จำนวนตรรกยะ: คำจำกัดความ ตัวอย่าง ความหมายของจำนวนตรรกยะ

การทำอาหาร

บทความนี้อุทิศให้กับการศึกษาหัวข้อ "จำนวนตรรกยะ" ด้านล่างนี้คือคำจำกัดความ สรุปตัวเลขมีการยกตัวอย่างและวิธีการตรวจสอบว่าจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

Yandex.RTB R-A-339285-1

สรุปตัวเลข. คำจำกัดความ

ก่อนที่จะให้คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ เรามาจำไว้ว่าชุดของตัวเลขอื่นๆ คืออะไรและเกี่ยวข้องกันอย่างไร

จำนวนธรรมชาติ ร่วมกับจำนวนตรงข้ามและเลขศูนย์ รวมกันเป็นชุดของจำนวนเต็ม ในทางกลับกัน เซตของจำนวนเศษส่วนที่เป็นจำนวนเต็มจะสร้างเซตของจำนวนตรรกยะ

ความหมาย 1. จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมที่เป็นบวก a b เศษส่วนร่วมที่เป็นลบ a b หรือจำนวนศูนย์

ดังนั้นเราจึงสามารถทิ้งคุณสมบัติของจำนวนตรรกยะไว้ได้:

จำนวนธรรมชาติใดๆ เป็นจำนวนตรรกยะ เห็นได้ชัดว่า n จำนวนธรรมชาติทุกตัวสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ 1 n .
จำนวนเต็มใดๆ รวมทั้งเลข 0 เป็นจำนวนตรรกยะ แท้จริงแล้ว จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญบวกหรือลบตามลำดับได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
เศษส่วนร่วมที่เป็นบวกหรือลบใดๆ a b เป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้เป็นไปตามโดยตรงจากคำจำกัดความข้างต้น
ใดๆ จำนวนผสมมีเหตุผล แท้จริงแล้ว จำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษเกินธรรมดาได้
เศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นคาบสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้ ดังนั้น ทุกๆ ระยะหรือระยะจำกัด ทศนิยมเป็นจำนวนตรรกยะ
ทศนิยมที่ไม่จำกัดและไม่เกิดซ้ำไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ไม่สามารถแสดงในรูปของเศษส่วนธรรมดาได้

ให้เรายกตัวอย่างจำนวนตรรกยะ ตัวเลข 5 , 105 , 358 , 1100055 เป็นธรรมชาติ บวก และจำนวนเต็ม ท้ายที่สุดแล้ว สิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวเลข - 2 , - 358 , - 936 เป็นจำนวนเต็มลบ และเป็นจำนวนตรรกยะตามนิยาม เศษส่วนร่วม 3 5 , 8 7 , - 35 8 เป็นตัวอย่างของจำนวนตรรกยะเช่นกัน

คำจำกัดความข้างต้นของจำนวนตรรกยะสามารถกำหนดได้กระชับยิ่งขึ้น ลองตอบคำถามอีกครั้งว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร

ความหมาย 2. จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน ± z n โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม n เป็นจำนวนธรรมชาติ

ก็แสดงว่า คำนิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามก่อนหน้าของจำนวนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ จำไว้ว่าแถบของเศษส่วนนั้นเหมือนกับเครื่องหมายหาร โดยคำนึงถึงกฎและคุณสมบัติของการหารจำนวนเต็ม เราสามารถเขียนอสมการยุติธรรมได้ดังต่อไปนี้:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - ม n = (- ม) ÷ n = - ม n .

ดังนั้น เราสามารถเขียน:

z n = z n , p p และ z > 0 0 , p p และ z = 0 - z n , p p และ z< 0

อันที่จริงบันทึกนี้เป็นหลักฐาน เรายกตัวอย่างจำนวนตรรกยะตามนิยามที่สอง พิจารณาตัวเลข - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 และ - 1 3 5 . ตัวเลขทั้งหมดนี้เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากสามารถเขียนเป็นเศษส่วนด้วยตัวเศษจำนวนเต็มและตัวส่วนธรรมชาติ: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

เราขอนำเสนอนิยามของจำนวนตรรกยะอีกรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน

ความหมาย 3. จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นอนันต์ได้

คำจำกัดความนี้ต่อจากคำจำกัดความแรกของย่อหน้านี้โดยตรง

เพื่อสรุปและกำหนดบทสรุปเกี่ยวกับรายการนี้:

เศษส่วนบวกและลบและจำนวนเต็มประกอบกันเป็นชุดของจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะทุกตัวสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนเป็นจำนวนธรรมชาติ
จำนวนตรรกยะทุกตัวสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้: ระยะจำกัดหรืออนันต์

จำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะ?

