În etapa de pregătire pentru proba finală, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească cu atenție teoria, să memoreze formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcini, absolvenții vor putea conta pe scoruri mari la promovarea examenului la matematică.

Pregătește-te pentru examenul împreună cu Shkolkovo!

La repetarea materialelor parcurse, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare pentru rezolvarea ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm complet noua metoda pregătirea pentru proba finală. Studiind pe site-ul nostru, vei putea identifica lacunele în cunoștințe și vei fi atent tocmai acelor sarcini care provoacă cele mai mari dificultăți.

Profesorii de la „Șkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat tot ceea ce este necesar pentru livrarea cu succes UTILIZAȚI materialîn cel mai simplu și accesibil mod.

Principalele definiții și formule sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru o mai bună asimilare a materialului, vă recomandăm să exersați temele. Aruncă o privire la exemplele de pe această pagină. ecuații exponențiale cu o soluție pentru înțelegerea algoritmului de calcul. După aceea, continuați cu sarcinile din secțiunea „Cataloguri”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care ți-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Așa că le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a trece cu succes examenul, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Prelegere: „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale”.

1 . ecuații exponențiale.

Ecuațiile care conțin necunoscute în exponent se numesc ecuații exponențiale. Cea mai simplă dintre acestea este ecuația ax = b, unde a > 0 și a ≠ 1.

1) Pentru b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pentru b > 0, folosind monotonitatea funcției și teorema rădăcinii, ecuația are o singură rădăcină. Pentru a-l găsi, b trebuie reprezentat ca b = aс, ax = bс ó x = c sau x = logab.

ecuaţii exponenţiale prin transformări algebrice conduc la ecuații standard, care se rezolvă folosind următoarele metode:

1) metoda de reducere la o bază;

2) metoda de evaluare;

3) metoda grafica;

4) metoda introducerii de noi variabile;

5) metoda factorizării;

6) exponenţial - ecuaţii de putere;

7) exponențial cu un parametru.

2 . Metoda de reducere la o singură bază.

Metoda se bazează pe următoarea proprietate a gradelor: dacă două grade sunt egale și bazele lor sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali, adică, ecuația ar trebui încercată să fie redusă la forma

Exemple. Rezolvați ecuația:

1 . 3x=81;

Să reprezentăm partea dreaptă a ecuației sub forma 81 = 34 și să scriem ecuația echivalentă cu originalul 3 x = 34; x = 4. Răspuns: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> și mergeți la ecuația pentru exponenți 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Răspuns: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Rețineți că numerele 0,2, 0,04, √5 și 25 sunt puteri ale lui 5. Să profităm de acest lucru și să transformăm ecuația inițială după cum urmează:

, de unde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, din care găsim soluția x = -1. Raspunsul 1.

5. 3x = 5. Prin definiția logaritmului, x = log35. Răspuns: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Să rescriem ecuația ca 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, adică..png" width="181" height="49 src="> Prin urmare, x - 4 =0, x = 4. Răspuns: patru.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Folosind proprietățile puterilor, scriem ecuația sub forma e. x+1 = 2, x =1. Raspunsul 1.

Banca de sarcini nr. 1.

Rezolvați ecuația:

Testul numărul 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) fără rădăcini
	1) 7;1 2) fără rădăcini 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Testul #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) fără rădăcini 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda de evaluare.

Teorema rădăcinii: dacă funcția f (x) crește (descrește) pe intervalul I, numărul a este orice valoare luată de f pe acest interval, atunci ecuația f (x) = a are o singură rădăcină pe intervalul I.

La rezolvarea ecuațiilor prin metoda estimării se utilizează această teoremă și proprietățile de monotonitate ale funcției.

Exemple. Rezolvarea ecuațiilor: 1. 4x = 5 - x.

Soluţie. Să rescriem ecuația ca 4x + x = 5.

1. dacă x \u003d 1, atunci 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 este adevărat, atunci 1 este rădăcina ecuației.

Funcția f(x) = 4x crește pe R și g(x) = x crește pe R => h(x)= f(x)+g(x) crește pe R ca suma funcțiilor crescătoare, deci x = 1 este singura rădăcină a ecuației 4x = 5 – x. Raspunsul 1.

2.

Soluţie. Rescriem ecuația sub forma .

1. dacă x = -1, atunci , 3 = 3-adevărat, deci x = -1 este rădăcina ecuației.

2. dovedesc că este unic.

3. Funcția f(x) = - scade pe R, iar g(x) = - x - scade pe R => h(x) = f(x) + g(x) - scade pe R, pe măsură ce suma a funcţiilor descrescătoare . Deci, după teorema rădăcinii, x = -1 este singura rădăcină a ecuației. Raspunsul 1.

Banca de sarcini nr 2. rezolva ecuatia

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda de introducere a noilor variabile.

Metoda este descrisă în secțiunea 2.1. Introducerea unei noi variabile (substituție) se realizează de obicei după transformări (simplificare) termenilor ecuației. Luați în considerare exemple.

Exemple. R Ecuația de mâncare: 1. .

Să rescriem altfel ecuația: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45”>

Soluţie. Să rescriem altfel ecuația:

Indicați https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nu este potrivit.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> este o ecuație irațională. Rețineți că

Soluția ecuației este x = 2,5 ≤ 4, deci 2,5 este rădăcina ecuației. Răspuns: 2.5.

Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma și să împărțim ambele părți la 56x+6 ≠ 0. Obținem ecuația

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, deci..png" width="118" height="56">

Rădăcinile ecuației pătratice - t1 = 1 și t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Soluţie . Rescriem ecuația sub forma

și rețineți că este o ecuație omogenă de gradul doi.

