त्रिकोणमिति सूत्रों की मूल बातें। सबसे आवश्यक त्रिकोणमितीय सूत्र
समस्याओं को हल करने के लिए यह आखिरी और सबसे महत्वपूर्ण सबक है B11। हम पहले से ही जानते हैं कि कोणों को रेडियन माप से डिग्री माप में कैसे परिवर्तित किया जाता है (पाठ देखें " कोण का रेडियन और डिग्री माप"), और हम यह भी जानते हैं कि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के संकेत को कैसे निर्धारित किया जाए, समन्वय क्वार्टरों पर ध्यान केंद्रित करें (पाठ देखें " संकेत त्रिकोणमितीय कार्यों का")।
मामला छोटा रहता है: फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने के लिए - वह संख्या जो उत्तर में लिखी गई है। यहां मूल त्रिकोणमितीय पहचान बचाव के लिए आती है।
मूल त्रिकोणमितीय पहचान। किसी भी कोण α के लिए, कथन सत्य है:
पाप 2 α + cos 2 α = 1।
यह सूत्र एक कोण के साइन और कोसाइन से संबंधित है। अब, ज्या को जानकर, हम आसानी से कोज्या - और इसके विपरीत पा सकते हैं। वर्गमूल लेने के लिए पर्याप्त है:
जड़ों के सामने "±" चिन्ह पर ध्यान दें। तथ्य यह है कि मूल त्रिकोणमितीय पहचान से यह स्पष्ट नहीं है कि मूल साइन और कोसाइन क्या थे: सकारात्मक या नकारात्मक। आखिरकार, स्क्वेरिंग एक सम फंक्शन है जो सभी माइनस (यदि कोई हो) को "बर्न" करता है।
यही कारण है कि गणित में यूएसई में पाए जाने वाले सभी बी 11 कार्यों में होना चाहिए अतिरिक्त शर्तें, जो संकेतों के साथ अनिश्चितता से छुटकारा पाने में मदद करते हैं। आमतौर पर यह समन्वय तिमाही का एक संकेत है जिसके द्वारा संकेत निर्धारित किया जा सकता है।
एक चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेगा: "स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या?" उपरोक्त सूत्रों से इन कार्यों की सीधे गणना करना असंभव है। हालांकि, मूल त्रिकोणमितीय पहचान से महत्वपूर्ण परिणाम हैं जिनमें पहले से ही स्पर्शरेखा और कोटंगेंट होते हैं। अर्थात्:
एक महत्वपूर्ण परिणाम: किसी भी कोण α के लिए, मूल त्रिकोणमितीय पहचान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
इन समीकरणों को मूल पहचान से आसानी से निकाला जाता है - यह दोनों पक्षों को cos 2 α (एक स्पर्शरेखा प्राप्त करने के लिए) या sin 2 α (एक कोटैंजेंट के लिए) से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।
आइए इस सब पर विशिष्ट उदाहरणों के साथ विचार करें। परीक्षण से ली गई वास्तविक B11 समस्याएं नीचे दी गई हैं उपयोग के विकल्पगणित 2012 में।
हम कोज्या जानते हैं, लेकिन हम ज्या नहीं जानते। मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान (इसके "शुद्ध" रूप में) केवल इन कार्यों को जोड़ती है, इसलिए हम इसके साथ काम करेंगे। हमारे पास है:
पाप 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ पाप 2 α + 99/100 = 1 पाप 2 α = 1/100 ⇒ पाप α = ± 1/10 = ±0.1।
समस्या को हल करने के लिए साइन का चिन्ह ढूंढना बाकी है। कोण α (π /2; ) के बाद से, डिग्री माप में इसे निम्नानुसार लिखा जाता है: α (90°; 180°)।
इसलिए, कोण α द्वितीय समन्वय तिमाही में स्थित है - वहां सभी साइन सकारात्मक हैं। इसलिए पाप α = 0.1।
तो, हम ज्या जानते हैं, लेकिन हमें कोज्या खोजने की जरूरत है। ये दोनों कार्य मूल त्रिकोणमितीय पहचान में हैं। हम स्थानापन्न करते हैं:
sin 2 α + cos 2 α = 1 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ±0.5।
यह भिन्न के सामने चिह्न से निपटने के लिए बनी हुई है। क्या चुनें: प्लस या माइनस? शर्त के अनुसार, कोण α अंतराल (π 3π / 2) के अंतर्गत आता है। आइए कोणों को रेडियन माप से डिग्री माप में बदलें - हमें मिलता है: α (180°; 270°)।
जाहिर है, यह III समन्वय तिमाही है, जहां सभी कोसाइन नकारात्मक हैं। इसलिए cosα = -0.5।
एक कार्य। यदि आप निम्नलिखित जानते हैं तो tg α खोजें:
मूल त्रिकोणमितीय पहचान से निम्नलिखित समीकरण द्वारा स्पर्शरेखा और कोज्या संबंधित हैं:
