Alpha désigne un nombre réel. Le signe égal dans les expressions ci-dessus indique que si vous ajoutez un nombre ou l'infini à l'infini, rien ne changera, le résultat sera le même infini. Si nous prenons un ensemble infini de nombres naturels comme exemple, alors les exemples considérés peuvent être représentés comme suit :

Pour prouver visuellement leur cas, les mathématiciens ont mis au point de nombreuses méthodes différentes. Personnellement, je considère toutes ces méthodes comme des danses de chamans avec des tambourins. En substance, ils se résument tous au fait que soit certaines chambres ne sont pas occupées et que de nouveaux invités s'y installent, soit que certains visiteurs sont jetés dans le couloir pour faire place aux invités (très humainement). J'ai présenté mon point de vue sur de telles décisions sous la forme d'une histoire fantastique sur la blonde. Sur quoi repose mon raisonnement ? Déplacer un nombre infini de visiteurs prend un temps infini. Après que nous ayons libéré la première chambre d'amis, l'un des visiteurs marchera toujours le long du couloir de sa chambre à la suivante jusqu'à la fin des temps. Bien sûr, le facteur temps peut être stupidement ignoré, mais cela appartiendra déjà à la catégorie "la loi n'est pas écrite pour les imbéciles". Tout dépend de ce que nous faisons : ajuster la réalité aux théories mathématiques ou vice versa.

Qu'est-ce qu'un "hôtel infini" ? Une auberge à débordement est une auberge qui a toujours un nombre quelconque de chambres libres, quel que soit le nombre de chambres occupées. Si toutes les pièces du couloir sans fin "pour les visiteurs" sont occupées, il y a un autre couloir sans fin avec des chambres pour les "invités". Il y aura un nombre infini de tels corridors. En même temps, "l'hôtel infini" a un nombre infini d'étages dans un nombre infini de bâtiments sur un nombre infini de planètes dans un nombre infini d'univers créés par un nombre infini de dieux. Les mathématiciens, en revanche, ne savent pas s'éloigner des problèmes quotidiens banals : Dieu-Allah-Bouddha est toujours un seul, l'hôtel est un, le couloir est un seul. Ainsi, les mathématiciens tentent de jongler avec les numéros de série des chambres d'hôtel, nous convainquant qu'il est possible de "bousculer les non poussés".

Je vais vous démontrer la logique de mon raisonnement en utilisant l'exemple d'un ensemble infini de nombres naturels. Vous devez d'abord répondre à une question très simple : combien d'ensembles de nombres naturels existent - un ou plusieurs ? Il n'y a pas de réponse correcte à cette question, puisque nous avons nous-mêmes inventé les nombres, il n'y a pas de nombres dans la Nature. Oui, la Nature est douée pour compter, mais pour cela elle utilise d'autres outils mathématiques qui ne nous sont pas familiers. Comme le pense la nature, je vous le dirai une autre fois. Puisque nous avons inventé les nombres, nous déciderons nous-mêmes combien d'ensembles de nombres naturels existent. Considérez les deux options, comme il sied à un vrai scientifique.

Première option. "Donnons-nous" un ensemble unique de nombres naturels, qui repose sereinement sur une étagère. Nous prenons cet ensemble de l'étagère. Ça y est, il n'y a plus d'autres nombres naturels sur l'étagère et il n'y a nulle part où les prendre. Nous ne pouvons pas en ajouter un à cet ensemble, puisque nous l'avons déjà. Et si vous le vouliez vraiment ? Aucun problème. Nous pouvons prendre une unité de l'ensemble que nous avons déjà pris et la remettre sur l'étagère. Après cela, nous pouvons prendre une unité de l'étagère et l'ajouter à ce qu'il nous reste. En conséquence, nous obtenons à nouveau un ensemble infini de nombres naturels. Vous pouvez écrire toutes nos manipulations comme ceci :

J'ai écrit les opérations en notation algébrique et en notation de la théorie des ensembles, énumérant les éléments de l'ensemble en détail. L'indice indique que nous avons un seul et unique ensemble de nombres naturels. Il s'avère que l'ensemble des nombres naturels ne restera inchangé que si un en est soustrait et que la même unité est ajoutée.

Option deux. Nous avons de nombreux ensembles infinis différents de nombres naturels sur l'étagère. J'insiste sur - DIFFÉRENTS, malgré le fait qu'ils sont pratiquement impossibles à distinguer. Nous prenons l'un de ces ensembles. Ensuite, nous en prenons un dans un autre ensemble de nombres naturels et l'ajoutons à l'ensemble que nous avons déjà pris. Nous pouvons même ajouter deux ensembles de nombres naturels. Voici ce que nous obtenons :

Les indices "un" et "deux" indiquent que ces éléments appartenaient à des ensembles différents. Oui, si vous en ajoutez un à un ensemble infini, le résultat sera également un ensemble infini, mais ce ne sera pas le même que l'ensemble d'origine. Si un ensemble infini est ajouté à un autre ensemble infini, le résultat est un nouvel ensemble infini composé des éléments des deux premiers ensembles.

