उदाहरण 2आइए निर्देशांक पर एक परिमेय संख्या अंकित करने का प्रयास करें। यह संख्या 1 और 2 . के ठीक बीच में स्थित है

भिन्न का मान 1.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 1 से बढ़ाकर 2 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 1 और 2 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 1.5 के समान स्थान पर स्थित होता है।

इस खंड पर शेष संख्याओं को देखने के लिए हमने समन्वय रेखा पर कुछ खंडों को बढ़ाया है। नतीजतन, हमें दशमलव अंश मिले जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक था।

लेकिन इन खंडों पर पड़े ये एकमात्र नंबर नहीं थे। निर्देशांक रेखा पर अपरिमित रूप से बहुत सी संख्याएँ होती हैं।

यह अनुमान लगाना आसान है कि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक वाले दशमलव अंशों के बीच पहले से ही अन्य दशमलव अंश हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं। दूसरे शब्दों में, एक खंड का सौवां हिस्सा।

उदाहरण के लिए, आइए उन संख्याओं को देखने का प्रयास करें जो दशमलव भिन्नों 0.1 और 0.2 . के बीच स्थित हैं

एक और उदाहरण। दशमलव बिंदु के बाद दो अंक वाले और शून्य और परिमेय संख्या 0.1 के बीच स्थित दशमलव इस तरह दिखते हैं:

उदाहरण 3हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या शून्य के बहुत करीब होगी।

भिन्न का मान 0.02 . है

यदि हम खंड को 0 से बढ़ाकर 0.1 कर दें, तो हम देखेंगे कि वास्तव में परिमेय संख्या कहाँ स्थित है

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 0.02 के स्थान पर स्थित है।

उदाहरण 4आइए निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या 0 अंकित करें, (3)

परिमेय संख्या 0, (3) एक अनंत आवर्त भिन्न है। इसका भिन्नात्मक भाग कभी समाप्त नहीं होता, यह अनंत है

और चूंकि संख्या 0, (3) में एक अनंत भिन्नात्मक भाग होता है, इसका मतलब है कि हम निर्देशांक रेखा पर सटीक स्थान नहीं खोज पाएंगे जहाँ यह संख्या स्थित है। हम केवल इस स्थान को लगभग इंगित कर सकते हैं।

परिमेय संख्या 0.33333... सामान्य दशमलव 0.3 . के बहुत करीब होगी

यह आंकड़ा 0,(3) की सही स्थिति नहीं दिखाता है। यह केवल एक उदाहरण है जो दर्शाता है कि आवधिक भिन्न 0.(3) नियमित दशमलव 0.3 के कितना करीब हो सकता है।

उदाहरण 5हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या 2 और 3 . के मध्य में स्थित होगी

यह 2 (दो पूर्णांक) और (एक सेकंड) है। एक अंश को "आधा" भी कहा जाता है। इसलिए, हमने समन्वय रेखा पर दो पूरे खंड और खंड के दूसरे आधे हिस्से को चिह्नित किया।

यदि हम एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, तो हमें एक साधारण भिन्न प्राप्त होती है। निर्देशांक रेखा पर यह भिन्न भिन्न के समान स्थान पर स्थित होगी

भिन्न का मान 2.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 2 से बढ़ाकर 3 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 2.5 . के स्थान पर ही स्थित है

एक परिमेय संख्या से पहले माइनस

पिछले पाठ में, जिसे कहा गया था, हमने सीखा कि पूर्णांकों को कैसे विभाजित किया जाता है। लाभांश और भाजक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं।

सबसे सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें

(−6) : 2 = −3

इस व्यंजक में, लाभांश (−6) एक ऋणात्मक संख्या है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

6: (−2) = −3

यहाँ भाजक (−2) पहले से ही एक ऋणात्मक संख्या है। लेकिन दोनों ही स्थितियों में हमें एक ही उत्तर-3 मिलता है।

यह देखते हुए कि किसी भी भाग को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, हम ऊपर वर्णित उदाहरणों को भिन्न के रूप में भी लिख सकते हैं:

