แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y 1 x เครื่องคิดเลขออนไลน์ คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ)

แฟชั่นและสไตล์

การทำงาน ฉ(x ) เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟ สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) ในช่วงเวลาที่กำหนด หากเป็นทั้งหมด x จากช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่

ฟ"(x ) = ฉ(x ) .

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ

ฉ"(x) = (x 2 )" = 2x = ฉ(x) ◄

คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ

ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ตามช่วงเวลาที่กำหนด จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน ฉ(x) มีแอนติเดริเวทีฟมากมายไม่จำกัด และแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดนี้สามารถเขียนอยู่ในรูปได้ เอฟ(x) + ซี, ที่ไหน กับ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างเช่น.

การทำงาน ฉ(x) = x 2 + 1 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = ฉ(x);

การทำงาน ฉ(x) = x 2 - 1 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = ฉ(x) ;

การทำงาน ฉ(x) = x 2 - 3 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

ฉ(x) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = ฉ(x);

ฟังก์ชั่นใดๆ ฉ(x) = x 2 + กับ , ที่ไหน กับ - ค่าคงที่ตามใจชอบ และมีเพียงฟังก์ชันดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = 2เอ็กซ์ . ◄

กฎสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ

ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , ก ก(เอ็กซ์) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ก.(เอ็กซ์) , ที่ ฉ(x) + ก(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) + ก(x) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ .
ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , และ เค - คงที่แล้ว เค · ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ เค · ฉ(x) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ .
ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , และ เค,ข- คงที่และ เค ≠ 0 , ที่ 1 / เค ฉ(เค x+ข ) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(เค x+ ข) .

อินทิกรัลไม่ จำกัด

ไม่ อินทิกรัลที่แน่นอน จากฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าการแสดงออก เอฟ(x) + ซีนั่นคือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x) . อินทิกรัลไม่ จำกัด แสดงดังนี้:

∫ ฉ(x) dx = ฉ(x) + ค ,

ฉ(x)- พวกเขาเรียก ฟังก์ชันปริพันธ์ ;

ฉ(x) dx- พวกเขาเรียก บูรณาการ ;

x - พวกเขาเรียก ตัวแปรบูรณาการ ;

ฉ(x) - หนึ่งในฟังก์ชันดั้งเดิม ฉ(x) ;

กับ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างเช่น, ∫ 2 xdx =เอ็กซ์ 2 + กับ , ∫ เพราะxdx =บาป เอ็กซ์ + กับ และอื่น ๆ ◄

คำว่า "ปริพันธ์" มาจากคำภาษาละติน จำนวนเต็ม ซึ่งหมายถึง "การบูรณะ" พิจารณาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของ 2 xดูเหมือนว่าเราจะคืนค่าฟังก์ชันนี้ เอ็กซ์ 2 ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ 2 x. การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน หรือสิ่งที่เหมือนกันคือการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดเหนืออินทิกรัลที่กำหนด เรียกว่า บูรณาการ ฟังก์ชั่นนี้ การอินทิเกรตคือการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ เพื่อตรวจสอบว่าการอินทิเกรตดำเนินการอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกความแตกต่างผลลัพธ์และรับอินทิเกรต

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด

อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

(∫ ฉ(x) dx )" = ฉ(x) .

ตัวประกอบคงที่ของปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

∫ เค · ฉ(x) dx = เค · ∫ ฉ(x) dx .

อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

∫ ( ฉ(x) ± ก(x ) ) ดีเอ็กซ์ = ∫ ฉ(x) dx ± ∫ ก.(x ) ดีเอ็กซ์ .

ถ้า เค,ข- คงที่และ เค ≠ 0 , ที่

∫ ฉ ( เค x+ ข) ดีเอ็กซ์ = 1 / เค ฉ(เค x+ข ) + ซี .

ตารางแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

	ฉ(x)	เอฟ(x) + ซี	∫ ฉ(x) dx = ฉ(x) + ค
ฉัน.	$$0$$	$$ซี$$	$$\int 0dx=C$$
ครั้งที่สอง	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
สาม.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
วี.	$$\บาป x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\บาป x~dx=-\cos x+C$$
วี.	$$\คอส x$$	$$\บาป x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
8.	$$\frac(1)(\บาป^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
ทรงเครื่อง	$$อี^x$$	$$อี^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
เอ็กซ์	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln ก)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln ก)+C$$
จิน	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\อาร์คซิน x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\อาร์คซิน x +C$$
สิบสอง.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\อาร์คซิน \frac(x)(ก)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
สิบสาม	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
ที่สิบสี่	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(ก)\textrm(arctg) ~\frac(x)(ก)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
ที่สิบห้า	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
เจ้าพระยา	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ ค$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
ที่สิบแปด	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\บาป x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
สิบเก้า	$$ \frac(1)(\บาป x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
อินทิกรัลแบบแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่กำหนดที่กำหนดในตารางนี้มักจะเรียกว่า แอนติเดริเวทีฟแบบตาราง และ อินทิกรัลของตาราง .