L'ensemble des nombres naturels sert à compter au même titre qu'une règle à mesurer. Imaginez maintenant que vous avez ajouté un centimètre à la règle. Ce sera déjà une ligne différente, différente de l'originale.

Vous pouvez accepter ou non mon raisonnement - c'est votre affaire. Mais si jamais vous rencontrez des problèmes mathématiques, demandez-vous si vous n'êtes pas sur la voie d'un faux raisonnement, piétiné par des générations de mathématiciens. Après tout, les cours de mathématiques forment tout d'abord un stéréotype stable de la pensée en nous, et ensuite seulement ils nous ajoutent des capacités mentales (ou vice versa, ils nous privent de la libre pensée).

dimanche 4 août 2019

J'écrivais un post-scriptum à un article sur et j'ai vu ce merveilleux texte sur Wikipedia :

Nous lisons: "... la riche base théorique des mathématiques babyloniennes n'avait pas de caractère holistique et était réduite à un ensemble de techniques disparates, dépourvues d'un système commun et d'une base de preuves."

Ouah! À quel point nous sommes intelligents et à quel point nous pouvons voir les lacunes des autres. Est-il faible pour nous de regarder les mathématiques modernes dans le même contexte ? Paraphrasant légèrement le texte ci-dessus, personnellement, j'ai obtenu ce qui suit:

La riche base théorique des mathématiques modernes n'a pas de caractère holistique et est réduite à un ensemble de sections disparates, dépourvues d'un système commun et d'une base de preuves.

Je n'irai pas loin pour confirmer mes propos - il a un langage et des conventions qui sont différents du langage et des conventions de nombreuses autres branches des mathématiques. Les mêmes noms dans différentes branches des mathématiques peuvent avoir des significations différentes. Je veux consacrer tout un cycle de publications aux bévues les plus évidentes des mathématiques modernes. À bientôt.

samedi 3 août 2019

Comment diviser un ensemble en sous-ensembles ? Pour ce faire, vous devez entrer une nouvelle unité de mesure, qui est présente dans certains des éléments de l'ensemble sélectionné. Prenons un exemple.

Puissions-nous avoir beaucoup MAIS composé de quatre personnes. Cet ensemble est formé sur la base de "personnes" Désignons les éléments de cet ensemble par la lettre un, l'indice avec un nombre indiquera le nombre ordinal de chaque personne dans cet ensemble. Introduisons une nouvelle unité de mesure "caractéristique sexuelle" et notons-la par la lettre b. Puisque les caractéristiques sexuelles sont inhérentes à toutes les personnes, nous multiplions chaque élément de l'ensemble MAIS sur le genre b. Notez que notre ensemble "personnes" est maintenant devenu l'ensemble "personnes avec genre". Après cela, nous pouvons diviser les caractéristiques sexuelles en mâles BM et des femmes pc caractéristiques de genre. Maintenant, nous pouvons appliquer un filtre mathématique : nous sélectionnons l'un de ces caractères sexuels, peu importe lequel est masculin ou féminin. S'il est présent chez une personne, nous le multiplions par un, s'il n'y a pas un tel signe, nous le multiplions par zéro. Et puis on applique les mathématiques scolaires habituelles. Voyez ce qui s'est passé.

Après multiplications, réductions et réarrangements, on obtient deux sous-ensembles : le sous-ensemble masculin BM et un sous-ensemble de femmes pc. A peu près de la même manière que les mathématiciens raisonnent lorsqu'ils appliquent la théorie des ensembles dans la pratique. Mais ils ne nous laissent pas entrer dans les détails, mais nous donnent le résultat final - "beaucoup de gens se compose d'un sous-ensemble d'hommes et d'un sous-ensemble de femmes". Naturellement, vous pouvez avoir une question, comment appliquer correctement les mathématiques dans les transformations ci-dessus ? J'ose vous assurer qu'en fait les transformations sont faites correctement, il suffit de connaître la justification mathématique de l'arithmétique, de l'algèbre booléenne et d'autres sections des mathématiques. Ce que c'est? Une autre fois, je vous en parlerai.

Comme pour les surensembles, il est possible de combiner deux ensembles en un seul surensemble en choisissant une unité de mesure présente dans les éléments de ces deux ensembles.

Comme vous pouvez le constater, les unités de mesure et les mathématiques courantes font de la théorie des ensembles une chose du passé. Un signe que tout ne va pas bien avec la théorie des ensembles est que pour la théorie des ensembles, les mathématiciens ont proposé propre langue et ses propres désignations. Les mathématiciens ont fait ce que les chamans ont fait autrefois. Seuls les chamans savent appliquer "correctement" leur "savoir". Ce "savoir" qu'ils nous enseignent.

Enfin, je veux vous montrer comment les mathématiciens manipulent .

lundi 7 janvier 2019

Au Ve siècle av. J.-C., l'ancien philosophe grec Zénon d'Elée a formulé ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie "Achille et la tortue". Voici comment ça sonne :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve à mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'Achille parcourt cette distance, la tortue rampe cent pas dans la même direction. Quand Achille a couru cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra indéfiniment, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Gilbert... Tous, d'une manière ou d'une autre, ont considéré les apories de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à l'heure actuelle, la communauté scientifique n'est pas encore parvenue à se faire une opinion commune sur l'essence des paradoxes ... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution universellement acceptée au problème ..."[Wikipédia," Zeno's Aporias "]. Tout le monde comprend qu'il est dupe, mais personne ne comprend ce qu'est la tromperie.

Du point de vue des mathématiques, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la valeur à. Cette transition implique d'appliquer à la place des constantes. Autant que je sache, l'appareil mathématique pour appliquer des unités de mesure variables n'a pas encore été développé, ou il n'a pas été appliqué à l'aporie de Zénon. L'application de notre logique habituelle nous entraîne dans un piège. Nous, par l'inertie de la pensée, appliquons des unités de temps constantes à la réciproque. D'un point de vue physique, on dirait que le temps ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus dépasser la tortue.

Si nous tournons la logique à laquelle nous sommes habitués, tout se met en place. Achille court à vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. En conséquence, le temps passé à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept "d'infini" dans cette situation, alors il serait correct de dire "Achille dépassera infiniment rapidement la tortue".

Comment éviter ce piège logique ? Restez dans des unités de temps constantes et ne passez pas à des valeurs réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'Achille fasse mille pas, la tortue rampe cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps, égal au premier, Achille parcourra encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Or Achille a huit cents pas d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas une solution complète au problème. La déclaration d'Einstein sur l'insurmontabilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l'aporie de Zénon "Achille et la tortue". Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution doit être recherchée non pas en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à chaque instant du temps elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à chaque instant du temps, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant la flèche volante est au repos à différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Il y a un autre point à noter ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni sa distance. Pour déterminer le fait du mouvement de la voiture, deux photographies prises du même point à des moments différents sont nécessaires, mais elles ne peuvent pas être utilisées pour déterminer la distance. Pour déterminer la distance à la voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace en même temps, mais vous ne pouvez pas déterminer le fait qu'elles se déplacent (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera) . Sur quoi je veux me concentrer Attention particulière, est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des possibilités d'exploration différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Je vous l'ai déjà dit, à l'aide de quoi les chamans essaient de trier "" les réalités. Comment font-ils? Comment s'opère réellement la formation de l'ensemble ?

Examinons de plus près la définition d'un ensemble : « une collection d'éléments différents, conçue comme un tout unique ». Ressentez maintenant la différence entre les deux expressions : « pensable dans son ensemble » et « pensable dans son ensemble ». La première phrase est le résultat final, la multitude. La deuxième phrase est une préparation préliminaire à la formation de l'ensemble. A ce stade, la réalité est divisée en éléments séparés ("tout") à partir desquels une multitude ("tout unique") sera alors formée. Dans le même temps, le facteur qui vous permet de combiner le "tout" en un "tout unique" est soigneusement surveillé, sinon les chamans ne réussiront pas. Après tout, les chamans savent à l'avance exactement quel ensemble ils veulent nous montrer.

Je vais montrer le processus avec un exemple. Nous sélectionnons "solide rouge dans un bouton" - c'est notre "tout". En même temps, nous voyons que ces choses sont avec un arc, et il y en a sans arc. Après cela, nous sélectionnons une partie du "tout" et formons un ensemble "avec un arc". C'est ainsi que les chamans se nourrissent en liant leur théorie des ensembles à la réalité.

Faisons maintenant une petite astuce. Prenons "solide dans un bouton avec un arc" et unissons ces "ensembles" par couleur, en sélectionnant des éléments rouges. Nous avons eu beaucoup de "rouge". Maintenant une question délicate : les ensembles reçus "avec un arc" et "rouge" sont-ils le même ensemble ou deux ensembles différents ? Seuls les chamans connaissent la réponse. Plus précisément, eux-mêmes ne savent rien, mais comme ils disent, tant pis.

