अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा)। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य भाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। इसके अलावा, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

अंतर महसूस करें? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को साधारण लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! कैलकुलेटर के बिना! और सही निष्कर्ष निकालें ...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन सिर्फ बाद मेंउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने तय कीया?

आप से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने जानबूझकर उन्हें प्रलोभन से दूर एक गड़बड़ी में लिखा था, इसलिए बोलने के लिए ... ये हैं, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन यह व्याख्या करने योग्य समस्या।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे मिश्रित संख्याओं का गुणन. सबसे पहले, हम मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के नियम को आवाज देंगे और उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के लागू होने पर विचार करेंगे। आगे, हम एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृत संख्या के गुणन के बारे में बात करेंगे। अंत में, हम सीखेंगे कि मिश्रित संख्या और साधारण भिन्न को कैसे गुणा किया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

मिश्रित संख्याओं का गुणन।

मिश्रित संख्याओं का गुणनसाधारण अंशों को गुणा करने के लिए घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्याओं को अनुचित अंशों में परिवर्तित करना पर्याप्त है।

आइए लिखते हैं मिश्रित संख्याओं के लिए गुणन नियम:

• सबसे पहले, गुणा की जाने वाली मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए;
• दूसरे, आपको एक भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

मिश्रित संख्या को मिश्रित संख्या से गुणा करते समय इस नियम को लागू करने के उदाहरणों पर विचार करें।

मिश्रित संख्या गुणा करें और .

सबसे पहले, हम गुणा की गई मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं: तथा . अब हम मिश्रित संख्याओं के गुणन को साधारण भिन्नों के गुणन से बदल सकते हैं: . भिन्नों के गुणन के नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं . परिणामी अंश इरेड्यूसेबल है (देखें रिड्यूसेबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस), लेकिन यह गलत है (नियमित और अनुचित अंश देखें), इसलिए, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह पूर्णांक भाग को अनुचित अंश से निकालने के लिए रहता है:।

आइए पूरे समाधान को एक पंक्ति में लिखें:।

.

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के कौशल को समेकित करने के लिए, एक अन्य उदाहरण के हल पर विचार करें।

गुणन करें।

मजेदार संख्याएं और भिन्नों के बराबर हैं क्रमशः 13/5 और 10/9। फिर . इस स्तर पर, अंश में कमी के बारे में याद रखने का समय है: हम भिन्न में सभी संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में बदल देंगे, और हम समान कारकों की कमी का प्रदर्शन करेंगे।

एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणन

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न से बदलने के बाद, एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या को गुणा करनाएक साधारण भिन्न और एक प्राकृत संख्या के गुणन में घटाया जाता है।

मिश्रित संख्या और प्राकृत संख्या 45 का गुणा कीजिए।

मिश्रित संख्या एक भिन्न होती है, तो . आइए परिणामी अंश में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ प्रमुख कारकों में बदलें, एक कमी करें, जिसके बाद हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं: ।

.

एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणन कभी-कभी योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके आसानी से किया जाता है। इस स्थिति में, एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृत संख्या का गुणनफल, दी गई प्राकृत संख्या के पूर्णांक भाग के गुणनफल और दी गई प्राकृत संख्या द्वारा भिन्नात्मक भाग के योग के बराबर होता है, अर्थात्, .

उत्पाद की गणना करें।

हम मिश्रित संख्या को पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणन के वितरण गुण को लागू करते हैं: ।

एक मिश्रित संख्या और एक सामान्य अंश का गुणा करनासाधारण भिन्नों के गुणन को कम करना सबसे सुविधाजनक होता है, जो गुणा मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाता है।

मिश्रित संख्या को सामान्य भिन्न 4/15 से गुणा करें।

मिश्रित संख्या को भिन्न से बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं .

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भिन्नात्मक संख्याओं का गुणन

140. परिभाषाएं. 1) एक भिन्नात्मक संख्या का एक पूर्णांक से गुणा उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्णांकों का गुणन, अर्थात्: किसी संख्या (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

तो 5 से गुणा करने का अर्थ है योग ज्ञात करना:
2) किसी संख्या (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

इस प्रकार, दी गई संख्या का वह भिन्न ज्ञात करना, जिस पर हमने पहले विचार किया था, अब हम भिन्न से गुणा कहेंगे।

3) किसी संख्या (गुणक) को मिश्रित संख्या (कारक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक को पहले गुणनखंड के पूर्णांक से गुणा करना, फिर गुणनखंड के अंश से, और इन दोनों गुणाओं के परिणामों को एक साथ जोड़ना।

उदाहरण के लिए:

गुणन के बाद प्राप्त संख्या इन सभी स्थितियों में कहलाती है काम, यानी, उसी तरह जैसे पूर्णांकों को गुणा करते समय।

इन परिभाषाओं से यह स्पष्ट है कि भिन्नात्मक संख्याओं का गुणन एक ऐसी क्रिया है जो हमेशा संभव और हमेशा स्पष्ट होती है।

§ 141. इन परिभाषाओं की समीचीनता।गुणन की अंतिम दो परिभाषाओं को अंकगणित में शामिल करने की समीचीनता को समझने के लिए, आइए हम निम्नलिखित समस्या को लें:

एक कार्य। ट्रेन, समान रूप से चलती हुई, 40 किमी प्रति घंटे की यात्रा करती है; कैसे पता करें कि यह ट्रेन दिए गए घंटों में कितने किलोमीटर की यात्रा करेगी?

