Oblast křivočarého lichoběžníku. Online kalkulačka. Vypočítejte si určitý integrál (oblast křivočarého lichoběžníku)

Těhotenství

Náměstí křivočarý lichoběžník se číselně rovná určitému integrálu

Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Ve třídě jsem říkal, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem OBLAST.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše nějakého obrazce. Uvažujme například určitý integrál . Integrand definuje určitou křivku v rovině (v případě potřeby ji lze vždy nakreslit) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický úkolový příkaz. První a zásadní bodřešení - kreslení. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Tam také můžete najít materiál, který je velmi užitečný ve vztahu k naší lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Udělejme nákres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu líhnout křivočarý lichoběžník, je zřejmé, o jaké oblasti se zde bavíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newtonova-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na výkres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ spočítáme počet buněk na výkresu - dobře, bude napsáno asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom měli odpověď řekněme: 20 čtverečních jednotek, pak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla zjevně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničené čarami, , a osa

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Udělejme výkres:

Pokud křivočarý lichoběžník úplně pod nápravou, pak jeho oblast lze najít podle vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte udělat výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický. Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace, horní hranice integrace.
Pokud je to možné, je lepší tuto metodu nepoužívat.

Mnohem výhodnější a rychlejší je stavět linky bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby „sami“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limitů se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo závitová konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vracíme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že u bodové konstrukce se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci, pak lze oblast odpovídajícího obrázku nalézt podle vzorce:

Zde již není nutné přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je NAHOŘE(vzhledem k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou zespodu.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je dána rovnicí a graf funkce je umístěn pod osou, pak

A nyní pár příkladů pro nezávislé řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

V průběhu řešení úloh pro výpočet plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Výkres byl proveden správně, výpočty byly správné, ale kvůli nepozornosti ... našel oblast špatného obrázku, tak to tvůj poslušný sluha několikrát podělal. Tady skutečný případ ze života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Nejprve nakreslíme:

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře.(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často stává, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna v zeleném!

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je přímkový graf;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a proveďte bodové kreslení:

Z nákresu je vidět, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Jaká je ale spodní hranice? Je jasné, že to není celé číslo, ale co? Možná ? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat. Nebo root. Co kdybychom ten graf vůbec nepochopili?

V takových případech je třeba věnovat více času a analyticky upřesňovat limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

Tudíž, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

No, na závěr lekce budeme považovat dva úkoly za obtížnější.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Nakreslete tento obrázek do výkresu.

Pro bodové kreslení potřebujete vědět vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné vědět grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je dovoleno sestrojit schematický výkres, na kterém musí být grafy a integrační limity zobrazeny v zásadě správně.

Problémy s integračními limity zde nejsou, vyplývají přímo z podmínky: - "x" se změní z nuly na "pi". Učiníme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

(1) Jak jsou sinusy a kosiny integrovány do lichých mocnin, můžete vidět v lekci Integrály goniometrických funkcí. To je typická technika, odštípneme jeden sinus.

(2) Ve formuláři používáme základní goniometrickou identitu

(3) Změňme proměnnou , pak:

Nové přerozdělení integrace:

Kdo opravdu špatně obchoduje se suplováním, jděte prosím na lekci Náhradní metoda v neurčitém integrálu. Pro ty, kterým není příliš jasný algoritmus náhrady v určitém integrálu, navštivte stránku Určitý integrál. Příklady řešení.

Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Nyní přejdeme k úvahám o aplikacích integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol. Jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Nikdy nevíš. Budeme se muset v životě sblížit oblast venkovské chaty elementární funkce a najít její obsah pomocí určitého integrálu.

Chcete-li úspěšně zvládnout materiál, musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. Kovat za tepla přátelské vztahy s určitými integrály naleznete na stránce Určitý integrál. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrázku, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha "vypočítat plochu pomocí určitého integrálu" vždy zahrnuje konstrukci výkresu, mnohem víc aktuální problém budou vaše znalosti a dovednosti kreslení. V tomto ohledu je užitečné si v paměti osvěžit grafy hlavních elementárních funkcí a minimálně umět sestavit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (mnozí potřebují) s pomocí metodický materiál a články o geometrických transformacích grafů.

