Antiderivată pentru funcția y 1 x. Calculator online. Calculați integrala nedefinită (antiderivată)
Funcţie F(X ) numit primitiv pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea
F"(X ) = f(X ) .
De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Proprietatea principală a antiderivatei
În cazul în care un F(x) este antiderivată pentru funcție f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise ca F(x) + C, Unde DIN este o constantă arbitrară.
De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este antiderivată pentru funcție f(X ) = 2X , deoarece F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este antiderivată pentru funcție f(X ) = 2X , deoarece F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este antiderivată pentru funcție f(X) = 2X , deoarece F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + DIN , Unde DIN este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este antiderivată pentru funcție f(X) = 2X . ◄ |
Reguli pentru calcularea antiderivatelor
- În cazul în care un F(x) - original pentru f(x) , A G(x) - original pentru g(x) , apoi F(x) + G(x) - original pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
- În cazul în care un F(x) - original pentru f(x) , și k este constantă, atunci k · F(x) - original pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
- În cazul în care un F(x) - original pentru f(x) , și k,b- permanentă, și k ≠ 0 , apoi 1 / k F( k x + b ) - original pentru f(k x + b) .
Integrală nedefinită
Nu integrala definita din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor funcției date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- sunat integrand ;
f(x) dx- sunat integrand ;
X - sunat variabila de integrare ;
F(x) este unul dintre antiderivatele funcției f(x) ;
DIN este o constantă arbitrară.
De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + DIN , ∫ cosx dx = păcat X + DIN si asa mai departe. ◄
Cuvântul „integral” provine din cuvântul latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, restabilim cumva funcția X 2 , a cărui derivată este 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat, se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere.Pentru a verifica dacă integrarea este corectă este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.
Proprietățile de bază ale integralei nedefinite
- Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
- Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:
- Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:
- În cazul în care un k,b- permanentă, și k ≠ 0 , apoi
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .
Tabel de integrale antiderivate și nedefinite
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| eu. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| v. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Integralele primitive și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite primitive tabulare
și integrale de tabel
. |
|||
Integrala definita
Lasă între ele [A; b] dat o funcţie continuă y = f(x) , apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește incrementul primitivului F(x) această funcție, adică
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Numerele Ași b sunt numite respectiv inferior și top limite de integrare.
Reguli de bază pentru calcularea integralei definite
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) este o funcție uniformă;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.
cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.
Sensul geometric și fizic al integralei definite
| sens geometric integrala definita | sens fizic
integrala definita |
 |  |
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră delimitată de un grafic de continuu pozitiv pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou si direct x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | cale s, pe care punctul material l-a depășit, deplasându-se în linie dreaptă cu o viteză care se modifică conform legii v(t)
, pentru un interval de timp a ;
b], apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a
, x = b
, se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Calculați aria figurii delimitate de linii y=x 2 și y= 2-X . Vom reprezenta schematic graficele acestor funcții și vom evidenția figura a cărei zonă trebuie găsită într-o culoare diferită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volumul corpului revoluției
 | Dacă corpul este obţinut ca urmare a rotaţiei în jurul axei Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic de continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) si direct x = ași x = b , atunci se numește corpul revoluției . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă corpul de revoluție este obținut ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) și y = g(x) , respectiv, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Calculați volumul unui con cu rază r
si inaltime h
. Să plasăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou
, iar centrul bazei era situat la originea coordonatelor. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Am văzut că derivata are numeroase aplicații: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți investiga funcția pentru monotonitate și extreme; Derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar în viata reala trebuie rezolvate și problemele inverse: de exemplu, alături de problema găsirii vitezei dintr-o lege cunoscută a mișcării, există și problema restabilirii legii mișcării dintr-o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1 Un punct material se deplasează de-a lungul unei linii drepte, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Deci, pentru a rezolva problema, trebuie să alegem funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Este ușor de ghicit asta
Observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am obținut că De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei 
constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcării, deoarece
Pentru a face sarcina mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele punctului în mișcare la un moment dat, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s (0) \u003d s 0, atunci din egalitate obținem s (0) \u003d 0 + C, adică S 0 \u003d C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, se atribuie operații reciproce nume diferite, veniți cu notații speciale: de exemplu, pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată sine (sinx) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei față de o funcție dată se numește diferențiere, iar operația inversă, i.e. procesul de găsire a unei funcții printr-o derivată dată – prin integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „într-un mod lumesc”: funcția y - f (x) „produce în lume” o nouă funcție y „= f” (x) Funcția y \u003d f (x) acționează ca un „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu-l numesc „părinte” sau „producător”, ei spun că este, în raport cu funcția y „=f” (x), imaginea primară , sau, pe scurt, antiderivatul.