Împărțiți ecuația la 42x, obținem

Înlocuiți https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Răspuns: 0; 0,5.

Task Bank #3. rezolva ecuatia

b)

G)

Testul #3 cu o alegere de răspunsuri. Nivel minim.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) fără rădăcini 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) fără rădăcini 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testul #4 cu o alegere de răspunsuri. Nivel general.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) fără rădăcini

5. Metoda de factorizare.

1. Rezolvați ecuația: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Soluție..png" width="169" height="69"> , de unde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Soluţie. Să scoatem 6x din partea stângă a ecuației și 2x din partea dreaptă. Obținem ecuația 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Deoarece 2x >0 pentru tot x, putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2x fără teama de a pierde soluții. Obținem 3x = 1ó x = 0.

3.

Soluţie. Rezolvăm ecuația prin factorizare.

Selectăm pătratul binomului

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 este rădăcina ecuației.

Ecuația x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testul #6 Nivel general.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenţial - ecuaţii de putere.

Ecuațiile exponențiale sunt alăturate de așa-numitele ecuații de putere exponențială, adică ecuații de forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Dacă se știe că f(x)>0 și f(x) ≠ 1, atunci ecuația, ca și cea exponențială, se rezolvă prin echivalarea exponenților g(x) = f(x).

Dacă condiția nu exclude posibilitatea f(x)=0 și f(x)=1, atunci trebuie să luăm în considerare aceste cazuri atunci când rezolvăm ecuația puterii exponențiale.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Soluţie. x2 +2x-8 - are sens pentru orice x, deoarece un polinom, deci ecuația este echivalentă cu mulțimea

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Ecuații exponențiale cu parametri.

1. Pentru ce valori ale parametrului p are o soluție unică ecuația 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1)?

Soluţie. Să introducem modificarea 2x = t, t > 0, atunci ecuația (1) va lua forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminantul ecuației (2) este D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ecuația (1) are o soluție unică dacă ecuația (2) are o rădăcină pozitivă. Acest lucru este posibil în următoarele cazuri.

1. Dacă D = 0, adică p = 1, atunci ecuația (2) va lua forma t2 – 2t + 1 = 0, deci t = 1, prin urmare, ecuația (1) are o soluție unică x = 0.

2. Dacă p1, atunci 9(p – 1)2 > 0, atunci ecuația (2) are două rădăcini diferite t1 = p, t2 = 4p – 3. Mulțimea sistemelor satisface condiția problemei

Înlocuind t1 și t2 în sisteme, avem

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Soluţie. Lăsa atunci ecuația (3) va lua forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Să găsim valorile parametrului a pentru care cel puțin o rădăcină a ecuației (4) satisface condiția t > 0.

Să introducem funcția f(t) = t2 – 6t – a. Următoarele cazuri sunt posibile.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cazul 2. Ecuația (4) are o soluție pozitivă unică dacă

D = 0, dacă a = – 9, atunci ecuația (4) va lua forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cazul 3. Ecuația (4) are două rădăcini, dar una dintre ele nu satisface inegalitatea t > 0. Acest lucru este posibil dacă

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Astfel, la a 0 ecuația (4) are o singură rădăcină pozitivă . Atunci ecuația (3) are o soluție unică

Pentru o< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

în cazul în care un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
dacă a = – 9, atunci x = – 1;

dacă a  0, atunci

Să comparăm metodele de rezolvare a ecuațiilor (1) și (3). Rețineți că atunci când rezolvarea ecuației (1) a fost redusă la o ecuație pătratică, al cărei discriminant este un pătrat complet; astfel, rădăcinile ecuației (2) au fost imediat calculate prin formula rădăcinilor ecuației pătratice, iar apoi s-au tras concluzii cu privire la aceste rădăcini. Ecuația (3) a fost redusă la o ecuație pătratică (4), al cărei discriminant nu este un pătrat perfect, prin urmare, la rezolvarea ecuației (3), este recomandabil să folosiți teoreme privind locația rădăcinilor unui trinom pătrat și un model grafic. Rețineți că ecuația (4) poate fi rezolvată folosind teorema Vieta.

Să rezolvăm ecuații mai complexe.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația

Soluţie. ODZ: x1, x2.

Să introducem un înlocuitor. Fie 2x = t, t > 0, apoi, ca urmare a transformărilor, ecuația va lua forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Să găsim valorile lui a pentru care cel puțin o rădăcină a lui ecuația (*) îndeplinește condiția t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Răspuns: dacă a > - 13, a  11, a  5, atunci dacă a - 13,

a = 11, a = 5, atunci nu există rădăcini.

Bibliografie.

1. Fundamentele Guzeev ale tehnologiei educaționale.

2. Tehnologia Guzeev: de la recepție la filozofie.

M. „Director” nr. 4, 1996

3. Guzeev și forme organizatoriceînvăţare.

4. Guzeev și practica tehnologiei educaționale integrale.

M. „Educația oamenilor”, 2001

5. Guzeev din formele lecției - seminar.

Matematica la scoala nr 2, 1987, p. 9 - 11.

6. Tehnologii educaționale Selevko.

M. „Educația poporului”, 1998

7. Scolarii Episheva invata matematica.

M. „Iluminismul”, 1990

8. Ivanov să pregătească lecții - ateliere.

Matematica la Scoala Nr.6, 1990, p. 37-40.

9. Modelul Smirnov de predare a matematicii.

Matematica la Scoala Nr.1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko moduri de organizare a lucrărilor practice.

Matematica la Scoala Nr.1, 1993, p. 27 - 28.

11. Despre unul dintre tipurile de muncă individuală.

Matematica la Scoala Nr.2, 1994, p. 63 - 64.

