Acest articol oferă prezentare detaliată împărțirea numerelor cu semne diferite . În primul rând, este dată regula de împărțire a numerelor cu semne diferite. Mai jos sunt exemple de împărțire a numerelor pozitive la negative și numere negative spre pozitiv.

Navigare în pagină.

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

La articolul împărțirea numerelor întregi s-a obținut regula împărțirii numerelor întregi cu semne diferite. Poate fi extins atât la numere raționale, cât și la numere reale prin repetarea tuturor argumentelor din articolul specificat.

Asa de, regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite are următoarea formulă: pentru a împărți un număr pozitiv la un negativ sau un număr negativ la unul pozitiv, este necesar să se împartă dividendul la modulul divizorului și să se pună semnul minus în fața numărului rezultat.

Scriem această regulă de împărțire folosind litere. Dacă numerele a și b au semne diferite, atunci formula este valabilă a:b=−|a|:|b| .

Din regula exprimată, este clar că rezultatul împărțirii numerelor cu semne diferite este un număr negativ. Într-adevăr, deoarece modulul dividendului și modulul divizorului sunt mai pozitive decât numărul, atunci câtul lor este un număr pozitiv, iar semnul minus face ca acest număr să fie negativ.

Rețineți că regula luată în considerare reduce împărțirea numerelor cu semne diferite la împărțirea numerelor pozitive.

Puteți da o altă formulare a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite: pentru a împărți numărul a la numărul b, trebuie să înmulțiți numărul a cu numărul b −1, reciproca numărului b. Acesta este, a:b=a b −1 .

Această regulă poate fi folosită atunci când este posibil să se depășească mulțimea de numere întregi (din moment ce nu fiecare număr întreg are un invers). Cu alte cuvinte, este aplicabil atât pe mulțimea numerelor raționale, cât și pe mulțimea numerelor reale.

Este clar că această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire.

Aceeași regulă este folosită la împărțirea numerelor negative.

Rămâne de luat în considerare modul în care se aplică această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite în rezolvarea exemplelor.

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite

Să luăm în considerare soluții cu mai multe caracteristici exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite să înțeleagă principiul aplicării regulilor din paragraful anterior.

Exemplu.

Împărțiți numărul negativ −35 la numărul pozitiv 7 .

Soluţie.

Regula de împărțire a numerelor cu semne diferite prescrie mai întâi găsirea modulelor dividendului și divizorului. Modulul lui -35 este 35 și modulul lui 7 este 7. Acum trebuie să împărțim modulul dividendului la modulul divizorului, adică trebuie să împărțim 35 la 7. Amintindu-ne cum se face împărțirea numerelor naturale, obținem 35:7=5. Ultimul pas al regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite rămâne - pune un minus în fața numărului rezultat, avem -5.

Iata intreaga solutie: .

Se poate proceda dintr-o formulare diferită a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite. În acest caz, găsim mai întâi numărul care este reciproca divizorului 7. Acest număr este fracția comună 1/7. În acest fel, . Rămâne de efectuat înmulțirea numerelor cu semne diferite: . Evident, am ajuns la același rezultat.

Răspuns:

(−35):7=−5 .

Exemplu.

Calculați câtul 8:(−60) .

Soluţie.

După regula împărțirii numerelor cu semne diferite, avem 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Expresia rezultată corespunde unei fracții obișnuite negative (vedeți semnul diviziunii ca o bară de fracție), puteți reduce fracția cu 4, obținem .

Notăm pe scurt întreaga soluție: .

Răspuns:

.

La împărțirea fracțiilor numere rationale cu semne diferite, dividendul și divizorul lor obișnuit sunt reprezentați ca fracții obișnuite. Acest lucru se datorează faptului că nu este întotdeauna convenabil să efectuați împărțirea cu numere într-o notație diferită (de exemplu, în zecimală).

Exemplu.

Soluţie.

Modulul dividendului este , iar modulul divizorului este 0,(23) . Pentru a împărți modulul dividendului la modulul divizorului, să trecem la fracțiile obișnuite.