Definiția 1. Funcția y \u003d F (x) se numește antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) pe un interval dat X, dacă pentru tot x din X egalitatea F "(x) \u003d f (x) este adevărată .
În practică, intervalul X nu este de obicei indicat, dar este subînțeles (cum ar fi zona naturala definițiile funcției).
Aici sunt cateva exemple:
1) Funcția y \u003d x 2 este o antiderivată pentru funcția y \u003d 2x, deoarece pentru toate x egalitatea (x 2) "\u003d 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru toate x egalitatea (x 3)" \u003d 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinx este o antiderivată pentru funcția y=cosx, deoarece pentru tot x este valabilă egalitatea (sinx) "=cosx.
4) Funcția este antiderivată pentru funcția pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.
Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției care este scrisă în a doua coloană este egală cu funcția care este scrisă în rândul corespunzător din prima coloană (verificați-l, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y \u003d x 5, antiderivată, așa cum ați stabilit, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).
Note: 1. Mai jos demonstrăm teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru o funcție y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinite de antiderivate și toate au forma y = F (x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este antiderivată pentru funcția y = f(x)”, ei spun că F(x) este antiderivată pentru f(x) ".
2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor
La căutarea de antiderivate, precum și la căutarea de derivate, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și câteva reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calculul derivatelor.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor. Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1 Antiderivata unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Vă atragem atenția asupra unei oarecare „leșuri” a acestei formulări. De fapt, ar fi necesar să se formuleze o teoremă: dacă funcțiile y = f(x) și y=g(x) au antiderivate pe intervalul X, y-F(x) și respectiv y-G(x), atunci suma dintre funcțiile y = f(x) + g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x) + G(x). Dar de obicei, atunci când se formulează reguli (și nu teoreme), se pleacă doar Cuvinte cheie- deci este mai convenabil să aplici regula în practică
Exemplul 2 Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.
Soluţie. Antiderivată pentru 2x este x "; antiderivată pentru cosx este sin x. Prin urmare, antiderivată pentru funcția y \u003d 2x + cos x va fi funcția y \u003d x 2 + sin x (și, în general, orice funcție a forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2 Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivat.
Exemplul 3
Soluţie. a) Antiderivata pentru sin x este -cos x; prin urmare, pentru funcția y \u003d 5 sin x, antiderivată va fi funcția y \u003d -5 cos x.
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; prin urmare, pentru funcția antiderivată va exista o funcție
c) Antiderivată pentru x 3 este antiderivată pentru x este antiderivată pentru funcția y \u003d 1 este funcția y \u003d x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, obținem că antiderivată pentru funcția y \u003d 12x 3 + 8x-1 este funcția
Cometariu. După cum știți, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complicată), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Atenție!
Obținem încă o regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y \u003d f (kx + m) este calculată prin formula
Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3 Dacă y \u003d F (x) este antiderivată pentru funcția y \u003d f (x), atunci antiderivată pentru funcția y \u003d f (kx + m) este funcția
Intr-adevar,
Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y \u003d f (kx + m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) este funcția y \u003d F (x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y \u003d f (kx + m), atunci procedați ca urmează: luați aceeași funcție F, dar în loc de argumentul x, înlocuiți expresia xx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factorul de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4 Găsiți antiderivate pentru funcții date:
Soluţie, a) Antiderivata pentru sin x este -cos x; aceasta înseamnă că pentru funcția y \u003d sin2x, antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; prin urmare, pentru funcția antiderivată va exista o funcție
c) Antiderivată pentru x 7 este, prin urmare, pentru funcția y \u003d (4-5x) 7, antiderivată va fi funcția
3. Integrală nedefinită
Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.
Dovada. 1. Fie y \u003d F (x) antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X egalitatea x "(x) \u003d f (x) este adevărat. Găsiți derivata oricărei funcții de forma y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y \u003d F (x) + C este o antiderivată pentru funcția y \u003d f (x).
Astfel, am demonstrat că, dacă funcția y \u003d f (x) are o antiderivată y \u003d F (x), atunci funcția (f \u003d f (x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție a forma y \u003d F (x) +C este antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că întregul set de antiderivate este epuizat de tipul de funcții indicat.
Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Luați în considerare funcția y \u003d F 1 (x) -.F (x) și găsiți derivata ei: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 în § 35). Prin urmare, F 1 (x) -F (x) \u003d C, adică. Fx) \u003d F (x) + C.
