Primitivní funkce pro funkci y 1 x. Kalkulačka online. Vypočítejte neurčitý integrál (antiderivát)
Funkce F(X ) volala primitivní pro funkci F(X) v daném intervalu, pokud pro všechny X z tohoto intervalu rovnost
F"(X ) = F(X ) .
Například funkce F(x) = x 2 F(X ) = 2X , protože
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Hlavní vlastnost primitivního derivátu
Pokud F(x) je primitivním prvkem funkce f(x) na daném intervalu pak funkce f(x) má nekonečně mnoho primitivních derivátů a všechny tyto primitivní prvky lze zapsat jako F(x) + C, kde Z je libovolná konstanta.
Například. Funkce F(x) = x 2 + 1 je primitivním prvkem funkce F(X ) = 2X , protože F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkce F(x) = x 2 - 1 je primitivním prvkem funkce F(X ) = 2X , protože F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkce F(x) = x 2 - 3 je primitivním prvkem funkce F(X) = 2X , protože F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); jakoukoli funkci F(x) = x 2 + Z , kde Z je libovolná konstanta a pouze taková funkce je primitivní pro funkci F(X) = 2X . ◄ |
Pravidla pro výpočet primitivních funkcí
- Pokud F(x) - originál pro f(x) , a G(x) - originál pro g(x) , pak F(x) + G(x) - originál pro f(x) + g(x) . Jinými slovy, primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků .
- Pokud F(x) - originál pro f(x) , a k je tedy konstantní k · F(x) - originál pro k · f(x) . Jinými slovy, konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace .
- Pokud F(x) - originál pro f(x) , a k,b- trvalé a k ≠ 0 , pak 1 / k F( k x + b ) - originál pro F(k x + b) .
Neurčitý integrál
Ne určitý integrál z funkce f(x) zvaný výraz F(x) + C, tedy množina všech primitivních funkcí dané funkce f(x) . Neurčitý integrál se označuje takto:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- volala integrand ;
f(x) dx- volala integrand ;
X - volala integrační proměnná ;
F(x) je jedním z primitivních prvků funkce f(x) ;
Z je libovolná konstanta.
Například, ∫ 2 x dx =X 2 + Z , ∫ cosx dx = hřích X + Z a tak dále. ◄
Slovo „integrální“ pochází z latinského slova celé číslo , což znamená „obnovený“. S ohledem na neurčitý integrál 2 X, tak nějak obnovíme funkci X 2 , jehož derivát je 2 X. Obnovení funkce z její derivace nebo, což je totéž, nalezení neurčitého integrálu nad daným integrandem, se nazývá integrace tuto funkci. Integrace je inverzní operace derivace, ke kontrole správnosti integrace stačí výsledek derivovat a získat integrand.
Základní vlastnosti neurčitého integrálu
- Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:
- Konstantní faktor integrandu lze vyjmout ze znaménka integrálu:
- Integrál součtu (rozdílu) funkcí se rovná součtu (rozdílu) integrálů těchto funkcí:
- Pokud k,b- trvalé a k ≠ 0 , pak
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ F( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .
Tabulka primitivních a neurčitých integrálů
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| já | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| proti. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatice)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Obvykle se nazývají primitivní a neurčité integrály uvedené v této tabulce tabulková primitiva
a tabulkové integrály
. |
|||
Určitý integrál
Pusťte mezi to [A; b] má spojitou funkci y = f(x) , pak určitý integrál od a do b funkcí f(x) se nazývá přírůstek primitiva F(x) tato funkce, tzn
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Čísla A a b se nazývají resp dolní a horní integrační limity.
Základní pravidla pro výpočet určitého integrálu
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kde k - konstantní;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kde f(x) je sudá funkce;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kde f(x) je zvláštní funkce.
Komentář . Ve všech případech se předpokládá, že integrandy jsou integrovatelné na číselných intervalech, jejichž hranice jsou limity integrace.
