पियर्सन का सहसंबंध परीक्षण एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी पद्धति है जो आपको दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच एक रैखिक संबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्धारित करने के साथ-साथ इसकी निकटता और सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। दूसरे शब्दों में, पियर्सन सहसंबंध परीक्षण आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दो चर के मूल्यों में परिवर्तन के बीच एक रैखिक संबंध है या नहीं। सांख्यिकीय गणना और अनुमानों में, सहसंबंध गुणांक को आमतौर पर दर्शाया जाता है आरएक्सवाईया Rxy.

1. सहसंबंध मानदंड के विकास का इतिहास

पियर्सन सहसंबंध परीक्षण किसके नेतृत्व में ब्रिटिश वैज्ञानिकों की एक टीम द्वारा विकसित किया गया था? कार्ल पियर्सन(1857-1936) 19वीं सदी के 90 के दशक में, दो यादृच्छिक चर के सहप्रसरण के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए। कार्ल पियर्सन के अलावा, पियर्सन के सहसंबंध परीक्षण पर भी काम किया गया था फ्रांसिस एडगेवर्थतथा राफेल वेल्डन.

2. पियर्सन सहसंबंध परीक्षण किसके लिए प्रयोग किया जाता है?

पियर्सन सहसंबंध मानदंड आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि मात्रात्मक पैमाने पर मापे गए दो संकेतकों के बीच सहसंबंध की निकटता (या ताकत) क्या है। अतिरिक्त गणनाओं की सहायता से, आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि पहचाना गया संबंध सांख्यिकीय रूप से कितना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, पियर्सन सहसंबंध परीक्षण का उपयोग करके, कोई इस प्रश्न का उत्तर दे सकता है कि क्या शरीर के तापमान और रक्त में ल्यूकोसाइट्स की सामग्री के बीच एक तीव्र संबंध है या नहीं। श्वासप्रणाली में संक्रमण, रोगी की ऊंचाई और वजन के बीच, सामग्री के बीच पेय जलफ्लोराइड और जनसंख्या में क्षरण की घटना।

3. पियर्सन के ची-स्क्वायर टेस्ट के उपयोग पर शर्तें और प्रतिबंध

1. तुलनीय संकेतकों को मापा जाना चाहिए मात्रात्मक पैमाने(उदाहरण के लिए, हृदय गति, शरीर का तापमान, प्रति 1 मिलीलीटर रक्त में ल्यूकोसाइट गिनती, सिस्टोलिक रक्तचाप)।
2. पियर्सन सहसंबंध मानदंड के माध्यम से, केवल यह निर्धारित करना संभव है एक रैखिक संबंध की उपस्थिति और ताकतमात्राओं के बीच। संबंध की अन्य विशेषताएं, जिसमें दिशा (प्रत्यक्ष या उल्टा), परिवर्तनों की प्रकृति (रेक्टिलिनियर या कर्विलिनियर), साथ ही साथ एक चर की दूसरे पर निर्भरता, प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
3. तुलना किए जाने वाले मानों की संख्या दो के बराबर होनी चाहिए। तीन या अधिक मापदंडों के संबंध का विश्लेषण करने के मामले में, आपको विधि का उपयोग करना चाहिए कारक विश्लेषण.
4. पियर्सन का सहसंबंध मानदंड है पैरामीट्रिक, जिसके संबंध में इसके आवेदन की शर्त है सामान्य वितरणमिलान चर। यदि संकेतकों का सहसंबंध विश्लेषण करना आवश्यक है, जिनका वितरण सामान्य से भिन्न होता है, जिसमें एक क्रमिक पैमाने पर मापा जाता है, तो स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाना चाहिए।
5. निर्भरता और सहसंबंध की अवधारणाओं के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करना आवश्यक है। मूल्यों की निर्भरता उनके बीच संबंध की उपस्थिति को निर्धारित करती है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

उदाहरण के लिए, एक बच्चे की वृद्धि उसकी उम्र पर निर्भर करती है, अर्थात क्या बड़ा बच्चा, यह जितना ऊंचा है। यदि हम अलग-अलग उम्र के दो बच्चों को लें, तो उच्च स्तर की संभावना के साथ बड़े बच्चे की वृद्धि छोटे बच्चे की तुलना में अधिक होगी। इस घटना को कहा जाता है लत, संकेतकों के बीच एक कारण संबंध लागू करना। बेशक, वहाँ भी हैं सह - संबंध, जिसका अर्थ है कि एक संकेतक में परिवर्तन दूसरे संकेतक में परिवर्तन के साथ होता है।

एक अन्य स्थिति में, बच्चे की वृद्धि और हृदय गति (एचआर) के बीच संबंध पर विचार करें। जैसा कि आप जानते हैं, ये दोनों मूल्य सीधे उम्र पर निर्भर हैं, इसलिए, ज्यादातर मामलों में, अधिक ऊंचाई वाले बच्चों (और इसलिए बड़ी उम्र के) में हृदय गति का मान कम होगा। वह है, सह - संबंधमनाया जाएगा और इसमें पर्याप्त रूप से उच्च जकड़न हो सकती है। हालाँकि, अगर हम बच्चों को लेते हैं समान आयु, लेकिन अलग ऊंचाई, तो, सबसे अधिक संभावना है, उनकी हृदय गति में मामूली अंतर होगा, जिसके संबंध में हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं आजादीवृद्धि से हृदय गति।

उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि आँकड़ों में मूलभूत अवधारणाओं के बीच अंतर करना कितना महत्वपूर्ण है सम्बन्धतथा निर्भरतासही निष्कर्ष निकालने के लिए संकेतक।

4. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना कैसे करें?

पियर्सन के सहसंबंध गुणांक की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

5. पियर्सन सहसंबंध गुणांक के मूल्य की व्याख्या कैसे करें?