Teorema a fost demonstrată.
Exemplul 5 Se stabilește legea schimbării vitezei din timpul v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t) dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).
Soluţie. Deoarece viteza este derivata coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:
Pentru a găsi o valoare specifică a constantei C, folosim condițiile inițiale, conform cărora, s(0) = 1,5. Înlocuind în formula (1) valorile t=0, S = 1,5, obținem:
Înlocuind valoarea găsită C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:
Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe intervalul X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, i.e. setul de funcții de forma y \u003d F (x) + C, se numește integrala nedefinită a funcției y \u003d f (x) și se notează:
(se citesc: „integrala nedefinită ef a lui x de x”).
În secțiunea următoare, vom afla care este sensul ascuns al acestei notații.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în acest paragraf, vom compila un tabel de integrale nedefinite de bază:
Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile de integrare corespunzătoare.
Regula 1 Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:
Regula 2 Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
Regula 3În cazul în care un
Exemplul 6 Găsiți integrale nedefinite:
Soluţie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:
Acum folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:
Ca rezultat, obținem:
b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:
c) Pentru determinarea directă a integralei date, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. În astfel de cazuri, transformări identice preliminare ale expresiei conținute sub semnul integral ajută uneori.
Să folosim formula trigonometrică retrogradare:
Apoi, succesiv, găsim:
A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a
Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online , Matematică la școală
antiderivat
Definiție funcția antiderivată
- Funcţie y=F(x) se numește antiderivată pentru funcție y=f(x) la un interval dat X, dacă pentru toţi X ∈X egalitatea este valabilă: F′(x) = f(x)
Poate fi citit în două moduri:
- f derivată de funcție F
- F antiderivat pentru funcție f
proprietatea antiderivatelor
- În cazul în care un F(x)- antiderivat pentru functie f(x) pe un interval dat, atunci funcția f(x) are infinite de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise ca F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.
Interpretare geometrică
- Grafice ale tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) sunt obținute din graficul oricărei antiderivate prin transferuri paralele de-a lungul axei O la.
Reguli pentru calcularea antiderivatelor
- Antiderivată a sumei este egală cu suma antiderivatelor. În cazul în care un F(x)- primitiv pentru f(x), iar G(x) este antiderivată pentru g(x), apoi F(x) + G(x)- primitiv pentru f(x) + g(x).
- Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. În cazul în care un F(x)- primitiv pentru f(x), și k este constantă, atunci kF(x)- primitiv pentru kf(x).
- În cazul în care un F(x)- primitiv pentru f(x), și k,b- permanentă, și k ≠ 0, apoi 1/k F(kx + b)- primitiv pentru f(kx + b).
Tine minte!
Orice funcție F (x) \u003d x 2 + C , unde C este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată pentru funcție f(x) = 2x.
- De exemplu:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, deoarece F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, deoarece F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
Relația dintre graficele unei funcții și antiderivată:
- Dacă graficul funcţiei f(x)>0 F(x) crește în acest interval.
- Dacă graficul funcţiei f(x)<0 pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) scade în acest interval.
- În cazul în care un f(x)=0, apoi graficul antiderivatei sale F(x)în acest moment se schimbă de la crescător la descrescător (sau invers).
Pentru a desemna antiderivată se folosește semnul integralei nedefinite, adică integrala fără a indica limitele integrării.
Integrală nedefinită
Definiție:
- Integrala nedefinită a funcției f(x) este expresia F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor funcției date f(x). Integrala nedefinită se notează astfel: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) se numește integrand;
- f(x) dx- se numeste integrand;
- X- se numeste variabila de integrare;
- F(x)- una dintre antiderivatele funcţiei f(x);
- DIN este o constantă arbitrară.
Proprietățile integralei nedefinite
- Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- În cazul în care un k,b sunt constante și k ≠ 0, atunci \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite
| Funcţie f(x) | antiderivat F(x) + C | Integrale nedefinite \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\nu =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Formula Newton-Leibniz
Lăsa f(x) această funcție, F primitivul său arbitrar.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
Unde F(x)- primitiv pentru f(x)
Adică integrala funcției f(x) pe interval este egală cu diferența antiderivatelor la puncte bși A.
Aria unui trapez curbiliniu
Trapez curbiliniu se numește figură mărginită de un grafic al unei funcții nenegative și continue pe un segment f, axa Ox și linii drepte x = ași x = b.