ตามที่เราได้ค้นพบแล้ว จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม เศษส่วนสามัญปกติและไม่เหมาะสม เศษส่วนทศนิยมเป็นระยะและสุดท้ายเป็นจำนวนตรรกยะ ด้วยความรู้นี้ คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าตัวเลขเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ เรามักไม่จัดการกับตัวเลข แต่ใช้นิพจน์ตัวเลขที่มีราก กำลัง และลอการิทึม ในบางกรณี คำตอบสำหรับคำถาม "เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่" อยู่ไกลจากที่เห็นได้ชัด ลองมาดูวิธีการตอบคำถามนี้

หากกำหนดตัวเลขเป็นนิพจน์ที่มีเฉพาะจำนวนตรรกยะและการดำเนินการเลขคณิตระหว่างกัน ผลลัพธ์ของนิพจน์จะเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) เป็นจำนวนตรรกยะและเท่ากับ 18

ดังนั้น การทำให้คอมเพล็กซ์ง่ายขึ้น การแสดงออกที่เป็นตัวเลขช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

ตอนนี้เรามาจัดการกับสัญลักษณ์ของราก

ปรากฎว่าจำนวน m n ที่กำหนดให้เป็นรากของดีกรี n ของจำนวน m นั้นเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อ m เป็นกำลังที่ n ของจำนวนธรรมชาติบางตัวเท่านั้น

ลองดูตัวอย่าง เลข 2 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ โดยที่ 9, 81 เป็นจำนวนตรรกยะ 9 และ 81 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของเลข 3 และ 9 ตามลำดับ ตัวเลข 199 , 28 , 15 1 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เนื่องจากตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนใดๆ จำนวนธรรมชาติ.

ทีนี้มาดูกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น หมายเลข 243 5 มีเหตุผลหรือไม่? หากคุณยก 3 ยกกำลัง 5 คุณจะได้ 243 ดังนั้นนิพจน์เดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: 243 5 = 3 5 5 = 3 เพราะฉะนั้น, หมายเลขที่กำหนดมีเหตุผล ตอนนี้ขอหมายเลข 121 5 . จำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เนื่องจากไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ยกกำลังห้าจะให้ 121

หากต้องการทราบว่าลอการิทึมของจำนวน a ถึงฐาน b เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ จำเป็นต้องใช้วิธีขัดแย้ง ตัวอย่างเช่น ลองหาว่าล็อก 2 5 เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ สมมติว่าตัวเลขนี้เป็นจำนวนตรรกยะ ถ้าเป็นเช่นนั้นก็สามารถเขียนเป็นบันทึกเศษส่วนธรรมดา 2 5 \u003d mn โดยคุณสมบัติของลอการิทึมและคุณสมบัติของระดับความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

5 = 2 ล็อก 2 5 = 2 ม. 5 n = 2 ม

เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เนื่องจากด้านซ้ายและด้านขวาประกอบด้วยคี่และตามลำดับ เลขคู่. ดังนั้นสมมติฐานที่ตั้งไว้จึงผิด และเลขล็อก 2 5 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพิจารณาความมีเหตุผลและความไร้เหตุผลของตัวเลข เราไม่ควรตัดสินใจอย่างกะทันหัน ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของผลคูณของจำนวนอตรรกยะไม่ใช่จำนวนอตรรกยะเสมอไป ตัวอย่างภาพประกอบ: 2 · 2 = 2 .

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะซึ่งการเพิ่มกำลังอตรรกยะจะให้จำนวนตรรกยะ ในรูปแบบเลขยกกำลัง 2 ล็อก 2 3 ฐานและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ตัวเลขนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ: 2 log 2 3 = 3

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ความหมายของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือ:

จำนวนธรรมชาติที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น $7=\frac(7)(1)$
จำนวนเต็ม รวมทั้งเลขศูนย์ ที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนบวกหรือลบ หรือเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$
เศษส่วนสามัญ (บวกหรือลบ)
จำนวนคละที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมที่ไม่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ และ $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$
ทศนิยมจำกัดและเศษส่วนไม่สิ้นสุด ซึ่งสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้ ตัวอย่างเช่น $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$

