एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होना चाहिए, 1 के बराबर नहीं। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 प्राप्त होती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 का आधार -2 लघुगणक 2 है।

मूल लघुगणकीय पहचान

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों की परिभाषा के डोमेन अलग-अलग हों। बाईं ओर केवल b>0, a>0 और a 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से डीपीवी में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, संख्या को पहली शक्ति तक बढ़ाने पर, हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को हल करते समय इन सूत्रों के विचारहीन आवेदन के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं लघुगणक समीकरणऔर असमानताएं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकुचित हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

वास्तव में, व्यंजक लॉग a (f (x) g (x)) को दो स्थितियों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फलन पूर्णतः धनात्मक हों या जब f(x) और g(x) दोनों शून्य से कम हों।

इस व्यंजक को योग लॉग a f (x) + log a g (x) में बदलने पर, हम स्वयं को केवल उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए बाध्य होते हैं जब f(x)>0 और g(x)>0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का एक संकुचन है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है। इसी तरह की समस्या सूत्र (6) के लिए मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0) (7)

और फिर से मैं सटीकता के लिए कॉल करना चाहूंगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता के बाईं ओर शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। दायां पक्ष केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम ODZ को फिर से संकीर्ण करते हैं। रिवर्स प्रक्रिया स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाती है। ये सभी टिप्पणियां न केवल 2 की शक्ति पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी शक्ति पर भी लागू होती हैं।

नए आधार पर जाने का फॉर्मूला

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब रूपांतरण के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार c को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार में बदलने का सूत्र पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें सूत्र (8) का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त होता है:

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1 गणना करें: lg2 + lg50।
समाधान। lg2 + lg50 = lg100 = 2. हमने लघुगणक (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2 परिकलित करें: lg125/lg5.
समाधान। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. हमने नए आधार संक्रमण सूत्र (8) का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1)

एक्सेल में एलएन फ़ंक्शन को गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है प्राकृतिकसंख्याएं और संबंधित लौटाता है अंकीय मूल्य. प्राकृतिक लघुगणक आधार ई लघुगणक है (लगभग 2.718 की एक यूलर संख्या)।

एक्सेल में लॉग फ़ंक्शन का उपयोग किसी संख्या के लघुगणक की गणना के लिए किया जाता है, जबकि लघुगणक के आधार को इस फ़ंक्शन के दूसरे तर्क के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

एक्सेल में LOG10 फ़ंक्शन को आधार 10 (दशमलव लघुगणक) के साथ किसी संख्या के लघुगणक की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

Excel में LN, LOG और LOG10 फ़ंक्शंस का उपयोग करने के उदाहरण

पुरातत्वविदों को एक प्राचीन जानवर के अवशेष मिले हैं। उनकी आयु निर्धारित करने के लिए, रेडियोकार्बन विश्लेषण की पद्धति का उपयोग करने का निर्णय लिया गया। माप के परिणामस्वरूप, यह पता चला कि रेडियोधर्मी आइसोटोप सी 14 की सामग्री उस मात्रा का 17% थी जो आमतौर पर जीवित जीवों में पाई जाती है। अवशेषों की आयु की गणना करें यदि कार्बन 14 समस्थानिक का आधा जीवन 5760 वर्ष है।

मूल तालिका का दृश्य:

हम हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह सूत्र x=t*(lgB-lgq)/lgp के सूत्र के आधार पर प्राप्त किया गया था, जहाँ:

• q प्रारंभिक क्षण में (जानवर की मृत्यु के समय) कार्बन समस्थानिक की मात्रा है, जिसे एक इकाई (या 100%) के रूप में व्यक्त किया जाता है;
• बी अवशेषों के विश्लेषण के समय आइसोटोप की मात्रा है;
• टी आइसोटोप का आधा जीवन है;
• p एक संख्यात्मक मान है जो दर्शाता है कि किसी पदार्थ (कार्बन समस्थानिक) की मात्रा t समयावधि में कितनी बार बदलती है।

गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

मिले अवशेष करीब 15 हजार साल पुराने हैं।



एक्सेल में चक्रवृद्धि ब्याज के साथ जमा कैलकुलेटर

एक बैंक ग्राहक ने 14.5% (चक्रवृद्धि ब्याज) की ब्याज दर के साथ 50,000 रूबल की राशि जमा की। निर्धारित करें कि निवेश की गई राशि को दोगुना करने में कितना समय लगेगा?

