Algebră clasa a 11-a

Subiect: „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice”

Obiectivele lecției:

educational: construirea cunoștințelor despre căi diferite rezolvarea ecuațiilor logaritmice, capacitatea de a le aplica în fiecare situație specifică și de a alege orice metodă de rezolvare;

în curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților de observare, comparare, aplicarea cunoștințelor într-o situație nouă, identificarea tiparelor, generalizarea; formarea deprinderilor de control reciproc și autocontrol;

educational: educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, percepția atentă a materialului din lecție, acuratețea evidenței.

Tipul de lecție : o lecție de familiarizare cu material nou.

„Invenția logaritmilor, prin scurtarea muncii astronomului, i-a prelungit viața.”
Matematicianul și astronomul francez P.S. Laplace

În timpul orelor

I. Stabilirea scopului lecției

Definiția studiată a logaritmului, proprietățile logaritmilor și funcția logaritmică ne vor permite să rezolvăm ecuații logaritmice. Toate ecuațiile logaritmice, indiferent cât de complexe sunt, sunt rezolvate folosind aceiași algoritmi. Vom lua în considerare acești algoritmi astăzi în lecție. Sunt puțini dintre ei. Dacă le stăpânești, atunci orice ecuație cu logaritmi va fi fezabilă pentru fiecare dintre voi.

Scrieți în caiet tema lecției: „Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice”. Îi invit pe toți la cooperare.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază

Să ne pregătim să studiem subiectul lecției. Rezolvi fiecare sarcină și notează răspunsul, nu poți scrie condiția. Lucrați în perechi.

1) Pentru ce valori ale lui x are sens funcția:

A)

b)

în)

e)

(Răspunsurile sunt verificate pentru fiecare diapozitiv și erorile sunt sortate)

2) Se potrivesc graficele funcțiilor?

a) y = x și

b)și

3) Rescrieți egalitățile ca egalități logaritmice:

4) Scrieți numerele ca logaritmi cu baza 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Calculați :

6) Încercați să restaurați sau să completați elementele lipsă din aceste egalități.

III. Introducere în material nou

Declarația este afișată pe ecran:

„Ecuația este cheia de aur care deblochează tot susanul matematic.”
Matematicianul polonez modern S. Koval

Încercați să formulați definiția unei ecuații logaritmice. (O ecuație care conține o necunoscută sub semnul logaritmului ).

Consideracea mai simplă ecuație logaritmică: Buturuga A x = b (unde a>0, a ≠ 1). Deoarece funcția logaritmică crește (sau descrește) pe set numere pozitiveși ia toate valorile reale, apoi prin teorema rădăcinii rezultă că pentru orice b, această ecuație are, și mai mult, o singură soluție, și una pozitivă.

Amintiți-vă definiția unui logaritm. (Logaritmul numărului x față de baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul x ). Din definiţia logaritmului rezultă imediat căA în este o astfel de solutie.

Notează titlul:Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice

1. Prin definiția logaritmului .

Așa sunt cele mai simple ecuații ale formei.

Consideranr. 514(a ): Rezolvați ecuația

Cum iti propui sa o rezolvi? (Prin definiția logaritmului )

Soluţie . , Prin urmare 2x - 4 = 4; x = 4.

Raspuns: 4.

În această sarcină, 2x - 4 > 0, deoarece> 0, deci nu pot apărea rădăcini străine șiverificarea nu este necesară . Condiția 2x - 4 > 0 în această sarcină nu este necesară pentru a scrie.

2. Potentarea (tranziție de la logaritmul expresiei date la această expresie în sine).

ConsideraNr. 519(g): Buturuga 5 ( X 2 +8)- Buturuga 5 ( X+1)=3 Buturuga 5 2

Ce caracteristică ai observat?(Bazele sunt aceleași și logaritmii celor două expresii sunt egali) . Ce se poate face?(potenția).

În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că orice soluție este conținută printre toate x pentru care expresiile logaritmice sunt pozitive.

Soluţie: ODZ:

X 2 +8>0 inegalitate suplimentară

Buturuga 5 ( X 2 +8) = Buturuga 5 2 3 + Buturuga 5 ( X+1)

Buturuga 5 ( X 2 +8)= Buturuga 5 (8 X+8)

Potențiază ecuația inițială

X 2 +8= 8 X+8

obținem ecuațiaX 2 +8= 8 X+8

Hai sa o rezolvam:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Răspuns: 0; opt

În generaltrecerea la un sistem echivalent :

Ecuația

(Sistemul conține o condiție redundantă - una dintre inegalități poate fi ignorată).

Întrebare pentru clasă : Care dintre aceste trei soluții ți-a plăcut cel mai mult? (Discuție despre metode).

Ai dreptul de a decide în orice fel.

