इस पाठ की सहायता से आप तर्कसंगत असमानताओं और उनकी प्रणालियों के बारे में जानेंगे। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली को समान परिवर्तनों की सहायता से हल किया जाता है। तुल्यता की परिभाषा पर विचार किया जाता है, एक वर्ग के साथ एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को बदलने की विधि, और यह भी समझती है कि असमानता और समीकरण के बीच क्या अंतर है और समकक्ष परिवर्तन कैसे किए जाते हैं।

बीजगणित ग्रेड 9

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति

तर्कसंगत असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली।

1.1 सार।

1. तर्कसंगत असमानताओं के समतुल्य परिवर्तन।

तय करना तर्कसंगत असमानताइसका मतलब है कि इसके सभी समाधान खोजने के लिए। एक समीकरण के विपरीत, एक असमानता को हल करते समय, एक नियम के रूप में, अनंत संख्या में समाधान होते हैं। समाधान की अनंत संख्या को प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, मूल असमानता को इस तरह बदलना आवश्यक है कि प्रत्येक अगली पंक्ति में समाधानों के समान सेट के साथ एक असमानता प्राप्त हो।

तर्कसंगत असमानताएंकेवल के साथ हल किया गया बराबरया समकक्ष परिवर्तन। इस तरह के परिवर्तन समाधान के सेट को विकृत नहीं करते हैं।

परिभाषा. तर्कसंगत असमानताएंबुलाया बराबरयदि उनके समाधान के सेट समान हैं।

मनोनीत करना समानकसाइन का प्रयोग करें

2. असमानताओं की प्रणाली का समाधान

पहली और दूसरी असमानताएँ भिन्नात्मक परिमेय असमानताएँ हैं। उन्हें हल करने की विधियाँ रैखिक और द्विघात असमानताओं को हल करने के तरीकों की एक स्वाभाविक निरंतरता हैं।

आइए विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर की संख्याओं को बाईं ओर ले जाएं।

परिणामस्वरूप, 0 दाईं ओर रहेगा। यह परिवर्तन समतुल्य है। यह संकेत द्वारा इंगित किया गया है

आइए उन क्रियाओं को करें जो बीजगणित निर्धारित करती हैं। पहली असमानता में "1" और दूसरे में "2" घटाएं।

3. अंतराल विधि द्वारा असमानता को हल करना

1) आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। हमें यह जानने की जरूरत है कि यह फ़ंक्शन 0 से कम कब है।

2) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: भाजक 0 नहीं होना चाहिए। "2" विराम बिंदु है। x=2 के लिए फलन अनिश्चित है।

3) फलन के मूल ज्ञात कीजिए। यदि अंश 0 है तो फलन 0 है।

सेट अंक संख्यात्मक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं - ये निरंतरता के अंतराल हैं। प्रत्येक अंतराल पर, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है। आइए हम पहले अंतराल पर चिह्न निर्धारित करें। कुछ मूल्य बदलें। उदाहरण के लिए, 100. यह स्पष्ट है कि अंश और हर दोनों 0 से बड़े हैं। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न धनात्मक है।

आइए हम शेष अंतरालों पर संकेतों को निर्धारित करें। बिंदु x=2 से गुजरने पर केवल हर चिह्न बदलता है। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न का चिह्न बदल जाएगा, और ऋणात्मक हो जाएगा। आइए एक ऐसी ही चर्चा करते हैं। बिंदु x=-3 से गुजरने पर केवल अंश ही चिह्न बदलता है। इसका मतलब है कि भिन्न संकेत बदलेगा और सकारात्मक होगा।

हम असमानता की स्थिति के अनुरूप एक अंतराल चुनते हैं। इसे छायांकित करें और इसे असमानता के रूप में लिखें

4. द्विघात असमानता का उपयोग करके असमानता को हल करना

एक महत्वपूर्ण तथ्य।

जब 0 से तुलना की जाती है (सख्त असमानता के मामले में), अंश को अंश और हर के गुणन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, या अंश या हर को बदला जा सकता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि तीनों असमानताएँ धारण करती हैं बशर्ते कि u और v अलग संकेत. ये तीनों असमानताएँ समान हैं।

हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं और भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को एक वर्ग से बदल देते हैं।

आइए द्विघात असमानता को हल करें।

आइए परिचय द्विघात फंक्शन. आइए इसकी जड़ें खोजें और इसके ग्राफ का एक स्केच बनाएं।

तो परवलय की शाखाएं ऊपर हैं। जड़ों के अंतराल के अंदर, फ़ंक्शन चिह्न को सुरक्षित रखता है। वह नकारात्मक है।

जड़ों के अंतराल के बाहर, कार्य सकारात्मक है।

पहली असमानता का समाधान:

5. असमानता का समाधान

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें:

आइए हम इसकी स्थिरता के अंतराल को खोजें:

ऐसा करने के लिए, हम फलन के प्रांत के मूल और असंततता बिंदु पाते हैं। हम हमेशा ब्रेक पॉइंट काटते हैं। (x \u003d 3/2) हमने असमानता के संकेत के आधार पर जड़ों को काट दिया। हमारी असमानता सख्त है। इसलिए, हमने जड़ को काट दिया।

आइए संकेत रखें:

आइए समाधान लिखें:

आइए सिस्टम का समाधान समाप्त करें। आइए हम पहली असमानता के समाधानों के समुच्चय और दूसरी असमानता के समाधानों के समुच्चय का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।

असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है पहली असमानता के समाधान के सेट और दूसरी असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन खोजना। इसलिए, पहली और दूसरी असमानताओं को अलग-अलग हल करने के बाद, प्राप्त परिणामों को एक प्रणाली में लिखना आवश्यक है।

आइए हम x-अक्ष पर पहली असमानता के समाधान को चित्रित करें।

>>गणित: तर्कसंगत असमानताएं

एक चर x वाली परिमेय असमानता, परिमेय व्यंजकों के रूप की असमानता है, अर्थात्। बीजीय व्यंजक, संख्याओं और चर x से बना है जो जोड़, घटाव, गुणा, भाग और प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के संचालन का उपयोग करता है। बेशक, चर को किसी अन्य अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, लेकिन गणित में, अक्षर x को सबसे अधिक पसंद किया जाता है।

तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, ऊपर § 1 में तैयार किए गए तीन नियमों का उपयोग किया जाता है। इन नियमों की सहायता से, दी गई तर्कसंगत असमानता को आमतौर पर / (x)> 0 के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जहां / (x) एक बीजीय है भिन्न (या बहुपद)। इसके बाद, अंश f (x) के अंश और हर को x - a (यदि, निश्चित रूप से, यह संभव है) के कारकों में विघटित करें और अंतराल विधि को लागू करें, जिसका हमने पहले ही ऊपर उल्लेख किया है (पिछले में उदाहरण 3 देखें) पैराग्राफ)।