อินทิกรัลที่แน่นอน

ให้อยู่ระหว่าง [ก; ข] มีการกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องไว้ ย = ฉ(x) , แล้ว อินทิกรัลจำกัดจำนวนจาก a ถึง b ฟังก์ชั่น ฉ(x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x) ฟังก์ชันนี้ก็คือ

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

ตัวเลข กและ ขถูกเรียกตามนั้น ต่ำกว่า และ สูงสุด ขีดจำกัดของการบูรณาการ

กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต

1. $\int_(ก)^(ก)ฉ(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ โดยที่ เค - คงที่;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) ก.(x)dx$;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$ โดยที่ ฉ(x) - ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$ โดยที่ ฉ(x) เป็นฟังก์ชันคี่

ความคิดเห็น . ในทุกกรณี สันนิษฐานว่าอินทิแกรนด์สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงตัวเลข โดยมีขอบเขตเป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอินทิกรัลจำกัดเขต

ความหมายทางเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอน	ความหมายทางกายภาพ อินทิกรัลที่แน่นอน

สี่เหลี่ยม สสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (ตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยกราฟของค่าบวกต่อเนื่องในช่วงเวลา [ก; ข] ฟังก์ชั่น ฉ(x) , แกน วัว และตรง x=ก , x=ข ) คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(ก)^(ข)ฉ(x)dx.$$	เส้นทาง สซึ่งจุดวัตถุเอาชนะไปได้ โดยเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วแปรผันตามกฎหมาย วี(ที) เป็นระยะเวลาหนึ่ง ; ข] จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง x = ก , x = ข คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(ก)^(ข)(ฉ(x)-g(x))dx.$$
	ตัวอย่างเช่น. มาคำนวณพื้นที่ของรูปกัน จำกัดด้วยเส้น ย = x 2 และ ย = 2- เอ็กซ์ . ให้เราอธิบายกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ในแผนผังและไฮไลต์ตัวเลขที่ต้องการค้นหาพื้นที่ด้วยสีอื่น เพื่อหาขีดจำกัดของการอินทิเกรต เราแก้สมการ: x 2 = 2- เอ็กซ์ ; x 2 + เอ็กซ์- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2) $$ ◄

ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน

หากได้วัตถุมาจากการหมุนรอบแกน วัว สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟต่อเนื่องและไม่ลบในช่วงเวลา [ก; ข] ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) และตรง x = กและ x = ข แล้วมันถูกเรียกว่า ร่างกายของการหมุน .

ปริมาตรของตัวการปฏิวัติคำนวณโดยสูตร

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

หากได้เนื้อความของการปฏิวัติอันเป็นผลมาจากการหมุนของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันด้านบนและด้านล่าง ย = ฉ(x) และ ย = ก(x) ตามลำดับแล้ว

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

ตัวอย่างเช่น. ลองคำนวณปริมาตรของกรวยที่มีรัศมีกัน ร และความสูง ชม. .

ให้เราวางตำแหน่งกรวยในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเพื่อให้แกนของมันตรงกับแกน วัว และศูนย์กลางฐานอยู่ที่จุดกำเนิด การหมุนของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เอบีกำหนดกรวย เนื่องจากสมการ เอบี

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

และสำหรับปริมาตรของกรวยที่เรามี

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

เราได้เห็นแล้วว่าอนุพันธ์มีประโยชน์หลายอย่าง: อนุพันธ์คือความเร็วของการเคลื่อนที่ (หรือโดยทั่วไปคือความเร็วของกระบวนการใด ๆ ); อนุพันธ์คือความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วได้ อนุพันธ์ช่วยแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