12. Khazankin Abilități creativeşcolari.

Matematica la Scoala Nr.2, 1989, p. zece.

13. Scanavi. Editura, 1997

14. et al. Algebra şi începuturile analizei. Materiale didactice pt

15. Sarcini Krivonogov în matematică.

M. „Primul septembrie”, 2002

16. Cerkasov. Manual pentru elevii de liceu și

intrarea la universitati. „A S T – școala de presă”, 2002

17. Zhevnyak pentru solicitanții la universități.

Minsk și RF „Review”, 1996

18. Scris D. Pregătirea pentru examenul la matematică. M. Rolf, 1999

19. şi altele.Învăţarea rezolvării ecuaţiilor şi inegalităţilor.

M. „Intelectul – Centru”, 2003

20. şi altele.Materiale educaţionale şi de instruire pentru pregătirea pentru E G E.

M. „Intelect – Centru”, 2003 și 2004

21 și altele.Variante ale CMM. Centrul de testare al Ministerului Apărării al Federației Ruse, 2002, 2003

22. Ecuații Goldberg. „Quantum” nr. 3, 1971

23. Volovich M. Cum se preda cu succes matematica.

Matematică, 1997 Nr. 3.

24 Okunev pentru lecție, copii! M. Iluminismul, 1988

25. Yakimanskaya - educație orientată la școală.

26. Liimets lucreaza la lectie. M. Cunoașterea, 1975

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja cel puțin o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Pentru a putea rezolva astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „atârna” subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complicate, unele dintre ele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate sunt unite de o caracteristică importantă: conțin o funcție exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, introducem definitia:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. o expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția specificată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine atunci. A înțeles definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex în același timp.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea cu mulți studenți, pot spune că pentru cei mai mulți dintre ei, ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușoare decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometria.

Dar există și vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt vizitați de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât devine problematic nu numai pentru studenți să le rezolve - chiar și mulți profesori rămân blocați în astfel de probleme.

Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Poate al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai dificil. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția exponenților negativi (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva bănuiesc că aceste fapte pot fi combinate și rezultatul este următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Și acum acest lucru este deja complet rezolvat! În partea stângă a ecuației există o funcție exponențială, în partea dreaptă a ecuației există o funcție exponențială, nu există nimic altceva decât ei în altă parte. Prin urmare, este posibil să „renunți” bazele și să echivalezi prostesc indicatorii:

Avem cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu înțelegeți ce sa întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ecuații liniare” și repetați-l. Pentru că, fără o asimilare clară a acestui subiect, este prea devreme să vă asumați ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Ei bine, cum te decizi? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie, primim un deuce sincer meritat. Căci noi, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la puterea tocmai acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncă o privire la diferitele puteri ale triplei:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Când am compilat această tabletă, nu am pervertit cât mai curând posibil: am luat în considerare grade pozitive și negative și chiar fracționale ... ei bine, unde este cel puțin unul un număr negativ? El nu este! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna doar valori pozitive(oricât de mult ai înmulți unul sau ai împărți cu doi, tot va fi un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții - numărul $a$ - este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Nu, nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuații pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminantul este pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), apoi în exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, puteți determina cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are rădăcini sau nu. Acestea. merită să o rezolvi deloc sau notează imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Între timp, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație, care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Dar ceilalți 10% atunci? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? In primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. In secunda? Nici: $((2)^(2))=4$ nu este prea mult. Ce atunci?

Studenții cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” este conectată la caz - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr număr pozitiv(cu excepția unității):

Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, vă avertizez mereu: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și vă va „emerge” în cel mai mult locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza funcției exponențiale la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, cu un astfel de răspuns, mulți s-ar îndoi și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă ar fi o greșeală undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum rezolvăm prin analogie celelalte două ecuații:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Noi am fost cei care am introdus multiplicatorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În acest caz, toate cele trei opțiuni sunt corecte - este doar forme diferiteînregistrări de același număr. Pe care să-l alegi și să-l notezi în această decizie depinde de tine.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este că astfel de sarcini simple te vor întâlni foarte, foarte rar. Mai des vei întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Ei bine, cum te decizi? Se poate rezolva deloc acest lucru? Și dacă da, cum?

Fara panica. Toate aceste ecuații sunt rapid și simplu reduse la acele formule simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să știi să-ți amintești câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome aici. Voi vorbi despre toate acestea acum. :)

Transformarea ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut este că orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - tocmai acelea pe care le-am luat în considerare deja și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fă niște prostii. Sau chiar niște prostii numite „transform the equation”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o frunză. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Care sunt transformările? Ce să convertești în ce? Si cum?

Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în soluția lor vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum selecția expresiilor stabile.

Evidențierea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea este ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule puterilor din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ — să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare, am descoperit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu acuratețe și obține un răspuns. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială admite o expresie atât de stabilă.

Dar există și vești proaste: astfel de expresii pot fi foarte complicate și poate fi destul de dificil să le distingem. Deci, să ne uităm la o altă problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Iată diferite baze - 5 și 0.2. Dar să încercăm să convertim o putere cu baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracție zecimală, aducându-l la obișnuit:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum ne amintim una dintre cele mai importante reguli pentru lucrul cu diplome:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, bineînțeles, am înșelat puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi a trebuit să fie scrisă după cum urmează:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracție:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica un grad la un alt grad (vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru cineva va fi mai ușor. :)

În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă astfel:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să evidențiați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, de unde obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să remarc un truc care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracțiile zecimale, traduceți-le în unele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și să simplificați foarte mult soluția.

Acum să trecem la ecuații mai complexe în care există baze diferite, care în general nu sunt reductibile între ele folosind puteri.

