ก)

สารละลาย.

ครั้งแรกและ จุดสำคัญวิธีแก้ปัญหา - การสร้างรูปวาด

มาวาดรูปกันเถอะ:

สมการ y=0กำหนดแกน x;

- x=-2และ x=1- ตรงขนานกับแกน อู๋;

- y \u003d x 2 +2 -พาราโบลาที่มีกิ่งชี้ขึ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;2)

ความคิดเห็น ในการสร้างพาราโบลา ก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดตัดกับแกนพิกัด เช่น วาง x=0หาจุดตัดกับแกน อู๋และตัดสินใจเลือกตามความเหมาะสม สมการกำลังสองค้นหาจุดตัดกับแกน โอ้ .

สามารถหาจุดยอดของพาราโบลาได้โดยใช้สูตร:

คุณสามารถวาดเส้นและชี้ทีละจุด

ในช่วง [-2;1] กราฟของฟังก์ชัน y=x 2 +2อยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: ส\u003d 9 ตารางหน่วย

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เซลล์ 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนมากสุดหนึ่งโหล หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน โอ้?

b) คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=-e x , x=1และแกนพิกัด

สารละลาย.

มาวาดรูปกันเถอะ

หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน โอ้ , จากนั้นหาพื้นที่ได้จากสูตร:

คำตอบ: S=(e-1)ตร. ยูนิต" 1.72 ตร. ยูนิต

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง

c) ค้นหาพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x

สารละลาย.

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด ค้นหาจุดตัดของพาราโบลา และโดยตรง สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์

เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการรวม ก=0ขีดจำกัดบนของการรวม ข=3 .

เราสร้างเส้นที่กำหนด: 1. พาราโบลา - จุดสุดยอดที่จุด (1;1); จุดตัดแกน โอ้ -คะแนน(0;0) และ (0;2) 2. เส้นตรง - แบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่ 2 และ 4 และตอนนี้ เรียน! หากอยู่ในส่วน [ ก;ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x)มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก(x)จากนั้นพื้นที่ของรูปที่สอดคล้องกันสามารถพบได้ในสูตร: . และไม่สำคัญว่าตัวเลขจะอยู่ที่ใด - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่สิ่งสำคัญคือแผนภูมิใดสูงกว่า (เทียบกับแผนภูมิอื่น) และแผนภูมิใดต่ำกว่า ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

เป็นไปได้ที่จะสร้างเส้นทีละจุดในขณะที่พบขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ)

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง

ในส่วนของ ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: ส\u003d 4.5 ตร.ม. หน่วย

ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ $f(x)$ ในช่วง $$ และเส้น $y=0, \ x=a$ และ $x=b$ เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

พื้นที่ที่สอดคล้องกัน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคำนวณโดยสูตร:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเราจะแบ่งออกเป็นประเภท $4$ อย่างมีเงื่อนไข ลองพิจารณาแต่ละประเภทโดยละเอียด

ประเภท I: สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะได้รับอย่างชัดเจน จากนั้นใช้สูตร (*) ทันที

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=4-(x-2)^(2)$ และเส้น $y=0, \ x=1$ และ $x =3$.

ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ใช้สูตร (*) เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

Type II: curvilinear trapezoid ถูกระบุโดยปริยาย ในกรณีนี้ เส้นตรง $x=a, \ x=b$ มักจะไม่ระบุหรือระบุเพียงบางส่วน ในกรณีนี้ คุณต้องหาจุดตัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $y=0$ จุดเหล่านี้จะเป็นจุด $a$ และ $b$

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกัน ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาส่วนที่ถูกต้องของฟังก์ชัน

ดังนั้น $a=-1$ และ $b=1$ ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งนี้

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

Type III: พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยจุดตัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบต่อเนื่องสองฟังก์ชัน รูปนี้จะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งหมายความว่าการใช้สูตร (*) คุณจะคำนวณพื้นที่ไม่ได้ จะเป็นอย่างไร?ปรากฎว่าพื้นที่ของตัวเลขนี้สามารถหาได้จากความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันด้านบนและ $y=0$ ($S_(uf)$) และฟังก์ชันด้านล่าง และ $y= 0$ ($S_(lf)$) โดยที่บทบาทของ $x=a, \ x=b$ เล่นโดยพิกัด $x$ ของจุดตัดกันของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่น

$S=S_(ยูเอฟ)-S_(เอลฟ์)$ (**)

สิ่งที่สำคัญที่สุดเมื่อคำนวณพื้นที่ดังกล่าวคือต้องไม่ "พลาด" เมื่อเลือกฟังก์ชันด้านบนและด้านล่าง

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน $y=x^(2)$ และ $y=x+6$

มาหาจุดตัดของกราฟเหล่านี้กัน:

ตามทฤษฎีบทของ Vieta จะได้ว่า

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

นั่นคือ $a=-2, \ b=3$ มาวาดรูปร่างกันเถอะ:

ดังนั้นฟังก์ชันบนสุดคือ $y=x+6$ และฟังก์ชันล่างคือ $y=x^(2)$ ต่อไป หา $S_(uf)$ และ $S_(lf)$ โดยใช้สูตร (*)

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (หน่วย $^(2)$)

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

แทนที่ที่พบใน (**) และรับ:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (หน่วย $^(2)$).