और चूँकि दोनों ही स्थितियों में भिन्न का मान समान होता है, अंश या हर में खड़े होने वाले ऋण को भिन्न के सामने रखकर सामान्य बनाया जा सकता है

इसलिए, व्यंजकों और और के बीच आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि उनका मान समान होता है

भविष्य में, भिन्नों के साथ कार्य करते हुए, यदि हम अंश या हर में ऋणात्मक पाते हैं, तो हम भिन्न के सामने रखकर इस ऋण को सामान्य बना देंगे।

परिमेय संख्याओं के विपरीत

एक पूर्णांक की तरह, एक परिमेय संख्या की विपरीत संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या के लिए, विपरीत संख्या है। यह मूल के सापेक्ष स्थान के सममित रूप से समन्वय रेखा पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, ये दोनों संख्याएँ मूल से समान दूरी पर हैं

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें

हम जानते हैं कि मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश में जोड़ना होगा। परिणामी संख्या नई भिन्न का अंश होगी, जबकि हर वही रहेगा।

उदाहरण के लिए, आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें

भिन्नात्मक भाग के हर से पूर्णांक भाग को गुणा करें और भिन्नात्मक भाग का अंश जोड़ें:

आइए इस अभिव्यक्ति की गणना करें:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

परिणामी संख्या 5 नई भिन्न का अंश होगी, और हर वही रहेगा:

पूरी प्रक्रिया इस प्रकार लिखी गई है:

मूल मिश्रित संख्या को वापस करने के लिए, अंश में पूर्णांक भाग का चयन करना पर्याप्त है

लेकिन मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने का यह तरीका केवल तभी लागू होता है जब मिश्रित संख्या धनात्मक हो। ऋणात्मक संख्या के लिए तरह सेकाम नहीं करेगा।

आइए एक अंश पर विचार करें। आइए इस भिन्न का पूर्णांक भाग लें। प्राप्त

मूल भिन्न को वापस करने के लिए, आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना होगा। लेकिन अगर हम पुराने नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करते हैं और भिन्नात्मक भाग के अंश को परिणामी संख्या में जोड़ते हैं, तो हमें निम्नलिखित विरोधाभास मिलता है:

हमें एक अंश मिला, लेकिन हमें एक अंश मिलना चाहिए था।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मिश्रित संख्या का गलत तरीके से अनुचित अंश में अनुवाद किया गया था

एक नकारात्मक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में सही ढंग से अनुवाद करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा, और परिणामी संख्या से घटानाभिन्नात्मक अंश। इस मामले में, सब कुछ ठीक हो जाएगा

एक ऋणात्मक मिश्रित संख्या मिश्रित संख्या के विपरीत होती है। यदि धनात्मक मिश्रित संख्या दाईं ओर स्थित है और इस तरह दिखती है

परिमेय संख्या

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एकतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >"या" = "। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो ऋणात्मक संख्याऔर दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और ; दो नहीं सकारात्मक संख्या एकतथा बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एकगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर एक > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एकतथा बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालांकि, संख्या ही सीबुलाया जोड़नंबर एकतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एकतथा बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालांकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एकतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए एक , बीतथा सीयदि एककम बीतथा बीकम सी, फिर एककम सी, क्या हो अगर एकबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एकबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।बाएँ और दाएँ तर्कसंगत असमानताआप वही परिमेय संख्या जोड़ सकते हैं। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो एक, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा एक. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" बॉर्डर="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की एकता की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। उस। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुणधर्म से भी गणनीय होता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को परिमित संख्या के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गिना जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ अचरज का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास होता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

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• आई एल खमेलनित्सकी। बीजीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

) धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न (पूर्णांक और भिन्नात्मक) और शून्य वाली संख्याएँ हैं। परिमेय संख्याओं की अधिक सटीक अवधारणा इस प्रकार है:

परिमेय संख्या- एक संख्या जिसे एक साधारण भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है मी/एन, जहां अंश एमपूर्णांक हैं, और हर एन- पूर्णांक, उदाहरण के लिए 2/3.

