Grundlagen trigonometrischer Formeln. Die wichtigsten trigonometrischen Formeln
Dies ist die letzte und wichtigste Lektion, die benötigt wird, um die Aufgaben B11 zu lösen. Wir wissen bereits, wie man Winkel von einem Bogenmaß in ein Gradmaß umwandelt (siehe Lektion „Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels“), und wir wissen auch, wie man das Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion bestimmt, wobei man sich auf Koordinatenviertel konzentriert (siehe Lektion „Vorzeichen trigonometrischer Funktionen“).
Die Sache bleibt klein: den Wert der Funktion selbst zu berechnen - genau die Zahl, die in der Antwort steht. Hier hilft die grundlegende trigonometrische Identität.
Grundlegende trigonometrische Identität. Für jeden Winkel α gilt die Aussage:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Diese Formel setzt den Sinus und Cosinus eines Winkels in Beziehung. Nun, da wir den Sinus kennen, können wir leicht den Kosinus finden – und umgekehrt. Es genügt, die Quadratwurzel zu ziehen:
Beachten Sie das "±"-Zeichen vor den Wurzeln. Tatsache ist, dass aus der trigonometrischen Grundidentität nicht klar ist, was der ursprüngliche Sinus und Cosinus waren: positiv oder negativ. Schließlich ist das Quadrieren eine gerade Funktion, die alle Minuspunkte (falls vorhanden) "verbrennt".
Deshalb muss es in allen B11-Aufgaben, die im USE in Mathematik vorkommen, vorhanden sein zusätzliche Bedingungen, die helfen, die Unsicherheit mit den Zeichen loszuwerden. Normalerweise ist dies eine Angabe des Koordinatenviertels, anhand dessen das Vorzeichen bestimmt werden kann.
Ein aufmerksamer Leser wird sicherlich fragen: „Was ist mit Tangens und Kotangens?“ Es ist unmöglich, diese Funktionen direkt aus den obigen Formeln zu berechnen. Es gibt jedoch wichtige Folgerungen aus der grundlegenden trigonometrischen Identität, die bereits Tangenten und Kotangens enthalten. Nämlich:
Eine wichtige Folgerung: Für jeden Winkel α kann die grundlegende trigonometrische Identität wie folgt umgeschrieben werden:
Diese Gleichungen lassen sich leicht aus der grundlegenden Identität ableiten - es reicht aus, beide Seiten durch cos 2 α (um den Tangens zu erhalten) oder durch sin 2 α (für den Kotangens) zu teilen.
Betrachten wir all dies anhand konkreter Beispiele. Unten sind die echten B11-Probleme, die aus der Studie entnommen wurden USE-Optionen in Mathematik 2012.
Wir kennen den Kosinus, aber wir kennen den Sinus nicht. Die trigonometrische Hauptidentität (in ihrer "reinen" Form) verbindet genau diese Funktionen, also werden wir damit arbeiten. Wir haben:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Um das Problem zu lösen, muss noch das Vorzeichen des Sinus gefunden werden. Da der Winkel α ∈ (π /2; π ) ist, wird er im Gradmaß wie folgt geschrieben: α ∈ (90°; 180°).
Der Winkel α liegt also im II. Koordinatenviertel – dort sind alle Sinus positiv. Daher ist sin α = 0,1.
Wir kennen also den Sinus, aber wir müssen den Kosinus finden. Diese beiden Funktionen sind in der trigonometrischen Grundidentität enthalten. Wir ersetzen:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Es bleibt das Zeichen vor dem Bruch zu behandeln. Was soll man wählen: Plus oder Minus? Bedingt gehört der Winkel α zum Intervall (π 3π /2). Lassen Sie uns die Winkel vom Bogenmaß in das Gradmaß umwandeln - wir erhalten: α ∈ (180°; 270°).
Offensichtlich ist dies das III-Koordinatenviertel, in dem alle Kosinusse negativ sind. Also cosα = −0,5.
Eine Aufgabe. Finden Sie tg α, wenn Sie Folgendes wissen:
Tangens und Kosinus sind durch eine Gleichung verbunden, die aus der trigonometrischen Grundidentität folgt:
Wir erhalten: tg α = ±3. Das Vorzeichen der Tangente wird durch den Winkel α bestimmt. Es ist bekannt, dass α ∈ (3π /2; 2π ). Rechnen wir die Winkel vom Bogenmaß in das Gradmaß um – wir erhalten α ∈ (270°; 360°).
Offensichtlich ist dies das IV-Koordinatenviertel, in dem alle Tangenten negativ sind. Daher ist tgα = −3.
Eine Aufgabe. Finden Sie cos α, wenn Sie Folgendes wissen:
Auch hier ist der Sinus bekannt und der Kosinus unbekannt. Wir schreiben die trigonometrische Hauptidentität auf:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Das Vorzeichen wird durch den Winkel bestimmt. Es gilt: α ∈ (3π /2; 2π ). Rechnen wir die Winkel von Grad in Radiant um: α ∈ (270°; 360°) ist das IV-Koordinatenviertel, dort sind die Kosinusse positiv. Daher ist cos α = 0,6.
Eine Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn Sie Folgendes wissen:
Lassen Sie uns eine Formel schreiben, die aus der grundlegenden trigonometrischen Identität folgt und den Sinus und den Kotangens direkt verbindet:
Daraus erhalten wir, dass sin 2 α = 1/25, d.h. sinα = ±1/5 = ±0,2. Es ist bekannt, dass der Winkel α ∈ (0; π /2). In Grad schreibt man das so: α ∈ (0°; 90°) - I Koordinatenviertel.