Să traducem un număr mixt într-o fracție obișnuită: , precum și

Educational:

• Educație activă;

Tipul de lecție

Echipament:

1. Proiector și computer.

Planul lecției

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor

3. Dictarea matematică

4.Efectuarea testului

5. Rezolvarea exercițiilor

6. Rezumatul lecției

7. Teme pentru acasă.

În timpul orelor

1. Moment de organizare

Astăzi vom continua să lucrăm la înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive și negative. Sarcina fiecăruia dintre voi este să descopere cum a stăpânit acest subiect și, dacă este necesar, să rafinați ceea ce încă nu funcționează. În plus, veți învăța o mulțime de lucruri interesante despre prima lună de primăvară - martie. (Diapozitiv 1)

2. Actualizarea cunoștințelor.

3x=27; -5x=-45; x:(2,5)=5.

3.Dictare matematică(diapozitivul 6.7)

Opțiunea 1

Opțiunea 2

4. Execuția testului ( slide 8)

Răspuns : Martius

5. Rezolvarea exercițiilor

(Diapozitive de la 10 la 19)

4 martie -

2) y×(-2,5)=-15

6 martie

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 martie

5) -29,12: (-2,08)

14 martie

6) (-6-3,6×2,5)×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 martie

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 martie

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 martie

6. Rezumatul lecției

7. Tema pentru acasă:

Vizualizați conținutul documentului
„Înmulțirea și împărțirea numerelor cu semne diferite”

Tema lecției: „Înmulțirea și împărțirea numerelor cu semne diferite”.

Obiectivele lecției: repetarea materialului studiat la tema „Înmulțirea și împărțirea numerelor cu diferite semne”, exersarea abilităților de aplicare a operațiilor de înmulțire și împărțire a unui număr pozitiv cu un număr negativ și invers, precum și a unui număr negativ cu un negativ. număr.

Obiectivele lecției:

Educational:

Fixarea regulilor pe această temă;

Formarea deprinderilor și abilităților de a lucra cu operații de înmulțire și împărțire a numerelor cu semne diferite.

În curs de dezvoltare:

Dezvoltarea interesului cognitiv;

Dezvoltare gandire logica, memorie, atenție;

Educational:

Educație activă;

Învățarea elevilor abilități de muncă independentă;

Educație a iubirii pentru natură, trezind interes pentru semnele populare.

Tipul de lecție. Lecții-repetări și generalizări.

Echipament:

Proiector și computer.

Planul lecției

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor

3. Dictarea matematică

4.Efectuarea testului

5. Rezolvarea exercițiilor

6. Rezumatul lecției

7. Tema pentru acasă.

În timpul orelor

1. Moment de organizare

Buna baieti! Ce am făcut în lecțiile anterioare? (Prin înmulțirea și împărțirea numerelor raționale.)

Astăzi vom continua să lucrăm la înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive și negative. Sarcina fiecăruia dintre voi este să descopere cum a stăpânit acest subiect și, dacă este necesar, să rafinați ceea ce încă nu funcționează. În plus, veți învăța o mulțime de lucruri interesante despre prima lună de primăvară - martie. (Diapozitiv 1)

2. Actualizarea cunoștințelor.

Examinați regulile de înmulțire și împărțire a numerelor pozitive și negative.

Amintiți-vă de regula mnemonică. (Diapozitivul 2)

Efectuați înmulțirea: (diapozitivul 3)

5×3; 9×(-4); -10×(-8); 36×(-0,1); -20×0,5; -13×(-0,2).

2. Efectuați împărțirea: (diapozitivul 4)

48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).

3. Rezolvați ecuația: (diapozitivul 5)

3x=27; -5x=-45; x:(2,5)=5.

3.Dictare matematică(diapozitivul 6.7)

Opțiunea 1

Opțiunea 2

Elevii fac schimb de caiete, cec și notă.

4. Execuția testului ( slide 8)

Pe vremuri în Rusia, anii se numărau de la 1 martie, de la începutul primăverii agricole, de la prima picătură de primăvară. Martie a fost „începătorul” anului. Numele lunii „Martie” vine de la romani. Au numit luna aceasta în cinstea unuia dintre zeii lor, pentru a afla ce fel de zeu este, testul te va ajuta.

Răspuns : Martius

Romanii au numit o lună din an în cinstea lui Marte, zeul războiului, numit Martius. În Rusia, acest nume a fost simplificat, luând doar primele patru litere (diapozitivul 9).