Cet exemple simple montre que la théorie des ensembles est complètement inutile face à la réalité. Quel est le secret ? Nous avons formé un ensemble de "boutons solides rouges avec un arc". La formation s'est déroulée selon quatre unités de mesure différentes : la couleur (rouge), la force (solide), la rugosité (en bosse), les décorations (avec un nœud). Seul un ensemble d'unités de mesure permet de décrire adéquatement des objets réels dans le langage des mathématiques. Voici à quoi ça ressemble.

La lettre "a" avec différents indices désigne différentes unités de mesure. Entre parenthèses, les unités de mesure sont mises en évidence, selon lesquelles le "tout" est attribué au stade préliminaire. L'unité de mesure, selon laquelle l'ensemble est formé, est prise entre parenthèses. La dernière ligne montre le résultat final - un élément de l'ensemble. Comme vous pouvez le voir, si nous utilisons des unités pour former un ensemble, le résultat ne dépend pas de l'ordre de nos actions. Et ce sont des mathématiques, et non des danses de chamans avec des tambourins. Les chamans peuvent "intuitivement" arriver au même résultat, en l'argumentant avec "l'évidence", car les unités de mesure ne font pas partie de leur arsenal "scientifique".

Avec l'aide d'unités de mesure, il est très facile de décomposer un ou de combiner plusieurs ensembles en un seul surensemble. Examinons de plus près l'algèbre de ce processus.

samedi 30 juin 2018

Si les mathématiciens ne peuvent pas réduire un concept à d'autres concepts, alors ils ne comprennent rien aux mathématiques. Je réponds : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? La réponse est très simple : des nombres et des unités de mesure.

C'est aujourd'hui que tout ce que nous ne prenons pas appartient à un ensemble (comme nous l'assurent les mathématiciens). Au fait, avez-vous vu dans le miroir sur votre front une liste de ces ensembles auxquels vous appartenez ? Et je n'ai pas vu une telle liste. Je dirai plus - pas une seule chose en réalité n'a une étiquette avec une liste d'ensembles auxquels cette chose appartient. Les ensembles sont tous des inventions de chamans. Comment font-ils? Regardons un peu plus loin dans l'histoire et voyons à quoi ressemblaient les éléments de l'ensemble avant que les mathématiciens-chamans ne les séparent dans leurs ensembles.

Il y a longtemps, alors que personne n'avait encore entendu parler des mathématiques et que seuls les arbres et Saturne avaient des anneaux, d'énormes troupeaux d'éléments sauvages d'ensembles parcouraient les champs physiques (après tout, les chamans n'avaient pas encore inventé les champs mathématiques). Ils ressemblaient à ceci.

Oui, ne soyez pas surpris, du point de vue des mathématiques, tous les éléments des ensembles sont les plus similaires à oursins- à partir d'un point, comme des aiguilles, des unités de mesure sortent dans toutes les directions. Pour ceux qui le souhaitent, je rappelle que toute unité de mesure peut être représentée géométriquement par un segment de longueur arbitraire, et un nombre par un point. Géométriquement, toute quantité peut être représentée comme un faisceau de segments sortant dans différents côtés d'un point. Ce point est le point zéro. Je ne dessinerai pas cette oeuvre d'art géométrique (pas d'inspiration), mais vous pouvez facilement l'imaginer.

Quelles unités de mesure forment un élément de l'ensemble ? Tout ce qui décrit cet élément de différents points de vue. Ce sont les anciennes unités de mesure utilisées par nos ancêtres et que tout le monde a oubliées depuis longtemps. Ce sont les unités de mesure modernes que nous utilisons maintenant. Ce sont des unités de mesure qui nous sont inconnues, que nos descendants inventeront et dont ils se serviront pour décrire la réalité.

Nous avons compris la géométrie - le modèle proposé des éléments de l'ensemble a une représentation géométrique claire. Et qu'en est-il de la physique ? Unités de mesure - c'est le lien direct entre les mathématiques et la physique. Si les chamans ne reconnaissent pas les unités de mesure comme un élément à part entière des théories mathématiques, c'est leur problème. Personnellement, je ne peux pas imaginer une véritable science des mathématiques sans unités de mesure. C'est pourquoi, au tout début de l'histoire de la théorie des ensembles, j'en ai parlé comme de l'âge de pierre.

Mais passons au plus intéressant - à l'algèbre des éléments d'ensembles. Algébriquement, tout élément de l'ensemble est un produit (le résultat de la multiplication) de différentes quantités.

