उदाहरण 1 . आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें रेखाओं से घिरा हुआ: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, और x = 2

आइए एक आकृति बनाएं (अंजीर देखें।) हम दो बिंदुओं ए (4; 0) और बी (0; 2) के साथ एक सीधी रेखा x + 2y - 4 \u003d 0 बनाते हैं। x के संदर्भ में y को व्यक्त करते हुए, हमें y \u003d -0.5x + 2 मिलता है। सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, हम पाना

एस \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2 रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 और y \u003d 0।

समाधान। आइए एक आकृति बनाते हैं।

आइए एक सीधी रेखा x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0) बनाते हैं; एक्स = 0, वाई = 2, बी (0; 2)।

आइए एक सीधी रेखा x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, (5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) बनाते हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं:

एक्स = 2, वाई = 3; एम (2; 3)।

आवश्यक क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम AMC त्रिभुज को दो त्रिभुज AMN और NMC में विभाजित करते हैं, क्योंकि जब x A से N में बदलता है, तो क्षेत्र एक सीधी रेखा द्वारा सीमित होता है, और जब x N से C में बदलता है, तो यह एक सीधी रेखा होती है।

त्रिभुज AMN के लिए हमारे पास है: ; y \u003d 0.5x + 2, यानी f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

एनएमसी त्रिभुज के लिए हमारे पास है: y = - x + 5, अर्थात f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5।

प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना और परिणाम जोड़ने पर, हम पाते हैं:

वर्ग इकाइयों

वर्ग इकाइयों

9 + 4, 5 = 13.5 वर्ग। इकाइयों जाँच करें: = 0.5AC = 0.5 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = x 2 , वाई = 0, एक्स = 2, एक्स = 3।

इस मामले में, एक परवलय y = x से घिरे एक वक्रीय समलम्ब के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 , सीधी रेखाएँ x \u003d 2 और x \u003d 3 और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें।) सूत्र (1) के अनुसार, हम एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

= = 6kv. इकाइयों

उदाहरण 4 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y \u003d - x 2 + 4 और वाई = 0

आइए एक आकृति बनाते हैं। वांछित क्षेत्र परवलय y \u003d - x . के बीच संलग्न है 2 + 4 और अक्ष ओह।

x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। Y \u003d 0 मानते हुए, हम x \u003d पाते हैं क्योंकि यह आंकड़ा ओए अक्ष के बारे में सममित है, हम ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित आकृति के क्षेत्र की गणना करते हैं, और परिणाम को दोगुना करते हैं: \u003d + 4x] वर्ग। इकाइयों 2 = 2 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 5 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y 2 = एक्स, वाईएक्स = 1, एक्स = 4

यहाँ परवलय y की ऊपरी शाखा से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 \u003d x, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएँ x \u003d 1x \u003d 4 (चित्र देखें।)

सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f(x) = a = 1 और b = 4, हमारे पास = (= sq. इकाइयाँ) हैं

उदाहरण 6 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = sinx, y = 0, x = 0, x= ।

वांछित क्षेत्र एक अर्ध-लहर साइनसॉइड और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें) द्वारा सीमित है।

हमारे पास है - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 वर्ग मीटर। इकाइयों

उदाहरण 7 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d - 6x, y \u003d 0 और x \u003d 4.

आकृति ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है (चित्र देखें)।

अतः इसका क्षेत्रफल सूत्र (3) द्वारा ज्ञात किया जाता है।

= =

उदाहरण 8 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d और x \u003d 2. हम बिंदुओं द्वारा वक्र y \u003d का निर्माण करेंगे (आंकड़ा देखें)। इस प्रकार, आकृति का क्षेत्रफल सूत्र (4) द्वारा पाया जाता है

उदाहरण 9 .

एक्स 2 + y 2 = आर 2 .