3. Introducerea unei noi variabile .

Consideranr. 520(g) . .

Ce ai observat? (aceasta ecuație pătratică raportat la log3x) Sugestiile dumneavoastră? (Introduceți o nouă variabilă)

Soluţie . ODZ: x > 0.

Lăsa, atunci ecuația va lua forma:. Discriminant D > 0. Rădăcini după teorema lui Vieta:.

Înapoi la înlocuire:sau.

Rezolvând cele mai simple ecuații logaritmice, obținem:

; .

Răspuns : 27;

4. Logaritmul ambelor părți ale ecuației.

Rezolvați ecuația:.

Soluţie : ODZ: x>0, luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în baza 10:

. Aplicați proprietatea logaritmului gradului:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Fie lgx = y, atunci (y + 3)y = 4

, (D > 0) rădăcinile conform teoremei Vieta: y1 = -4 și y2 = 1.

Să revenim la înlocuire, obținem: lgx = -4,; logx = 1,. . Este după cum urmează: dacă una dintre funcţii y = f(x) crește și celălalt y = g(x) scade pe intervalul X, apoi ecuația f(x)=g(x) are cel mult o rădăcină în intervalul X .

Dacă există o rădăcină, atunci poate fi ghicită. .

Răspuns : 2

„Aplicarea corectă a metodelor poate fi învățată,
doar aplicându-le la diverse exemple.
Istoricul danez al matematicii G. G. Zeiten

eu v. Teme pentru acasă

P. 39 luați în considerare exemplul 3, rezolvați nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Rezumând lecția

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice am luat în considerare în lecție?

În lecțiile următoare, ne vom uita la ecuații mai complexe. Pentru rezolvarea acestora sunt utile metodele studiate.

Afișarea ultimului diapozitiv:

„Ce este mai mult decât orice în lume?
Spaţiu.
Care este cel mai înțelept?
Timp.
Care este cel mai plăcut?
Obține ceea ce îți dorești.”
Thales

Vreau ca fiecare să obțină ceea ce își dorește. Vă mulțumim pentru cooperare și înțelegere.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Videoclipurile finale ale unei lungi serii de lecții despre rezolvarea ecuațiilor logaritmice. De data aceasta vom lucra în primul rând cu logaritmul ODZ - tocmai din cauza contabilizării incorecte (sau chiar ignorării) domeniului de definire apar cele mai multe erori la rezolvarea unor astfel de probleme.

În acest scurt tutorial video, vom analiza aplicarea formulelor de adunare și scădere pentru logaritmi, precum și de ecuații raționale fracționale, cu care mulți studenți au și probleme.

Ce se va discuta? Formula principală cu care aș dori să mă ocup arată astfel:

log a (f g ) = log a f + log a g

Aceasta este tranziția standard de la produs la suma logaritmilor și invers. Probabil că știți această formulă încă de la începutul studiului logaritmilor. Cu toate acestea, există o problemă aici.

Atâta timp cât variabilele a , f și g sunt numere obișnuite, nu există probleme. Această formulă funcționează excelent.

Totuși, de îndată ce apar funcții în loc de f și g, apare problema extinderii sau îngustării domeniului de definiție, în funcție de modalitatea de conversie. Judecați singuri: în logaritmul scris în stânga, domeniul definiției este următorul:

fg > 0

Dar în suma scrisă în dreapta, domeniul definiției este deja oarecum diferit:

f > 0

g > 0

Acest set de cerințe este mai strict decât cel original. În primul caz, ne vom mulțumi cu opțiunea f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 este în curs de execuție).

Astfel, la trecerea de la construcția din stânga la cea din dreapta, domeniul de definiție devine mai îngust. Dacă la început aveam o sumă și o rescriem ca produs, atunci domeniul definiției este extins.

Cu alte cuvinte, în primul caz, am putea pierde rădăcini, iar în al doilea, am putea obține unele în plus. Acest lucru trebuie luat în considerare la rezolvarea ecuațiilor logaritmice reale.

Deci prima sarcină este:

[Figura]

În stânga vedem suma logaritmilor din aceeași bază. Prin urmare, acești logaritmi pot fi adăugați:

[Figura]

După cum puteți vedea, în dreapta am înlocuit zero cu formula:

a = log b b a

Să ne rearanjam puțin mai mult ecuația:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, putem tăia semnul log și echivalăm argumentele:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Atenție: de unde a venit modulul? Permiteți-mi să vă reamintesc că rădăcina pătratului exact este exact egală cu modulul:

[Figura]

Apoi rezolvăm ecuația clasică cu modulul:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Iată doi candidați pentru răspuns. Sunt ele soluții la ecuația logaritmică inițială? În nici un caz!