Je n'ai volontairement pas utilisé les conventions adoptées en théorie des ensembles, puisque l'on considère un élément d'un ensemble dans environnement naturel l'habitation avant l'avènement de la théorie des ensembles. Chaque paire de lettres entre parenthèses désigne une valeur distincte, constituée du nombre indiqué par la lettre " n" et les unités de mesure, indiquées par la lettre " un". Les indices près des lettres indiquent que les nombres et les unités de mesure sont différents. Un élément de l'ensemble peut être composé d'un nombre infini de valeurs (tant que nous et nos descendants avons assez d'imagination). Chacun la parenthèse est représentée géométriquement par un segment séparé. Dans l'exemple avec l'oursin, une parenthèse est une aiguille.

Comment les chamans forment-ils des ensembles à partir de différents éléments ? En fait, par unités de mesure ou par nombres. Ne comprenant rien aux mathématiques, ils prennent différents oursins et les examinent attentivement à la recherche de cette aiguille unique par laquelle ils forment un ensemble. S'il y a une telle aiguille, alors cet élément appartient à l'ensemble ; s'il n'y a pas une telle aiguille, cet élément n'est pas de cet ensemble. Les chamans nous racontent des fables sur les processus mentaux et un tout unique.

Comme vous l'avez peut-être deviné, un même élément peut appartenir à plusieurs ensembles. Ensuite, je vais vous montrer comment se forment les ensembles, sous-ensembles et autres bêtises chamaniques. Comme vous pouvez le voir, "l'ensemble ne peut pas avoir deux éléments identiques", mais s'il y a des éléments identiques dans l'ensemble, un tel ensemble est appelé un "multiensemble". Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une telle logique de l'absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes entraînés, dans lequel l'esprit est absent du mot "complètement". Les mathématiciens agissent comme des formateurs ordinaires, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont étaient dans un bateau sous le pont lors des essais du pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourrait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait supporter la charge, le talentueux ingénieur a construit d'autres ponts.

Peu importe comment les mathématiciens se cachent derrière l'expression "attention, je suis dans la maison", ou plutôt "les mathématiques étudient des concepts abstraits", il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse, payant des salaires. Ici un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons tout le montant et le posons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons un billet de chaque pile et donnons au mathématicien son "salaire mathématique". Nous expliquons les mathématiques qu'il ne recevra le reste des factures que lorsqu'il prouvera que l'ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à l'ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d'abord, la logique des députés fonctionnera : "vous pouvez l'appliquer aux autres, mais pas à moi !" En outre, les assurances commenceront à s'assurer qu'il existe différents numéros de billets sur les billets de même dénomination, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme des éléments identiques. Eh bien, nous comptons le salaire en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien rappellera frénétiquement la physique: différentes pièces ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes pour chaque pièce sont uniques ...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la limite au-delà de laquelle les éléments d'un multi-ensemble se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamans, la science ici n'est même pas proche.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football avec la même surface de terrain. La zone des champs est la même, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on considère les noms des mêmes stades, on obtient beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le voir, le même ensemble d'éléments est à la fois un ensemble et un multi-ensemble. Comment ça ? Et ici, le mathématicien-shaman-shuller sort un atout majeur de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiset. En tout cas, il nous convaincra qu'il a raison.

Pour comprendre comment les chamans modernes fonctionnent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous montrer, sans aucun « concevable comme pas un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

La calculatrice vous aide à élever rapidement un nombre à une puissance en ligne. La base du degré peut être n'importe quel nombre (entier et réel). L'exposant peut également être un entier ou un réel, et aussi à la fois positif et négatif. Il ne faut pas oublier que pour les nombres négatifs, l'élévation à une puissance non entière n'est pas définie, et donc la calculatrice signalera une erreur si vous essayez toujours de le faire.

Calculatrice de degré

Élever à une puissance

Exponentation : 46086

Qu'est-ce qu'une puissance naturelle d'un nombre ?

Le nombre p est appelé la puissance n du nombre a si p est égal au nombre a multiplié par lui-même n fois : p \u003d a n \u003d a ... a
n - appelé exposant, et le nombre a - base de diplôme.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle ?

Pour comprendre comment élever divers nombres à des puissances naturelles, considérons quelques exemples :

Exemple 1. Élevez le nombre trois à la puissance quatre. Autrement dit, il faut calculer 3 4
La solution: comme mentionné ci-dessus, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Réponse: 3 4 = 81 .

Exemple 2. Élevez le nombre cinq à la puissance cinq. Autrement dit, il faut calculer 5 5
La solution: de même, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Réponse: 5 5 = 3125 .

Ainsi, pour élever un nombre à degré naturel, il suffit de le multiplier par lui-même n fois.

Qu'est-ce qu'une puissance négative d'un nombre ?

La puissance négative -n de a est un divisé par a à la puissance n : a -n = .