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में अनंत गैर-आवधिक भिन्न शामिल नहीं हैं।

ए/बी, कहाँ पे एक∈ जेड (एकपूर्णांकों के अंतर्गत आता है) बी∈ एन (बीप्राकृतिक संख्याओं के अंतर्गत आता है)।

वास्तविक जीवन में परिमेय संख्याओं का उपयोग करना।

पर वास्तविक जीवनकुछ पूर्णांक विभाज्य वस्तुओं के भागों को गिनने के लिए परिमेय संख्याओं के समुच्चय का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, केक, या अन्य खाद्य पदार्थ जो उपभोग से पहले टुकड़ों में काटे जाते हैं, या विस्तारित वस्तुओं के स्थानिक संबंधों के मोटे अनुमान के लिए।

परिमेय संख्याओं के गुण।

परिमेय संख्याओं के मूल गुण।

1. सुव्यवस्था एकतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है 1-लेकिन और 3 संबंधों में से केवल एक: "<», «>"या" ="। यह नियम है- आदेश देने का नियमऔर इसे इस तरह तैयार करें:

• 2 सकारात्मक संख्या ए = एम ए / एन एतथा बी = एम बी / एन बी 2 पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित एम ए⋅ नायबतथा एम बी⋅ एन ए;
• 2 नकारात्मक संख्या एकतथा बी 2 सकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित |बी|तथा |ए|;
• जब एकसकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए>बी.

∀ ए, बी∈ क्यू (ए ∨ ए>बी∨ ए = बी)

2. जोड़ संचालन. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एकतथा बीवहाँ है योग नियम, जो उन्हें एक निश्चित परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालांकि, संख्या ही सी- ये है जोड़नंबर एकतथा बीऔर इसे के रूप में संदर्भित किया जाता है (ए+बी) योग.

योग नियमऐसा दिखता है:

एम ए/एन ए + एम बी/एन बी = (एम ए⋅ नायब+एमबी⋅ एन ए)/(एन ए⋅ नायब)।

∀ ए, बी∈ क्यू∃ !(ए+बी)∈ क्यू

3. गुणन संक्रिया. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एकतथा बीवहाँ है गुणन नियम, यह उन्हें एक निश्चित परिमेय संख्या से जोड़ता है सी. संख्या सी कहा जाता है कामनंबर एकतथा बीऔर निरूपित करें (एबीबी), और इस संख्या को खोजने की प्रक्रिया कहलाती है गुणा.

गुणन नियमऐसा दिखता है: मैं एक और एक⋅ एम बी एन बी = एम ए⋅ एम बी एन ए⋅ नायब.

ए, बी∈क्यू (ए⋅बी)∈क्यू

4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं के लिए एक, बीतथा सीयदि एककम बीतथा बीकम सी, फिर एककम सी, क्या हो अगर एकबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एकबराबरी सी.

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए ∧ बी ⇒ एक ∧ (ए = बी∧ बी = सी⇒ ए = सी)

5. जोड़ की कम्यूटेटिविटी. परिमेय पदों के स्थानों में परिवर्तन से, योग नहीं बदलता है।

∀ ए, बी∈ क्यूए+बी=बी+ए

6. जोड़ की संबद्धता. 3 परिमेय संख्याओं के योग का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)

7. शून्य की उपस्थिति. एक परिमेय संख्या 0 होती है, जो जोड़ने पर यह अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।

∃ 0 ∈ क्यू∀ एक∈ क्यूए+0=ए

8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति. प्रत्येक परिमेय संख्या में एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, उन्हें एक साथ जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है।

∀ एक∈ क्यू∃ (-ए)∈ क्यूए+(−ए)=0

9. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता. तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।

∀ ए, बी∈ क्यूए⋅ बी = बी⋅ एक

10. गुणन की साहचर्यता. 3 परिमेय संख्याओं के गुणन का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए⋅ बी)⋅ सी = ए⋅ (बी⋅ सी)

11. एक इकाई की उपलब्धता. एक परिमेय संख्या 1 है, यह गुणन की प्रक्रिया में हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।

∃ 1 ∈ क्यू∀ एक∈ क्यूए⋅ 1=ए

12. उपलब्धता पारस्परिक संख्या . शून्य के अलावा किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिससे गुणा करने पर हमें 1 . प्राप्त होता है .