Geometrický a fyzikální význam určitého integrálu
| geometrický smysl určitý integrál | fyzický význam
určitý integrál |
 |  |
Náměstí S křivočarý lichoběžník (útvar ohraničený grafem spojité kladné čáry na intervalu [A; b] funkcí f(x) , osa Vůl a přímý x=a , x=b ) se vypočítá podle vzorce $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Cesta s, kterou hmotný bod překonal, pohybující se přímočaře rychlostí, která se mění podle zákona v(t)
, za časový interval a ;
b], pak plocha obrázku ohraničená grafy těchto funkcí a přímkami x = a
, x = b
, se vypočítá podle vzorce $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Například. Vypočítejte plochu obrázku ohraničené čarami y=x 2 a y= 2-X . Schematicky znázorníme grafy těchto funkcí a zvýrazníme obrázek, jehož plochu je potřeba najít jinou barvou. Abychom našli hranice integrace, vyřešíme rovnici: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \vpravo )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Objem rotačního tělesa
 | Pokud je těleso získáno jako výsledek rotace kolem osy Vůl křivočarý lichoběžník ohraničený grafem spojitých a nezáporných na intervalu [A; b] funkcí y = f(x) a přímý x = a a x = b , pak se to nazývá tělo revoluce . Objem rotačního tělesa se vypočítá podle vzorce $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jestliže rotační těleso je získáno jako výsledek rotace obrazce ohraničeného nahoře a dole funkčními grafy y = f(x) a y = g(x) , respektive $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Například. Vypočítejte objem kužele s poloměrem r
a výška h
. Umístíme kužel do pravoúhlého souřadného systému tak, aby se jeho osa shodovala s osou Vůl
a střed základny byl umístěn v počátku souřadnic. Rotace generátoru AB definuje kužel. Od rovnice AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| a pro objem kužele, který máme $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Viděli jsme, že derivace má četné aplikace: derivace je rychlost pohybu (nebo obecněji rychlost jakéhokoli procesu); derivace je sklon tečny ke grafu funkce; pomocí derivace můžete zkoumat funkci pro monotónnost a extrémy; Derivace pomáhá řešit optimalizační problémy.
Ale v reálný život musí být také vyřešeny inverzní problémy: například spolu s problémem zjištění rychlosti ze známého pohybového zákona existuje také problém obnovení pohybového zákona ze známé rychlosti. Podívejme se na jeden z těchto problémů.
Příklad 1 Hmotný bod se pohybuje po přímce, rychlost jeho pohybu v čase t je dána vzorcem u = tg. Najděte zákon pohybu.
Řešení. Nechť s = s(t) je požadovaný pohybový zákon. Je známo, že s"(t) = u"(t). Abychom problém vyřešili, musíme si vybrat funkce s = s(t), jehož derivace je rovna tg. To je snadné uhodnout
Hned si všimneme, že příklad je vyřešen správně, ale neúplně. Zjistili jsme, že Ve skutečnosti má problém nekonečně mnoho řešení: jakoukoli funkci tvaru 
libovolná konstanta, může sloužit jako zákon pohybu, protože
Aby byl úkol konkrétnější, museli jsme opravit výchozí situaci: označit souřadnici pohybujícího se bodu v určitém okamžiku, například v t=0. Pokud řekněme s (0) \u003d s 0, pak z rovnosti získáme s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Nyní je zákon pohybu jednoznačně definován:
V matematice se přiřazují reciproční operace různá jména, vymyslete speciální zápis: například kvadratura (x 2) a extrahování odmocnina sinus (sinx) a arcsinus(arcsin x) atd. Proces hledání derivace vzhledem k dané funkci se nazývá derivace a operace inverzní, tzn. proces hledání funkce danou derivací - integrací.
Samotný výraz „derivát“ lze odůvodnit „světským způsobem“: funkce y - f (x) „vyprodukuje do světa“ novou funkci y „= f“ (x) Funkce y \u003d f (x) působí jako „rodič“, ale matematici tomu samozřejmě neříkají „rodič“ nebo „producent“, říkají, že je to ve vztahu k funkci y „=f“ (x) primární obraz , nebo, stručně řečeno, primitivní.
Definice 1. Funkce y \u003d F (x) se nazývá primitivní funkce pro funkci y \u003d f (x) na daném intervalu X, pokud pro všechna x z X platí rovnost F "(x) \u003d f (x) .
V praxi se interval X obvykle neuvádí, ale je implikován (jako přírodní oblast definice funkcí).
Zde jsou nějaké příklady:
1) Funkce y \u003d x 2 je primitivní pro funkci y \u003d 2x, protože pro všechna x platí rovnost (x 2) "\u003d 2x.