रोचक तथ्य! इस समस्या को जल्दी से हल करने के लिए, आप अनुभवजन्य विधि का उपयोग कर सकते हैं मोटा अनुमानचक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किए गए निवेश को दोगुना करने के लिए शर्तें (वर्षों में)। तथाकथित नियम 72 (या 70 या नियम 69)। ऐसा करने के लिए, आपको एक साधारण सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है - ब्याज दर से विभाजित संख्या 72: 72 / 14.5 \u003d 4.9655 वर्ष। "जादू" संख्या 72 के नियम का मुख्य दोष त्रुटि है। ब्याज दर जितनी अधिक होगी, नियम 72 में त्रुटि उतनी ही अधिक होगी। उदाहरण के लिए, 100% प्रति वर्ष की ब्याज दर के साथ, वर्षों में त्रुटि 0.72 तक पहुंच जाती है (और प्रतिशत में यह 28% तक है!)।

निवेश को दोगुना करने के समय की सही गणना करने के लिए, हम लॉग फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे। एक बात के लिए, आइए 14.5% प्रति वर्ष की ब्याज दर पर नियम 72 की त्रुटि की जाँच करें।

मूल तालिका का दृश्य:

ज्ञात ब्याज दर पर किसी निवेश के भविष्य के मूल्य की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S=A(100%+n%) t , जहां:

• एस अवधि के अंत में अपेक्षित राशि है;
• ए - जमा राशि;
• एन - ब्याज दर;
• टी बैंक में जमा राशि रखने की अवधि है।

इस उदाहरण के लिए, यह सूत्र 100000=50000*(100%+14.5%) t या 2=(100%+14.5%) t के रूप में लिखा जा सकता है। फिर, t को खोजने के लिए, आप समीकरण को t=log (114.5%) 2 या t=log 1.1452 के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

t का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक्सेल में जमा राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज के लिए निम्नलिखित सूत्र लिखते हैं:

लॉग (बी4/बी2;1+बी3)

तर्कों का विवरण:

• B4/B2 - अपेक्षित और प्रारंभिक राशियों का अनुपात, जो लघुगणक का सूचक है;
• 1+B3 - ब्याज लाभ (लघुगणक का आधार)।

गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

जमा राशि 5 साल से कुछ अधिक समय के बाद दोगुनी हो जाएगी। वर्षों और महीनों को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सेलेक्ट फ़ंक्शन दशमलव बिंदु के बाद एक भिन्नात्मक संख्या में सब कुछ छोड़ देता है, जो INTEGER फ़ंक्शन के समान है। SELECT और WHOLE फ़ंक्शंस के बीच का अंतर केवल ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्याओं वाली गणनाओं में है। इसके अलावा, ओटीबीआर का दूसरा तर्क है जहां आप छोड़ने के लिए दशमलव स्थानों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। इसलिए, इस मामले में, आप उपयोगकर्ता की पसंद पर इन दोनों में से किसी एक फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं।

यह 5 साल और 1 महीने और 12 दिन निकला। अब आइए सटीक परिणामों की तुलना 72 के नियम से करें और त्रुटि की मात्रा निर्धारित करें। इस उदाहरण के लिए, सूत्र है:

हमें सेल B3 के मान को 100 से गुणा करना होगा क्योंकि इसका वर्तमान मान 0.145 है, जो प्रतिशत के रूप में प्रदर्शित होता है। नतीजतन:

सेल B6 से सेल B8 और सेल B9 में फॉर्मूला कॉपी करने के बाद:

आइए त्रुटि शर्तों की गणना करें:

फिर, सेल B10 में, सेल B6 से सूत्र को फिर से कॉपी करें। परिणामस्वरूप, हमें अंतर मिलता है:

और अंत में, आइए प्रतिशत अंतर की गणना करें कि विचलन का आकार कैसे बदलता है और ब्याज दर में वृद्धि नियम 72 और तथ्य के बीच विसंगति के स्तर को कैसे प्रभावित करती है:

अब, त्रुटि में वृद्धि और ब्याज दर के स्तर में वृद्धि की आनुपातिक निर्भरता की कल्पना करने के लिए, हम ब्याज दर को 100% प्रति वर्ष तक बढ़ाएंगे:

पहली नज़र में, त्रुटि में अंतर 14.5% प्रति वर्ष की तुलना में महत्वपूर्ण नहीं है - केवल 2 महीने और 100% प्रति वर्ष - 3 महीने के भीतर। लेकिन पेबैक अवधि में त्रुटि का हिस्सा , या बल्कि 28% से अधिक है।

आइए दृश्य विश्लेषण के लिए एक सरल ग्राफ बनाएं कि ब्याज दर में परिवर्तन की निर्भरता और नियम 72 की त्रुटि का प्रतिशत इस तथ्य से कैसे संबंधित है:

ब्याज दर जितनी अधिक होगी, नियम 72 उतना ही खराब होगा। परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: प्रति वर्ष 32.2% तक, आप नियम 72 का सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकते हैं। तब त्रुटि 10 प्रतिशत से कम है। यह सही होगा, लेकिन निवेश की पेबैक अवधि पर 2 गुना जटिल गणना की आवश्यकता नहीं है।

एक्सेल में पूंजीकरण के साथ निवेश चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर

बैंक क्लाइंट को कुल राशि में निरंतर वृद्धि (चक्रवृद्धि ब्याज के साथ पूंजीकरण) के साथ जमा करने की पेशकश की गई थी। ब्याज दर 13% प्रति वर्ष है। निर्धारित करें कि प्रारंभिक राशि (250,000 रूबल) को तीन गुना करने में कितना समय लगेगा। प्रतीक्षा समय को आधा करने के लिए ब्याज दर में कितनी वृद्धि की जानी चाहिए?

नोट: चूंकि इस उदाहरण में हम निवेश की राशि को तीन गुना करते हैं, नियम 72 यहां काम नहीं करता है।

मूल डेटा तालिका देखें:

निरंतर वृद्धि को सूत्र ln(N)=p*t द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहां:

• एन जमा की अंतिम राशि का प्रारंभिक एक से अनुपात है;
• पी ब्याज दर है;
• टी जमा किए गए वर्षों की संख्या है।

फिर टी = एलएन (एन) / पी। इस समानता के आधार पर, हम एक्सेल में सूत्र लिखते हैं:

तर्कों का विवरण:

• B3/B2 - जमा की अंतिम और प्रारंभिक राशियों का अनुपात;
• बी4 - ब्याज दर।

प्रारंभिक जमा राशि को तिगुना करने में लगभग 8.5 वर्ष लगेंगे। उस दर की गणना करने के लिए जो प्रतीक्षा समय को आधा कर देगी, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

एलएन(बी3/बी2)/(0.5*बी5)

परिणाम:

यानी शुरुआती ब्याज दर को दोगुना करना जरूरी है।

Excel में LN, LOG और LOG10 फ़ंक्शंस का उपयोग करने की सुविधाएँ

LN फ़ंक्शन में निम्न सिंटैक्स होता है:

एलएन (संख्या)

• संख्या ही एकमात्र अनिवार्य तर्क है जो वास्तविक संख्या को सीमा से स्वीकार करता है सकारात्मक मूल्य.

टिप्पणियाँ:

1. LN फलन EXP का व्युत्क्रम फलन है। उत्तरार्द्ध संख्या ई को निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ाकर प्राप्त मूल्य लौटाता है। एलएन फ़ंक्शन उस शक्ति को निर्दिष्ट करता है जिसके लिए लॉगरिदम एक्सपोनेंट (संख्या तर्क) प्राप्त करने के लिए संख्या ई (आधार) को उठाया जाना चाहिए।
2. यदि संख्या तर्क नकारात्मक मानों या शून्य की सीमा में एक संख्या है, तो LN फ़ंक्शन का परिणाम #NUM! त्रुटि कोड है।

लॉग फ़ंक्शन का सिंटैक्स इस प्रकार है:

लॉग (संख्या; [आधार])

तर्कों का विवरण:

• संख्या - एक अनिवार्य तर्क जो लघुगणक घातांक के संख्यात्मक मान को दर्शाता है, अर्थात, लघुगणक के आधार को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या, जिसकी गणना लॉग फ़ंक्शन द्वारा की जाएगी;
• [आधार] एक वैकल्पिक तर्क है जो लघुगणक के आधार के संख्यात्मक मान को दर्शाता है। यदि तर्क स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है, तो लघुगणक को दशमलव माना जाता है (अर्थात आधार 10 है)।

टिप्पणियाँ:

1. इस तथ्य के बावजूद कि लॉग फ़ंक्शन मूल्यांकन का परिणाम एक ऋणात्मक संख्या हो सकता है (उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन =LOG(2;0.25) मान -0.5 लौटाएगा), इस फ़ंक्शन के तर्कों को सकारात्मक की सीमा से लिया जाना चाहिए मूल्य। यदि कोई भी तर्क ऋणात्मक संख्या है, तो लॉग फ़ंक्शन #NUM! त्रुटि कोड लौटाएगा।
2. यदि 1 को [आधार] तर्क के रूप में पारित किया जाता है, तो लॉग फ़ंक्शन #DIV/0!

