Convertisseur d'unités de distance et de longueur Convertisseur d'unités de surface Rejoindre © 2011-2017 Mikhail Dovzhik La copie des documents est interdite. Dans le calculateur en ligne, vous pouvez utiliser des valeurs dans les mêmes unités de mesure ! Si vous rencontrez des difficultés pour convertir les unités de mesure, utilisez le convertisseur d'unités de distance et de longueur et le convertisseur d'unités de surface. Fonctionnalités supplémentaires du calculateur d'aire quadrilatère

• Vous pouvez vous déplacer entre les champs de saisie en appuyant sur les touches droite et gauche du clavier.

La théorie. Aire d'un quadrilatère Un quadrilatère est une figure géométrique composée de quatre points (sommets), dont trois ne se trouvent pas sur la même ligne droite, et de quatre segments (côtés) reliant ces points par paires. Un quadrilatère est dit convexe si le segment reliant deux points quelconques de ce quadrilatère sera à l'intérieur de celui-ci.

Comment trouver l'aire d'un polygone ?

La formule de détermination de l'aire est déterminée en prenant chaque arête du polygone AB et en calculant l'aire du triangle ABO avec un sommet à l'origine O, à travers les coordonnées des sommets. Lors de la marche autour d'un polygone, des triangles se forment, incluant l'intérieur du polygone et situés à l'extérieur de celui-ci. La différence entre la somme de ces aires est l'aire du polygone lui-même.

La formule s'appelle donc la formule de l'arpenteur, puisque le « cartographe » est à l'origine ; s'il parcourt la zone dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, la zone est ajoutée si elle est à gauche et soustraite si elle est à droite en termes d'origine. La formule d'aire est valable pour tout polygone non sécant (simple), qui peut être convexe ou concave. Contenu

• 1 Définition
• 2 Exemples
• 3 Exemple plus complexe
• 4 Explication du nom
• 5 Voir

Zone polygonale

Attention

Il pourrait être:

• Triangle;
• quadrilatère;
• cinq ou hexagone et ainsi de suite.

Une telle figure sera certainement caractérisée par deux positions :

1. Les côtés adjacents n'appartiennent pas à la même ligne.
2. Ceux qui ne sont pas adjacents n'ont pas de points communs, c'est-à-dire qu'ils ne se croisent pas.

Pour comprendre quels sommets sont adjacents, vous devez voir s'ils appartiennent au même côté. Si oui, alors voisin. Sinon, ils peuvent être reliés par un segment, qui doit être appelé une diagonale. Ils ne peuvent être dessinés que dans des polygones qui ont plus de trois sommets.

Quels types d'entre eux existent? Un polygone avec plus de quatre coins peut être convexe ou concave. La différence de ce dernier est que certains de ses sommets peuvent se trouver sur différents côtés d'une ligne droite tracée à travers un côté arbitraire du polygone.

Comment trouver l'aire d'un hexagone régulier et irrégulier ?

• Connaissant la longueur du côté, multipliez-la par 6 et obtenez le périmètre de l'hexagone: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Remplacez les résultats dans notre formule :
Aire \u003d 1/2 * périmètre * apothème Aire \u003d ½ * 60cm * 5√3 Résoudre: Il reste maintenant à simplifier la réponse pour se débarrasser des racines carrées et indiquer le résultat en centimètres carrés: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Vidéo expliquant comment trouver l'aire d'un hexagone régulier Il existe plusieurs options pour déterminer l'aire d'un hexagone irrégulier :

• méthode trapézoïdale.
• Une méthode pour calculer la surface de polygones irréguliers à l'aide de l'axe des coordonnées.
• Une méthode pour diviser un hexagone en d'autres formes.

En fonction des données initiales que vous connaîtrez, la méthode appropriée est sélectionnée.

Important

Certains hexagones irréguliers sont constitués de deux parallélogrammes. Pour déterminer l'aire d'un parallélogramme, multipliez sa longueur par sa largeur puis additionnez les deux aires déjà connues. Vidéo sur la façon de trouver l'aire d'un polygone Un hexagone équilatéral a six côtés égaux et est un hexagone régulier.

L'aire d'un hexagone équilatéral est égale à 6 aires des triangles dans lesquels une figure hexagonale régulière est divisée. Tous les triangles d'un hexagone régulier sont égaux, donc pour trouver l'aire d'un tel hexagone, il suffira de connaître l'aire d'au moins un triangle. Pour trouver l'aire d'un hexagone équilatéral, bien sûr, la formule de l'aire d'un hexagone régulier, décrite ci-dessus, est utilisée.

404 introuvable

Décorer une maison, des vêtements, dessiner des images ont contribué au processus de formation et d'accumulation d'informations dans le domaine de la géométrie, que les gens de l'époque ont obtenu empiriquement, petit à petit et transmis de génération en génération. Aujourd'hui, la connaissance de la géométrie est nécessaire pour un tailleur, un constructeur, un architecte et toute personne ordinaire dans la vie de tous les jours. Par conséquent, vous devez apprendre à calculer l'aire de différentes figures et rappelez-vous que chacune des formules peut être utile plus tard dans la pratique, y compris la formule d'un hexagone régulier.
Un hexagone est une telle figure polygonale, dont le nombre total d'angles est de six. Un hexagone régulier est une figure hexagonale qui a des côtés égaux. Les angles d'un hexagone régulier sont également égaux entre eux.
Dans la vie de tous les jours, on trouve souvent des objets qui ont la forme d'un hexagone régulier.

Calculateur de surface de polygone irrégulier par côtés

Tu auras besoin de

• - la roulette ;
• — télémètre électronique ;
• - une feuille de papier et un crayon ;
• - calculatrice.

Instruction 1 Si vous avez besoin de la superficie totale d'un appartement ou d'une pièce séparée, lisez simplement le passeport technique de l'appartement ou de la maison, il montre les images de chaque pièce et les images totales de l'appartement. 2 Pour mesurer la superficie d'une pièce rectangulaire ou carrée, prenez un mètre ruban ou un télémètre électronique et mesurez la longueur des murs. Lorsque vous mesurez des distances avec un télémètre, assurez-vous de garder la direction du faisceau perpendiculaire, sinon les résultats de mesure peuvent être déformés. 3 Multipliez ensuite la longueur résultante (en mètres) de la pièce par la largeur (en mètres). La valeur résultante sera la surface au sol, elle est mesurée en mètres carrés.

Formule de la zone de Gauss

Si vous devez calculer la surface au sol d'une structure plus complexe, telle qu'une pièce pentagonale ou une pièce avec un arc en plein cintre, dessinez un croquis schématique sur une feuille de papier. Divisez ensuite la forme complexe en plusieurs formes simples, comme un carré et un triangle, ou un rectangle et un demi-cercle. Utilisez un ruban à mesurer ou un télémètre pour mesurer la taille de tous les côtés des figures obtenues (pour un cercle, vous devez connaître le diamètre) et inscrivez les résultats sur votre dessin.

5 Calculez maintenant l'aire de chaque forme séparément. L'aire des rectangles et des carrés est calculée en multipliant les côtés. Pour calculer l'aire d'un cercle, divisez le diamètre en deux et en carré (multipliez-le par lui-même), puis multipliez le résultat par 3,14.
Si vous ne voulez que la moitié du cercle, divisez la zone résultante en deux. Pour calculer l'aire d'un triangle, trouvez P en divisant la somme de tous les côtés par 2.

Formule pour calculer l'aire d'un polygone irrégulier

Si les points sont numérotés séquentiellement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors les déterminants de la formule ci-dessus sont positifs et le module qu'il contient peut être omis; s'ils sont numérotés dans le sens des aiguilles d'une montre, les déterminants seront négatifs. En effet, la formule peut être considérée comme un cas particulier du théorème de Green. Pour appliquer la formule, vous devez connaître les coordonnées des sommets du polygone dans le plan cartésien.

Par exemple, prenons un triangle de coordonnées ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Prenez la première coordonnée x du premier sommet et multipliez-la par la coordonnée y du deuxième sommet, puis multipliez la coordonnée x du deuxième sommet par la coordonnée y du troisième. Nous répétons cette procédure pour tous les sommets. Le résultat peut être déterminé par la formule suivante : A tri.

La formule pour calculer l'aire d'un quadrilatère irrégulier

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) où xi et yi désignent la coordonnée correspondante. Cette formule peut être obtenue en ouvrant les parenthèses dans la formule générale pour le cas n = 3. En utilisant cette formule, vous pouvez trouver que l'aire d'un triangle est égale à la moitié de la somme de 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, ce qui donne 3. Le nombre de variables dans la formule dépend du nombre de côtés du polygone. Par exemple, la formule de l'aire d'un pentagone utilisera des variables jusqu'à x5 et y5 : A pent. = 1 2 | X 1 y 2 + X 2 y 3 + X 3 y 4 + X 4 y 5 + X 5 y 1 - X 2 y 1 - X 3 y 2 - X 4 y 3 - X 5 y 4 - X 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A pour un quad - variables jusqu'à x4 et y4 : Un quad.

Un hexagone ou un hexagone est un polygone régulier dont les côtés sont égaux et chaque angle mesure exactement 120 degrés. Un hexagone se trouve parfois dans la vie quotidienne humaine, vous devrez donc peut-être calculer sa superficie non seulement dans les problèmes scolaires, mais aussi dans la vie réelle.

hexagone convexe

Heskagon est un polygone convexe régulier, respectivement, tous ses angles sont égaux, tous ses côtés sont égaux et si vous dessinez un segment passant par deux sommets adjacents, la figure entière sera d'un côté de ce segment. Comme dans tout n-gone régulier, un cercle peut être décrit autour de l'hexagone ou inscrit à l'intérieur de celui-ci. La principale caractéristique d'un hexagone est que la longueur du rayon du cercle circonscrit coïncide avec la longueur du côté du polygone. Grâce à cette propriété, vous pouvez facilement trouver l'aire d'un hexagone à l'aide de la formule :

S \u003d 2,59 R 2 \u003d 2,59 un 2.

De plus, le rayon du cercle inscrit est lié au côté de la figure comme suit :

Il s'ensuit que l'aire d'un hexagone peut être calculée en utilisant l'une des trois variables au choix.

Hexagramme

L'hexagone régulier étoilé apparaît devant nous sous la forme d'une étoile à six branches. Une telle figure est formée en superposant deux triangles équilatéraux l'un sur l'autre. L'hexagramme réel le plus célèbre est l'étoile de David - le symbole du peuple juif.

Chiffres hexagonaux

En théorie des nombres, il existe des nombres figuratifs associés à certaines formes géométriques. Les plus largement utilisés sont les nombres triangulaires et carrés, ainsi que les nombres tétraédriques et pyramidaux, à l'aide desquels il est facile de disposer des formes géométriques à l'aide d'objets réels. Par exemple, les nombres pyramidaux vous diront comment empiler des boulets de canon dans une pyramide stable. Il existe également des nombres hexagonaux qui déterminent le nombre de points nécessaires pour construire un hexagone.

Hexagone en réalité

Les hexagones sont souvent vus dans la vraie vie. Par exemple, les sections des écrous ou des crayons sont hexagonales, ce qui offre une prise confortable sur l'objet. L'hexagone est une figure géométrique efficace capable de paver un plan sans lacunes ni chevauchements. C'est pourquoi les matériaux de finition décoratifs, par exemple les carreaux et les dalles de pavage ou les panneaux de plaques de plâtre, ont souvent une forme hexagonale.

L'efficacité de l'hexagone le rend également populaire dans la nature. Les nids d'abeilles ont exactement une forme hexagonale, grâce à laquelle l'espace de la ruche est rempli sans lacunes. Un autre exemple de carrelage hexagonal d'un avion est le Giant's Trail - un monument animalier formé lors d'une éruption volcanique. Les cendres volcaniques ont été comprimées en colonnes hexagonales qui ont pavé la surface de la côte de l'Irlande du Nord.

Faire des cercles dans un avion

Et un peu plus sur l'efficacité de l'hexagone. Le compactage de boules est un problème de géométrie combinatoire classique qui nécessite de trouver la meilleure façon de compacter des boules non sécantes. En pratique, cette tâche se transforme en un problème logistique d'emballage d'oranges, de pommes, de boulets de canon ou de tout autre objet sphérique devant être emballé le plus étroitement possible. Heskagon est la solution à ce problème.

On sait que l'arrangement le plus efficace des cercles dans l'espace à deux dimensions est de placer les centres des cercles sur les sommets des hexagones qui remplissent le plan sans lacunes. Dans la réalité 3D, le problème du placement des balles est résolu en empilant les objets de manière hexagonale.