हम प्राप्त करते हैं: टीजी α = ±3। स्पर्शरेखा का चिन्ह कोण α द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह ज्ञात है कि α (3π / 2; 2π)। आइए कोणों को रेडियन माप से डिग्री माप में परिवर्तित करें - हमें α (270°; 360°) प्राप्त होता है।
जाहिर है, यह चतुर्थ समन्वय तिमाही है, जहां सभी स्पर्शरेखा नकारात्मक हैं। इसलिए, tgα = −3।
एक कार्य। यदि आप निम्नलिखित जानते हैं तो cos α खोजें:
फिर से, ज्या ज्ञात है और कोज्या अज्ञात है। हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान लिखते हैं:
sin 2 α + cos 2 α = 1 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6।
संकेत कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। हमारे पास है: α (3π / 2; 2π)। आइए कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें: α (270°; 360°) चतुर्थ निर्देशांक तिमाही है, वहां कोसाइन सकारात्मक हैं। इसलिए, cos α = 0.6।
एक कार्य। यदि आप निम्नलिखित जानते हैं तो sin α खोजें:
आइए एक सूत्र लिखें जो मूल त्रिकोणमितीय पहचान से अनुसरण करता है और सीधे साइन और कोटेंजेंट को जोड़ता है:
यहाँ से हमें वह sin 2 α = 1/25 प्राप्त होता है, अर्थात्। पाप α = ± 1/5 = ± 0.2। यह ज्ञात है कि कोण α (0; π / 2)। डिग्री में, इसे इस प्रकार लिखा जाता है: α (0°; 90°) - मैं तिमाही का समन्वय करता हूं।
तो, कोण I समन्वय तिमाही में है - सभी त्रिकोणमितीय कार्य वहां सकारात्मक हैं, इसलिए पाप α \u003d 0.2।
स्पर्शरेखा (tg x) और कोटंगेंट (ctg x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। स्पर्शरेखा और कोटंगेंट, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्ति। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध।
ज्यामितीय परिभाषा
|बीडी| - बिंदु A पर केन्द्रित वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।
स्पर्शरेखा ( tgα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .
कोटैंजेंट ( सीटीजीα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |BC| .
स्पर्शरेखा
कहाँ पे एन- पूरे।
पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
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स्पर्शरेखा फलन का आलेख, y = tg x
कोटैंजेंट
कहाँ पे एन- पूरे।
पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित संकेतन भी अपनाया गया है:
;
;
.
सहस्पर्शी फलन का आलेख, y = ctg x
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण
दौरा
कार्य y= टीजी एक्सऔर y= सीटीजी एक्सअवधि के साथ आवधिक हैं।
समानता
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के कार्य विषम हैं।
परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, आरोही, अवरोही
फलन स्पर्शरेखा और कोटंगेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर होते हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- पूर्णांक)।
| वाई = टीजी एक्स | वाई = सीटीजी एक्स | |
| दायरा और निरंतरता | ||
| मूल्यों की श्रृंखला | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| आरोही | - | |
| अवरोही | - | |
| चरम | - | - |
| शून्य, y= 0 | ||
| y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0 | वाई = 0 | - |
सूत्रों
ज्या और कोज्या के संदर्भ में व्यंजक
;
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योग और अंतर के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए सूत्र
शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है, उदाहरण के लिए
स्पर्शरेखा का उत्पाद
स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र
यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के मान दिखाती है। 
सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक
अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक
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संजात
; .
