A)

Řešení.

První a zásadní bodřešení - stavba výkresu.

Udělejme nákres:

Rovnice y=0 nastavuje osu x;

- x=-2 a x=1 - rovné, rovnoběžné s osou OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, jejíž větve směřují nahoru, s vrcholem v bodě (0;2).

Komentář. Pro sestrojení paraboly stačí najít body jejího průsečíku se souřadnicovými osami, tzn. uvedení x=0 najít průsečík s osou OU a rozhodování o vhodném kvadratická rovnice, najděte průsečík s osou Ach .

Vrchol paraboly lze najít pomocí vzorců:

Můžete kreslit čáry a bod po bodu.

Na intervalu [-2;1] graf funkce y=x2+2 nachází se přes osu Vůl , proto:

Odpovědět: S \u003d 9 čtverečních jednotek

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na výkres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě "od oka" spočítáme počet buněk ve výkresu - dobře, bude napsáno asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom měli odpověď řekněme: 20 čtverečních jednotek, pak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla zjevně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, byla úloha také vyřešena špatně.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou Ach?

b) Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y=-e x , x=1 a souřadnicové osy.

Řešení.

Udělejme nákres.

Pokud křivočarý lichoběžník úplně pod nápravou Ach , pak jeho plochu můžeme najít podle vzorce:

Odpovědět: S=(e-1) jednotka čtvereční" 1,72 jednotka čtvereční

Pozornost! Nepleťte si dva typy úkolů:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji postava nachází v horní i dolní polorovině.

S) Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Řešení.

Nejprve musíte udělat výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najděte průsečíky paraboly a přímý To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický.

Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace a=0 , horní hranice integrace b=3 .

Postavíme dané úsečky: 1. Parabola - vrchol v bodě (1;1); průsečík os Ach - body (0;0) a (0;2). 2. Přímka - os 2. a 4. souřadnicového úhlu. A teď Pozor! Pokud je na intervalu [ a;b] nějakou spojitou funkci f(x) větší nebo rovno nějaké spojité funkci g(x), pak lze plochu odpovídajícího obrázku nalézt podle vzorce: . A nezáleží na tom, kde je obrázek umístěn - nad osou nebo pod osou, ale je důležité, který graf je VYŠŠÍ (vzhledem k jinému grafu) a který je POD. V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Je možné konstruovat čáry bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby "sami". Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo závitová konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální).

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou ​​zespodu.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět: S \u003d 4,5 čtverečních jednotek

Obrazec ohraničený grafem spojité nezáporné funkce $f(x)$ na intervalu $$ a přímkami $y=0, \ x=a$ a $x=b$ se nazývá křivočarý lichoběžník.

Oblast odpovídajícího křivočarý lichoběžník vypočítá se podle vzorce:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Problémy s nalezením oblasti křivočarého lichoběžníku podmíněně rozdělíme na typy $4$. Zvažme každý typ podrobněji.

Typ I: křivočarý lichoběžník je uveden výslovně. Poté okamžitě použijte vzorec (*).

Najděte například oblast křivočarého lichoběžníku ohraničenou grafem funkce $y=4-(x-2)^(2)$ a čarami $y=0, \ x=1$ a $x = 3 $.

Nakreslíme tento křivočarý lichoběžník.

Použitím vzorce (*) najdeme oblast tohoto křivočarého lichoběžníku.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\vpravo|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Typ II: křivočarý lichoběžník je specifikován implicitně. V tomto případě přímky $x=a, \ x=b$ obvykle nejsou specifikovány nebo jsou specifikovány částečně. V tomto případě musíte najít průsečíky funkcí $y=f(x)$ a $y=0$. Tyto body budou body $a$ a $b$.

Najděte například plochu obrázku ohraničenou grafy funkcí $y=1-x^(2)$ a $y=0$.

Pojďme najít průsečíky. Abychom toho dosáhli, zrovnoprávníme správné části funkcí.

Takže $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme tento křivočarý lichoběžník.

Najděte oblast tohoto křivočarého lichoběžníku.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Typ III: plocha figury ohraničená průsečíkem dvou spojitých nezáporných funkcí. Toto číslo nebude křivočarý lichoběžník, což znamená, že pomocí vzorce (*) nemůžete vypočítat jeho plochu. Jak být? Ukazuje se, že oblast tohoto obrázku lze nalézt jako rozdíl mezi plochami křivočarých lichoběžníků ohraničených horní funkcí a $y=0$ ($S_(uf)$) a dolní funkcí a $y= 0$ ($S_(lf)$), kde roli $x=a, \ x=b$ hrají souřadnice $x$ průsečíků těchto funkcí, tzn.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Nejdůležitější věcí při výpočtu takových ploch je „nepropásnout“ výběr horní a dolní funkce.

Najděte například oblast obrázku ohraničenou funkcemi $y=x^(2)$ a $y=x+6$.

