Comment résoudre des équations avec différents degrés. équations exponentielles. Guide complet (2019)

Régime et remise en forme

Au stade de la préparation aux tests finaux, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème "Équations exponentielles". L'expérience des années passées montre que ces tâches causent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les élèves du secondaire, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser soigneusement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de tâches, les diplômés pourront compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen en mathématiques.

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Lors de la répétition des matières abordées, de nombreux élèves sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre les équations. Un manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main et la sélection des informations nécessaires sur un sujet sur Internet prend beaucoup de temps.

Le portail éducatif Shkolkovo invite les étudiants à utiliser notre base de connaissances. Nous mettons entièrement en œuvre nouvelle méthode préparation à l'épreuve finale. En étudiant sur notre site, vous serez en mesure d'identifier les lacunes dans les connaissances et de prêter attention précisément aux tâches qui causent les plus grandes difficultés.

Les enseignants de "Shkolkovo" ont collecté, systématisé et présenté tout le nécessaire pour une prestation réussie UTILISER du matériel de la manière la plus simple et la plus accessible.

Les principales définitions et formules sont présentées dans la section « Référence théorique ».

Pour une meilleure assimilation de la matière, nous vous recommandons de pratiquer les devoirs. Jetez un œil aux exemples sur cette page. équations exponentielles avec une solution pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, poursuivez les tâches dans la section "Catalogues". Vous pouvez commencer par les tâches les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Web est constamment complétée et mise à jour.

Ces exemples avec des indicateurs qui vous ont causé des difficultés peuvent être ajoutés aux "Favoris". Vous pouvez ainsi les trouver rapidement et discuter de la solution avec l'enseignant.

Pour réussir l'examen, étudiez tous les jours sur le portail Shkolkovo !

Conférence : "Méthodes de résolution d'équations exponentielles."

1 . équations exponentielles.

Les équations contenant des inconnues dans l'exposant sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0 et a ≠ 1.

1) Pour b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une seule racine. Pour le trouver, b doit être représenté par b = aс, ax = bс ó x = c ou x = logab.

équations exponentielles par transformations algébriques conduisent à des équations standard, qui sont résolues à l'aide des méthodes suivantes :

1) méthode de réduction à une base ;

2) méthode d'évaluation ;

3) méthode graphique ;

4) la méthode d'introduction de nouvelles variables ;

5) méthode de factorisation ;

6) exponentielles - équations de puissance ;

7) exponentielle avec un paramètre.

2 . Méthode de réduction à une base.

La méthode est basée sur la propriété suivante des degrés : si deux degrés sont égaux et leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme

Exemples. Résous l'équation:

1 . 3x=81 ;

Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> et allez à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x ; 8x = 4 ; x = 0,5 Réponse : 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 sont des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation d'origine comme suit :

, d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, d'où l'on trouve la solution x = -1. Réponse 1.

5. 3x = 5. Par définition du logarithme, x = log35. Réponse : log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Réécrivons l'équation comme 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> Donc x - 4 =0, x = 4. Réponse : quatre.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme e. x+1 = 2, x =1. Réponse 1.

Banque de tâches n°1.

Résous l'équation:

Essai numéro 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pas de racines
	1) 7;1 2) pas de racine 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Essai #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) pas de racines 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Procédé d'évaluation.

Le théorème racine: si la fonction f (x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est toute valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f (x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.

Lors de la résolution d'équations par la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie de la fonction sont utilisés.

Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 - x.

La solution. Réécrivons l'équation sous la forme 4x + x = 5.

1. si x \u003d 1, alors 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 est vrai, alors 1 est la racine de l'équation.

La fonction f(x) = 4x est croissante sur R et g(x) = x est croissante sur R => h(x)= f(x)+g(x) est croissante sur R comme la somme des fonctions croissantes, donc x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse 1.

La solution. On réécrit l'équation sous la forme .

1. si x = -1, alors , 3 = 3-vrai, donc x = -1 est la racine de l'équation.

2. prouver qu'il est unique.

3. La fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x - diminue sur R => h(x) = f(x) + g(x) - diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Donc, d'après le théorème de la racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse 1.

Banque de tâches n°2. résous l'équation

a) 4x + 1 = 6 - x ;

c) 2x – 2 =1 – x ;

4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.

La méthode est décrite dans la section 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Prenons des exemples.

Exemples. R manger l'équation: 1. .

Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

La solution. Réécrivons l'équation différemment :

Indiquez https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> est une équation irrationnelle. Notez que

La solution de l'équation est x = 2,5 ≤ 4, donc 2,5 est la racine de l'équation. Réponse : 2.5.

La solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, donc..png" width="118" height="56">

Les racines de l'équation quadratique - t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

La solution . On réécrit l'équation sous la forme

et notez que c'est une équation homogène du second degré.

Divisez l'équation par 42x, nous obtenons

Remplacez https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Réponse : 0 ; 0,5.

Banque de tâches #3. résous l'équation

Essai #3 avec un choix de réponses. Niveau mini.

A1	1) -0,2 ;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) pas de racine 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) pas de racine 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Essai #4 avec un choix de réponses. Niveau général.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) pas de racine

5. Méthode de factorisation.

1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , d'où

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

La solution. Retirons 6x du côté gauche de l'équation et 2x du côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Puisque 2x >0 pour tout x, on peut diviser les deux membres de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.

La solution. On résout l'équation par factorisation.

On sélectionne le carré du binôme

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 est la racine de l'équation.

Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Essai #6 Niveau général.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponentielle - équations de puissance.

Aux équations exponentielles sont adjointes les équations dites à puissance exponentielle, c'est-à-dire des équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'exponentielle, est résolue en mettant en équation les exposants g(x) = f(x).