Dans ce cas, un degré négatif n'existe que pour les nombres non nuls, car sinon une division par zéro se produirait.

Comment élever un nombre à un entier négatif ?

Pour élever un nombre non nul à une puissance négative, vous devez calculer la valeur de ce nombre à la même puissance positive et diviser un par le résultat.

Exemple 1. Élevez le nombre deux à la puissance moins quatre. C'est-à-dire qu'il faut calculer 2 -4

La solution: comme mentionné ci-dessus, 2 -4 = = = 0,0625 .

Réponse: 2 -4 = 0.0625 .

Dans la continuité de la conversation sur le degré d'un nombre, il est logique de s'occuper de trouver la valeur du degré. Ce procédé a été nommé exponentiation. Dans cet article, nous étudierons simplement comment l'exponentiation est effectuée, tandis que nous aborderons tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et par tradition, nous examinerons en détail les solutions aux exemples d'augmentation des nombres à divers degrés.

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Que signifie "exponentiation" ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentation est de trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance de a avec l'exposant r et élever le nombre a à la puissance de r revient au même. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

En pratique, l'égalité basée sur s'applique généralement sous la forme . Autrement dit, lors de l'élévation du nombre a à une puissance fractionnaire m / n, la racine du nième degré du nombre a est d'abord extraite, après quoi le résultat est élevé à une puissance entière m.

Envisagez des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculer la valeur du degré.

La solution.

Nous montrons deux solutions.

Première voie. Par définition de degré avec un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe de la racine, après quoi nous extrayons racine cubique: .

La deuxième façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et sur la base des propriétés des racines, les égalités sont vraies . Maintenant, extrayez la racine Enfin, on élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus de l'élévation à une puissance fractionnaire coïncident.

Réponse:

Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous forme décimale ou nombre mixte, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, après quoi l'exponentiation doit être effectuée.

Exemple.

Calculer (44,89) 2,5 .

La solution.

Nous écrivons l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire (si nécessaire, voir l'article): . Maintenant, nous effectuons une élévation à une puissance fractionnaire :

Réponse:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut également dire que l'élévation des nombres à des puissances rationnelles est un processus assez laborieux (en particulier lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire sont des nombres assez grands), qui est généralement effectué à l'aide de la technologie informatique.

En conclusion de ce paragraphe, nous nous attarderons sur la construction du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante au degré fractionnaire de zéro de la forme : car nous avons , tandis que zéro à la puissance m/n n'est pas défini. Ainsi, zéro à une puissance fractionnaire positive est égal à zéro, par exemple, . Et zéro dans une puissance négative fractionnaire n'a pas de sens, par exemple, les expressions et 0 -4,3 n'ont pas de sens.

Élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur du degré d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, à des fins pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du diplôme jusqu'à un certain signe. Notons d'emblée que cette valeur est calculée en pratique à l'aide de la technologie informatique électronique, puisque portant à ir degré rationnel nécessite manuellement un grand nombre calculs fastidieux. Mais néanmoins nous décrirons en termes généraux l'essence des actions.

Pour obtenir une valeur approximative de l'exposant de a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de l'exposant est calculée. Cette valeur est la valeur approchée du degré du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale du nombre est précise au départ, plus la valeur en degrés sera précise à la fin.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1.174367... . Prenons l'approximation décimale suivante d'un indicateur irrationnel : . Maintenant, nous élevons 2 à une puissance rationnelle de 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈ 2,250116. De cette façon, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons une approximation décimale plus précise d'un exposant irrationnel, par exemple, , alors nous obtenons une valeur plus précise du degré d'origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliographie.

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• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

Pourquoi faut-il des diplômes ?

Où en avez-vous besoin ?

Pourquoi avez-vous besoin de passer du temps à les étudier?

Pour tout savoir sur les diplômes, lisez cet article.

Et, bien sûr, connaître les diplômes vous rapprochera de la réussite de l'examen.

Et d'entrer dans l'université de vos rêves !

Allons-y allons-y!)

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain d'une manière très exemples simples. Faire attention. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Multiplication maintenant.

Le même exemple avec cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les «compter» plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont proposé une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreur, il vous suffit de vous rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et une autre, plus jolie :

Et quelles autres astuces de comptage délicates les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Correctement - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la cinquième puissance. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la cinquième puissance est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur esprit - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Pour ce faire, il vous suffit rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi le second degré s'appelle-t-il carré nombres, et le troisième cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Une très bonne question. Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple concret #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant mètres par mètres. La piscine est dans votre jardin. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des carreaux. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de déterminer cela, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter en poussant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vos carreaux sont mètre par mètre, il vous faudra des pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu un tel carreau ? Le carreau sera plutôt cm par cm et puis vous serez tourmenté par « compter avec le doigt ». Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (morceaux) et de l'autre, aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué qu'on a multiplié le même nombre par lui-même pour déterminer l'aire du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque le même nombre est multiplié, nous pouvons utiliser la technique d'exponentiation. (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. Pour l'examen, c'est très important).
Ainsi, trente au deuxième degré sera (). Ou vous pouvez dire que trente carrés le seront. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un certain nombre. Un carré est une image de la puissance seconde d'un nombre.