2) funkce y - x 3 je primitivní funkce pro funkci y-3x 2, protože pro všechna x platí rovnost (x 3)" \u003d 3x 2.
3) Funkce y-sinx je primitivní funkce pro funkci y=cosx, protože pro všechna x platí rovnost (sinx) "=cosx.
4) Funkce je primitivní pro funkci na intervalu, protože pro všechna x > 0 platí rovnost
Obecně platí, že při znalosti vzorců pro hledání derivátů není těžké sestavit tabulku vzorců pro hledání primitivních derivátů.
Doufáme, že chápete, jak se tato tabulka sestavuje: derivace funkce, která je zapsána ve druhém sloupci, se rovná funkci, která je zapsána v odpovídajícím řádku prvního sloupce (podívejte se, nebuďte líní, je to velmi užitečné). Například pro funkci y \u003d x 5 je primitivní funkce, jak určíte, funkcí (viz čtvrtý řádek tabulky).
Poznámky: 1. Níže dokážeme větu, že pokud y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak funkce y = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar y = F (x ) + C. Proto by bylo správnější přidat výraz C všude do druhého sloupce tabulky, kde C je libovolné reálné číslo.
2. Pro stručnost se někdy místo fráze "funkce y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x)" říká F(x) je primitivní funkce pro f(x) ".
2. Pravidla pro hledání primitivních derivátů
Při hledání primitivních derivátů, stejně jako při hledání derivátů, se používají nejen vzorce (jsou uvedeny v tabulce na str. 196), ale i některá pravidla. Přímo souvisejí s odpovídajícími pravidly pro výpočet derivátů.
Víme, že derivace součtu se rovná součtu derivací. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 1 Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků.
Upozorňujeme na určitou "lehkost" této formulace. Ve skutečnosti by bylo nutné formulovat větu: pokud funkce y = f(x) a y=g(x) mají primitivní funkce na intervalu X, y-F(x) a y-G(x), pak součet z funkcí y = f(x) + g(x) má primitivní prvek na intervalu X a tímto primitivním prvkem je funkce y = F(x) + G(x). Ale obvykle se při formulování pravidel (a ne teorémů) zbývá pouze klíčová slova- je tedy pohodlnější aplikovat pravidlo v praxi
Příklad 2 Najděte primitivní funkci pro funkci y = 2x + cos x.
Řešení. Primitivním prvkem pro 2x je x"; primitivním prvkem pro cosx je sin x. Primitivním prvkem pro funkci y \u003d 2x + cos x bude tedy funkce y \u003d x 2 + sin x (a obecně jakákoli funkce tvar Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Víme, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 2 Konstantní faktor lze vyjmout z primitivního znaménka.
Příklad 3
Řešení. a) Prvkem pro sin x je -cos x; proto pro funkci y \u003d 5 sin x bude primitivní funkce funkce y \u003d -5 cos x.
b) primitivní pro cos x je sin x; proto pro primitivní funkci bude existovat funkce
c) Primitivní prvek pro x 3 je primitivní prvek pro x je primitivní prvek pro funkci y \u003d 1 je funkce y \u003d x. Pomocí prvního a druhého pravidla pro hledání primitivních prvků dostaneme, že primitivní prvek pro funkci y \u003d 12x 3 + 8x-1 je funkce
Komentář. Jak víte, derivace součinu se nerovná součinu derivací (pravidlo pro derivování produktu je složitější) a derivace kvocientu se nerovná kvocientu derivací. Neexistují tedy žádná pravidla pro hledání primitivního součinu nebo primitivního kvocientu dvou funkcí. Buď opatrný!
Získáme ještě jedno pravidlo pro hledání primitivních derivátů. Víme, že derivace funkce y \u003d f (kx + m) se vypočítá podle vzorce
Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 3 Pokud y \u003d F (x) je primitivní funkce pro funkci y \u003d f (x), pak je primitivní funkce pro funkci y \u003d f (kx + m) funkce
Vskutku,
To znamená, že je to primitivní funkce pro funkci y \u003d f (kx + m).
Význam třetího pravidla je následující. Pokud víte, že primitivní funkce pro funkci y \u003d f (x) je funkce y \u003d F (x), a potřebujete najít primitivní prvek funkce y \u003d f (kx + m), postupujte takto následuje: vezměte stejnou funkci F, ale místo argumentu x dosaďte výraz xx+m; navíc nezapomeňte před znaménko funkce napsat „korekční faktor“.