Folosind proprietatea exponentului

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce și pe ce bază să conducă. Unde setați expresii? Unde sunt temeiurile comune? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem în altă direcție. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor disponibile.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar, la urma urmei, puteți face opusul - alcătuiți numărul 21 din numerele 7 și 3. Este deosebit de ușor să faceți acest lucru în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Asta e tot! Ai scos exponentul din produs și ai obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Aici totul este mult mai complicat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Acest lucru va duce adesea la motive interesante cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu am venit cu nimic. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din exponent, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Deci, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie, doar am încadrat totalul din produs conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, evident: sunt puteri de același număr! Avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În același timp, în dreapta, puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să „întoarceți” fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e toata solutia. Ideea lui principală este că chiar dacă baze diferite x încercăm prin cârlig sau prin escroc să reducem aceste motive la unul și același. În aceasta suntem ajutați de transformări elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta - să descompuneți baza funcției exponențiale în factori?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mâna la început ecuații simple, iar apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din aceeași UTILIZARE sau orice muncă independentă / de testare.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pe site-ul meu pentru o soluție independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți verifica întotdeauna.

Ce este o ecuație exponențială? Exemple.

Deci, o ecuație exponențială... O nouă expoziție unică la expoziția noastră generală cu o mare varietate de ecuații!) Așa cum este aproape întotdeauna cazul, cuvântul cheie al oricărui termen matematic nou este adjectivul corespunzător care îl caracterizează. Deci și aici. cuvânt cheieîn termenul „ecuație exponențială” este cuvântul "demonstrativ". Ce înseamnă? Acest cuvânt înseamnă că necunoscutul (x) este în ceea ce priveşte orice grad.Și numai acolo! Acest lucru este extrem de important.

De exemplu, aceste ecuații simple:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Sau chiar acești monștri:

2 sin x = 0,5

Vă rog să acordați imediat atenție unui lucru important: în temeiuri grade (de jos) - doar numere. Dar în indicatori grade (sus) - o mare varietate de expresii cu x. Absolut orice.) Totul depinde de ecuația specifică. Dacă, brusc, x iese în ecuație în altă parte, în plus față de indicator (să zicem, 3 x \u003d 18 + x 2), atunci o astfel de ecuație va fi deja o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Prin urmare, în această lecție nu le vom lua în considerare. Spre bucuria elevilor.) Aici vom lua în considerare doar ecuaţiile exponenţiale în formă „pură”.

În general, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt rezolvate clar în toate cazurile și nu întotdeauna. Dar, printre varietatea bogată de ecuații exponențiale, există anumite tipuri care pot și ar trebui rezolvate. Aceste tipuri de ecuații sunt pe care le vom lua în considerare împreună cu dvs. Și cu siguranță vom rezolva exemplele.) Așa că ne instalăm confortabil și - la drum! Ca și în „împușcături” pe computer, călătoria noastră va trece prin niveluri.) De la elementar la simplu, de la simplu la mediu și de la mediu la complex. Pe parcurs, veți aștepta și un nivel secret - trucuri și metode pentru rezolvarea exemplelor non-standard. Cele despre care nu veți citi în majoritatea manualelor școlare... Ei bine, la final, desigur, șeful final vă așteaptă sub formă de teme.)

Nivelul 0. Care este cea mai simplă ecuație exponențială? Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.

Pentru început, să ne uităm la unele elementare sincere. Trebuie să începi de undeva, nu? De exemplu, această ecuație:

2 x = 2 2

Chiar și fără teorii, prin simplă logică și bun simț, este clar că x = 2. Altfel, nu există nicio cale, nu? Nicio altă valoare a lui x nu este bună... Acum să ne îndreptăm atenția asupra dosar de decizie această ecuație exponențială grozavă:

2 x = 2 2

X = 2

Ce s-a întâmplat cu noi? Și s-au întâmplat următoarele. Noi, de fapt, am luat și... doar am aruncat aceleași baze (doi)! Complet aruncat afară. Și, ce dorește, lovește-te în ochi!

Da, într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și dreapta sunt aceeași numere în orice grad, atunci aceste numere pot fi aruncate și pur și simplu echivalează exponenții. Matematica permite.) Și apoi puteți lucra separat cu indicatori și puteți rezolva o ecuație mult mai simplă. E grozav, nu?

Iată ideea cheie de a rezolva orice ecuație exponențială (da, exact oricare!): cu ajutorul transformărilor identice, este necesar să se asigure că stânga și dreapta din ecuație sunt aceeași numere de bază în diferite puteri. Și apoi puteți elimina în siguranță aceleași baze și echivalați exponenții. Și lucrați cu o ecuație mai simplă.

Și acum ne amintim de regula de fier: este posibil să se elimine aceleași baze dacă și numai dacă în ecuația din stânga și din dreapta numerele de bază sunt în singurătate mândră.

Ce înseamnă, într-o izolare splendidă? Aceasta înseamnă fără vecini și coeficienți. Explic.

De exemplu, în ecuație

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nu poți elimina tripleții! De ce? Pentru că în stânga nu avem doar un singur trei în grad, dar muncă 3 3 x-5 . Un triplu în plus iese în cale: un coeficient, înțelegi.)

Același lucru se poate spune despre ecuație

5 3 x = 5 2 x +5 x

Și aici, toate bazele sunt aceleași - cinci. Dar în dreapta nu avem un singur grad de cinci: există suma gradelor!