यहां आपको सर्कल x . से घिरे क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 + y 2 = आर 2 , यानी त्रिज्या r के एक वृत्त का क्षेत्रफल मूल बिंदु पर केंद्रित है। आइए 0 . से एकीकरण की सीमा लेकर इस क्षेत्र का चौथा भाग खोजें

दोर; अपने पास: 1 = = [

फलस्वरूप, 1 =

उदाहरण 10 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d x 2 और वाई = 2x

यह आंकड़ा परवलय y \u003d x . द्वारा सीमित है 2 और सीधी रेखा y \u003d 2x (अंजीर देखें।) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: x 2 - 2x = 0 x = 0 और x = 2

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

= \- -fl - G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* उदाहरण 2. साइनसॉइड से घिरे क्षेत्र की गणना करें y = sinXy अक्ष ऑक्स और सीधा ( चित्र 87)। सूत्र (I) को लागू करते हुए, हम L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf उदाहरण 3. प्राप्त करते हैं। साइनसॉइड के चाप से घिरे क्षेत्र की गणना करें ^y \ u003d sin jc ऑक्स अक्ष के साथ दो आसन्न प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच संलग्न है (उदाहरण के लिए, मूल बिंदु और भुज i के साथ बिंदु के बीच)। ध्यान दें कि ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है कि यह क्षेत्र दोगुना होगा अधिक क्षेत्रपिछला उदाहरण। हालांकि, चलिए गणना करते हैं: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o दरअसल, हमारी धारणा निष्पक्ष निकली। उदाहरण 4. एक आवर्त में साइनसॉइड और ^ अक्ष ऑक्स से घिरे क्षेत्र की गणना करें (चित्र 88)। प्रारंभिक रास-फिगर निर्णय बताते हैं कि क्षेत्र पीआर की तुलना में चार गुना बड़ा हो जाएगा। हालांकि, गणना करने के बाद, हमें "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x मिलता है। ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. इस परिणाम के लिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। मामले के सार को स्पष्ट करने के लिए, हम उसी साइनसॉइड y \u003d sin l: और ऑक्स अक्ष से घिरे क्षेत्र की गणना l से 2n तक करते हैं। सूत्र (I) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं इस प्रकार, हम देखते हैं कि यह क्षेत्र ऋणात्मक निकला। उदाहरण 3 में परिकलित क्षेत्रफल से इसकी तुलना करने पर, हम पाते हैं कि उनके निरपेक्ष मान समान हैं, लेकिन संकेत भिन्न हैं। यदि हम संपत्ति V लागू करते हैं (देखें अध्याय XI, 4), तो हम दुर्घटना से प्राप्त करते हैं। हमेशा एक्स-अक्ष के नीचे का क्षेत्र, बशर्ते कि स्वतंत्र चर बाएं से दाएं बदलता है, पूर्णांक ऋणात्मक का उपयोग करके गणना करके प्राप्त किया जाता है। इस पाठ्यक्रम में, हम हमेशा अहस्ताक्षरित क्षेत्रों पर विचार करेंगे। इसलिए, अभी विश्लेषण किए गए उदाहरण में उत्तर इस प्रकार होगा: आवश्यक क्षेत्रफल 2 + |-2| . के बराबर है = 4. उदाहरण 5. आइए अंजीर में दिखाए गए बीएबी के क्षेत्र की गणना करें। 89. यह क्षेत्र अक्ष ऑक्स, परवलय y = - xr और सीधी रेखा y - = -x + \ द्वारा सीमित है। एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल ओएबी के लिए मांगे गए क्षेत्र में दो भाग होते हैं: ओएएम और एमएबी। चूँकि बिंदु A परवलय और सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, हम समीकरणों की प्रणाली 3 2 Y \u003d mx को हल करके इसके निर्देशांक पाएंगे। (हमें केवल बिंदु A का भुज ज्ञात करना है)। सिस्टम को हल करते हुए, हम एल पाते हैं; =~. इसलिए, क्षेत्र की गणना भागों में की जानी चाहिए, पहले pl। ओएएम, और फिर pl। एमएवी: .... जी 3 2, 3 जी एक्सपी 3 1/2 वाई 2। QAM-^x (एक वक्रीय समलम्बाकार का आधार) n बराबर भागों में; यह विभाजन बिंदुओं x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 की सहायता से संभव है। आइए इन बिंदुओं से होकर y-अक्ष के समांतर रेखाएँ खींचते हैं। फिर दिए गए वक्रीय समलम्ब को n भागों में, n संकीर्ण स्तंभों में विभाजित किया जाएगा। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्तंभों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