Příklad 4 Najděte primitivní funkce pro dané funkce:
Řešení, a) Prvkem pro sin x je -cos x; to znamená, že pro funkci y \u003d sin2x bude primitivní funkce
b) primitivní pro cos x je sin x; proto pro primitivní funkci bude existovat funkce
c) Primitivní prvek pro x 7 je tedy, pro funkci y \u003d (4-5x) 7, primitivní prvek bude funkce
3. Neurčitý integrál
Již výše jsme poznamenali, že problém nalezení primitivní funkce pro danou funkci y = f(x) má více než jedno řešení. Pojďme si tento problém probrat podrobněji.
Důkaz. 1. Nechť y \u003d F (x) je primitivní funkce pro funkci y \u003d f (x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z X je rovnost x "(x) \u003d f (x) true. Najděte derivaci libovolné funkce ve tvaru y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Takže (F(x)+C) = f(x). To znamená, že y \u003d F (x) + C je primitivní funkce pro funkci y \u003d f (x).
Dokázali jsme tedy, že pokud funkce y \u003d f (x) má primitivní y \u003d F (x), pak funkce (f \u003d f (x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí, například jakákoli funkce tvar y \u003d F (x) +C je primitivní.
2. Dokažme nyní, že celá množina primitivních funkcí je vyčerpána uvedeným typem funkcí.
Nechť y=F 1 (x) a y=F(x) jsou dvě primitivní funkce pro funkci Y = f(x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z intervalu X platí vztahy: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Zvažte funkci y \u003d F 1 (x) -.F (x) a najděte její derivaci: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Je známo, že pokud je derivace funkce na intervalu X shodně rovna nule, pak je funkce na intervalu X konstantní (viz věta 3 v § 35). Tedy F1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d F (x) + C.
Věta byla prokázána.
Příklad 5 Je nastaven zákon změny rychlosti od času v = -5sin2t. Najděte pohybový zákon s = s(t), je-li známo, že v čase t=0 byla souřadnice bodu rovna číslu 1,5 (tj. s(t) = 1,5).
Řešení. Protože rychlost je derivací souřadnice jako funkce času, musíme nejprve najít primitivní derivaci rychlosti, tzn. primitivní funkce pro funkci v = -5sin2t. Jedním z takových primitiv je funkce a množina všech primitiv má tvar:
Pro zjištění konkrétní hodnoty konstanty C použijeme počáteční podmínky, podle kterých je s(0) = 1,5. Dosadíme-li do vzorce (1) hodnoty t=0, S = 1,5, dostaneme:
Dosazením nalezené hodnoty C do vzorce (1) získáme pohybový zákon, který nás zajímá:
Definice 2. Má-li funkce y = f(x) na intervalu X primitivní y = F(x), pak množina všech primitiv, tzn. množina funkcí tvaru y \u003d F (x) + C se nazývá neurčitý integrál funkce y \u003d f (x) a označuje se:
(čtou: „neurčitý integrál ef x de x“).
V další části zjistíme, jaký je skrytý význam tohoto zápisu.
Na základě tabulky primitivních funkcí dostupných v tomto odstavci sestavíme tabulku základních neurčitých integrálů:
Na základě výše uvedených tří pravidel pro hledání primitivních prvků můžeme formulovat odpovídající integrační pravidla.
Pravidlo 1 Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů těchto funkcí:
Pravidlo 2 Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
Pravidlo 3 Pokud
Příklad 6 Najděte neurčité integrály:
Řešení, a) Pomocí prvního a druhého integračního pravidla získáme:
Nyní použijeme 3. a 4. integrační vzorec:
V důsledku toho získáme:
b) Pomocí třetího integračního pravidla a vzorce 8 dostaneme:
c) Pro přímé určení daného integrálu nemáme ani odpovídající vzorec, ani odpovídající pravidlo. V takových případech někdy pomáhají předběžné shodné transformace výrazu obsaženého pod znaménkem integrálu.