Si la condition n'exclut pas la possibilité que f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution de l'équation de puissance exponentielle.

1..png" width="182" height="116 src=">

La solution. x2 +2x-8 - est logique pour tout x, car un polynôme, donc l'équation est équivalente à l'ensemble

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle une solution unique ?

La solution. Introduisons le changement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Le discriminant de l'équation (2) est D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. L'ensemble des systèmes satisfait la condition du problème

En remplaçant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

La solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) vérifie la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Ainsi, en a 0 l'équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Pour un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1;

si a  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré plein ; ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées par la formule des racines de l'équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, par conséquent, lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme carré et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue en utilisant le théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Tâche 3. Résoudre l'équation

La solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplaçant. Soit 2x = t, t > 0, alors, par suite des transformations, l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouver les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait la condition t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Réponse : si a > - 13, a  11, a  5, alors si a - 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

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Cette leçon est destinée à ceux qui commencent tout juste à apprendre les équations exponentielles. Comme toujours, commençons par une définition et des exemples simples.

Si vous lisez cette leçon, je soupçonne que vous avez déjà au moins une compréhension minimale des équations les plus simples - linéaires et carrées : $56x-11=0$ ; $((x)^(2))+5x+4=0$ ; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Être capable de résoudre de telles constructions est absolument nécessaire pour ne pas "s'accrocher" au sujet qui sera discuté maintenant.

Donc, équations exponentielles. Permettez-moi de vous donner quelques exemples :

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Certains d'entre eux peuvent vous sembler plus compliqués, certains d'entre eux, au contraire, sont trop simples. Mais tous sont unis par une caractéristique importante : ils contiennent une fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, nous introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation qui contient une fonction exponentielle, c'est-à-dire une expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction spécifiée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. J'ai compris la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toute cette merde ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience avec de nombreux élèves, je peux dire que pour la plupart d'entre eux, les équations exponentielles sont beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a aussi de mauvaises nouvelles: parfois les compilateurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont visités par «l'inspiration», et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales qu'il devient problématique non seulement pour les étudiants de les résoudre - même de nombreux enseignants sont bloqués sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations qui ont été données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Peut-être le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — et nous avons obtenu la bonne égalité numérique, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci, cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pourrait la résoudre. :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici c'est un peu plus difficile. De nombreux élèves savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition des exposants négatifs (similaire à la formule $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Enfin, seuls quelques privilégiés supposent que ces faits peuvent être combinés et le résultat est le suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi, notre équation originale sera réécrite comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Et maintenant, c'est déjà complètement résolu! Sur le côté gauche de l'équation, il y a une fonction exponentielle, sur le côté droit de l'équation, il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre qu'eux ailleurs. Par conséquent, il est possible de "jeter" les bases et d'assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l'équation linéaire la plus simple que n'importe quel étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet "équations linéaires" et répétez-le. Car sans une assimilation claire de ce sujet, il est trop tôt pour vous attaquer aux équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Eh bien, comment décidez-vous? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation d'origine peut être réécrite comme ceci :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

Ensuite, nous rappelons que lorsqu'on élève un degré à une puissance, les indicateurs sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(aligner)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(aligner)\]

Et pour une telle décision, nous obtenons un diable honnêtement mérité. Car nous, avec la sérénité d'un Pokémon, avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Et vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jetez un œil aux différentes puissances du triple :

\[\begin(matrice) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

En compilant cette tablette, je n'ai pas perverti dès que possible: j'ai considéré des degrés positifs, et négatifs, et même fractionnaires ... eh bien, où est au moins un un nombre négatif? Il n'est pas! Et ce n'est pas possible, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que valeurs positives(peu importe combien vous multipliez un ou divisez par deux, ce sera toujours un nombre positif), et deuxièmement, la base d'une telle fonction - le nombre $a$ - est par définition un nombre positif !

Alors, comment résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Non, il n'y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques - il peut aussi n'y avoir aucune racine. Mais si dans équations du second degré le nombre de racines est déterminé par le discriminant (le discriminant est positif - 2 racines, négatif - pas de racines), puis dans les exponentielles tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Ainsi, nous formulons la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b>0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Cette connaissance nous aidera plusieurs fois lorsque nous aurons à résoudre des problèmes plus complexes. En attendant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Selon l'algorithme "naïf" que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si au lieu de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation, qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3 ; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4 ; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin(aligner)\]

Et curieusement, ce schéma fonctionne dans environ 90% des cas. Qu'en est-il des 10 % restants ? Les 10% restants sont des équations exponentielles légèrement "schizophréniques" de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

A quelle puissance faut-il élever 2 pour obtenir 3 ? En premier? Mais non : $((2)^(1))=2$ n'est pas suffisant. Dans la seconde? Ni l'un ni l'autre : $((2)^(2))=4$ c'est trop. Quoi alors ?