यदि हम गुणन की उसी परिभाषा के साथ बने रहे, जो पूर्णांकों के अंकगणित (समान पदों के योग) में इंगित की गई है, तो हमारी समस्या के तीन अलग-अलग समाधान होंगे, अर्थात्:

यदि दी गई घंटों की संख्या एक पूर्णांक है (उदाहरण के लिए, 5 घंटे), तो समस्या को हल करने के लिए, 40 किमी को घंटों की संख्या से गुणा करना होगा।

यदि दिए गए घंटों की संख्या को भिन्न (उदाहरण के लिए, घंटे) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो आपको इस अंश का मान 40 किमी से निकालना होगा।

अंत में, यदि दिए गए घंटों की संख्या को मिश्रित किया जाता है (उदाहरण के लिए, घंटे), तो मिश्रित संख्या में निहित पूर्णांक से 40 किमी को गुणा करना आवश्यक होगा, और परिणाम में 40 किमी से इस तरह के अंश को जोड़ना होगा जैसा कि में है मिश्रित संख्या।

हमने जो परिभाषाएँ दी हैं, वे हमें इन सभी संभावित मामलों का एक सामान्य उत्तर देने की अनुमति देती हैं:

40 किमी को दिए गए घंटों से गुणा किया जाना चाहिए, चाहे वह कुछ भी हो।

इस प्रकार, यदि कार्य में प्रस्तुत किया गया है सामान्य दृष्टि सेइसलिए:

एक ट्रेन समान रूप से चलती हुई v किमी प्रति घंटे की यात्रा करती है। ट्रेन t घंटे में कितने किलोमीटर की दूरी तय करेगी?

फिर, जो भी संख्याएँ v और t हों, हम एक उत्तर व्यक्त कर सकते हैं: वांछित संख्या सूत्र v · t द्वारा व्यक्त की जाती है।

टिप्पणी। हमारी परिभाषा के अनुसार किसी दी गई संख्या का कुछ अंश ज्ञात करने का अर्थ वही है जो किसी दी गई संख्या को इस भिन्न से गुणा करने जैसा है; इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी दी गई संख्या का 5% (अर्थात पाँच सौवां) ज्ञात करने का अर्थ दी गई संख्या को या उससे गुणा करने के समान है; किसी दी गई संख्या का 125% ज्ञात करना उस संख्या को या उससे गुणा करने के समान है, आदि।

§ 142. एक संख्या कब बढ़ती है और कब गुणा से घटती है, इसके बारे में एक नोट।

उचित भिन्न से गुणा करने पर संख्या घटती है, और अनुचित भिन्न से गुणा करने पर संख्या बढ़ जाती है यदि यह अनुचित भिन्न एक से अधिक हो और एक के बराबर होने पर अपरिवर्तित रहती है।
टिप्पणी। भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ पूर्णांकों को गुणा करते समय, गुणनफल शून्य के बराबर लिया जाता है, यदि कोई भी कारक शून्य के बराबर है, तो,।

143. गुणन नियमों की व्युत्पत्ति।

1) किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना। मान लीजिए भिन्न को 5 से गुणा किया जाता है। इसका अर्थ है 5 गुना वृद्धि करना। किसी भिन्न को 5 से बढ़ाने के लिए, उसके अंश को बढ़ाना या उसके हर को 5 गुना कम करना (§ 127) पर्याप्त है।

इसीलिए:
नियम 1। एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना चाहिए; इसके बजाय, आप भिन्न के हर को दिए गए पूर्णांक (यदि संभव हो) से विभाजित कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।

टिप्पणी। एक भिन्न और उसके हर का गुणनफल उसके अंश के बराबर होता है।

इसलिए:
नियम 2. किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।
नियम 3. किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे को उत्पाद का हर बनाना होगा।

टिप्पणी। यह नियम किसी भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने पर और एक पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर भी लागू किया जा सकता है, यदि केवल हम पूर्णांक को एक के हर के साथ भिन्न के रूप में मानते हैं। इसलिए:

इस प्रकार, अब बताए गए तीन नियम एक में निहित हैं, जिन्हें सामान्य शब्दों में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
4) मिश्रित संख्याओं का गुणन।

नियम 4. मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए:
144. गुणन में कमी. भिन्नों को गुणा करते समय, यदि संभव हो तो, प्रारंभिक कमी की जानी चाहिए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों से देखा जा सकता है:

इस तरह की कमी संभव है क्योंकि अंश और हर को समान संख्या में कम करने पर भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

145. कारकों के परिवर्तन के साथ उत्पाद का परिवर्तन।जब गुणनखंड बदलते हैं, तो भिन्नात्मक संख्याओं का गुणनफल ठीक उसी तरह बदलेगा जैसे पूर्णांकों का गुणनफल (§ 53), अर्थात्: यदि आप किसी कारक को कई बार बढ़ाते हैं (या घटाते हैं), तो गुणनफल बढ़ेगा (या घटेगा) उसी राशि से।

तो, अगर उदाहरण में:
कई भिन्नों को गुणा करने के लिए, उनके अंशों को आपस में और हर को आपस में गुणा करना आवश्यक है और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे को उत्पाद का हर बनाना चाहिए।

टिप्पणी। यह नियम ऐसे उत्पादों पर भी लागू किया जा सकता है जिनमें संख्या के कुछ कारक पूर्णांक या मिश्रित होते हैं, यदि केवल हम पूर्ण संख्या को एक भिन्न के रूप में मानते हैं जिसका हर एक है, और हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदल देते हैं। उदाहरण के लिए:
147. गुणन के मूल गुण।गुणन के वे गुण जिन्हें हमने पूर्णांकों (§ 56, 57, 59) के लिए इंगित किया है, वे भी भिन्नात्मक संख्याओं के गुणन से संबंधित हैं। आइए इन गुणों को निर्दिष्ट करें।

1) कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए:

दरअसल, पिछले पैराग्राफ के नियम के अनुसार, पहला उत्पाद अंश के बराबर है, और दूसरा अंश के बराबर है। लेकिन ये भिन्न समान हैं, क्योंकि उनके सदस्य केवल पूर्णांक कारकों के क्रम में भिन्न होते हैं, और जब कारक स्थान बदलते हैं तो पूर्णांक का उत्पाद नहीं बदलता है।

2) यदि कारकों के किसी समूह को उनके उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो उत्पाद नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए:

परिणाम एक ही हैं।

गुणन के इस गुण से, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

किसी संख्या को गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, परिणामी संख्या को दूसरे से गुणा कर सकते हैं, इत्यादि।

उदाहरण के लिए:
3) गुणन का वितरण नियम (जोड़ के संबंध में)। योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से अलग-अलग गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं।

इस नियम की व्याख्या हमारे द्वारा (§ 59) पूर्ण संख्याओं पर लागू होने पर की गई है। यह भिन्नात्मक संख्याओं के लिए बिना किसी परिवर्तन के सत्य रहता है।