Oamenii spun: „Mart este infidel, acum plânge, acum râde”. Există multe semne populare asociate cu martie. Unele zile au propriile lor nume. Să facem totul împreună acum calendarul popular pentru martie.

5. Rezolvarea exercițiilor

Elevii de la tablă rezolvă exemple ale căror răspunsuri sunt zilele lunii. Pe tablă apare un exemplu, urmat de ziua lunii cu numele și prevestire populară.

(Diapozitive de la 10 la 19)

4 martie - Arkhip. Pe Arkhip, femeile trebuiau să petreacă toată ziua în bucătărie. Cu cât ea pregătește mai multă mâncare, cu atât casa va fi mai bogată.

2) y×(-2,5)=-15

6 martie- Timothy-primavara. Dacă în ziua lui Timofeev este zăpadă cu zadulina, atunci recolta este pentru culturile de primăvară.

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 martie- Vasily picurătorul: picături de pe acoperișuri. Păsările cuibului se încurcă, iar cele migratoare zboară din locuri calde.

5) -29,12: (-2,08)

14 martie- Evdokia (Avdotya-plushcha) - zăpada aplatizează infuzia. A doua întâlnire de primăvară (prima pe Stretenie). Ce este Evdokia - așa este vara. Evdokia este roșie - iar primăvara este roșie; zăpadă pe Evdokia - pentru recoltare.

6) (-6-3,6×2,5)×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 martie- Gerasim the rooker - a condus turlele. Rooks stau pe teren arabil, iar dacă zboară direct la cuiburi, va fi o primăvară prietenoasă.

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 martie- Magpies - zi egal cu noaptea. Se termină iarna, începe primăvara, sosesc ciocurile. Conform unui vechi obicei, ciocurile și lipiciul sunt coapte din aluat.

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 martie- Alexey este cald. Apa de la munte, si pestele din tabara (din cabana de iarna). Care sunt pâraiele în această zi (mari sau mici), așa este câmpia inundabilă (revărsare).

6. Rezumatul lecției

Băieți, v-a plăcut lecția de azi? Ce nou ai invatat astazi? Ce am repetat? Vă sugerez să pregătiți singur calendarul pentru luna aprilie. Trebuie să găsiți semne ale lunii aprilie și să inventați exemple cu răspunsuri corespunzătoare zilei lunii.

7. Tema pentru acasă: p. 218 Nr. 1174, 1179(1) (Diapozitivul 20)

În acest articol, ne vom uita la împărțirea numerelor pozitive la numere negative și invers. Să dăm analiză detaliată reguli pentru împărțirea numerelor cu semne diferite și, de asemenea, dați exemple.

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

Regula pentru numerele întregi cu semne diferite, obținută în articolul despre împărțirea numerelor întregi, este valabilă și pentru numerele raționale și reale. Să oferim o formulare mai generală a acestei reguli.

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

Când împărțiți un număr pozitiv cu unul negativ și invers, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și să scrieți rezultatul cu semnul minus.

În formă literală, arată astfel:

a ÷ - b = - a ÷ b

A ÷ b = - a ÷ b .

Împărțirea numerelor cu semne diferite are ca rezultat întotdeauna un număr negativ. Regula luată în considerare, de fapt, reduce împărțirea numerelor cu semne diferite la împărțirea numerelor pozitive, deoarece modulele dividendului și divizorului sunt pozitive.

O altă formulare matematică echivalentă a acestei reguli este:

a ÷ b = a b - 1

Pentru a împărți numerele a și b având semne diferite, trebuie să înmulțiți numărul a cu reciproca numărului b, adică b - 1. Această formulare este aplicabilă pe mulțimea numerelor raționale și reale, vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire.

Să analizăm acum cum să aplicăm teoria descrisă mai sus în practică.

Cum se impart numerele cu semne diferite? Exemple

Mai jos luăm în considerare câteva exemple tipice.

Exemplul 1. Cum se împarte numere cu semne diferite?

Împărțiți - 35 la 7.

Mai întâi, să scriem modulele dividendului și divizorului:

35 = 35 , 7 = 7 .

Acum să separăm modulele:

35 7 = 35 7 = 5 .

Adăugăm un semn minus în fața rezultatului și obținem răspunsul:

Acum să folosim o formulare diferită a regulii și să calculăm reciproca lui 7 .