∀ एक∈ क्यू∃ ए−1∈ क्यूए⋅ a−1=1

13. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण. गुणन संक्रिया वितरण नियम का उपयोग करते हुए योग से संबंधित है:

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए + बी)⋅ सी = ए⋅ सी+बी⋅ सी

14. अतिरिक्त संचालन के साथ आदेश संबंध का कनेक्शन. एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जाता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यूए ⇒ ए+सी

15. गुणन के संचालन के साथ क्रम संबंध का संबंध. एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उसी गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यूसी>0∧ एक ⇒ एक⋅ सी ⋅ सी

16. आर्किमिडीज का अभिगृहीत. परिमेय संख्या जो भी हो एक, इतनी इकाइयाँ लेना आसान है कि उनका योग अधिक हो जाएगा एक.

इस लेख में, हम अध्ययन करना शुरू करेंगे परिमेय संख्या. यहां हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा देते हैं, आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं और परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। उसके बाद, हम इस बात पर ध्यान देंगे कि कैसे निर्धारित किया जाए दी गई संख्यातर्कसंगत या नहीं।

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परिमेय संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

इस उपभाग में हम परिमेय संख्याओं की कई परिभाषाएँ देते हैं। शब्दों में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक ही अर्थ है: परिमेय संख्याएं पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं को जोड़ती हैं, जैसे पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं, उनकी विपरीत संख्याओं और संख्या शून्य को जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याएँ पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं परिमेय संख्याओं की परिभाषाजिसे सबसे स्वाभाविक माना जाता है।

ध्वनि की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि एक परिमेय संख्या है:

• कोई भी प्राकृत संख्या n. वास्तव में, किसी भी प्राकृत संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3=3/1।
• कोई भी पूर्णांक, विशेष रूप से संख्या शून्य। दरअसल, किसी भी पूर्णांक को या तो एक सकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या एक नकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26=26/1 , .
• कोई भी साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। यह परिमेय संख्याओं की दी गई परिभाषा द्वारा सीधे तौर पर कहा गया है।
• कोई भी मिश्रित संख्या। वास्तव में, एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित सामान्य अंश के रूप में निरूपित करना हमेशा संभव होता है। उदाहरण के लिए, और।
• कोई भी परिमित दशमलव या अनंत आवर्त भिन्न। ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्दिष्ट दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, , और 0,(3)=1/3 ।

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अनंत गैर-दोहराव वाला दशमलव एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि इसे एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

अब हम आसानी से ला सकते हैं परिमेय संख्याओं के उदाहरण. संख्याएँ 4, 903, 100,321 परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि वे प्राकृत संख्याएँ हैं। पूर्णांक 58 , −72 , 0 , −833 333 333 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। साधारण भिन्न 4/9, 99/3 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। परिमेय संख्याएँ भी संख्याएँ होती हैं।

उपरोक्त उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, और परिमेय संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को संक्षिप्त रूप में तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा।

परिमेय संख्याकॉल संख्याएँ जिन्हें भिन्न z/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।

आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के तुल्य है। हम जानते हैं कि हम भिन्न के दंड को भाग का चिह्न मान सकते हैं, फिर पूर्णांकों को विभाजित करने के गुणों और पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों से निम्नलिखित समानताएँ अनुसरण करती हैं और . इस प्रकार, जो प्रमाण है।

आइए हम पर आधारित परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें यह परिभाषा. संख्याएँ −5 , 0 , 3 , और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में और क्रमशः लिखा जा सकता है।

निम्नलिखित सूत्रीकरण में परिमेय संख्याओं की परिभाषा भी दी जा सकती है।

परिभाषा।

परिमेय संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा भी पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि कोई भी साधारण अंश एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से मेल खाता है और इसके विपरीत, और किसी भी पूर्णांक को दशमलव बिंदु के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5 , 0 , -13 , परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं क्योंकि इन्हें निम्न दशमलव 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 और −7,(18) के रूप में लिखा जा सकता है।

हम इस खंड के सिद्धांत को निम्नलिखित कथनों के साथ समाप्त करते हैं:

• पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ (धनात्मक और ऋणात्मक) परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न कुछ परिमेय संख्या है;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न कुछ परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई पूर्णांक, कोई साधारण अंश, कोई मिश्रित संख्या, कोई अंतिम दशमलव अंश, और कोई भी आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है। यह ज्ञान हमें लिखित संख्याओं के समुच्चय से परिमेय संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन क्या होगा यदि संख्या कुछ के रूप में दी गई है, या के रूप में, आदि, प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए, क्या दी गई संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में इसका जवाब देना बहुत मुश्किल होता है। आइए हम विचार के पाठ्यक्रम के लिए कुछ दिशाओं की ओर संकेत करें।

यदि संख्या के रूप में दी गई है संख्यात्मक अभिव्यक्ति, जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ और अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्न (+, -, · और :) शामिल हैं, तो इस व्यंजक का मान एक परिमेय संख्या है। यह इस प्रकार है कि परिमेय संख्याओं पर संक्रियाओं को कैसे परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में सभी संक्रियाओं को करने के बाद, हमें एक परिमेय संख्या 18 प्राप्त होती है।

कभी-कभी, व्यंजकों के सरलीकरण और अधिक जटिल रूप के बाद, यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। संख्या 2 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृत संख्या परिमेय होती है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चलता है कि नहीं, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक अपरिमेय संख्या है (इस तथ्य का विरोधाभास द्वारा प्रमाण 8वीं कक्षा की बीजगणित पाठ्यपुस्तक में संदर्भों की सूची में दिया गया है)। यह भी सिद्ध हो चुका है कि वर्गमूलसे प्राकृतिक संख्याएक परिमेय संख्या केवल तभी होती है जब मूल एक ऐसी संख्या हो जो किसी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग हो। उदाहरण के लिए, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 81=9 2 और 1024=32 2 , और संख्याएँ और परिमेय नहीं हैं, क्योंकि संख्याएँ 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह देखना आसान है कि, इसलिए, यह संख्या परिमेय है। क्या संख्या तर्कसंगत है? यह सिद्ध होता है कि किसी पूर्णांक का kवाँ मूल एक परिमेय संख्या तभी होती है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की kth घात हो। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात 121 हो।

विरोधाभास विधि किसी को यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ संख्याओं के लघुगणक किसी कारण से परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि - एक परिमेय संख्या नहीं है।

इसके विपरीत मान लीजिए, मान लीजिए कि यह एक परिमेय संख्या है और इसे एक साधारण भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है। फिर और निम्नलिखित समानताएँ दें: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि इसके बाईं ओर है नहीं सम संख्या 5 n, और दाईं ओर एक सम संख्या 2 m है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

अंत में, यह जोर देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या अपरिमेयता को स्पष्ट करते समय, अचानक निष्कर्ष से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, किसी को तुरंत यह दावा नहीं करना चाहिए कि अपरिमेय संख्याओं और e का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या है, यह "जैसे कि स्पष्ट" है, लेकिन सिद्ध नहीं है। यह प्रश्न उठाता है: "उत्पाद एक परिमेय संख्या क्यों होगी"? और क्यों नहीं, क्योंकि आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं, जिसका गुणनफल एक परिमेय संख्या देता है:।

यह भी अज्ञात है कि संख्याएँ और कई अन्य संख्याएँ परिमेय हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, ऐसी अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनकी अपरिमेय घात एक परिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, आइए रूप की एक डिग्री दें, इस डिग्री का आधार और घातांक परिमेय संख्याएं नहीं हैं, लेकिन, और 3 एक परिमेय संख्या है।

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