Grâce à notre calculatrice, vous pouvez calculer l'aire d'un hexagone régulier en connaissant son côté ou les rayons des cercles correspondants. Essayons de calculer les aires des hexagones à l'aide d'exemples réels.

Exemples concrets

hexagone géant

L'hexagone géant est un phénomène atmosphérique unique sur Saturne qui ressemble à un grand vortex en forme d'hexagone régulier. On sait que le côté de l'hexagone géant est de 13 800 km, grâce auquel on peut déterminer l'aire du "nuage". Pour ce faire, entrez simplement la valeur du côté dans le formulaire de la calculatrice et obtenez le résultat :

Ainsi, la superficie du vortex atmosphérique sur Saturne est d'environ 494 777 633 kilomètres carrés. Vraiment impressionnant.

Échecs hexagonaux

Nous sommes tous habitués au terrain d'échecs, divisé en 64 cellules carrées. Cependant, il existe également des échecs hexagonaux, dont le terrain de jeu est divisé en 91 hexagones réguliers. Déterminons la zone du plateau de jeu pour la version hexagonale du célèbre jeu. Laissez le côté de la cellule être de 2 centimètres. La zone d'une cellule de jeu sera:

Ensuite, l'aire de l'ensemble du plateau sera égale à 91 × 10,39 = 945,49 centimètres carrés.

Conclusion

L'hexagone se retrouve souvent dans la réalité, bien qu'on ne le remarque pas. Utilisez notre calculateur en ligne pour calculer l'aire des hexagones pour des problèmes quotidiens ou scolaires.

Un hexagone est un polygone à 6 côtés et 6 angles. Selon qu'un hexagone est régulier ou non, il existe plusieurs méthodes pour trouver son aire. Nous allons tout revoir.

Comment trouver l'aire d'un hexagone régulier

Formules pour calculer l'aire d'un hexagone régulier - un polygone convexe à six côtés identiques.

Longueur de côté donnée :

• Formule d'aire : S = (3√3*a²)/2
• Si la longueur du côté a est connue, puis en la remplaçant dans la formule, nous pouvons facilement trouver l'aire de la figure.
• Sinon, la longueur du côté peut être trouvée à travers le périmètre et l'apothème.
• Si le périmètre est donné, nous le divisons simplement par 6 et obtenons la longueur d'un côté. Par exemple, si le périmètre est de 24, alors la longueur du côté sera de 24/6 = 4.
• Apothem est une perpendiculaire tracée du centre à l'un des côtés. Pour trouver la longueur d'un côté, nous substituons la longueur de l'apothème dans la formule a = 2*m/√3. Autrement dit, si l'apothème m = 2√3, alors la longueur du côté a = 2*2√3/√3 = 4.

Donné un apothème :

• Formule d'aire : S = 1/2*p*m, où p est le périmètre, m est l'apothème.
• Trouvons le périmètre de l'hexagone passant par l'apothème. Dans le paragraphe précédent, nous avons appris à trouver la longueur d'un côté à travers un apothème: a \u003d 2 * m / √3. Il ne reste plus qu'à multiplier ce résultat par 6. On obtient la formule du périmètre : p \u003d 12 * m / √3.

Étant donné le rayon du cercle circonscrit :

• Le rayon d'un cercle circonscrit à un hexagone régulier est égal au côté de cet hexagone.
  Formule d'aire : S = (3√3*a²)/2

Étant donné le rayon du cercle inscrit :

• Formule d'aire : S = 3√3*r², où r = √3*a/2 (a est l'un des côtés du polygone).

Comment trouver l'aire d'un hexagone irrégulier

Formules pour calculer l'aire d'un hexagone irrégulier - un polygone dont les côtés ne sont pas égaux.

Méthode trapèze :

• Nous divisons l'hexagone en trapèzes arbitraires, calculons l'aire de chacun d'eux et les additionnons.
• Formules de base pour l'aire d'un trapèze : S = 1/2*(a + b)*h, où a et b sont les bases du trapèze, h est la hauteur.
  S = h*m, où h est la hauteur, m ​​est la ligne médiane.