Acum să facem înmulțirea:

35 1 7 = - - 35 1 7 = - 35 7 = - 5 .

Exemplul 2. Cum se împart numerele cu semne diferite?

Dacă împărțim numere fracționale cu semne raționale, dividendul și divizorul trebuie reprezentate ca fracții obișnuite.

Exemplul 3. Cum se împarte numere cu semne diferite?

Împărțiți numărul mixt - 3 3 22 la fracția zecimală 0 , (23) .

Modulele dividendului și divizorului sunt respectiv 3 3 22 și 0 , (23) . Transformând 3 3 22 într-o fracție comună, obținem:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22 .

De asemenea, putem reprezenta divizorul ca o fracție comună:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Acum împărțim fracțiile obișnuite, efectuăm reduceri și obținem rezultatul:

69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2 .

În concluzie, luați în considerare cazul când dividendul și divizorul sunt numere iraționale și sunt scrise ca rădăcini, logaritmi, puteri etc.

Într-o astfel de situație, coeficientul se scrie ca expresie numerică, care se simplifica pe cat posibil. Dacă este necesar, valoarea sa aproximativă este calculată cu precizia necesară.

Exemplul 4. Cum se împarte numere cu semne diferite?

Împărțiți numerele 5 7 și - 2 3 .

Conform regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite, scriem egalitatea:

5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3 .

Să scăpăm de iraționalitatea din numitor și să obținem răspunsul final:

5 7 2 3 = - 5 4 3 14 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Accentul acestui articol este împărțirea numerelor negative. În primul rând, este dată regula pentru împărțirea unui număr negativ la unul negativ, sunt date justificări ale acestuia și apoi exemple de împărțire a numerelor negative cu descriere detaliata solutii.

Navigare în pagină.

Regula pentru împărțirea numerelor negative

Înainte de a da regula împărțirii numerelor negative, să ne amintim sensul acțiunii de împărțire. Diviziunea în esența sa reprezintă găsirea unui factor necunoscut de către un produs cunoscut și un alt factor cunoscut. Adică, numărul c este câtul lui a împărțit la b când c b=a , și invers, dacă c b=a , atunci a:b=c .

Regula pentru împărțirea numerelor negative următoarele: câtul împărțirii unui număr negativ la altul este egal cu câtul împărțirii numărătorului la modulul numitorului.

Să scriem regula vocală folosind litere. Dacă a și b sunt numere negative, atunci egalitatea a:b=|a|:|b| .

Egalitatea a:b=a b −1 este ușor de demonstrat, pornind de la proprietățile înmulțirii numerelor realeși definiții reciproc numere reciproce. Într-adevăr, pe această bază, se poate scrie un lanț de egalități ale formei (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, care, în virtutea sensului de împărțire menționat la începutul articolului, dovedește că a · b − 1 este câtul împărțirii a la b .

Și această regulă vă permite să treceți de la împărțirea numerelor negative la înmulțire.

Rămâne de luat în considerare aplicarea regulilor luate în considerare pentru împărțirea numerelor negative la rezolvarea exemplelor.

Exemple de împărțire a numerelor negative

Să analizăm exemple de împărțire a numerelor negative. Să începem cu cazuri simple, pe care vom stabili aplicarea regulii de împărțire.

Exemplu.

Împărțiți numărul negativ −18 la numărul negativ −3 , apoi calculați câtul (−5):(−2) .

Soluţie.

După regula împărțirii numerelor negative, câtul de împărțire a −18 la −3 este egal cu câtul de împărțire a modulelor acestor numere. Deoarece |−18|=18 și |−3|=3 , atunci (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , rămâne doar să facem împărțirea numerelor naturale, avem 18:3=6.

Rezolvăm a doua parte a problemei în același mod. Deoarece |−5|=5 și |−2|=2 , atunci (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Acest raport corespunde unei fracții obișnuite 5/2, care poate fi scrisă ca număr mixt.

Aceleași rezultate se obțin folosind o regulă diferită pentru împărțirea numerelor negative. Într-adevăr, numărul −3 este invers numărul , atunci , acum efectuăm înmulțirea numerelor negative: . La fel, .

Răspuns:

(−18):(−3)=6 și .

Când împărțiți numere raționale fracționale, este cel mai convenabil să lucrați cu acestea fracții obișnuite. Dar, dacă este convenabil, atunci puteți împărți și fracții zecimale finale.