Nu avem dreptul să lăsăm totul așa și să scriem răspunsul. Aruncă o privire la pasul în care înlocuim suma logaritmilor cu un logaritm al produsului argumentelor. Problema este că în expresiile originale avem funcții. Prin urmare, ar trebui să fie necesar:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Când am transformat produsul, obținând un pătrat exact, cerințele s-au schimbat:

(x − 5) 2 > 0

Când este îndeplinită această cerință? Da, aproape întotdeauna! Cu excepția cazului în care x − 5 = 0. Adică, inegalitatea se va reduce la un punct perforat:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

După cum puteți vedea, a existat o extindere a domeniului definiției, despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Prin urmare, pot apărea și rădăcini suplimentare.

Cum să preveniți apariția acestor rădăcini suplimentare? Este foarte simplu: ne uităm la rădăcinile noastre obținute și le comparăm cu domeniul ecuației originale. Hai să numărăm:

x (x − 5) > 0

Vom rezolva folosind metoda intervalului:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Marcam numerele primite pe linie dreaptă. Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă. Luăm orice număr mai mare de 5 și înlocuim:

[Figura]

Suntem interesați de intervalele (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Dacă ne marchem rădăcinile pe segment, vom vedea că x = 4 nu ni se potrivește, deoarece această rădăcină se află în afara domeniului ecuației logaritmice originale.

Ne întoarcem la populație, tăiem rădăcina x \u003d 4 și notăm răspunsul: x \u003d 6. Acesta este răspunsul final la ecuația logaritmică inițială. Totul, sarcina este rezolvată.

Trecem la a doua ecuație logaritmică:

[Figura]

O rezolvam. Rețineți că primul termen este o fracție, iar al doilea este aceeași fracție, dar inversată. Nu vă lăsați intimidați de expresia lgx - este doar un logaritm de bază 10, putem scrie:

lgx = log 10 x

Deoarece avem două fracții inversate, îmi propun să introducem o nouă variabilă:

[Figura]

Prin urmare, ecuația noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

După cum puteți vedea, numărătorul fracției este un pătrat exact. O fracție este zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul ei este diferit de zero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Rezolvam prima ecuatie:

t − 1 = 0;

t = 1.

Această valoare satisface a doua cerință. Prin urmare, se poate susține că ne-am rezolvat complet ecuația, dar numai cu privire la variabila t . Acum să ne amintim ce este:

[Figura]

Avem raportul:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

Aducem această ecuație la forma canonică:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Ca rezultat, am obținut singura rădăcină, care, în teorie, este soluția ecuației inițiale. Cu toate acestea, să fim în siguranță și să scriem domeniul ecuației originale:

[Figura]

Prin urmare, rădăcina noastră îndeplinește toate cerințele. Am găsit o soluție la ecuația logaritmică inițială. Răspuns: x = 0,1. Problema rezolvata.

Există un singur punct cheie în lecția de astăzi: atunci când utilizați formula pentru trecerea de la produs la sumă și invers, asigurați-vă că țineți cont de faptul că domeniul definiției se poate îngusta sau extinde în funcție de direcția în care se face tranziția.

Cum să înțelegeți ce se întâmplă: contracție sau expansiune? Foarte simplu. Dacă mai devreme funcțiile erau împreună, iar acum au devenit separate, atunci domeniul de aplicare a definiției s-a restrâns (pentru că există mai multe cerințe). Dacă la început funcțiile erau separate, iar acum sunt împreună, atunci domeniul definiției este extins (se impun mai puține cerințe asupra produsului decât factorilor individuali).

Având în vedere această remarcă, aș dori să remarc că a doua ecuație logaritmică nu necesită deloc aceste transformări, adică nu adunăm sau înmulțim nicăieri argumentele. Totuși, aici aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt truc minunat care vă permite să simplificați semnificativ soluția. Este vorba despre schimbarea unei variabile.

Totuși, rețineți că nicio substituție nu ne eliberează de domeniul de aplicare. De aceea, după ce au fost găsite toate rădăcinile, nu am fost prea leneși și ne-am întors la ecuația inițială pentru a-i găsi ODZ.

Adesea, la schimbarea unei variabile, apare o greșeală enervantă atunci când elevii găsesc valoarea lui t și cred că soluția s-a terminat. În nici un caz!

Când ați găsit valoarea lui t , trebuie să vă întoarceți la ecuația inițială și să vedeți exact ce am notat prin această literă. Ca urmare, trebuie să rezolvăm încă o ecuație, care, totuși, va fi mult mai simplă decât cea inițială.