.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति > > > ; स्पर्शज्या के लिए > > >
अभिन्न
श्रृंखला में विस्तार
x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए एक घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप xतथा क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे में विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं।
पर ।
पर ।
कहाँ पे बी नहीं- बर्नौली संख्या। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ पे ।
या लाप्लास सूत्र के अनुसार: 
उलटा कार्य
स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के प्रतिलोम फलन क्रमशः चाप स्पर्शरेखा और चाप-स्पर्शरेखा हैं।
आर्कटिक, आर्कटिक
, कहाँ पे एन- पूरे।
चाप स्पर्शरेखा, arcctg
, कहाँ पे एन- पूरे।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, शोधार्थियों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।
मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच अनुपात - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट - दिए गए हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. और चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों के बीच काफी संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या भी करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एक से अधिक कोण के कार्य, अन्य - आपको डिग्री कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करने के लिए, आदि।
इस लेख में, हम सभी मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को क्रम में सूचीबद्ध करते हैं, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उनके उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे, और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।
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मूल त्रिकोणमितीय पहचान
मूल त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध सेट करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषा के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फलन को किसी अन्य के माध्यम से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।
इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और अनुप्रयोग उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए, लेख देखें।
कास्ट सूत्र
कास्ट सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के गुणों से अनुसरण करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, और किसी दिए गए कोण द्वारा शिफ्ट की संपत्ति को भी दर्शाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों से काम करने से शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।
इन फ़ार्मुलों का औचित्य, उन्हें याद रखने के लिए एक स्मरणीय नियम और उनके आवेदन के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।
जोड़ सूत्र
त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों की व्युत्पत्ति के आधार के रूप में कार्य करते हैं।
डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण
डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण (इन्हें बहुकोण सूत्र भी कहा जाता है) यह दर्शाता है कि कैसे दोहरे, तिहरे, आदि के त्रिकोणमितीय फलन कार्य करते हैं। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।
डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की जाती है। कोण ।
आधा कोण सूत्र
आधा कोण सूत्रदिखाएँ कि एक पूर्णांक कोण के कोज्या के रूप में एक आधे कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण सूत्रों का अनुसरण करते हैं।
उनके निष्कर्ष और आवेदन के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।
कमी सूत्र
डिग्री घटाने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रसे संक्रमण की सुविधा के लिए डिज़ाइन किया गया प्राकृतिक डिग्रीसाइन और कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय कार्य पहली डिग्री, लेकिन कई कोणों तक। दूसरे शब्दों में, वे पहले त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को कम करने की अनुमति देते हैं।
त्रिकोणमितीय कार्यों के योग और अंतर के लिए सूत्र
मुख्य गंतव्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर सूत्रकार्यों के उत्पाद में संक्रमण शामिल है, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल करते समय बहुत उपयोगी होता है। इन फ़ार्मुलों का व्यापक रूप से हल करने में भी उपयोग किया जाता है त्रिकोणमितीय समीकरण, क्योंकि वे ज्या और कोज्या के योग और अंतर के गुणनखंड की अनुमति देते हैं।
कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्र
त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणनफल से योग या अंतर में संक्रमण, कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्रों के माध्यम से किया जाता है।
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त्रिकोणमितीय कार्यों पर संदर्भ डेटा साइन (sin x) और कोसाइन (cos x)। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। साइन और कोसाइन की तालिका, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार, सेकेंट, कोसेकेंट। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्ति। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध।
ज्या और कोज्या की ज्यामितीय परिभाषा
|बीडी|- एक बिंदु पर केंद्रित वृत्त के चाप की लंबाई ए.
α
रेडियन में व्यक्त कोण है।
परिभाषा
साइनसएक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|.
कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|.
स्वीकृत पदनाम
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ज्या फलन का ग्राफ, y = sin x
कोज्या फलन का ग्राफ, y = cos x
साइन और कोसाइन के गुण
दौरा
कार्य y= पाप xऔर y= क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2.
समानता
साइन फ़ंक्शन विषम है। कोसाइन फ़ंक्शन सम है।
परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी
ज्या और कोज्या फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र पर निरंतर होते हैं, अर्थात सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (n - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।
| वाई = पाप x | वाई = क्योंकि x | |
| दायरा और निरंतरता | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| मूल्यों की श्रृंखला | -1 वाई 1 | -1 वाई 1 |
| आरोही | ||
| अवरोही | ||
| अधिकतम, y= 1 | ||
| मिनिमा, वाई = - 1 | ||
| शून्य, y= 0 | ||
| y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0 | वाई = 0 | वाई = 1 |
मूल सूत्र
वर्ग ज्या और कोज्या का योग
योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या सूत्र
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ज्या और कोज्या के गुणनफल के सूत्र
योग और अंतर सूत्र
कोज्या द्वारा ज्या का व्यंजक
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;
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ज्या द्वारा कोज्या का व्यंजक
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स्पर्शरेखा के संदर्भ में अभिव्यक्ति
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के लिए, हमारे पास है:
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पर :
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साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका
यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों को दर्शाती है।
जटिल चरों के माध्यम से व्यंजक
;
यूलर सूत्र
{ -∞ < x < +∞ }
सेकेंट, कोसेकेंट
उलटा कार्य
साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम कार्य क्रमशः आर्क्साइन और आर्ककोसाइन हैं।
आर्कसिन, आर्क्सिन
आर्ककोसाइन, आर्ककोस
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
इस लेख की शुरुआत में, हमने त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधारणा पर चर्चा की। उनके उद्देश्य का मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमिति की मूल बातें और आवधिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करना है। और हमने कुछ भी नहीं के लिए त्रिकोणमितीय वृत्त नहीं खींचा, क्योंकि ज्यादातर मामलों में त्रिकोणमितीय कार्यों को एक इकाई सर्कल में एक त्रिकोण या उसके कुछ खंडों के पक्षों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। मैंने त्रिकोणमिति के निर्विवाद रूप से महान महत्व का भी उल्लेख किया है आधुनिक जीवन. लेकिन विज्ञान अभी भी खड़ा नहीं है, परिणामस्वरूप, हम त्रिकोणमिति के दायरे का काफी विस्तार कर सकते हैं और इसके प्रावधानों को वास्तविक और कभी-कभी जटिल संख्याओं में स्थानांतरित कर सकते हैं।
त्रिकोणमिति सूत्रकई प्रकार हैं। आइए उन पर विचार करें।
एक ही कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के संबंध
एक दूसरे के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों की अभिव्यक्ति
(मूल के सामने चिन्ह का चुनाव इस बात से निर्धारित होता है कि वृत्त के किस भाग में कोना स्थित है?)