S problematikou hledání oblasti pomocí určitého integrálu je vlastně každý obeznámen již od školy a my trochu předběhneme školní osnovy. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy studenta trápí nenáviděná věž s nadšením zvládajícím kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme křivočarým lichoběžníkem.

Křivočarý lichoběžník nazývá se plochý obrazec ohraničený osou , přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který nemění znaménko na tomto intervalu. Nechte toto číslo lokalizovat ne méněúsečka:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem OBLAST.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše nějakého obrazce. Uvažujme například určitý integrál . Integrand definuje křivku v rovině, která je umístěna nad osou (ti, kdo si to přejí, mohou dokreslit výkres) a samotný určitý integrál se číselně rovná ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický úkolový příkaz. Prvním a nejdůležitějším momentem rozhodnutí je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Při sestavování plánu doporučuji následující pořadí: První je lepší konstruovat všechny čáry (pokud existují) a pouze po- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Vytváření funkčních grafů je výhodnější bod po bodu, s technikou bodové konstrukce lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít materiál, který je velmi užitečný ve vztahu k naší lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Udělejme nákres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu líhnout křivočarý lichoběžník, je zřejmé, o jaké oblasti se zde bavíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newtonova-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a osou

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn křivočarý lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak její obsah lze najít podle vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Nepleťte si dva typy úkolů:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický. Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace, horní hranice integrace.
Pokud je to možné, je nejlepší tuto metodu nepoužívat..

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na intervalu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci, pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a přímkami, lze nalézt podle vzorce:

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou zespodu.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

A nyní pár příkladů pro nezávislé řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

…Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře.(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je vystínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je přímkový graf;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Přejděme k ještě jednomu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

V takových případech je třeba věnovat více času a analyticky upřesňovat limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

No, na závěr lekce budeme považovat dva úkoly za obtížnější.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Nakreslete tento obrázek do výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a předělat obrázek, omlouvám se, ne hotz. Žádná kresba, zkrátka dnes je ten den =)

Pro konstrukci bodu po bodu je nutné znát vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné znát grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je dovoleno sestrojit schematický výkres, na kterém musí být grafy a integrační limity zobrazeny v zásadě správně.

Problémy s integračními limity zde nejsou, vyplývají přímo z podmínky: - "x" se změní z nuly na "pi". Učiníme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Úkol 1(o výpočtu plochy křivočarého lichoběžníku).

V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému xOy je uveden obrázek (viz obrázek), ohraničený osou x, přímkami x \u003d a, x \u003d b (křivočarý lichoběžník. Je nutné vypočítat plochu \ křivočarý lichoběžník.
Řešení. Geometrie nám dává recepty na výpočet ploch mnohoúhelníků a některých částí kruhu (sektoru, segmentu). Pomocí geometrických úvah budeme schopni najít pouze přibližnou hodnotu požadované plochy, přičemž budeme argumentovat následovně.

Rozdělme segment [a; b] (základna křivočarého lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení je proveditelné pomocí bodů x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Nakreslete přímky skrz tyto body rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. křivočarý lichoběžník, jehož základem je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Oblast obdélníku je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je délka segmentu; je přirozené považovat sestavený produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dospějeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Zde z důvodu jednotnosti zápisu uvažujeme, že a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - délka segmentu , $\Delta x_1 $ - délka segmentu atd.; zatímco, jak jsme se shodli výše, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \approx S_n $, a tato přibližná rovnost je tím přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná oblast křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Úkol 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte posunutí bodu za časový interval [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se úloha vyřešila velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb je třeba použít stejné myšlenky, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový interval a předpokládejme, že během tohoto časového intervalu byla rychlost konstantní, jako například v čase t k . Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu posunutí bodu za časový interval , tuto přibližnou hodnotu označíme s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
$s \cca S_n $ kde
$S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různé úkoly zredukováno na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. Tento matematický model by tedy měl být speciálně studován.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestrojen ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), která je spojitá (ne však nutně nezáporná, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na segmentu [ A; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Je nazýván určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a jsou označeny takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
zde S je oblast křivočarého lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Tohle je co geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se po přímce rychlostí v = v(t) za časový interval od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův - Leibnizův vzorec

Pro začátek si odpovězme na otázku: jaký je vztah mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď lze nalézt v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se po přímce rychlostí v = v(t) za časový interval od t = a do t = b a je vypočítáno jako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); proto posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho získáme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitivní funkce pro v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na segmentu [a; b], pak vzorec
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitivní funkce pro f(x).