Acesta este tocmai scopul introducerii unei noi variabile. Împărțim ecuația inițială în două intermediare, fiecare dintre ele fiind rezolvată mult mai ușor.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice „imbricate”.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să analizăm construcții atunci când un logaritm este sub semnul altui logaritm. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să analizăm construcții atunci când un logaritm este sub semnul altuia. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică. Permiteți-mi să vă reamintesc că, dacă avem cea mai simplă ecuație logaritmică de forma log a f (x) \u003d b, atunci parcurgem următorii pași pentru a rezolva o astfel de ecuație. În primul rând, trebuie să înlocuim numărul b:

b = log a a b

Rețineți că a b este un argument. În mod similar, în ecuația originală, argumentul este funcția f(x). Apoi rescriem ecuația și obținem această construcție:

log a f(x) = log a a b

După aceea, putem efectua al treilea pas - scăpați de semnul logaritmului și scrieți pur și simplu:

f(x) = a b

Ca rezultat, obținem o nouă ecuație. În acest caz, nu sunt impuse restricții funcției f(x). De exemplu, în locul său poate fi și o funcție logaritmică. Și apoi obținem din nou o ecuație logaritmică, pe care o reducem din nou la cea mai simplă și o rezolvăm prin forma canonică.

Dar destule versuri. Să rezolvăm adevărata problemă. Deci sarcina numărul 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

După cum puteți vedea, avem o ecuație logaritmică simplă. Rolul lui f (x) este construcția 1 + 3 log 2 x, iar numărul b este numărul 2 (rolul lui a este și el doi). Să le rescriem pe acestea două după cum urmează:

Este important să înțelegem că primii doi doi ne-au venit de la baza logaritmului, adică dacă ar fi 5 în ecuația originală, atunci am obține că 2 = log 5 5 2. În general, baza depinde numai de logaritm, care este dat inițial în problemă. Și în cazul nostru acest număr este 2.

Deci, ne rescriem ecuația logaritmică, ținând cont de faptul că cele două, care se află în dreapta, este de fapt și un logaritm. Primim:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Trecem la ultimul pas al schemei noastre - scăpăm de forma canonică. Putem spune, doar tăiați semnele de buștean. Cu toate acestea, din punctul de vedere al matematicii, este imposibil să „eliminăm jurnalul” - este mai corect să spunem că pur și simplu echivalăm argumentele:

1 + 3 log 2 x = 4

De aici este ușor să găsești 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Am obținut din nou cea mai simplă ecuație logaritmică, să o aducem înapoi la forma canonică. Pentru a face acest lucru, trebuie să facem următoarele modificări:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

De ce este un doi la bază? Pentru că în ecuația noastră canonică din stânga se află logaritmul tocmai în baza 2. Rescriem problema ținând cont de acest fapt:

log 2 x = log 2 2

Din nou, scăpăm de semnul logaritmului, adică pur și simplu echivalăm argumentele. Avem dreptul să facem acest lucru, deoarece bazele sunt aceleași și nu au mai fost efectuate acțiuni suplimentare nici în dreapta, nici în stânga:

Asta e tot! Problema rezolvata. Am găsit o soluție pentru ecuația logaritmică.

Notă! Deși variabila x este în argument (adică există cerințe pentru domeniul de definiție), nu vom face cerințe suplimentare.

După cum am spus mai sus, această verificare este redundantă dacă variabila apare într-un singur argument dintr-un singur logaritm. În cazul nostru, x este într-adevăr doar în argument și doar sub un semn de log. Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare.

Cu toate acestea, dacă nu aveți încredere în această metodă, puteți verifica cu ușurință că x = 2 este într-adevăr o rădăcină. Este suficient să înlocuiți acest număr în ecuația originală.

Să trecem la a doua ecuație, este puțin mai interesant:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Dacă notăm expresia din interiorul logaritmului mare cu funcția f (x), obținem cea mai simplă ecuație logaritmică cu care am început lecția video de astăzi. Prin urmare, este posibil să se aplice forma canonică, pentru care este necesară reprezentarea unității în forma log 2 2 1 = log 2 2.

Rescrierea ecuației noastre mari:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Scăpăm de semnul logaritmului, echivalând argumentele. Avem dreptul să facem asta, pentru că bazele sunt aceleași în stânga și în dreapta. De asemenea, rețineți că log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

În fața noastră este din nou cea mai simplă ecuație logaritmică de forma log a f (x) \u003d b. Trecem la forma canonică, adică reprezentăm zero în forma log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Ne rescriem ecuația și scăpăm de semnul log echivalând argumentele:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Din nou, am primit un răspuns imediat. Nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în ecuația originală, un singur logaritm conține funcția din argument.

Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare. Putem spune cu siguranță că x = 1 este singura rădăcină a acestei ecuații.

Dar dacă în al doilea logaritm în loc de patru ar exista o funcție a lui x (sau 2x nu ar fi în argument, ci în bază) - atunci ar fi necesar să se verifice domeniul de definiție. În caz contrar, există o mare șansă de a întâlni rădăcini suplimentare.