แต่ใน ชีวิตจริงปัญหาผกผันก็ต้องแก้ไขด้วย เช่น ประกอบกับปัญหาการหาความเร็วตามกฎการเคลื่อนที่ที่ทราบแล้ว เรายังประสบปัญหาการคืนกฎการเคลื่อนที่ตามกฎการเคลื่อนที่ด้วย ความเร็วที่รู้จัก. ลองพิจารณาหนึ่งในปัญหาเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็ว ณ เวลา t กำหนดโดยสูตร u = tg ค้นหากฎการเคลื่อนที่

สารละลาย.ให้ s = s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ เป็นที่รู้กันว่า s"(t) = u"(t) ซึ่งหมายความว่าในการแก้ปัญหาคุณต้องเลือก การทำงาน s = s(t) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ tg มันไม่ยากที่จะคาดเดาว่า

ให้เราทราบทันทีว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง แต่ไม่สมบูรณ์ เราพบว่า ที่จริงแล้ว ปัญหานั้นมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ตามของแบบฟอร์ม ค่าคงที่ตามใจชอบสามารถใช้เป็นกฎการเคลื่อนที่ได้ เนื่องจาก

เพื่อให้งานเฉพาะเจาะจงมากขึ้น เราจำเป็นต้องแก้ไขสถานการณ์เริ่มต้น: ระบุพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ที่ t=0 ถ้า s(0) = s 0 จากความเท่าเทียมกัน เราจะได้ s(0) = 0 + C เช่น S 0 = C ตอนนี้กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ:
ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการกลับกันถูกกำหนดไว้ ชื่อที่แตกต่างกันสร้างสัญลักษณ์พิเศษ เช่น กำลังสอง (x 2) และการแยกข้อมูล รากที่สองไซน์(sinх) และ อาร์คซีน(อาร์คซิน x) เป็นต้น กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่าอนุพันธ์และการดำเนินการผกผันเช่น กระบวนการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด - ปริพันธ์
คำว่า "อนุพันธ์" นั้นสามารถพิสูจน์ได้ "ในชีวิตประจำวัน": ฟังก์ชัน y - f(x) "ให้กำเนิด" ให้กับฟังก์ชันใหม่ y"= f"(x) ฟังก์ชัน y = f(x) ทำหน้าที่เป็น “ผู้ปกครอง” แต่โดยธรรมชาติแล้วนักคณิตศาสตร์ไม่เรียกมันว่า “ผู้ปกครอง” หรือ “ผู้ผลิต” พวกเขากล่าวว่าสิ่งนี้ซึ่งสัมพันธ์กับฟังก์ชัน y"=f"(x) เป็นอิมเมจหลัก หรือใน สั้น, แอนติเดริเวทีฟ

คำจำกัดความ 1.ฟังก์ชัน y = F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วงเวลาที่กำหนด X ถ้า x ทั้งหมดจาก X มีความเท่าเทียมกัน F"(x)=f(x) คงอยู่

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้ว ช่วงเวลา X จะไม่ถูกระบุ แต่จะระบุโดยนัย (เช่น พื้นที่ธรรมชาติคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

1) ฟังก์ชัน y = x 2 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x เนื่องจาก x ทั้งหมดมีความเท่าเทียมกัน (x 2)" = 2x เป็นจริง
2) ฟังก์ชัน y - x 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y-3x 2 เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (x 3)" = 3x 2 เป็นจริง
3) ฟังก์ชัน y-sinх เป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = cosx เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (sinx)" = cosx เป็นจริง
4) ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต้านอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด > 0 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
โดยทั่วไปการทราบสูตรการหาอนุพันธ์แล้วการรวบรวมตารางสูตรการหาแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องยาก

เราหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีการรวบรวมตารางนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เขียนในคอลัมน์ที่สองจะเท่ากับฟังก์ชันที่เขียนในแถวที่สอดคล้องกันของคอลัมน์แรก (ตรวจสอบสิ อย่าขี้เกียจ มันมีประโยชน์มาก) ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y = x 5 แอนติเดริเวทีฟตามที่คุณจะกำหนดคือฟังก์ชัน (ดูแถวที่สี่ของตาราง)

หมายเหตุ: 1. ด้านล่างนี้ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) แล้วฟังก์ชัน y = f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และพวกมันทั้งหมดจะมีรูปแบบ y = F(x ) + C ดังนั้น การเพิ่มคำว่า C ทุกตำแหน่งในคอลัมน์ที่สองของตารางจะถูกต้องกว่า โดยที่ C เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้
2. เพื่อให้กระชับ บางครั้งแทนที่จะเป็นวลี “ฟังก์ชัน y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x)” พวกเขาบอกว่า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x) ”

2. กฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

เมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟเช่นเดียวกับเมื่อค้นหาอนุพันธ์ ไม่เพียงแต่ใช้สูตรเท่านั้น (แสดงอยู่ในตารางในหน้า 196) แต่ยังมีกฎบางอย่างด้วย เกี่ยวข้องโดยตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องในการคำนวณอนุพันธ์

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 1แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ "ความบางเบา" ของสูตรนี้ ที่จริงแล้ว ควรกำหนดทฤษฎีบท: หากฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วง X ตามลำดับ y-F(x) และ y-G(x) แล้วผลรวมของฟังก์ชัน y = f(x)+g(x) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วง X และแอนติเดริเวทีฟนี้คือฟังก์ชัน y = F(x)+G(x) แต่โดยปกติแล้ว เมื่อกำหนดกฎเกณฑ์ (ไม่ใช่ทฤษฎีบท) กฎเหล่านั้นจะทิ้งไว้เท่านั้น คำหลัก- ทำให้สะดวกยิ่งขึ้นในการนำกฎไปใช้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 2x + cos x

สารละลาย.แอนติเดริเวทีฟสำหรับ 2x คือ x" แอนติเดริเวทีฟของ cox คือ sin x ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x + cos x จะเป็นฟังก์ชัน y = x 2 + sin x (และโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบนี้ Y = x 1 + ซินx + C) .
เรารู้ว่าตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของแอนติเดริเวทีฟได้

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย.ก) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -soz x; ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = 5 sin x ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน y = -5 cos x

b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชัน
c) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 3 คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ x แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 1 คือฟังก์ชัน y = x เมื่อใช้กฎข้อแรกและกฎข้อที่สองในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราจะพบว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 12x 3 + 8x-1 คือฟังก์ชัน
ความคิดเห็นดังที่ทราบกันดีว่าอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ไม่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ (กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์นั้นซับซ้อนกว่า) และอนุพันธ์ของผลหารไม่เท่ากับผลหารของอนุพันธ์ ดังนั้นจึงไม่มีกฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือแอนติเดริเวทีฟของผลหารของสองฟังก์ชัน ระวัง!
ขอให้เราได้รับกฎอีกข้อหนึ่งในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(kx+m) คำนวณโดยสูตร

กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ
กฎข้อที่ 3ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) แล้วแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y=f(kx+m) จะเป็นฟังก์ชัน

อย่างแท้จริง,

นี่หมายความว่ามันเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(kx+m)
ความหมายของกฎข้อที่สามมีดังนี้ หากคุณรู้ว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) คือฟังก์ชัน y = F(x) และคุณจำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(kx+m) ให้ดำเนินการดังนี้: ฟังก์ชันเดียวกัน F แต่แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ x ให้แทนที่นิพจน์ kx+m นอกจากนี้อย่าลืมเขียน “ตัวประกอบการแก้ไข” หน้าเครื่องหมายฟังก์ชันด้วย
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด:

สารละลาย, a) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -soz x; ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = sin2x แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน
b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชัน

c) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 7 หมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = (4-5x) 7 แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด

เราได้สังเกตไปแล้วข้างต้นว่าปัญหาในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด y = f(x) มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งวิธี เรามาหารือเกี่ยวกับปัญหานี้โดยละเอียด

การพิสูจน์. 1. ให้ y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วง X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจาก X ความเท่าเทียมกัน x"(x) = f(x) คงอยู่ ให้เรา ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ในรูปแบบ y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = ฉ(x) +0 = ฉ(x)

ดังนั้น (F(x)+C) = f(x) ซึ่งหมายความว่า y = F(x) + C เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x)
ดังนั้น เราได้พิสูจน์แล้วว่าถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ y=F(x) แล้วฟังก์ชัน (f = f(x) ก็มีแอนติเดริเวทีฟจำนวนมากอย่างไม่จำกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = F(x) +C เป็นแอนติเดริเวทีฟ
2. ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าประเภทของฟังก์ชันที่ระบุจะทำให้แอนติเดริเวทีฟหมดทั้งชุด

กำหนดให้ y=F 1 (x) และ y=F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสองตัวสำหรับฟังก์ชัน Y = f(x) บนช่วง X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วง X ความสัมพันธ์ต่อไปนี้คงอยู่: F^ ( x) = ฉ (X); ฉ"(x) = ฉ(x)

ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = F 1 (x) -.F(x) แล้วหาอนุพันธ์ของมัน: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - ฉ(x) = 0.
เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วง X เท่ากับศูนย์เท่ากัน ฟังก์ชันนั้นจะคงที่ในช่วง X (ดูทฤษฎีบท 3 จาก § 35) ซึ่งหมายความว่า F 1 (x) - F (x) = C เช่น Fx) = F(x)+C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 5กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วตามเวลาได้รับ: v = -5sin2t ค้นหากฎการเคลื่อนที่ s = s(t) หากทราบว่า ณ เวลา t=0 พิกัดของจุดนั้นเท่ากับเลข 1.5 (เช่น s(t) = 1.5)

สารละลาย.เนื่องจากความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดที่เป็นฟังก์ชันของเวลา ก่อนอื่นเราต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของความเร็วก่อน เช่น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน v = -5sin2t แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งคือฟังก์ชัน และเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะมีรูปแบบดังนี้

ในการค้นหาค่าเฉพาะของค่าคงที่ C เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น โดยที่ s(0) = 1.5 แทนค่า t=0, S = 1.5 ลงในสูตร (1) เราจะได้รับ:

แทนที่ค่าที่พบของ C เป็นสูตร (1) เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ที่เราสนใจ:

คำจำกัดความ 2ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ y = F(x) บนช่วง X แล้วเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด กล่าวคือ เซตของฟังก์ชันในรูปแบบ y = F(x) + C เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน y = f(x) และเขียนแทนด้วย:

(อ่าน: “อินทิกรัลไม่จำกัด ef จาก x de x”)
ในย่อหน้าถัดไป เราจะพบว่าความหมายที่ซ่อนอยู่ของการกำหนดนี้คืออะไร
จากตารางแอนติเดริเวทีฟที่มีอยู่ในส่วนนี้ เราจะรวบรวมตารางอินทิกรัลไม่จำกัดหลักๆ ดังนี้

ตามกฎสามข้อข้างต้นในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราสามารถกำหนดกฎการรวมที่สอดคล้องกันได้

กฎข้อที่ 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

กฎข้อที่ 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

กฎข้อที่ 3ถ้า

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด :

สารละลาย, a) เราได้รับกฎการรวมกฎข้อที่หนึ่งและที่สอง:

ตอนนี้ลองใช้สูตรการรวมที่ 3 และ 4:

เป็นผลให้เราได้รับ:

b) เราได้รับกฎข้อที่สามของการรวมและสูตร 8:

c) ในการค้นหาอินทิกรัลที่กำหนดโดยตรง เราไม่มีสูตรที่ตรงกันหรือกฎที่ตรงกัน ในกรณีเช่นนี้ ก่อนหน้านี้ การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายอินทิกรัลบางครั้งก็ช่วยได้

มาใช้ประโยชน์กันเถอะ สูตรตรีโกณมิติการลดระดับ:

จากนั้นเราจะพบตามลำดับ:

เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในคณิตศาสตร์ออนไลน์ คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

สารต้านอนุพันธ์

คำนิยาม ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์

การทำงาน y=F(x)เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ในช่วงเวลาที่กำหนด เอ็กซ์,ถ้าสำหรับทุกคน เอ็กซ์ ∈เอ็กซ์ความเท่าเทียมกันถือ: ฉ'(x) = ฉ(x)

สามารถอ่านได้ 2 วิธี คือ

ฉ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เอฟ
เอฟ แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ

คุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟ

ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x)บนช่วงเวลาที่กำหนด ฟังก์ชัน f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนนับไม่ถ้วน และแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ เอฟ(x) + ซีโดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

การตีความทางเรขาคณิต

กราฟของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)ได้มาจากกราฟของแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งโดยการแปลแบบขนานตามแนวแกน O ที่.

กฎสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ

แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ. ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x)และ G(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ก.(เอ็กซ์), ที่ ฉ(x) + ก(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) + ก(x).
ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้. ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x), และ เค- คงที่แล้ว เค·เอฟ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ เคเอฟ(x).
ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x), และ เค บี- คงที่และ เค ≠ 0, ที่ 1/k F(kx + b)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(kx + ข).

จดจำ!

ฟังก์ชั่นใดๆ ฉ(x) = x 2 + ค โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ และมีเพียงฟังก์ชันดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันนั้น ฉ(x) = 2x.