कोणों को जोड़ने और घटाने के सूत्र निम्नलिखित हैं:
डबल, ट्रिपल और हाफ एंगल फॉर्मूला।
मैं ध्यान देता हूं कि वे सभी पिछले सूत्रों का पालन करते हैं।
त्रिकोणमितीय व्यंजकों को परिवर्तित करने के सूत्र:
यहां हम इस तरह की अवधारणा पर विचार करते हैं: बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान.
एक त्रिकोणमितीय पहचान एक समानता है जिसमें त्रिकोणमितीय संबंध होते हैं और जो इसमें शामिल कोणों के सभी मूल्यों के लिए सही है।
सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और उनके प्रमाणों पर विचार करें:
पहली पहचान स्पर्शरेखा की परिभाषा से ही होती है।
चलो ले लो सही त्रिकोण, जिसमें शीर्ष A पर एक न्यून कोण x है।
सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है:
(बीसी) 2 + (एसी) 2 = (एबी) 2
अब हम समानता के दोनों भागों (AB) 2 से विभाजित करते हैं और sin और cos की परिभाषाओं को याद करते हुए, हमें दूसरी पहचान मिलती है:
(बीसी) 2 /(एबी) 2 + (एसी) 2 /(एबी) 2 = 1
पाप x = (बीसी)/(एबी)
कॉस एक्स = (एसी)/(एबी)
पाप 2 x + cos 2 x = 1
तीसरी और चौथी सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए हम पिछले उपपत्ति का प्रयोग करते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम दूसरी पहचान के दोनों हिस्सों को cos 2 x से विभाजित करते हैं:
sin 2 x/cos 2 x + cos 2 x/cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
पहली पहचान के आधार पर tg x \u003d sin x / cos x हमें तीसरा मिलता है:
1 + tg2x = 1/cos2x
अब हम दूसरी पहचान को sin 2 x से विभाजित करते हैं:
पाप 2 एक्स/ पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स/ पाप 2 एक्स = 1/ पाप 2 एक्स
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x 1/tg 2 x के अलावा और कुछ नहीं है, इसलिए हमें चौथी पहचान मिलती है:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
यह एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेय को याद करने का समय है, जो कहता है कि त्रिभुज के कोणों का योग \u003d 180 0। यह पता चला है कि त्रिभुज के शीर्ष B पर एक कोण होता है जिसका मान 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x होता है।
पाप और क्योंकि की परिभाषाओं को फिर से याद करें और हमें पांचवीं और छठी पहचान मिलती है:
पाप x = (बीसी)/(एबी)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
अब निम्नलिखित करते हैं:
कॉस एक्स = (एसी)/(एबी)
पाप (90 0 - एक्स) = (एसी)/(एबी)
पाप (90 0 - x) = क्योंकि x
जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां सब कुछ प्राथमिक है।
ऐसी और भी सर्वसमिकाएँ हैं जिनका उपयोग गणितीय सर्वसमिकाओं को हल करने में किया जाता है, मैं उन्हें सरलता से इस रूप में दूंगा पृष्ठभूमि की जानकारी, क्योंकि वे सभी ऊपर से उपजी हैं।
पाप 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
टीजी 3एक्स = (3टीजीएक्स - टीजी 3 एक्स) /(1 - 3टीजी 2 एक्स)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