De unde provin aceste rădăcini suplimentare? Acest punct trebuie înțeles foarte clar. Priviți ecuațiile originale: peste tot funcția x este sub semnul logaritmului. Prin urmare, deoarece am scris log 2 x , setăm automat cerința x > 0. În caz contrar, această înregistrare pur și simplu nu are sens.

Cu toate acestea, pe măsură ce rezolvăm ecuația logaritmică, scăpăm de toate semnele log și obținem construcții simple. Aici, nu sunt deja setate restricții, deoarece funcția liniară este definită pentru orice valoare a lui x.

Este această problemă, când funcția finală este definită peste tot și întotdeauna, iar cea inițială nu este în niciun caz peste tot și nu întotdeauna, acesta este motivul pentru care foarte des apar rădăcini suplimentare în soluția ecuațiilor logaritmice.

Dar repet încă o dată: acest lucru se întâmplă doar într-o situație în care funcția este fie în mai mulți logaritmi, fie la baza unuia dintre ei. În problemele pe care le analizăm astăzi, în principiu, nu există probleme cu extinderea domeniului definiției.

Cazuri de diferite temeiuri

Această lecție este dedicată structuri complexe. Logaritmii din ecuațiile de astăzi nu vor mai fi rezolvați „gol” - mai întâi trebuie să efectuați câteva transformări.

Începem să rezolvăm ecuații logaritmice cu baze complet diferite, care nu sunt puteri exacte una ale celeilalte. Nu vă fie teamă de astfel de sarcini - nu se rezolvă mai greu decât cele mai simple modele pe care le-am analizat mai sus.

Dar înainte de a trece direct la probleme, permiteți-mi să vă reamintesc formula pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice folosind forma canonică. Luați în considerare o problemă ca aceasta:

log a f(x) = b

Este important ca funcția f (x) să fie doar o funcție, iar numerele a și b să fie exact numerele (fără variabile x). Desigur, literalmente într-un minut vom lua în considerare și astfel de cazuri când în loc de variabilele a și b există funcții, dar acum nu este vorba despre asta.

După cum ne amintim, numărul b trebuie înlocuit cu un logaritm în aceeași bază a, care se află în stânga. Acest lucru se face foarte simplu:

b = log a a b

Desigur, cuvintele „orice număr b” și „orice număr a” înseamnă astfel de valori care satisfac domeniul de definiție. În special, această ecuație tratează numai baza a > 0 și a ≠ 1.

Cu toate acestea, această cerință este îndeplinită automat, deoarece problema inițială conține deja un logaritm la baza a - va fi cu siguranță mai mare decât 0 și nu egal cu 1. Prin urmare, continuăm soluția ecuației logaritmice:

log a f(x) = log a a b

O astfel de notație se numește formă canonică. Comoditatea sa este că putem scăpa imediat de semnul jurnal prin echivalarea argumentelor:

f(x) = a b

Această tehnică o vom folosi acum pentru a rezolva ecuații logaritmice cu o bază variabilă. Deci să mergem!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Ce urmeaza? Cineva va spune acum că trebuie să calculați logaritmul potrivit sau să-l reduceți la o bază sau altceva. Și într-adevăr, acum trebuie să aduceți ambele baze la aceeași formă - fie 2, fie 0,5. Dar să învățăm odată pentru totdeauna următoarea regulă:

Dacă ecuația logaritmică conține zecimale, asigurați-vă că convertiți aceste fracții de la zecimal la obișnuit. O astfel de transformare poate simplifica semnificativ soluția.

O astfel de tranziție trebuie efectuată imediat, chiar înainte de efectuarea oricăror acțiuni și transformări. Sa vedem:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Ce ne oferă un astfel de record? Putem reprezenta 1/2 și 1/8 ca exponent negativ:

[Figura]

Avem forma canonică. Echivalează argumentele și obține ecuația pătratică clasică:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este ecuația pătratică dată, care este ușor de rezolvat folosind formulele Vieta. Ar trebui să vedeți calcule similare în liceu literalmente oral:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Asta e tot! Ecuația logaritmică inițială este rezolvată. Avem două rădăcini.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în acest caz nu este necesară definirea domeniului de aplicare, deoarece funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. Prin urmare, domeniul de aplicare este realizat automat.

Deci prima ecuație este rezolvată. Să trecem la al doilea:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Și acum rețineți că argumentul primului logaritm poate fi scris și ca o putere cu exponent negativ: 1/2 = 2 −1. Apoi puteți elimina puterile de pe ambele părți ale ecuației și puteți împărți totul la −1:

[Figura]

Și acum am finalizat un pas foarte important în rezolvarea ecuației logaritmice. Poate că cineva nu a observat ceva, așa că permiteți-mi să vă explic.