หมายเหตุ 1

โปรดทราบว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีจุดเป็นจำนวนอนันต์ใช้ไม่ได้กับจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

ตัวอย่างที่ 1

จำนวนธรรมชาติ $7, 670, 21 \ 456$ เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็ม $76, -76, 0, -555 \ 666$ เป็นจำนวนตรรกยะ

เศษส่วนสามัญ $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ เป็นจำนวนตรรกยะ

ดังนั้น จำนวนตรรกยะจึงแบ่งออกเป็นบวกและลบ ศูนย์เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะบวกหรือลบ

ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่สั้นลงของจำนวนตรรกยะ

นิยาม 3

มีเหตุผลหมายเลขโทรศัพท์ที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือไม่จำกัด

สามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

จำนวนเต็มบวกและลบและจำนวนเศษส่วนอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษจำนวนเต็มและตัวส่วนตามธรรมชาติและเป็นจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมประจำงวดที่เป็นจำนวนตรรกยะ

วิธีตรวจสอบว่าจำนวนตรรกยะหรือไม่

จำนวนที่กำหนดเป็นนิพจน์ตัวเลขซึ่งประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของนิพจน์จะเป็นจำนวนตรรกยะ
รากที่สองของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อรากเป็นจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น $\sqrt(9)$ และ $\sqrt(121)$ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก $9=3^2$ และ $121=11^2$
รากที่ $n$ ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทคือกำลัง $n$th ของจำนวนเต็มบางตัว ตัวอย่างเช่น $\sqrt(8)$ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก $8=2^3$.

บนเส้นจำนวน จำนวนตรรกยะมีอยู่ทุกที่หนาแน่น: ระหว่างทุกๆ สองจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากัน จะมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน (และดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ในเวลาเดียวกัน เซตของจำนวนตรรกยะมีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนนับที่นับได้ (กล่าวคือ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตสามารถกำหนดเป็นเลขได้) ชาวกรีกโบราณพิสูจน์ว่ามีตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีจำนวนตรรกยะใดที่มีกำลังสองเท่ากับ $2$ จากนั้นจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอที่จะแสดงปริมาณทั้งหมด ซึ่งต่อมาได้นำไปสู่การปรากฏของจำนวนจริง เซตของจำนวนตรรกยะซึ่งแตกต่างจากจำนวนจริงคือไม่มีมิติ

เซตของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนได้ดังนี้

ปรากฎว่ารายการต่างๆ สามารถแทนเศษส่วนเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น และ , (เศษส่วนทั้งหมดที่สามารถหาได้จากการคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกันจะแทนจำนวนตรรกยะเดียวกัน) เนื่องจากการหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก เราจะได้ค่าแทนจำนวนตรรกยะที่ลดไม่ได้เพียงอย่างเดียว เราสามารถพูดถึงเซตเป็นเซตได้ ลดไม่ได้เศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนเต็ม coprime และตัวส่วนธรรมชาติ:

นี่คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข และ

เซตของจำนวนตรรกยะเป็นการกำหนดทั่วไปตามธรรมชาติของเซตของจำนวนเต็ม เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าจำนวนตรรกยะมีตัวส่วน แสดงว่ามันเป็นจำนวนเต็ม เซตของจำนวนตรรกยะมีอยู่ทุกหนทุกแห่งหนาแน่นบนแกนจำนวน: ระหว่างจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกันสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน (และด้วยเหตุนี้ ชุดจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด) อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าชุดของจำนวนตรรกยะมีจำนวนนับได้ (นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดสามารถจัดลำดับใหม่ได้) โปรดทราบว่าแม้แต่ชาวกรีกโบราณก็ยังเชื่อว่ามีตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ (เช่น พวกเขาพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเท่ากับ 2)

คำศัพท์

คำนิยามอย่างเป็นทางการ

อย่างเป็นทางการ จำนวนตรรกยะถูกกำหนดให้เป็นเซตของคลาสการสมมูลของคู่ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์สมมูล if ในกรณีนี้ การดำเนินการของการบวกและการคูณถูกกำหนดดังนี้:

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

เศษส่วนถูก เศษเกิน และเศษส่วนผสม

ถูกต้อง จะเรียกเศษส่วนถ้าโมดูลัสของตัวเศษน้อยกว่าโมดูลัสของตัวส่วน เศษส่วนที่เหมาะสมแทนจำนวนตรรกยะ โมดูโลน้อยกว่าหนึ่ง เศษส่วนที่ไม่ถูกต้องเรียกว่า ผิดและแสดงถึงจำนวนตรรกยะที่มากกว่าหรือเท่ากับหนึ่งโมดูโล

เศษเกินสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มและเรียกเศษส่วนที่เหมาะสม เศษส่วนผสม . ตัวอย่างเช่น, . สัญกรณ์ที่คล้ายกัน (ไม่มีเครื่องหมายบวก) แม้จะใช้ในเลขคณิตระดับประถมศึกษา แต่หลีกเลี่ยงในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัดเนื่องจากความคล้ายคลึงกันของสัญกรณ์สำหรับเศษส่วนผสมกับสัญกรณ์สำหรับผลคูณของจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ความสูงของการยิง

ความสูงของเศษส่วนร่วม คือผลรวมของโมดูลัสของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนนี้ ความสูงของจำนวนตรรกยะ คือผลรวมของโมดูลัสของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามัญที่ลดไม่ได้ซึ่งตรงกับตัวเลขนี้

ตัวอย่างเช่น ความสูงของเศษส่วนคือ ความสูงของจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกันคือ เนื่องจากเศษส่วนจะลดลงด้วย

ความคิดเห็น

ภาคเรียน เศษส่วน (เศษส่วน)บางครั้ง [ ระบุ] ใช้เป็นคำพ้องความหมายสำหรับคำนี้ จำนวนตรรกยะและบางครั้งเป็นคำพ้องความหมายสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มใดๆ ในกรณีหลัง จำนวนเศษส่วนและจำนวนตรรกยะคือ สิ่งที่แตกต่างเนื่องจากจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเป็นเพียงกรณีพิเศษของเศษส่วน

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐาน

ชุดของจำนวนตรรกยะเป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานสิบหกประการที่สามารถหาได้ง่ายจากคุณสมบัติของจำนวนเต็ม

ความเป็นระเบียบสำหรับจำนวนตรรกยะใด ๆ มีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ระหว่างหนึ่งและหนึ่งในสามความสัมพันธ์: "", "" หรือ "" สำหรับจำนวนตรรกยะ กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้สอง ตัวเลขที่เป็นบวกและสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองจำนวน และ ; ตัวเลขที่ไม่เป็นบวกสองตัวและสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองตัว และ ; ถ้าจู่ ๆ ก็ไม่เป็นลบ แต่ - เป็นลบ แล้ว .
ผลรวมของเศษส่วน
การดำเนินการเพิ่มเติม กฎการรวม ผลรวมตัวเลข และ และ แสดงด้วย , และกระบวนการค้นหาหมายเลขดังกล่าวเรียกว่า ผลรวม. กฎการรวมมีรูปแบบต่อไปนี้: .
การดำเนินการคูณสำหรับจำนวนตรรกยะใด ๆ และมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งทำให้พวกมันสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ เบอร์นั้นเรียกเอง งานตัวเลข และ และ แสดงแทน และกระบวนการค้นหาหมายเลขดังกล่าวก็เรียกเช่นกัน การคูณ. กฎการคูณมีรูปแบบดังนี้ .
การเปลี่ยนแปลงของลำดับความสัมพันธ์สำหรับจำนวนตรรกยะจำนวนสามเท่าใดๆ และถ้าน้อยกว่าและน้อยกว่า ก็จะน้อยกว่า และถ้าเท่ากับและเท่ากับ ก็จะเท่ากับ
การสลับที่ของการบวกจากการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเงื่อนไขผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง
ความเชื่อมโยงของการบวกลำดับที่เพิ่มจำนวนตรรกยะสามตัวไม่มีผลกับผลลัพธ์
การปรากฏตัวของศูนย์มีเลขตรรกยะ 0 ที่รักษาจำนวนตรรกยะอื่น ๆ ทุกจำนวนเมื่อบวก
การปรากฏตัวของจำนวนตรงข้ามจำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม ซึ่งเมื่อรวมแล้วจะได้ 0
การสับเปลี่ยนของการคูณผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยที่มีเหตุผล
ความสัมพันธ์ของการคูณลำดับที่จำนวนตรรกยะสามตัวถูกคูณจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์
การปรากฏตัวของหน่วยมีจำนวนตรรกยะ 1 ที่รักษาจำนวนตรรกยะอื่น ๆ เมื่อคูณ
การปรากฏตัวของซึ่งกันและกันจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน ซึ่งคูณด้วยจะได้ 1
การกระจายของการคูณเกี่ยวกับการบวกการดำเนินการคูณสอดคล้องกับการดำเนินการบวกผ่านกฎการกระจาย:
การเชื่อมโยงความสัมพันธ์ของลำดับกับการดำเนินการของการบวกไปทางซ้ายและขวา ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลคุณสามารถบวกจำนวนตรรกยะเดียวกันได้
การเชื่อมโยงความสัมพันธ์ของลำดับกับการดำเนินการคูณด้านซ้ายและขวาของอสมการที่เป็นจำนวนตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกเดียวกันได้
สัจพจน์ของอาร์คิมิดีสไม่ว่าจำนวนตรรกยะจะเป็นเท่าใด คุณก็สามารถหาหน่วยได้มากมายจนผลรวมของหน่วยนั้นเกิน