ประเภท IV: พื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่ใช่การปฏิเสธ ในการหาพื้นที่ของรูปดังกล่าว คุณต้องสมมาตรรอบแกน $Ox$ ( กล่าวอีกนัยหนึ่งใส่ "minuses" หน้าฟังก์ชั่น) แสดงพื้นที่และใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในประเภท I - III ค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่แสดง พื้นที่นี้จะเป็นพื้นที่ที่จำเป็น ขั้นแรก คุณอาจต้องหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(2)-1$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกันของกราฟฟังก์ชันกัน:

เหล่านั้น. $a=-1$ และ $b=1$ มาวาดพื้นที่กันเถอะ

แสดงพื้นที่แบบสมมาตร:

$y=0 \ \ลูกศรขวา \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \ลูกศรขวา \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$

คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$ นี่เป็นปัญหาในการค้นหารูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งประเภทที่สอง เราแก้ไขมันแล้ว คำตอบคือ: $S= 1\frac(1)(3)$ (หน่วย $^(2)$) ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ต้องการจึงเท่ากับ:

$S=1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

อินทิกรัลแน่นอน วิธีคำนวณพื้นที่ของรูป

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในบทเรียนนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาทั่วไปและปัญหาที่พบบ่อยที่สุด - วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลบางตัว สุดท้ายนี้ ผู้ที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบความหมายนั้น คุณไม่เคยรู้. เราจะต้องใกล้ชิดกันมากขึ้นในชีวิต พื้นที่กระท่อมในชนบทฟังก์ชันพื้นฐานและหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจ อินทิกรัลไม่ จำกัดอย่างน้อยในระดับปานกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนไม่ใช่ก่อน

2) สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ หล่ออบอุ่น มิตรไมตรีด้วยอินทิกรัลที่แน่นอน โปรดดูหน้า อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน

ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาด และอื่นๆ อีกมากมาย ประเด็นเฉพาะจะเป็นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณ ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักจะเป็นประโยชน์ และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (ต้องการมาก) ด้วยความช่วยเหลือของ วัสดุระเบียบวิธีและบทความเกี่ยวกับการแปลงกราฟทางเรขาคณิต

อันที่จริง ทุกคนคุ้นเคยกับปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลแน่นอนมาตั้งแต่สมัยเรียนแล้ว และเราจะนำหน้าหลักสูตรของโรงเรียนไปเล็กน้อย บทความนี้อาจไม่มีอยู่จริง แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งถูกทรมานด้วยหอคอยที่เกลียดชังด้วยความกระตือรือร้นที่จะเรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง

เนื้อหาของการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียดและมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงโค้งคือตัวเลขแบนๆ ที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:

จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก บทเรียนอินทิกรัลที่กำหนด ตัวอย่างการแก้ปัญหา ฉันบอกว่าอินทิกรัลที่แน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะระบุข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA

นั่นคืออินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด นอกจากนี้ รูปวาดจะต้องสร้างอย่างถูกต้อง

เมื่อสร้างภาพวาดฉันแนะนำลำดับต่อไปนี้: อันดับแรกควรสร้างเส้นทั้งหมด (ถ้ามี) และจากนั้น - พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่น ๆ กราฟของฟังก์ชันมีกำไรมากกว่าในการสร้างทีละจุด เทคนิคการสร้างตามจุดสามารถพบได้ใน วัสดุอ้างอิงกราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงพื้นที่ใด วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

คำตอบ:

ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย Integral ที่กำหนด ตัวอย่างโซลูชัน

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และแกน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

วิธีแก้ไข: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน (หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้นจากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด มาหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
ถ้าเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้

การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างจุดสำหรับกราฟต่างๆ ได้กล่าวถึงโดยละเอียดในวิธีใช้ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าด้วยการสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากในส่วนของฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ดังนั้นพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงสามารถพบได้โดย สูตร:

ที่นี่ คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขนั้นตั้งอยู่ที่ใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดอย่างคร่าว ๆ สิ่งสำคัญคือแผนภูมิใดอยู่ด้านบน (เทียบกับแผนภูมิอื่น) และแผนภูมิใดอยู่ด้านล่าง

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆหมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการ และกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ ไม่สูงขึ้นขวานแล้ว

และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ในการแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางครั้งเหตุการณ์ตลกก็เกิดขึ้น การวาดทำอย่างถูกต้องการคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ถูกต้องนี่เป็นวิธีที่ผู้รับใช้ผู้ต่ำต้อยของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง ที่นี่ กรณีจริงจากชีวิต:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นมาวาดรูปกัน:

…เอ๊ะ รูปวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

ตัวเลขซึ่งเป็นพื้นที่ที่เราต้องการค้นหานั้นถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน (ดูเงื่อนไขอย่างละเอียด - ตัวเลขนั้นถูก จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติมักเกิด "ความผิดพลาด" เนื่องจากความไม่ตั้งใจซึ่งคุณต้องหาพื้นที่ของตัวเลขที่แรเงา เป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว จริงหรือ:

1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ไปที่งานที่มีความหมายมากขึ้นกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และทำการวาดทีละจุด:

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ? อาจจะ ? แต่ที่ใดรับประกันได้ว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ หรือราก. จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย

ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับแต่งขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์

มาหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:


,

จริงหรือ, .