पियर्सन सहसंबंध गुणांक के मूल्यों की व्याख्या इसके निरपेक्ष मूल्यों के आधार पर की जाती है। सहसंबंध गुणांक के संभावित मान 0 से ±1 तक भिन्न होते हैं। r xy का निरपेक्ष मान जितना अधिक होगा, दो राशियों के बीच संबंध की निकटता उतनी ही अधिक होगी। r xy = 0 कनेक्शन के पूर्ण अभाव को इंगित करता है। r xy = 1 - एक निरपेक्ष (कार्यात्मक) कनेक्शन की उपस्थिति को इंगित करता है। यदि पियर्सन सहसंबंध मानदंड का मान 1 से अधिक या -1 से कम निकला, तो गणना में एक त्रुटि की गई थी।

सहसंबंध की निकटता, या ताकत का आकलन करने के लिए, आम तौर पर स्वीकृत मानदंडों का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार r xy के निरपेक्ष मान< 0.3 свидетельствуют о कमज़ोरकनेक्शन, r xy मान 0.3 से 0.7 तक - कनेक्शन के बारे में मध्यमजकड़न, r xy मान > 0.7 - o बलवानसम्बन्ध।

सहसंबंध की ताकत का अधिक सटीक अनुमान का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है चाडॉक टेबल:

श्रेणी आंकड़ों की महत्तासहसंबंध गुणांक r xy t-परीक्षण का उपयोग करके किया जाता है, जिसकी गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

प्राप्त मूल्य t r की तुलना एक निश्चित स्तर के महत्व और स्वतंत्रता की डिग्री n-2 पर महत्वपूर्ण मूल्य के साथ की जाती है। यदि टी आर टी क्रिट से अधिक है, तो पहचाने गए सहसंबंध के सांख्यिकीय महत्व के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है।

6. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना का एक उदाहरण

अध्ययन का उद्देश्य दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच सहसंबंध की मजबूती और सांख्यिकीय महत्व की पहचान करना, निर्धारित करना था: रक्त में टेस्टोस्टेरोन का स्तर (एक्स) और प्रतिशत मांसपेशियोंशरीर में (वाई)। तालिका में 5 विषयों (एन = 5) के नमूने के प्रारंभिक डेटा को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

सहसंबंध गुणांक (या रैखिक सहसंबंध गुणांक) को "आर" (दुर्लभ मामलों में, "ρ" के रूप में) के रूप में दर्शाया जाता है और दो या दो से अधिक चर के रैखिक सहसंबंध (अर्थात, कुछ मूल्य और दिशा द्वारा दिया गया संबंध) की विशेषता है। . गुणांक का मान -1 और +1 के बीच होता है, अर्थात सहसंबंध धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। यदि सहसंबंध गुणांक -1 है, तो एक पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध होता है; यदि सहसंबंध गुणांक +1 है, तो एक पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध होता है। अन्य मामलों में, एक सकारात्मक सहसंबंध, एक नकारात्मक सहसंबंध, या दो चर के बीच कोई संबंध नहीं है। सहसंबंध गुणांक की गणना मैन्युअल रूप से, मुफ्त ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ, या एक अच्छे रेखांकन कैलकुलेटर के साथ की जा सकती है।

कदम

मैन्युअल रूप से सहसंबंध गुणांक की गणना करना

डेटा एकत्रित करें।इससे पहले कि आप सहसंबंध गुणांक की गणना शुरू करें, दी गई संख्याओं की जोड़ी की जांच करें। उन्हें एक तालिका में लिखना बेहतर है जिसे लंबवत या क्षैतिज रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है। प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ को "x" और "y" के रूप में लेबल करें।

• उदाहरण के लिए, चर "x" और "y" के चार जोड़े मान (संख्या) दिए गए हैं। आप निम्न तालिका बना सकते हैं:
  • एक्स || आप
  • 1 || 1
  • 2 || 3
  • 4 || 5
  • 5 || 7

1. अंकगणित माध्य "x" की गणना करें।ऐसा करने के लिए, "x" के सभी मानों को जोड़ें, और फिर परिणाम को मानों की संख्या से विभाजित करें।

   अंकगणितीय माध्य "y" ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, समान चरणों का पालन करें, अर्थात, "y" के सभी मानों को जोड़ें, और फिर योग को मानों की संख्या से विभाजित करें।

   "x" के मानक विचलन की गणना करें।एक बार जब आप x और y के साधनों की गणना कर लेते हैं, तो इन चरों के मानक विचलन ज्ञात कीजिए। मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

   मानक विचलन "y" की गणना करें।पिछले चरण में चरणों का पालन करें। एक ही सूत्र का प्रयोग करें, लेकिन इसमें "y" मानों को प्रतिस्थापित करें।

   सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए मूल सूत्र लिखिए।इस सूत्र में माध्य, मानक विचलन और दोनों चरों की संख्याओं के युग्मों की संख्या (n) शामिल है। सहसंबंध गुणांक को "आर" (दुर्लभ मामलों में, "ρ" के रूप में) के रूप में दर्शाया गया है। यह आलेख पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करता है।

   आपने दोनों चरों के माध्य और मानक विचलन की गणना की है, इसलिए आप सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। याद रखें कि "एन" दोनों चर के मूल्यों के जोड़े की संख्या है। अन्य मात्राओं के मूल्य की गणना पहले की गई है।

   • हमारे उदाहरण में, गणना निम्नानुसार लिखी जाएगी:
   • ρ = (1 n − 1) Σ (x - μ x σ x) ∗ (y − μ y y) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(n-1))\right) \सिग्मा \बाएं((\frac (x-\mu _(x))(\sigma _(x)))\right)*\left((\frac (y-\mu _(y))(\sigma _(वाई)))\दाएं))
   • ρ = (1 3) ∗ (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*)[ (1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) (\displaystyle \left((\frac (1-3))( 1.83))\दाएं)*\बाएं((\frac (1-4)(2.58))\दाएं)+\बाएं((\frac (2-3)(1.83))\दाएं) *\बाएं((\ फ़्रेक (3-4)(2,58))\दाएं))
     + (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) (\displaystyle +\left((\frac (4-3)) )(1.83))\दाएं)*\बाएं((\frac (5-4)(2.58))\दाएं)+\बाएं((\frac (5-3)(1.83))\ दाएं)*\बाएं( (\frac (7-4)(2,58))\दाएं))]
   • ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*\left((\frac (6) +1+1+6)(4,721))\दाएं))
   • = (1 3) ∗ 2 , 965 (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*2.965)
   • = (2 , 965 3) (\displaystyle \rho =\left((\frac (2,965)(3))\right))
   • = 0 . 988 (\displaystyle \rho =0.988)