Exemple concret #2

Voici une tâche pour vous, comptez le nombre de cases sur l'échiquier en utilisant la case du nombre ... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit, ou ... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Obtenez des cellules. () Alors?

Exemple concret #3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. Le même bassin. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Les volumes et les liquides, soit dit en passant, sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, non ?) Dessinez une piscine : un fond d'un mètre de taille et d'un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes mètre par mètre entreront dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre… vingt-deux, vingt-trois… Combien cela a-t-il coûté ? Vous ne vous êtes pas perdu ? C'est difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils rendent cela trop facile. Tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Et qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez utiliser le diplôme. Ainsi, ce que vous comptiez autrefois avec un doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube est égal. Il s'écrit comme ceci :

Reste seulement mémoriser le tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous ne soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des fainéants et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques exemples supplémentaires tirés de la vie.

Exemple concret #4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million pour chaque million. Autrement dit, chacun de vos millions au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans les années ? Si vous êtes maintenant assis et que vous «comptez avec votre doigt», alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Alors, la première année - deux fois deux... la deuxième année - ce qui s'est passé, par deux de plus, la troisième année... Arrêtez ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc, deux à la puissance cinq, c'est un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui calcule le plus vite obtienne ces millions... Est-ce que ça vaut la peine de rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple concret #5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus pour chaque million. C'est super non ? Chaque million est triplé. Combien d'argent aurez-vous dans un an? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par un autre ... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris: trois se multiplient par eux-mêmes. Donc la quatrième puissance est un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons de plus près ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se confondre

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, quel est l'exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "en haut" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple est le nombre qui est en bas, à la base.

Voici une photo pour que vous soyez sûr.

Eh bien et dans vue générale pour généraliser et mieux retenir... Un degré avec une base "" et un exposant "" se lit comme "au degré" et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre avec un exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : parce que l'exposant est entier naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter lors de la liste des éléments : un, deux, trois... Quand on compte les éléments, on ne dit pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus "un tiers" ou "zéro virgule cinq dixièmes". Ce ne sont pas des nombres naturels. Que pensez-vous que ces chiffres sont?

Des nombres comme "moins cinq", "moins six", "moins sept" font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Et que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer des dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont nombres rationnels. D'après vous, comment sont-ils arrivés ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'ils n'avaient pas assez de nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, l'aire, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels… Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Sommaire:

Définissons le concept de degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Mettre un nombre au cube, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle, c'est multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés du diplôme

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons ce qui est et ?

Par définition:

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des facteurs aux facteurs, et le résultat est des facteurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , qui devait être prouvé.

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairementça doit être la même raison !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

uniquement pour les produits de puissances !

Vous ne devez en aucun cas écrire cela.

2. c'est-à-dire -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ème puissance du nombre :

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire ceci au total :

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Diplôme à base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle devrait être la base?

En degrés de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair.

Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par, il s'avère.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples de pratique

Analyse de la solution 6 exemples

ensemble nous nommons les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Passons maintenant aux nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, nous nous demandons : pourquoi en est-il ainsi ?

Envisagez une certaine puissance avec une base. Prenons, par exemple, et multiplions par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par, et nous avons obtenu le même qu'il était -. Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtenez toujours zéro, c'est clair. Mais d'autre part, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Quelle est donc la vérité là-dedans ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever zéro à la puissance zéro. C'est-à-dire que maintenant nous pouvons non seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à la puissance zéro.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent des nombres négatifs. Pour comprendre ce qu'est un degré négatif, faisons la même chose que la dernière fois : nous multiplions un nombre normal par le même dans un degré négatif :

A partir de là, il est déjà facile d'exprimer le souhait:

Maintenant, nous étendons la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons la règle :

Un nombre à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce qu'il est impossible de diviser).

Résumons :

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous ne pouviez pas le résoudre et vous apprendrez à les traiter facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres "appropriés" en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout cela peut être représenté sous forme de fraction, où et sont d'ailleurs des entiers.

Pour comprendre ce qui est "degré fractionnaire" Considérons une fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Maintenant rappelez-vous la règle "degré en degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ème degré.

Je vous rappelle : la racine de la ème puissance d'un nombre () est un nombre qui, élevé à une puissance, est égal.