Aria unui trapez curbiliniu se găsește folosind formula Newton-Leibniz:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Lasă timp t de la începutul mișcării, punctul a depășit poteca Sf). Apoi viteza instantanee v(t) egală cu derivata funcției Sf), acesta este v(t) = s"(t).
În practică, există o problemă inversă: pentru o viteză dată de mișcare a unui punct v(t) găsi calea ei Sf), adică pentru a găsi o astfel de funcție Sf), a cărui derivată este v(t). Funcţie Sf), astfel încât s"(t) = v(t), se numește antiderivată a funcției v(t).
De exemplu, dacă v(t) = at, Unde A este un număr dat, apoi funcția
s(t) = (la 2) / 2v(t), deoarece
s "(t) \u003d ((la 2) / 2) " \u003d la \u003d v (t).
Funcţie F(x) se numeste functie antiderivata f(x) la un anumit interval, dacă pentru toate X din acest interval F"(x) = f(x).
De exemplu, funcția F(x) = sin x este antiderivată a funcției f(x) = cos x, deoarece (sin x)" = cos x; funcţie F (x) \u003d x 4 / 4 este antiderivată a funcției f(x) = x 3, deoarece (x 4 / 4)" \u003d x 3.
Să luăm în considerare problema.
O sarcină.
Demonstrați că funcțiile x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 sunt antiderivate ale aceleiași funcții f (x) \u003d x 2.
Soluţie.
1) Notați F 1 (x) \u003d x 3 / 3, apoi F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x).
2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).
3) F 3 (x) \u003d x 3 / 3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).
În general, orice funcție x 3 / 3 + C, unde C este o constantă, este antiderivată a funcției x 2. Aceasta rezultă din faptul că derivata constantei este zero. Acest exemplu arată că pentru o anumită funcție, antiderivata sa nu este definită în mod unic.
Fie F 1 (x) și F 2 (x) două antiderivate ale aceleiași funcții f(x).
Atunci F 1 "(x) = f(x) și F" 2 (x) = f(x).
Derivata diferenței lor g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) este egală cu zero, deoarece g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.
Dacă g "(x) \u003d 0 pe un anumit interval, atunci tangenta la graficul funcției y \u003d g (x) în fiecare punct al acestui interval este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, graficul funcției y \u003d g (x) este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox, adică g (x) \u003d C, unde C este o constantă Din egalitățile g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) rezultă că F 1 (x) \u003d F 2(x) + C.
Deci, dacă funcția F(x) este o antiderivată a lui f(x) pe un anumit interval, atunci toate antiderivatele lui f(x) sunt scrise ca F(x) + С, unde С este o constantă arbitrară.
Luați în considerare graficele tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x). Dacă F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), atunci orice antiderivată a acestei funcții se obține prin adăugarea la F(x) a unei constante: F(x) + C. Graficele funcțiilor y = F(x) + C se obțin din graficul y = F(x) printr-o deplasare de-a lungul axei Oy. Alegând C, se poate asigura că graficul antiderivatei trece printr-un punct dat.
Să fim atenți la regulile de găsire a primitivilor.
Reamintim că se numește operația de găsire a derivatei pentru o funcție dată diferenţiere. Se numește operația inversă de găsire a antiderivatei pentru o funcție dată integrare(din cuvântul latin "restabili").
Tabel cu antiderivate pentru unele funcții pot fi compilate folosind un tabel de derivate. De exemplu, știind asta (cos x)" = -sin x, primim (-cos x)" = sin x, de unde rezultă că toate funcțiile antiderivate sin x sunt scrise sub formă -cos x + C, Unde DIN- constant.
Să luăm în considerare câteva valori ale antiderivatelor.
1) Funcţie: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p + 1) / (p + 1) + C.
2) Funcţie: 1/x, x > 0. Antiderivat: lnx + C.
3) Funcţie: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p + 1) / (p + 1) + C.
4) Funcţie: e x. Antiderivat: e x + C.
5) Funcţie: sin x. Antiderivat: -cos x + C.
6) Funcţie: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Funcţie: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) ln (kx + b) + C.
8) Funcţie: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) e kx + b + C.
9) Funcţie: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Funcţie: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) sin (kx + b). 
Reguli de integrare poate fi obținut folosind reguli de diferențiere. Să ne uităm la câteva reguli.
Lăsa F(x)și G(x) sunt antiderivatele, respectiv, ale functiilor f(x)și g(x) la un anumit interval. Apoi:
1) funcţie F(x) ± G(x) este antiderivată a funcției f(x) ± g(x);
2) funcţie aF(x) este antiderivată a funcției af(x).
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