2. परिणाम का विश्लेषण करें।हमारे उदाहरण में, सहसंबंध गुणांक 0.988 है। यह मान किसी तरह से संख्याओं के जोड़े के दिए गए सेट की विशेषता है। मूल्य के संकेत और परिमाण पर ध्यान दें।

   • चूंकि सहसंबंध गुणांक का मान सकारात्मक है, इसलिए चर "x" और "y" के बीच एक सकारात्मक सहसंबंध है। यानी जब "x" का मान बढ़ता है, तो "y" का मान भी बढ़ता है।
   • चूंकि सहसंबंध गुणांक का मान +1 के बहुत करीब है, इसलिए x और y चर के मान अत्यधिक सहसंबद्ध हैं। यदि आप निर्देशांक तल पर बिंदु रखते हैं, तो वे किसी सीधी रेखा के निकट स्थित होंगे।

   सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करना

   1. सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए इंटरनेट पर एक कैलकुलेटर खोजें।इस गुणांक की गणना अक्सर आंकड़ों में की जाती है। यदि संख्याओं के कई जोड़े हैं, तो सहसंबंध गुणांक की मैन्युअल रूप से गणना करना व्यावहारिक रूप से असंभव है। इसलिए, सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर हैं। खोज इंजन में, "सहसंबंध गुणांक कैलकुलेटर" (बिना उद्धरण के) दर्ज करें।

      डेटा दर्ज करें।डेटा को सही ढंग से दर्ज करने के लिए साइट पर दिए गए निर्देशों को पढ़ें (संख्याओं के जोड़े)। संख्याओं के उपयुक्त युग्मों को दर्ज करना अत्यंत महत्वपूर्ण है; अन्यथा आपको गलत परिणाम मिलेगा। ध्यान रखें कि विभिन्न वेबसाइटों में अलग-अलग डेटा प्रविष्टि प्रारूप होते हैं।

      • उदाहरण के लिए, साइट पर http://ncalculators.com/statistics/correlation-coकुशल-कैलकुलेटर.htm, चर "x" और "y" के मान दो क्षैतिज रेखाओं में दर्ज किए गए हैं। मान अल्पविराम द्वारा अलग किए जाते हैं। अर्थात्, हमारे उदाहरण में, "x" के मान इस प्रकार दर्ज किए गए हैं: 1,2,4,5, और "y" के मान इस प्रकार हैं: 1,3,5,7।
      • एक अन्य साइट पर, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coकुशल/ , डेटा लंबवत रूप से दर्ज किया जाता है; इस मामले में, संख्याओं के संगत युग्मों को भ्रमित न करें।

   2. सहसंबंध गुणांक की गणना करें।डेटा दर्ज करने के बाद, परिणाम प्राप्त करने के लिए बस "गणना", "गणना" या इसी तरह के बटन पर क्लिक करें।

   रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करना

   1. डेटा दर्ज करें।एक रेखांकन कैलकुलेटर लें, सांख्यिकीय गणना मोड पर स्विच करें और संपादित करें कमांड का चयन करें।

      • विभिन्न कैलकुलेटरों पर, आपको विभिन्न कुंजियों को दबाने की आवश्यकता होती है। यह लेख टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स TI-86 कैलकुलेटर पर केंद्रित है।
      • सांख्यिकीय गणना मोड पर स्विच करने के लिए, - स्टेट ("+" कुंजी के ऊपर) दबाएं। फिर F2 दबाएं - संपादित करें (संपादित करें)।

   2. पिछले सहेजे गए डेटा को हटा दें।अधिकांश कैलकुलेटर आपके दर्ज किए गए आँकड़ों को तब तक रखते हैं जब तक आप उन्हें साफ़ नहीं कर देते। पुराने डेटा को नए डेटा के साथ भ्रमित करने से बचने के लिए, पहले किसी भी संग्रहीत जानकारी को हटा दें।

      • कर्सर को स्थानांतरित करने के लिए तीर कुंजियों का उपयोग करें और "xStat" शीर्षक को हाइलाइट करें। फिर xStat कॉलम में दर्ज किए गए सभी मानों को साफ़ करने के लिए Clear और Enter दबाएँ।
      • "YStat" शीर्षक को हाइलाइट करने के लिए तीर कुंजियों का उपयोग करें। फिर yStat कॉलम में दर्ज सभी मानों को साफ़ करने के लिए Clear और Enter दबाएँ।

   3. प्रारंभिक डेटा दर्ज करें।कर्सर को "xStat" शीर्षक के तहत पहली सेल में ले जाने के लिए तीर कुंजियों का उपयोग करें। पहला मान दर्ज करें और एंटर दबाएं। स्क्रीन के निचले भाग में, "xStat (1) = __" स्पेस के बजाय दर्ज किए गए मान के साथ प्रदर्शित होगा। एंटर दबाए जाने के बाद, दर्ज किया गया मान तालिका में दिखाई देगा, और कर्सर अगली पंक्ति में चला जाएगा; यह स्क्रीन के नीचे "xStat(2) = __" प्रदर्शित करेगा।

      • चर "x" के सभी मान दर्ज करें।
      • एक बार जब आप x चर के लिए सभी मान दर्ज कर लेते हैं, तो yStat कॉलम पर नेविगेट करने के लिए तीर कुंजियों का उपयोग करें और y चर के लिए मान दर्ज करें।
      • संख्याओं के सभी जोड़े दर्ज करने के बाद, स्क्रीन को साफ़ करने और एकत्रीकरण मोड से बाहर निकलने के लिए बाहर निकलें दबाएं।

   4. सहसंबंध गुणांक की गणना करें।यह दर्शाता है कि डेटा किसी सीधी रेखा के कितने करीब है। रेखांकन कैलकुलेटर उपयुक्त सीधी रेखा को जल्दी से निर्धारित कर सकता है और सहसंबंध गुणांक की गणना कर सकता है।