Pojďme použít trigonometrický vzorec downgrade:
Pak postupně najdeme:
A.G. Mordkovičova algebra třída 10
Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online , Matematika ve škole
primitivní
Definice primitivní funkce
- Funkce y=F(x) se nazývá primitivní funkce y=f(x) v daném intervalu X, pokud pro všechny X ∈X platí rovnost: F′(x) = f(x)
Lze jej číst dvěma způsoby:
- F derivace funkce F
- F primitivní funkce F
vlastnost primitivních derivátů
- Pokud F(x)- primitivní prvek pro funkci f(x) na daném intervalu pak funkce f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny tyto primitivní funkce lze zapsat jako F(x) + C, kde C je libovolná konstanta.
Geometrická interpretace
- Grafy všech primitivních funkcí dané funkce f(x) jsou získány z grafu kterékoli primitivní derivace paralelními přenosy podél osy O v.
Pravidla pro výpočet primitivních funkcí
- Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků. Pokud F(x)- primitivní pro f(x) a G(x) je primitivní pro g(x), pak F(x) + G(x)- primitivní pro f(x) + g(x).
- Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Pokud F(x)- primitivní pro f(x), a k je tedy konstantní kF(x)- primitivní pro kf(x).
- Pokud F(x)- primitivní pro f(x), a k,b- trvalé a k ≠ 0, pak 1/k F(kx + b)- primitivní pro f(kx + b).
Zapamatovat si!
Jakákoli funkce F (x) \u003d x 2 + C , kde C je libovolná konstanta a pouze taková funkce je primitivní funkcí funkce f(x) = 2x.
- Například:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, protože F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, protože F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
Vztah mezi grafy funkce a její primitivní funkcí:
- Pokud je graf funkce f(x)>0 F(x) se v tomto intervalu zvyšuje.
- Pokud je graf funkce f(x)<0 na intervalu, pak graf jeho primitivní F(x) v tomto intervalu klesá.
- Pokud f(x)=0, pak graf jeho primitivního prvku F(x) v tomto okamžiku se mění z rostoucí na klesající (nebo naopak).
K označení primitivní funkce se používá znaménko neurčitého integrálu, tj. integrálu bez vyznačení mezí integrace.
Neurčitý integrál
Definice:
- Neurčitý integrál funkce f(x) je výraz F(x) + C, tedy množina všech primitivních funkcí dané funkce f(x). Neurčitý integrál se označí takto: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) se nazývá integrand;
- f(x) dx- se nazývá integrand;
- X- se nazývá proměnná integrace;
- F(x)- jedna z primitivních funkcí funkce f(x);
- Z je libovolná konstanta.
Vlastnosti neurčitého integrálu
- Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu: (\int f(x) dx)\prvočíslo= f(x) .
- Konstantní faktor integrandu lze vyjmout ze znaménka integrálu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Integrál součtu (rozdílu) funkcí se rovná součtu (rozdílu) integrálů těchto funkcí: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Pokud k,b jsou konstanty a k ≠ 0, pak \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Tabulka primitivních a neurčitých integrálů
| Funkce f(x) | primitivní F(x) + C | Neurčité integrály \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x)dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x)dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sinx) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Newtonův-Leibnizův vzorec
Nechat f(x) tato funkce, F jeho svévolné primitivum.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
kde F(x)- primitivní pro f(x)
Tedy integrál funkce f(x) na intervalu se rovná rozdílu primitivních prvků v bodech b a A.
Oblast křivočarého lichoběžníku
Křivočarý lichoběžník se nazývá obrazec ohraničený grafem nezáporné a spojité funkce na segmentu F, osa Ox a přímky x = a a x = b.
Oblast křivočarého lichoběžníku se nalézá pomocí vzorce Newton-Leibniz:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Zvažte pohyb bodu po přímce. Nechte čas t od začátku pohybu bod prošel dráhou Svatý). Pak okamžitá rychlost v(t) rovna derivaci funkce Svatý), to je v(t) = s"(t).
V praxi existuje inverzní problém: pro danou rychlost pohybu bodu v(t) najít její cestu Svatý), tedy najít takovou funkci Svatý), jehož derivát je v(t). Funkce Svatý), takové, že s"(t) = v(t), se nazývá primitivní funkce v(t).
Například pokud v(t) = at, kde A je dané číslo, pak funkce
s(t) = (při 2) / 2v(t), protože
s "(t) \u003d ((na 2) / 2) " \u003d na \u003d v (t).