Les étudiants avertis ont probablement déjà deviné: dans de tels cas, lorsqu'il est impossible de résoudre «magnifiquement», «l'artillerie lourde» est liée au cas - les logarithmes. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant les logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme une puissance de n'importe quel autre nombre positif(hors unité):

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle de logarithmes à mes élèves, je vous préviens toujours : cette formule (c'est aussi l'identité logarithmique de base ou, si vous préférez, la définition du logarithme) vous hantera très longtemps et "émergera" dans le plus lieux inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si nous supposons que $a=3$ est notre nombre d'origine à droite, et que $b=2$ est la base même de la fonction exponentielle à laquelle nous voulons tant réduire le côté droit, nous obtenons ce qui suit :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin(aligner)\]

Nous avons obtenu une réponse un peu étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, avec une telle réponse, beaucoup douteraient et commenceraient à revérifier leur solution : et s'il y avait une erreur quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir: il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes dans les racines des équations exponentielles sont une situation assez typique. Alors habituez-vous. :)

Résolvons maintenant par analogie les deux équations restantes :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15 ; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Au fait, la dernière réponse peut être écrite différemment :

C'est nous qui avons introduit le multiplicateur dans l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d'ajouter ce facteur à la base :

Dans ce cas, les trois options sont correctes - c'est juste différentes formes enregistrements du même numéro. Lequel choisir et écrire dans cette décision dépend de vous.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant, la dure réalité de notre monde est que ces tâches simples vous rencontreront très, très rarement. Plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11 ; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\fin(aligner)\]

Eh bien, comment décidez-vous? Cela peut-il être résolu du tout? Et si oui, comment ?

Pas de panique. Toutes ces équations sont rapidement et simplement réduites à ces formules simples que nous avons déjà considérées. Vous avez juste besoin de savoir vous souvenir de quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n'y a pas de règles pour travailler avec des diplômes ici. Je vais parler de tout ça maintenant. :)

Transformation d'équations exponentielles

La première chose à retenir est que toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles-là mêmes que nous avons déjà envisagées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

Écrivez l'équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$ ;
Faites des bêtises. Ou même des conneries appelées "transformer l'équation" ;
À la sortie, obtenez les expressions les plus simples comme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs de ces expressions à la fois.

Avec le premier point, tout est clair - même mon chat peut écrire l'équation sur une feuille. Avec le troisième point aussi, semble-t-il, c'est plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas d'équations de ce type ci-dessus.

Mais qu'en est-il du deuxième point ? Quelles sont les métamorphoses ? Que convertir en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d'abord, je voudrais souligner ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$ ;
La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Commençons par les équations du premier type - elles sont les plus faciles à résoudre. Et dans leur solution, nous serons aidés par une technique telle que la sélection d'expressions stables.

Mise en évidence d'une expression stable

Reprenons cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voyons-nous ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais toutes ces puissances sont de simples sommes de la variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de se rappeler les règles de travail avec les diplômes:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin(aligner)\]

En termes simples, l'addition d'exposants peut être convertie en un produit de puissances, et la soustraction est facilement convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux puissances de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot\frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin(aligner)\]

Nous réécrivons l'équation d'origine en tenant compte de ce fait, puis nous collectons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -Onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin(aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ — retirons-le de la parenthèse :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0 ; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0 ; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin(aligner)\]

Il reste à diviser les deux parties de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, soit multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4 ; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l'équation d'origine au plus simple et avons obtenu la réponse finale.

En même temps, dans le processus de résolution, nous avons découvert (et même sorti de la parenthèse) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est l'expression stable. Il peut être désigné comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec précision et obtenir une réponse. Dans tous les cas, le principe clé de la solution est le suivant :

Trouvez dans l'équation d'origine une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles admettent une telle expression stable.

Mais il y a aussi une mauvaise nouvelle : de telles expressions peuvent être très délicates et il peut être assez difficile de les distinguer. Passons donc à un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un va maintenant poser une question : « Pacha, es-tu lapidé ? Voici différentes bases - 5 et 0,2. Mais essayons de convertir une puissance de base 0.2. Par exemple, débarrassons-nous de fraction décimale, en le ramenant à l'habituel:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le voir, le nombre 5 est toujours apparu, bien que dans le dénominateur. Dans le même temps, l'indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant, nous rappelons l'une des règles les plus importantes pour travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, j'ai un peu triché. Car pour une compréhension complète, la formule pour se débarrasser des indicateurs négatifs devait être écrite comme suit :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler avec une seule fraction :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir monter d'un degré à un autre degré (je vous rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "retourner" les fractions - peut-être que pour quelqu'un ce sera plus facile. :)

Dans tous les cas, l'équation exponentielle d'origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2 ; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2 ; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin(aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation d'origine est encore plus facile à résoudre que celle considérée précédemment: ici, vous n'avez même pas besoin de distinguer une expression stable - tout a été réduit par lui-même. Il ne reste plus qu'à retenir que $1=((5)^(0))$, d'où l'on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0 ; \\&x=-2. \\\fin(aligner)\]

C'est toute la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En même temps, je voudrais noter une astuce qui nous a grandement simplifié tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser des fractions décimales, traduisez-les en fractions ordinaires. Cela vous permettra de voir les mêmes bases des degrés et simplifiera grandement la solution.

Passons maintenant à des équations plus complexes dans lesquelles il existe différentes bases, qui ne sont généralement pas réduites les unes aux autres à l'aide de puissances.

Utilisation de la propriété exposant

Je vous rappelle que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\fin(aligner)\]

La principale difficulté ici est qu'il n'est pas clair sur quoi et sur quelle base mener. Où ensemble d'expressions? Où sont les points communs ? Il n'y a rien de tout cela.