      • स्टेट (सांख्यिकी) - कैल्क (गणना) पर क्लिक करें। TI-86 पर - - दबाएं।
      • "रैखिक प्रतिगमन" फ़ंक्शन का चयन करें। TI-86 पर, दबाएं, जिसे "LinR" लेबल किया गया है। लाइन "LinR _" एक ब्लिंकिंग कर्सर के साथ स्क्रीन पर प्रदर्शित होगी।
      • अब दो चरों के नाम दर्ज करें: xStat और yStat।
        • TI-86 पर, नामों की सूची खोलें; ऐसा करने के लिए प्रेस - - .
        • उपलब्ध चर स्क्रीन की निचली रेखा पर प्रदर्शित होते हैं। चुनें (सबसे अधिक संभावना F1 या F2 दबाकर), अल्पविराम दर्ज करें, और फिर चुनें।
        • दर्ज किए गए डेटा को संसाधित करने के लिए एंटर दबाएं।

7.3.1. सहसंबंध और निर्धारण के गुणांक।परिमाणित किया जा सकता है संचार की निकटताकारकों और के बीच अभिविन्यास(प्रत्यक्ष या उल्टा) गणना करके:

1) यदि दो कारकों के बीच एक रैखिक संबंध निर्धारित करना आवश्यक है, - जोड़ी गुणांकसहसंबंध: 7.3.2 और 7.3.3 में, युग्मित रैखिक ब्रावाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना के संचालन ( आर) और स्पीयरमैन की जोड़ीवार रैंक सहसंबंध गुणांक ( आर);

2) यदि हम दो कारकों के बीच संबंध निर्धारित करना चाहते हैं, लेकिन यह संबंध स्पष्ट रूप से गैर-रैखिक है, तो सहसंबंध संबंध ;

3) यदि हम एक कारक और कुछ अन्य कारकों के बीच संबंध निर्धारित करना चाहते हैं - तो (या, समकक्ष, "एकाधिक सहसंबंध गुणांक");

4) यदि हम अलगाव में एक कारक के संबंध को केवल एक विशिष्ट दूसरे के साथ पहचानना चाहते हैं, जो पहले को प्रभावित करने वाले कारकों के समूह का हिस्सा है, जिसके लिए हमें अन्य सभी कारकों के प्रभाव को अपरिवर्तित मानना ​​​​है, तो निजी (आंशिक) सहसंबंध गुणांक .

कोई भी सहसंबंध गुणांक (r, r) निरपेक्ष मान में 1 से अधिक नहीं हो सकता, अर्थात -1< r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

सहसंबंध गुणांक पर संकेत कनेक्शन की दिशा निर्धारित करता है: "+" चिह्न (या संकेत की अनुपस्थिति) का अर्थ है कि कनेक्शन सीधा (सकारात्मक), "-" संकेत - कि कनेक्शन उल्टा (नकारात्मक) संकेत का कनेक्शन की जकड़न से कोई लेना-देना नहीं है।

सहसंबंध गुणांक सांख्यिकीय संबंध की विशेषता है। लेकिन अक्सर एक अन्य प्रकार की निर्भरता को निर्धारित करना आवश्यक होता है, अर्थात्: किसी अन्य संबंधित कारक के निर्माण में एक निश्चित कारक का क्या योगदान होता है। इस तरह की निर्भरता, कुछ हद तक पारंपरिकता के साथ, इसकी विशेषता है निर्धारण गुणांक (डी ) सूत्र द्वारा निर्धारित डी = r 2 100% (जहाँ r Bravais-Pearson सहसंबंध गुणांक है, 7.3.2 देखें)। यदि माप में लिया गया था ऑर्डर स्केल (रैंक स्केल), तो विश्वसनीयता के लिए कुछ हानि के साथ, r के मान के बजाय, r के मान (स्पीयरमैन का सहसंबंध गुणांक, देखें 7.3.3) को सूत्र में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि हमने कारक ए पर कारक बी की निर्भरता की विशेषता के रूप में प्राप्त किया है, तो सहसंबंध गुणांक आर = 0.8 या आर = -0.8, फिर डी = 0.8 2 ´100% = 64%, यानी लगभग 2 ½ 3. इसलिए, कारक ए का योगदान और कारक बी के गठन में इसके परिवर्तन लगभग 2 . है ½ 3 सामान्य रूप से सभी कारकों के कुल योगदान से।

7.3.2. ब्रावाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक।ब्रावाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए प्रक्रिया ( आर ) का उपयोग केवल उन मामलों में किया जा सकता है जब सामान्य आवृत्ति वितरण वाले नमूनों के आधार पर कनेक्शन पर विचार किया जाता है ( सामान्य वितरण ) और अंतराल या अनुपात के पैमाने में माप द्वारा प्राप्त किया जाता है। इस सहसंबंध गुणांक के लिए गणना सूत्र है:

å ( एक्समैं - )( आपमैं-)

आर = .

n×sx×sy

सहसंबंध गुणांक क्या दर्शाता है? सबसे पहले, सहसंबंध गुणांक पर चिन्ह संबंध की दिशा को दर्शाता है, अर्थात्: "-" चिन्ह यह दर्शाता है कि संबंध उल्टा, या नकारात्मक(एक प्रवृत्ति है: जैसे-जैसे एक कारक का मान घटता है, दूसरे कारक के संगत मान बढ़ते हैं, और जैसे-जैसे वे बढ़ते हैं, वे घटते जाते हैं), और एक संकेत या "+" चिह्न की अनुपस्थिति इंगित करती है सीधा, या सकारात्मककनेक्शन (एक प्रवृत्ति है: एक कारक के मूल्यों में वृद्धि के साथ, दूसरे के मूल्यों में वृद्धि, और कमी के साथ, वे घटते हैं)। दूसरे, सहसंबंध गुणांक का निरपेक्ष (साइन-इंडिपेंडेंट) मान कनेक्शन की जकड़न (ताकत) को इंगित करता है। यह मानने के लिए प्रथागत है (बल्कि पारंपरिक रूप से): r . के मूल्यों के लिए< 0,3 корреляция बोहोत कमज़ोर, अक्सर 0.3 £ r . के लिए इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है< 5 корреляция कमज़ोर, 0.5 £ r . के लिए< 0,7) - औसत, 0.7 £ r £ 0.9 पर) - बलवानऔर, अंत में, r > 0.9 के लिए - बहुत ताकतवर।हमारे मामले में (r »0.83), संबंध उलटा (नकारात्मक) और मजबूत है।