उदाहरण 1असमानता को हल करें (x - 1) (x + 1) (x - 2)> 0।

समाधान।व्यंजक f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) पर विचार करें।

यह अंक 1,-1,2 पर 0 हो जाता है; इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं द्वारा चार अंतरालों (चित्र 6) में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिह्न रखता है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम चार तर्क देंगे (इनमें से प्रत्येक अंतराल के लिए अलग से)।

अंतराल से कोई भी बिंदु x लें (2, यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर और बिंदु 2 के दाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x> -1, x> 1, x> 2 (चित्र 7) लेकिन फिर x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, और इसलिए f (x)> 0 (तीन सकारात्मक की तर्कसंगत असमानता के उत्पाद के रूप में) संख्याएँ)। तो, असमानता f (x )> 0।

अंतराल (1,2) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर, लेकिन बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसलिए, x\u003e -1, x\u003e 1, लेकिन x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

अंतराल (-1,1) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। तो x> -1, लेकिन x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, एक्स -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (दो ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या के गुणनफल के रूप में)। तो, अंतराल (-1,1) पर असमानता f (x)> 0 धारण करती है।

अंत में, खुली किरण (-oo, -1) से कोई भी बिंदु x लें। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के बाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

आइए संक्षेप करते हैं। चयनित अंतरालों में व्यंजक f (x) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 11. हम उनमें से उन में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है। अंजीर में प्रस्तुत ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करना। 11, हम स्थापित करते हैं कि असमानता f (x) > 0 अंतराल (-1, 1) या खुले बीम पर संतुष्ट है
उत्तर: -1 < х < 1; х > 2.

उदाहरण 2असमानता को हल करें
समाधान।पिछले उदाहरण की तरह, हम अंजीर से आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे। 11, लेकिन उदाहरण 1 की तुलना में दो परिवर्तनों के साथ। पहला, चूंकि हम इस बात में रुचि रखते हैं कि x के कौन से मान असमानता को संतुष्ट करते हैं f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки दूसरे, हम उन बिंदुओं से भी संतुष्ट हैं जिन पर f (x) = 0 की समानता संतुष्ट है। ये बिंदु -1, 1, 2 हैं, हम उन्हें आकृति में काले घेरे से चिह्नित करते हैं और उन्हें उत्तर में शामिल करते हैं। अंजीर पर। 12 प्रतिक्रिया का एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है, जिससे विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड में जाना मुश्किल नहीं है।
उत्तर:
उदाहरण 3.असमानता को हल करें
समाधान. आइए हम असमानता के बाईं ओर निहित बीजीय अंश fx के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में हमारे पास x 2 - x \u003d x (x - 1) है।

भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद x 2 - bx ~ 6 का गुणनखंड करने के लिए, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं। समीकरण x 2 - 5x - 6 \u003d 0 से हम x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 पाते हैं। इसलिए, (हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए सूत्र का उपयोग किया: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2))।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में बदल दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस भिन्न का अंश अंक 0 और 1 पर 0 हो जाता है और अंक -1 और 6 पर 0 हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें (चित्र 13)। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं से पांच अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति fx) एक स्थिर चिह्न रखता है। उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चयनित अंतरालों में व्यंजक fx) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 13. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि असमानता f (x) कहाँ है< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 उत्तर: -1

उदाहरण 4असमानता को हल करें

समाधान।तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, एक नियम के रूप में, वे असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 छोड़ना पसंद करते हैं। इसलिए, हम असमानता को रूप में बदलते हैं

आगे:

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, यदि असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 है, तो यह तर्क करना अधिक सुविधाजनक है कि इसके बाईं ओर के अंश और हर दोनों में एक सकारात्मक अग्रणी गुणांक है। और हमारे पास क्या है? हमारे पास सब कुछ है इस अर्थ में भिन्न का हर क्रम में (उच्चतम गुणांक, यानी x 2 पर गुणांक, 6 है - सकारात्मक संख्या), लेकिन अंश में सब कुछ क्रम में नहीं है - प्रमुख गुणांक (x पर गुणांक) -4 है ( एक ऋणात्मक संख्या) असमानता के दोनों भागों को -1 से गुणा करने पर और असमानता के चिन्ह को विपरीत में बदलने पर, हम इसके बराबर असमानता प्राप्त करते हैं

आइए एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में, सब कुछ सरल है:
एक भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना

(हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए फिर से सूत्र का उपयोग किया)।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में घटा दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस भिन्न का अंश बिंदु पर 0 हो जाता है और हर - बिंदुओं पर। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा (चित्र 14) पर नोट करते हैं, जो संकेतित बिंदुओं से चार अंतरालों में विभाजित होता है, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिन्ह रखता है (ये चिन्ह चित्र 14 में दर्शाए गए हैं)। हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने दी गई असमानता को f (x)> 0 या f (x) के रूप की एक समान असमानता में बदल दिया।<0,где
इस मामले में, अंश के अंश और हर में कारकों की संख्या कोई भी हो सकती है। फिर अंक रेखा पर अंक a, b, c, e अंकित किए गए। और चयनित अंतरालों पर व्यंजक f (x) के चिह्नों को निर्धारित किया। हमने देखा कि चयनित अंतरालों के दाईं ओर, असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है, और फिर व्यंजक f (x) के संकेत अंतराल के साथ वैकल्पिक होते हैं (चित्र 16a देखें)। इस प्रत्यावर्तन को एक लहरदार वक्र की सहायता से आसानी से चित्रित किया गया है, जिसे दाएँ से बाएँ और ऊपर से नीचे की ओर खींचा गया है (चित्र 166)। उन अंतरालों पर जहां यह वक्र (इसे कभी-कभी संकेतों का वक्र कहा जाता है) x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, असमानता f (x) > 0 संतुष्ट होती है; जहां यह वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, असमानता f (x)< 0.

उदाहरण 5असमानता को हल करें

समाधान।हमारे पास है

(पिछली असमानता के दोनों भागों को 6 से गुणा किया गया था)।
अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए, संख्या रेखा पर बिंदुओं को चिह्नित करें (इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर निहित अंश का अंश गायब हो जाता है) और अंक (इन बिंदुओं पर संकेतित अंश का हर गायब हो जाता है)। आमतौर पर, बिंदुओं को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित किया जाता है, जिस क्रम में वे अनुसरण करते हैं (जो एक दाईं ओर है, जो एक बाईं ओर है) और विशेष रूप से पैमाने पर ध्यान नहीं दे रहा है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के साथ स्थिति अधिक जटिल है। पहला अनुमान बताता है कि दोनों संख्याएँ 2.6 से थोड़ी बड़ी हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि कौन सी संकेतित संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी है। मान लीजिए (यादृच्छिक रूप से) कि तब
यह सही असमानता निकला, जिसका अर्थ है कि हमारे अनुमान की पुष्टि हुई: वास्तव में
इसलिए,

हम संख्या रेखा (चित्र 17a) पर संकेतित क्रम में संकेतित 5 बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। अभिव्यक्ति के संकेतों को व्यवस्थित करें
प्राप्त अंतराल पर: बहुत दाईं ओर - एक + चिन्ह, और फिर संकेत वैकल्पिक (चित्र। 176)। आइए हम संकेतों का एक वक्र बनाएं और उन अंतरालों का चयन करें (छायांकित करके) जिन पर असमानता f (x) > 0 हमारे लिए संतुष्ट है (चित्र 17c)। अंत में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हम एक गैर-सख्त असमानता f (x) > 0 के बारे में बात कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन बिंदुओं में भी रुचि रखते हैं जहां पर व्यंजक f (x) गायब हो जाता है। ये भिन्न f (x) के अंश के मूल हैं, अर्थात्। अंक हम उन्हें अंजीर में चिह्नित करते हैं। 17 काले घेरे में (और, निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल करें)। अब यहाँ तस्वीर है। 17c दी गई असमानता के समाधान के लिए एक पूर्ण ज्यामितीय मॉडल देता है।

रिक्ति विधि- यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में होने वाली लगभग किसी भी असमानता को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है। यह कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1. सतत फलन g(x) केवल उस बिंदु पर संकेत बदल सकता है जहां यह 0 के बराबर है। आलेखीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक सतत फलन का ग्राफ एक अर्ध-तल से दूसरे में तभी जा सकता है जब वह x- को पार करता है- अक्ष (हमें याद है कि OX अक्ष (भुज अक्ष) पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य के बराबर है, अर्थात इस बिंदु पर फलन का मान 0 है):

हम देखते हैं कि ग्राफ पर दिखाया गया फलन y=g(x) OX अक्ष को x= -8, x=-2, x=4, x=8 बिंदुओं पर काटता है। इन बिन्दुओं को फलन का शून्यक कहते हैं। और उसी बिंदु पर फ़ंक्शन g(x) चिह्न बदलता है।

2. फलन हर के शून्य में चिह्न को भी बदल सकता है - सबसे सरल उदाहरणप्रसिद्ध विशेषता:

हम देखते हैं कि फलन हर के मूल में, बिंदु पर संकेत बदलता है, लेकिन किसी भी बिंदु पर गायब नहीं होता है। इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन में एक भिन्न है, तो यह हर के मूल में चिह्न को बदल सकता है।

2. हालांकि, फलन हमेशा अंश के मूल में या हर के मूल में चिह्न नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x 2 बिंदु x=0 पर चिह्न नहीं बदलता है:

इसलिये समीकरण x 2 \u003d 0 की दो समान जड़ें हैं x \u003d 0, बिंदु x \u003d 0 पर, फ़ंक्शन, जैसा कि यह था, दो बार 0 हो जाता है। इस तरह की जड़ को दूसरी बहुलता की जड़ कहा जाता है।

समारोह अंश के शून्य पर चिह्न बदलता है, लेकिन हर के शून्य पर चिह्न नहीं बदलता है: क्योंकि मूल दूसरी बहुलता का मूल है, जो कि सम गुणन का भी है:

महत्वपूर्ण! सम बहुलता के मूल में फलन चिन्ह नहीं बदलता है।

टिप्पणी! कोई गैर रेखीयबीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम की असमानता, एक नियम के रूप में, अंतराल की विधि का उपयोग करके हल की जाती है।

मैं आपको एक विस्तृत प्रस्ताव देता हूं, जिसके बाद आप गलतियों से बच सकते हैं जब निर्णय नहीं रैखिक असमानताएं .

1. सबसे पहले आपको असमानता को फॉर्म में लाना होगा

पी (एक्स) वी0,

जहाँ V असमानता का चिन्ह है:<,>,≤ या . इसके लिए आपको चाहिए:

a) सभी पदों को असमानता के बाईं ओर ले जाएँ,

बी) परिणामी अभिव्यक्ति की जड़ें पाएं,

ग) असमानता के बाईं ओर गुणनखंडित करें

d) समान कारकों को डिग्री के रूप में लिखें।

ध्यान!जड़ों की बहुलता के साथ गलती न करने के लिए अंतिम क्रिया की जानी चाहिए - यदि परिणाम एक समान डिग्री में गुणक है, तो संबंधित जड़ में एक समान गुणन होता है।

2. प्राप्त मूलों को संख्या रेखा पर रखें।

3. यदि असमानता सख्त है, तो संख्यात्मक अक्ष पर जड़ों को दर्शाने वाले मंडल "खाली" छोड़ दिए जाते हैं, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो मंडलों को चित्रित किया जाता है।

4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं - उनमें पी (एक्स)संकेत नहीं बदलता है।

5. चिन्ह का निर्धारण करें पी (एक्स)अंतर के दाईं ओर। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना मान x 0 लें, जो सबसे बड़े रूट से बड़ा है और in . में स्थानापन्न करें पी (एक्स).

यदि P(x 0)>0 (या ≥0), तो सबसे दाहिने अंतराल में हम "+" चिन्ह लगाते हैं।

यदि पी(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

सम गुणन के मूल को इंगित करने वाले बिंदु से गुजरते समय, चिह्न नहीं बदलता है।

7. एक बार फिर हम मूल असमानता के चिन्ह को देखते हैं, और उस चिन्ह के अंतराल का चयन करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।

8. ध्यान दें! यदि हमारी असमानता STRICT नहीं है, तो हम समानता की स्थिति को शून्य से अलग से जाँचते हैं।

9. उत्तर लिखिए।

अगर मूल असमानता में हर में एक अज्ञात होता है, फिर हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और असमानता के बाईं ओर को फॉर्म में कम करते हैं

(जहाँ V असमानता का चिन्ह है:< или >)

इस तरह की सख्त असमानता असमानता के बराबर है

सख्त नहींफॉर्म की असमानता

के समान है व्यवस्था:

व्यवहार में, यदि फ़ंक्शन का रूप है, तो हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

1. अंश और हर के मूल ज्ञात कीजिए।
2. हम उन्हें धुरी पर रखते हैं। सभी मंडल खाली छोड़ दिए गए हैं। फिर, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो हम अंश की जड़ों पर पेंट करते हैं, और हमेशा हर की जड़ों को खाली छोड़ देते हैं।
3. अगला, हम सामान्य एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं:
4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं (यदि अंश और हर में समान जड़ें हों, तो हम गिनते हैं कि समान जड़ें कितनी बार आती हैं)। सम गुणन के मूल में चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
5. हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिन्ह का पता लगाते हैं।
6. हम संकेत लगाते हैं।
7. एक गैर-सख्त असमानता के मामले में, समानता की स्थिति, शून्य से समानता की स्थिति की अलग से जाँच की जाती है।
8. हम आवश्यक अंतराल और अलग से खड़ी जड़ों का चयन करते हैं।
9. हम उत्तर लिखते हैं।

बेहतर समझने के लिए अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, वीडियो पाठ देखें जिसमें उदाहरण का विस्तार से विश्लेषण किया गया है अंतराल की विधि द्वारा असमानता का समाधान.