C'est-à-dire que la racine du ème degré est l'opération inverse de l'exponentiation : .

Il se trouve que. Bien entendu, ce cas particulier peut être étendu : .

Ajoutez maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir avec la règle power-to-power :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Aucun!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire qu'il est impossible d'extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions réduites, par exemple, ou.

Et il s'avère qu'il existe, mais n'existe pas, et ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, puis vous pouvez l'écrire. Mais dès que nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, nous avons à nouveau des problèmes : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, considérons seul exposant de base positif avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Les puissances avec un exposant rationnel sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples pratiques

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, maintenant - le plus difficile. Nous allons maintenant analyser degré avec un exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour les degrés avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...puissance nulle- c'est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à se multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'une certaine "préparation de un nombre », à savoir un nombre ;

...exposant entier négatif- c'est comme si un certain "processus inverse" s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Soit dit en passant, en science, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever un degré à un degré :

NIVEAU AVANCÉ

Définition du diplôme

Le degré est une expression de la forme : , où :

• — base de diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n revient à multiplier le nombre par lui-même par :

Puissance avec exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif Numéro:

érection à puissance nulle:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, tout nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif Numéro:

(parce qu'il est impossible de diviser).

Encore une fois à propos des valeurs nulles : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Degré avec exposant rationnel

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Propriétés du diplôme

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons: qu'est-ce que et?

Par définition:

Ainsi, à droite de cette expression, on obtient le produit suivant :

Mais par définition, c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doivent avoir la même base. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour les produits de puissances!

Je ne dois en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Réorganisons-le comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la puissance -ième du nombre:

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Puissance à base négative.

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce qui devrait être indice diplôme. Mais quelle devrait être la base? En degrés de Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair. Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication suivante, le signe changera. Il est possible de formuler une telle règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Un nombre négatif, érigé en étrange degré, - nombre négatif.
3. nombre positifà toute puissance est un nombre positif.
4. Zéro à toute puissance est égal à zéro.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir lequel est le moins : ou ? Si vous vous souvenez de cela, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. Autrement dit, nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et les divisons les uns dans les autres, les divisons par paires et obtenons:

Avant d'analyser la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

Reprenons l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : élargissons le concept de diplôme et simplifions :

Eh bien, maintenant ouvrons les parenthèses. Combien y aura-t-il de lettres ? fois par des multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien d'autre que la définition d'une opération multiplication: total il s'est avéré être des multiplicateurs. Autrement dit, c'est, par définition, une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Degré avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les degrés pour le niveau moyen, nous analyserons le degré avec un indicateur irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'un certaine « préparation d'un numéro », à savoir un numéro ; un degré avec un indicateur négatif entier - c'est comme si un certain «processus inverse» s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

Soit dit en passant, en science, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors que faire si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULE DE BASE

Diplôme est appelée une expression de la forme : , où :

Degré avec exposant entier

degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Degré avec exposant rationnel

degré, dont l'indicateur est les nombres négatifs et fractionnaires.

Degré avec exposant irrationnel

exposant dont l'exposant est une fraction ou une racine décimale infinie.

Propriétés du diplôme

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif élevé à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif élevé à étrange degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quelle puissance est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ UN MOT...

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Parlez-nous de votre expérience avec les propriétés de puissance.

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

Écrivez dans les commentaires.

Et bonne chance pour tes examens !

Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.

Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !

Maintenant la chose la plus importante.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...

Pour quelle raison?

Pour la réussite de l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...

Les gens qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n'est pas l'essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pense par toi-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?

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Il est temps de faire des calculs. Vous souvenez-vous encore combien ce sera si deux fois deux ?

Si quelqu'un a oublié - il y en aura quatre. Il semble que tout le monde se souvienne et connaisse la table de multiplication, cependant, j'ai trouvé un grand nombre de requêtes à Yandex comme "table de multiplication" ou même "télécharger la table de multiplication" (!). C'est pour cette catégorie d'utilisateurs, ainsi que pour les utilisateurs plus avancés qui s'intéressent déjà aux carrés et aux degrés, que je poste tous ces tableaux. Vous pouvez même télécharger à votre santé! Alors:

Table de multiplication

(nombres entiers de 1 à 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Tableau des carrés

(nombres entiers de 1 à 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Tableau des degrés

(nombres entiers de 1 à 10)

1 à la puissance :

2 à la puissance :

3 à la puissance :

4 à la puissance :

5 à la puissance :

6 à la puissance :

7 à la puissance :

7 10 = 282475249

8 à la puissance :

8 10 = 1073741824

9 à la puissance :

9 10 = 3486784401

10 à la puissance :

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000