Výše uvedený vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (někdy je tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce lze získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochu nejen křivočarých lichoběžníků, ale také rovinných útvarů složitějšího typu, jako je ten, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je ohraničen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost $g(x) \leq f(x) $. Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrázku ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x od segment [a; b] je splněna nerovnost $g(x) \leq f(x) $, vypočítá se podle vzorce
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

Příklad1 . Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Postavíme postavu (viz obr.) Postavíme přímku x + 2y - 4 \u003d 0 podél dvou bodů A (4; 0) a B (0; 2). Vyjádříme-li y pomocí x, dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podle vzorce (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, nalézt

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. Jednotky

Příklad 2 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.

Řešení. Postavíme postavu.

Postavme přímku x - 2y + 4 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Sestrojme přímku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Najděte průsečík přímek řešením soustavy rovnic:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pro výpočet požadované plochy rozdělíme trojúhelník AMC na dva trojúhelníky AMN a NMC, protože když se x změní z A na N, je plocha omezena přímkou a když se x změní z N na C, je to přímka.

Pro trojúhelník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, tj. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pro trojúhelník NMC platí: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtem plochy každého z trojúhelníků a přidáním výsledků zjistíme:

sq Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 čtverečních. Jednotky Zkontrolujte: = 0,5 AC = 0,5 čtverečních. Jednotky

Příklad 3 Vypočítejte obsah obrázku ohraničeného čarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto případě je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného parabolou y = x 2 , přímky x \u003d 2 a x \u003d 3 a osa Ox (viz obr.) Pomocí vzorce (1) najdeme oblast křivočarého lichoběžníku

= = 6kv. Jednotky

Příklad 4 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0

Postavíme postavu. Požadovaná oblast je uzavřena mezi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a osa Oh.

Najděte průsečíky paraboly s osou x. Za předpokladu y \u003d 0 najdeme x \u003d Vzhledem k tomu, že toto číslo je symetrické kolem osy Oy, vypočítáme plochu obrázku umístěného napravo od osy Oy a zdvojnásobíme výsledek: \u003d + 4x] čtvereční Jednotky 2 = 2 čtvereční Jednotky

Příklad 5 Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Zde je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného horní větví paraboly y 2 \u003d x, osa Ox a přímky x \u003d 1x \u003d 4 (viz obr.)

Podle vzorce (1), kde f(x) = a = 1 ab = 4, máme = (= čtverečních jednotek

Příklad 6 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Požadovaná oblast je omezena půlvlnnou sinusoidou a osou Ox (viz obr.).

Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metry čtvereční. Jednotky

Příklad 7 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.

Obrázek je umístěn pod osou Ox (viz obr.).

Proto se jeho plocha zjistí podle vzorce (3)

= =

Příklad 8 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d a x \u003d 2. Vytvoříme křivku y \u003d podle bodů (viz obr.). Plocha obrázku se tedy nachází podle vzorce (4)

Příklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Zde je potřeba vypočítat plochu ohraničenou kružnicí x 2 + y 2 = r 2 , tj. oblast kruhu o poloměru r se středem v počátku. Najdeme čtvrtou část této oblasti, vezmeme-li hranice integrace od 0

dor; my máme: 1 = = [

Tudíž, 1 =

Příklad 10 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d x 2 a y = 2x

Toto číslo je omezeno parabolou y \u003d x 2 a přímka y \u003d 2x (viz obr.) Pro určení průsečíků daných přímek řešíme soustavu rovnic: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocí vzorce (5) k nalezení oblasti získáme

= }