Funkce F(x) se nazývá primitivní funkce f(x) v nějakém intervalu, pokud pro všechny X z tohoto intervalu F"(x) = f(x).
Například funkce F(x) = hřích x je primitivní funkce f(x) = cos x, protože (hřích x)" = cos x; funkce F (x) \u003d x 4/4 je primitivní funkce f(x) = x 3, protože (x 4/4)" \u003d x 3.
Zvažme úkol.
Úkol.
Dokažte, že funkce x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 jsou primitivními funkcemi stejné funkce f (x) \u003d x 2.
Řešení.
1) Označte F 1 (x) \u003d x 3 / 3, poté F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x).
2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f (x).
3) F 3 (x) \u003d x 3 / 3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).
Obecně platí, že jakákoli funkce x 3 / 3 + C, kde C je konstanta, je primitivní funkcí funkce x 2. Vyplývá to z toho, že derivace konstanty je nulová. Tento příklad ukazuje, že pro danou funkci není její primitivní funkce jednoznačně definována.
Nechť F 1 (x) a F 2 (x) jsou dvě primitivní funkce stejné funkce f(x).
Potom F 1 "(x) = f(x) a F" 2 (x) = f(x).
Derivace jejich rozdílu g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) se rovná nule, protože g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.
Pokud g "(x) \u003d 0 na určitém intervalu, pak je tečna ke grafu funkce y \u003d g (x) v každém bodě tohoto intervalu rovnoběžná s osou Ox. Proto graf funkce y \u003d g (x) je přímka rovnoběžná s osou Ox, tj. g (x) \u003d C, kde C je nějaká konstanta Z rovností g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) z toho vyplývá, že F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.
Pokud je tedy funkce F(x) primitivní funkcí f(x) na nějakém intervalu, pak všechny primitivní funkce funkce f(x) jsou zapsány jako F(x) + С, kde С je libovolná konstanta.
Uvažujme grafy všech primitivních funkcí dané funkce f(x). Je-li F(x) jednou z primitivních funkcí funkce f(x), pak libovolná primitivní funkce této funkce získáme přidáním nějaké konstanty k F(x) nějaké konstanty: F(x) + C. Grafy funkcí y = F(x) + C získáme z grafu y = F(x) posunem podél osy Oy. Volbou C lze zajistit, že graf primitivní funkce prochází daným bodem.
Věnujme pozornost pravidlům pro hledání primitivů.
Připomeňme, že se volá operace nalezení derivace pro danou funkci diferenciace. Zavolá se inverzní operace nalezení primitivní funkce pro danou funkci integrace(z latinského slova "obnovit").
Tabulka primitivních derivátů pro některé funkce lze sestavit pomocí tabulky derivací. Například to vědět (cos x)" = -sin x, dostaneme (-cos x)" = hřích x, z čehož vyplývá, že všechny primitivní funkce hřích x jsou zapsány ve tvaru -cos x + C, kde Z- konstantní.
Podívejme se na některé hodnoty primitivních derivátů.
1) Funkce: x p, p ≠ -1. Přiřazení: (x p + 1) / (p + 1) + C.
2) Funkce: 1/x, x > 0. Přiřazení: lnx + C.
3) Funkce: x p, p ≠ -1. Přiřazení: (x p + 1) / (p + 1) + C.
4) Funkce: e x. Přiřazení: e x + C.
5) Funkce: hřích x. Přiřazení: -cos x + C.
6) Funkce: (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0. Přiřazení: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Funkce: 1/(kx + b), k ≠ 0. Přiřazení: (1/k) ln (kx + b) + С.
8) Funkce: e kx + b, k ≠ 0. Přiřazení: (1/k) e kx + b + C.
9) Funkce: sin (kx + b), k ≠ 0. Přiřazení: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Funkce: cos (kx + b), k ≠ 0. Přiřazení: (1/k) sin (kx + b). 
Integrační pravidla lze získat pomocí pravidla diferenciace. Podívejme se na některá pravidla.
Nechat F(x) a G(x) jsou primitivními deriváty funkcí f(x) a g(x) v nějakém intervalu. Pak:
1) funkce F(x) ± G(x) je primitivní funkce f(x) ± g(x);
2) funkce aF(x) je primitivní funkce af(x).
stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.