k-वें कॉलम पर अलग से विचार करें, अर्थात। वक्रीय समलम्बाकार, जिसका आधार एक खंड है। आइए इसे समान आधार और ऊंचाई के बराबर f(x k) वाले आयत से बदलें (चित्र देखें)। आयत का क्षेत्रफल \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) है, जहां \(\Delta x_k \) खंड की लंबाई है; संकलित उत्पाद को kth कॉलम के क्षेत्रफल का अनुमानित मान मानना ​​स्वाभाविक है।

यदि हम अब अन्य सभी स्तंभों के साथ भी ऐसा ही करते हैं, तो हम निम्नलिखित परिणाम पर पहुंचते हैं: किसी दिए गए वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल S, n आयतों से बनी एक सीढ़ीदार आकृति के क्षेत्रफल S n के लगभग बराबर होता है (चित्र देखें):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
यहाँ, अंकन की एकरूपता के लिए, हम मानते हैं कि a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - खंड लंबाई , \(\Delta x_1 \) - खंड लंबाई, आदि; जबकि, जैसा कि हम ऊपर सहमत थे, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

तो, \(S \लगभग S_n \), और यह अनुमानित समानता अधिक सटीक है, बड़ा n।
परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि वक्रीय समलम्बाकार का वांछित क्षेत्र अनुक्रम की सीमा (S n) के बराबर है:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

टास्क 2(एक बिंदु को स्थानांतरित करने के बारे में)
एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है। समय पर गति की निर्भरता को सूत्र v = v(t) द्वारा व्यक्त किया जाता है। समय अंतराल पर एक बिंदु का विस्थापन ज्ञात कीजिए [a; बी]।
समाधान।यदि गति एकसमान होती, तो समस्या बहुत सरलता से हल हो जाती: s = vt, अर्थात्। एस = वी (बी-ए)। असमान गति के लिए उन्हीं विचारों का प्रयोग करना पड़ता है जिन पर पिछली समस्या का समाधान आधारित था।
1) समय अंतराल को विभाजित करें [ए; b] n बराबर भागों में।
2) एक समय अंतराल पर विचार करें और मान लें कि इस समय अंतराल के दौरान गति स्थिर थी, जैसे समय t k । तो, हम मानते हैं कि वी = वी (टी के)।
3) समय अंतराल पर बिंदु विस्थापन का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए, यह अनुमानित मान s k . द्वारा निरूपित किया जाएगा
\(s_k = v(t_k) \डेल्टा t_k \)
4) विस्थापन s का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए:
\(s \लगभग S_n \) जहां
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) अपेक्षित विस्थापन अनुक्रम की सीमा (S n) के बराबर है:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

आइए संक्षेप करते हैं। समाधान विभिन्न कार्यएक ही गणितीय मॉडल के लिए कम। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों से कई समस्याएं समाधान की प्रक्रिया में एक ही मॉडल की ओर ले जाती हैं। इसलिए, इस गणितीय मॉडल का विशेष रूप से अध्ययन किया जाना चाहिए।

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा

आइए हम उस मॉडल का गणितीय विवरण दें जो y = f(x) फ़ंक्शन के लिए तीन मानी गई समस्याओं में बनाया गया था, जो खंड पर निरंतर (लेकिन जरूरी नहीं कि गैर-ऋणात्मक हो, जैसा कि माना गया था) [ एक; बी]:
1) खंड को विभाजित करें [ए; बी] n बराबर भागों में;
2) योग $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ . की गणना करें