LOG10 फ़ंक्शन में निम्न सिंटैक्स नोटेशन है:

लॉग 10 (संख्या)

• संख्या एकमात्र और अनिवार्य तर्क है, जिसका अर्थ एलएन और लॉग फ़ंक्शन के समान नाम के तर्क के समान है।

नोट: यदि किसी संख्या को तर्क के रूप में पारित किया गया था एक ऋणात्मक संख्याया 0, LOG10 फ़ंक्शन #NUM! त्रुटि कोड लौटाएगा।

संख्या b से आधार a तक का लघुगणक वह घातांक है जिसके लिए आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुस न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ भी काम करते हैं, घातीय और लघुगणकीय कार्यों में अंतर करते हैं, उन्हें एकीकृत करते हैं और गणना के लिए एक अधिक स्वीकार्य रूप की ओर ले जाते हैं।

संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लॉगरिदम के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजीय व्यंजक हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने की कोशिश करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या ई है। यह उसके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम मानक का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं क्लासिक तरीकाअंक से। आप चाहें तो फंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फंक्शन को सही तरीके से बना रहे हैं या नहीं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम बताते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक गिनना एक काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

बिंदुओं द्वारा एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात X तर्क के सभी मान्य मान) सभी संख्याएँ शून्य से बड़ी हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल हैं सकारात्मक संख्या! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है कि जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस तरह लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। इसलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई भी संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर लघुगणक किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वत्रिक सूत्र प्राप्त होता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तब:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

टास्क 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस तरह:

.

आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: टी = एलएन एक्स। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

.

समीकरण की दूसरी जड़:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हम प्राप्त करते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, स्मृति में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लॉगरिदम का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी मदद से निर्धारित होते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण और इसी तरह ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण का प्रमाण

अनुदेश

दिए गए लघुगणकीय व्यंजक को लिखिए। यदि व्यंजक 10 के लघुगणक का उपयोग करता है, तो उसका अंकन छोटा हो जाता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो व्यंजक लिखा जाता है: ln b प्राकृतिक लघुगणक है। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके लिए संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना होगा।

दो कार्यों का योग खोजने पर, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न का पता लगाते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी+वी"*यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक फलन द्वारा चुकता किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि एक जटिल कार्य दिया जाता है, तो आंतरिक कार्य के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x)।

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए कार्य भी हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिए जाने दें, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें y"(1)=8*e^0=8

संबंधित वीडियो

उपयोगी सलाह

प्राथमिक व्युत्पत्तियों की तालिका जानें। इससे समय की काफी बचत होगी।

स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो एक अपरिमेय समीकरण और एक परिमेय समीकरण में क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है, तो समीकरण को अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालांकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाना है। तकनीकी रूप से, यह तरीका मुश्किल नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। इस तरह के समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में इकाई को x मान के स्थान पर रखें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात्। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

अत: अपरिमेय समीकरण को इसके दोनों भागों का वर्ग करने की विधि द्वारा हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

एक और पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले वाले के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्थानांतरण यौगिक समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर और फिर वर्गमूल विधि का उपयोग करें। परिणामी परिमेय समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण मिलेगा। यह सामान्य द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करने की आवश्यकता के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिका को सुलझाना बहुत आसान है। लक्ष्य प्राप्त होने तक इसके लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सरलतम अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से, कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - एक कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजीय संक्षिप्त गुणन (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर)) हैं। इसके अलावा, कई त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो अनिवार्य रूप से समान पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले जोड़ के वर्ग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरे का वर्ग, यानी (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

दोनों को सरल बनाएं

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक से दोहराएं, जो एक निश्चित अभिन्न अंग है। जैसा कि आप जानते हैं, एक निश्चित समाकल का हल एक फलन है जिसका अवकलज एक समाकलन देगा। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी इंटीग्रल का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के रूप से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, एकीकृत को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि समाकलन एक त्रिकोणमितीय फलन है जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो परिवर्तन विधि का प्रयोग करके देखें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के अनुपात के आधार पर एकीकरण की नई सीमा निर्धारित करें। इस व्यंजक को विभेदित करके, में एक नया अंतर ज्ञात कीजिए। इस प्रकार, आपको पुराने समाकलन का एक नया रूप प्राप्त होगा, जो किसी सारणीबद्ध समाकल के निकट या समरूप हो।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि इंटीग्रल दूसरी तरह का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का सदिश रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल से स्केलर वाले में जाने के लिए नियमों का उपयोग करना होगा। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात। यह कानून किसी वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल में पारित करना संभव बनाता है।

एकीकरण की सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन खोजने के बाद, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मान को प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से दूसरी संख्या घटाएं, परिणामी निचली सीमा प्रतिअवकलन के लिए। यदि एकीकरण सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस ओर जाती है।
यदि समाकल द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको समाकलन की ज्यामितीय सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा ताकि आप समझ सकें कि समाकलन की गणना कैसे की जाती है। आखिरकार, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो मात्रा को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।