Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept

Cel mai mic numitor comun (LCD) in termeni simpli este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor din acest exemplu. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOZ este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple

Să luăm în considerare exemple de găsire a NOZ.

Calculați: 3/5 + 2/15.

Soluție (secvență de acțiuni):

• Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și expresiile sunt reduse cât mai mult posibil.
• Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NOZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
• După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NOZ trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.

Calculați: 1/2 - 5/12 + 3/6

Soluție (secvență de acțiuni):

• Găsirea celui mai mic numitor comun. Numărul minim divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
• Se obține: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 - 6; pentru 5/12 - 1; pentru 3/6 - 2.
• Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Raspuns: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Dar multe numere întregi sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b.

multiplu comun mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni, există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr se numește cel mai puţinmultiplu comun (LCM).

LCM este întotdeauna un număr natural, care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mși n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mși n. Mai mult, setul multiplilor comuni m,n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m,n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Precum și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți folosi relația acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k sunt diverse numere prime și d 1 ,...,d kși e 1 ,...,ek sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi LCM ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, expansiunea LCM conține toți factorii primi care sunt incluși în cel puțin una dintre expansiunile numerice a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui factor este luat.

Exemplu:

Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redus la mai multe calcule succesive ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare expansiune la factorii produsului dorit (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați), apoi adăugați factori din expansiunea altor numere care nu apar în primul număr sau sunt în el un număr mai mic de ori;

- produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) au fost completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr, care este divizibil cu 21 și 28 .

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 au fost completați cu un factor de 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) al cărui multipli sunt toate numerele date.

Numerele 2,3,11,37 sunt prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

regulă. Pentru a calcula LCM al numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Scriem cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și Atentie speciala Să aruncăm o privire la exemple. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă între LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare cunoscut divizor comun. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Soluţie.

pentru că 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . În acest fel, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Să fie date numere întregi numere pozitive a 1 , a 2 , …, a k , cel mai mic multiplu comun m k al acestor numere se găsește prin calcul secvențial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Cel mai mare divizor comun

Definiția 2

Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $b$, atunci $b$ se numește divizor al lui $a$, iar numărul $a$ este numit multiplu al lui $b$.

Fie $a$ și $b$ numere naturale. Numărul $c$ se numește divizor comun atât pentru $a$ cât și pentru $b$.

Mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $a$ și $b$ este finită, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $a$. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există cel mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$, iar notația este folosită pentru a-l desemna:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​sau \ D \ (a;b)$

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere:

1. Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

Exemplul 1

Găsiți mcd-ul numerelor $121$ și $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Alegeți numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$gcd=2\cdot 11=22$

Exemplul 2

Găsiți GCD-ul monomiilor $63$ și $81$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta:

Să descompunem numerele în factori primi

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Selectăm numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$gcd=3\cdot 3=9$

Puteți găsi GCD a două numere într-un alt mod, folosind setul de divizori de numere.

Exemplul 3

Găsiți mcd-ul numerelor $48$ și $60$.

Soluţie:

Găsiți setul de divizori de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Acum să găsim setul de divizori de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Să găsim intersecția acestor mulțimi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $48$ și $60 $. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $12$. Deci, cel mai mare divizor comun al 48$ și 60$ este de 12$.

Definiţia NOC

Definiția 3

multiplu comun al numerelor naturale$a$ și $b$ este un număr natural care este un multiplu atât al lui $a$ cât și al $b$.

Multiplii comuni ai numerelor sunt numere care sunt divizibile cu originalul fără rest. De exemplu, pentru numerele $25$ și $50$, multiplii comuni vor fi numerele $50,100,150,200$ etc.

Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și notat cu LCM$(a;b)$ sau K$(a;b).$

Pentru a găsi LCM a două numere, aveți nevoie de:

1. Descompune numerele în factori primi
2. Scrieți factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu merg la primul

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor $99$ și $77$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta

Descompune numerele în factori primi

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Notați factorii incluși în primul

adaugă la ei factori care fac parte din al doilea și nu merg la primul

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilarea listelor de divizori ai numerelor necesită adesea foarte mult timp. Există o modalitate de a găsi GCD numită algoritmul lui Euclid.

Afirmații pe care se bazează algoritmul lui Euclid:

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale și $a\vdots b$, atunci $D(a;b)=b$

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale astfel încât $b

Folosind $D(a;b)= D(a-b;b)$, putem scădea succesiv numerele luate în considerare până ajungem la o pereche de numere astfel încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Apoi, cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $a$ și $b$.

Proprietățile GCD și LCM

1. Orice multiplu comun al lui $a$ și $b$ este divizibil cu K$(a;b)$
2. Dacă $a\vdots b$ , atunci K$(a;b)=a$

Dacă K$(a;b)=k$ și $m$-număr natural, atunci K$(am;bm)=km$

Dacă $d$ este un divizor comun pentru $a$ și $b$, atunci K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d); ) $

Dacă $a\vdots c$ și $b\vdots c$ , atunci $\frac(ab)(c)$ este un multiplu comun al $a$ și $b$

Pentru orice numere naturale $a$ și $b$ egalitatea

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Orice divizor comun al lui $a$ și $b$ este un divizor al lui $D(a;b)$

Luați în considerare trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Găsirea prin factorizare

Prima modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM a numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, descompunem fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere care apare și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Deci LCM (99, 30, 28) = 13 860. Niciun alt număr mai mic de 13 860 nu este divizibil egal cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, trebuie să le descompuneți în factori primi, apoi să luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent cu care apare și să înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt coprime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru ar trebui făcut atunci când se caută cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin potrivire.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este divizibil egal cu alte numere date, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. În continuare, găsim numere care sunt multipli ai celui mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă numerele date rămase sunt divizibile cu produsul rezultat.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinați cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. Apoi, găsiți multiplii lui 24, verificând dacă fiecare dintre ei este divizibil cu 18 și cu 3:

24 1 = 24 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 18.

24 2 = 48 - divizibil cu 3 dar nu divizibil cu 18.

24 3 \u003d 72 - divizibil cu 3 și 18.

Deci LCM(24, 3, 18) = 72.

Găsire prin căutare secvențială LCM

A treia modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea succesivă a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, se utilizează următoarea procedură:

1. În primul rând, se găsește LCM a oricăror două dintre numerele date.
2. Apoi, LCM al celui mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr și așa mai departe.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al lui 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al lor: mcd (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8, 9) = 72.