हम उन असमानताओं को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करना जारी रखते हैं जिनकी संरचना में एक चर है। हम पहले ही रैखिक और द्विघात असमानताओं का अध्ययन कर चुके हैं, जो तर्कसंगत असमानताओं के विशेष मामले हैं। इस लेख में, हम स्पष्ट करेंगे कि किस प्रकार की असमानताएँ तर्कसंगत हैं, हम आपको बताएंगे कि वे किस प्रकार (पूर्णांक और भिन्नात्मक) में विभाजित हैं। उसके बाद, हम दिखाएंगे कि उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाए, आवश्यक एल्गोरिदम दें और विशिष्ट समस्याओं का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

तर्कसंगत समानता की अवधारणा

जब स्कूल में असमानताओं को हल करने के विषय का अध्ययन किया जाता है, तो वे तुरंत तर्कसंगत असमानताओं को लेते हैं। वे इस प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ काम करने के कौशल को हासिल करते हैं और उसमें सुधार करते हैं। आइए हम इस अवधारणा की परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 1

एक तर्कसंगत असमानता चर के साथ एक असमानता है जिसमें दोनों भागों में तर्कसंगत अभिव्यक्तियां होती हैं।

ध्यान दें कि परिभाषा किसी भी तरह से चर की संख्या को प्रभावित नहीं करती है, जिसका अर्थ है कि उनमें से मनमाने ढंग से बड़ी संख्या हो सकती है। इसलिए, 1, 2, 3 या अधिक चर वाली परिमेय असमानताएं संभव हैं। अक्सर, किसी को केवल एक चर, कम अक्सर दो वाले भावों से निपटना पड़ता है, और बड़ी संख्या में चर के साथ असमानताओं को आमतौर पर स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर बिल्कुल भी नहीं माना जाता है।

इस प्रकार, हम इसके अंकन को देखकर एक तर्कसंगत असमानता सीख सकते हैं। दाईं ओर और बाईं ओर दोनों तरफ तर्कसंगत अभिव्यक्ति होनी चाहिए। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

और यहाँ 5 + x + 1 . के रूप की असमानता है< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

सभी तर्कसंगत असमानताओं को पूर्णांक और भिन्न में विभाजित किया गया है।

परिभाषा 2

एक पूर्णांक परिमेय समानता में पूर्णांक परिमेय व्यंजक (दोनों भागों में) होते हैं।

परिभाषा 3

आंशिक रूप से तर्कसंगत समानता- यह एक समानता है जिसमें इसके एक या दोनों भागों में भिन्नात्मक अभिव्यक्ति होती है।

उदाहरण के लिए, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1> 4 - x 4 और 1 - 2 3 5 - y> 1 x 2 - y 2 के रूप की असमानताएँ हैं भिन्नात्मक परिमेय और 0 .5 x ≤ 3 (2 - 5 y)तथा 1: एक्स + 3 > 0- पूरे।

हमने विश्लेषण किया है कि तर्कसंगत असमानताएं क्या हैं और उनके मुख्य प्रकारों की पहचान की है। हम उन्हें हल करने के तरीके के बारे में एक सिंहावलोकन पर आगे बढ़ सकते हैं।

मान लीजिए हमें एक पूर्णांक परिमेय असमानता का समाधान खोजने की आवश्यकता है आर (एक्स)< s (x) , जिसमें केवल एक चर x शामिल है। जिसमें आर (एक्स)तथा एस (एक्स)क्या कोई संपूर्ण है परिमेय संख्याया भाव, और असमानता संकेत भिन्न हो सकते हैं। इस कार्य को हल करने के लिए, हमें इसे बदलने और समान समानता प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाकर प्रारंभ करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

r (x) - s (x) के रूप का< 0 (≤ , > , ≥)

हम जानते हैं कि आर (एक्स) - एस (एक्स)एक पूर्णांक मान होगा, और किसी भी पूर्णांक व्यंजक को बहुपद में बदला जा सकता है। आइए रूपांतरित करें आर (एक्स) - एस (एक्स)एच (एक्स) में। यह व्यंजक एक समान रूप से समान बहुपद होगा। यह मानते हुए कि r (x) - s (x) और h (x) में x के संभावित मानों की समान श्रेणी है, हम असमानताओं h (x) को पास कर सकते हैं< 0 (≤ , >, ) , जो मूल के बराबर होगा।

अक्सर ऐसा सरल परिवर्तन असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त होगा, क्योंकि परिणाम एक रैखिक या द्विघात असमानता हो सकता है, जिसके मूल्य की गणना करना मुश्किल नहीं है। आइए एक नजर डालते हैं इन मुद्दों पर।

उदाहरण 1

स्थि‍ति:एक पूर्णांक तर्कसंगत असमानता को हल करें एक्स (एक्स + 3) + 2 एक्स (एक्स + 1) 2 + 1.

समाधान

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करके प्रारंभ करें।

एक्स (एक्स + 3) + 2 एक्स - (एक्स + 1) 2 - 1 ≤ 0

अब जब हमने बाईं ओर बहुपद के साथ सभी संक्रियाएं पूरी कर ली हैं, तो हम रैखिक असमानता पर आगे बढ़ सकते हैं 3 एक्स -2 ≤ 0, जो शर्त में दिया गया था उसके बराबर। इसे हल करना आसान है:

3 एक्स ≤ 2 एक्स ≤ 2 3

उत्तर:एक्स 2 3।

उदाहरण 2

स्थि‍ति:असमानता का समाधान खोजें (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

समाधान

हम व्यंजक को बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके आगे के परिवर्तन करते हैं।

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x)> 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2> 0 1> 0

हमारे परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें एक असमानता मिली जो x के किसी भी मान के लिए सही होगी, इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या मूल असमानता का समाधान हो सकती है।

उत्तर:कोई वास्तविक संख्या।

उदाहरण 3

स्थि‍ति:असमानता का समाधान x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.