Pojďme najít průsečíky těchto grafů:

Podle Vietovy věty

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3,$

To znamená $a=-2, \b=3$. Nakreslíme postavu:

Horní funkce je tedy $y=x+6$ a spodní je $y=x^(2)$. Dále najděte $S_(uf)$ a $S_(lf)$ pomocí vzorce (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\vlevo.\frac(x^(2))(2)\vpravo|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jednotka $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\vpravo|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Náhradník nalezený v (**) a získejte:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jednotka $^(2)$).

Typ IV: plocha obrazce ohraničená funkcí (funkcemi), která nesplňuje podmínku nezápornosti. Abyste našli plochu takového obrazce, musíte být symetrický kolem osy $Ox$ ( jinými slovy, dejte před funkce „mínusy“) zobrazte oblast a pomocí metod popsaných v typech I - III najděte oblast zobrazené oblasti. Tato oblast bude požadovanou oblastí. Nejprve možná budete muset najít průsečíky grafů funkcí.

Najděte například plochu obrázku ohraničenou grafy funkcí $y=x^(2)-1$ a $y=0$.

Pojďme najít průsečíky grafů funkcí:

těch. $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme oblast.

Zobrazme oblast symetricky:

$y=0 \ \Šipka doprava \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Šipka doprava \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Získáte křivočarý lichoběžník ohraničený grafem funkce $y=1-x^(2)$ a $y=0$. To je problém najít křivočarý lichoběžník druhého typu. Už jsme to vyřešili. Odpověď byla: $S= 1\frac(1)(3)$ (jednotky $^(2)$). Takže plocha požadovaného křivočarého lichoběžníku se rovná:

$S=1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Nyní přejdeme k úvahám o aplikacích integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol. Jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Nikdy nevíš. Budeme se muset v životě sblížit venkovská chatová oblast elementární funkce a najít její obsah pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) rozumět neurčitý integrál alespoň na průměrné úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. Kovat za tepla přátelské vztahy s určitými integrály naleznete na stránce Určitý integrál. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrázku, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha "vypočítat plochu pomocí určitého integrálu" vždy zahrnuje konstrukci výkresu, mnohem víc aktuální problém budou vaše znalosti a dovednosti kreslení. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů hlavních elementárních funkcí a minimálně umět sestavit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (mnozí potřebují) s pomocí metodický materiál a články o geometrických transformacích grafů.

Problém hledání oblasti pomocí určitého integrálu zná vlastně každý už od školy a trochu předběhneme školní osnovy. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy studenta trápí nenáviděná věž s nadšením zvládajícím kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme křivočarým lichoběžníkem.

Křivočarý lichoběžník nazývá se plochý obrazec ohraničený osou , přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který nemění znaménko na tomto intervalu. Nechte toto číslo najít ne méněúsečka:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem OBLAST.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše nějakého obrazce. Uvažujme například určitý integrál . Integrand definuje křivku v rovině, která je umístěna nad osou (ti, kdo si to přejí, mohou dokreslit výkres) a samotný určitý integrál se číselně rovná ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický úkolový příkaz. Prvním a nejdůležitějším momentem rozhodnutí je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Při sestavování plánu doporučuji následující pořadí: První je lepší konstruovat všechny čáry (pokud existují) a pouze po- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Vytváření funkčních grafů je výhodnější bod po bodu, techniku ​​bodové konstrukce najdete v referenční materiál Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít materiál, který je velmi užitečný ve vztahu k naší lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Udělejme nákres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu líhnout křivočarý lichoběžník, je zřejmé, o jaké oblasti se zde bavíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newtonova-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na výkres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ spočítáme počet buněk na výkresu - dobře, bude napsáno asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom měli odpověď řekněme: 20 čtverečních jednotek, pak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla evidentně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, byla úloha také vyřešena špatně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a osou

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn křivočarý lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak jeho obsah lze najít podle vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Nepleťte si dva typy úkolů:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický. Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace, horní hranice integrace.
Pokud je to možné, je nejlepší tuto metodu nepoužívat..

Mnohem výhodnější a rychlejší je stavět linky bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby „sami“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo závitová konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vracíme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že u bodové konstrukce se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na intervalu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci, pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a přímkami, lze nalézt podle vzorce:

Zde již není nutné přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je NAHOŘE(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou ​​zespodu.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je dána rovnicí , a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy

A nyní pár příkladů pro nezávislé rozhodnutí

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

V průběhu řešení úloh pro výpočet plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Výkres byl proveden správně, výpočty byly správné, ale kvůli nepozornosti ... našel oblast špatného obrázku, tak to tvůj poslušný sluha několikrát podělal. Tady skutečný případ ze života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

…Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře.(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). V praxi však kvůli nepozornosti často dochází k „závadě“, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna v zeleném!

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je přímkový graf;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Přejděme k ještě jednomu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a proveďte bodové kreslení:

Z nákresu je vidět, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Jaká je ale spodní hranice? Je jasné, že to není celé číslo, ale co? Možná ? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat. Nebo root. Co kdybychom ten graf vůbec nepochopili?