याद रखें कि सहसंबंध गुणांक का मान -1 से +1 तक की सीमा में हो सकता है। यदि r का मान इन सीमाओं से आगे जाता है, तो यह इंगित करता है कि गणना में गलती हो गई . यदि एक आर= 1, इसका मतलब है कि कनेक्शन सांख्यिकीय नहीं है, बल्कि कार्यात्मक है - जो व्यावहारिक रूप से खेल, जीव विज्ञान, चिकित्सा में नहीं होता है। यद्यपि माप की एक छोटी संख्या के साथ, एक कार्यात्मक संबंध की तस्वीर देने वाले मूल्यों का एक यादृच्छिक चयन संभव है, लेकिन ऐसा मामला कम संभावना है, तुलना किए गए नमूनों (एन) की मात्रा जितनी अधिक होगी, अर्थात, तुलनात्मक माप के जोड़े की संख्या।

गणना तालिका (तालिका 7.1) सूत्र के अनुसार बनाई गई है।

तालिका 7.1।

Bravais-Pearson गणना के लिए गणना तालिका

एक्स मैं	यी	(एक्समैं-)	(एक्समैं - ) 2	(आपमैं-)	(आपमैं - ) 2	(एक्समैं - )( आपमैं-)
13,2	4,75	0,2	0,04	–0,35	0,1225	– 0,07
13,5	4,7	0,5	0,25	– 0,40	0,1600	– 0,20
12,7	5,10	– 0,3	0,09	0,00	0,0000	0,00
12,5	5,40	– 0,5	0,25	0,30	0,0900	– 0,15
13,0	5,10	0,0	0,00	0,00	0.0000	0,00
13,2	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,02
13,1	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,01
13,4	4,65	0,4	0,16	– 0,45	0,2025	– 0,18
12,4	5,60	– 0,6	0,36	0,50	0,2500	– 0,30
12,3	5,50	– 0,7	0,49	0,40	0,1600	– 0,28
12,7	5,20	–0,3	0,09	0,10	0,0100	– 0,03
x मैं \u003d 137 \u003d 13.00	y मैं =56.1 =5.1		å( एक्समैं - ) 2 \u003d \u003d 1.78		å( आपमैं - ) 2 = = 1.015	å( एक्समैं - )( आपमैं - )= = -1.24

क्यों कि एसएक्स = ï ï = ï ï» 0.42, ए

एसवाई = ï ï» 0,32, आर" –1,24ï (11´0.42´0.32) » –1,24ï 1,48 » –0,83 .

दूसरे शब्दों में, आपको बहुत दृढ़ता से यह जानना होगा कि सहसंबंध गुणांक नही सकता निरपेक्ष मूल्य में 1.0 से अधिक। इससे अक्सर बचा जाता है सबसे बड़ी गलतियाँ, अधिक सटीक रूप से - गणना में की गई त्रुटियों को खोजने और ठीक करने के लिए।

7.3.3. स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक. जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ब्रावाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक (आर) को केवल उन मामलों में लागू करना संभव है जब विश्लेषण किए गए कारक आवृत्ति वितरण के संदर्भ में सामान्य के करीब होते हैं और वेरिएंट के मूल्य आवश्यक रूप से माप द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। अनुपात के पैमाने या अंतराल के पैमाने पर, जो तब होता है जब वे भौतिक इकाइयाँ व्यक्त करते हैं। अन्य मामलों में, स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक पाया जाता है ( आर) हालांकि, यह अनुपात कर सकते हैंउन मामलों में भी लागू करें जहां इसकी अनुमति है (और वांछनीय .) ! ) ब्रावाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक लागू करें। लेकिन यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि ब्रावाइस-पियर्सन गुणांक निर्धारित करने की प्रक्रिया में है अधिक शक्ति ("समाधानयोग्यता"), इसीलिए आरसे अधिक जानकारीपूर्ण आर. एक बड़े के साथ भी एनविचलन आर± 10% के क्रम का हो सकता है।

तालिका 7.2 गुणांक के लिए गणना सूत्र

x i y i R x R y |d R | डी आर 2 स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 आर= 1 -। आप ऐसा

13.5 4.70 11.0 2.0 9.0 81.00 हम अपने उदाहरण का उपयोग करते हैं

12.7 5.10 4.5 6.5 2.0 4.00 गणना के लिए आर, लेकिन चलो निर्माण करते हैं

12.5 5.40 3.0 9.0 6.0 36.00 अन्य तालिका (तालिका 7.2)।

13.0 5.10 6.0 6.5 0.5 0.25 मानों को प्रतिस्थापित करें:

13.2 5.00 8.5 4.5 4.0 16.00 आर = 1- =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13.4 4.65 10.0 1.0 9.0 81.00 हम देखते हैं: आरथोड़ा सा निकला

12.4 5.60 2.0 11.0 9.0 81.00 . से अधिक आर, लेकिन यह अलग है

12.3 5.50 1.0 10.0 9.0 81.00 बहुत बड़ा नहीं है। आखिर

12.7 5.20 4.5 8.0 3.5 12.25 इतना छोटा एनमूल्यों आरतथा आर

d R 2 = 423 बहुत अनुमानित हैं, बहुत विश्वसनीय नहीं हैं, उनका वास्तविक मूल्य व्यापक रूप से उतार-चढ़ाव कर सकता है, इसलिए अंतर आरतथा आर 0.1 में नगण्य है। आमतौर परआरएक एनालॉग के रूप में माना जाता हैआर , लेकिन कम सटीक. पर संकेत आरतथा आरकनेक्शन की दिशा दिखाता है।

7.3.4. सहसंबंध गुणांकों का अनुप्रयोग और सत्यापन।हमें जिस कारक की आवश्यकता है उसके विकास को नियंत्रित करने के लिए कारकों के बीच सहसंबंध की डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है: इसके लिए हमें अन्य कारकों को प्रभावित करना होगा जो इसे महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं, और हमें उनकी प्रभावशीलता के उपाय को जानने की जरूरत है। तैयार किए गए परीक्षणों को विकसित करने या चुनने के लिए कारकों के संबंध के बारे में जानना आवश्यक है: एक परीक्षण की सूचना सामग्री एक विशेषता या हमारे लिए रुचि की संपत्ति की अभिव्यक्तियों के साथ उसके परिणामों के सहसंबंध द्वारा निर्धारित की जाती है। सहसम्बन्धों के ज्ञान के बिना किसी भी प्रकार का चयन असंभव है।