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित हुआ कि यह सीमा एक सतत (या टुकड़े-टुकड़े निरंतर) फ़ंक्शन के मामले में मौजूद है। उसे बुलाया गया है खंड [a; पर फलन y = f(x) का एक निश्चित समाकलन; बी]और इस तरह निरूपित हैं:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
संख्या ए और बी को एकीकरण की सीमा (क्रमशः निचला और ऊपरी) कहा जाता है।

आइए ऊपर चर्चा किए गए कार्यों पर लौटते हैं। समस्या 1 में दी गई क्षेत्रफल की परिभाषा को अब इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(एस = \int\limits_a^b f(x) dx \)
यहाँ S ऊपर की आकृति में दिखाए गए वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल है। यह क्या है निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ।

समस्या 2 में दिए गए समय अंतराल पर t = a से t = b की गति से एक सीधी रेखा में गति v = v(t) के साथ गतिमान बिंदु के विस्थापन s की परिभाषा को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

न्यूटन - लाइबनिज सूत्र

आरंभ करने के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: एक निश्चित अभिन्न और एक प्रतिपक्षी के बीच क्या संबंध है?

उत्तर समस्या 2 में पाया जा सकता है। एक ओर, एक बिंदु का विस्थापन s एक सीधी रेखा के साथ गति v = v(t) के साथ एक समय अंतराल पर t = a से t = b तक की गति से चलता है और इसकी गणना की जाती है सूत्र
\(एस = \int\limits_a^b v(t) डीटी \)

दूसरी ओर, गति के लिए गतिमान बिंदु का निर्देशांक गति के लिए प्रतिअवकलन है - आइए इसे s(t) निरूपित करें; इसलिए विस्थापन s को सूत्र s = s(b) - s(a) द्वारा व्यक्त किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
जहाँ s(t) v(t) का प्रतिअवकलन है।

गणितीय विश्लेषण के दौरान निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध हुई।
प्रमेय। यदि फलन y = f(x) खंड [a; बी], फिर सूत्र
\(एस = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
जहाँ F(x) f(x) का प्रतिअवकलन है।

इस सूत्र को आमतौर पर कहा जाता है न्यूटन-लीबनिज सूत्रअंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लाइबनिज (1646-1716) के सम्मान में, जिन्होंने इसे एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ प्राप्त किया।

व्यवहार में, F(b) - F(a) लिखने के बजाय, वे संकेतन \(\left. F(x)\right|_a^b \) का उपयोग करते हैं (इसे कभी-कभी कहा जाता है दोहरा प्रतिस्थापन) और, तदनुसार, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को इस रूप में फिर से लिखें:
\(एस = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

एक निश्चित समाकल की गणना करते हुए, पहले प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए, और फिर दोहरा प्रतिस्थापन कीजिए।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के आधार पर, एक निश्चित अभिन्न के दो गुण प्राप्त कर सकते हैं।

संपत्ति 1.कार्यों के योग का समाकल समाकलन के योग के बराबर होता है:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

एक निश्चित समाकल का प्रयोग करते हुए समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना

इंटीग्रल का उपयोग करके, आप न केवल वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, बल्कि अधिक जटिल प्रकार के समतल आकृतियों की भी गणना कर सकते हैं, जैसे कि चित्र में दिखाया गया है। आकृति P, सीधी रेखाओं x = a, x = b और सतत फलन y = f(x), y = g(x), और खंड [a; b] असमानता \(g(x) \leq f(x) \) धारण करती है। ऐसी आकृति के क्षेत्रफल S की गणना करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

तो, रेखा x = a, x = b और फलन y = f(x), y = g(x) द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल S, खंड पर निरंतर और इस तरह से कि किसी भी x के लिए खंड [ए; बी] असमानता \(g(x) \leq f(x) \) संतुष्ट है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है
\(एस = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