V takových případech je třeba věnovat více času a analyticky upřesňovat limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:


,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

No, na závěr lekce budeme považovat dva úkoly za obtížnější.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Nakreslete tento obrázek do výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a předělat obrázek, promiň, ne hotz. Žádná kresba, zkrátka dnes je ten den =)

Pro bodovou konstrukci potřebujete vědět vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné vědět grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je dovoleno sestrojit schematický výkres, na kterém musí být grafy a integrační limity zobrazeny v zásadě správně.

S integračními limity zde nejsou žádné problémy, vyplývají přímo z podmínky: - "x" se změní z nuly na "pi". Učiníme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Úkol číslo 3. Udělejte nákres a vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Aplikace integrálu při řešení aplikovaných problémů

Výpočet plochy

Určitý integrál spojité nezáporné funkce f(x) je číselně roven oblast křivočarého lichoběžníku ohraničeného křivkou y \u003d f (x), osou O x a přímkami x \u003d a a x \u003d b. V souladu s tím je vzorec oblasti zapsán takto:

Zvažte několik příkladů výpočtu ploch rovinných obrazců.

Číslo úkolu 1. Vypočítejte plochu ohraničenou přímkami y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Řešení. Vytvořme obrázek, jehož plochu budeme muset vypočítat.

y \u003d x 2 + 1 je parabola, jejíž větve směřují nahoru a parabola je posunuta nahoru o jednu jednotku vzhledem k ose O y (obrázek 1).

Obrázek 1. Graf funkce y = x 2 + 1

Úkol číslo 2. Vypočítejte plochu ohraničenou přímkami y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 v rozsahu od 0 do 1.

Řešení. Grafem této funkce je parabola větve, která směřuje nahoru a parabola je vůči ose O y posunuta dolů o jednu jednotku (obrázek 2).

Obrázek 2. Graf funkce y \u003d x 2 - 1

Úkol číslo 3. Udělejte nákres a vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

y = 8 + 2x - x 2 a y = 2x - 4.

Řešení. První z těchto dvou přímek je parabola s větvemi směřujícími dolů, protože koeficient v x 2 je záporný, a druhá přímka je přímka protínající obě souřadnicové osy.

Pro sestrojení paraboly najdeme souřadnice jejího vrcholu: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vrchol úsečka; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho pořadnice, N(1;9) je jeho vrchol.

Nyní najdeme průsečíky paraboly a přímky řešením soustavy rovnic:

Vyrovnání pravých stran rovnice, jejíž levé strany jsou stejné.

Získáme 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 nebo x 2 - 12 \u003d 0, odkud .

Body jsou tedy průsečíky paraboly a přímky (obrázek 1).

Obrázek 3 Grafy funkcí y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Postavme přímku y = 2x - 4. Prochází body (0;-4), (2; 0) na souřadnicových osách.

K sestavení paraboly můžete mít také její průsečíky s osou 0x, tedy kořeny rovnice 8 + 2x - x 2 = 0 nebo x 2 - 2x - 8 = 0. Podle Vietovy věty je snadné najít jeho kořeny: x 1 = 2, x 2 = čtyři.

Obrázek 3 ukazuje obrazec (parabolický segment M 1 N M 2) ohraničený těmito přímkami.

Druhou částí problému je najít oblast tohoto obrázku. Jeho obsah lze zjistit pomocí určitého integrálu pomocí vzorce .

S ohledem na tuto podmínku získáme integrál:

2 Výpočet objemu rotačního tělesa

Objem tělesa získaný z rotace křivky y \u003d f (x) kolem osy O x se vypočítá podle vzorce:

Při otáčení kolem osy O y vzorec vypadá takto:

Úkol číslo 4. Určete objem těla získaného rotací křivočarého lichoběžníku ohraničeného přímkami x \u003d 0 x \u003d 3 a křivkou y \u003d kolem osy O x.

Řešení. Vytvoříme výkres (obrázek 4).

Obrázek 4. Graf funkce y =

Požadovaný objem se rovná

Úkol číslo 5. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací křivočarého lichoběžníku ohraničeného křivkou y = x 2 a přímkami y = 0 a y = 4 kolem osy O y .

Řešení. My máme:

Kontrolní otázky

Jak vložit matematické vzorce na web?

Pokud budete někdy potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak je nejjednodušší způsob, jak to udělat, jak je popsáno v článku: matematické vzorce se snadno vkládají na web ve formě obrázků, které Wolfram Alpha automaticky generuje. Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale je morálně zastaralé.

Pokud na svém webu neustále používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji použít MathJax, speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.

Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) nahrajte skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob je složitější a časově náročnější a umožní vám urychlit načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první způsob, jelikož je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a do 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.

Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo ze stránky dokumentace:

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo hned za značkou . Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: na ovládacím panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi načítacího kódu a umístěte widget blíže k začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do svých webových stránek.

Jakýkoli fraktál je postaven podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.

Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Vznikne sada skládající se z 20 zbývajících menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, dostaneme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.