यह ऊपर उल्लेख किया गया था कि खेल में और सामान्य शैक्षणिक, चिकित्सा और यहां तक ​​कि आर्थिक और सामाजिक अभ्यास में गहन अभिरुचिकी परिभाषा का प्रतिनिधित्व करता है योगदान , के जो एक कारक दूसरे के निर्माण में योगदान देता है. यह इस तथ्य के कारण है कि विचार किए गए कारक-कारणों के अलावा लक्ष्य(हमारे लिए ब्याज की) कारक अधिनियम, प्रत्येक इसमें एक या दूसरे योगदान दे रहा है, और अन्य।

यह माना जाता है कि प्रत्येक कारक-कारण के योगदान का माप हो सकता है दृढ़ संकल्प का गुणांक डी मैं = आर 2 100%। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि r = 0.6, अर्थात्। कारक ए और बी के बीच संबंध औसत है, तो डी = 0.6 2 100% = 36%। इसलिए, यह जानते हुए कि कारक B के निर्माण में कारक A का योगदान लगभग 1 . है ½ 3, यह संभव है, उदाहरण के लिए, लगभग 1 . को समर्पित करना ½ 3 प्रशिक्षण समय। यदि सहसंबंध गुणांक r \u003d 0.4, तो D \u003d r 2 100% \u003d 16%, या लगभग 1 ½ 6 - दो गुना से अधिक कम, और इस तर्क के अनुसार इसके विकास के लिए केवल 1 दिया जाना चाहिए ½ प्रशिक्षण समय का 6 भाग।

विभिन्न महत्वपूर्ण कारकों के लिए डी आई के मूल्य हमें ब्याज के लक्षित कारक पर उनके प्रभावों के मात्रात्मक संबंध का एक अनुमानित विचार देते हैं, जिसमें सुधार के लिए हम वास्तव में अन्य कारकों पर काम कर रहे हैं ( उदाहरण के लिए, एक लंबा जम्पर अपने स्प्रिंट की गति को बढ़ाने पर काम कर रहा है, इसलिए यह वह कारक है जो छलांग में परिणाम के निर्माण में सबसे महत्वपूर्ण योगदान देता है)।

याद रखें कि परिभाषित करके डीके बजाय आररखना आर, हालांकि, निश्चित रूप से, निर्धारण की सटीकता कम है।

आधारित चयनात्मक(नमूना डेटा से गणना) सहसंबंध गुणांक, यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि सामान्य रूप से माना कारकों के बीच संबंध के अस्तित्व का तथ्य विश्वसनीय है। वैधता की अलग-अलग डिग्री के साथ ऐसा निष्कर्ष निकालने के लिए, मानक का उपयोग करें सहसंबंध महत्व मानदंड. उनका आवेदन कारकों के बीच एक रैखिक संबंध मानता है और सामान्य वितरणउनमें से प्रत्येक में आवृत्तियाँ (अर्थात् चयनात्मक नहीं, बल्कि उनका सामान्य प्रतिनिधित्व)।

उदाहरण के लिए, आप विद्यार्थी के टी-परीक्षण लागू कर सकते हैं। उसकी जाति

सम सूत्र: टीपी= –2 , जहां k अध्ययन किया गया नमूना सहसंबंध गुणांक है, a एन- तुलना किए गए नमूनों की मात्रा। टी-मानदंड (टी पी) के परिणामी परिकलित मूल्य की तुलना हमारे द्वारा चुने गए महत्व के स्तर पर तालिका मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n = n - 2 से की जाती है। गणना कार्य से छुटकारा पाने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं एक विशेष तालिका नमूना सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्य(ऊपर देखें), कारकों के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध की उपस्थिति के अनुरूप (खाते में एन तथा एक).

तालिका 7.3।

नमूना सहसंबंध गुणांक की विश्वसनीयता के सीमा मूल्य

सहसंबंध गुणांक निर्धारित करने में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 2 के बराबर ली जाती है (अर्थात। एन= 2) तालिका में दर्शाया गया है। विश्वास अंतराल पर 7.3 मानों की निचली सीमा होती है सच सहसंबंध गुणांक 0 है, अर्थात ऐसे मूल्यों पर यह तर्क नहीं दिया जा सकता है कि सहसंबंध बिल्कुल होता है। यदि नमूना सहसंबंध गुणांक का मान तालिका में दर्शाए गए मान से अधिक है, तो सार्थकता के उपयुक्त स्तर पर यह माना जा सकता है कि वास्तविक सहसंबंध गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।

लेकिन इस सवाल का जवाब कि क्या विचाराधीन कारकों के बीच कोई वास्तविक संबंध है, एक और प्रश्न के लिए जगह छोड़ता है: किस अंतराल में होता है वास्तविक मूल्य सहसंबंध गुणांक, जैसा कि वास्तव में हो सकता है, असीम रूप से बड़े . के साथ एन? किसी विशेष मान के लिए यह अंतराल आरतथा एनतुलना किए गए कारकों की गणना की जा सकती है, लेकिन ग्राफ़ की एक प्रणाली का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है ( नामोग्राम), जहां प्रत्येक जोड़ी वक्र उनके ऊपर निर्दिष्ट कुछ के लिए निर्मित होते हैं एन, अंतराल की सीमाओं से मेल खाती है।

चावल। 7.4. नमूना सहसंबंध गुणांक की विश्वास सीमा (a = 0.05)। प्रत्येक वक्र इसके ऊपर वाले से मेल खाता है। एन.

अंजीर में नामांकित का जिक्र करते हुए। 7.4, एक = 0.05 पर नमूना सहसंबंध गुणांक के परिकलित मूल्यों के लिए वास्तविक सहसंबंध गुणांक के मूल्यों के अंतराल को निर्धारित करना संभव है।

7.3.5. सहसंबंध संबंध।यदि युग्म सहसंबंध गैर रेखीय, सहसंबंध गुणांक की गणना करना असंभव है, निर्धारित करें सहसंबंध संबंध . अनिवार्य आवश्यकता: सुविधाओं को अनुपात पैमाने पर या अंतराल पैमाने पर मापा जाना चाहिए। आप कारक की सहसंबंध निर्भरता की गणना कर सकते हैं एक्सकारक से यूऔर कारक की सहसंबंध निर्भरता यूकारक से एक्स- वे भिन्न हैं। छोटी मात्रा के साथ एन कारकों का प्रतिनिधित्व करने वाले नमूने माना जाता है, सहसंबंध संबंधों की गणना करने के लिए, आप सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

सहसंबंध अनुपात एच x ½ y= ;

सहसंबंध अनुपात एच y आधा x= .

यहाँ और नमूने X और Y के अंकगणितीय साधन हैं, और - इंट्राक्लास अंकगणितीय औसत। अर्थात्, कारक X के नमूने में उन मानों का अंकगणितीय माध्य, जिसके साथ समान मूल्यों को संयुग्मित करें कारक Y के नमूने में (उदाहरण के लिए, यदि कारक X का मान 4, 6, और 5 है, जिसके साथ कारक Y के नमूने में 9 के समान मान वाले 3 विकल्प संयुग्मित हैं, तो = (4+6+) 5) ½ 3 = 5)। तदनुसार - कारक Y के नमूने में उन मानों का अंकगणितीय माध्य, जो कारक X के नमूने में समान मानों से जुड़े हैं। आइए एक उदाहरण दें और गणना करें:

एक्स: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; वाई: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

तालिका 7.4

गणना तालिका

एक्स मैं	यी	एक्स वाई	एक्स मैं - एक्स	(एक्स मैं - एक्स) 2	एक्स मैं - एक्स वाई	(एक्स मैं–एक्स वाई) 2
			–4		–1
			–2
			–3		–2
			–1
					–3
एक्स = 79	वाई = 43			एस = 76		एस = 28

इसलिए ह वाई ½ x= »0.63।

7.3.6. आंशिक और एकाधिक सहसंबंध गुणांक। 2 कारकों के बीच संबंध का मूल्यांकन करने के लिए, सहसंबंध गुणांक की गणना करके, हम डिफ़ॉल्ट रूप से मानते हैं कि इस संबंध पर किसी अन्य कारक का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। हकीकत में ऐसा नहीं है। तो, वजन और ऊंचाई के बीच का संबंध भोजन की कैलोरी सामग्री, व्यवस्थित के मूल्य से बहुत महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित होता है शारीरिक गतिविधि, आनुवंशिकता, आदि। जब 2 कारकों के बीच संबंध का आकलन करते समय यह आवश्यक हो महत्वपूर्ण प्रभाव को ध्यान में रखेंअन्य कारक और साथ ही खुद को उनसे अलग कैसे करें, उन्हें अपरिवर्तित मानते हुएगणना करें निजी (अन्यथा - आंशिक ) सहसंबंध गुणांक।

उदाहरण: आपको 3 आवश्यक के बीच युग्मित निर्भरता का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है परिचालन कारकएक्स, वाई और जेड। निरूपित करें आर XY (Z) निजी (आंशिक) कारक X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक (इस मामले में, कारक Z का मान अपरिवर्तित माना जाता है), आर ZX (Y) - कारक Z और X के बीच आंशिक सहसंबंध गुणांक (कारक Y के निरंतर मान के साथ), आर YZ (X) - कारक Y और Z (कारक X के निरंतर मान के साथ) के बीच आंशिक सहसंबंध गुणांक। गणना किए गए सरल युग्मित (ब्रावाइस-पियर्सन के अनुसार) सहसंबंध गुणांक का उपयोग करना आर xy, आरएक्सजेड और आरवाईजेड, एम

आप सूत्रों का उपयोग करके निजी (आंशिक) सहसंबंध गुणांक की गणना कर सकते हैं:

आरएक्सवाई- आर XZ´ आर YZ आरएक्सजेड- आर XY' आर ZY आरजेडवाई-आर जेडएक्स आर YZ

आरएक्सवाई (जेड) =; आरएक्सजेड (वाई) =; आरजेडवाई (एक्स) =

(1- आर 2XZ)(1- आर 2 वाईजेड) Ö(1– आर 2XY)(1– आर 2 जेडवाई) (1– आर 2जेडएक्स)(1- आर 2YX)

और आंशिक सहसंबंध गुणांक -1 से +1 तक मान ले सकते हैं। इनका वर्ग करने पर हमें संगत भागफल प्राप्त होते हैं निर्धारण गुणांक यह भी कहा जाता है निश्चितता के निजी उपाय(100 से गुणा करके, हम%% में व्यक्त करते हैं)। आंशिक सहसंबंध गुणांक सरल (पूर्ण) युग्म गुणांक से कम या ज्यादा भिन्न होते हैं, जो तीसरे कारक के प्रभाव की ताकत पर निर्भर करता है (जैसे कि अपरिवर्तित)। शून्य परिकल्पना (एच 0), यानी परिकल्पना कि एक्स और वाई कारकों के बीच कोई संबंध (निर्भरता) नहीं है, का परीक्षण किया जाता है (विशेषताओं की कुल संख्या के साथ) क) सूत्र के अनुसार टी-टेस्ट की गणना करके: टीपी = आरएक्सवाई (जेड) ( एन-के) 1 ½ 2 (1- आर 2XY(Z)) -1 ½ 2 .

यदि एक टीआर< टी a n , परिकल्पना स्वीकार की जाती है (हम मानते हैं कि कोई निर्भरता नहीं है), यदि टीपी टीए एन - परिकल्पना का खंडन किया जाता है, अर्थात यह माना जाता है कि निर्भरता वास्तव में होती है। टी a n तालिका से लिया गया है टी-छात्र की कसौटी, और क- ध्यान में रखे गए कारकों की संख्या (हमारे उदाहरण 3 में), स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एन= n - 3. अन्य आंशिक सहसंबंध गुणांकों की इसी तरह जाँच की जाती है ( . के बजाय सूत्र में) आर XY (Z) को तदनुसार प्रतिस्थापित किया जाता है आरएक्सजेड (वाई) या आरजेडवाई (एक्स))।

तालिका 7.5

प्रारंभिक आंकड़े

(1 - 0.71 2)(1 - 0.71 2) Ö (1 - 0.5) (1 - 0.5)

कई कारकों (यहाँ, कारक Y और Z) की संयुक्त क्रिया पर कारक X की निर्भरता का आकलन करने के लिए, सरल युग्मित सहसंबंध गुणांक के मूल्यों की गणना करें और उनका उपयोग करके, गणना करें एकाधिक सहसंबंध गुणांक आरएक्स (वाईजेड):

Ö आर 2XY+ आर 2XZ - 2 आर XY' आर XZ´ आर YZ

आरएक्स (वाईजेड) = .