Les coordonnées des sommets de l'hexagone sont connues :

• Pour commencer, notons d'ailleurs les coordonnées des points, en les plaçant non pas dans un ordre chaotique, mais séquentiellement les uns après les autres. Par exemple:
  R : (-3, -2)
  B : (-1, 4)
  C : (6, 1)
  D : (3, 10)
  E : (-4, 9)
  F : (-5, 6)
• Ensuite, multipliez soigneusement l'abscisse de chaque point par l'ordonnée du point suivant :
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Additionnez les résultats :
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Ensuite, multipliez la coordonnée y de chaque point par la coordonnée x du point suivant.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Additionnez les résultats :
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Soustrayez le second du premier résultat :
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Le nombre obtenu est divisé par deux :
  134/2 = 67
  Réponse : 67 unités carrées.

• De plus, pour trouver l'aire d'un hexagone, vous pouvez le diviser en triangles, carrés, rectangles, parallélogrammes, etc. Trouvez les aires de ses figures constitutives et additionnez-les.

Ainsi, les méthodes pour trouver l'aire d'un hexagone pour toutes les occasions ont été étudiées. Maintenant, allez-y et appliquez ce que vous avez appris ! Bonne chance!

Le sujet des polygones est traité dans le programme scolaire, mais ils n'y accordent pas suffisamment d'attention. En attendant, c'est intéressant, et cela est particulièrement vrai d'un hexagone ou d'un hexagone régulier - après tout, de nombreux objets naturels ont cette forme. Ceux-ci incluent des nids d'abeilles et plus encore. Cette forme est très bien appliquée dans la pratique.

Définition et construction

Un hexagone régulier est une figure plane qui a six côtés égaux en longueur et le même nombre d'angles égaux.

Si nous rappelons la formule de la somme des angles d'un polygone

il s'avère que sur cette figure il est égal à 720°. Eh bien, puisque tous les angles de la figure sont égaux, il est facile de calculer que chacun d'eux est égal à 120°.

Dessiner un hexagone est très simple, tout ce dont vous avez besoin est un compas et une règle.

Les instructions étape par étape ressembleront à ceci :

Si vous le souhaitez, vous pouvez vous passer d'une ligne en dessinant cinq cercles de rayon égal.

La figure ainsi obtenue sera un hexagone régulier, et cela peut être prouvé ci-dessous.

Les propriétés sont simples et intéressantes

Pour comprendre les propriétés d'un hexagone régulier, il est logique de le diviser en six triangles :

Cela aidera à l'avenir à afficher plus clairement ses propriétés, dont les principales sont:

1. diamètre du cercle circonscrit;
2. diamètre du cercle inscrit ;
3. carré;
4. périmètre.

Le cercle circonscrit et la possibilité de construction

Il est possible de décrire un cercle autour d'un hexagone, et d'ailleurs, un seul. Puisque cette figure est correcte, vous pouvez le faire très simplement : tracez une bissectrice à partir de deux angles adjacents à l'intérieur. Ils se coupent au point O et, avec le côté qui les sépare, forment un triangle.

Les angles entre le côté de l'hexagone et les bissectrices seront de 60° chacun, nous pouvons donc dire qu'un triangle, par exemple AOB, est isocèle. Et puisque le troisième angle sera aussi égal à 60°, il est aussi équilatéral. Il s'ensuit que les segments OA et OB sont égaux, ce qui signifie qu'ils peuvent servir de rayon au cercle.

Après cela, vous pouvez passer au côté suivant et également tracer une bissectrice à partir de l'angle au point C. Il se révélera un autre triangle équilatéral, et le côté AB sera commun à deux à la fois, et OS sera le rayon suivant par lequel passe le même cercle. Il y aura six de ces triangles au total, et ils auront un sommet commun au point O. Il s'avère qu'il sera possible de décrire le cercle, et ce n'est qu'un, et son rayon est égal au côté de l'hexagone :

C'est pourquoi il est possible de construire cette figure à l'aide d'un compas et d'une règle.

Eh bien, la zone de ce cercle sera standard:

Cercle inscrit

Le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre du cercle inscrit. Pour le vérifier, on peut tracer des perpendiculaires du point O aux côtés de l'hexagone. Ils seront les hauteurs de ces triangles qui composent l'hexagone. Et dans un triangle isocèle, la hauteur est la médiane par rapport au côté sur lequel il repose. Ainsi, cette hauteur n'est rien d'autre que la bissectrice perpendiculaire, qui est le rayon du cercle inscrit.

La hauteur d'un triangle équilatéral se calcule simplement :

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Et puisque R=a et r=h, il s'avère que

r=R(√3)/2.