आइए हम दिखाते हैं, वास्तव में, समानता

(ए + बी + सी +।) एम = एएम + बीएम + सेमी +।

(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम) तब भी सही रहता है जब अक्षरों का अर्थ भिन्नात्मक संख्याएँ हों। आइए तीन मामलों पर विचार करें।

1) पहले मान लीजिए कि गुणनखंड m एक पूर्णांक है, उदाहरण के लिए m = 3 (a, b, c कोई भी संख्या है)। एक पूर्णांक से गुणा की परिभाषा के अनुसार, कोई लिख सकता है (सरलता के लिए तीन शब्दों तक सीमित):

(ए + बी + सी) * 3 = (ए + बी + सी) + (ए + बी + सी) + (ए + बी + सी)।

जोड़ के साहचर्य नियम के आधार पर, हम दाईं ओर के सभी कोष्ठकों को छोड़ सकते हैं; जोड़ के कम्यूटेटिव कानून को लागू करना, और फिर संयोजन कानून को लागू करना, हम स्पष्ट रूप से दाएं हाथ को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं:

(ए + ए + ए) + (बी + बी + बी) + (सी + सी + सी)।

(ए + बी + सी) * 3 = ए * 3 + बी * 3 + सी * 3.

इसलिए, इस मामले में वितरण कानून की पुष्टि की जाती है।

भिन्नों का गुणा और भाग

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "अंशों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण एक सामान्य भाजक के लिए भिन्न लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। शुरू करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक अंश हों।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नई भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

परिभाषा से यह इस प्रकार है कि अंशों का विभाजन गुणा में घटाया जाता है। भिन्न को पलटने के लिए, बस अंश और हर को बदलें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणा के परिणामस्वरूप, एक छोटा अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो पूरे भाग को इसमें अलग किया जाना चाहिए। लेकिन जो निश्चित रूप से गुणन के साथ नहीं होगा वह एक सामान्य भाजक में कमी है: कोई क्रॉसवर्ड तरीके, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक नहीं।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

पूर्णांक भाग और ऋणात्मक भिन्नों के साथ भिन्नों का गुणन

यदि भिन्नों में उपस्थित हों पूरा भाग, उन्हें गलत में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण हो तो उसे गुणन की सीमा से बाहर निकाला जा सकता है या निम्नलिखित नियमों के अनुसार पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, इन नियमों का सामना केवल नकारात्मक अंशों को जोड़ते और घटाते समय किया जाता था, जब पूरे भाग से छुटकारा पाने की आवश्यकता होती थी। एक उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई माइनस को "बर्न" करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते, तब तक हम जोड़े में माइनस को पार करते हैं। एक चरम मामले में, एक माइनस बच सकता है - वह जिसे मैच नहीं मिला;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया जाता है, क्योंकि उसे एक जोड़ा नहीं मिला है, तो हम इसे गुणा की सीमा से बाहर कर देते हैं। आपको एक नकारात्मक अंश मिलता है।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम सभी भिन्नों का अनुचित अंशों में अनुवाद करते हैं, और फिर हम गुणन की सीमा से बाहर के माइनस निकालते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ एक अंश से पहले आने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग के लिए (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

इस पर भी ध्यान दें ऋणात्मक संख्या: जब गुणा किया जाता है, तो वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। यह गुणन चिह्नों से कमियों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही श्रमसाध्य ऑपरेशन है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. दरअसल, संक्षेप में, अंशों के अंश और हर सामान्य कारक हैं, और इसलिए, उन्हें अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो उनमें से बची हैं उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर रहीं, जिन्हें सामान्यतया छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी प्राप्त करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा में अभी भी कमी आई है।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हां, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएं होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि एक अंश जोड़ते समय, योग भिन्न के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के गुणनफल में। इसलिए, एक अंश की मुख्य संपत्ति को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह संपत्ति विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस तरह दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।

भिन्नों का गुणन।

किसी भिन्न को भिन्न से या भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको यह जानने की आवश्यकता है सरल नियम. अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना।

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों के गुणनफल और इन भिन्नों के हरों के गुणनफल की गणना करनी होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:
हम पहली भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से भी गुणा करते हैं।

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना।

आइए नियम से शुरू करते हैं किसी भी संख्या को भिन्न \(\bf n = \frac \) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए इस नियम का उपयोग गुणन के लिए करें।

अनुचित भिन्न \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) में परिवर्तित किया गया था मिश्रित अंश.

दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, संख्या को अंश से गुणा करें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।उदाहरण:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

मिश्रित भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। अंश को अंश से गुणा किया जाता है, हर को हर से गुणा किया जाता है।

पारस्परिक भिन्नों और संख्याओं का गुणन।

संबंधित सवाल:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण भिन्नों का गुणनफल अंश के साथ अंश, हर के साथ हर का गुणन होता है। मिश्रित भिन्नों का गुणनफल प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें एक अनुचित भिन्न में बदलना होगा और नियमों के अनुसार गुणा करना होगा।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे गुणा करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नों के हर समान या भिन्न हैं, अंश के गुणनफल को अंश के साथ, हर के साथ हर के गुणन को खोजने के लिए नियम के अनुसार गुणन होता है।

मिश्रित भिन्नों को कैसे गुणा करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना है और फिर गुणन के नियमों के अनुसार गुणनफल ज्ञात करना है।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1:
उत्पाद की गणना करें: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

उदाहरण #2:
किसी संख्या और भिन्न के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

उदाहरण #3:
भिन्न का व्युत्क्रम लिखें \(\frac \)?
उत्तर: \(\frac = 3\)

उदाहरण #4:
दो व्युत्क्रमों के गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac \times \frac \)

उदाहरण #5:
क्या परस्पर प्रतिलोम भिन्न हो सकते हैं:
क) दोनों उचित भिन्न;
बी) एक साथ अनुचित अंश;
सी) एक ही समय में प्राकृतिक संख्याएं?