Pe scurt, avem dreptul de a elimina aceleași baze numai atunci când ecuația noastră exponențială arată așa și numai așa:

Af (X) = a g (X)

Acest tip de ecuație exponențială se numește cel mai simplu. Sau stiintific, canonic . Și indiferent care ar fi ecuația răsucită din fața noastră, într-un fel sau altul, o vom reduce la o formă atât de simplă (canonică). Sau, în unele cazuri, să agregate ecuații de acest fel. Atunci cea mai simplă ecuație a noastră poate fi în vedere generala rescrie asa:

F(x) = g(x)

Si asta e. Aceasta va fi transformarea echivalentă. În același timp, absolut orice expresie cu x poate fi folosită ca f(x) și g(x). Tot ceea ce.

Poate că un student deosebit de curios se va întreba: de ce naiba aruncăm atât de ușor și pur și simplu aceleași baze din stânga și din dreapta și echivalăm exponenții? Intuiția este intuiție, dar dintr-o dată, într-o ecuație și dintr-un motiv oarecare, această abordare se va dovedi a fi greșită? Este întotdeauna legal să arunci aceleași baze? Din păcate, pentru un răspuns matematic riguros la aceasta interes Întreabă trebuie să aprofundați și serios teoria generală a structurii și comportamentului funcțiilor. Și puțin mai specific - în fenomen monotonitate strictă.În special, monotonitatea strictă functie exponentialay= un x. Deoarece funcția exponențială și proprietățile ei sunt cele care stau la baza soluției ecuațiilor exponențiale, da.) Un răspuns detaliat la această întrebare va fi dat într-o lecție specială separată dedicată rezolvării ecuațiilor complexe non-standard folosind monotonitatea diferitelor funcții.)

A explica acest punct în detaliu acum înseamnă doar să scoți creierul unui școlar obișnuit și să-l sperii din timp cu o teorie seacă și grea. nu voi face asta.) Pentru principalul nostru acest moment o sarcină - invata sa rezolvi ecuatii exponentiale! Cel mai simplu! Prin urmare, până transpiram și aruncăm cu îndrăzneală aceleași motive. aceasta poate sa, credeți-mă pe cuvânt!) Și apoi rezolvăm deja ecuația echivalentă f (x) = g (x). De regulă, este mai simplu decât exponențialul original.

Se presupune, desigur, că oamenii știu deja să rezolve cel puțin , iar ecuațiile, deja fără x în indicatori.) Cine încă nu știe cum, nu ezitați să închideți această pagină, să parcurgeți linkurile corespunzătoare și să completați vechile goluri. Altfel, îți va fi greu, da...

Tac în privința ecuațiilor iraționale, trigonometrice și a altor ecuații brutale care pot apărea și în procesul de eliminare a bazelor. Dar nu vă alarmați, deocamdată nu vom lua în considerare staniul sincer din punct de vedere al grade: este prea devreme. Ne vom antrena doar pe cele mai simple ecuații.)

Acum luați în considerare ecuațiile care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Pentru a le distinge, să le numim ecuații exponențiale simple. Deci, să trecem la următorul nivel!

Nivelul 1. Ecuații exponențiale simple. Recunoaște grade! indicatori naturali.

Regulile cheie în rezolvarea oricăror ecuații exponențiale sunt reguli de abordare a diplomelor. Fără aceste cunoștințe și abilități, nimic nu va funcționa. Vai. Deci, dacă sunt probleme cu diplomele, atunci pentru început ești binevenit. În plus, avem nevoie și de . Aceste transformări (până la două!) stau la baza rezolvării tuturor ecuațiilor matematicii în general. Și nu doar vitrine. Așa că, cine a uitat, faceți o plimbare și pe link: le-am pus cu un motiv.

Dar numai acțiunile cu puteri și transformări identice nu sunt suficiente. De asemenea, necesită observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași temeiuri, nu-i așa? Așa că examinăm exemplul și le căutăm într-o formă explicită sau deghizată!

De exemplu, această ecuație:

3 2x – 27x +2 = 0

Prima privire la temeiuri. Sunt diferite! Trei și douăzeci și șapte. Dar este prea devreme pentru a intra în panică și a cădea în disperare. Este timpul să ne amintim asta

27 = 3 3

Numerele 3 și 27 sunt rude în grad! Mai mult, rude.) Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:

27 x +2 = (3 3) x+2

Și acum ne conectăm cunoștințele despre acţiuni cu grade(si te-am avertizat!). Există o formulă atât de utilă:

(am) n = a mn

Acum, dacă îl rulați în curs, în general se dovedește bine:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Exemplul original arată acum astfel:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Grozav, bazele gradelor s-au aliniat. Pentru ce ne străduiam. Jumătate din treabă este făcută.) Și acum lansăm transformarea de bază a identității - transferăm 3 3 (x +2) la dreapta. Nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii, da.) Obținem:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ce ne oferă acest tip de ecuație? Și faptul că acum ecuația noastră este redusă la forma canonică: în stânga și în dreapta sunt aceleași numere (triple) în puteri. Și ambii tripleți - într-o izolare splendidă. Îndepărtăm cu îndrăzneală tripleții și obținem:

2x = 3(x+2)

Rezolvăm asta și obținem:

X=-6

Cam despre asta e. Acesta este răspunsul corect.)

Și acum înțelegem cursul deciziei. Ce ne-a salvat în acest exemplu? Am fost salvați de cunoașterea gradelor tripluului. Cum anume? Noi identificat numărul 27 criptat trei! Acest truc (criptarea aceleiași baze sub numere diferite) este una dintre cele mai populare în ecuații exponențiale! Doar dacă nu este cel mai popular. Da, și de asemenea, apropo. De aceea, observația și capacitatea de a recunoaște puterile altor numere în numere sunt atât de importante în ecuațiile exponențiale!

Sfaturi practice:

Trebuie să cunoașteți puterile numerelor populare. In fata!

Desigur, oricine poate ridica doi la puterea a șaptea sau trei la a cincea. Nu în mintea mea, deci cel puțin pe un draft. Dar în ecuațiile exponențiale, este mult mai des necesar să nu se ridice la o putere, ci, dimpotrivă, să se afle ce număr și în ce măsură se ascunde în spatele numărului, să zicem, 128 sau 243. Și asta este deja mai mult complicat decât simpla exponențiere, vezi. Simțiți diferența, așa cum se spune!

Deoarece capacitatea de a recunoaște grade pe față este utilă nu numai la acest nivel, ci și la următoarele, iată o mică sarcină pentru tine:

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Răspunsuri (împrăștiate, desigur):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da Da! Nu fi surprins că există mai multe răspunsuri decât sarcini. De exemplu, 2 8 , 4 4 și 16 2 sunt toate 256.

Nivelul 2. Ecuații exponențiale simple. Recunoaște grade! Exponenți negativi și fracționari.

La acest nivel, folosim deja cunoștințele noastre despre grade la maximum. Și anume, implicăm indicatori negativi și fracționali în acest proces fascinant! Da Da! Trebuie să creștem puterea, nu?

De exemplu, această ecuație teribilă:

Din nou, uitați-vă mai întâi la fundații. Bazele sunt diferite! Și de data aceasta nu se aseamănă nici pe departe unul cu celălalt! 5 și 0,04... Și pentru a elimina bazele, sunt necesare aceleași... Ce să faci?

E bine! De fapt, totul este la fel, doar conexiunea dintre cele cinci și 0,04 este puțin vizibilă vizual. Cum ieșim? Și să trecem la fracția obișnuită din numărul 0,04! Și acolo, vedeți, totul este format.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Se pare că 0,04 este 1/25! Ei bine, cine ar fi crezut!)

Ei bine, cum? Acum legătura dintre numerele 5 și 1/25 este mai ușor de văzut? Asta e...

Și acum, conform regulilor de operațiuni cu puteri cu indicator negativ poate fi scris cu mâna fermă:

Asta e grozav. Așa că am ajuns la aceeași bază - cinci. Înlocuim acum numărul inconfortabil 0,04 din ecuație cu 5 -2 și obținem:

Din nou, conform regulilor de operare cu puteri, acum putem scrie:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Pentru orice eventualitate, reamintesc (deodată, cine nu știe) că reguli de bază actiunile cu puteri sunt valabile pentru orice indicatori! Inclusiv pentru cele negative.) Așa că nu ezitați să luați și să înmulțiți indicatorii (-2) și (x-1) conform regulii corespunzătoare. Ecuația noastră devine din ce în ce mai bună:

Tot! Pe lângă cei cinci singuratici din grade din stânga și dreapta, nu există nimic altceva. Ecuația este redusă la formă canonică. Și apoi - de-a lungul pistei moletate. Înlăturăm cincisele și echivalăm indicatorii:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Exemplul este aproape gata. Matematica elementară a claselor de mijloc rămâne - deschidem (corect!) Parantezele și colectăm totul din stânga:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Rezolvăm asta și obținem două rădăcini:

X 1 = 1; X 2 = 3

Asta e tot.)

Acum să ne gândim din nou. În acest exemplu, a trebuit din nou să recunoaștem același număr în grade diferite! Și anume, pentru a vedea cinci criptați în numărul 0,04. Și de data aceasta, în grad negativ! Cum am făcut-o? În mișcare - în niciun caz. Dar după trecerea de la o fracție zecimală de 0,04 la o fracțiune obișnuită de 1/25, totul a fost evidențiat! Și apoi întreaga decizie a mers ca un ceas.)

Prin urmare, un alt sfat practic verde.

Dacă există fracții zecimale în ecuația exponențială, atunci trecem de la fracții zecimale la cele obișnuite. LA fracții comune este mult mai ușor să recunoști puterile multor numere populare! După recunoaștere, trecem de la fracții la puteri cu exponenți negativi.

Rețineți că o astfel de simulare în ecuațiile exponențiale apare foarte, foarte des! Și persoana nu este în subiect. Se uită, de exemplu, la numerele 32 și 0,125 și se supără. Nu-i știe că acesta este același doi, doar în grade diferite... Dar ești deja în subiect!)

Rezolvați ecuația:

În! Pare o groază liniștită... Cu toate acestea, aparențele sunt înșelătoare. Aceasta este cea mai simplă ecuație exponențială, în ciuda faptului că este terifiantă aspect. Și acum ți-o arăt.)

În primul rând, ne ocupăm de toate numerele care se află în baze și în coeficienți. Evident că sunt diferiți, da. Dar totuși ne asumăm riscul și încercăm să le facem aceeași! Să încercăm să ajungem la același număr în grade diferite. Și, de preferință, numărul cât mai mic posibil. Deci, să începem descifrarea!

Ei bine, totul este clar cu cele patru deodată - este 2 2 . Deci, deja ceva.)

Cu o fracțiune de 0,25 - nu este încă clar. Trebuie verificat. Folosim sfaturi practice - treceți de la zecimal la obișnuit:

0,25 = 25/100 = 1/4

Deja mult mai bine. Deocamdată este deja vizibil clar că 1/4 este 2 -2. Grozav, iar numărul 0,25 este, de asemenea, asemănător cu un doi.)

Până acum, bine. Dar cel mai rău număr dintre toate rămâne - rădăcina pătrată a doi! Ce să faci cu acest ardei? Poate fi reprezentată și ca o putere a doi? Si cine stie...

Ei bine, din nou urcăm în tezaurul nostru de cunoștințe despre diplome! De data aceasta, ne conectăm în plus cunoștințele despre rădăcini. De la cursul clasei a IX-a, tu și cu mine a trebuit să înduram că orice rădăcină, dacă se dorește, poate fi întotdeauna transformată într-un grad cu o fracție.