Ainsi, le cercle inscrit passe par les centres des côtés d'un hexagone régulier.

Sa superficie sera :

S=3πa²/4,

c'est-à-dire les trois quarts de celui décrit.

Périmètre et superficie

Tout est clair avec le périmètre, c'est la somme des longueurs des côtés :

P=6a, ou P=6R

Mais l'aire sera égale à la somme des six triangles dans lesquels l'hexagone peut être divisé. Puisque l'aire d'un triangle est calculée comme la moitié du produit de la base et de la hauteur, alors :

S \u003d 6 (un / 2) (un (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 ou

S=3R²(√3)/2

Ceux qui souhaitent calculer cette aire à travers le rayon du cercle inscrit peuvent faire comme ceci :

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Constructions ludiques

Un triangle peut être inscrit dans un hexagone dont les côtés relieront les sommets par un :

Il y en aura deux au total, et leur imposition l'une sur l'autre donnera l'étoile de David. Chacun de ces triangles est équilatéral. Ceci est facile à vérifier. Si vous regardez le côté AC, il appartient à deux triangles à la fois - BAC et AEC. Si dans le premier d'entre eux AB \u003d BC, et que l'angle entre eux est de 120 °, chacun des autres sera de 30 °. De cela, nous pouvons tirer des conclusions logiques :

1. La hauteur de ABC à partir du sommet B sera égale à la moitié du côté de l'hexagone, puisque sin30°=1/2. Ceux qui souhaitent vérifier cela peuvent être conseillés de recalculer selon le théorème de Pythagore, cela convient parfaitement ici.
2. Le côté AC sera égal à deux rayons du cercle inscrit, qui est à nouveau calculé en utilisant le même théorème. Autrement dit, AC=2(a(√3)/2)=à(√3).
3. Les triangles ABC, CDE et AEF sont égaux sur deux côtés et l'angle entre eux, et donc l'égalité des côtés AC, CE et EA en découle.

Se coupant les uns avec les autres, les triangles forment un nouvel hexagone, et il est également régulier. C'est facile à prouver :

Ainsi, la figure rencontre les signes d'un hexagone régulier - elle a six côtés et angles égaux. De l'égalité des triangles aux sommets, il est facile de déduire la longueur du côté du nouvel hexagone :

d=à(√3)/3

Ce sera aussi le rayon du cercle décrit autour de lui. Le rayon de l'inscrit sera la moitié du côté du grand hexagone, ce qui a été prouvé lors de l'examen du triangle ABC. Sa hauteur est exactement la moitié du côté, donc la seconde moitié est le rayon du cercle inscrit dans le petit hexagone :

r₂=à/2

S=(3(√3)/2)(à(√3)/3)²=à(√3)/2

Il s'avère que la surface de l'hexagone à l'intérieur de l'étoile de David est trois fois plus petite que celle du grand dans lequel l'étoile est inscrite.

De la théorie à la pratique

Les propriétés de l'hexagone sont très activement utilisées à la fois dans la nature et dans divers domaines de l'activité humaine. Tout d'abord, cela s'applique aux boulons et aux écrous - les chapeaux des premier et second ne sont rien de plus qu'un hexagone régulier, si vous ne tenez pas compte des chanfreins. La taille des clés correspond au diamètre du cercle inscrit, c'est-à-dire à la distance entre les faces opposées.

A trouvé son application et les carreaux hexagonaux. Il est beaucoup moins courant qu'un quadrangulaire, mais il est plus commode de le poser : trois tuiles se rejoignent en un point, pas quatre. Les compositions peuvent être très intéressantes :

Des dalles de pavage en béton sont également produites.

La prévalence de l'hexagone dans la nature s'explique simplement. Ainsi, il est plus facile d'ajuster étroitement les cercles et les boules sur un plan s'ils ont le même diamètre. Pour cette raison, les nids d'abeilles ont une telle forme.

Propriétés mathématiques

Une caractéristique d'un hexagone régulier est l'égalité de son côté et du rayon du cercle circonscrit, puisque

Tous les angles sont de 120°.

Le rayon du cercle inscrit vaut :

Le périmètre d'un hexagone régulier est :

L'aire d'un hexagone régulier est calculée par les formules :

Les hexagones carrelant le plan, c'est-à-dire qu'ils peuvent remplir le plan sans lacunes ni chevauchements, formant ce qu'on appelle le parquet.