Exemplu.

Împărțiți numărul -0,004 la -0,25.

Soluţie.

Modulele dividendului și divizorului sunt 0,004 și respectiv 0,25, apoi, conform regulii de împărțire a numerelor negative, avem (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• sau efectuați împărțirea fracțiilor zecimale după o coloană,
• fie merge de la fracții zecimale la fracții ordinare și apoi împărțiți fracțiile ordinare corespunzătoare.

Să aruncăm o privire la ambele abordări.

Pentru a împărți 0,004 la 0,25 într-o coloană, mutați mai întâi virgula cu 2 cifre la dreapta, în timp ce împărțiți 0,4 la 25. Acum efectuăm împărțirea pe o coloană:

Deci 0,004:0,25=0,016.

Și acum să arătăm cum ar arăta soluția dacă am decide să convertim fracțiile zecimale în fracții obișnuite. pentru că și apoi , și executați

Acum să ne ocupăm de înmulțirea și împărțirea.

Să presupunem că trebuie să înmulțim +3 cu -4. Cum să o facă?

Să luăm în considerare un astfel de caz. Trei oameni s-au îndatorat și fiecare are 4 dolari în datorii. Care este datoria totală? Pentru a-l găsi, trebuie să adunați toate cele trei datorii: 4 USD + 4 USD + 4 USD = 12 USD. Am decis că adăugarea a trei numere 4 se notează ca 3 × 4. Deoarece în acest caz vorbim de datorii, în fața lui 4 există un semn „-”. Știm că datoria totală este de 12 USD, așa că acum problema noastră este 3x(-4)=-12.

Același rezultat îl vom obține dacă, după starea problemei, fiecare dintre cele patru persoane are o datorie de 3 dolari. Cu alte cuvinte, (+4)x(-3)=-12. Și din moment ce ordinea factorilor nu contează, obținem (-4)x(+3)=-12 și (+4)x(-3)=-12.

Să rezumam rezultatele. Când înmulțiți un număr pozitiv și unul negativ, rezultatul va fi întotdeauna un număr negativ. Valoarea numerică a răspunsului va fi aceeași ca și în cazul numerelor pozitive. Produs (+4)x(+3)=+12. Prezența semnului „-” afectează doar semnul, dar nu afectează valoarea numerică.

Cum se înmulțesc două numere negative?

Din păcate, este foarte dificil să vină cu un exemplu potrivit din viață pe această temă. Este ușor să-ți imaginezi 3 sau 4 dolari în datorii, dar este complet imposibil să-ți imaginezi -4 sau -3 persoane care se îndatorează.

Poate că vom merge pe altă cale. În înmulțire, schimbarea semnului unuia dintre factori schimbă semnul produsului. Dacă schimbăm semnele ambilor factori, trebuie să schimbăm semnele de două ori marca produsului, mai întâi de la pozitiv la negativ, iar apoi invers, de la negativ la pozitiv, adică produsul va avea semnul inițial.

Prin urmare, este destul de logic, deși puțin ciudat, că (-3)x(-4)=+12.

Poziția semnului atunci când este înmulțit, se schimbă astfel:

• număr pozitiv x număr pozitiv = număr pozitiv;
• număr negativ x număr pozitiv = număr negativ;
• număr pozitiv x număr negativ = număr negativ;
• număr negativ x număr negativ = număr pozitiv.

Cu alte cuvinte, înmulțind două numere cu același semn, obținem un număr pozitiv. Înmulțind două numere cu semne diferite, obținem un număr negativ.

Aceeași regulă este valabilă pentru acțiunea opusă înmulțirii - pentru.

Puteți verifica cu ușurință acest lucru rulând operații de înmulțire inversă. Dacă în fiecare dintre exemplele de mai sus înmulțiți câtul cu divizorul, obțineți dividendul și asigurați-vă că are același semn, cum ar fi (-3)x(-4)=(+12).

De când vine iarna, este timpul să te gândești la ce să-ți schimbi calul de fier, pentru a nu aluneca pe gheață și a te simți încrezător pe drumurile de iarnă. Puteți, de exemplu, să luați anvelope Yokohama pe site: mvo.ru sau altele, principalul lucru este că calitatea, mai multe informatii si preturi gasiti pe site-ul Mvo.ru.