समाधान

हम दाईं ओर से कुछ भी स्थानांतरित नहीं करेंगे, क्योंकि 0 है। आइए बाईं ओर को बहुपद में परिवर्तित करके तुरंत शुरू करें:

x + 6 + 2 x 3 -2 x 3 -2 x 2 + 10 x > 0 -2 x 2 + 11 x + 6 > 0 ।

हमने मूल असमानता के बराबर एक द्विघात असमानता निकाली है, जिसे कई तरीकों से आसानी से हल किया जा सकता है। आइए ग्राफिकल विधि का उपयोग करें।

आइए वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों की गणना करके शुरू करें − 2 x 2 + 11 x + 6:

डी \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

अब आरेख पर हम सभी आवश्यक शून्यों को चिह्नित करते हैं। चूंकि अग्रणी गुणांक शून्य से कम है, ग्राफ़ पर परवलय की शाखाएं नीचे दिखाई देंगी।

हमें भुजिका अक्ष के ऊपर स्थित एक परवलय क्षेत्र की आवश्यकता होगी, क्योंकि हमारे पास असमानता में > चिह्न है। वांछित अंतराल है (− 0 , 5 , 6) , इसलिए, मूल्यों की यह श्रेणी हमारे लिए आवश्यक समाधान होगी।

उत्तर: (− 0 , 5 , 6) .

और भी जटिल मामले हैं, जब बाईं ओर हमें तीसरे या अधिक का बहुपद मिलता है उच्च डिग्री. ऐसी असमानता को हल करने के लिए, अंतराल विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। पहले हम बहुपद के सभी मूलों की गणना करते हैं एच (एक्स), जो बहुपद का गुणनखंडन करके बहुधा किया जाता है।

उदाहरण 4

स्थि‍ति:गणना करना (एक्स 2 + 2) (एक्स + 4)< 14 − 9 · x .

समाधान

आइए, हमेशा की तरह, व्यंजक को बाईं ओर ले जाकर प्रारंभ करें, जिसके बाद कोष्ठकों को खोलना और समान पदों को कम करना आवश्यक होगा।

(x 2 + 2) (x + 4) - 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें मूल समानता के बराबर समानता मिली, जिसके बाईं ओर तीसरी डिग्री का बहुपद है। हम इसे हल करने के लिए अंतराल विधि लागू करते हैं।

सबसे पहले, हम बहुपद की जड़ों की गणना करते हैं, जिसके लिए हमें घन समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. क्या इसकी तर्कसंगत जड़ें हैं? वे केवल मुक्त पद के भाजक में से हो सकते हैं, अर्थात्। संख्याओं के बीच ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 । हम उन्हें बदले में मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और पता लगाते हैं कि संख्या 1, 2 और 3 इसकी जड़ें होंगी।

तो बहुपद x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6उत्पाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है (एक्स - 1) (एक्स - 2) (एक्स - 3), और असमानता x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है (एक्स - 1) (एक्स - 2) (एक्स - 3)< 0 . इस तरह की असमानता के साथ, अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करना हमारे लिए आसान होगा।

अगला, हम अंतराल विधि के शेष चरणों का पालन करते हैं: एक संख्या रेखा खींचें और उस पर निर्देशांक 1 , 2 , 3 के साथ अंक बनाएं। वे सीधी रेखा को 4 अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें संकेतों को निर्धारित करना आवश्यक होता है। हम माइनस के साथ अंतराल को छायांकित करते हैं, क्योंकि मूल असमानता का संकेत है < .

हमें केवल तैयार उत्तर लिखना है: (- , 1) (2 , 3) ​​।

उत्तर: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

कुछ मामलों में, असमानता r (x) - s (x) से संक्रमण करें< 0 (≤ , >, ) से एच (एक्स)< 0 (≤ , >, ) , जहाँ एच (एक्स)- 2 से बड़ा बहुपद अनुपयुक्त है। यह उन मामलों तक विस्तारित होता है जहां r(x) - s(x) को रैखिक द्विपदों और वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में अलग-अलग कारकों में गुणनखंड h(x) के रूप में प्रस्तुत करना आसान होता है। आइए इस समस्या पर एक नजर डालते हैं।

उदाहरण 5

स्थि‍ति:असमानता का समाधान खोजें (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).

समाधान

यह असमानता पूर्णांकों पर लागू होती है। यदि हम व्यंजक को दायीं ओर से बायीं ओर घुमाते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और पदों में कमी करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 ।

इस तरह की असमानता को हल करना आसान नहीं है, क्योंकि आपको चौथे दर्जे के बहुपद की जड़ों की तलाश करनी होगी। इसका कोई परिमेय मूल नहीं है (उदाहरण के लिए, 1 , -1 , 19 या − 19 फिट नहीं है), और अन्य जड़ों की तलाश करना मुश्किल है। इसलिए हम इस पद्धति का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

लेकिन अन्य उपाय भी हैं। यदि हम मूल असमानता के दायीं ओर के भावों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हम सामान्य कारक की ब्रैकेटिंग कर सकते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 1:

(x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) - 2 x (x 2 - 2 x - 1) 0 (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 2 · x - 19) ≥ 0 .

हमने मूल असमानता के बराबर एक असमानता प्राप्त की है, और इसका समाधान हमें आवश्यक उत्तर देगा। बाईं ओर के व्यंजक के शून्य ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम निर्णय लेते हैं द्विघातीय समीकरण एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0तथा एक्स 2 - 2 एक्स - 19 = 0. उनके मूल हैं 1 ± 2 , 1 ± 2 5 । हम समता x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 0 की ओर मुड़ते हैं, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जा सकता है:

चित्र के अनुसार उत्तर है - , 1 - 2 5 1 - 2 5 , 1 + 2 1 + 2 5 , + ∞ ।

उत्तर: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

हम जोड़ते हैं कि कभी-कभी बहुपद के सभी मूल ज्ञात करना संभव नहीं होता है एच (एक्स)इसलिए, हम इसे रैखिक द्विपद और वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित नहीं कर सकते। फिर एच (एक्स) के रूप की असमानता को हल करें< 0 (≤ , >, ) हम नहीं कर सकते, इसलिए, मूल तर्कसंगत असमानता को हल करना भी असंभव है।

मान लीजिए कि हमें फॉर्म r (x) की भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करना है< s (x) (≤ , >, ) , जहां r (x) और एस (एक्स)परिमेय व्यंजक हैं, x एक चर है। निर्दिष्ट व्यंजकों में से कम से कम एक भिन्नात्मक होगा। इस मामले में समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. हम चर x के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करते हैं।
2. हम असमानता के दाईं ओर से अभिव्यक्ति को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और परिणामी अभिव्यक्ति आर (एक्स) - एस (एक्स)अंश के रूप में दर्शाया गया है। इस बीच, जहां पी (एक्स)तथा क्यू (एक्स)पूर्णांक व्यंजक होंगे जो रैखिक द्विपद, अविघटनीय वर्ग त्रिपद, साथ ही एक प्राकृतिक घातांक वाली घातों के उत्पाद हैं।
3. इसके बाद, हम परिणामी असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं।
4. अंतिम चरण समाधान के दौरान प्राप्त बिंदुओं को x चर के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा से बाहर करना है जिसे हमने शुरुआत में परिभाषित किया था।

यह आंशिक रूप से तर्कसंगत असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम है। इसमें से अधिकांश स्पष्ट है, केवल पैराग्राफ 2 के लिए छोटे स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। हमने व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाया और r (x) - s (x) प्राप्त किया< 0 (≤ , >, ≥) , और फिर इसे p (x) q (x) के रूप में कैसे लाया जाए< 0 (≤ , > , ≥) ?

सबसे पहले, हम यह निर्धारित करते हैं कि किसी दिए गए परिवर्तन को हमेशा किया जा सकता है या नहीं। सैद्धांतिक रूप से, ऐसी संभावना हमेशा होती है, क्योंकि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति को तर्कसंगत अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। यहाँ हमारे पास अंश और हर में बहुपद वाली भिन्न है। बीजगणित के मूल प्रमेय और बेज़ाउट के प्रमेय को याद करें और यह निर्धारित करें कि एक चर वाले nth डिग्री के किसी भी बहुपद को रैखिक द्विपद के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है। इसलिए, सिद्धांत रूप में, हम हमेशा इस तरह से अभिव्यक्ति को बदल सकते हैं।

व्यवहार में, बहुपदों का गुणनखंडन करना अक्सर काफी कठिन कार्य होता है, खासकर यदि घात 4 से अधिक हो। यदि हम विस्तार नहीं कर सकते हैं, तो हम इस असमानता को हल नहीं कर पाएंगे, लेकिन आमतौर पर ऐसी समस्याओं का अध्ययन स्कूल के पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर नहीं किया जाता है।

इसके बाद, हमें यह तय करने की आवश्यकता है कि परिणामी असमानता p (x) q (x) है या नहीं< 0 (≤ , >, ) r (x) - s (x) के संबंध में समतुल्य< 0 (≤ , >, ) और मूल के लिए। संभावना है कि यह असमान हो सकता है।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा होने पर असमानता की समानता सुनिश्चित की जाएगी पी (एक्स) क्यू (एक्स)अभिव्यक्ति की सीमा से मेल खाता है आर (एक्स) - एस (एक्स). फिर भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करने के लिए निर्देशों के अंतिम पैराग्राफ का पालन करने की आवश्यकता नहीं है।

लेकिन के लिए सीमा पी (एक्स) क्यू (एक्स)से अधिक चौड़ा हो सकता है आर (एक्स) - एस (एक्स), उदाहरण के लिए, भिन्नों को कम करके। एक उदाहरण x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 से x x - 1 x + 3 तक जाना होगा। या समान शब्दों को जोड़ते समय ऐसा हो सकता है, उदाहरण के लिए, यहां:

एक्स + 5 एक्स - 2 2 एक्स - एक्स + 5 एक्स - 2 2 एक्स + 1 एक्स + 3 से 1 एक्स + 3

ऐसे मामलों के लिए, एल्गोरिथम का अंतिम चरण जोड़ा जाता है। इसे क्रियान्वित करने से आपको वेरिएबल के बाहरी मूल्यों से छुटकारा मिल जाएगा जो वैध मूल्यों की सीमा के विस्तार के कारण उत्पन्न होते हैं। हम किस बारे में बात कर रहे हैं, इसे स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 6

स्थि‍ति:परिमेय समता x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x x - 3 2 x + 1 का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम ऊपर बताए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। सबसे पहले, हम स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करते हैं। इस मामले में, यह असमानताओं की प्रणाली x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसका समाधान समुच्चय (− ∞ , - 1) (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ) ।

एक्स एक्स + 1 एक्स - 3 + 4 (एक्स - 3) 2 + 3 एक्स (एक्स - 3) 2 (एक्स + 1) ≥ 0

उसके बाद, हमें इसे बदलने की जरूरत है ताकि अंतराल विधि को लागू करना सुविधाजनक हो। सबसे पहले, हम बीजीय भिन्नों को निम्नतम उभयनिष्ठ हर में लाते हैं (एक्स - 3) 2 (एक्स + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

हम योग के वर्ग के सूत्र को लागू करके अंश में व्यंजक को संक्षिप्त करते हैं:

एक्स 2 + 4 एक्स + 4 एक्स - 3 2 एक्स + 1 = एक्स + 2 2 एक्स - 3 2 एक्स + 1

परिणामी व्यंजक के मान्य मानों की श्रेणी (− , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) है। हम देखते हैं कि यह उसी के समान है जिसे मूल समानता के लिए परिभाषित किया गया था। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 मूल के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हमें एल्गोरिथम के अंतिम चरण की आवश्यकता नहीं है।

हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं:

हम हल ( − 2 ) (− 1, 3) ∪ (3 , + ) देखते हैं, जो मूल परिमेय असमानता x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 का हल होगा। एक्स (एक्स - 3) 2 · (एक्स + 1)।

उत्तर: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

उदाहरण 7

स्थि‍ति:समाधान की गणना करें x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ।

समाधान

हम स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र निर्धारित करते हैं। इस असमानता की स्थिति में, यह − 2 , − 1 , 0 और को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के बराबर होगी। 1 .

हम भावों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:

एक्स + 3 एक्स - 1 - 3 एक्स एक्स + 2 + 2 एक्स - 1 - 1 एक्स + 1 - 2 एक्स + 2 एक्स 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

परिणाम को देखते हुए, हम लिखते हैं:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

व्यंजक के लिए - 1 x - 1, मान्य मानों की श्रेणी एक को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगी। हम देखते हैं कि मूल्यों की सीमा का विस्तार हुआ है: − 2 , − 1 और 0 . इसलिए, हमें एल्गोरिथम के अंतिम चरण को करने की आवश्यकता है।

चूँकि हम असमानता - 1 x - 1 > 0 पर आ गए हैं, हम इसके समतुल्य 1 x - 1 . लिख सकते हैं< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

हम उन बिंदुओं को बाहर करते हैं जो मूल समानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में शामिल नहीं हैं। हमें (− ∞ , 1) संख्याओं − 2 , − 1 और . से बाहर करने की आवश्यकता है 0 . इस प्रकार, परिमेय असमानता का हल x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 के मान होंगे (- , -2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) ।

उत्तर: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

अंत में, हम एक समस्या का एक और उदाहरण देते हैं जिसमें अंतिम उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर निर्भर करता है।

उदाहरण 8

स्थि‍ति:असमानता का हल खोजें 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ।

समाधान

स्थिति में निर्दिष्ट असमानता के स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र सिस्टम द्वारा निर्धारित किया जाता है x 2 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - एक्स 2 - 1 एक्स - 1 ≠ 0।

इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है क्योंकि

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = एक्स + 1 - (एक्स + 1) = 0

इसका मतलब यह है कि मूल समानता 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 का कोई हल नहीं है, क्योंकि उस चर का कोई मान नहीं है जिसके लिए यह बना देगा विवेक।

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं।

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पर रैखिक असमानताओं को हल करनाकेवल एक बड़ी तरकीब है: असमानता को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित (या गुणा) करते समय आपको असमानता के चिन्ह को बदलने की आवश्यकता है। असमानता चिन्ह को बदलने का अर्थ है "से कम" चिह्न को "इससे बड़ा" या इसके विपरीत चिह्न में बदलना। उसी समय, पहले से अध्ययन किए गए गणितीय नियमों को दरकिनार करते हुए, माइनस के लिए प्लस चिह्न कहीं भी बदलने की आवश्यकता नहीं है। यदि हम असमानता को धनात्मक संख्या से विभाजित या गुणा करते हैं, तो असमानता चिह्न को बदलने की आवश्यकता नहीं है। अन्यथा, रैखिक असमानताओं का समाधान रैखिक समीकरणों के समाधान के समान है।

रैखिक और किसी भी अन्य तर्कसंगत असमानताओं में, किसी भी स्थिति में आपको असमानता के बाएं या दाएं हिस्सों को एक चर वाले अभिव्यक्तियों से गुणा या विभाजित नहीं करना चाहिए (सिवाय इसके कि जब यह अभिव्यक्ति पूरे संख्यात्मक अक्ष पर सकारात्मक या नकारात्मक हो, इस मामले में, जब हमेशा एक नकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करने पर असमानता का चिन्ह बदलना चाहिए, और हमेशा सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करते समय, असमानता के संकेत को संरक्षित किया जाना चाहिए)।

फॉर्म की असमानताओं का समाधान:

का उपयोग करके किया गया अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

1. हम उस समन्वय रेखा को दर्शाते हैं जिस पर हम सभी संख्याएँ डालते हैं एक मैं. आरोही क्रम में व्यवस्थित ये संख्याएँ निर्देशांक रेखा को ( एन+1) फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल एफ(एक्स).
2. इस प्रकार, चिह्न को परिभाषित करके एफ(एक्स) प्रत्येक अंतराल के किसी भी बिंदु पर (आमतौर पर इस बिंदु को अंकगणितीय संक्रियाओं की सुविधा से चुना जाता है), हम प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करते हैं। मुख्य बात यह है कि अंतराल की सीमाओं को स्वयं फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित नहीं करना है।
3. हम प्रतिक्रिया में उन सभी अंतरालों को लिखते हैं, जिस पर फ़ंक्शन का संकेत असमानता की मुख्य स्थिति से मेल खाता है।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस अंतराल से कुछ मान को प्रतिस्थापित करके प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन के संकेत की जांच करना आवश्यक नहीं है। यह इस तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का संकेत केवल एक अंतराल (आमतौर पर दूर दाईं ओर) पर होता है, और फिर इस अंतराल से संख्यात्मक अक्ष के साथ बाईं ओर बढ़ते हुए, आप अंतराल के संकेतों को इसके अनुसार वैकल्पिक कर सकते हैं सिद्धांत:

• यदि जिस कोष्ठक से हम गुजरते हैं वह कोष्ठक में है अजीब बदल रहा है.
• और यदि संगत कोष्ठक में है यहाँ तक कीडिग्री, फिर संबंधित बिंदु से गुजरते समय, असमानता का संकेत नहीं बदलता.

इस मामले में, निम्नलिखित टिप्पणियों को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• सख्त असमानताओं ("से कम" या "से अधिक" के संकेत) में अंतराल की सीमाओं को कभी भी उत्तर में शामिल नहीं किया जाता है, और संख्यात्मक अक्ष पर उन्हें पंचर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है।
• गैर-सख्त असमानताओं में (संकेत "से कम या बराबर" या "अधिक या बराबर"), वे अंतराल सीमाएं जो अंश से ली जाती हैं हमेशा उत्तर में शामिलऔर भरे हुए बिंदुओं के रूप में दिखाए जाते हैं (क्योंकि इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन वास्तव में गायब हो जाता है, जो स्थिति को संतुष्ट करता है)।
• लेकिन गैर-सख्त असमानताओं में हर से ली गई सीमाओं को हमेशा पंचर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है और उत्तर कभी शामिल नहीं है(चूंकि हर इन बिंदुओं पर गायब हो जाता है, जो अस्वीकार्य है)।
• सभी असमानताओं में, यदि अंश और हर दोनों में एक ही ब्रैकेट हो, तो इस ब्रैकेट से कम करना असंभव है। धुरी पर छिद्रित संबंधित बिंदु को चित्रित करना आवश्यक है, और उत्तर से बाहर करना न भूलें। इस मामले में, इस बिंदु से गुजरने वाले अंतराल के संकेतों को वैकल्पिक करते समय, संकेत को बदलने की आवश्यकता नहीं होती है।

तो एक बार फिर सबसे महत्वपूर्ण:असमानताओं में अंतिम उत्तर लिखते समय, असमानता को संतुष्ट करने वाले अलग-अलग बिंदुओं को न खोएं (ये गैर-सख्त असमानताओं में अंश की जड़ें हैं), और उत्तर से हर की सभी जड़ों को बाहर करना न भूलें असमानताएं

ऊपर बताए गए से अधिक जटिल रूप की तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, पहले उन्हें बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा इस रूप में कम करना आवश्यक है, और फिर पहले से वर्णित सभी सूक्ष्मताओं को ध्यान में रखते हुए अंतराल विधि को लागू करें। इस प्रकार, यह सुझाव दिया जा सकता है तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम::

1. सभी पदों, भिन्नों और अन्य अभिव्यक्तियों को असमानता के बाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
2. यदि आवश्यक हो, तो अंशों को एक सामान्य हर में कम करें।
3. परिणामी भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें।
4. परिणामी असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करें।

साथ ही, ए.टी तर्कसंगत असमानताओं को हल करने की अनुमति नहीं है:

1. भिन्नों को क्रॉसवाइज गुणा करें।
2. समीकरणों की तरह, आप असमानता के दोनों ओर चर वाले कारकों को कम नहीं कर सकते। यदि ऐसे कारक हैं, तो सभी अभिव्यक्तियों को असमानता के बाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, उन्हें कोष्ठक से बाहर ले जाना चाहिए, और फिर उन बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए जो वे परिणामी अभिव्यक्ति के अंतिम अपघटन के बाद कारकों में देते हैं।
3. भिन्न के अंश और हर पर अलग-अलग विचार करें।

गणित के अन्य विषयों की तरह, तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, आप आवेदन कर सकते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. मुख्य बात यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रतिस्थापन की शुरुआत के बाद, नई अभिव्यक्ति सरल हो जानी चाहिए और पुराने चर को शामिल नहीं करना चाहिए। इसके अलावा, रिवर्स प्रतिस्थापन करना न भूलें।

निर्णय लेते समय तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालीआपको सिस्टम की सभी असमानताओं को एक-एक करके हल करना होगा। सिस्टम को दो या दो से अधिक शर्तों की पूर्ति की आवश्यकता होती है, और हम अज्ञात मात्रा के उन मूल्यों की तलाश कर रहे हैं जो एक ही बार में सभी शर्तों को पूरा करते हैं। इसलिए, असमानताओं की प्रणाली के उत्तर में, व्यक्तिगत असमानताओं के सभी समाधानों के सामान्य भागों (या प्रत्येक व्यक्तिगत असमानता के उत्तरों को दर्शाने वाले सभी छायांकित अंतरालों के सामान्य भागों) को इंगित करना आवश्यक है।

निर्णय लेते समय तर्कसंगत असमानताओं के सेटबारी-बारी से प्रत्येक असमानता को भी हल करें। जनसंख्या को एक चर के सभी मूल्यों को खोजने की आवश्यकता होती है जो कम से कम एक शर्तों को पूरा करते हैं। यानी कोई भी शर्त, कई शर्तें या सभी शर्तें एक साथ। असमानताओं के एक समूह की प्रतिक्रिया में, व्यक्तिगत असमानताओं के सभी समाधानों के सभी भागों को इंगित करें (या प्रत्येक व्यक्तिगत असमानता के उत्तरों को दर्शाने वाले सभी छायांकित अंतरालों के सभी भाग)।

मॉड्यूल के साथ कुछ प्रकार की असमानताओं को हल करना

मॉड्यूल के साथ असमानताओं को उनके निरंतर संकेत के अंतराल पर मॉड्यूल का क्रमिक रूप से विस्तार करके हल किया जा सकता है और होना चाहिए। इस प्रकार, मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करते समय लगभग उसी तरह कार्य करना आवश्यक है (नीचे इस पर अधिक)। लेकिन ऐसे कई अपेक्षाकृत सरल मामले हैं जिनमें मॉड्यूलो असमानता का समाधान एक सरल एल्गोरिदम में कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, फॉर्म की असमानता का समाधान:

निर्णय के लिए नीचे आता है प्रणाली:

विशेष रूप से, असमानता:

व्यवस्था:

ठीक है, अगर इसी तरह की असमानता में हम "से कम" चिह्न को "इससे अधिक" से बदल देते हैं:

तब उसका निर्णय निर्णय के लिए उबलता है समुच्चय:

विशेष रूप से, असमानता:

एक समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है समग्रता:

इस प्रकार, यह याद रखना आवश्यक है कि "मापांक कम" असमानता के लिए हमें एक प्रणाली मिलती है जहां दोनों शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए, और "मापांक से अधिक" असमानता के लिए हमें एक सेट मिलता है जिसमें किसी भी शर्त को पूरा किया जाना चाहिए।

प्रपत्र के मापांक के साथ तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय:

मापांक के बिना निम्नलिखित समान तर्कसंगत असमानता के लिए आगे बढ़ना उचित है:

इस तरह की असमानता को जड़ निकालने से हल नहीं किया जा सकता है (यदि आप ईमानदारी से जड़ निकालते हैं, तो आपको मॉड्यूल को फिर से लगाने की आवश्यकता है, और आप शुरुआत में वापस आ जाएंगे, यदि आप मॉड्यूल के बारे में भूल जाते हैं, तो यह उनके बारे में भूल जाने के समान है बहुत शुरुआत में, और यह, ज़ाहिर है, एक गलती है)। सभी कोष्ठकों को बाईं ओर ले जाया जाना चाहिए और किसी भी स्थिति में कोष्ठक को खोलने पर वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू नहीं करना चाहिए।

एक बार फिर, हम इसे दोहराते हैं मॉड्यूल के साथ अन्य सभी प्रकार की असमानताओं का समाधानऊपर बताए गए लोगों के अलावा, असमानता में शामिल सभी मॉड्यूल को उनके निरंतर चिह्न के अंतराल पर खोलना और परिणामी असमानताओं को हल करना आवश्यक है। आइए हम इस एल्गोरिथम के सामान्य अर्थ को और अधिक विस्तार से याद करें:

• सबसे पहले, हम संख्यात्मक अक्ष पर उन बिंदुओं को ढूंढते हैं, जिन पर मापांक के नीचे का प्रत्येक व्यंजक लुप्त हो जाता है।
• इसके बाद, हम संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष को प्राप्त बिंदुओं के बीच अंतराल में विभाजित करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर प्रत्येक सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेत की जांच करते हैं। ध्यान दें कि किसी व्यंजक के चिह्न को निर्धारित करने के लिए, आपको सीमा बिंदुओं को छोड़कर, चर के किसी भी मान को अंतराल से उसमें स्थानापन्न करना होगा। वेरिएबल मान चुनें जो स्थानापन्न करने में आसान हों।
• इसके अलावा, प्राप्त प्रत्येक अंतराल पर, हम इस अंतराल पर उनके संकेतों के अनुसार मूल असमानता में सभी मॉड्यूल प्रकट करते हैं और मॉड्यूल के बिना सामान्य असमानताओं को हल करने के सभी नियमों और सूक्ष्मताओं को ध्यान में रखते हुए परिणामी सामान्य तर्कसंगत असमानता को हल करते हैं।
• एक विशिष्ट अंतराल पर प्राप्त प्रत्येक असमानता का समाधान अंतराल के साथ एक प्रणाली में संयुक्त होता है, और ऐसी सभी प्रणालियों को एक सेट में जोड़ा जाता है। इस प्रकार, सभी असमानताओं के समाधान से, हम केवल उन भागों का चयन करते हैं जो अंतराल में शामिल होते हैं, जिस पर यह असमानता प्राप्त हुई थी, और इन सभी भागों को अंतिम उत्तर में लिखें।