Aruncă o privire la ecuația noastră: log este în stânga și în dreapta, dar logaritmul în baza 2 este în stânga, iar logaritmul în baza 3 este în dreapta.

Prin urmare, aceștia sunt logaritmi cu baze diferite, care nu se reduc unul la altul prin simpla exponențiere. Singura modalitate de a rezolva astfel de probleme este să scapi de unul dintre acești logaritmi. În acest caz, deoarece încă luăm în considerare probleme destul de simple, logaritmul din dreapta a fost simplu calculat și am obținut cea mai simplă ecuație - exact cea despre care am vorbit chiar la începutul lecției de astăzi.

Să reprezentăm numărul 2, care este în dreapta, ca log 2 2 2 = log 2 4. Și apoi scăpăm de semnul logaritmului, după care rămânem doar cu o ecuație pătratică:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

În fața noastră este ecuația pătratică obișnuită, dar nu este redusă, deoarece coeficientul la x 2 este diferit de unitate. Prin urmare, o vom rezolva folosind discriminantul:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

Asta e tot! Am găsit ambele rădăcini, ceea ce înseamnă că am obținut soluția ecuației logaritmice originale. Într-adevăr, în problema inițială, funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. În consecință, nu sunt necesare verificări suplimentare asupra domeniului definiției - ambele rădăcini pe care le-am găsit cu siguranță îndeplinesc toate restricțiile posibile.

Acesta ar putea fi sfârșitul tutorialului video de astăzi, dar în concluzie aș vrea să spun din nou: asigurați-vă că convertiți toate fracțiile zecimale în cele obișnuite atunci când rezolvați ecuații logaritmice. În cele mai multe cazuri, acest lucru simplifică foarte mult soluția lor.

Rar, foarte rar, există probleme în care scăparea de fracții zecimale nu face decât să complice calculele. Cu toate acestea, în astfel de ecuații, de regulă, inițial este clar că nu este necesar să scapi de fracțiile zecimale.

În majoritatea celorlalte cazuri (mai ales dacă abia începi să te antrenezi în rezolvarea ecuațiilor logaritmice), nu ezitați să scăpați de fracțiile zecimale și să le traduceți în unele obișnuite. Pentru că practica arată că în acest fel vei simplifica foarte mult soluția și calculele ulterioare.

Subtilitățile și trucurile soluției

Astăzi trecem la probleme mai complexe și vom rezolva o ecuație logaritmică, care se bazează nu pe un număr, ci pe o funcție.

Și chiar dacă această funcție este liniară, vor trebui făcute mici modificări la schema de soluție, al cărei sens se rezumă la cerințe suplimentare impuse domeniului de definire a logaritmului.

Sarcini dificile

Această lecție va fi destul de lungă. În acesta, vom analiza două ecuații logaritmice destul de serioase, în soluția cărora mulți elevi greșesc. În timpul practicii mele ca tutore în matematică, am întâlnit în mod constant două tipuri de erori:

1. Apariția unor rădăcini suplimentare datorită extinderii domeniului de definire a logaritmilor. Pentru a evita astfel de greșeli ofensive, trebuie doar să urmăriți îndeaproape fiecare transformare;
2. Pierderea rădăcinilor din cauza faptului că elevul a uitat să ia în considerare unele cazuri „subtile” – tocmai asupra unor astfel de situații ne vom concentra astăzi.

Aceasta este ultima lecție despre ecuații logaritmice. Va fi lung, vom analiza ecuații logaritmice complexe. Fă-te confortabil, fă-ți un ceai și vom începe.

Prima ecuație pare destul de standard:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Imediat, observăm că ambii logaritmi sunt copii inversate unul altuia. Să ne amintim de formula minunată:

log a b = 1/log b a

Cu toate acestea, această formulă are o serie de limitări care apar dacă în loc de numerele a și b există funcții ale variabilei x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Aceste cerințe sunt impuse pe baza logaritmului. Pe de altă parte, într-o fracție, ni se cere să avem 1 ≠ a > 0, deoarece nu numai variabila a este în argumentul logaritmului (deci, a > 0), dar logaritmul însuși se află la numitorul lui fracția. Dar log b 1 = 0, iar numitorul trebuie să fie diferit de zero, deci a ≠ 1.

Deci, restricțiile asupra variabilei a sunt păstrate. Dar ce se întâmplă cu variabila b? Pe de o parte, b > 0 rezultă din bază, pe de altă parte, variabila b ≠ 1, deoarece baza logaritmului trebuie să fie diferită de 1. În total, din partea dreaptă a formulei rezultă că 1 ≠ b > 0.

Dar iată problema: a doua cerință (b ≠ 1) lipsește din prima inegalitate din logaritmul din stânga. Cu alte cuvinte, atunci când efectuăm această transformare, trebuie verifica separat că argumentul b este diferit de unul!

Aici, hai să verificăm. Să aplicăm formula noastră:

[Figura]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Deci am obținut că deja din ecuația logaritmică inițială rezultă că atât a cât și b trebuie să fie mai mari decât 0 și nu egale cu 1. Deci, putem inversa cu ușurință ecuația logaritmică:

Propun să introducem o nouă variabilă:

log x + 1 (x − 0,5) = t

În acest caz, construcția noastră va fi rescrisă după cum urmează:

(t 2 − 1)/t = 0

Rețineți că la numărător avem diferența de pătrate. Dezvăluim diferența de pătrate folosind formula de înmulțire prescurtată:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

O fracție este zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul ei este diferit de zero. Dar numărătorul conține produsul, așa că echivalăm fiecare factor cu zero:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

După cum puteți vedea, ambele valori ale variabilei t ni se potrivesc. Cu toate acestea, soluția nu se termină aici, deoarece trebuie să găsim nu t , ci valoarea lui x . Ne întoarcem la logaritm și obținem:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Să aducem fiecare dintre aceste ecuații la forma canonică:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Scăpăm de semnul logaritmului în primul caz și echivalăm argumentele:

x − 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

O astfel de ecuație nu are rădăcini, prin urmare, prima ecuație logaritmică nu are nici rădăcini. Dar cu a doua ecuație, totul este mult mai interesant:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rezolvăm proporția - obținem:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Vă reamintesc că atunci când rezolvați ecuații logaritmice, este mult mai convenabil să dați toate fracțiile zecimale comune, așa că haideți să ne rescriem ecuația după cum urmează:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

În fața noastră este ecuația pătratică dată, care este ușor de rezolvat folosind formulele Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Avem două rădăcini - sunt candidați pentru rezolvarea ecuației logaritmice originale. Pentru a înțelege ce rădăcini vor intra cu adevărat în răspuns, să ne întoarcem la problema inițială. Acum vom verifica fiecare dintre rădăcinile noastre pentru a vedea dacă se potrivesc cu domeniul de aplicare:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Aceste cerințe echivalează cu o dublă inegalitate:

1 ≠ x > 0,5

De aici vedem imediat că rădăcina x = −1,5 nu ni se potrivește, dar x = 1 este destul de satisfăcut. Prin urmare, x = 1 este soluția finală a ecuației logaritmice.

Să trecem la a doua sarcină:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

La prima vedere, poate părea că toți logaritmii temeiuri diferite si diverse argumente. Ce să faci cu astfel de structuri? În primul rând, rețineți că numerele 25, 5 și 625 sunt puteri ale lui 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Și acum vom folosi proprietatea remarcabilă a logaritmului. Faptul este că puteți scoate grade din argument sub formă de factori:

log a b n = n ∙ log a b

Restricții sunt impuse și asupra acestei transformări atunci când există o funcție în locul lui b. Dar la noi b este doar un număr și nu apar restricții suplimentare. Să ne rescriem ecuația:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Am obținut o ecuație cu trei termeni care conțin semnul log. Mai mult, argumentele tuturor celor trei logaritmi sunt egale.

Este timpul să răsturnăm logaritmii pentru a le aduce la aceeași bază - 5. Deoarece variabila b este o constantă, nu există nicio schimbare în domeniul de aplicare. Doar rescriem:

[Figura]

Așa cum era de așteptat, aceiași logaritmi „s-au târât” în numitor. Vă sugerez să schimbați variabila:

log 5 x = t

În acest caz, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

Să scriem numărătorul și să deschidem parantezele:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Ne întoarcem la fracția noastră. Numătorul trebuie să fie zero:

[Figura]

Și numitorul este diferit de zero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Ultimele cerințe sunt îndeplinite automat, deoarece toate sunt „legate” de numere întregi, iar toate răspunsurile sunt iraționale.

Deci, se rezolvă ecuația fracționară-rațională, se găsesc valorile variabilei t. Ne întoarcem la soluția ecuației logaritmice și ne amintim ce este t:

[Figura]

Aducem această ecuație la forma canonică, obținem un număr cu un grad irațional. Nu lăsați acest lucru să vă încurce - chiar și astfel de argumente pot fi echivalate:

[Figura]

Avem două rădăcini. Mai precis, doi candidați pentru răspunsuri - să-i verificăm dacă respectă domeniul de aplicare. Deoarece baza logaritmului este variabila x, avem nevoie de următoarele:

1 ≠ x > 0;

Cu același succes, afirmăm că x ≠ 1/125, altfel baza celui de-al doilea logaritm se va transforma într-una. În cele din urmă, x ≠ 1/25 pentru al treilea logaritm.