कुछ कार्यों के अनिश्चित समाकलन (एंटीडेरिवेटिव) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (एन \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +सी $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )एक्स+सी $$

मान लें कि फलन गैर-ऋणात्मक और अंतराल पर निरंतर है। फिर, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, इस फ़ंक्शन के ग्राफ से ऊपर से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र, नीचे से अक्ष द्वारा, बाएं और दाएं से सीधी रेखाओं द्वारा और (चित्र 2 देखें) ) सूत्र द्वारा गणना की जाती है

उदाहरण 9एक रेखा से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और धुरी।

समाधान. फंक्शन ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इंगित करती हैं। आइए इसे बनाते हैं (चित्र 3)। एकीकरण की सीमा निर्धारित करने के लिए, हम अक्ष (सीधी रेखा) के साथ रेखा (परवलय) के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम पाते हैं: , कहाँ पे , ; फलस्वरूप, , ।

चावल। 3

आकृति का क्षेत्रफल सूत्र (5) द्वारा ज्ञात किया जाता है:

यदि फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक और खंड पर निरंतर है, तो इस फ़ंक्शन के ग्राफ द्वारा नीचे से घिरा हुआ वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र, ऊपर से अक्ष द्वारा, बाएँ और दाएँ सीधी रेखाओं द्वारा और , है सूत्र द्वारा परिकलित

. (6)

यदि फ़ंक्शन एक खंड पर निरंतर है और एक सीमित संख्या में बिंदुओं पर संकेत बदलता है, तो छायांकित आकृति (छवि 4) का क्षेत्र संबंधित निश्चित अभिन्न के बीजगणितीय योग के बराबर है:

चावल। चार

उदाहरण 10अक्ष से बंधे आकृति के क्षेत्र की गणना करें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए .

चावल। 5

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)। वांछित क्षेत्र क्षेत्रों का योग है और . आइए इनमें से प्रत्येक क्षेत्र को खोजें। सबसे पहले, हम सिस्टम को हल करके एकीकरण की सीमा निर्धारित करते हैं हम पाते हैं , । फलस्वरूप:

;

.

अत: छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है

(वर्ग इकाइयों)।

चावल। 6

चलो, अंत में, वक्रीय समलम्बाकार खंड पर निरंतर कार्यों के रेखांकन द्वारा ऊपर और नीचे से घिरा हुआ है,
और बाएँ और दाएँ - सीधे और (चित्र 6)। फिर इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (8)

उदाहरण 11.रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और .

समाधान।यह आंकड़ा अंजीर में दिखाया गया है। 7. हम सूत्र (8) का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। समीकरणों के निकाय को हल करने पर, हम पाते हैं; फलस्वरूप, , । खंड पर हमारे पास है: . इसलिए, सूत्र (8) में हम लेते हैं: एक्स, और जैसे - । हम पाते हैं:

(वर्ग इकाइयों)।

क्षेत्रों की गणना करने की अधिक जटिल समस्याओं को गैर-अंतर्विभाजक भागों में तोड़कर और इन भागों के क्षेत्रों के योग के रूप में पूरी आकृति के क्षेत्र की गणना करके हल किया जाता है।

चावल। 7

उदाहरण 12रेखाओं द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 8)। इस आकृति को एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज के रूप में माना जा सकता है जो नीचे से अक्ष से , बाएं और दाएं से - सीधी रेखाओं से और ऊपर से - कार्यों के रेखांकन द्वारा और . चूँकि आकृति ऊपर से दो फलनों के आलेखों से घिरी हुई है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम इस सीधी आकृति को दो भागों में विभाजित करते हैं (1 रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और)। इनमें से प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल सूत्र (4) द्वारा ज्ञात किया जाता है:

(वर्ग इकाइयों); (वर्ग इकाइयों)। फलस्वरूप:

(वर्ग इकाइयों)।

चावल। आठ

एक्स= जे ​​( पर)