Mais essayons d'aller dans l'autre sens. S'il n'y a pas de bases identiques toutes faites, vous pouvez essayer de les trouver en factorisant les bases disponibles.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\fin(aligner)\]

Mais vous pouvez faire le contraire - composer le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. Il est particulièrement facile de le faire à gauche, car les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x ; \\& 2x=6 ; \\&x=3. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Vous avez retiré l'exposant du produit et vous avez immédiatement obtenu une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Passons maintenant à la deuxième équation. Ici tout est bien plus compliqué :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dans ce cas, les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Cela se traduira souvent par des terrains intéressants avec lesquels vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, nous n'avons rien trouvé. Mais on voit que les exposants à gauche dans le produit sont opposés :

Permettez-moi de vous rappeler : pour vous débarrasser du signe moins dans l'exposant, il vous suffit de "retourner" la fraction. Réécrivons donc l'équation d'origine :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin(aligner)\]

Dans la deuxième ligne, nous venons de mettre entre parenthèses le total du produit selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, et dans ce dernier, ils ont simplement multiplié le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les nombres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, évidemment : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droit))^(2)). \\\fin(aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \droit))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans le même temps, à droite, vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour laquelle il suffit juste de "retourner" la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Finalement, notre équation prendra la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2 ; \\& 3x=1 ; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin(aligner)\]

C'est toute la solution. Son idée principale est que même si bases différentes x nous essayons de gré ou de force de réduire ces motifs à un seul et même. En cela, nous sommes aidés par les transformations élémentaires des équations et les règles de travail avec les puissances.

Mais quelles règles et quand utiliser ? Comment comprendre que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans un autre - pour factoriser la base de la fonction exponentielle?

La réponse à cette question viendra avec l'expérience. Essayez-vous d'abord équations simples, puis compliquez progressivement les tâches - et très bientôt vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle de la même UTILISATION ou tout travail indépendant / test.

Et pour vous aider dans cette tâche difficile, je vous propose de télécharger un ensemble d'équations sur mon site Web pour une solution indépendante. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vérifier vous-même.

Qu'est-ce qu'une équation exponentielle ? Exemples.

Donc, une équation exponentielle... Une nouvelle exposition unique à notre exposition générale d'une grande variété d'équations !) Comme c'est presque toujours le cas, le mot-clé de tout nouveau terme mathématique est l'adjectif correspondant qui le caractérise. Donc ici aussi. mot-clé dans le terme "équation exponentielle" est le mot "démonstratif". Qu'est-ce que ça veut dire? Ce mot signifie que l'inconnu (x) est quel que soit le degré. Et seulement là ! C'est extrêmement important.

Par exemple, ces équations simples :

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 × -17 2 × +4 = 0

Ou même ces monstres :

2 péché x = 0,5

Je vous demande de prêter immédiatement attention à une chose importante : dans terrains degrés (en bas) - Seulement les chiffres. Mais en indicateurs degrés (en haut) - une grande variété d'expressions avec x. Absolument aucun.) Tout dépend de l'équation spécifique. Si, soudainement, x apparaît ailleurs dans l'équation, en plus de l'indicateur (par exemple, 3 x \u003d 18 + x 2), alors une telle équation sera déjà une équation type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Par conséquent, dans cette leçon, nous ne les considérerons pas. Pour le plus grand plaisir des étudiants.) Nous ne considérerons ici que des équations exponentielles sous une forme "pure".

D'une manière générale, même les équations exponentielles pures ne sont pas clairement résolues dans tous les cas et pas toujours. Mais parmi la riche variété d'équations exponentielles, certains types peuvent et doivent être résolus. Ce sont ces types d'équations que nous allons considérer avec vous. Et nous allons certainement résoudre les exemples.) Nous nous installons donc confortablement et - sur la route ! Comme dans les "shooters" informatiques, notre parcours passera par les niveaux.) De l'élémentaire au simple, du simple au moyen et du moyen au complexe. En cours de route, vous attendrez également un niveau secret - des astuces et des méthodes pour résoudre des exemples non standard. Celles que vous ne lirez pas dans la plupart des manuels scolaires... Bon, à la fin, bien sûr, le boss final vous attend sous forme de devoirs.)

Niveau 0. Quelle est l'équation exponentielle la plus simple ? Solution des équations exponentielles les plus simples.

Pour commencer, regardons quelques éléments élémentaires francs. Il faut bien commencer quelque part, n'est-ce pas ? Par exemple, cette équation :

2 x = 2 2

Même sans aucune théorie, par simple logique et bon sens, il est clair que x = 2. Sinon, il n'y a pas moyen, n'est-ce pas ? Aucune autre valeur de x n'est bonne ... Maintenant, tournons notre attention vers entrée de décision cette équation exponentielle cool:

2 x = 2 2

X = 2

Ce qui nous est arrivé? Et ce qui suit s'est produit. En fait, nous avons pris et ... juste jeté les mêmes bases (deux) ! Complètement jeté. Et, qu'est-ce qui plaît, faites mouche !

Oui, en effet, si dans l'équation exponentielle à gauche et à droite sont le même nombres à n'importe quel degré, alors ces nombres peuvent être ignorés et simplement égaliser les exposants. Les mathématiques le permettent.) Et ensuite, vous pouvez travailler séparément avec des indicateurs et résoudre une équation beaucoup plus simple. C'est génial, non ?

Voici l'idée clé pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle (oui, exactement n'importe laquelle !) : à l'aide de transformations identiques, il faut s'assurer que la gauche et la droite dans l'équation sont le même nombres de base à divers degrés. Et puis vous pouvez supprimer en toute sécurité les mêmes bases et assimiler les exposants. Et travaillez avec une équation plus simple.

Et maintenant, nous nous souvenons de la règle de fer : il est possible de supprimer les mêmes bases si et seulement si dans l'équation à gauche et à droite les nombres de base sont dans une fière solitude.

Qu'est-ce que cela signifie, dans un splendide isolement ? Cela signifie sans voisins ni coefficients. J'explique.

Par exemple, dans l'équation

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Vous ne pouvez pas supprimer les triplés ! Pourquoi? Parce qu'à gauche, nous n'avons pas seulement un trois degrés solitaire, mais travailler 3 3x-5 . Un triple supplémentaire gêne : un coefficient, vous comprenez.)

On peut dire la même chose de l'équation

5 3x = 5 2x +5x

Ici aussi, toutes les bases sont les mêmes - cinq. Mais à droite nous n'avons pas un seul degré de cinq : il y a la somme des degrés !

Bref, on n'a le droit de supprimer les mêmes bases que lorsque notre équation exponentielle ressemble à ça et seulement à ça :

unF (X) = un g (X)

Ce type d'équation exponentielle est appelé le plus simple. Ou scientifiquement, canonique . Et quelle que soit l'équation tordue devant nous, nous la réduirons d'une manière ou d'une autre à une forme aussi simple (canonique). Ou, dans certains cas, de agrégatséquations de ce genre. Alors notre équation la plus simple peut être dans vue générale réécrire comme ceci :

F(x) = g(x)

Et c'est tout. Ce sera la transformation équivalente. En même temps, absolument toutes les expressions avec x peuvent être utilisées comme f(x) et g(x). Peu importe.

Peut-être un étudiant particulièrement curieux demandera-t-il : pourquoi diable écartons-nous si facilement et simplement les mêmes bases à gauche et à droite et assimilons-nous les exposants ? L'intuition est l'intuition, mais soudain, dans une équation et pour une raison quelconque, cette approche se révélera fausse ? Est-il toujours légal de lancer les mêmes buts ? Malheureusement, pour une réponse mathématique rigoureuse à cette intérêt Demander vous devez vous plonger profondément et sérieusement dans la théorie générale de la structure et du comportement des fonctions. Et un peu plus précisément - dans le phénomène stricte monotonie. En particulier, la stricte monotonie fonction exponentielley= un x. Puisque c'est la fonction exponentielle et ses propriétés qui sous-tendent la solution des équations exponentielles, oui.) Une réponse détaillée à cette question sera donnée dans une leçon spéciale distincte consacrée à la résolution d'équations complexes non standard en utilisant la monotonie de différentes fonctions.)

Expliquer ce point en détail maintenant, c'est seulement sortir le cerveau d'un écolier moyen et lui faire peur à l'avance avec une théorie sèche et lourde. Je ne le ferai pas.) Pour notre principal ce moment une tâche - apprenez à résoudre des équations exponentielles ! Le plus simple ! Par conséquent, jusqu'à ce que nous transpirions et rejetions hardiment les mêmes raisons. ce boîte, croyez-moi sur parole !) Et puis nous résolvons déjà l'équation équivalente f (x) = g (x). En règle générale, il est plus simple que l'exponentielle d'origine.

On suppose, bien sûr, que les gens savent déjà résoudre au moins , et des équations, déjà sans x dans les indicateurs.) Qui ne sait toujours pas comment, n'hésitez pas à fermer cette page, à parcourir les liens appropriés et à remplir les anciennes lacunes. Sinon, vous aurez du mal, oui...

Je passe sous silence les équations irrationnelles, trigonométriques et autres brutales qui peuvent également émerger lors du processus d'élimination des bases. Mais ne vous inquiétez pas, pour l'instant on ne considérera pas l'étain franc en termes de diplômes : c'est trop tôt. Nous nous entraînerons uniquement sur les équations les plus simples.)

Considérons maintenant les équations qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Pour les distinguer, appelons-les équations exponentielles simples. Alors passons au niveau suivant !

Niveau 1. Équations exponentielles simples. Reconnaître les diplômes ! indicateurs naturels.

Les règles clés pour résoudre toutes les équations exponentielles sont règles de gestion des diplômes. Sans ces connaissances et ces compétences, rien ne fonctionnera. Hélas. Donc, s'il y a des problèmes avec les diplômes, alors pour commencer, vous êtes les bienvenus. De plus, nous avons également besoin de . Ces transformations (jusqu'à deux !) sont à la base de la résolution de toutes les équations des mathématiques en général. Et pas seulement des vitrines. Alors, ceux qui ont oublié, faites aussi un tour sur le lien : je les mets pour une raison.

Mais seules des actions avec des pouvoirs et des transformations identiques ne suffisent pas. Cela demande aussi de l'observation personnelle et de l'ingéniosité. Nous avons besoin des mêmes terrains, n'est-ce pas ? Nous examinons donc l'exemple et les recherchons sous une forme explicite ou déguisée !

Par exemple, cette équation :

3 2x – 27x +2 = 0

Regardez d'abord terrains. Ils sont différents! Trois et vingt-sept. Mais il est trop tôt pour paniquer et sombrer dans le désespoir. Il est temps de s'en souvenir

27 = 3 3

Les nombres 3 et 27 sont parents en degré ! De plus, parents.) Par conséquent, nous avons parfaitement le droit d'écrire:

27 x +2 = (3 3) x+2

Et maintenant, nous connectons nos connaissances sur actions avec degrés(et je vous avais prévenu !). Il existe une telle formule très utile:

(suis) n = une mn

Maintenant, si vous l'exécutez dans le cours, cela se passe généralement bien :

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

L'exemple d'origine ressemble maintenant à ceci :

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Super, les bases des diplômes se sont alignées. Ce que nous recherchions. La moitié du travail est faite.) Et maintenant, nous lançons la transformation d'identité de base - nous transférons 3 3 (x +2) vers la droite. Personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques, oui.) On obtient :

3 2 x = 3 3(x +2)

Qu'est-ce qui nous donne ce genre d'équation? Et le fait que maintenant notre équation est réduite à la forme canonique: à gauche et à droite se trouvent les mêmes nombres (triples) en puissances. Et les deux triplés - dans un splendide isolement. Nous supprimons hardiment les triplets et obtenons :

2x = 3(x+2)

Nous résolvons cela et obtenons:

X=-6

C'est tout ce qu'on peut en dire. C'est la bonne réponse.)

Et maintenant nous comprenons le cours de la décision. Qu'est-ce qui nous a sauvés dans cet exemple ? Nous avons été sauvés par la connaissance des degrés du triplet. De quelle façon précisément? Nous identifié numéro 27 crypté trois ! Cette astuce (chiffrement de la même base sous numéros différents) est l'une des plus populaires dans les équations exponentielles ! A moins que ce ne soit le plus populaire. Oui, et aussi, d'ailleurs. C'est pourquoi l'observation et la capacité à reconnaître les puissances d'autres nombres dans les nombres sont si importantes dans les équations exponentielles !

Conseils pratiques :

Vous devez connaître les pouvoirs des nombres populaires. Dans le visage!

Bien sûr, n'importe qui peut relancer deux à la septième puissance ou trois à la cinquième. Pas dans mon esprit, donc au moins sur un brouillon. Mais dans les équations exponentielles, il est beaucoup plus souvent nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais, au contraire, de savoir quel nombre et dans quelle mesure se cache derrière un nombre, disons 128 ou 243. Et c'est déjà plus compliqué que la simple exponentiation, vous voyez. Sentez la différence, comme on dit !

Puisque la capacité à reconnaître les degrés dans le visage est utile non seulement à ce niveau, mais aussi aux suivants, voici une petite tâche pour vous :

Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Réponses (éparpillées, bien sûr) :

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oui oui! Ne soyez pas surpris qu'il y ait plus de réponses que de tâches. Par exemple, 2 8 , 4 4 et 16 2 sont tous 256.

Niveau 2. Équations exponentielles simples. Reconnaître les diplômes ! Exposants négatifs et fractionnaires.

A ce niveau, nous utilisons déjà au maximum notre connaissance des diplômes. A savoir, nous impliquons des indicateurs négatifs et fractionnaires dans ce processus fascinant ! Oui oui! Nous devons augmenter notre puissance, n'est-ce pas ?

Par exemple, cette terrible équation :

Encore une fois, regardez d'abord les fondations. Les bases sont différentes ! Et cette fois, ils ne se ressemblent même pas de loin ! 5 et 0.04... Et pour éliminer les bases, il faut les mêmes... Que faire ?

C'est bon! En fait, tout est pareil, seule la connexion entre les cinq et 0,04 est visuellement mal visible. Comment sort-on ? Et passons à la fraction habituelle dans le nombre 0,04 ! Et là, voyez-vous, tout est formé.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ouah! Il s'avère que 0,04 est 1/25 ! Eh bien, qui aurait pensé!)

Bien comment? Maintenant, la connexion entre les chiffres 5 et 1/25 est plus facile à voir ? C'est ce que c'est...

Et maintenant, selon les règles de fonctionnement avec des pouvoirs avec indicateur négatif peut être écrit d'une main ferme :

C'est super. Nous sommes donc arrivés à la même base - cinq. Nous remplaçons maintenant le nombre inconfortable 0,04 dans l'équation par 5 -2 et obtenons :

Toujours selon les règles des opérations avec puissances, on peut maintenant écrire :

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Au cas où, je rappelle (du coup, qui ne sait pas) que règles de base les actions avec pouvoirs sont valables pour n'importe quel indicateurs ! Y compris pour les négatifs.) N'hésitez donc pas à prendre et à multiplier les indicateurs (-2) et (x-1) selon la règle correspondante. Notre équation va de mieux en mieux :

Tout! En plus des cinq solitaires dans les degrés à gauche et à droite, il n'y a rien d'autre. L'équation est réduite à la forme canonique. Et puis - le long de la piste moletée. Nous supprimons les cinq et assimilons les indicateurs :

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

L'exemple est presque terminé. Les mathématiques élémentaires des classes moyennes restent - nous ouvrons (correctement!) Les parenthèses et collectons tout à gauche:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Nous résolvons cela et obtenons deux racines:

X 1 = 1; X 2 = 3

C'est tout.)

Maintenant réfléchissons encore. Dans cet exemple, nous avons à nouveau dû reconnaître le même nombre à des degrés divers ! A savoir, voir le cinq chiffré dans le nombre 0.04. Et cette fois, en degré négatif ! Comment avons-nous fait ça? En déplacement - pas question. Mais après le passage d'une fraction décimale de 0,04 à une fraction ordinaire de 1/25, tout s'est mis en évidence ! Et puis toute la décision est allée comme sur des roulettes.)

Par conséquent, un autre conseil pratique vert.

S'il y a des fractions décimales dans l'équation exponentielle, alors nous passons des fractions décimales aux fractions ordinaires. À fractions communes il est beaucoup plus facile de reconnaître les puissances de nombreux nombres populaires ! Après reconnaissance, on passe des fractions aux puissances avec des exposants négatifs.

Gardez à l'esprit qu'une telle feinte dans les équations exponentielles se produit très, très souvent ! Et la personne n'est pas dans le sujet. Il regarde, par exemple, les nombres 32 et 0,125 et s'énerve. Il lui est inconnu qu'il s'agit du même diable, seulement à des degrés différents ... Mais vous êtes déjà dans le sujet!)

Résous l'équation:

Dans! Cela ressemble à une horreur tranquille... Cependant, les apparences sont trompeuses. C'est l'équation exponentielle la plus simple, malgré son caractère terrifiant apparence. Et maintenant je vais vous le montrer.)

Premièrement, nous traitons tous les nombres assis dans les bases et dans les coefficients. Ils sont évidemment différents, oui. Mais nous prenons toujours le risque et essayons de les faire le même! Essayons d'arriver à le même nombre à des degrés différents. Et, de préférence, le nombre le plus petit possible. Alors, commençons à déchiffrer !

Eh bien, tout est clair avec les quatre à la fois - c'est 2 2 . Donc, déjà quelque chose.)

Avec une fraction de 0,25 - ce n'est pas encore clair. Besoin de vérifier. Nous utilisons des conseils pratiques - passez du décimal à l'ordinaire :

0,25 = 25/100 = 1/4

Déjà bien mieux. Pour l'instant, il est déjà clairement visible que 1/4 est 2 -2. Génial, et le nombre 0,25 s'apparente également à un deux.)

Jusqu'ici tout va bien. Mais le pire de tous reste - la racine carrée de deux ! Que faire de ce poivre ? Peut-il aussi être représenté comme une puissance de deux ? Et qui sait...

Eh bien, encore une fois, nous grimpons dans notre trésor de connaissances sur les diplômes ! Cette fois, nous connectons en plus nos connaissances sur les racines. Depuis le cours de la 9e année, vous et moi avons dû supporter que toute racine, si vous le souhaitez, puisse toujours être transformée en diplôme avec une fraction.

Comme ça:

Dans notre cas:

Comment! Il s'avère que la racine carrée de deux est 2 1/2. C'est ça!

C'est très bien! Tous nos chiffres inconfortables se sont en fait avérés être un diable crypté.) Je ne discute pas, quelque part très sophistiqué crypté. Mais nous augmentons également notre professionnalisme dans la résolution de tels chiffrements ! Et puis tout est déjà évident. Nous remplaçons les nombres 4, 0,25 et la racine de deux dans notre équation par une puissance de deux :

Tout! Les bases de tous les diplômes de l'exemple sont devenues les mêmes - deux. Et maintenant, les actions standard avec degrés sont utilisées :

suisun = suis + n

une m:une n = une m-n

(suis) n = une mn

Pour le côté gauche, vous obtenez :

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Pour le côté droit sera:

Et maintenant, notre équation diabolique a commencé à ressembler à ceci :

Pour ceux qui n'ont pas compris comment exactement cette équation s'est avérée, alors la question n'est pas sur les équations exponentielles. La question porte sur les actions avec des pouvoirs. J'ai demandé d'urgence de répéter à ceux qui ont des problèmes!

Voici la ligne d'arrivée ! La forme canonique de l'équation exponentielle est obtenue ! Bien comment? Vous ai-je convaincu que ce n'est pas si effrayant ? ;) Nous enlevons les deux et assimilons les indicateurs :

Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation linéaire. Comment? Avec l'aide de transformations identiques, bien sûr.) Résolvez ce qui est déjà là ! Multipliez les deux parties par deux (pour supprimer la fraction 3/2), déplacez les termes avec des X vers la gauche, sans X vers la droite, apportez des termes similaires, comptez - et vous serez heureux !

Tout devrait bien se passer :

X=4

Repensons maintenant à la décision. Dans cet exemple, nous avons été sauvés par la transition de racine carrée à degré avec exposant 1/2. De plus, seule une transformation aussi rusée nous a permis d'atteindre partout la même base (diable), ce qui a sauvé la situation ! Et, sinon, nous aurions toutes les chances de geler pour toujours et de ne jamais faire face à cet exemple, oui ...

Par conséquent, nous ne négligeons pas les prochains conseils pratiques :

S'il y a des racines dans l'équation exponentielle, alors nous passons des racines aux puissances avec des exposants fractionnaires. Très souvent, seule une telle transformation clarifie la situation ultérieure.

Bien sûr, les puissances négatives et fractionnaires sont déjà beaucoup plus difficiles. degrés naturels. Du moins en termes de perception visuelle et, surtout, de reconnaissance de droite à gauche !

Il est clair qu'élever directement, par exemple, un deux à la puissance -3 ou un quatre à la puissance -3/2 n'est pas si un gros problème. Pour ceux qui connaissent.)

Mais allez, par exemple, réalisez immédiatement que

0,125 = 2 -3

Ici, seule la pratique et la règle de l'expérience riche, oui. Et, bien sûr, une vue dégagée, Qu'est-ce qu'un exposant négatif et un exposant fractionnaire. Aussi bien que - conseils pratiques! Oui, oui, ceux vert.) J'espère qu'ils vous aideront néanmoins à mieux naviguer dans toute la diversité des diplômes et augmenteront considérablement vos chances de réussite ! Ne les négligeons donc pas. je ne suis pas en vain en vert J'écris parfois.)

D'un autre côté, si vous devenez « vous » même avec des pouvoirs aussi exotiques que négatifs et fractionnaires, vos possibilités de résolution d'équations exponentielles augmenteront considérablement et vous serez déjà capable de gérer presque tous les types d'équations exponentielles. Eh bien, si ce n'est pas le cas, alors 80 % de toutes les équations exponentielles - bien sûr ! Oui, oui, je ne plaisante pas !

Ainsi, notre première partie de connaissance des équations exponentielles est arrivée à sa conclusion logique. Et, comme entraînement intermédiaire, je suggère traditionnellement de résoudre un peu par vous-même.)

Exercice 1.

Pour que mes propos sur le déchiffrement des degrés négatifs et fractionnaires ne soient pas vains, je vous propose de jouer à un petit jeu !

Exprimez le nombre sous la forme d'une puissance de deux :

Réponses (en désordre):

Passé? Excellent! Ensuite, nous faisons une mission de combat - nous résolvons les équations exponentielles les plus simples et les plus simples !

Tâche 2.

Résolvez des équations (toutes les réponses sont un gâchis !) :

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Réponses:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Passé? En effet, beaucoup plus facile !

Puis on résout le jeu suivant :

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Réponses:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Et ces exemples d'un gauche? Excellent! Vous grandissez ! Ensuite, voici quelques exemples supplémentaires pour votre collation :

Réponses:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Et c'est décidé ? Eh bien, respectez! J'enlève mon chapeau.) Ainsi, la leçon n'a pas été vaine et le niveau initial de résolution d'équations exponentielles peut être considéré comme maîtrisé avec succès. Ahead - les prochains niveaux et des équations plus complexes! Et de nouvelles techniques et approches. Et des exemples non standard. Et de nouvelles surprises.) Tout cela - dans la prochaine leçon !

Quelque chose n'a pas fonctionné ? Donc, très probablement, les problèmes sont dans . Ou en . Ou les deux à la fois. Ici, je suis impuissant. Je ne peux encore une fois offrir qu'une seule chose - ne soyez pas paresseux et parcourez les liens.)

À suivre.)

Équipement:

un ordinateur,
projecteur multimédia,
filtrer,
Pièce jointe 1(présentation de diapositives dans PowerPoint) "Méthodes de résolution d'équations exponentielles"
Annexe 2(Résolution d'une équation du type "Trois bases de degrés différentes" dans Word)
Annexe 3(document en Word pour Travaux pratiques).
Annexe 4(polycopié dans Word pour les devoirs).

Pendant les cours

1. Stade organisationnel

message du sujet de la leçon (écrit au tableau),
la nécessité d'une leçon de généralisation en 10e-11e année :

L'étape de préparation des étudiants à l'assimilation active des connaissances

Répétition

Définition.

Une équation exponentielle est une équation contenant une variable dans l'exposant (l'élève répond).

Note du professeur. Les équations exponentielles appartiennent à la classe des équations transcendantales. Ce nom difficile à prononcer suggère que de telles équations, en général, ne peuvent pas être résolues sous forme de formules.

Ils ne peuvent être résolus que par des méthodes approximativement numériques sur des ordinateurs. Mais qu'en est-il des questions d'examen ? Toute l'astuce est que l'examinateur compose le problème de telle manière qu'il admette juste une solution analytique. En d'autres termes, vous pouvez (et devriez !) effectuer des transformations identiques qui réduisent l'équation exponentielle donnée à l'équation exponentielle la plus simple. C'est l'équation la plus simple et elle s'appelle : l'équation exponentielle la plus simple. C'est résolu logarithme.

La situation avec la solution d'une équation exponentielle ressemble à un voyage dans un labyrinthe, qui a été spécialement inventé par le compilateur du problème. De ces considérations très générales découlent des recommandations bien précises.

Pour résoudre avec succès des équations exponentielles, vous devez :

1. Non seulement connaître activement toutes les identités exponentielles, mais également trouver des ensembles de valeurs de la variable sur laquelle ces identités sont définies, de sorte que lors de l'utilisation de ces identités, on n'acquiert pas de racines inutiles, et plus encore, on ne perd pas solutions à l'équation.

2. Connaître activement toutes les identités exponentielles.

3. En clair, dans le détail et sans erreur, effectuer des transformations mathématiques d'équations (transférer des termes d'une partie de l'équation à une autre, sans oublier de changer de signe, réduire la fraction à un dénominateur commun, etc.). C'est ce qu'on appelle la culture mathématique. Dans le même temps, les calculs eux-mêmes doivent être effectués automatiquement à la main et la tête doit réfléchir au fil conducteur général de la solution. Il est nécessaire de faire les transformations aussi soigneusement et en détail que possible. Seul cela garantira une solution correcte et sans erreur. Et rappelez-vous : une petite erreur arithmétique peut simplement créer une équation transcendantale qui, en principe, ne peut pas être résolue analytiquement. Il s'avère que vous vous êtes égaré et que vous vous êtes heurté au mur du labyrinthe.

4. Connaître les méthodes de résolution des problèmes (c'est-à-dire connaître tous les chemins à travers le labyrinthe de la solution). Pour une orientation correcte à chaque étape, vous devrez (consciemment ou intuitivement !) :

définir type d'équation;
rappelez-vous le type correspondant méthode de résolution Tâches.

L'étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié.

L'enseignant, avec les élèves, avec la participation d'un ordinateur, effectue une répétition générale de tous les types d'équations exponentielles et des méthodes pour les résoudre, et élabore un schéma général. (Le programme informatique de formation de L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000" est utilisé, l'auteur de la présentation PowerPoint est T.N. Kuptsova.)

Riz. une. La figure montre un schéma général de tous les types d'équations exponentielles.

Comme on peut le voir sur ce diagramme, la stratégie pour résoudre les équations exponentielles est de réduire cette équation exponentielle à l'équation, tout d'abord, avec les mêmes bases , et puis - et avec les mêmes exposants.

Après avoir obtenu une équation avec les mêmes bases et exposants, vous remplacez ce degré par une nouvelle variable et obtenez une équation algébrique simple (généralement rationnelle fractionnaire ou quadratique) par rapport à cette nouvelle variable.

En résolvant cette équation et en effectuant une substitution inverse, vous vous retrouvez avec un ensemble d'équations exponentielles simples qui peuvent être résolues en général en utilisant le logarithme.

Des équations se distinguent dans lesquelles seuls des produits de puissances (privées) apparaissent. En utilisant des identités exponentielles, il est possible de ramener ces équations immédiatement à une base, en particulier à l'équation exponentielle la plus simple.

Considérez comment une équation exponentielle avec trois bases de degrés différentes est résolue.

(Si l'enseignant a un programme informatique d'enseignement de L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000", alors naturellement nous travaillons avec le disque, sinon, vous pouvez imprimer ce type d'équation pour chaque bureau à partir de celui-ci, présenté ci-dessous .)