A)

Soluţie.

În primul rând și moment crucial soluții - construirea unui desen.

Hai sa facem un desen:

Ecuația y=0 setează axa x;

- x=-2 și x=1 - drept, paralel cu axa OU;

- y \u003d x 2 +2 - o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu un vârf în punctul (0;2).

Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OU și hotărârea potrivită ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

Puteți desena linii și punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat peste axă Bou , de aceea:

Răspuns: S \u003d 9 unități pătrate

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub axă Oh?

b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

Răspuns: S=(e-1) unitate mp" 1,72 mp

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Aflați punctele de intersecție ale parabolei si direct Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Deci limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele(0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar este important care diagramă este MAI ÎNALTĂ (față de o altă diagramă) și care este MAI DEOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Este posibil să se construiască linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale).

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S \u003d 4,5 unități mp

Figura mărginită de graficul unei funcții nenegative continue $f(x)$ pe intervalul $$ și dreptele $y=0, \ x=a$ și $x=b$ se numește trapez curbiliniu.

Zona corespunzătoare trapez curbiliniu calculat prin formula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Problemele de găsire a ariei unui trapez curbiliniu le vom împărți condiționat în tipuri de $4$. Să luăm în considerare fiecare tip mai detaliat.

Tipul I: un trapez curbiliniu este dat în mod explicit. Apoi aplicați imediat formula (*).

De exemplu, găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=4-(x-2)^(2)$ și liniile $y=0, \ x=1$ și $x =3$.

Să desenăm acest trapez curbiliniu.

Aplicând formula (*), găsim aria acestui trapez curbiliniu.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unitate$^(2)$).

Tipul II: trapezul curbiliniu este dat implicit.În acest caz, liniile drepte $x=a, \ x=b$ de obicei nu sunt specificate sau sunt parțial specificate. În acest caz, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale funcțiilor $y=f(x)$ și $y=0$. Aceste puncte vor fi punctele $a$ și $b$.

De exemplu, găsiți aria figurii delimitată de graficele funcțiilor $y=1-x^(2)$ și $y=0$.

Să găsim punctele de intersecție. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile potrivite ale funcțiilor.

Deci $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm acest trapez curbiliniu.

Găsiți aria acestui trapez curbiliniu.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unitate$^(2)$).

Tipul III: aria unei figuri delimitată de intersecția a două funcții continue nenegative. Această cifră nu va fi un trapez curbiliniu, ceea ce înseamnă că folosind formula (*) nu puteți calcula aria sa. Cum să fii? Se pare că aria acestei figuri poate fi găsită ca diferență între ariile trapezelor curbilinii delimitate de funcția superioară și $y=0$ ($S_(uf)$) și funcția inferioară și $y= 0$ ($S_(lf)$), unde rolul lui $x=a, \ x=b$ este jucat de coordonatele $x$ ale punctelor de intersecție ale acestor funcții, i.e.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Cel mai important lucru atunci când se calculează astfel de zone este să nu „rată” cu alegerea funcțiilor superioare și inferioare.

De exemplu, găsiți aria unei figuri delimitate de funcțiile $y=x^(2)$ și $y=x+6$.

Să găsim punctele de intersecție ale acestor grafice:

Conform teoremei lui Vieta,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Adică $a=-2, \ b=3$. Să desenăm o figură:

Deci funcția de sus este $y=x+6$ și cea de jos este $y=x^(2)$. Apoi, găsiți $S_(uf)$ și $S_(lf)$ folosind formula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (unitatea $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unitate$^(2)$).

Înlocuiește găsit în (**) și obține:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unitatea $^(2)$).

Tip IV: aria unei figuri delimitată de o funcție (funcții) care nu îndeplinește condiția de non-negativitate. Pentru a găsi aria unei astfel de figuri, trebuie să fiți simetric față de axa $Ox$ ( cu alte cuvinte, puneți „minusuri” în fața funcțiilor) afișați zona și, folosind metodele descrise în tipurile I - III, găsiți zona zonei afișate. Această zonă va fi zona necesară. În primul rând, poate fi necesar să găsiți punctele de intersecție ale graficelor funcției.

De exemplu, găsiți aria figurii delimitată de graficele funcțiilor $y=x^(2)-1$ și $y=0$.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcției:

acestea. $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm zona.

Să arătăm zona simetric:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Obțineți un trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=1-x^(2)$ și $y=0$. Aceasta este o problemă de găsire a unui trapez curbiliniu de al doilea tip. Am rezolvat deja. Răspunsul a fost: $S= 1\frac(1)(3)$ (unități $^(2)$). Deci, aria trapezului curbiliniu dorit este egală cu:

$S=1\frac(1)(3)$ (unitate$^(2)$).

Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri

Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. Cum să folosiți o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. Va trebui să ne apropiem în viață zona cabana la tara funcții elementare și găsiți-i aria folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) intelege integrală nedefinită cel putin la un nivel mediu. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Forja cald relații de prietenie cu integrale definite pot fi găsite pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, mult mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale de desen. În acest sens, este utilă reîmprospătarea memoriei graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să se poată construi o dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (mulți au nevoie) cu ajutorul material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea este familiarizată cu problema găsirii zonei folosind o integrală definită încă de la școală și vom merge puțin înaintea programului școlar. Acest articol s-ar putea să nu existe deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev este chinuit de un turn urât cu entuziasm stăpânind un curs de matematică superioară.

Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbiliniu.

Trapez curbiliniu numită figură plată mărginită de axa , linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lecție Integrala definita. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiți un plan, vă recomand următoarea ordine: primul este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai după- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, tehnica construcției punctuale poate fi găsită în material de referinta Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției peste axă, de aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiți liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Repet că la construcția punctuală, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este dată de ecuația , iar graficul funcției este situat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .

În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Aici caz real din viata:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Să facem mai întâi un desen:

… Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare să fie lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită. în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o sarcină mai semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct:

Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:


,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,

Soluţie: Desenați această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și refac poza, scuze, nu hotz. Nu un desen, pe scurt, azi este ziua =)

Pentru construcția punctual, trebuie să știți aspect sinusoide (și în general este util să știți grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y \u003d f (x), axa O x și liniile drepte x \u003d a și x \u003d b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:

Luați în considerare câteva exemple de calcul a ariilor figurilor plane.

Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Soluţie. Să construim o figură, aria căreia va trebui să o calculăm.

y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă de vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = patru.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită folosind formula .

În ceea ce privește această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de revoluție

Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.

Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul dorit este egal cu

Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cea mai simplă modalitate de a face acest lucru este cea descrisă în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notația matematică în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complexă și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare de mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.