चावल। 9

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज सीधी रेखाओं और , अक्ष और वक्र पर निरंतर (चित्र 9) से घिरा है, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है

क्रांति के शरीर का आयतन

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज को एक खंड, एक अक्ष, सीधी रेखाओं पर निरंतर एक फलन के ग्राफ से घिरा होने दें और अक्ष के चारों ओर घूमें (चित्र 10)। फिर क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (9)

उदाहरण 13हाइपरबोला, सीधी रेखाओं और अक्ष से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त निकाय के आयतन की गणना करें।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 11)।

यह समस्या की स्थिति से इस प्रकार है कि , . सूत्र (9) से हम प्राप्त करते हैं

.

चावल। दस

चावल। ग्यारह

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन कहांवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज सीधी रेखाओं से घिरा हुआ है वाई = सीतथा वाई = डी, एक्सिस कहांऔर एक खंड पर निरंतर फलन का ग्राफ (चित्र 12), सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

. (10)

एक्स= जे ​​( पर)

चावल। 12

उदाहरण 14. एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें कहांवक्रीय समलम्ब रेखाओं से घिरा हुआ एक्स 2 = 4पर, वाई = 4, एक्स = 0 (चित्र 13)।

समाधान. समस्या की स्थिति के अनुसार, हम एकीकरण की सीमाएँ पाते हैं: , । सूत्र (10) से हम प्राप्त करते हैं:

चावल। 13

समतल वक्र की चाप की लंबाई

मान लीजिए कि समीकरण द्वारा दिया गया वक्र, जहाँ , एक समतल में स्थित है (चित्र 14)।

चावल। चौदह

परिभाषा। एक चाप की लंबाई को उस सीमा के रूप में समझा जाता है जिस पर इस चाप में अंकित पॉलीलाइन की लंबाई तब होती है जब पॉलीलाइन के लिंक की संख्या अनंत तक जाती है, और सबसे बड़ी लिंक की लंबाई शून्य हो जाती है।

यदि फलन और उसका अवकलज खंड पर सतत हैं, तो वक्र की चाप लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (11)

उदाहरण 15. उन बिंदुओं के बीच संलग्न वक्र के चाप की लंबाई की गणना करें जिसके लिए .

समाधान. समस्या की स्थिति से हमारे पास है . सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं:

.

4. अनुचित समाकलन
एकीकरण की अनंत सीमाओं के साथ

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को पेश करते समय, यह माना गया कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

ए) एकीकरण की सीमाएं एकऔर सीमित हैं;

बी) इंटीग्रैंड खंड पर घिरा हुआ है।

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो समाकलक कहलाता है अनुचित.

आइए पहले हम एकीकरण की अनंत सीमाओं के साथ अनुचित समाकलनों पर विचार करें।

परिभाषा। मान लें कि अंतराल पर फलन परिभाषित और सतत है, तबऔर दाईं ओर असीमित (चित्र 15)।

यदि अनुचित समाकलन अभिसरण करता है, तो यह क्षेत्र परिमित है; यदि अनुचित अभिन्न विचलन करता है, तो यह क्षेत्र अनंत है।

चावल। पंद्रह

एकीकरण की अनंत निचली सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

. (13)

यह समाकलन अभिसरण करता है यदि समानता के दायीं ओर की सीमा (13) मौजूद है और परिमित है; अन्यथा समाकल को अपसारी कहा जाता है।

एकीकरण की दो अनंत सीमाओं के साथ एक अनुचित समाकलन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

, (14)

जहां с अंतराल का कोई बिंदु है। समाकलन तभी अभिसरित होता है जब दोनों समाकलन समानता के दायीं ओर अभिसरित हों (14)।

;

जी) = [हर में पूर्ण वर्ग का चयन करें:] = [प्रतिस्थापन:

] =

इसलिए, अनुचित अभिन्न अभिसरण करता है और इसका मूल्य बराबर होता है।