În total, avem patru restricții:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Acum întrebarea este: rădăcinile noastre îndeplinesc aceste cerințe? Cu siguranta multumit! Deoarece 5 la orice putere va fi mai mare decât zero, iar cerința x > 0 este îndeplinită automat.

Pe de altă parte, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, ceea ce înseamnă că aceste restricții pentru rădăcinile noastre (care, permiteți-mi să vă reamintesc, au un număr irațional în indicatorul) sunt de asemenea îndeplinite, iar ambele răspunsuri sunt soluții la problemă.

Deci avem răspunsul final. Puncte cheie Există două sarcini în aceasta:

1. Aveți grijă când inversați logaritmul când argumentul și baza sunt inversate. Astfel de transformări impun restricții inutile în domeniul definiției.
2. Nu vă fie teamă să convertiți logaritmi: nu numai că le puteți răsturna, ci și le puteți deschide conform formulei de sumă și, în general, le puteți modifica în funcție de orice formule pe care le-ați studiat atunci când rezolvați expresii logaritmice. Cu toate acestea, amintiți-vă întotdeauna că unele transformări extind domeniul de aplicare, iar unele îl restrâng.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Instruire

Notați ceea ce este dat expresie logaritmică. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci se scrie expresia: ln b - logaritmul natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți suma a două funcții, trebuie doar să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

Când se află derivata produsului a două funcții, este necesar să se înmulțească derivata primei funcții cu a doua și să se adauge derivata celei de-a doua funcții, înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii este necesar, din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor, sa scadem produsul derivatei divizorului inmultit cu functia divizor si sa impartim toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dată o funcție complexă, atunci este necesar să se înmulțească derivata funcției interioare și derivata celei exterioare. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind cele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Există, de asemenea, sarcini pentru calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției în punctul dat y"(1)=8*e^0=8

Videoclipuri similare

Sfat util

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi mult timp.

Surse:

• derivată constantă

Deci, care este diferența dintre o ecuație irațională și una rațională? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcină pătrată, atunci ecuația este considerată irațională.

Instruire

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de ridicare a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. In orice caz. acest lucru este firesc, primul pas este să scapi de semn. Din punct de vedere tehnic, această metodă nu este dificilă, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația v(2x-5)=v(4x-7). Punând la pătrat ambele părți, obțineți 2x-5=4x-7. O astfel de ecuație nu este greu de rezolvat; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unitatea din ecuație în loc de valoarea x. Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens, adică. O astfel de valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Deci, ecuația irațională se rezolvă folosind metoda punerii la pătrat a ambelor părți. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar să tăiați rădăcinile străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2x+vx-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Compuși de transfer ecuații, care nu au rădăcină pătrată, în partea dreaptă și apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vx=y. În consecință, veți obține o ecuație ca 2y2+y-3=0. Aceasta este ecuația pătratică obișnuită. Găsește-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vx=1; vx \u003d -3/2. A doua ecuație nu are rădăcini, din prima găsim că x=1. Nu uitați de necesitatea de a verifica rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de ușoară. Acest lucru necesită realizarea de transformări identice până la atingerea scopului. Astfel, cu ajutorul celor mai simple operații aritmetice, sarcina va fi rezolvată.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - un stilou.

Instruire

Cele mai simple astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, sunt multe formule trigonometrice, care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egal cu pătratul primului plus de două ori produsul primului și al doilea plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplificați ambele

Principii generale de rezolvare

Repetați dintr-un manual de analiză matematică sau matematică superioară, care este o integrală definită. După cum știți, soluția integrala definita există o funcţie a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numește antiderivată. Conform acestui principiu se construiesc integralele de bază.
Determinați după forma integrandului care dintre integralele tabelului este potrivită în acest caz. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda substituției variabile

Dacă integrandul este o funcție trigonometrică al cărei argument este un polinom, atunci încercați să utilizați metoda schimbării variabilelor. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza raportului dintre variabila nouă și veche, determinați noile limite de integrare. Prin diferențierea acestei expresii, găsiți o nouă diferență în . Astfel vei primi noul fel prima integrală, apropiată sau chiar corespunzătoare oricărui tabel.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, forma vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este raportul Ostrogradsky-Gauss. Această lege face posibilă trecerea de la fluxul rotor al unei anumite funcții vectoriale la o integrală triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor integrării

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr, limita inferioară rezultată la antiderivată. Dacă una dintre limitele de integrare este infinit, atunci înlocuind-o în funcția antiderivată este necesar să mergem la limită și să găsim spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați limitele geometrice ale integrării pentru a înțelege cum să calculați integrala. Într-adevăr, în cazul, de exemplu, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi plane întregi care limitează volumul de integrat.