Parquet hexagonal (parquet hexagonal)- pavage du plan avec des hexagones réguliers égaux situés côte à côte.

Le parquet hexagonal est duel au parquet triangulaire : si vous reliez les centres des hexagones adjacents, les segments dessinés donneront un parquet triangulaire. Le symbole Schläfli d'un parquet hexagonal est (6,3), ce qui signifie que trois hexagones convergent à chaque sommet du parquet.

Le parquet hexagonal est l'emballage le plus dense de cercles sur le plan. Dans l'espace euclidien à deux dimensions, le meilleur remplissage consiste à placer les centres des cercles aux sommets d'un parquet formé d'hexagones réguliers, dans lequel chaque cercle est entouré de six autres. La densité de ce garnissage est . En 1940, il a été prouvé que ce garnissage est le plus dense.

Un hexagone régulier à côté est un revêtement universel, c'est-à-dire que tout ensemble de diamètre peut être recouvert par un hexagone régulier à côté (lemme de Pal).

Un hexagone régulier peut être construit à l'aide d'un compas et d'une règle. Ci-dessous la méthode de construction proposée par Euclide dans les Eléments, Livre IV, Théorème 15.

Hexagone régulier dans la nature, la technologie et la culture

montrer la partition du plan en hexagones réguliers. La forme hexagonale plus que les autres vous permet d'économiser sur les murs, c'est-à-dire que moins de cire sera dépensée sur des nids d'abeilles avec de telles cellules.

Quelques cristaux et molécules complexes, comme le graphite, ont un réseau cristallin hexagonal.

Formé lorsque des gouttelettes d'eau microscopiques dans les nuages ​​sont attirées par les particules de poussière et gèlent. Les cristaux de glace qui apparaissent dans ce cas, qui au début ne dépassent pas 0,1 mm de diamètre, tombent et se développent à la suite de la condensation de l'humidité de l'air sur eux. Dans ce cas, des formes cristallines à six pointes sont formées. En raison de la structure des molécules d'eau, seuls des angles de 60° et 120° sont possibles entre les rayons du cristal. Le cristal d'eau principal a la forme d'un hexagone régulier dans le plan. De nouveaux cristaux sont ensuite déposés sur les sommets d'un tel hexagone, de nouveaux sont déposés dessus, et ainsi diverses formes d'étoiles en flocons de neige sont obtenues.

Des scientifiques de l'Université d'Oxford ont pu simuler l'émergence d'un tel hexagone en laboratoire. Pour savoir comment se produit une telle formation, les chercheurs ont placé une bouteille d'eau de 30 litres sur un plateau tournant. Elle a modélisé l'atmosphère de Saturne et sa rotation habituelle. À l'intérieur, les scientifiques ont placé de petits anneaux qui tournent plus vite que le récipient. Cela a généré des tourbillons et des jets miniatures, que les expérimentateurs ont visualisés avec de la peinture verte. Plus l'anneau tournait vite, plus les tourbillons devenaient grands, faisant dévier le ruisseau voisin d'une forme circulaire. Ainsi, les auteurs de l'expérience ont réussi à obtenir diverses formes - ovales, triangles, carrés et, bien sûr, l'hexagone souhaité.

Un monument naturel d'environ 40 000 colonnes de basalte (rarement andésitiques) interconnectées, formées à la suite d'une ancienne éruption volcanique. Situé au nord-est de l'Irlande du Nord, à 3 km au nord de la ville de Bushmills.

Les sommets des colonnes forment une sorte de tremplin, qui commence au pied de la falaise et disparaît sous la surface de la mer. La plupart des colonnes sont hexagonales, bien que certaines aient quatre, cinq, sept ou huit angles. La colonne la plus haute mesure environ 12 mètres de haut.

Il y a environ 50 à 60 millions d'années, pendant la période paléogène, le site d'Antrim était soumis à une activité volcanique intense lorsque le basalte en fusion s'infiltrait à travers les dépôts, formant de vastes plateaux de lave. Avec un refroidissement rapide, le volume de la substance a diminué (ceci est observé lorsque la boue sèche). La compression horizontale a abouti à la structure caractéristique des piliers hexagonaux.

La section transversale de l'écrou a la forme d'un hexagone régulier.