Ca aceasta:

În cazul nostru:

Cum! Se pare că rădăcina pătrată a lui doi este 2 1/2. Asta e!

E in regula! Toate numerele noastre incomode s-au dovedit de fapt a fi un doi criptat.) Nu mă cert, undeva criptat foarte sofisticat. Dar ne sporim și profesionalismul în rezolvarea unor astfel de cifruri! Și atunci totul este deja evident. Înlocuim numerele 4, 0,25 și rădăcina lui doi din ecuația noastră cu o putere a lui doi:

Tot! Bazele tuturor gradelor din exemplu au devenit aceleași - două. Și acum sunt folosite acțiunile standard cu grade:

a mun n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Pentru partea stângă obțineți:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Pentru partea dreaptă va fi:

Și acum ecuația noastră rea a început să arate așa:

Pentru cei care nu și-au dat seama cum exact a rezultat această ecuație, atunci întrebarea nu este despre ecuațiile exponențiale. Întrebarea este despre acțiuni cu puteri. Am rugat urgent sa repet celor care au probleme!

Iată linia de sosire! Se obține forma canonică a ecuației exponențiale! Ei bine, cum? Te-am convins că nu este atât de înfricoșător? ;) Îndepărtăm doi și echivalăm indicatorii:

Rămâne doar să rezolvăm această ecuație liniară. Cum? Cu ajutorul unor transformări identice, bineînțeles.) Rezolvă ceea ce este deja acolo! Înmulțiți ambele părți cu două (pentru a elimina fracția 3/2), mutați termenii cu X-uri la stânga, fără X-uri la dreapta, aduceți asemenea, numărați - și veți fi fericit!

Totul ar trebui să iasă frumos:

X=4

Acum să ne regândim decizia. În acest exemplu, am fost salvați de tranziția de la rădăcină pătrată la grad cu exponent 1/2. Mai mult, doar o astfel de transformare vicleană ne-a ajutat pretutindeni să ajungem la aceeași bază (deuce), care a salvat situația! Și, dacă nu ar fi, atunci am avea toate șansele să înghețăm pentru totdeauna și să nu facem niciodată față acestui exemplu, da ...

Prin urmare, nu neglijăm următorul sfat practic:

Dacă există rădăcini în ecuația exponențială, atunci trecem de la rădăcini la puteri cu exponenți fracționari. De foarte multe ori, doar o astfel de transformare clarifică situația ulterioară.

Desigur, puterile negative și fracționale sunt deja mult mai dificile. grade naturale. Cel puțin în ceea ce privește percepția vizuală și, mai ales, recunoașterea de la dreapta la stânga!

Este clar că ridicarea directă, de exemplu, a unui doi la puterea lui -3 sau a unui patru la puterea lui -3/2 nu este așa. o problema mare. Pentru cei care știu.)

Dar du-te, de exemplu, realizezi imediat asta

0,125 = 2 -3

Sau

Aici doar regula practica si experienta bogata, da. Și, desigur, o vedere clară, Ce este un exponent negativ și un exponent fracționar. Precum și - sfaturi practice! Da, da, acelea verde.) Sper că, totuși, vă vor ajuta să navigați mai bine în toată varietatea pestriță de grade și să vă creșteți semnificativ șansele de succes! Deci să nu le neglijăm. nu sunt degeaba în verde scriu uneori.)

Pe de altă parte, dacă devii „tu” chiar și cu puteri exotice precum negative și fracționale, atunci posibilitățile tale de rezolvare a ecuațiilor exponențiale se vor extinde enorm și vei fi deja capabil să gestionezi aproape orice tip de ecuații exponențiale. Ei bine, dacă nu oricare, atunci 80 la sută din toate ecuațiile exponențiale - cu siguranță! Da, da, nu glumesc!

Așadar, prima noastră parte de cunoaștere a ecuațiilor exponențiale a ajuns la concluzia sa logică. Și, ca antrenament intermediar, sugerez în mod tradițional să rezolvi puțin pe cont propriu.)

Exercitiul 1.

Pentru ca cuvintele mele despre descifrarea gradelor negative și fracționale să nu fie în zadar, vă propun să jucăm un mic joc!

Exprimă numărul ca putere a doi:

Răspunsuri (în dezordine):

S-a întâmplat? Excelent! Apoi facem o misiune de luptă - rezolvăm cele mai simple și simple ecuații exponențiale!

Sarcina 2.

Rezolvați ecuații (toate răspunsurile sunt o mizerie!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Raspunsuri:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

S-a întâmplat? Într-adevăr, mult mai ușor!

Apoi rezolvăm următorul joc:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Raspunsuri:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Și aceste exemple de unul au rămas? Excelent! Crești! Apoi, iată câteva exemple pe care să le gustați:

Raspunsuri:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Și s-a hotărât? Ei bine, respect! Îmi scot pălăria.) Deci, lecția nu a fost în zadar, iar nivelul inițial de rezolvare a ecuațiilor exponențiale poate fi considerat stăpânit cu succes. Înainte - următoarele niveluri și ecuații mai complexe! Și noi tehnici și abordări. Și exemple non-standard. Și noi surprize.) Toate acestea - în lecția următoare!

Ceva nu a mers? Deci, cel mai probabil, problemele sunt în . Sau în . Sau ambele in acelasi timp. Aici sunt neputincios. Pot să ofer încă o dată un singur lucru - nu fi leneș și fă o plimbare prin linkuri.)

Va urma.)

Echipament:

• un calculator,
• proiector multimedia,
• ecran,
• Atasamentul 1(prezentare slide în PowerPoint) „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale”
• Anexa 2(Rezolvarea unei ecuații precum „Trei baze diferite de grade” în Word)
• Anexa 3(fișă în Word pentru munca practica).
• Anexa 4(fișă în Word pentru teme).

În timpul orelor

1. Etapa organizatorică

• mesajul subiectului lecției (scris la tablă),
• necesitatea unei lecții de generalizare în clasele 10-11:

Etapa de pregătire a elevilor pentru asimilarea activă a cunoştinţelor

Repetiţie

Definiție.

O ecuație exponențială este o ecuație care conține o variabilă în exponent (răspunde elevul).

Nota profesorului. Ecuațiile exponențiale aparțin clasei ecuațiilor transcendentale. Acest nume greu de pronunțat sugerează că astfel de ecuații, în general, nu pot fi rezolvate sub formă de formule.

Ele pot fi rezolvate doar prin metode aproximativ numerice pe computere. Dar ce zici de întrebările de la examen? Întregul truc este că examinatorul compune problema în așa fel încât să admită doar o soluție analitică. Cu alte cuvinte, puteți (și ar trebui!) să faceți astfel de transformări identice care reduc ecuația exponențială dată la cea mai simplă ecuație exponențială. Aceasta este cea mai simplă ecuație și se numește: cea mai simplă ecuație exponențială. Este rezolvat logaritm.

Situația cu soluția unei ecuații exponențiale seamănă cu o călătorie printr-un labirint, care a fost inventat special de compilatorul problemei. Din aceste considerații foarte generale, urmează recomandări destul de specifice.

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie:

1. Nu numai că cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale, dar găsiți și seturi de valori ale variabilei pe care sunt definite aceste identități, astfel încât atunci când utilizați aceste identități, nu se obține rădăcini inutile și, cu atât mai mult, nu se pierde soluții ale ecuației.

2. Cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale.

3. În mod clar, în detaliu și fără erori, efectuează transformări matematice ale ecuațiilor (transferă termeni dintr-o parte a ecuației în alta, fără a uita să schimbi semnul, să reducă fracția la un numitor comun etc.). Aceasta se numește cultură matematică. În același timp, calculele în sine ar trebui făcute automat cu mâinile, iar capul ar trebui să se gândească la firul general de ghidare al soluției. Este necesar să faceți transformări cât mai atent și detaliat posibil. Numai acest lucru va garanta o soluție corectă, fără erori. Și amintiți-vă: o mică eroare aritmetică poate crea pur și simplu o ecuație transcendentală care, în principiu, nu poate fi rezolvată analitic. Se pare că ți-ai pierdut drumul și ai dat peste zidul labirintului.

4. Cunoașteți metodele de rezolvare a problemelor (adică cunoașteți toate căile prin labirintul soluției). Pentru o orientare corectă în fiecare etapă, va trebui (conștient sau intuitiv!):

• defini tip de ecuație;
• amintiți-vă tipul corespunzător metoda de rezolvare sarcini.

Etapa de generalizare şi sistematizare a materialului studiat.

Profesorul, împreună cu elevii, cu implicarea unui calculator, efectuează o repetare de ansamblu a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale și metode de rezolvare a acestora și întocmește o schemă generală. (Se folosește programul informatic de instruire al lui L.Ya. Borevsky „Cursul de matematică - 2000”, autorul prezentării PowerPoint este T.N. Kuptsova.)

Orez. unu. Figura prezintă o schemă generală a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale.

După cum se poate vedea din această diagramă, strategia de rezolvare a ecuațiilor exponențiale este de a reduce această ecuație exponențială la ecuație, în primul rând, cu aceleasi baze , și apoi - și cu aceiași exponenți.

După ce ați obținut o ecuație cu aceleași baze și exponenți, înlocuiți acest grad cu o nouă variabilă și obțineți o ecuație algebrică simplă (de obicei fracțională rațională sau pătratică) în raport cu această nouă variabilă.

Rezolvând această ecuație și făcând o substituție inversă, ajungeți la un set de ecuații exponențiale simple care sunt rezolvate în mod general folosind logaritmi.

Ecuațiile stau deoparte în care apar numai produsele puterilor (private). Folosind identități exponențiale, este posibil să aducem aceste ecuații imediat la o bază, în special, la cea mai simplă ecuație exponențială.

Luați în considerare cum se rezolvă o ecuație exponențială cu trei baze diferite de grade.

(Dacă profesorul are un program de predare pentru calculator de L.Ya. Borevsky „Curs de matematică - 2000”, atunci, în mod firesc, lucrăm cu discul, dacă nu, puteți tipări acest tip de ecuație pentru fiecare birou de pe acesta, prezentat mai jos .)

Orez. 2. Planul de rezolvare a ecuației.

Orez. 3.Începând să rezolve ecuația

Orez. patru. Sfârșitul soluției ecuației.

Făcând lucrări practice

Determinați tipul de ecuație și rezolvați-o.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Rezumând lecția

Notarea unei lecții.

sfârşitul lecţiei

Pentru profesor

Schema de răspunsuri a lucrărilor practice.

Exercițiu: din lista de ecuații, selectați ecuațiile de tipul specificat (puneți numărul răspunsului în tabel):

1. Trei baze diferite
2. Două baze diferite - exponenți diferiți
3. Bazele puterilor - puterile unui număr
4. Aceleași baze, exponenți diferiți
5. Aceleași baze ale exponenților - aceiași exponenți
6. Produsul puterilor
7. Două baze diferite de grade - aceiași indicatori
8. Cele mai simple ecuații exponențiale

1. (produsul puterilor)

2. (aceleași baze - exponenți diferiți)