ตัวอย่างเช่น:
ฉ"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = ฉ(x);

ฉ(x) = 2x,เพราะ ฉ"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = ฉ(x);

ฉ(x) = 2x,เพราะ ฉ"(x) = (x 2 –3)" = 2x = ฉ(x);

ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแอนติเดริเวทีฟ:

ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)>0 ฉ(x)เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้
ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)<0 ในช่วงเวลานั้น ตามด้วยกราฟของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x)ลดลงในช่วงเวลานี้
ถ้า ฉ(x)=0แล้วกราฟของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x)ณ จุดนี้เปลี่ยนจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง (หรือกลับกัน)

เพื่อแสดงถึงแอนติเดริเวทีฟ จะใช้เครื่องหมายของอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งก็คืออินทิกรัลโดยไม่ระบุขีดจำกัดของอินทิกรัล

อินทิกรัลไม่ จำกัด

คำนิยาม:

อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน f(x) คือนิพจน์ F(x) + C ซึ่งก็คือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดได้ดังนี้: \int f(x) dx = F(x) + C

ฉ(x)- เรียกว่าฟังก์ชันปริพันธ์
ฉ(x) dx- เรียกว่าปริพันธ์;
x- เรียกว่าตัวแปรอินทิเกรต
ฉ(x)- หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x);
กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่จำกัดมีค่าเท่ากับอินทิกรัล: (\int f(x) dx)\prime= f(x)
ตัวประกอบคงที่ของปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
ถ้า เค บีเป็นค่าคงที่ และ k ≠ 0 ดังนั้น \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

ตารางแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

การทำงาน ฉ(x)	สารต้านอนุพันธ์ เอฟ(x) + ซี	อินทิกรัลไม่ จำกัด \int f(x) dx = F(x) + C
0	ค	\int 0 dx = C
ฉ(x) = เค	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
ฉ(x) = x^m, ม\ไม่ใช่ =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
ฉ(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
ฉ(x) = อี^x	ฉ(x) = อี^x + ค	\int อี(^x )dx = อี^x + C
ฉ(x) = มี^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
ฉ(x) = \บาป x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
ฉ(x) = \cos x	F(x) =\บาป x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
ฉ(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
ฉ(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\อาร์คซิน x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\อาร์คซิน x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\ส่วนโค้ง x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\อาร์คซิน \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
ฉ(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
ฉ(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
ฉ(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\บาป x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
ฉ(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

อนุญาต ฉ(x)ฟังก์ชั่นนี้ เอฟแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจ

\int_(ก)^(ข) ฉ(x) dx =F(x)|_(ก)^(ข)= ฉ(ข) - ฉ(ก)

ที่ไหน ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x)

นั่นคืออินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลาเท่ากับผลต่างของแอนติเดริเวทีฟที่จุดต่างๆ ขและ ก.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง คือตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบและต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ฉ,แกนวัวและเส้นตรง x = กและ x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งพบโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

S= \int_(ก)^(ข) ฉ(x) dx

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ปล่อยให้มันต้องใช้เวลา ทีจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวจุดนั้นได้เดินทางไกลแล้ว เซนต์).แล้วความเร็วชั่วขณะนั้น วี(ที)เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เซนต์),นั่นคือ โวลต์(เสื้อ) = ส"(เสื้อ).

ในทางปฏิบัติ เราพบปัญหาผกผัน: เมื่อพิจารณาจากความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งๆ วี(ที)ค้นหาเส้นทางที่เธอเลือก เซนต์)นั่นคือ จงหาฟังก์ชันดังกล่าว เซนต์),ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ วี(ที). การทำงาน เซนต์),ดังนั้น ส"(เสื้อ) = โวลต์(เสื้อ)เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน โวลต์(ที)

ตัวอย่างเช่น ถ้า โวลต์(t) = ใน, ที่ไหน กคือตัวเลขที่กำหนด แล้วจึงเป็นฟังก์ชัน
ส(t) = (ที่ 2) / 2โวลต์(ที)เพราะ
s"(t) = ((ที่ 2) / 2) " = аt = v(t).

การทำงาน ฉ(x)เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลาหนึ่งหากทั้งหมด เอ็กซ์จากช่องว่างนี้ ฉ"(x) = ฉ(x)

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน F(x) = บาป xคือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = คอส x,เพราะ (บาป x)" = cos x; การทำงาน ฉ(x) = x 4 /4คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3, เพราะ (x 4 /4)" = x 3.