समाधान:
क) आइए पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें। भिन्न \(\frac \) सही है, इसका व्युत्क्रम \(\frac \) के बराबर होगा - एक अनुचित भिन्न। उत्तर: नहीं।

b) भिन्नों की लगभग सभी गणनाओं में, यह शर्त पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक ही समय में एक अनुचित भिन्न होने की शर्त को पूरा करती हैं। उदाहरण के लिए, अनुचित भिन्न \(\frac \) है, इसका व्युत्क्रम \(\frac \) है। हमें दो अनुचित भिन्न मिलते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं, जब अंश और हर बराबर हों।

ग) प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए 1, 2, 3, .... यदि हम संख्या \(3 = \frac \) लें, तो इसका व्युत्क्रम \(\frac \) होगा। भिन्न \(\frac \) एक प्राकृत संख्या नहीं है। यदि हम सभी संख्याओं को देखें, तो 1 को छोड़कर व्युत्क्रम हमेशा भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम \(\frac = \frac = 1\) होगा। संख्या 1 एक प्राकृतिक संख्या है। उत्तर: वे एक साथ केवल एक स्थिति में प्राकृत संख्याएँ हो सकती हैं, यदि यह संख्या 1 है।

उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल करें: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

समाधान:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

उदाहरण #7:
क्या दो व्युत्क्रम संख्याएँ एक साथ मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं?

आइए एक उदाहरण देखें। आइए एक मिश्रित भिन्न \(1\frac \) लें, इसका व्युत्क्रम ज्ञात करें, इसके लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न \(1\frac = \frac \) में अनुवाद करते हैं। इसका व्युत्क्रम \(\frac \) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac \) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो परस्पर प्रतिलोम भिन्न एक ही समय में मिश्रित संख्या नहीं हो सकते हैं।

दशमलव को प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

पाठ के लिए प्रस्तुति

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए है और प्रस्तुति की पूरी सीमा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। अगर आपको रुचि हो तो इस कामकृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

• एक मजेदार तरीके से, छात्रों को एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से, एक बिट इकाई से गुणा करने के नियम और एक दशमलव अंश को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के नियम से परिचित कराएं। उदाहरणों और समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना।
• विकसित और सक्रिय करें तार्किक सोचछात्रों, पैटर्न की पहचान करने और उन्हें सामान्य बनाने की क्षमता, स्मृति को मजबूत करने, सहयोग करने की क्षमता, सहायता प्रदान करने, उनके काम का मूल्यांकन करने और एक दूसरे के काम का मूल्यांकन करने की क्षमता।
• गणित, गतिविधि, गतिशीलता, संवाद करने की क्षमता में रुचि पैदा करना।

उपकरण: इंटरैक्टिव बोर्ड, एक साइबरग्राम वाला पोस्टर, गणितज्ञों के बयानों वाले पोस्टर।

1. आयोजन का समय।
2. मौखिक गिनती पहले से अध्ययन की गई सामग्री का सामान्यीकरण है, नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी।
3. नई सामग्री की व्याख्या।
4. होमवर्क असाइनमेंट।
5. गणितीय शारीरिक शिक्षा।
6. में अर्जित ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण खेल का रूपकंप्यूटर का उपयोग करना।
7. ग्रेडिंग।

2. दोस्तों, आज हमारा पाठ कुछ असामान्य होगा, क्योंकि मैं इसे अकेले नहीं, बल्कि अपने दोस्त के साथ बिताऊंगा। और मेरा दोस्त भी असामान्य है, अब तुम उसे देखोगे। (स्क्रीन पर एक कार्टून कंप्यूटर दिखाई देता है।) मेरे दोस्त का एक नाम है और वह बात कर सकता है। तुम्हारा नाम क्या है, दोस्त? कोम्पोशा जवाब देता है: "मेरा नाम कोम्पोशा है।" क्या आप आज मेरी मदद करने के लिए तैयार हैं? हां! अच्छा तो चलिए सबक शुरू करते हैं।

आज मुझे एक एन्क्रिप्टेड साइबरग्राम मिला, दोस्तों, जिसे हमें एक साथ हल करना और समझना चाहिए। (बोर्ड पर एक पोस्टर लगा हुआ है मौखिक गिनतीदशमलव अंशों को जोड़ने और घटाने के लिए, जिसके परिणामस्वरूप लोगों को निम्नलिखित कोड मिलते हैं 523914687. )

कोम्पोशा प्राप्त कोड को समझने में मदद करता है। डिकोडिंग के परिणामस्वरूप MULTIPLICATION शब्द प्राप्त होता है। गुणन है कीवर्डआज के पाठ के विषय। पाठ का विषय मॉनिटर पर प्रदर्शित होता है: "एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना"

दोस्तों, हम जानते हैं कि गुणन कैसे किया जाता है प्राकृतिक संख्या. आज हम दशमलव संख्याओं को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने पर विचार करेंगे। एक दशमलव अंश के गुणन को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक इस दशमलव अंश के बराबर है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 तो 5.21 3 = 15.63। 5.21 को एक प्राकृत संख्या के साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

और इस मामले में, हमें 15.63 का समान परिणाम मिला। अब, अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, संख्या 5.21 के बजाय 521 संख्या लेते हैं और दी गई प्राकृतिक संख्या से गुणा करते हैं। यहां हमें यह याद रखना चाहिए कि एक कारक में अल्पविराम को दो स्थानों पर दाईं ओर ले जाया जाता है। संख्याओं 5, 21 और 3 को गुणा करने पर हमें 15.63 के बराबर गुणनफल प्राप्त होता है। अब, इस उदाहरण में, हम अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से स्थानांतरित करेंगे। इस प्रकार, किसी एक कारक को कितनी बार बढ़ाया गया, उत्पाद को कितनी बार घटाया गया। इन विधियों के समान बिंदुओं के आधार पर, हम एक निष्कर्ष निकालते हैं।

गुणा करने के लिए दशमलवएक प्राकृतिक संख्या के लिए, आपको चाहिए:
1) अल्पविराम की अनदेखी, प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना;
2) परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर अल्पविराम से उतने ही वर्ण अलग करें जितने दशमलव अंश में हैं।

निम्नलिखित उदाहरण मॉनिटर पर प्रदर्शित होते हैं, जिनका हम कोम्पोशा और लोगों के साथ विश्लेषण करते हैं: 5.21 3 = 15.63 और 7.624 15 = 114.34। मैं एक गोल संख्या 12.6 50 \u003d 630 से गुणा दिखाने के बाद। इसके बाद, मैं एक बिट इकाई द्वारा दशमलव अंश के गुणन की ओर मुड़ता हूं। मैं निम्नलिखित उदाहरण दिखाता हूं: 7.423 100 \u003d 742.3 और 5.2 1000 \u003d 5200। इसलिए, मैं एक दशमलव अंश को एक बिट इकाई से गुणा करने के नियम का परिचय देता हूं:

दशमलव अंश को 10, 100, 1000, आदि की बिट इकाइयों से गुणा करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करना आवश्यक है, जितने कि बिट इकाई रिकॉर्ड में शून्य हैं।

मैं प्रतिशत के रूप में दशमलव अंश के व्यंजक के साथ स्पष्टीकरण समाप्त करता हूं। मैं नियम दर्ज करता हूं:

दशमलव को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, इसे 100 से गुणा करें और % चिह्न जोड़ें।

मैं कंप्यूटर पर 0.5 100 = 50 या 0.5 = 50% का उदाहरण देता हूं।

4. स्पष्टीकरण के अंत में, मैं लोगों को देता हूं गृहकार्य, जो कंप्यूटर मॉनीटर पर भी प्रदर्शित होता है: № 1030, № 1034, № 1032.

5. लोगों को थोड़ा आराम करने के लिए, विषय को मजबूत करने के लिए, हम कोम्पोशा के साथ मिलकर एक गणितीय शारीरिक शिक्षा सत्र करते हैं। हर कोई खड़ा होता है, कक्षा को हल किए गए उदाहरण दिखाता है और उन्हें जवाब देना चाहिए कि उदाहरण सही है या गलत। यदि उदाहरण को सही ढंग से हल किया जाता है, तो वे अपने हाथों को अपने सिर के ऊपर उठाते हैं और ताली बजाते हैं। यदि उदाहरण को सही ढंग से हल नहीं किया जाता है, तो लोग अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाते हैं और अपनी उंगलियों को गूंथते हैं।

6. और अब आपके पास थोड़ा आराम है, आप कार्यों को हल कर सकते हैं। अपनी पाठ्यपुस्तक को पृष्ठ 205 पर खोलें, № 1029. इस कार्य में भावों के मूल्य की गणना करना आवश्यक है:

कार्य कंप्यूटर पर दिखाई देते हैं। जैसे ही उन्हें हल किया जाता है, एक नाव की छवि के साथ एक तस्वीर दिखाई देती है, जो पूरी तरह से इकट्ठे होने पर दूर चली जाती है।

कंप्यूटर पर इस कार्य को हल करते हुए, रॉकेट धीरे-धीरे विकसित होता है, अंतिम उदाहरण को हल करते हुए, रॉकेट उड़ जाता है। शिक्षक छात्रों को थोड़ी जानकारी देता है: “हर साल कज़ाख भूमि से बैकोनूर कोस्मोड्रोम से सितारों तक उड़ान भरी जाती है अंतरिक्ष यान. बैकोनूर के पास, कजाकिस्तान अपना नया बैटेरेक कॉस्मोड्रोम बना रहा है।

यदि कार की गति 74.8 किमी/घंटा है तो एक कार 4 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी।

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एक अन्य ऑपरेशन जो साधारण भिन्नों के साथ किया जा सकता है, वह है गुणन। हम समस्याओं को हल करते समय इसके बुनियादी नियमों को समझाने की कोशिश करेंगे, यह दिखाएंगे कि कैसे एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है और तीन या अधिक साधारण अंशों को सही तरीके से कैसे गुणा किया जाता है।

आइए पहले मूल नियम लिखें:

परिभाषा 1

यदि हम एक साधारण भिन्न को गुणा करते हैं, तो परिणामी भिन्न का अंश मूल भिन्न के अंशों के गुणनफल के बराबर होगा, और हर उनके हर के गुणनफल के बराबर होगा। शाब्दिक रूप में, दो भिन्नों a / b और c / d के लिए, इसे a b · c d = a · c b · d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

आइए एक उदाहरण देखें कि इस नियम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए। मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग है जिसकी भुजा एक संख्यात्मक इकाई के बराबर है। तब आकृति का क्षेत्रफल 1 वर्ग होगा। इकाई। यदि हम वर्ग को संख्यात्मक इकाई के 1 4 और 1 8 के बराबर भुजाओं वाले समान आयतों में विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसमें अब 32 आयतें हैं (क्योंकि 8 4 = 32)। तदनुसार, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल के 1 32 के बराबर होगा, अर्थात। 1 32 वर्ग। इकाइयां

हमारे पास 5 8 संख्यात्मक इकाइयों और 3 4 संख्यात्मक इकाइयों के बराबर पक्षों वाला एक छायांकित टुकड़ा है। तदनुसार, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, पहले अंश को दूसरे से गुणा करना आवश्यक है। यह 5 8 3 4 वर्ग मीटर के बराबर होगा। इकाइयां लेकिन हम केवल यह गिन सकते हैं कि टुकड़े में कितने आयत शामिल हैं: उनमें से 15 हैं, जिसका अर्थ है कि कुल क्षेत्रफल 1532 वर्ग इकाई है।

चूँकि 5 3 = 15 और 8 4 = 32 हम निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

यह उस नियम की पुष्टि है जिसे हमने साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए तैयार किया है, जिसे a b · c d = a · c b · d के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह उचित और अनुचित दोनों भिन्नों के लिए समान कार्य करता है; इसका उपयोग भिन्न और समान हर से भिन्नों को गुणा करने के लिए किया जा सकता है।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के लिए कई समस्याओं के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण 1

7 11 को 9 8 से गुणा करें।

समाधान

आरंभ करने के लिए, हम संकेतित भिन्नों के अंशों के गुणनफल की गणना 7 को 9 से गुणा करके करते हैं। हमें 63 मिले। फिर हम हरों के गुणनफल की गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं: 11 8 = 88। आइए दो संख्याओं से उत्तर लिखें: 63 88।

पूरा समाधान इस तरह लिखा जा सकता है:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

उत्तर: 7 11 9 8 = 63 88।

अगर उत्तर में हमें एक कम करने योग्य अंश मिलता है, तो हमें गणना पूरी करने और इसकी कमी करने की आवश्यकता होती है। यदि हमें कोई अनुचित भिन्न प्राप्त होता है, तो हमें उसमें से पूरा भाग चुनना होगा।

उदाहरण 2

भिन्नों के गुणनफल की गणना करें 4 15 और 55 6 .

समाधान

ऊपर अध्ययन किए गए नियम के अनुसार, हमें अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होता है। समाधान प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

हमने एक घटा हुआ अंश प्राप्त किया है, अर्थात। वह जिसमें 10 से विभाज्यता का चिन्ह हो।

आइए अंश को कम करें: 220 90 जीसीडी (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9। नतीजतन, हमें एक अनुचित अंश मिला, जिसमें से हम पूरे भाग का चयन करते हैं और एक मिश्रित संख्या प्राप्त करते हैं: 22 9 \u003d 2 4 9।

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

गणना की सुविधा के लिए, हम गुणन संक्रिया करने से पहले मूल भिन्नों को भी कम कर सकते हैं, जिसके लिए हमें भिन्न को a · c b · d के रूप में लाना होगा। हम चर के मूल्यों को सरल कारकों में विघटित करते हैं और उन्हें रद्द कर देते हैं।

आइए हम बताते हैं कि किसी विशिष्ट समस्या के डेटा का उपयोग करना कैसा दिखता है।

उदाहरण 3

गुणनफल 4 15 55 6 परिकलित कीजिए।

समाधान

आइए गुणन नियम के आधार पर गणनाएँ लिखें। हम यह कर सकेंगे:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

चूँकि 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 और 6 = 2 3, तो 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति, जिसमें साधारण भिन्नों का गुणन होता है, एक क्रमविनिमेय गुण होता है, अर्थात्, यदि आवश्यक हो, तो हम कारकों के क्रम को बदल सकते हैं:

ए बी सी डी = सी डी ए बी = ए सी बी डी

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा कैसे करें

आइए मूल नियम को तुरंत लिख लें, और फिर इसे व्यवहार में समझाने का प्रयास करें।

परिभाषा 2

एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। इस मामले में, अंतिम भिन्न का हर मूल साधारण भिन्न के हर के बराबर होगा। किसी भिन्न a b को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने पर एक सूत्र a b · n = a · n b के रूप में लिखा जा सकता है।

इस सूत्र को समझना आसान है यदि आपको याद है कि किसी भी प्राकृत संख्या को एक के बराबर भाजक के साथ एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात:

ए बी एन = ए बी एन 1 = ए एन बी 1 = ए एन बी

आइए हम विशिष्ट उदाहरणों के साथ अपने विचार की व्याख्या करें।

उदाहरण 4

2 27 बटा 5 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

मूल भिन्न के अंश को दूसरे गुणनखंड से गुणा करने पर हमें 10 प्राप्त होता है। उपरोक्त नियम के आधार पर, हमें परिणाम के रूप में 10 27 मिलेंगे। इस पोस्ट में पूरा समाधान दिया गया है:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

उत्तर: 2 27 5 = 10 27

जब हम एक प्राकृत संख्या को एक सामान्य भिन्न से गुणा करते हैं, तो हमें अक्सर परिणाम को कम करना पड़ता है या इसे मिश्रित संख्या के रूप में प्रस्तुत करना पड़ता है।

उदाहरण 5

शर्त: 8 गुना 5 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

ऊपर दिए गए नियम के अनुसार, हम एक प्राकृत संख्या को अंश से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। अंतिम अंश में 2 से विभाज्यता के संकेत हैं, इसलिए हमें इसे कम करने की आवश्यकता है:

एलसीएम (40, 12) \u003d 4, सो 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

अब हमें केवल पूर्णांक भाग का चयन करना है और समाप्त उत्तर लिखना है: 10 3 = 3 1 3।

इस प्रविष्टि में, आप संपूर्ण समाधान देख सकते हैं: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3।

हम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके भी भिन्न को कम कर सकते हैं, और परिणाम बिल्कुल वैसा ही होगा।

उत्तर: 5 12 8 = 3 1 3।

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसमें एक प्राकृतिक संख्या को एक अंश से गुणा किया जाता है, में भी विस्थापन गुण होता है, अर्थात, कारकों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है:

ए बी एन = एन ए बी = ए एन बी

तीन या अधिक सामान्य भिन्नों को कैसे गुणा करें

हम साधारण अंशों के गुणन को उन्हीं गुणों तक बढ़ा सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन की विशेषता हैं। यह इन अवधारणाओं की बहुत परिभाषा से आता है।

साहचर्य और कम्यूटेटिव गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, तीन या अधिक साधारण अंशों को गुणा करना संभव है। अधिक सुविधा के लिए कारकों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना या कोष्ठक को इस तरह से व्यवस्थित करना अनुमत है जिससे गिनना आसान हो जाए।

आइए एक उदाहरण दिखाते हैं कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 6

चार उभयनिष्ठ भिन्नों 1 20 , 12 5 , 3 7 और 5 8 का गुणा कीजिए।

समाधान: सबसे पहले, काम को रिकॉर्ड करते हैं। हमें 1 20 12 5 3 7 5 8 मिलता है। हमें सभी अंशों और सभी हरों को एक साथ गुणा करना होगा: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8।

इससे पहले कि हम गुणा करना शुरू करें, हम इसे अपने लिए थोड़ा आसान बना सकते हैं और कुछ संख्याओं को आगे घटाने के लिए अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं। इसके परिणामस्वरूप तैयार अंश को कम करने की तुलना में यह आसान होगा।

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

उत्तर: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

उदाहरण 7

5 संख्या 7 8 12 8 5 36 10 गुणा करें।

समाधान

सुविधा के लिए, हम संख्या 8 के साथ भिन्न 7 8 और संख्या 12 को भिन्न 5 36 के साथ समूहित कर सकते हैं, क्योंकि इससे हमें भविष्य में कटौती स्पष्ट हो जाएगी। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करेंगे:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

उत्तर: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

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87. भिन्नों का योग।

भिन्नों को जोड़ने पर पूर्ण संख्याओं के योग के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक क्रिया है जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि कई दी गई संख्याओं (शब्दों) को एक संख्या (योग) में जोड़ा जाता है, जिसमें सभी इकाइयाँ और पदों की इकाइयों की भिन्न होती हैं।

हम तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग।

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5 ।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग होगा 2/5 एबी के बराबर होगा।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD को लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD ठीक खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान हर को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।

आइए भिन्न जोड़ें: 3/4 + 3/8 पहले उन्हें सबसे कम आम भाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे यहां अधिक स्पष्टता के लिए लिखा है।

इस प्रकार, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग।

आइए संख्याएं जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं और उन्हें फिर से लिखते हैं:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग से दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए एक और खंड ईडी को 4/15 एबी के बराबर सेट करें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया है, उससे पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और हर एक ही रहा।

इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को घटाव के अंश से घटाना होगा और उसी हर को छोड़ना होगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक भिन्न से एक भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में लाना होगा, फिर सबट्रेंड के अंश को माइन्यूएंड के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 ।

आइए न्यूनतम सामान्य भाजक के लिए न्यूनतम और उप-अनुच्छेद के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हम एक पूर्ण से एक पूर्ण और भिन्न से भिन्न घटाते हैं। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग से बड़ा होता है। ऐसे मामलों में, आपको कम के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और कम के आंशिक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव उसी तरह किया जाएगा जैसे पिछले उदाहरण में:

89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर होता है। एक भिन्न (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करने की आवश्यकता है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि क्रिया को एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए कम कर दिया गया था। फलस्वरूप,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को जितनी बार पूर्णांक में इकाइयाँ हैं, बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या इसके द्वारा भाजक को विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहां से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और एक ही हर को छोड़ना होगा या, यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से हर को विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ढूँढ़ना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 भाग मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी चाहिए। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गांव में 400 घर हैं, इनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

यहाँ कुछ ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनका सामना हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए करना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्या कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 में से पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 के 3/4 हैं। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (जो कि 400 का 1/4 है)।

हिसाब करना तीन तिमाहियों 400 से, परिणामी भागफल को तीन गुना किया जाना चाहिए, अर्थात, 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (जो 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

इससे पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। इस अनुच्छेद (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणा: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं।

इस कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि भिन्न से गुणा करके क्या समझा जाए, इस क्रिया को कैसे समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण सवाल: योग खोजने जैसी प्रतीत होने वाली अलग-अलग क्रियाएं क्यों? समान संख्याऔर अंकगणित में किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना, वही शब्द "गुणा" कहलाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को कई बार शब्दों के साथ दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का अंश ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 4 मीटर लागत कितनी होगी?

मीटर (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को हल किया जाता है।

चलो एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 3/4 मी लागत कितनी होगी?

मीटर (3/4) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके भी इस समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना कई बार इसमें संख्याओं को बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषयवस्तु समान होती है और केवल संख्याओं में भिन्नता होती है, इसलिए हम इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए पिछली समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3 / 4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3 / 4 पाते हैं।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

फलस्वरूप।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8, 12/8 है,

12 की संख्या का 5/8 है।

फलस्वरूप,

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन करने से पहले आपको करना चाहिए (यदि संभव हो तो) कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3 / 4 से 5/7 खोजने की जरूरत है। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 . खोजें

3/4 का 1/7 इस तरह व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस तरह,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुना 4/9.

5/8 का 1/9 है ,

4/9 संख्याएं 5/8 हैं।

इस तरह,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे उत्पाद को गुणनफल का हर बनाना होगा।

इस नियम को सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें अनुचित अंशों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्नों को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणा निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान रखना चाहिए कि कई मात्राएँ अपने लिए कोई नहीं, बल्कि प्राकृतिक उपखंडों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोप्पेक है, तीन सौवां 3 कोप्पेक है। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 कोप्पेक, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी। 25 कोप्पेक, आधा रूबल, यानी। 50 कोप्पेक (पचास कोप्पेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से डॉन उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन के लिए माप की इकाई, यानी, किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजित मात्राओं की समान (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत से 12/100 की कमी आई है।

उदाहरण। पुस्तक की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल से नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या छात्रों की कुल संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" से उधार लिया गया है लैटिनऔर इसकी जड़ "सेंट" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से निकलता है कि शुरू में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जो ऋणी ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को दिया था। "सेंट" शब्द ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान अपने द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना की तुलना में 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र योजना से 4 प्रतिशत अधिक हो गया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत के 12 फीसदी की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में डाली गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

पत्र को छोटा करने के लिए, "प्रतिशत" शब्द के बजाय% चिह्न लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणना में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ एक पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट चिह्न के साथ एक पूर्णांक को 100 के हर वाले अंश से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले अंश के बजाय संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मी, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितनी सन्टी लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि सन्टी जलाऊ लकड़ी स्कूल में वितरित की जाने वाली जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा था, और इस भाग को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या के अंश को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)

तो 200 का 30% 60 के बराबर होता है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2.कैंप में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात्, क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अत: यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। हो जाए:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि कुल गणनाशिविर में शामिल बच्चों को शत-प्रतिशत लिया गया।

3 एक दा चा 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, एक अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% की बचत की। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। चलिए करते हैं।

1) भोजन पर कितना पैसा खर्च किया जाता है? टास्क कहता है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया था? पिछले एक की तरह बहस करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कार्यकर्ता ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए, इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों के बारे में थे (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, अलग-अलग उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता का खर्च), उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।
4. भिन्न का भिन्न से भाग।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों पर अनुभाग में इंगित किया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक अन्य कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक से एक पूर्णांक का विभाजन जिसे हमने पूर्णांकों के विभाग में माना है। हम वहां विभाजन के दो मामले मिले: बिना शेष के विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। भिन्न से गुणन की शुरुआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 बार 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7 है। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14.

इस प्रकार, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और हर भाजक होता है।

2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से भाग दें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया गुणनफल 6/7 प्राप्त हो। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने जो कार्य निर्धारित किया गया था, वह अंश को 6/7 से 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाव या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस मामले में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित किया जाता है। यहां अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर को छोड़कर, या एक ही अंश को छोड़कर, इस संख्या से भिन्न के हर को गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से भाग देना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 1/2 से गुणा करने के बाद, गुणनफल 5 मिले। जाहिर है, यह संख्या 5 से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और जब किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एक्स , तो x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होता है। चूँकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

चलो देखते है:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से भाग देना आवश्यक है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB खींचिए और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित कीजिए। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड में तीन-तिहाई (3/3) AB 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3। हम छोटे ब्रैकेट की मदद से जुड़ते हैं 18 2 के खंड प्राप्त करते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका अर्थ यह है कि भिन्न 2/3, b इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, भिन्न 2/3, 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। फलस्वरूप,

केवल गणनाओं का उपयोग करके चित्र के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है, कितनी बार 2/3 6 में समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 गुना है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि कई बार आधा है, यानी 18: 2 = 9 इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाकर दिए गए भिन्न के अंश से भाग देना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से भाग देना है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC, खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर 2 बार खंड में समाहित है; तो विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जिसे 3/32 से गुणा करने के बाद, 15/16 के बराबर उत्पाद देगा। आइए गणना इस तरह लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15 / 16 . बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

फलस्वरूप,

इस प्रकार, किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी अंशों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए अब विभाजित करें:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।

के बीच विभिन्न कार्यभिन्नों पर, कभी-कभी ऐसे भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या के कुछ अंश को खोजने की आवश्यकता थी, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं खोजने की आवश्यकता है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमका दिया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या यह कहती है कि घर की सभी खिड़कियों का 1/3 भाग 50 ग्लेज़ेड खिड़कियाँ बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, अर्थात।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2.दुकान ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। फलस्वरूप,

500 8 \u003d 4,000 (किलो)।

दुकान में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या के विचार से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने भिन्न दी हुई संख्या ज्ञात करने पर दो प्रश्न हल किए। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह की एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके अंश से खोजने की समस्या को हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।शुरू में चालू वर्षमुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा एक निश्चित राशि एक बचत बैंक में रखी गई थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद, मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा निवेशित धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को जानने के लिए, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया गया है, हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसकी भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

तो, बचत बैंक में 3,000 रूबल डाले गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके 64% मासिक योजना को पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि मछुआरों ने योजना का एक हिस्सा पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो कि योजना का 64 फीसदी है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटा जाना है, यह हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मास्को चली गई। जब उन्होंने 276वां किलोमीटर पार किया, तो यात्रियों में से एक ने गुजरने वाले कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हमने पूरी यात्रा का 30% पहले ही कवर कर लिया है।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी है, अर्थात इस भाग के लिए संपूर्ण दूरी ज्ञात करें:

91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 प्राप्त होता है। हमें एक भिन्न मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए अंश का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , रिवर्स 4 / 3 ; 5 / 6 , रिवर्स 6 / 5

दो भिन्नों में यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर होता है और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है परस्पर उलटा।

आइए अब विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसके व्युत्क्रम की तलाश में, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उलटा 3; 1/5, उल्टा 5

चूँकि व्युत्क्रम खोजने पर हम पूर्णांकों से भी मिले, भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में बात नहीं करेंगे, बल्कि इसके बारे में बात करेंगे पारस्परिक.

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का हर हो सकता है। तो 7 का व्युत्क्रम 1 / 7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1 / 10 है क्योंकि 10 = 10 / 1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: दी गई संख्या का व्युत्क्रम दी गई संख्या से एक को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, यदि आप एक ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम हो, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात।

अब एक की ओर इशारा करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम ढूंढ सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या ज्ञात करें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 7 / 12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा की शुरुआत की।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से भाग देते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

भुगतान करना विशेष ध्यानव्यंजक से और उसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करें: .

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना, अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया है: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम समान है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से भाग देने पर भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना एक सरल कार्य है। लेकिन कुछ बारीकियां हैं जिन्हें आप शायद स्कूल में समझ गए थे, लेकिन तब से भूल गए हैं।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा कैसे करें - कुछ पद

यदि आपको याद है कि अंश और हर क्या हैं और एक उचित अंश एक अनुचित अंश से कैसे भिन्न होता है, तो इस अनुच्छेद को छोड़ दें। यह उनके लिए है जो सिद्धांत को पूरी तरह से भूल चुके हैं।

अंश अंश का ऊपरी भाग है - जिसे हम विभाजित करते हैं। भाजक नीचे वाला है। यही हम साझा करते हैं।
एक उचित भिन्न वह होता है जिसका अंश हर से कम होता है। एक अनुचित भिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का नियम बहुत सरल है - हम अंश को पूर्णांक से गुणा करते हैं, और हर को स्पर्श नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए: दो गुणा एक पांचवें से - हमें दो पांचवां मिलता है। चार गुणा तीन सोलहवां बारह सोलहवां है।

कमी

दूसरे उदाहरण में, परिणामी अंश को कम किया जा सकता है।
इसका क्या मतलब है? ध्यान दें कि इस भिन्न के अंश और हर दोनों चार से विभाज्य हैं। दोनों संख्याओं को से भाग दें सामान्य भाजकऔर कहा जाता है - अंश को कम करें। हमें तीन चौथाई मिलते हैं।

अनुचित भिन्न

लेकिन मान लीजिए कि हम चार गुना दो पांचवें से गुणा करते हैं। आठवां हिस्सा मिला। यह गलत अंश है।
इसे सही रूप में लाया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको इसमें से एक पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।
यहां आपको शेष के साथ विभाजन का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमें शेष में एक और तीन मिलते हैं।
एक पूर्ण और तीन पाँचवाँ भाग हमारा उचित भिन्न है।

पैंतीस आठवें को ठीक करना थोड़ा अधिक कठिन है। सैंतीस की निकटतम संख्या जो आठ से विभाज्य है बत्तीस है। विभाजित होने पर, हमें चार मिलते हैं। हम पैंतीस में से बत्तीस घटाते हैं - हमें तीन मिलते हैं। परिणाम: चार पूरे और तीन आठवें।

अंश और हर की समानता। और यहाँ सब कुछ बहुत ही सरल और सुंदर है। जब अंश और हर बराबर होते हैं, तो परिणाम सिर्फ एक होता है।