Alpha bezeichnet eine reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlich zu Unendlich hinzufügen, das Ergebnis dieselbe Unendlichkeit ist. Nehmen wir als Beispiel eine unendliche Menge natürlicher Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele wie folgt darstellen:

Um ihren Fall visuell zu beweisen, haben Mathematiker viele verschiedene Methoden entwickelt. Ich persönlich betrachte all diese Methoden als Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Im Wesentlichen laufen sie alle darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer nicht belegt sind und neue Gäste darin angesiedelt werden, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um den Gästen Platz zu machen (sehr menschlich). Meine Sicht auf solche Entscheidungen habe ich in Form einer fantastischen Geschichte über die Blondine dargestellt. Worauf basiert meine Argumentation? Das Bewegen einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Gästezimmer geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Korridor entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird schon aus der Kategorie "Das Gesetz ist nicht für Dummköpfe geschrieben" fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „unendliches Hotel“? Ein Infinity Inn ist ein Gasthaus, das immer beliebig viele Plätze frei hat, egal wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen Flur „für Besucher“ belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Flur mit Räumen für „Gäste“. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Gleichzeitig hat das „unendliche Hotel“ unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern erschaffen wurden. Mathematiker dagegen können sich nicht von banalen Alltagsproblemen lösen: Gott-Allah-Buddha ist immer nur einer, das Hotel ist einer, der Korridor ist nur einer. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren, um uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, "das Unaufgeforderte zu schieben".

Ich werde Ihnen die Logik meiner Argumentation am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir selbst die Zahlen erfunden haben, gibt es in der Natur keine Zahlen. Ja, die Natur weiß, wie man perfekt zählt, aber dafür verwendet sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Wie die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Seit wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten Sie beide Optionen, wie es sich für einen echten Wissenschaftler gehört.

Option eins. "Lass uns gegeben werden" eine einzelne Menge natürlicher Zahlen, die gelassen auf einem Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das war's, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinbringen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir es bereits haben. Was ist, wenn du es wirklich willst? Kein Problem. Wir können eine Einheit aus dem Set nehmen, das wir bereits genommen haben, und sie ins Regal zurückstellen. Danach können wir eine Einheit aus dem Regal nehmen und zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen so schreiben:

Ich habe die Operationen in algebraischer Notation und in mengentheoretischer Notation aufgeschrieben und die Elemente der Menge im Detail aufgelistet. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn eine davon abgezogen und dieselbe hinzugefügt wird.

Möglichkeit zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen im Regal. Ich betone - UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Wir nehmen eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Mengen natürlicher Zahlen addieren. Hier ist, was wir bekommen:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzugefügt wird, ist das Ergebnis eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen wie ein Lineal zum Messen verwendet. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird bereits eine andere Linie sein, die nicht dem Original entspricht.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren - das ist Ihre eigene Angelegenheit. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, überlegen Sie, ob Sie sich auf dem Weg des falschen Denkens befinden, der von Generationen von Mathematikern beschritten wird. Schließlich bildet der Mathematikunterricht zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens in uns, und erst dann fügt er uns geistige Fähigkeiten hinzu (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

Sonntag, 4. August 2019

Ich schrieb ein Nachwort zu einem Artikel über und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: "... die reichhaltige theoretische Grundlage der babylonischen Mathematik hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage."

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Mängel anderer erkennen können. Ist es schwach für uns, die moderne Mathematik im selben Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht umschreibe, habe ich persönlich Folgendes erhalten:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik hat keinen ganzheitlichen Charakter und ist auf eine Reihe disparater Abschnitte reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen - es hat eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen in verschiedenen Zweigen der Mathematik können unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich einen ganzen Zyklus von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Betrachten Sie ein Beispiel.

Mögen wir viele haben ABER bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von "Menschen" gebildet. Lassen Sie uns die Elemente dieser Menge durch den Buchstaben bezeichnen a, der Index mit einer Zahl gibt die Ordnungszahl jeder Person in dieser Menge an. Führen wir eine neue Maßeinheit "Geschlechtsmerkmal" ein und bezeichnen sie mit dem Buchstaben b. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge ABER zum Geschlecht b. Beachten Sie, dass unser „Menschen“-Set jetzt zum „Menschen mit Geschlecht“-Set geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich unterteilen bm und Frauen sw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches männlich oder weiblich ist. Wenn es in einer Person vorhanden ist, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann wenden wir die übliche Schulmathematik an. Sehen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktionen und Umordnungen haben wir zwei Teilmengen erhalten: die männliche Teilmenge bm und eine Untergruppe von Frauen sw. Ungefähr genauso argumentieren Mathematiker, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie lassen uns nicht in die Details ein, sondern geben uns das fertige Ergebnis – „viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie vielleicht eine Frage, wie richtig angewandte Mathematik bei den obigen Transformationen? Ich wage zu versichern, dass die Transformationen tatsächlich korrekt durchgeführt werden. Es reicht aus, die mathematische Begründung der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Bereiche der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein andermal erzähle ich dir davon.

Bei Obermengen ist es möglich, zwei Mengen zu einer Obermenge zu kombinieren, indem man eine Maßeinheit wählt, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen können, gehören die Mengenlehre durch Maßeinheiten und gängige Mathematik der Vergangenheit an. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist das, was Mathematiker für die Mengenlehre erfunden haben eigene Sprache und eigene Bezeichnungen. Die Mathematiker taten, was einst die Schamanen taten. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Dieses "Wissen" lehren sie uns.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf möchte ich mich konzentrieren Besondere Aufmerksamkeit ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Das habe ich Ihnen bereits gesagt, mit dessen Hilfe Schamanen versuchen, "" Realitäten zu sortieren. Wie machen Sie das? Wie findet eigentlich die Bildung der Menge statt?

Schauen wir uns die Definition einer Menge genauer an: "eine Sammlung verschiedener Elemente, die als ein einziges Ganzes konzipiert ist". Spüren Sie nun den Unterschied zwischen den beiden Ausdrücken: „als Ganzes denkbar“ und „als Ganzes denkbar“. Der erste Satz ist das Endergebnis, die Multitude. Der zweite Satz ist eine vorbereitende Vorbereitung für die Bildung des Satzes. In diesem Stadium wird die Realität in einzelne Elemente ("Ganzes") zerlegt, aus denen dann eine Vielzahl ("einziges Ganzes") gebildet wird. Gleichzeitig wird der Faktor, der es Ihnen ermöglicht, das "Ganze" zu einem "einzigen Ganzen" zu kombinieren, sorgfältig überwacht, sonst werden die Schamanen keinen Erfolg haben. Schamanen wissen schließlich genau, welches Set sie uns vorführen wollen.

Ich werde den Vorgang anhand eines Beispiels zeigen. Wir wählen "roter Körper in einem Pickel" - das ist unser "Ganzes". Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind, und es gibt sie ohne Bogen. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. So ernähren sich Schamanen, indem sie ihre Mengenlehre an die Realität binden.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir "fest in einem Pickel mit Schleife" und vereinen diese "Ganzes" nach Farbe, indem wir rote Elemente auswählen. Wir haben viel "rot". Nun eine knifflige Frage: Sind die erhaltenen Sets „mit Schleife“ und „rot“ das gleiche Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt wissen sie selbst nichts, aber wie sie sagen, sei es so.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengentheorie in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir bildeten eine Reihe von "roten festen Pickeln mit Schleife". Die Entstehung erfolgte nach vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (massiv), Rauheit (in einer Beule), Verzierungen (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. In Klammern sind Maßeinheiten hervorgehoben, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld zugeordnet wird. Aus Klammern ist die Maßeinheit herausgenommen, nach der das Set gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis - ein Element der Menge. Wie Sie sehen können, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Einheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht die Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zu demselben Ergebnis kommen und es mit „Offensichtlichkeit“ argumentieren, weil Maßeinheiten nicht in ihrem „wissenschaftlichen“ Arsenal enthalten sind.

Mit Hilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen zu zerlegen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

Samstag, 30. Juni 2018

Wenn Mathematiker einen Begriff nicht auf andere Begriffe reduzieren können, dann verstehen sie nichts in Mathematik. Ich antworte: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Die Antwort ist ganz einfach: Zahlen und Maßeinheiten.