ลองพิจารณาปัญหา

งาน.

พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดียวกัน f(x) = x 2

สารละลาย.

1) ให้เราแทน F 1 (x) = x 3 /3 แล้ว F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x)

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x)

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x)

โดยทั่วไป ฟังก์ชันใดๆ x 3 /3 + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ จะเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน x 2 สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด แอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ

ให้ F 1 (x) และ F 2 (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสองตัวที่มีฟังก์ชันเดียวกัน f(x)

จากนั้น F 1 "(x) = f(x) และ F" 2 (x) = f(x)

อนุพันธ์ของผลต่าง g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) เท่ากับศูนย์ เนื่องจาก g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – ฉ(x) = 0.

ถ้า g"(x) = 0 ในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้น แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = g(x) ที่แต่ละจุดของช่วงเวลานี้จะขนานกับแกน Ox ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y = g(x) เป็นเส้นตรงขนานกับแกน Ox เช่น g(x) = C โดยที่ C มีค่าคงที่จำนวนหนึ่ง จากค่าเท่ากัน g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ตามมาด้วย F 1 (x) = F 2 (x) + S.

ดังนั้น หากฟังก์ชัน F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง แล้วแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) จะถูกเขียนในรูปแบบ F(x) + C โดยที่ C คือ ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ลองพิจารณากราฟของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด f(x) ถ้า F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) แล้วแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของฟังก์ชันนี้จะได้รับโดยการบวกเข้ากับ F(x) ค่าคงที่จำนวนหนึ่ง: F(x) + C กราฟของฟังก์ชัน y = F( x) + C ได้มาจากกราฟ y = F(x) โดยเลื่อนไปตามแกน Oy เมื่อเลือก C คุณสามารถมั่นใจได้ว่ากราฟของแอนติเดริเวทีฟจะผ่านจุดที่กำหนด

ให้เราใส่ใจกับกฎในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

จำได้ว่าการดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดนั้นเรียกว่า ความแตกต่าง. การดำเนินการผกผันของการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่า บูรณาการ(จากคำภาษาละติน "คืนค่า").

ตารางแอนติเดริเวทีฟสำหรับบางฟังก์ชันสามารถคอมไพล์ได้โดยใช้ตารางอนุพันธ์ เช่น เมื่อรู้ว่า (คอส x)" = -ซิน x,เราได้รับ (-cos x)" = บาป xซึ่งตามหลังฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด บาป xถูกเขียนอยู่ในรูปแบบ -คอส x + ซี, ที่ไหน กับ- คงที่.

ลองดูความหมายของแอนติเดริเวทีฟบ้าง

1) การทำงาน: x พี, พี ≠ -1. สารต้านอนุพันธ์: (x พี+1) / (พี+1) + ซี

2) การทำงาน: 1/x, x > 0สารต้านอนุพันธ์: อิน x + ซี

3) การทำงาน: x พี, พี ≠ -1. สารต้านอนุพันธ์: (x พี+1) / (พี+1) + ซี

4) การทำงาน: อดีต. สารต้านอนุพันธ์: อี x + ซี

5) การทำงาน: บาป x. สารต้านอนุพันธ์: -คอส x + ซี

6) การทำงาน: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0สารต้านอนุพันธ์: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C

7) การทำงาน: 1/(kx + b), k ≠ 0. สารต้านอนุพันธ์: (1/k) ln (kx + b)+ C

8) การทำงาน: อี kx + b, k ≠ 0. สารต้านอนุพันธ์: (1/k) อี kx + b + C

9) การทำงาน: บาป (kx + b), k ≠ 0. สารต้านอนุพันธ์: (-1/k) คอส (kx + b).

10) การทำงาน: cos (kx + b), k ≠ 0สารต้านอนุพันธ์: (1/k) บาป (kx + b)

กฎการรวมสามารถรับได้โดยใช้ กฎความแตกต่าง. ลองดูกฎบางอย่าง

อนุญาต ฉ(x)และ ก(เอ็กซ์)– แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันตามลำดับ ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)ในช่วงเวลาหนึ่ง แล้ว:

1) การทำงาน ฉ(x) ± ก(x)คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ± ก(x);

2) การทำงาน เอเอฟ(x)คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน อัฟ(x)

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา