गणित में, जड़ें वर्गाकार, घन, या कोई अन्य घातांक (शक्ति) हो सकती हैं, जो मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को मूल व्यंजक कहते हैं। रूट जोड़ टर्म एडिशन के समान है। बीजगणतीय अभिव्यक्ति, अर्थात्, इसे समान जड़ों की परिभाषा की आवश्यकता है।

कदम

2 का भाग 1 : जड़ों का पता लगाना

जड़ पदनाम।मूल चिह्न () के तहत एक अभिव्यक्ति का अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति से एक निश्चित डिग्री की जड़ निकालना आवश्यक है।

• जड़ को एक चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है।
• जड़ का सूचकांक (डिग्री) मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, 27 का घनमूल इस प्रकार लिखा जाता है: (27)
• यदि मूल का घातांक (डिग्री) अनुपस्थित हो, तो घातांक को 2 के बराबर माना जाता है, अर्थात यह वर्गमूल (या दूसरी डिग्री का मूल) होता है।
• मूल चिह्न से पहले लिखी गई संख्या को गुणक कहा जाता है (अर्थात इस संख्या को मूल से गुणा किया जाता है), उदाहरण के लिए 5 (2)
• यदि मूल के सामने कोई गुणनखंड नहीं है, तो यह 1 के बराबर है (याद रखें कि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं के बराबर होती है)।
• यदि आप पहली बार जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, तो मूल के गुणक और घातांक पर उपयुक्त नोट्स बनाएं ताकि भ्रमित न हों और उनके उद्देश्य को बेहतर ढंग से समझ सकें।

याद रखें कि किन जड़ों को मोड़ा जा सकता है और कौन सी नहीं।जैसे आप किसी व्यंजक के भिन्न-भिन्न पदों को नहीं जोड़ सकते, जैसे कि 2a + 2b 4ab, आप भिन्न मूल नहीं जोड़ सकते।

आप भिन्न मूल व्यंजकों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, उदाहरण के लिए, (2) + (3) (5)। लेकिन आप एक ही मूल के अंतर्गत संख्याएँ जोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए, (2 + 3) = (5) (2 का वर्गमूल लगभग 1.414 है, 3 का वर्गमूल लगभग 1.732 है, और 5 का वर्गमूल लगभग 2.236 है) )

आप समान मूल भावों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, लेकिन विभिन्न घातांक, उदाहरण के लिए, (64) + (64) (यह योग (64) के बराबर नहीं है, क्योंकि 64 का वर्गमूल 8 है, 64 का घनमूल है 4, 8 + 4 = 12, जो 64 के पांचवें मूल से काफी बड़ा है, जो लगभग 2.297 है)।

भाग 2 का 2: सरलीकरण और जड़ें जोड़ना

समान जड़ों को पहचानें और समूहित करें।समान जड़ें वे जड़ें होती हैं जिनमें समान घातांक और समान मूल भाव होते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• सबसे पहले, व्यंजक को फिर से लिखिए ताकि समान घातांक वाले मूल श्रृंखला में हों।
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• फिर व्यंजक को फिर से लिखें ताकि समान घातांक और समान मूल व्यंजक वाले मूल श्रृंखला में हों।
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

अपनी जड़ों को सरल बनाएं।ऐसा करने के लिए, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को दो कारकों में विघटित (जहां संभव हो) करें, जिनमें से एक को जड़ के नीचे से निकाला जाता है। इस मामले में, प्रदान की गई संख्या और मूल कारक को गुणा किया जाता है।

ऊपर के उदाहरण में, गुणनखंड 50 गुणा 2*25 और संख्या 32 गुणा 2*16. 25 और 16 से, आप वर्गमूल निकाल सकते हैं (क्रमशः 5 और 4) और जड़ के नीचे से 5 और 4 निकाल सकते हैं, उन्हें क्रमशः गुणनखंड 2 और 1 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आपको एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

संख्या 81 को 3 * 27 में विभाजित किया जा सकता है, और 3 का घनमूल संख्या 27 से लिया जा सकता है। इस संख्या 3 को मूल के नीचे से निकाला जा सकता है। इस प्रकार, आपको और भी अधिक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

समान मूलों के गुणनखंडों को जोड़ें।हमारे उदाहरण में, 2 के समान वर्गमूल हैं (उन्हें जोड़ा जा सकता है) और 3 के समान वर्गमूल (उन्हें भी जोड़ा जा सकता है)। पर घनमूल 3 में से ऐसी कोई जड़ें नहीं हैं।

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

अंतिम सरलीकृत अभिव्यक्ति: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• किसी व्यंजक में मूल लिखे जाने के क्रम के लिए आम तौर पर स्वीकृत नियम नहीं हैं। इसलिए, आप मूलों को उनके घातांक के आरोही क्रम में और मूल भावों के आरोही क्रम में लिख सकते हैं।

ध्यान दें, केवल आज!

सभी दिलचस्प

मूल चिह्न के नीचे की संख्या अक्सर समीकरण के समाधान में हस्तक्षेप करती है, इसके साथ काम करना असुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि अगर इसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, भिन्नात्मक, या एक निश्चित डिग्री के पूर्णांक के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, तो कोई इसे प्राप्त करने का प्रयास कर सकता है ...

किसी संख्या x का एक मूल एक संख्या है, जिसे जब मूल की घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह x के बराबर होगी। गुणक वह संख्या है जिसे गुणा किया जा रहा है। यानी, x*ª-&radic-y जैसे एक्सप्रेशन में, आपको रूट के नीचे x जोड़ना होगा। निर्देश 1 डिग्री निर्धारित करें ...

यदि मूल अभिव्यक्ति में चर के साथ गणितीय कार्यों का एक सेट होता है, तो कभी-कभी, इसके सरलीकरण के परिणामस्वरूप, अपेक्षाकृत सरल मूल्य प्राप्त करना संभव होता है, जिसका कुछ हिस्सा रूट के नीचे से निकाला जा सकता है। यह सरलीकरण उपयोगी है ...

विभिन्न डिग्री की जड़ों के साथ अंकगणितीय संचालन भौतिकी और प्रौद्योगिकी में गणना को बहुत सरल बना सकते हैं और उन्हें अधिक सटीक बना सकते हैं। गुणा और भाग करते समय, प्रत्येक कारक या लाभांश और भाजक से जड़ निकालना अधिक सुविधाजनक नहीं होता है, लेकिन पहले ...

संख्या x का वर्गमूल संख्या a है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर संख्या x: a * a = a^2 = x, x = a प्राप्त होती है। किसी भी संख्या की तरह, आप वर्गमूलों पर जोड़ और घटाव की अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं। निर्देश...

गणित में एक मूल के दो अर्थ हो सकते हैं: यह एक अंकगणितीय संक्रिया है और एक समीकरण, बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, अंतर, या किसी अन्य का प्रत्येक समाधान है। निर्देश 1 संख्या a के n-वें अंश का मूल एक ऐसी संख्या है जो...

जड़ों के साथ विभिन्न अंकगणितीय संचालन करते समय, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को बदलने में सक्षम होना अक्सर आवश्यक होता है। गणना को सरल बनाने के लिए, कारक को रेडिकल के संकेत से बाहर निकालना या उसके नीचे रखना आवश्यक हो सकता है। यह कार्रवाई कर सकते हैं...

रूट एक आइकन है जो ऐसी संख्या को खोजने के गणितीय संचालन को दर्शाता है, जिसे मूल चिह्न से पहले इंगित की गई डिग्री तक बढ़ाना चाहिए, इस संकेत के तहत इंगित संख्या देना चाहिए। अक्सर उन समस्याओं के समाधान के लिए...

गणितीय विज्ञान में जड़ का चिन्ह जड़ों का प्रतीक है। मूल चिह्न के नीचे की संख्या को मूलक व्यंजक कहते हैं। घातांक की अनुपस्थिति में, मूल एक वर्ग है, अन्यथा आकृति इंगित करती है ...

अंकगणितीय जड़ nth डिग्रीवास्तविक संख्या a से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या x कहलाती है, nth डिग्रीजो संख्या a के बराबर है। वे। (एन) ए = एक्स, एक्स ^ एन = ए। अस्तित्व विभिन्न तरीकेएक अंकगणितीय मूल और एक परिमेय संख्या का योग...

वास्तविक संख्या a का n-वें मूल एक संख्या b है जिसके लिए समानता b^n = a सत्य है। ऋणात्मक और . के लिए विषम कोटि के मूल मौजूद हैं सकारात्मक संख्या, और सम डिग्री की जड़ें केवल सकारात्मक लोगों के लिए होती हैं।…

विषय:

वर्गमूलों को जोड़ना और घटाना तभी संभव है जब उनका मूल व्यंजक समान हो, यानी आप 2√3 और 4√3 को जोड़ या घटा सकते हैं, लेकिन 2√3 और 2√5 नहीं। आप मूल व्यंजक को समान मूलक व्यंजक के साथ मूल में बदलने के लिए सरल कर सकते हैं (और फिर उन्हें जोड़ या घटा सकते हैं)।

कदम

भाग 1 मूल बातें समझना

1. 1 (मूल के चिन्ह के नीचे अभिव्यक्ति)।ऐसा करने के लिए, मूल संख्या को दो कारकों में विभाजित करें, जिनमें से एक वर्ग संख्या है (एक संख्या जिसमें से पूरी जड़ निकाली जा सकती है, उदाहरण के लिए, 25 या 9)। उसके बाद, वर्ग संख्या का मूल लें और मूल चिह्न के सामने पाया गया मान लिखें (दूसरा कारक मूल चिह्न के नीचे रहेगा)। उदाहरण के लिए, 6√50 - 2√8 + 5√12। मूल चिह्न के सामने की संख्याएँ संगत मूलों के गुणनखंड हैं, और मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ मूल संख्याएँ (व्यंजक) हैं। यहाँ इस समस्या को हल करने का तरीका बताया गया है:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2। यहां आप 50 को गुणनखंड 25 और 2 में रखते हैं; फिर 25 में से 5 के बराबर जड़ निकालो, और जड़ के नीचे से 5 निकालो। फिर 5 को 6 से गुणा करें (मूल पर गुणनखंड) और 30√2 प्राप्त करें।
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2। यहां आप 8 को गुणनखंड 4 और 2 में रखते हैं; फिर 4 में से आप 2 के बराबर जड़ निकाल लें, और जड़ के नीचे से 2 निकाल लें। फिर आप 2 को 2 से गुणा करते हैं (मूल पर गुणनखंड) और आपको 4√2 मिलता है।
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3। यहां आप 12 को गुणनखंड 4 और 3 में रखते हैं; फिर 4 में से आप 2 के बराबर जड़ निकाल लें, और जड़ के नीचे से 2 निकाल लें। फिर आप 2 को 5 से गुणा करते हैं (मूल पर गुणनखंड) और आपको 10√3 मिलता है।
2. 2 उन मूलों को रेखांकित कीजिए जिनके मूल व्यंजक समान हैं।हमारे उदाहरण में, सरलीकृत व्यंजक है: 30√2 - 4√2 + 10√3। इसमें आपको पहले और दूसरे टर्म को अंडरलाइन करना होगा ( 30√2 तथा 4√2 ), क्योंकि उनका मूल संख्या 2 समान है। केवल ऐसे मूल ही आप जोड़ और घटा सकते हैं।
3. 3 यदि आपको बड़ी संख्या में पदों के साथ एक अभिव्यक्ति दी गई है, जिनमें से कई में समान मूल अभिव्यक्तियां हैं, तो इस अभिव्यक्ति को हल करना आसान बनाने के लिए ऐसे शब्दों को इंगित करने के लिए सिंगल, डबल, ट्रिपल अंडरस्कोर का उपयोग करें।
4. 4 उन मूलों पर जिनके मूलांक समान हैं, मूल चिह्न के सामने गुणनखंड जोड़ें या घटाएं, और मूलांक व्यंजक को वही रहने दें (मूलांकों को जोड़ें या घटाएं नहीं!) विचार यह दिखाने के लिए है कि इस अभिव्यक्ति में एक निश्चित कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के साथ कितनी जड़ें हैं।
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

भाग 2 उदाहरणों के साथ अभ्यास करना

1. 1 उदाहरण 1: √(45) + 4√5.
   • (45) को सरल कीजिए। कारक 45: (45) = √(9 x 5)।
   • जड़ के नीचे से 3 को बाहर निकालें (√9 = 3): (45) = 3√5।
   • अब गुणनखंडों को मूल में जोड़ें: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 उदाहरण 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • 6√(40) को सरल कीजिए। कारक 40: 6√(40) = 6√(4 x 10)।
   • जड़ के नीचे से 2 को बाहर निकालें (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10।
   • मूल से पहले गुणनखंडों को गुणा करें और 12√10 प्राप्त करें।
   • अब व्यंजक को 12√10 - 3√(10) + √5 के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि पहले दो पदों में समान मूलांक हैं, आप पहले से दूसरे पद को घटा सकते हैं, और पहले को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।
   • आप प्राप्त करेंगे: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + 5।
3. 3 उदाहरण 3 9√5 -2√3 - 4√5। यहां, किसी भी मूल भाव को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने से काम नहीं चलेगा। आप तीसरे पद को पहले से घटा सकते हैं (क्योंकि उनके पास एक ही मूल संख्या है) और दूसरे पद को अपरिवर्तित छोड़ दें। आप प्राप्त करेंगे: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3।
4. 4 उदाहरण 4 √9 + √4 - 3√2.
   • 9 = (3 x 3) = 3.
   • 4 = (2 x 2) = 2.
   • अब आप केवल 3 + 2 जोड़कर 5 प्राप्त कर सकते हैं।
   • अंतिम उत्तर: 5 - 3√2।
5. 5 उदाहरण 5एक व्यंजक को हल करें जिसमें मूल और भिन्न हों। आप केवल उन भिन्नों को जोड़ और परिकलित कर सकते हैं जिनमें एक समान (समान) हर होता है। व्यंजक (√2)/4 + (√2)/2 दिया गया है।
   • इन भिन्नों का सबसे छोटा सार्व भाजक ज्ञात कीजिए। यह एक ऐसी संख्या है जो प्रत्येक हर से समान रूप से विभाज्य है। हमारे उदाहरण में, संख्या 4, 4 और 2 से विभाज्य है।
   • अब दूसरे भिन्न को 2/2 से गुणा करें (इसे एक सामान्य हर में लाने के लिए; पहले अंश को पहले ही घटा दिया गया है): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4।
   • अंशों को जोड़ें और हर को वही छोड़ दें: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• मूल जोड़ने या घटाने से पहले, मूल भावों को सरल (यदि संभव हो) करना सुनिश्चित करें।

चेतावनी

• अलग-अलग मूल भावों के साथ जड़ों को कभी भी जोड़ें या घटाएं नहीं।
• उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक और एक रूट को कभी भी जोड़ें या घटाएं नहीं, 3 + (2x) 1/2 .
  • नोट: "x" से दूसरी घात और "x" का वर्गमूल एक ही चीज़ है (अर्थात x 1/2 = x)।

जड़ सूत्र। वर्गमूल के गुण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इस सब के बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियम- यह अनिवार्य रूप से वही बात है। के लिए सूत्र वर्गमूलआश्चर्यजनक रूप से छोटा। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! इसके बजाय, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां...

आइए सबसे सरल से शुरू करें। वहाँ है वो:

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

विषय:

गणित में, जड़ें वर्गाकार, घन, या कोई अन्य घातांक (शक्ति) हो सकती हैं, जो मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को मूल व्यंजक कहते हैं। जड़ों का योग एक बीजीय व्यंजक के पदों के योग के समान है, अर्थात इसके लिए समान मूलों की परिभाषा की आवश्यकता होती है।

कदम

भाग 1 जड़ें ढूँढना

1. 1 जड़ पदनाम।मूल चिह्न (√) के तहत एक अभिव्यक्ति का अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति से एक निश्चित डिग्री की जड़ निकालना आवश्यक है।
   • मूल को चिन्ह से दर्शाया जाता है।
   • जड़ का सूचकांक (डिग्री) मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, 27 का घनमूल इस प्रकार लिखा जाता है: 3 (27)
   • यदि मूल का घातांक (डिग्री) अनुपस्थित हो, तो घातांक को 2 के बराबर माना जाता है, अर्थात यह वर्गमूल (या दूसरी डिग्री का मूल) होता है।
   • मूल चिह्न से पहले लिखी गई संख्या को गुणनखंड कहते हैं (अर्थात इस संख्या को मूल से गुणा किया जाता है), उदाहरण के लिए 5√ (2)
   • यदि मूल के सामने कोई गुणनखंड नहीं है, तो यह 1 के बराबर है (याद रखें कि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं के बराबर होती है)।
   • यदि आप पहली बार जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, तो मूल के गुणक और घातांक पर उपयुक्त नोट्स बनाएं ताकि भ्रमित न हों और उनके उद्देश्य को बेहतर ढंग से समझ सकें।
2. 2 याद रखें कि किन जड़ों को मोड़ा जा सकता है और कौन सी नहीं।जैसे आप व्यंजक के विभिन्न पदों को नहीं जोड़ सकते, उदाहरण के लिए, 2a + 2b 4ab, आप भिन्न मूल नहीं जोड़ सकते।
   • आप विभिन्न मूल भावों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, उदाहरण के लिए, (2) + √(3) (5)। लेकिन आप एक ही मूल के अंतर्गत संख्याएँ जोड़ सकते हैं, जैसे (2 + 3) = (5) (2 का वर्गमूल लगभग 1.414 है, 3 का वर्गमूल लगभग 1.732 है, और 5 का वर्गमूल लगभग 2.236 है) ) .
   • आप समान मूल भावों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, लेकिन विभिन्न घातांक, उदाहरण के लिए, (64) + 3 √ (64) (यह योग 5 (64) के बराबर नहीं है, क्योंकि 64 का वर्गमूल 8 है, 64 का घनमूल 4 , 8 + 4 = 12 है, जो 64 के पांचवें मूल से काफी बड़ा है, जो लगभग 2.297 है)।

भाग 2 जड़ों को सरल बनाना और जोड़ना

1. 1 समान जड़ों को पहचानें और समूहित करें।समान जड़ें वे जड़ें होती हैं जिनमें समान घातांक और समान मूल भाव होते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • सबसे पहले, व्यंजक को फिर से लिखिए ताकि समान घातांक वाले मूल श्रृंखला में हों।
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • फिर व्यंजक को फिर से लिखें ताकि समान घातांक और समान मूल व्यंजक वाले मूल श्रृंखला में हों।
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 अपनी जड़ों को सरल बनाएं।ऐसा करने के लिए, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को दो कारकों में विघटित (जहां संभव हो) करें, जिनमें से एक को जड़ के नीचे से निकाला जाता है। इस मामले में, प्रदान की गई संख्या और मूल कारक को गुणा किया जाता है।
   • ऊपर के उदाहरण में, गुणनखंड 50 गुणा 2*25 और संख्या 32 गुणा 2*16. 25 और 16 से, आप वर्गमूल निकाल सकते हैं (क्रमशः 5 और 4) और जड़ के नीचे से 5 और 4 निकाल सकते हैं, क्रमशः उन्हें गुणनखंड 2 और 1 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आपको एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 (81)
   • संख्या 81 को 3 * 27 में विभाजित किया जा सकता है, और 3 का घनमूल संख्या 27 से लिया जा सकता है। इस संख्या 3 को मूल के नीचे से निकाला जा सकता है। इस प्रकार, आपको और भी अधिक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 (3)
3. 3 समान मूलों के गुणनखंडों को जोड़ें।हमारे उदाहरण में, 2 के समान वर्गमूल हैं (उन्हें जोड़ा जा सकता है) और 3 के समान वर्गमूल (उन्हें भी जोड़ा जा सकता है)। 3 के घनमूल की ऐसी कोई जड़ नहीं होती।
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • अंतिम सरलीकृत व्यंजक: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 (3)

• किसी व्यंजक में मूल लिखे जाने के क्रम के लिए आम तौर पर स्वीकृत नियम नहीं हैं। इसलिए, आप मूलों को उनके घातांक के आरोही क्रम में और मूल भावों के आरोही क्रम में लिख सकते हैं।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो मजबूत हैं "बहुत नहीं। »
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम। "")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इस सब के बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियममूलतः एक ही चीज हैं। वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कुछ सूत्र हैं। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! इसके बजाय, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां।

आइए सबसे सरल से शुरू करें। वहाँ है वो:

मैं आपको याद दिलाता हूं (पिछले पाठ से): ए और बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं! अन्यथा, सूत्र का कोई मतलब नहीं है।

जड़ों का यह गुण, जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल, संक्षिप्त और हानिरहित। लेकिन इस मूल सूत्र से आप बहुत सारे उपयोगी काम कर सकते हैं! आइए एक नजर डालते हैं उदाहरणये सभी उपयोगी चीजें।

उपयोगी बातपहला। यह सूत्र हमें अनुमति देता है जड़ों को गुणा करें.

जड़ों को कैसे गुणा करें?

हाँ, बहुत सरल। सीधे सूत्र पर। उदाहरण के लिए:

ऐसा लगता है कि उन्होंने गुणा किया है, तो क्या? क्या बहुत खुशी है? मैं सहमत हूँ, थोड़ा। लेकिन आपको यह कैसी लगी उदाहरण?

जड़ों को कारकों से बिल्कुल नहीं निकाला जाता है। और परिणाम बहुत अच्छा है! पहले से बेहतर, है ना? बस मामले में, मैं आपको सूचित करूंगा कि आप जितने चाहें उतने गुणक हो सकते हैं। मूल गुणन सूत्र अभी भी काम करता है। उदाहरण के लिए:

तो, गुणा के साथ, सब कुछ स्पष्ट है कि इसकी आवश्यकता क्यों है जड़ों की संपत्ति- भी समझ में आता है।

उपयोगी बात दूसरी। जड़ के चिह्न के नीचे एक संख्या दर्ज करना।

रूट के नीचे एक नंबर कैसे दर्ज करें?

मान लें कि हमारे पास यह अभिव्यक्ति है:

क्या ड्यूस को जड़ के अंदर छिपाना संभव है? सरलता! यदि आप दो में से एक जड़ बनाते हैं, तो जड़ों को गुणा करने का सूत्र काम करेगा। और ड्यूस से जड़ कैसे बनाएं? हाँ, यह भी कोई सवाल नहीं है! डबल है चार . का वर्गमूल!

वैसे, रूट किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या से बनाया जा सकता है! यह इस संख्या के वर्ग का वर्गमूल होगा। 3 9 की जड़ है। 8 64 की जड़ है। 11 121 की जड़ है। ठीक है, और इसी तरह।

बेशक, इस तरह के विवरण में पेंट करने की कोई आवश्यकता नहीं है। सिवाय, शुरुआत के लिए। यह महसूस करने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या को मूल से गुणा किया जा सकता है, जड़ के नीचे लाया जा सकता है। लेकिन मत भूलना! - रूट के नीचे यह नंबर बन जाएगा वर्गवह स्वयं। यह क्रिया - जड़ के नीचे एक संख्या दर्ज करना - को जड़ से किसी संख्या को गुणा करना भी कहा जा सकता है। सामान्य शब्दों में, कोई लिख सकता है:

प्रक्रिया सरल है, जैसा कि आप देख सकते हैं। उसकी आवश्यकता क्यों है?

किसी भी परिवर्तन की तरह, यह प्रक्रिया हमारी संभावनाओं का विस्तार करती है। एक क्रूर और असहज अभिव्यक्ति को नरम और भुलक्कड़ में बदलने के अवसर)। यहाँ आपके लिए एक सरल है उदाहरण:

जैसा कि आप देख सकते हैं मूल संपत्ति,जो मूल के चिन्ह के तहत एक कारक को पेश करना संभव बनाता है, सरलीकरण के लिए काफी उपयुक्त है।

इसके अलावा, जड़ के नीचे गुणक जोड़ने से विभिन्न जड़ों के मूल्यों की तुलना करना आसान और सरल हो जाता है। बिना किसी गणना और कैलकुलेटर के! तीसरी उपयोगी बात।

जड़ों की तुलना कैसे करें?

मॉड्यूल, और अन्य अच्छी चीजों को अनलॉक करते समय, ठोस मिशनों में यह कौशल बहुत महत्वपूर्ण है।

इन अभिव्यक्तियों की तुलना करें। कौन सा अधिक है? कैलकुलेटर के बिना! कैलकुलेटर के साथ प्रत्येक। उह उह। संक्षेप में, हर कोई इसे कर सकता है!)

आप तुरंत ऐसा नहीं कहते। और अगर आप रूट के साइन के तहत नंबर एंटर करते हैं?

याद रखें (अचानक, नहीं पता था?): यदि मूल के चिन्ह के नीचे की संख्या अधिक है, तो जड़ ही अधिक है! इसलिए बिना किसी जटिल गणना और गणना के तुरंत सही उत्तर:

यह बढ़िया है, है ना? लेकिन वह सब नहीं है! याद रखें कि सभी सूत्र बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करते हैं। हमने अब तक जड़ों को बाएँ से दाएँ गुणा करने के सूत्र का उपयोग किया है। आइए इस रूट प्रॉपर्टी को पीछे की ओर दाएं से बाएं चलाएं। ऐशे ही:

और क्या अंतर है? क्या यह आपको कुछ देता है !? बेशक! अब आप खुद देख लेंगे।

मान लीजिए हमें निकालने की जरूरत है (कैलकुलेटर के बिना!) संख्या 6561 का वर्गमूल। इस स्तर पर कुछ लोग कार्य के साथ एक असमान संघर्ष में पड़ेंगे। लेकिन हम जिद्दी हैं, हम हार नहीं मानते! उपयोगी बात चौथी।

बड़ी संख्या से जड़ें कैसे निकालें?

हम किसी उत्पाद से जड़ें निकालने का सूत्र याद करते हैं। जिसे मैंने ऊपर पोस्ट किया है। लेकिन हमारा काम कहां है? हमारे पास बड़ी संख्या 6561 है और बस इतना ही। हां, कोई कला नहीं है। लेकिन अगर हमें इसकी जरूरत है, तो हम चलो करें! आइए इस संख्या को कारक करें। हमें अधिकार है।

सबसे पहले, आइए जानें कि यह संख्या वास्तव में किससे विभाज्य है? क्य़ा नही जानता!? क्या आप विभाज्यता के लक्षण भूल गए हैं !? व्यर्थ में। विशेष धारा 555 पर जाएँ, विषय "अंश", वहाँ वे हैं। यह संख्या 3 और 9 से विभाज्य है। क्योंकि अंकों का योग (6+5+6+1=18) इन संख्याओं से विभाज्य है। यह विभाज्यता के संकेतों में से एक है। हमें तीन से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है (अब आप समझेंगे क्यों), लेकिन हम 9 से विभाजित करेंगे। कम से कम एक कोने में। हमें 729 मिलते हैं। तो हमें दो गुणनखंड मिले! पहला एक नौ है (हमने इसे स्वयं चुना है), और दूसरा 729 है (यह इस तरह निकला)। आप पहले से ही लिख सकते हैं:

विचार प्राप्त करें? आइए 729 नंबर के साथ भी ऐसा ही करें। यह 3 और 9 से भी विभाज्य है। फिर, हम 3 से विभाजित नहीं करते हैं, हम 9 से विभाजित करते हैं। हमें 81 मिलता है। और हम इस संख्या को जानते हैं! हम लिखते हैं:

सब कुछ आसान और सुरुचिपूर्ण निकला! जड़ को टुकड़े-टुकड़े करके निकालना पड़ा, ठीक है, ठीक है। यह किसी भी बड़ी संख्या के साथ किया जा सकता है। उन्हें गुणा करें, और जाओ!

वैसे, आपको 3 से विभाजित क्यों नहीं करना पड़ा, क्या आपने अनुमान लगाया? हाँ, क्योंकि तीन की जड़ बिल्कुल नहीं निकाली जाती है! ऐसे कारकों में विघटित होना समझ में आता है कि कम से कम एक जड़ को अच्छी तरह से निकाला जा सके। यह 4, 9, 16 अच्छी तरह से है, और इसी तरह। अपनी बड़ी संख्या को इन संख्याओं से विभाजित करें, आप देखते हैं, और आप भाग्यशाली हैं!

लेकिन जरूरी नहीं। शायद भाग्यशाली नहीं। मान लें कि संख्या 432, जब गुणनखंड किया जाता है और उत्पाद के लिए मूल सूत्र का उपयोग किया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम देगा:

अच्छी तरह से ठीक है। हमने वैसे भी अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है। गणित में सबसे ज्यादा छोड़ने का रिवाज है छोटी संख्यासंभव की। हल करने की प्रक्रिया में, सब कुछ उदाहरण पर निर्भर करता है (हो सकता है कि सब कुछ सरलीकरण के बिना कम हो जाए), लेकिन उत्तर में एक परिणाम देना आवश्यक है जिसे और सरल नहीं किया जा सकता है।

वैसे, क्या आप जानते हैं कि हमने अभी 432 के रूट के साथ क्या किया है?

हम जड़ के चिन्ह के नीचे से निकाले गए कारक ! यही इस ऑपरेशन को कहा जाता है। और फिर टास्क गिर जाएगा - " कारक को जड़ के चिह्न के नीचे से निकालें"लेकिन पुरुषों को पता भी नहीं है।) यहाँ आपके लिए एक और उपयोग है जड़ गुण।उपयोगी बात पांचवी।

गुणक को जड़ के नीचे से कैसे निकालें?

सरलता। रूट एक्सप्रेशन को फैक्टराइज़ करें और निकाले गए रूट्स को एक्सट्रेक्ट करें। हम देखो:

अलौकिक कुछ भी नहीं। सही गुणक चुनना महत्वपूर्ण है। यहां हमने 72 को 36 2 के रूप में विघटित किया है। और सब कुछ अच्छा निकला। या वे इसे अलग तरीके से विघटित कर सकते थे: 72 = 6 12. तो क्या!? न तो 6 से और न ही 12 में से जड़ निकाली जाती है। क्या करें?!

कोई बात नहीं। या अन्य अपघटन विकल्पों की तलाश करें, या सब कुछ रोकना जारी रखें! ऐशे ही:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काम कर गया। वैसे, यह सबसे तेज़ नहीं है, लेकिन सबसे विश्वसनीय तरीका है। सबसे छोटे कारकों में संख्या को विघटित करें, और फिर उसी को ढेर में इकट्ठा करें। असुविधाजनक जड़ों को गुणा करते समय विधि को सफलतापूर्वक लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपको गणना करने की आवश्यकता है:

सब कुछ गुणा करें - आपको एक पागल संख्या मिलती है! और फिर उससे जड़ कैसे निकाले ?! फिर से गुणा करें? नहीं, हमें अतिरिक्त काम की जरूरत नहीं है। हम तुरंत कारकों में विघटित हो जाते हैं और उन्हें ढेर में एकत्र करते हैं:

बस इतना ही। बेशक, स्टॉप पर लेटना आवश्यक नहीं है। सब कुछ आपकी व्यक्तिगत क्षमताओं से निर्धारित होता है। ऐसे राज्य में उदाहरण लाया जहां आपके लिए सब कुछ स्पष्ट हैतो आप पहले से ही गिन सकते हैं। मुख्य बात गलतियाँ नहीं करना है। गणित के लिए आदमी नहीं, आदमी के लिए गणित!)

आइए अभ्यास के लिए ज्ञान लागू करें? आइए एक साधारण से शुरू करें:

वर्गमूल जोड़ने का नियम

वर्गमूल के गुण

अब तक, हमने संख्याओं पर पाँच अंकगणितीय संक्रियाएँ की हैं: जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और घातांक, और इन संक्रियाओं के विभिन्न गुण गणनाओं में सक्रिय रूप से उपयोग किए गए थे, उदाहरण के लिए, a + b = b + a, और n -b n = (ab) n, आदि।

यह अध्याय एक नई संक्रिया का परिचय देता है - एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना। इसका सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा, जो हम इस खंड में करेंगे।

सबूत। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि ऋणात्मक संख्याएक्स, वाई, जेड, एक्स = yz।

तो x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b। फिर x 2 \u003d y 2 z 2, अर्थात x 2 \u003d (yz) 2.

यदि एक वर्गोंदो गैर-ऋणात्मक संख्याएँ समान हैं, फिर संख्याएँ स्वयं समान हैं, जिसका अर्थ है कि समानता x 2 \u003d (yz) 2 से यह x \u003d yz का अनुसरण करता है, और इसे साबित करना आवश्यक था।

हम प्रमेय के प्रमाण का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देते हैं:

टिप्पणी 1. प्रमेय उस मामले के लिए मान्य रहता है जब मूल अभिव्यक्ति दो से अधिक गैर-ऋणात्मक कारकों का उत्पाद है।

टिप्पणी 2. प्रमेय 1 "if" का उपयोग करके लिखा जा सकता है। , तब" (जैसा कि गणित में प्रमेयों के लिए प्रथागत है)। हम संगत सूत्रीकरण देते हैं: यदि a और b गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता .

इस प्रकार हम निम्नलिखित प्रमेय बनाते हैं।

(एक संक्षिप्त सूत्रीकरण जो व्यवहार में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है: एक अंश की जड़ जड़ों के अंश के बराबर होती है, या भागफल की जड़ जड़ों के भागफल के बराबर होती है।)

इस बार हम सबूत का केवल एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देंगे, और आप उन टिप्पणियों के समान उपयुक्त टिप्पणी करने का प्रयास कर सकते हैं जो प्रमेय 1 के सबूत का सार बनाते हैं।

उदाहरण 1. गणना करें।
समाधान। पहली संपत्ति का उपयोग करना वर्गमूल(प्रमेय 1), हम प्राप्त करते हैं

टिप्पणी 3. बेशक, इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, खासकर यदि आपके पास कैलकुलेटर है: संख्याओं को 36, 64, 9 से गुणा करें, और फिर परिणामी उत्पाद का वर्गमूल लें। हालांकि, आप इस बात से सहमत होंगे कि ऊपर प्रस्तावित समाधान अधिक सांस्कृतिक लगता है।

टिप्पणी 4. पहली विधि में, हमने हेड-ऑन गणनाएँ कीं। दूसरा तरीका अधिक सुरुचिपूर्ण है:
हमने आवेदन किया सूत्रए 2 - बी 2 \u003d (ए - बी) (ए + बी) और वर्गमूल की संपत्ति का इस्तेमाल किया।

टिप्पणी 5. कुछ "हॉटहेड्स" कभी-कभी उदाहरण 3 के लिए निम्नलिखित "समाधान" प्रदान करते हैं:

यह, निश्चित रूप से, सच नहीं है: आप देखते हैं, परिणाम हमारे उदाहरण 3 के समान नहीं है। तथ्य यह है कि कोई संपत्ति नहीं है नहीं और गुण के रूप में वर्गमूलों के गुणन और विभाजन से संबंधित केवल गुण हैं। सावधान और सावधान रहें, इच्छाधारी सोच न लें।

उदाहरण 4. गणना करें: ए)
समाधान। बीजगणित में किसी भी सूत्र का उपयोग न केवल "दाएं से बाएं", बल्कि "बाएं से दाएं" भी किया जाता है। तो, वर्गमूल की पहली संपत्ति का अर्थ है कि, यदि आवश्यक हो, तो इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत, जिसे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है वही वर्गमूल की दूसरी संपत्ति पर लागू होता है। इसे ध्यान में रखते हुए, प्रस्तावित उदाहरण को हल करते हैं।

पैराग्राफ को समाप्त करते हुए, हम एक और अधिक सरल और एक ही समय में महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान देते हैं:
अगर ए> 0 और एन - प्राकृतिक संख्या , फिर

उदाहरण 5गणना , संख्याओं के वर्गों की तालिका और कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना।

समाधान। आइए मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

टिप्पणी 6. इस उदाहरण को उसी तरह हल किया जा सकता है जैसे 15 में समान उदाहरण। यह अनुमान लगाना आसान है कि उत्तर "80 एक पूंछ के साथ" होगा, क्योंकि 80 2 2 । आइए "पूंछ", यानी वांछित संख्या का अंतिम अंक खोजें। अब तक हम जानते हैं कि यदि मूल निकाला जाता है, तो उत्तर 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 या 89 हो सकता है। केवल दो संख्याओं की जाँच करने की आवश्यकता है: 84 और 86, क्योंकि केवल वे, जब चुकता, परिणाम के रूप में देगा चार अंकों 6 में समाप्त होने वाली संख्या, अर्थात्। वही अंक जो 7056 की संख्या के साथ समाप्त होता है। हमारे पास 84 2 \u003d 7056 है - यही हमें चाहिए। माध्यम,

मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित. ग्रेड 8: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान। - तीसरा संस्करण।, अंतिम रूप दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2001. - 223 पी .: बीमार।

किताबें, गणित की पाठ्यपुस्तकें डाउनलोड, शिक्षक और छात्रों की मदद के लिए सार, ऑनलाइन सीखें

यदि आपके पास इस पाठ के लिए सुधार या सुझाव हैं, तो हमें लिखें।

यदि आप पाठों के लिए अन्य सुधार और सुझाव देखना चाहते हैं, तो यहां देखें - शिक्षा मंच।

वर्गमूल कैसे जोड़ें

किसी संख्या का वर्गमूल एक्सएक नंबर कहा जाता है ए, जो स्वयं को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया में ( ए*ए) एक नंबर दे सकते हैं एक्स.
वे। ए * ए = ए 2 = एक्स, तथा एक्स = ए.

वर्गमूल से अधिक ( x), अन्य संख्याओं की तरह, आप अंकगणितीय संक्रियाएँ जैसे घटाव और जोड़ कर सकते हैं। जड़ों को घटाने और जोड़ने के लिए, उन्हें इन क्रियाओं के अनुरूप संकेतों का उपयोग करके जोड़ा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए x - y ).
और फिर जड़ों को उनके पास ले आओ सबसे सरल तरीका- यदि उनके बीच समान हैं, तो एक कास्ट बनाना आवश्यक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि समान पदों के गुणांकों को संबंधित शब्दों के संकेतों के साथ लिया जाता है, फिर उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और सामान्य जड़ को गुणक कोष्ठक के बाहर प्रदर्शित किया जाता है। हमने जो गुणांक प्राप्त किया है वह सामान्य नियमों के अनुसार सरलीकृत है।

चरण 1. वर्गमूल निकालना

सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ने के लिए, आपको सबसे पहले इन जड़ों को निकालना होगा। यह तब किया जा सकता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, दिए गए व्यंजक को लें √4 + √9 . पहला नंबर 4 संख्या का वर्ग है 2 . दूसरा नंबर 9 संख्या का वर्ग है 3 . इस प्रकार, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जा सकती है: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
सब कुछ, उदाहरण हल हो गया है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है।

चरण 2. किसी संख्या के गुणक को मूल के नीचे से निकालना

यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आप मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक लें √24 + √54 .

आइए संख्याओं का गुणनखंड करें:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

सूची में 24 हमारे पास एक गुणक है 4 , इसे वर्गमूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। सूची में 54 हमारे पास एक गुणक है 9 .

हमें समानता मिलती है:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

इस उदाहरण पर विचार करते हुए, हम मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को हटाते हैं, जिससे दिए गए व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

चरण 3. हर को कम करना

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर होता है, उदाहरण के लिए, ए / (√a + √b).
अब हम "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के कार्य का सामना कर रहे हैं।
आइए निम्नलिखित विधि का प्रयोग करें: भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा करें a - b.

अब हम हर में संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करते हैं:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

इसी तरह, यदि हर में जड़ों का अंतर होता है: a - b, भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा किया जाता है a + b.

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

जटिल हर कमी का एक उदाहरण

अब हम हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के एक जटिल उदाहरण पर विचार करेंगे।

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें: 12 / (√2 + √3 + √5) .
आपको इसका अंश और हर लेना होगा और व्यंजक से गुणा करना होगा √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

चरण 4. कैलकुलेटर पर अनुमानित मूल्य की गणना करें

यदि आपको केवल एक अनुमानित मूल्य की आवश्यकता है, तो यह एक कैलकुलेटर पर वर्गमूल के मूल्य की गणना करके किया जा सकता है। अलग-अलग, प्रत्येक संख्या के लिए, मान की गणना और आवश्यक सटीकता के साथ दर्ज की जाती है, जो दशमलव स्थानों की संख्या से निर्धारित होती है। इसके अलावा, सभी आवश्यक संचालन सामान्य संख्याओं की तरह ही किए जाते हैं।

अनुमानित गणना उदाहरण

इस अभिव्यक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करना आवश्यक है √7 + √5 .

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में वर्गमूल को अभाज्य संख्याओं के रूप में नहीं जोड़ा जाना चाहिए, यह पूरी तरह से अस्वीकार्य है। यानी अगर आप पांच और तीन के वर्गमूल को जोड़ दें तो हमें आठ का वर्गमूल नहीं मिल सकता है।

उपयोगी सलाह: यदि आप किसी संख्या को गुणनखंड करने का निर्णय लेते हैं, तो मूल चिह्न के नीचे से एक वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको एक रिवर्स चेक करने की आवश्यकता है, अर्थात, गणनाओं के परिणामस्वरूप सभी कारकों को गुणा करें, और इसका अंतिम परिणाम गणितीय गणना वह संख्या होनी चाहिए जो हमें मूल रूप से दी गई थी।

जड़ों के साथ क्रिया: जोड़ और घटाव

किसी संख्या का वर्गमूल निकालना एकमात्र ऐसा ऑपरेशन नहीं है जिसे इस गणितीय घटना के साथ किया जा सकता है। सामान्य संख्याओं की तरह, वर्गमूलों को जोड़ा और घटाया जा सकता है।

वर्गमूल जोड़ने और घटाने के नियम

वर्गमूल को जोड़ने और घटाने जैसी क्रियाएं तभी संभव हैं जब मूल व्यंजक समान हो।

आप व्यंजकों को जोड़ या घटा सकते हैं 2 3 और 6 3, लेकिन नहीं 5 6 तथा 9 4. यदि व्यंजक को सरल बनाना और उसे समान मूल संख्या के साथ मूल में लाना संभव है, तो सरल करें, और फिर जोड़ें या घटाएं।

मूल क्रियाएँ: मूल बातें

6 50 — 2 8 + 5 12

1. मूल व्यंजक को सरल कीजिए. ऐसा करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को 2 कारकों में विघटित करना आवश्यक है, जिनमें से एक वर्ग संख्या है (वह संख्या जिससे पूरा वर्गमूल निकाला जाता है, उदाहरण के लिए, 25 या 9)।
2. फिर आपको वर्ग संख्या का मूल लेना होगाऔर परिणामी मान को मूल चिह्न से पहले लिखें। कृपया ध्यान दें कि दूसरा कारक रूट साइन के तहत दर्ज किया गया है।
3. सरलीकरण प्रक्रिया के बाद, जड़ों को समान मूल अभिव्यक्तियों के साथ रेखांकित करना आवश्यक है - केवल उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है।
4. समान मूल भाव वाले मूलों के लिए, मूल चिह्न से पहले के कारकों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। मूल अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। मूल संख्याओं को जोड़ें या घटाएं नहीं!

यदि आपके पास बड़ी संख्या में समान मूलक व्यंजकों के साथ एक उदाहरण है, तो गणना प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए ऐसे व्यंजकों को सिंगल, डबल और ट्रिपल लाइनों के साथ रेखांकित करें।

आइए इस उदाहरण को आजमाएं:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2। पहले आपको 50 को 2 गुणनखंड 25 और 2 में विघटित करने की आवश्यकता है, फिर 25 की जड़ लें, जो कि 5 है, और जड़ के नीचे से 5 निकाल लें। उसके बाद, आपको 5 को 6 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणक) और 30 2 प्राप्त करना होगा।

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2। सबसे पहले, आपको 8 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 2। फिर, 4 से, जड़ निकालें, जो 2 के बराबर है, और 2 को जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 2 से गुणा करना होगा (मूल का गुणनखंड) और 4 2 प्राप्त करना होगा।

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3। सबसे पहले, आपको 12 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 3। फिर जड़ को 4 से निकालें, जो कि 2 है, और इसे जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 5 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणनखंड) और 10 3 प्राप्त करना होगा।

सरलीकरण परिणाम: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

नतीजतन, हमने देखा कि इस उदाहरण में कितने समान मूल भाव निहित हैं। अब अन्य उदाहरणों के साथ अभ्यास करते हैं।

• सरल कीजिए (45)। हम 45: (45) = (9 × 5) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 3 निकालते हैं (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• हम गुणनखंडों को मूल में जोड़ते हैं: 3 5 + 4 5 = 7 5 ।
• 6 40 का सरलीकरण। हम 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 2 निकालते हैं (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• हम मूल के सामने वाले गुणनखंडों को गुणा करते हैं: 12 10;
• हम व्यंजक को सरलीकृत रूप में लिखते हैं: 12 10 - 3 10 + 5;
• चूँकि पहले दो पदों की मूल संख्याएँ समान हैं, इसलिए हम उन्हें घटा सकते हैं: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5।

जैसा कि हम देख सकते हैं, मूलांकों को सरल बनाना संभव नहीं है, इसलिए, उदाहरण में, हम समान मूलांक वाले सदस्यों की तलाश करते हैं, गणितीय संक्रियाएँ करते हैं (जोड़ें, घटाएँ, आदि) और परिणाम लिखें:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

सलाह:

• जोड़ने या घटाने से पहले, मूल भावों को सरल (यदि संभव हो) करना अनिवार्य है।
• विभिन्न मूल भावों के साथ जड़ों को जोड़ना और घटाना सख्त वर्जित है।
• किसी पूर्णांक या वर्गमूल को न जोड़ें या घटाएं: 3 + (2 x) 1/2 ।
• भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी जो प्रत्येक हर द्वारा पूरी तरह से विभाज्य हो, फिर भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं, फिर अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

अंकगणितीय वर्गमूल के गुण। अंकगणित वर्गमूल की शक्ति

अंकगणितीय वर्गमूलों को परिवर्तित करना। अंकगणितीय वर्गमूलों का रूपांतरण

निकालना एक बहुपद का वर्गमूल, बहुपद की गणना करना और परिणामी संख्या से मूल निकालना आवश्यक है।

ध्यान!प्रत्येक पद (घटाया और घटा) से अलग-अलग मूल निकालना असंभव है।

जीतने के लिए शोब बहुपद का वर्गमूल, आवश्यकता रिच टर्म की गणना करने के लिए और घटाई गई संख्या से रूट लेने के लिए है।

आदर!त्वचा के पूरक (बदली हुई और दिखाई देने वाली) OKremo से जड़ निकालना असंभव है।

उत्पाद का वर्गमूल निकालने के लिए (भागफल), आप प्रत्येक कारक (लाभांश और भाजक) के वर्गमूल की गणना कर सकते हैं, और उत्पाद (भागफल) द्वारा परिणामी मान ले सकते हैं।

दोबुतका (भागों) का वर्गमूल जीतने के लिए, आप त्वचा गुणक (विभाजित और दिलनिक) के वर्गमूल की गणना कर सकते हैं, और एक पूरक (लगातार) लेकर मान को हटा सकते हैं।

भिन्न का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको अंश और हर के वर्गमूल को अलग-अलग निकालने की आवश्यकता है, और परिणामी मानों को एक अंश के रूप में छोड़ दें या भागफल के रूप में गणना करें (यदि संभव हो तो शर्त के अनुसार)।

भिन्न का वर्गमूल जीतने के लिए, संख्या पुस्तक का वर्गमूल और ओकेरेमो का बैनर लेना आवश्यक है, और अंश के मूल्य को भिन्न से वंचित करना, या इसे एक भाग के रूप में गिनना (जैसा कि मन के लिए संभव है)।

एक गुणनखंड को मूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है और एक गुणनखंड को मूल चिह्न के नीचे रखा जा सकता है। जब कोई गुणक निकाल दिया जाता है, तो उसमें से जड़ निकाल ली जाती है, और जब पेश किया जाता है, तो उसे संबंधित शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है।

तीसरे मूल चिह्न को गुणा किया जा सकता है और मूल चिह्न को गुणा किया जा सकता है। गुणक की गलती से जड़ें मुड़ जाती हैं, और परिचय के साथ, जड़ें ऊंचे पैरों पर बन जाती हैं।

उदाहरण। आवेदन करना

वर्गमूलों के योग (अंतर) को परिवर्तित करने के लिए, आपको मूल भावों को डिग्री के एक आधार पर लाने की आवश्यकता है, यदि संभव हो तो, जड़ों को अंशों से निकालें और उन्हें जड़ों के संकेतों से पहले लिखें, और शेष वर्गमूलों के साथ वही मूल भाव जोड़े जा सकते हैं, जिसके लिए गुणांकों को साइन रूट से पहले जोड़ा जाता है और वही वर्गमूल जोड़ दिया जाता है।

वर्गमूलों के योग (लागत) का रीमेक बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल जड़ों को चरण के किसी एक आधार पर लाया जाए, जैसा कि संभव हो, चरणों की जड़ को लेकर उन्हें चिह्नों से पहले लिख लें। जड़ों, और वर्गमूलों का समाधान समान मूल शब्दों के साथ, जिसे मैं जोड़ सकता हूं और वही वर्गमूल जोड़ सकता हूं।

हम सभी मूल भावों को आधार 2 पर लाते हैं।

सम अंश से जड़ पूरी तरह से निकाली जाती है, विषम अंश से आधार की जड़ को अंश 1 में जड़ के चिह्न के नीचे छोड़ दिया जाता है।

हम समान पूर्णांक देते हैं और समान मूल वाले गुणांक जोड़ते हैं। हम द्विपद को एक संख्या के गुणनफल और योग के द्विपद के रूप में लिखते हैं।

विराज़ी की सभी उप-जड़ों को आधार 2 पर लाएं।

युग्मित अवस्था से, जड़ें एक पंक्ति में खींची जाती हैं, अयुग्मित अवस्था से, चरण 1 में आधार की जड़ें जड़ के चिन्ह के नीचे भरी जाती हैं।

यह सुझाव दिया जाता है कि समान संख्याओं और गुणांकों को एक ही मूल में जोड़ा जाता है। हम द्विपद को सूमी द्विपद की संख्या i के पूरक के रूप में लिखते हैं।

हम रेडिकल एक्सप्रेशन को सबसे छोटे आधार या सबसे छोटे आधार वाले घातों के गुणनफल पर लाते हैं। रेडिकल एक्सप्रेशन की सम डिग्री से, हम रूट निकालते हैं, शेष को 1 के इंडिकेटर के साथ डिग्री के बेस के रूप में या रूट के साइन के तहत ऐसे बेस के प्रोडक्ट के रूप में छोड़ देते हैं। हम समान पद देते हैं (समान मूलों के गुणांकों को जोड़ें)।

हम विराज़ी की जड़ को सबसे छोटे आधार तक ले जाते हैं या सबसे छोटे आधारों के साथ कदम जोड़ते हैं। विराज की जड़ों के नीचे जुड़वाँ चरणों से, जड़ ली जाती है, सूचक 1 के साथ चरण के आधार पर अधिकता, या ऐसे आधारों का जोड़ जड़ के चिन्ह के नीचे भरा जाता है। हम समान पदों का सुझाव देते हैं (हम समान मूलों के गुणांकों को जोड़ते हैं)।

आइए भिन्नों के विभाजन को गुणन से बदलें (दूसरे भिन्न के प्रतिस्थापन के साथ पारस्परिक)। अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करें। जड़ के प्रत्येक चिन्ह के नीचे, हम अंशों को हाइलाइट करते हैं। आइए अंश और हर में समान गुणनखंडों को रद्द करें। हम सम शक्तियों से जड़ें निकालते हैं।

हम अंशों के विभाजन को गुणन से बदल देते हैं (वापसी के साथ दूसरे अंश के प्रतिस्थापन के साथ)। ओकेरेमो संख्या और अंशों के बैनर गुणा करें। जड़ की त्वचा के निशान के नीचे कदम दिखाई दे रहे हैं। हम नंबर बुक और बैनर में समान गुणकों को गति देंगे। जुड़वां चरणों की जड़ को दोष दें।

दो वर्गमूलों की तुलना करने के लिए, उनके मूल भावों को एक ही आधार के साथ एक हद तक लाया जाना चाहिए, फिर कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की डिग्री जितनी अधिक दिखाई जाती हैं, अधिक मूल्यवर्गमूल।

इस उदाहरण में, मूल भाव को एक आधार तक कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले में आधार 3 है, और दूसरे में 3 और 7 है।

तुलना करने का दूसरा तरीका मूल कारक को मूल अभिव्यक्ति में जोड़ना और तुलना करना है संख्यात्मक मूल्यजड़ अभिव्यक्तियाँ। वर्गमूल के लिए, मूल व्यंजक जितना बड़ा होगा, मूल का मान उतना ही अधिक होगा।

दो वर्गमूलों का मिलान करने के लिए, उनके उप-मूलों को समान आधार के साथ एक स्तर पर लाया जाना चाहिए, जबकि वायरस के उप-मूल की डिग्री का संकेतक जितना अधिक होगा, वर्गमूल का मान उतना ही अधिक होगा।

इस मामले में, विराज़ी की जड़ जड़ों को एक आधार पर लाना संभव नहीं है, क्योंकि पहले एक में आधार 3 है, और दूसरे में - 3 और 7।

बराबर करने का एक और तरीका है कि रूट गुणांक को रूट वायरेज में जोड़ा जाए और रूट वायरेज के संख्यात्मक मानों को बराबर किया जाए। वर्गमूल में उप-मूल विराज जितना अधिक होता है, मूल का मान उतना ही अधिक होता है।

गुणन के वितरण नियम और समान घातांक (हमारे मामले में, वर्गमूल) के साथ जड़ों को गुणा करने के नियम का उपयोग करके, हमने मूल चिह्न के तहत उत्पाद के साथ दो वर्गमूलों का योग प्राप्त किया। हम 91 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं और उभयनिष्ठ मूलांक (13 * 5) वाले कोष्ठकों से जड़ निकालते हैं।

हमने एक मूल और एक द्विपद का गुणनफल प्राप्त किया है, जिसमें एक एकपदी एक पूर्णांक (1) है।

Vikoristovuyuchi rozpodilny गुणन का नियम और समान संकेतकों के साथ जड़ों के गुणन का नियम (हमारे मामले में - वर्गमूल), जड़ के संकेत के तहत एक अतिरिक्त जड़ के साथ दो वर्ग जड़ों का योग लिया। हम सरल शब्दों में 91 गुणक बिछा सकते हैं और मूल गुणकों (13 * 5) से मेहराब के लिए जड़ ले सकते हैं।

हमने एक रूट और एक बाइनरी का जोड़ लिया, जिसमें पूर्ण संख्या (1) में एक मोनोनोमियल है।

उदाहरण 9:

रेडिकल एक्सप्रेशन में, हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जिनसे हम पूरे वर्गमूल को निकाल सकते हैं। हम वर्गमूल को घातों से निकालते हैं और संख्याओं को वर्गमूल के गुणांकों द्वारा रखते हैं।

इस बहुपद के पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड √3 है, जिसे कोष्ठकों से निकाला जा सकता है। आइए हम इसी तरह की शर्तों को प्रस्तुत करते हैं।

सब-रूट virases में, इसे उस संख्या के गुणक के रूप में देखा जाता है, जिससे कोई व्यक्ति वर्गमूल ले सकता है। हम चरणों के वर्गमूल को दोष देते हैं और संख्याओं को वर्गमूलों के गुणांकों से लगाते हैं।

इस बहुपद की शर्तों में एक सामान्य गुणक 3 है, जिसे हथियारों के लिए दोषी ठहराया जा सकता है। हम इसी तरह के अतिरिक्त सुझाव देते हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र के अनुसार दो समान आधारों (3 और √5) के योग और अंतर के गुणनफल को आधारों के वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।

वर्गमूल का वर्ग हमेशा मूलांक के बराबर होता है, इसलिए हम व्यंजक में मूलांक (मूल चिह्न) से छुटकारा पाएंगे।

दोबुटोक योग और दो समान आधारों के अंतर (3 में 5) को तेजी से गुणा के सूत्र से वर्ग आधारों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।

वर्ग zavzhd का वर्गमूल उप-मूल virase के बराबर है, इसलिए हम virase का मूल (मूल चिह्न) कहेंगे।

वापस स्कूल। जड़ों का जोड़

आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के हमारे समय में, किसी संख्या की जड़ की गणना करना कोई मुश्किल काम नहीं है। उदाहरण के लिए, 2704=52, कोई भी कैलकुलेटर आपके लिए इसकी गणना करेगा। सौभाग्य से, कैलकुलेटर न केवल विंडोज़ में है, बल्कि सामान्य, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, फोन में भी है। सच है, अगर अचानक (संभावना की एक छोटी डिग्री के साथ, जिसकी गणना, वैसे, जड़ों को जोड़ना शामिल है) आप अपने आप को उपलब्ध धन के बिना पाते हैं, तो, अफसोस, आपको केवल अपने दिमाग पर भरोसा करना होगा।

माइंड ट्रेनिंग कभी फेल नहीं होती। खासकर उन लोगों के लिए जो संख्याओं के साथ इतनी बार काम नहीं करते हैं, और इससे भी ज्यादा जड़ों के साथ। जड़ों का जोड़ और घटाव - अच्छी वर्जिशथके मन के लिए। और मैं आपको चरण दर चरण जड़ों को जोड़ना दिखाऊंगा। भावों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं।

सरलीकृत किया जाने वाला समीकरण है:

यह एक तर्कहीन अभिव्यक्ति है। इसे सरल बनाने के लिए, आपको सभी मूल भावों को कम करने की आवश्यकता है सामान्य दृष्टि से. हम इसे चरणों में करते हैं:

पहली संख्या को अब सरल नहीं किया जा सकता है। चलिए दूसरे कार्यकाल की ओर बढ़ते हैं।

3√48 हम 48: 48=2×24 या 48=3×16 का गुणनखंड करते हैं। 24 का वर्गमूल एक पूर्णांक नहीं है, अर्थात। भिन्नात्मक शेष है। चूंकि हमें एक सटीक मान की आवश्यकता है, अनुमानित जड़ें हमारे लिए उपयुक्त नहीं हैं। 16 का वर्गमूल 4 है, इसे मूल चिह्न के नीचे से निकाल लें। हम पाते हैं: 3×4×√3=12×√3

हमारी अगली अभिव्यक्ति नकारात्मक है, अर्थात। ऋणात्मक चिह्न -4×√(27.) फैक्टरिंग 27 के साथ लिखा गया है। हमें 27=3×9 प्राप्त होता है। हम भिन्नात्मक कारकों का उपयोग नहीं करते हैं, क्योंकि भिन्नों से वर्गमूल की गणना करना अधिक कठिन होता है। हम साइन के नीचे से 9 निकालते हैं, यानी। वर्गमूल की गणना करें। हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होते हैं: -4×3×√3 = -12×√3

अगला पद 128 उस भाग की गणना करता है जिसे जड़ के नीचे से निकाला जा सकता है। 128=64×2 जहां √64=8. यदि यह आपके लिए आसान बनाता है, तो आप इस व्यंजक को इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 128=√(8^2×2)

हम सरलीकृत शब्दों के साथ अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

अब हम समान मूलांक के साथ संख्याओं को जोड़ते हैं। आप अलग-अलग मूल भाव वाले व्यंजकों को जोड़ या घटा नहीं सकते। जड़ों को जोड़ने के लिए इस नियम के अनुपालन की आवश्यकता होती है।

हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

√2=1×√2 - मुझे आशा है कि यह बीजगणित में प्रथागत है कि ऐसे तत्वों को छोड़ना आपके लिए समाचार नहीं होगा।

व्यंजकों को न केवल वर्गमूलों द्वारा, बल्कि घन या nवें मूल द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।

अलग-अलग घातांक के साथ जड़ों का जोड़ और घटाव, लेकिन एक समान मूल अभिव्यक्ति के साथ, निम्नानुसार होता है:

यदि हमारे पास √a+∛b+∜b जैसे व्यंजक हैं, तो हम इस व्यंजक को इस प्रकार सरल बना सकते हैं:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

हमने जड़ के उभयनिष्ठ घातांक के दो समान पदों को घटा दिया है। यहां जड़ों के गुण का उपयोग किया गया था, जो कहता है: यदि मूल अभिव्यक्ति की डिग्री की संख्या और मूल घातांक की संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसकी गणना अपरिवर्तित रहेगी।

नोट: घातांक केवल गुणा करने पर ही जोड़े जाते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां व्यंजक में भिन्न मौजूद हैं।

आइए इसे चरण दर चरण हल करें:

5√8=5*2√2 - हम निकाले गए हिस्से को जड़ के नीचे से निकालते हैं।

यदि मूल भाग को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है, तो भाज्य और भाजक का वर्गमूल लेने पर अक्सर यह भिन्न नहीं बदलेगा। नतीजतन, हमने ऊपर वर्णित समानता प्राप्त की है।

यहाँ उत्तर है।

याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि एक सम घातांक वाला मूल ऋणात्मक संख्याओं से नहीं निकाला जाता है। यदि एक सम अंश मूलक व्यंजक ऋणात्मक है, तो व्यंजक सुलझने योग्य नहीं है।

मूलों का योग तभी संभव है जब मूलक व्यंजक मेल खाते हों, क्योंकि वे समान पद हैं। यही बात अंतर पर भी लागू होती है।

विभिन्न संख्यात्मक घातांक के साथ जड़ों का जोड़ दोनों शब्दों को एक सामान्य मूल डिग्री तक कम करके किया जाता है। यह नियम उसी तरह से कार्य करता है जैसे भिन्नों को जोड़ने या घटाने पर एक सामान्य हर में कमी।

यदि मूलांक व्यंजक में घात तक बढ़ाई गई संख्या होती है, तो इस व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है बशर्ते कि मूल और घातांक के बीच एक उभयनिष्ठ भाजक हो।

किसी गुणनफल और भिन्न का वर्गमूल

a का वर्गमूल एक संख्या है जिसका वर्ग a है। उदाहरण के लिए, संख्या -5 और 5 संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अर्थात्, समीकरण x^2=25 के मूल संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अब आपको यह सीखने की जरूरत है कि इसके साथ कैसे काम किया जाए वर्गमूल संचालन: इसके मूल गुणों का अध्ययन करें।

उत्पाद का वर्गमूल

(ए*बी)=√ए*√बी

दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल इन संख्याओं के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, (9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह संपत्ति उस मामले पर भी लागू होती है जब मूल अभिव्यक्ति तीन, चार, आदि का उत्पाद है। गैर-नकारात्मक गुणक।

कभी-कभी इस संपत्ति का एक और सूत्रीकरण होता है। यदि ए और बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो निम्नलिखित समानता रखती है: √(a*b) =√a*√b. उनके बीच बिल्कुल कोई अंतर नहीं है, आप एक या दूसरे शब्दों का उपयोग कर सकते हैं (जो याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक है)।

भिन्न का वर्गमूल

अगर a>=0 तथा b>0, तो निम्नलिखित समानता सत्य है:

(ए/बी)=√a/√b.

उदाहरण के लिए, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

मेरी राय में, इस संपत्ति का एक अलग फॉर्मूलेशन भी है, जो याद रखने में अधिक सुविधाजनक है।
भागफल का वर्गमूल, भागफल के भागफल के बराबर होता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि ये सूत्र बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करते हैं। अर्थात्, यदि आवश्यक हो, तो हम उत्पाद की जड़ के रूप में जड़ों के उत्पाद का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। वही दूसरी संपत्ति के लिए जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये गुण बहुत सुविधाजनक हैं, और मैं जोड़ और घटाव के लिए समान गुण रखना चाहता हूं:

√(a+b)=√a+√b;

√(ए-बी)=√a-√b;

लेकिन दुर्भाग्य से ऐसे गुण वर्गाकार होते हैं कोई जड़ नहीं है, इसलिए गणना में नहीं किया जा सकता है।.

• 13. ट्रैफिक चौराहों के माध्यम से ड्राइविंग 2018 ऑनलाइन टिप्पणियों के साथ 13.1। दाएं या बाएं मुड़ते समय, चालक को पैदल चलने वालों और साइकिल चालकों को पार करने का रास्ता देना चाहिए राह-चलताजिस सड़क में यह बदल जाता है। यह निर्देश सभी […]
• अभिभावक बैठक "माता-पिता के अधिकार, कर्तव्य और दायित्व" पाठ के लिए प्रस्तुति प्रस्तुति डाउनलोड करें (536.6 kB) ध्यान दें! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए है और सभी का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है […]
• क्षेत्रीय मातृ राजधानी Orel क्षेत्र में Oryol और Oryol क्षेत्र में क्षेत्रीय मातृत्व राजधानी (MK) 2011 में स्थापित की गई थी। अब यह सामाजिक समर्थन का एक अतिरिक्त उपाय है। बड़े परिवारएकमुश्त नकद के रूप में […]
• में पंजीकरण पर एकमुश्त भत्ते की राशि प्रारंभिक तिथियां 2018 में आपके द्वारा अनुरोधित पृष्ठ नहीं मिला। हो सकता है कि आपने गलत पता दर्ज किया हो, या पृष्ठ हटा दिया गया हो। प्रयोग करना […]
• आर्थिक मामलों में वकील आर्थिक क्षेत्र में अपराध एक बहुत बड़ी अवधारणा है। ऐसी गतिविधियों में धोखाधड़ी, अवैध व्यापार, धन शोधन, अवैध बैंकिंग […]
• सेंट्रल बैंक की प्रेस सेवा रूसी संघ(रूस का बैंक) प्रेस सेवा 107016, मॉस्को, सेंट। Neglinnaya, 12www.cbr.ru एक अंतरिम प्रशासन की नियुक्ति पर, बैंक ऑफ रूस के बाहरी और जनसंपर्क विभाग ने सूचित किया है कि, पैराग्राफ 2 के अनुसार […]
• सामान्य विशेषताएँतथा संक्षिप्त समीक्षाजलमार्ग जल घाटियों का वर्गीकरण सुख (छोटे) जहाजों के नौवहन के लिए जल घाटियों का वर्गीकरण, रूस के जीआईएमएस द्वारा पर्यवेक्षित […]
• कुचेरेना = विक्टर त्सोई का वकील और यह एक बहिष्करण है: अनातोली कुचेरेना का आज का पत्र। विषय की निरंतरता में। इस पत्र को अभी तक किसी ने प्रकाशित नहीं किया है। और यह होना चाहिए, मुझे लगता है। अभी के लिए भाग 1। जल्द ही मैं प्रसिद्ध वकील द्वारा हस्ताक्षरित दूसरा भाग प्रकाशित करूंगा। यह महत्वपूर्ण क्यों है? […]