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

ในส่วนของ ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

โดยสรุปบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

การตัดสิน: ลองพรรณนาตัวเลขนี้ในภาพวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมลงตารางงานและทำรูปใหม่ ขอโทษด้วย ไม่ใช่ hotz ไม่ใช่ภาพวาด เรียกสั้นๆ ว่าวันนี้เป็นวัน =)

สำหรับการก่อสร้างตามจุด คุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่าง sinusoids (และโดยทั่วไปแล้วการทราบกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดจะเป็นประโยชน์) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางส่วนสามารถพบได้ในตารางตรีโกณมิติ ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงอย่างถูกต้องตามหลักการ

ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข: - "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

งานหมายเลข 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในการแก้ปัญหาประยุกต์

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f(x) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f(x), แกน x และเส้นตรง x = a และ x = ข. จึงเขียนสูตรพื้นที่ได้ดังนี้

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ

งานหมายเลข 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2

สารละลาย.มาสร้างตัวเลขพื้นที่ที่เราจะต้องคำนวณ

y \u003d x 2 + 1 เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนขึ้นด้านบน 1 หน่วยเทียบกับแกน O y (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

งานหมายเลข 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 ในช่วง 0 ถึง 1

สารละลาย.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งซึ่งชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนลงหนึ่งหน่วยเมื่อเทียบกับแกน O y (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 1

งานหมายเลข 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x - x 2 และ y = 2x - 4

สารละลาย.เส้นแรกในสองเส้นนี้เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดแกนพิกัดทั้งสอง

ในการสร้างพาราโบลา ให้หาพิกัดของจุดยอด: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – จุดยอด abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือพิกัด N(1;9) คือจุดยอด

ตอนนี้เราพบจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

สมการด้านขวาของสมการที่มีด้านซ้ายเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 หรือ x 2 - 12 \u003d 0 จากที่ .

ดังนั้น จุดต่างๆ คือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง (รูปที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

ลองสร้างเส้นตรง y = 2x - 4 มันผ่านจุด (0;-4), (2; 0) บนแกนพิกัด

ในการสร้างพาราโบลา คุณยังสามารถมีจุดตัดกับแกน 0x ซึ่งก็คือรากของสมการ 8 + 2x - x 2 = 0 หรือ x 2 - 2x - 8 = 0 จากทฤษฎีบทเวียตา จะได้ หารากของมันได้ง่าย: x 1 = 2, x 2 = 4

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ สามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตร .

สำหรับเงื่อนไขนี้ เราได้อินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ

ปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนเส้นโค้ง y \u003d f (x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y จะได้สูตรดังนี้

งานหมายเลข 4 กำหนดปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x \u003d 0 x \u003d 3 และเส้นโค้ง y \u003d รอบแกน O x

สารละลาย.มาสร้างภาพวาดกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4. กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาตรที่ต้องการเท่ากับ

งานหมายเลข 5 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

สารละลาย.เรามี:

ตรวจสอบคำถาม

จะใส่สูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ได้อย่างไร?

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บ วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือดังที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถแทรกลงในไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่ Wolfram Alpha สร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีการสากลนี้จะช่วยปรับปรุงการมองเห็นไซต์ในเครื่องมือค้นหา มันทำงานมานานแล้ว (และฉันคิดว่ามันจะใช้ได้ตลอดไป) แต่มันล้าสมัยทางศีลธรรม

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) ใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายชื่อเซิร์ฟเวอร์) (2) อัปโหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในไซต์ของคุณ วิธีที่สองนั้นซับซ้อนและใช้เวลานานกว่า และจะช่วยให้คุณสามารถโหลดหน้าเว็บของไซต์ของคุณได้เร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์หลัก MathJax ไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ การดำเนินการนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณแต่อย่างใด แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะด้านเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และภายใน 5 นาที คุณจะสามารถใช้คุณลักษณะทั้งหมดของ MathJax บนไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลโดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์หลัก MathJax หรือจากหน้าเอกสาร:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้ควรคัดลอกและวางลงในโค้ดหน้าเว็บ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรือหลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องมีการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางโค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบการอัปเดตของ MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมของไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดด้านบน และวางวิดเจ็ตให้ใกล้กับ จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมด ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณก็พร้อมที่จะฝังสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ถูกสร้างขึ้นตามกฎบางอย่าง ซึ่งใช้อย่างต่อเนื่องโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งเรียกว่าการวนซ้ำ

ขั้นตอนวิธีวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์เดิมที่มีด้าน 1 ถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่าๆ กัน หนึ่งลูกบาศก์กลางและ 6 ลูกบาศก์ที่อยู่ติดกับใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน กลายเป็นชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กที่เหลืออีก 20 ลูก ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์เหล่านี้ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูก ดำเนินขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้ฟองน้ำ Menger