Heute gehört alles, was wir nicht nehmen, zu einer Menge (wie uns Mathematiker versichern). Übrigens, hast du im Spiegel auf deiner Stirn eine Liste jener Gruppen gesehen, zu denen du gehörst? Und ich habe nicht eine solche Liste gesehen. Ich werde mehr sagen - in Wirklichkeit hat kein einziges Ding ein Tag mit einer Liste von Sets, zu denen dieses Ding gehört. Sets sind allesamt Erfindungen von Schamanen. Wie machen Sie das? Lassen Sie uns etwas tiefer in die Geschichte blicken und sehen, wie die Elemente des Sets aussahen, bevor die Mathematiker-Schamanen sie in ihre Sets zerlegten.

Vor langer Zeit, als noch niemand etwas von Mathematik gehört hatte und nur Bäume und Saturn Ringe hatten, durchstreiften riesige Herden wilder Mengenelemente die physikalischen Felder (schließlich hatten Schamanen noch keine mathematischen Felder erfunden). Sie sahen so aus.

Ja, wundern Sie sich nicht, aus mathematischer Sicht sind alle Elemente von Mengen am ähnlichsten Seeigel- Von einem Punkt aus ragen Maßeinheiten wie Nadeln in alle Richtungen heraus. Für diejenigen, die es tun, erinnere ich Sie daran, dass jede Maßeinheit geometrisch als Segment beliebiger Länge und eine Zahl als Punkt dargestellt werden kann. Geometrisch lässt sich jede Menge als ein Bündel von Segmenten darstellen, die hineinragen verschiedene Seiten von einem Punkt. Dieser Punkt ist der Nullpunkt. Ich werde dieses geometrische Kunstwerk nicht zeichnen (keine Inspiration), aber Sie können es sich leicht vorstellen.

Welche Maßeinheiten bilden ein Element der Menge? Alle, die dieses Element aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben. Dies sind die alten Maßeinheiten, die von unseren Vorfahren verwendet wurden und die alle längst vergessen haben. Dies sind die modernen Maßeinheiten, die wir jetzt verwenden. Das sind uns unbekannte Maßeinheiten, die unsere Nachfahren erfinden und mit denen sie die Wirklichkeit beschreiben werden.

Wir haben die Geometrie herausgefunden - das vorgeschlagene Modell der Elemente des Sets hat eine klare geometrische Darstellung. Und was ist mit der Physik? Maßeinheiten - das ist die direkte Verbindung zwischen Mathematik und Physik. Wenn Schamanen Maßeinheiten nicht als vollwertiges Element mathematischer Theorien anerkennen, ist dies ihr Problem. Ich persönlich kann mir eine echte Wissenschaft der Mathematik ohne Maßeinheiten nicht vorstellen. Deshalb habe ich ganz am Anfang der Geschichte über die Mengenlehre von der Steinzeit gesprochen.

Aber kommen wir zum Interessantesten - zur Algebra der Elemente von Mengen. Algebraisch gesehen ist jedes Element der Menge ein Produkt (das Ergebnis einer Multiplikation) verschiedener Größen, und es sieht so aus.

Ich habe bewusst nicht die Konventionen der Mengenlehre verwendet, da wir ein Element einer Menge in betrachten natürlichen Umgebung Besiedlung vor dem Aufkommen der Mengenlehre. Jedes Buchstabenpaar in Klammern bezeichnet einen separaten Wert, bestehend aus der Zahl, die durch den Buchstaben " n" und Maßeinheiten, gekennzeichnet durch den Buchstaben " a". Indizes in der Nähe der Buchstaben zeigen an, dass die Zahlen und Maßeinheiten unterschiedlich sind. Ein Element der Menge kann aus einer unendlichen Anzahl von Werten bestehen (solange wir und unsere Nachkommen genügend Vorstellungskraft haben). Jeder Klammer wird geometrisch durch ein separates Segment dargestellt.Im Beispiel mit dem Seeigel ist eine Klammer eine Nadel.

Wie bilden Schamanen Sets aus verschiedenen Elementen? In der Tat nach Maßeinheiten oder nach Zahlen. Da sie von Mathematik nichts verstehen, nehmen sie verschiedene Seeigel und untersuchen sie sorgfältig auf der Suche nach der einzelnen Nadel, mit der sie ein Set bilden. Wenn es eine solche Nadel gibt, dann gehört dieses Element zur Menge, gibt es keine solche Nadel, gehört dieses Element nicht zu dieser Menge. Schamanen erzählen uns Fabeln über mentale Prozesse und ein einziges Ganzes.

Wie Sie vielleicht erraten haben, kann dasselbe Element zu einer Vielzahl von Mengen gehören. Als nächstes werde ich Ihnen zeigen, wie Gruppen, Untergruppen und anderer schamanischer Unsinn gebildet werden. Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die meisten Interesse fragen: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Der Rechner hilft Ihnen, online schnell eine Zahl zu potenzieren. Die Basis des Grades kann eine beliebige Zahl sein (sowohl ganzzahlig als auch reell). Der Exponent kann auch ganzzahlig oder reell sowie sowohl positiv als auch negativ sein. Denken Sie daran, dass das Potenzieren mit einer nicht ganzzahligen Potenz für negative Zahlen nicht definiert ist und der Taschenrechner daher einen Fehler meldet, wenn Sie dies dennoch versuchen.

Grad Rechner

Zur Macht erheben

Potenzierung: 46086

Was ist eine natürliche Potenz einer Zahl?

Die Zahl p wird als n-te Potenz der Zahl a bezeichnet, wenn p gleich der Zahl a ist, die n-mal mit sich selbst multipliziert wird: p \u003d a n \u003d a ... a
n - genannt Exponent, und die Zahl a - Basis des Abschlusses.

Wie erhebt man eine Zahl in eine natürliche Potenz?

Betrachten Sie einige Beispiele, um zu verstehen, wie man verschiedene Zahlen zu natürlichen Potenzen erhebt:

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl drei in die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Antworten: 3 4 = 81 .

Beispiel 2. Erhebe die Zahl fünf in die fünfte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 zu berechnen
Lösung: ähnlich 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Antworten: 5 5 = 3125 .

Also, um eine Nummer zu erhöhen natürlichen Grad, einfach n mal mit sich selbst multiplizieren.

Was ist eine negative Potenz einer Zahl?

Die negative Potenz -n von a ist eins dividiert durch a hoch n: a -n = .

In diesem Fall existiert ein negativer Exponent nur für Zahlen ungleich Null, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.

Wie erhöhe ich eine Zahl auf eine negative ganze Zahl?

Um eine Zahl ungleich Null zu einer negativen Potenz zu erheben, müssen Sie den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl zwei auf die minus vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 2 -4 zu berechnen

Lösung: wie oben erwähnt, 2 -4 = = = 0,0625 .

Antworten: 2 -4 = 0.0625 .

In Fortsetzung des Gesprächs über den Grad einer Zahl ist es logisch, sich mit der Ermittlung des Gradwerts zu befassen. Dieser Vorgang wurde benannt Potenzierung. In diesem Artikel werden wir nur untersuchen, wie die Potenzierung durchgeführt wird, während wir alle möglichen Exponenten berühren - natürliche, ganze, rationale und irrationale. Und traditionell werden wir die Lösungen für Beispiele zum Erhöhen von Zahlen in unterschiedlichem Maße im Detail betrachten.

Seitennavigation.

Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir damit, zu erklären, was Potenzierung genannt wird. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung ist es, den Wert der Potenz einer Zahl zu finden.

Den Wert der Potenz von a mit dem Exponenten r zu finden und die Zahl a mit r zu potenzieren, ist also dasselbe. Lautet die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“, dann kann sie wie folgt umformuliert werden: „Potenziere die Zahl 0,5 mit 5“.

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl in eine natürliche Potenz erheben

In der Praxis wird die Gleichheit basierend auf meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n erhoben wird, wird zuerst die Wurzel des n-ten Grades aus der Zahl a gezogen, wonach das Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhoben wird.

Betrachten Sie Lösungen für Beispiele zum Erhöhen auf eine gebrochene Potenz.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Lösung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition von Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Gradwert unter dem Zeichen der Wurzel, wonach wir extrahieren Kubikwurzel: .

Der zweite Weg. Durch Definition eines Grads mit gebrochenem Exponenten und aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln sind die Gleichungen wahr . Extrahieren Sie nun die Wurzel Schließlich potenzieren wir mit einer ganzen Zahl .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse des Erhöhens auf eine gebrochene Potenz überein.

Antworten:

Beachten Sie, dass ein Bruchexponent als Dezimalzahl oder geschrieben werden kann gemischte Zahl, in diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt werden, wonach eine Potenzierung durchgeführt werden sollte.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5 .

Lösung.

Den Exponenten schreiben wir in Form eines gewöhnlichen Bruchs (ggf. siehe Artikel): . Jetzt führen wir eine Potenzerhöhung durch:

Antworten:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass das Potenzieren von Zahlen ein ziemlich mühsamer Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner des Bruchexponenten ziemlich große Zahlen sind), der normalerweise mit Computertechnologie durchgeführt wird.

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir uns mit der Konstruktion der Zahl Null zu einer gebrochenen Potenz befassen. Wir haben dem gebrochenen Nullgrad der Form folgende Bedeutung gegeben: denn wir haben , während null hoch m/n nicht definiert ist. Also ist Null zu einer positiven Bruchpotenz Null, zum Beispiel, . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel machen die Ausdrücke und 0 -4,3 keinen Sinn.

Erhebung zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Gradwert einer Zahl mit irrationalem Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es für praktische Zwecke normalerweise aus, den Gradwert bis zu einem bestimmten Vorzeichen zu erhalten. Wir stellen gleich fest, dass dieser Wert in der Praxis unter Verwendung elektronischer Rechentechnologie berechnet wird, da er auf ir erhöht wird rationaler Grad manuell erfordert eine große Anzahl umständliche Berechnungen. Aber dennoch werden wir in allgemeinen Begriffen das Wesen der Aktionen beschreiben.

Um einen ungefähren Wert der Potenz von a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Annäherung des Exponenten genommen und der Wert des Exponenten berechnet. Dieser Wert ist der ungefähre Wert des Grades der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung der Zahl anfangs genommen wird, desto genauer wird am Ende der Gradwert sein.

Als Beispiel berechnen wir den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung eines irrationalen Indikators: . Jetzt erhöhen wir 2 auf eine rationale Potenz von 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), wir erhalten 2 1,17 ≈ 2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir eine genauere dezimale Annäherung an einen irrationalen Exponenten nehmen, zum Beispiel , dann erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Grades: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik Zh Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 7 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 9 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

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ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in sehr menschlicher Sprache erklären einfache Beispiele. Vorsichtig sein. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Richtig - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen .Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichne einen Pool: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuche zu berechnen, wie viele Meter mal Meter große Würfel in deinen hineinkommen Schwimmbad.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endgültig davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Na und rein Gesamtansicht um zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis "" und einem Exponenten "" wird als "bis zum Grad" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent ist natürliche Zahl. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind Rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, endlos Dezimal. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

Per Definition:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? ABER? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

In der Tat sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine bestimmte „Zahl leer“ , nämlich die Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Nummer:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

Per Definition:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Index Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? ABER? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Es ist möglich, solche zu formulieren einfache Regeln:

1. eben Grad, - Zahl positiv.
2. Eine negative Zahl, errichtet in seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf eben Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

JETZT HAST DU EIN WORT...

Wie gefällt Ihnen der Artikel? Lassen Sie mich in den Kommentaren unten wissen, ob es Ihnen gefallen hat oder nicht.

Erzählen Sie uns von Ihren Erfahrungen mit den Power-Eigenschaften.

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

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So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

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Aber das ist nicht die Hauptsache.

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Es ist Zeit, etwas Mathe zu tun. Weißt du noch, wie viel es wird, wenn zwei mal zwei?

Falls es jemand vergessen hat – es werden vier sein. Es scheint, dass sich jeder an das Einmaleins erinnert und es kennt, aber ich habe eine große Anzahl von Anfragen an Yandex gefunden, wie "Multiplikationstabelle" oder sogar "Multiplikationstabelle herunterladen" (!). Für diese Kategorie von Benutzern sowie für fortgeschrittenere Benutzer, die sich bereits für Quadrate und Grade interessieren, poste ich alle diese Tabellen. Sie können sogar auf Ihre Gesundheit herunterladen! So:

Multiplikationstabelle

(ganze Zahlen von 1 bis 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Tabelle der Quadrate

(ganze Zahlen von 1 bis 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Gradtabelle

(ganze Zahlen von 1 bis 10)

1 hoch:

2 hoch:

3 hoch:

4 hoch:

5 hoch:

6 hoch:

7 hoch:

7 10 = 282475249

8 hoch:

8 10 = 1073741824

9 hoch:

9 10 = 3486784401

10 hoch:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000