Cel mai mic multiplu comun de 8 și 10. Cel mai mic multiplu comun (LCM): definiție, exemple și proprietăți

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.

Să-l găsim pe cel mai mare divizor comun numerele 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.

Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numere naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit numărul perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un număr par. număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte număr dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b.

multiplu comun mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni, există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr se numește cel mai puţinmultiplu comun (LCM).

LCM este întotdeauna un număr natural, care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mși n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mși n. Mai mult, setul multiplilor comuni m,n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m,n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Precum și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți folosi relația acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k sunt diverse numere prime și d 1 ,...,dkși e 1 ,...,ek sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi LCM ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, expansiunea LCM conține toți factorii primi care sunt incluși în cel puțin una dintre expansiunile numerice a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui factor este luat.

Exemplu:

Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redus la mai multe calcule succesive ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare expansiune la factorii produsului dorit (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați), apoi adăugați factori din expansiunea altor numere care nu apar în primul număr sau sunt în el un număr mai mic de ori;

- produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) au fost completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr, care este divizibil cu 21 și 28 .

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 au fost completați cu un factor de 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) al cărui multipli sunt toate numerele date.

Numerele 2,3,11,37 sunt prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

regulă. Pentru a calcula LCM al numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Scriem cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.

Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.

Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.

Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numerele dintr-o linie, iar sub ea - restul.

În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În extinderea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.

Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Astfel, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru).

Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM(10, 11) = 110.

Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este definită de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b: MCM(a, b).

Dovada.

Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a k ​​este divizibil cu b.

Notați mcd(a, b) ca d . Apoi putem nota egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere coprime. Prin urmare, condiția obținută în paragraful anterior că a k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 d k este divizibil cu b 1 d , iar aceasta, datorită proprietăților divizibilității, este echivalentă cu condiția ca a 1 k este divizibil cu b unu .

De asemenea, trebuie să notăm două corolare importante din teorema considerată.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acest lucru este adevărat, deoarece orice multiplu comun al M numere a și b este definit de egalitatea M=LCM(a, b) t pentru o valoare întreagă t .

Cel mai mic multiplu comun al primelor numere pozitive a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt între prime, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea succesivă a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă: a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii lui m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , …, a k este m k .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.

Să continuăm discuția despre cel mai mic multiplu comun pe care l-am început în secțiunea LCM - Least Common Multiple, Definiție, Exemple. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei numere sau mai multe, vom analiza întrebarea cum să găsim LCM a unui număr negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să definim LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.

Definiția 1

Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exemplul 1

Este necesar să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126 , b = 70 . Înlocuiți valorile din formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește MCD al numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , deci mcd (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCM (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM (126, 70) = 630.

Exemplul 2

Aflați nok-ul numerelor 68 și 34.

Soluţie

GCD în acest caz este ușor de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Calculați cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, atunci LCM-ul acestor numere va fi egal cu primul număr.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi LCM, care se bazează pe descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

• alcătuim produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
• excludem toți factorii primi din produsele obținute;
• produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Acest mod de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care sunt implicați în expansiunea acestor două numere. În acest caz, MCD a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza astfel: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. Dacă faceți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 și 700 , descompunând ambele numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7 .

Produsul tuturor factorilor care au participat la extinderea acestor numere va arăta astfel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factorii comuni. Acest număr este 7. Îl excludem din produsul general: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LCM (441, 700) = 44100.

Să dăm încă o formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

• Să descompunem ambele numere în factori primi:
• adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
• obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210 , pentru care am căutat deja LCM într-unul dintre exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3 , 5 și 5 numărul 75 adună factorii lipsă 2 și 7 numerele 210 . Primim: 2 3 5 5 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să descompunem numerele din condiție în factori primi: 84 = 2 2 3 7și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Se adaugă la produsul factorilor 2 , 2 , 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2 , 3 , 3 și
3 numerele 648 . Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM (84, 648) = 4536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi în mod constant LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema unor probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Să folosim algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Se obține: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prin urmare, m 2 = 1 260 .

Acum să calculăm după același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . În cursul calculelor, obținem m 3 = 3 780.

Rămâne să calculăm m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Acționăm după același algoritm. Obținem m 4 \u003d 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de laborioase. Pentru a economisi timp, puteți merge în altă direcție.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

• descompune toate numerele în factori primi;
• la produsul factorilor primului număr, se adaugă factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
• adăugați factorii lipsă ai celui de-al treilea număr la produsul obținut în etapa anterioară etc.;
• produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Este necesar să găsiți LCM a cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie

Să descompunăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Ne întoarcem la numărul 48, din produsul factorilor primi din care luăm 2 și 2. Apoi adăugăm un factor simplu de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun dintre cele cinci numere originale.

Răspuns: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun numere negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate conform algoritmilor de mai sus.

Exemplul 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) și LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă se acceptă că Ași − a- numere opuse
apoi setul de multipli A coincide cu mulţimea multiplilor unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 și − 45 .

Soluţie

Să schimbăm numerele − 145 și − 45 la numerele lor opuse 145 și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul Euclid.

Obținem că LCM a numerelor − 145 și − 45 egală 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter