Oblasť krivočiareho lichobežníka. Online kalkulačka. Výpočet určitého integrálu (plocha krivočiareho lichobežníka)

Tehotenstvo

Námestie krivočiary lichobežník sa číselne rovná určitému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby ju možno vždy nakresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Najprv a rozhodujúci moment riešenia - kreslenie. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „od oka“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je celkom jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, nanajvýš tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničené čiarami, , a os

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou, potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „sami od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime takýto príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAD(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, tak

A teraz pár príkladov pre nezávislé rozhodnutie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu skutočný prípad zo života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Najprv nakreslíme:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často stáva, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená v zelenej farbe!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili?

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

V dôsledku toho, .

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok na výkres.

Pre bodové kreslenie potrebujete vedieť vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

(1) Ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín, môžete vidieť v lekcii Integrály goniometrických funkcií. Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.

(2) Vo formulári používame základnú goniometrickú identitu

(3) Zmeňme premennú , potom:

Nové prerozdelenia integrácie:

Kto naozaj zle obchoduje so suplovaním, choďte na lekciu Náhradná metóda v neurčitom integráli. Pre tých, ktorým nie je veľmi jasný algoritmus náhrady v určitom integráli, navštívte stránku Určitý integrál. Príklady riešení.

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Teraz prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. Ako použiť určitý integrál na výpočet plochy rovinného útvaru. Napokon, tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V živote sa musíme zblížiť vidiecka chatová oblasť elementárnych funkcií a nájsť jej obsah pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Kovať teplo priateľské vzťahy s určitými integrálmi nájdete na stránke Určitý integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrázku, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha "vypočítať plochu pomocou určitého integrálu" vždy zahŕňa konštrukciu výkresu, o veľa viac aktuálny problém budú vaše vedomosti a zručnosti v kreslení. V tomto ohľade je užitočné osviežiť si pamäť grafov hlavných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť zostaviť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá (mnohí potrebujú) pomocou metodický materiál a články o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti každý pozná problém hľadania oblasti pomocou určitého integrálu už od školy a my trochu predbehneme školské osnovy. Tento článok by možno vôbec neexistoval, ale faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študenta s nadšením s ovládaním kurzu vyššej matematiky trápi nenávidená veža.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime s krivočiarym lichobežníkom.

Krivočiary lichobežník nazývaný plochý útvar ohraničený osou , priamkami , a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý nemení znamienko na tomto intervale. Nechajte tento obrázok nájsť nie menejúsečka:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si želajú, môžu dokončiť výkres) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, s technikou bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

A teraz pracovný vzorec: Ak je na intervale nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a priamkami, možno nájsť podľa vzorca:

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou , a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre nezávislé rozhodnutie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba vypadla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime ešte k jednej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok do výkresu.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a prerobiť obrázok, pardon, nie hotz. Nie kresba, skrátka dnes je ten deň =)

Pre stavbu bod po bode je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

Úloha 1(o výpočte plochy krivočiareho lichobežníka).

V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je uvedený údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x \u003d a, x \u003d b (krivkový lichobežník. Je potrebné vypočítať plochu \ krivočiary lichobežník.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah budeme schopní nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom argumentujeme nasledovne.

Rozdeľme segment [a; b] (základňa krivočiareho lichobežníka) na n rovnakých dielov; toto rozdelenie je realizovateľné pomocou bodov x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Nakreslite čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.

Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. krivočiary lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Oblasť obdĺžnika je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je dĺžka segmentu; je prirodzené považovať zostavený produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca.

Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledovnému výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
V záujme jednotnosti zápisu tu uvažujeme, že a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - dĺžka segmentu , $\Delta x_1 $ - dĺžka segmentu atď.; zatiaľ čo, ako sme sa zhodli vyššie, $\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \približne S_n $, a táto približná rovnosť je tým presnejšia, čím je n väčšie.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná oblasť krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Úloha 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite posunutie bodu za časový interval [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa úloha riešila veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pre nerovnomerný pohyb treba použiť tie isté myšlienky, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový interval a predpokladajme, že počas tohto časového intervalu bola rýchlosť konštantná, ako napríklad v čase t k . Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu posunutia bodu za časový interval , túto približnú hodnotu označíme s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
$s \približne S_n $ kde
$S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôzne úlohy zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. Takže tento matematický model by sa mal špeciálne študovať.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), ktorá je spojitá (ale nie nevyhnutne nezáporná, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na segmente [ a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volá sa určitý integrál funkcie y = f(x) cez segment [a; b] a sú označené takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).

Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v probléme 1 môže byť teraz prepísaná takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tu S je oblasť krivočiareho lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. To je čo geometrický význam určitého integrálu.

Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) v časovom intervale od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:

Newtonov - Leibnizov vzorec

Na začiatok si odpovedzme na otázku: aký je vzťah medzi určitým integrálom a primitívom?

Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu, ktorý sa pohybuje po priamke rýchlosťou v = v(t) za časový interval od t = a do t = b, sa vypočíta ako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); preto posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitívna derivácia pre v(t).

Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na segmente [a; b], potom vzorec
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitívna derivácia pre f(x).

Tento vzorec sa zvyčajne nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.

V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (niekedy je tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte Newtonov-Leibnizov vzorec do tohto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b $

Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.

Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca možno získať dve vlastnosti určitého integrálu.

Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Pomocou integrálu môžete vypočítať plochu nielen krivočiarych lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov zložitejšieho typu, ako je ten, ktorý je znázornený na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť $g(x) \leq f(x) $. Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrázku ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), spojité na segmente a také, že pre ľubovoľné x od segment [a; b] nerovnosť $g(x) \leq f(x) $ je splnená, vypočíta sa podľa vzorca
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabuľka neurčitých integrálov (antiderivátov) niektorých funkcií

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Príklad 1 . Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Postavme postavu (pozri obr.) Postavíme priamku x + 2y - 4 \u003d 0 pozdĺž dvoch bodov A (4; 0) a B (0; 2). Vyjadrením y ako x dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podľa vzorca (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2 Nájsť

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 m2 Jednotky

Príklad 2 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.

Riešenie. Postavme si postavu.

Zostavme priamku x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Zostrojme priamku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nájdite priesečník priamok riešením sústavy rovníc:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Na výpočet potrebnej plochy rozdelíme trojuholník AMC na dva trojuholníky AMN a NMC, keďže pri zmene x z A na N je plocha ohraničená priamkou a pri zmene x z N na C ide o priamku.

Pre trojuholník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, t.j. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pre trojuholník NMC platí: y = - x + 5, t.j. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtom plochy každého z trojuholníkov a pridaním výsledkov zistíme:

sq Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 štvorcových. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 štvorcových. Jednotky

Príklad 3 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto prípade je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného parabolou y = x 2 , priamky x \u003d 2 a x \u003d 3 a os Ox (pozri obr.) Podľa vzorca (1) nájdeme oblasť krivočiareho lichobežníka

= = 6kv. Jednotky

Príklad 4 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0

Postavme si postavu. Požadovaná oblasť je uzavretá medzi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a os Oh.

Nájdite priesečníky paraboly s osou x. Za predpokladu, že y \u003d 0, nájdeme x \u003d Keďže toto číslo je symetrické okolo osi Oy, vypočítame plochu čísla umiestnenej napravo od osi Oy a výsledok zdvojnásobíme: \u003d + 4x] štvorcových Jednotky 2 = 2 štvorcových. Jednotky

Príklad 5 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tu je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného hornou vetvou paraboly y 2 \u003d x, os Ox a priame čiary x \u003d 1x \u003d 4 (pozri obr.)

Podľa vzorca (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= štvorcových jednotiek

Príklad 6 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Požadovaná oblasť je ohraničená sínusoidou polovičnej vlny a osou Ox (pozri obr.).

Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metre štvorcových. Jednotky

Príklad 7 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.

Obrázok sa nachádza pod osou Ox (pozri obr.).

Preto sa jeho plocha zistí podľa vzorca (3)

= =

Príklad 8 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d a x \u003d 2. Krivku y \u003d zostavíme podľa bodov (pozri obrázok). Plocha obrázku sa teda nachádza podľa vzorca (4)

Príklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Tu je potrebné vypočítať plochu ohraničenú kružnicou x 2 + y 2 = r 2 t.j. oblasť kruhu s polomerom r so stredom v počiatku. Nájdite štvrtú časť tejto oblasti, pričom hranice integrácie si vezmeme od 0

dor; máme: 1 = = [

v dôsledku toho 1 =

Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d x 2 a y = 2x

Toto číslo je obmedzené parabolou y \u003d x 2 a priamka y \u003d 2x (pozri obr.) Na určenie priesečníkov daných čiar riešime sústavu rovníc: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocou vzorca (5) na nájdenie oblasti získame

= }