คุณสมบัติเพิ่มเติม

คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะไม่ได้ถูกแยกออกเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงโดยนิยามของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง มีคุณสมบัติเพิ่มเติมมากมาย มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะอ้างถึงเพียงไม่กี่คน

ตั้งค่าการนับ

ในการประมาณจำนวนตรรกยะ คุณต้องหาจำนวนสมาชิกของเซต เป็นการง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะนับได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริทึมที่ระบุจำนวนตรรกยะ นั่นคือสร้าง bijection ระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนธรรมชาติ อัลกอริทึมอย่างง่ายต่อไปนี้สามารถใช้เป็นตัวอย่างของโครงสร้างดังกล่าวได้ มีการรวบรวมตารางเศษส่วนสามัญที่ไม่มีที่สิ้นสุดในแต่ละแถวที่ -th ในแต่ละคอลัมน์ที่มีเศษส่วน เพื่อความชัดเจน จะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขตั้งแต่หนึ่ง เซลล์ตารางแสดงโดย โดยที่คือหมายเลขแถวของตารางที่มีเซลล์ตั้งอยู่ และเป็นหมายเลขคอลัมน์

ตารางผลลัพธ์ได้รับการจัดการโดย "งู" ตามอัลกอริทึมอย่างเป็นทางการต่อไปนี้

กฎเหล่านี้จะถูกค้นหาจากบนลงล่าง และตำแหน่งถัดไปจะถูกเลือกโดยการแข่งขันนัดแรก

ในกระบวนการบายพาสนั้น จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละจำนวนจะถูกกำหนดให้กับจำนวนธรรมชาติถัดไป นั่นคือเศษส่วนถูกกำหนดเป็นหมายเลข 1 เศษส่วน - หมายเลข 2 เป็นต้น ควรสังเกตว่ามีเพียงเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้นที่มีหมายเลข เครื่องหมายที่เป็นทางการของการลดลงไม่ได้คือความเท่าเทียมกับตัวหารร่วมมากตัวใดตัวหนึ่งของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

ตามอัลกอริทึมนี้ เราสามารถแจกแจงจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกได้ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างการเทียบเคียงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกและลบ โดยกำหนดให้กับจำนวนตรรกยะแต่ละตัวที่อยู่ตรงข้ามกัน ที่. เซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบก็นับได้เช่นกัน สหภาพของพวกเขายังนับได้ด้วยคุณสมบัติของชุดที่นับได้ เซตของจำนวนตรรกยะยังสามารถนับได้ในฐานะยูเนียนของเซตที่นับได้กับเซตจำกัด

แน่นอน มีวิธีอื่นในการแจกแจงจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้โครงสร้างเช่น Calkin - Wilf tree, Stern - Brokaw tree หรือ Farey series

ข้อความเกี่ยวกับการนับได้ของชุดจำนวนตรรกยะอาจทำให้เกิดความสับสน เนื่องจากเมื่อมองแวบแรกจะรู้สึกว่ามีจำนวนมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติมาก ในความเป็นจริง นี่ไม่ใช่กรณี และมีจำนวนธรรมชาติมากพอที่จะแจกแจงจำนวนตรรกยะทั้งหมด

ความไม่เพียงพอของจำนวนตรรกยะ

ดูสิ่งนี้ด้วย


	จำนวนทั้งหมด

สรุปตัวเลข

จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน

หมายเหตุ

วรรณกรรม

I. คุชนีร์ คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับเด็กนักเรียน - เคียฟ: ASTARTA, 1998. - 520 น.
ป.ล. อเล็กซานดรอฟ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีเซตและโทโพโลยีทั่วไป - ม.: หัว. เอ็ด ฟิสิกส์-คณิต สว่าง เอ็ด "วิทยาศาสตร์", 2520
I. L. Khmelnitsky ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีระบบพีชคณิต

ความหมายของจำนวนตรรกยะ:

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ

ทำไมจำนวนเรียกว่าตรรกยะ?

ในภาษาละติน "อัตราส่วน" (อัตราส่วน) หมายถึงอัตราส่วน จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนได้ เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นเศษส่วน

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

เลข 2/3 เป็นจำนวนตรรกยะ ทำไม จำนวนนี้แสดงเป็นเศษส่วน ตัวเศษอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมของจำนวนตรรกยะ ดูบทความ

จำนวนตรรกยะเท่ากัน

เศษส่วนที่แตกต่างกันสามารถแทนจำนวนตรรกยะเดียวได้

พิจารณาจำนวนตรรกยะ 3/5 จำนวนตรรกยะนี้เท่ากับ

ลดตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วมของ 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

เราได้เศษส่วน 3/5 ซึ่งหมายความว่า

นักเรียนมัธยมปลายและนักเรียนที่เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์มักจะตอบคำถามนี้ได้อย่างง่ายดาย แต่สำหรับผู้ที่อยู่ห่างไกลจากอาชีพนี้จะยากขึ้น มันคืออะไรจริงๆ?

สาระสำคัญและการกำหนด

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ บวกลบรวมทั้งศูนย์รวมอยู่ในชุดนี้ด้วย ตัวเศษของเศษส่วนต้องเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนต้องเป็น

เซตนี้แสดงแทนในวิชาคณิตศาสตร์ว่า Q และเรียกว่า "ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ" ประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ซึ่งแสดงตามลำดับเป็น Z และ N ชุด Q นั้นรวมอยู่ในชุด R นี่คือตัวอักษรนี้ที่แสดงถึงสิ่งที่เรียกว่าจริงหรือ

ผลงาน

ตามที่กล่าวไว้แล้ว จำนวนตรรกยะคือชุดที่รวมค่าจำนวนเต็มและค่าเศษส่วนทั้งหมด สามารถนำเสนอได้ใน รูปแบบที่แตกต่างกัน. อันดับแรก ให้อยู่ในรูปของเศษส่วนธรรมดา: 5/7, 1/5, 11/15 ฯลฯ แน่นอน จำนวนเต็มสามารถเขียนในรูปแบบที่คล้ายกันได้: 6/2, 15/5, 0/1, -10/2 เป็นต้น ประการที่สอง การแทนค่าประเภทอื่นคือเศษส่วนทศนิยมที่มีเศษส่วนสุดท้ายเป็นเศษส่วน: 0.01, -15.001006 เป็นต้น นี่อาจเป็นหนึ่งในรูปแบบที่พบมากที่สุด

แต่ยังมีหนึ่งในสาม - เศษส่วนเป็นระยะ ประเภทนี้ไม่ค่อยพบบ่อย แต่ก็ยังใช้อยู่ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 10/3 สามารถเขียนเป็น 3.33333... หรือ 3,(3) ในกรณีนี้ การเป็นตัวแทนที่แตกต่างกันจะถือเป็นตัวเลขที่คล้ายกัน เศษส่วนที่เท่ากันจะเรียกว่า 3/5 และ 6/10 ดูเหมือนว่าจะชัดเจนว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร แต่ทำไมคำนี้ถึงใช้เรียกพวกเขา?

ที่มาของชื่อ

คำว่า "มีเหตุผล" ในภาษารัสเซียสมัยใหม่มักมีความหมายแตกต่างกันเล็กน้อย มันค่อนข้าง "สมเหตุสมผล" "พิจารณา" แต่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับความหมายโดยตรงของสิ่งนี้ ในภาษาละติน "อัตราส่วน" คือ "อัตราส่วน" "เศษส่วน" หรือ "การหาร" ดังนั้น ชื่อจึงสะท้อนถึงสาระสำคัญของจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตามความหมายที่สอง

ไม่ไกลจากความจริง

การดำเนินการกับพวกเขา

เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เราพบจำนวนตรรกยะตลอดเวลาโดยที่เราไม่รู้ตัว และมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย ทั้งหมดเป็นไปตามนิยามของชุดหรือจากการกระทำ

ประการแรก จำนวนตรรกยะมีคุณสมบัติความสัมพันธ์ของลำดับ ซึ่งหมายความว่ามีเพียงอัตราส่วนเดียวเท่านั้นที่สามารถมีอยู่ระหว่างตัวเลขสองตัว - อัตราส่วนทั้งสองมีค่าเท่ากันหรือมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าอีกค่าหนึ่ง เช่น.:

หรือ เอ = บีหรือ ก > ขหรือ ก< b.