1 - आर 2 YZ

7.2.7. संघ गुणांक।के बीच संबंधों को मापना अक्सर आवश्यक होता है गुणवत्तासंकेत, अर्थात्। ऐसे संकेत जिनका मात्रात्मक रूप से प्रतिनिधित्व (विशेषता) नहीं किया जा सकता है, जो बहुत बड़ा. उदाहरण के लिए, कार्य यह पता लगाना है कि क्या इसमें शामिल लोगों की खेल विशेषज्ञता और अंतर्मुखता (व्यक्तित्व का अपनी व्यक्तिपरक दुनिया की घटनाओं पर ध्यान केंद्रित करना) और बहिर्मुखता (व्यक्तित्व का ध्यान की दुनिया पर ध्यान केंद्रित करना) के बीच कोई संबंध है। बाहरी वस्तुएं)। प्रतीक तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 7.6.

तालिका 7.6.

एक्स (वर्ष)	वाई (समय)	जेड (बार)		एक्स (वर्ष)	वाई (समय)	जेड (बार)

फ़ीचर 1 फ़ीचर 2	अंतर्मुखता	बहिर्मुखता
खेल खेल	एक	बी
कसरत	साथ	डी

जाहिर है, यहां हमारे निपटान में संख्या केवल वितरण आवृत्तियों हो सकती है। इस मामले में, गणना करें संघ गुणांक (अन्य नाम " आकस्मिकता गुणांक ")। सबसे सरल मामले पर विचार करें: दो जोड़ी सुविधाओं के बीच संबंध, जबकि गणना की गई आकस्मिकता गुणांक को कहा जाता है टेट्राकोरिक (तालिका देखें)।

तालिका 7.7.

ए = 20	बी = 15	एक + बी = 35
सी = 15	घ = 5	सी + डी = 20
एक + सी = 35	बी + डी = 20	एन = 55

हम सूत्र के अनुसार गणना करते हैं:

विज्ञापन-बीसी 100-225-123

बड़ी संख्या में सुविधाओं के साथ एसोसिएशन गुणांक (संयुग्मन गुणांक) की गणना संबंधित क्रम के समान मैट्रिक्स का उपयोग करके गणना से जुड़ी होती है।

विभिन्न सामाजिक-आर्थिक घटनाओं का अध्ययन करते समय, कार्यात्मक संबंध और स्टोकेस्टिक निर्भरता को प्रतिष्ठित किया जाता है। एक कार्यात्मक संबंध एक प्रकार का संबंध है जिसमें एक कारक संकेतक का दिया गया मान प्रभावी संकेतक के केवल एक मान से मेल खाता है। कार्यात्मक संबंध अध्ययन के सभी मामलों में और विश्लेषण की गई आबादी की प्रत्येक विशिष्ट इकाई के लिए प्रकट होता है।

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मामले में जब कारण निर्भरता प्रत्येक विशिष्ट मामले में संचालित नहीं होती है, लेकिन सामान्य तौर पर संपूर्ण देखी गई आबादी के लिए, एक महत्वपूर्ण संख्या में टिप्पणियों के लिए औसत, तो ऐसी निर्भरता स्टोकेस्टिक है। स्टोकेस्टिक निर्भरता का एक विशेष मामला एक सहसंबंध है, जिसमें प्रभावी संकेतक के औसत मूल्य में परिवर्तन कारक संकेतकों के मूल्यों में बदलाव के कारण होता है। निकटता की डिग्री और संचार की दिशा की गणना अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण कार्य है और मात्रा का ठहरावविभिन्न सामाजिक-आर्थिक घटनाओं का संबंध। विभिन्न संकेतकों के बीच संबंध की निकटता की डिग्री निर्धारित करने के लिए एक में परिवर्तन (युग्मित निर्भरताओं के अध्ययन के मामले में) या कई की भिन्नता (मामले में) से परिणामी संकेत में परिवर्तन के अनुपात के स्तर को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। कई निर्भरताओं के अध्ययन के) संकेत-कारक। इस स्तर को निर्धारित करने के लिए, सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है।

रैखिक सहसंबंध गुणांक पहली बार 1990 के दशक की शुरुआत में पेश किया गया था। 19 वी सदी पियर्सन द्वारा किया गया था और दो सहसंबद्ध कारकों के बीच संबंध की दिशा और जकड़न की डिग्री को दिखाता है कि उनके बीच एक रैखिक संबंध है। रैखिक सहसंबंध गुणांक के प्राप्त मूल्य की व्याख्या करते समय, संकेतों के बीच संबंध की निकटता की डिग्री का मूल्यांकन चाडॉक पैमाने पर किया जाता है, इस पैमाने के विकल्पों में से एक नीचे दी गई तालिका में दिया गया है:

संचार की निकटता की डिग्री के मात्रात्मक मूल्यांकन के लिए चाडॉक स्केल

कनेक्शन की निकटता के संकेतक का मूल्य

रिश्ते की प्रकृति

लगभग अनुपस्थित

संतुलित

कनेक्शन की दिशा में रैखिक सहसंबंध गुणांक के मूल्य की व्याख्या करते समय, प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम को प्रतिष्ठित किया जाता है। एक कारक विशेषता के मूल्य में वृद्धि या कमी के साथ सीधे संबंध के मामले में, प्रभावी विशेषता के संकेतकों में वृद्धि या कमी होती है, अर्थात। कारक और परिणाम एक ही दिशा में बदलते हैं। उदाहरण के लिए, लाभ की मात्रा में वृद्धि लाभप्रदता संकेतकों के विकास में योगदान करती है। प्रतिक्रिया की उपस्थिति में, परिणामी विशेषता के मान कारक विशेषता के प्रभाव में बदलते हैं, लेकिन कारक विशेषता की गतिशीलता की तुलना में विपरीत दिशा में। उदाहरण के लिए, श्रम उत्पादकता में वृद्धि के साथ, उत्पादन की इकाई लागत घट जाती है, आदि।