นอกจากนี้ คุณสมบัตินี้ยังแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความสัมพันธ์ นั่นคือถ้า กมากกว่า ข, ขมากกว่า ค, ที่ กมากกว่า ค. ในภาษาคณิตศาสตร์ มีลักษณะดังนี้

(ก > ข) ^ (ข > ค) => (ก > ค).

ประการที่สอง มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนตรรกยะ นั่นคือ การบวก การลบ การหาร และการคูณ ในเวลาเดียวกัน คุณสมบัติหลายอย่างสามารถแยกแยะได้ในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลง

a + b = b + a (การแทนที่ของเงื่อนไข, การสลับที่);
0 + ก = ก + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);
ก + (-ก) = 0;
ab = บา;
(ab)c = a(bc) (การกระจาย);
ก x 1 = 1 x ก = ก;
a x (1 / a) = 1 (ในกรณีนี้ a ไม่เท่ากับ 0);
(a + b)ค = แอค + ab;
(ก > ข) ^ (ค > 0) => (ac > bc).

เมื่อพูดถึงเรื่องปกติและไม่ใช่หรือจำนวนเต็ม การดำเนินการกับพวกมันอาจทำให้เกิดปัญหาบางอย่างได้ ดังนั้น การบวกและการลบจะทำได้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนเท่ากันเท่านั้น หากพวกมันต่างกันตั้งแต่แรก คุณควรหาตัวหารร่วมโดยใช้การคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวเลขที่แน่นอน การเปรียบเทียบมักจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขนี้เท่านั้น

การหารและการคูณเศษส่วนสามัญจะดำเนินการอย่างเพียงพอ กฎง่ายๆ. ไม่จำเป็นต้องลดให้เหลือส่วนร่วม ตัวเศษและตัวส่วนจะถูกคูณแยกกันในขณะที่อยู่ในขั้นตอนของการดำเนินการ ถ้าเป็นไปได้ เศษส่วนควรลดลงและทำให้ง่ายขึ้นมากที่สุด

สำหรับการหาร การกระทำนี้คล้ายกับครั้งแรกโดยมีความแตกต่างกันเล็กน้อย สำหรับเศษส่วนที่สอง คุณควรหาส่วนกลับ นั่นคือ

"กลับมัน. ดังนั้น ตัวเศษของเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยตัวส่วนของส่วนที่สองและในทางกลับกัน

สุดท้าย คุณสมบัติอื่นที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะเรียกว่าสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส คำว่า "หลักการ" มักพบในวรรณคดีเช่นกัน ใช้ได้กับจำนวนจริงทั้งชุด แต่ไม่ใช่ทุกที่ ดังนั้น หลักการนี้ใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันตรรกยะบางชุด โดยพื้นฐานแล้ว สัจพจน์นี้หมายความว่า เนื่องจากการมีอยู่ของปริมาณ a และ b สองปริมาณ คุณจึงสามารถนำ a เกิน b ได้เสมอ

พื้นที่ใช้งาน

ดังนั้น สำหรับผู้ที่เรียนรู้หรือจำได้ว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร จะเห็นได้ชัดว่ามีการใช้ตัวเลขเหล่านี้ทุกที่: ในบัญชี เศรษฐศาสตร์ สถิติ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาศาสตร์อื่นๆ โดยธรรมชาติแล้วพวกเขามีสถานที่ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย ไม่ทราบว่าเรากำลังติดต่อกับพวกเขาอยู่เสมอเราใช้จำนวนตรรกยะอย่างต่อเนื่อง แม้แต่เด็กเล็กที่เรียนรู้ที่จะนับสิ่งของ หั่นแอปเปิ้ลเป็นชิ้นๆ หรือทำท่าทางง่ายๆ พวกเขาล้อมรอบเราอย่างแท้จริง และยังไม่เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นตัวอย่าง เราสามารถเข้าใจความจำเป็นในการแนะนำแนวคิด