Der Winkel liegt also im I-Koordinatenviertel - alle trigonometrischen Funktionen sind dort positiv, daher sin α \u003d 0,2.
Bezugsdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.
Geometrische Definition
|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.
Tangente ( tga) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| ist auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .
Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .
Tangente
Wo n- ganz.
In der westlichen Literatur wird die Tangente wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.
Graph der Tangensfunktion, y = tg x
Kotangens
Wo n- ganz.
In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.
Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x
Eigenschaften von Tangens und Kotangens
Periodizität
Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.
Parität
Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.
Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend
Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( n- Ganzzahl).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Reichweite und Kontinuität | ||
| Wertebereich | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Aufsteigend | - | |
| Absteigend | - | |
| Extreme | - | - |
| Nullen, y= 0 | ||
| Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0 | y= 0 | - |
Formeln
Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus
;
;
;
;
;
Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz
Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen
Produkt von Tangenten
Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten
Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments. 
Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen
Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
; .
.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >
Integrale
Erweiterungen zur Serie
Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie für die Funktionen mehrere Terme der Entwicklung in eine Potenzreihe nehmen Sünde x und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.
Bei .
bei .
wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
wo .
Oder nach der Laplace-Formel: 
Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.
Arctangens, arctg
, wo n- ganz.
Bogentangente, arcctg
, wo n- ganz.
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Forscher und Ingenieure, 2012.
Die Verhältnisse zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - sind angegeben trigonometrische Formeln. Und da es zwischen trigonometrischen Funktionen recht viele Zusammenhänge gibt, erklärt dies auch die Fülle an trigonometrischen Formeln. Einige Formeln verbinden die trigonometrischen Funktionen desselben Winkels, andere - die Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, die vierte - um alle Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels auszudrücken usw.
In diesem Artikel listen wir der Reihe nach alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur leichteren Einprägung und Verwendung gruppieren wir sie nach ihrem Zweck und tragen sie in Tabellen ein.
Seitennavigation.
Grundlegende trigonometrische Identitäten
Grundlegende trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ein. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.
Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihre Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Gießen Sie Formeln
Gießen Sie Formeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, dh sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie und auch die Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln zwischen null und 90 Grad wechseln.
Die Gründe für diese Formeln, eine Merkregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel studiert werden.
Additionsformeln
Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.
Formeln für doppelt, dreifach usw. Ecke
Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von doppelt, dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Herleitung basiert auf Additionsformeln.
Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für doppelt, dreifach usw. gesammelt. Winkel .
Halbwinkelformeln
Halbwinkelformeln zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.
Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Reduktionsformeln
Trigonometrische Formeln für abnehmende Grade entwickelt, um den Übergang von zu erleichtern natürliche Abschlüsse trigonometrische Funktionen zu Sinus und Cosinus ersten Grades, aber mehrere Winkel. Mit anderen Worten, sie erlauben es, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste zu reduzieren.
Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen
Hauptziel Summen- und Differenzenformeln für trigonometrische Funktionen besteht im Übergang zum Produkt von Funktionen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig beim Lösen verwendet trigonometrische Gleichungen, da sie es erlauben, die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zu faktorisieren.
Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus mal Kosinus
Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt über die Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.
Copyright von cleveren Studenten
Alle Rechte vorbehalten.
Urheberrechtlich geschützt. Kein Teil der Website www.site, einschließlich interner Materialien und externer Gestaltung, darf ohne vorherige schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form reproduziert oder verwendet werden.
Referenzdaten zu trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x) und Kosinus (cos x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Sinus- und Kosinustabelle, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen, Sekante, Kosekan. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.
Geometrische Definition von Sinus und Cosinus
|BD|- die Länge des Bogens eines Kreises, der an einem Punkt zentriert ist EIN.
α
ist ein im Bogenmaß ausgedrückter Winkel.
Definition
Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| ist zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Akzeptierte Bezeichnungen
;
;
.
;
;
.
Graph der Sinusfunktion, y = sin x
Graph der Kosinusfunktion, y = cos x
Eigenschaften von Sinus und Cosinus
Periodizität
Funktionen y= Sünde x und y= cos x periodisch mit einer Periode 2π.
Parität
Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.
Definitionsbereich und Werte, Extrema, Zunahme, Abnahme
Die Funktionen Sinus und Cosinus sind auf ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Stetigkeitsbeweis). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt (n - ganze Zahl).
| y= Sünde x | y= cos x | |
| Reichweite und Kontinuität | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Wertebereich | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Aufsteigend | ||
| Absteigend | ||
| Maxima, y= 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Nullen, y= 0 | ||
| Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Grundlegende Formeln
Summe aus quadriertem Sinus und Cosinus
Sinus- und Kosinusformeln für Summe und Differenz
;
;
Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus
Summen- und Differenzenformeln
Ausdruck von Sinus durch Cosinus
;
;
;
.
Ausdruck von Kosinus durch Sinus
;
;
;
.
Ausdruck in Bezug auf die Tangente
; .
Für haben wir:
;
.
Bei :
;
.
Tabelle der Sinus und Cosinus, Tangenten und Kotangens
Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für einige Werte des Arguments.
Ausdrücke durch komplexe Variablen
;
Euler-Formel
{ -∞ < x < +∞ }
Sekant, Kosekan
Umkehrfunktionen
Die inversen Funktionen zu Sinus und Cosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.
Arkussinus, Arcsin
Arccosinus, arccos
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
Ganz am Anfang dieses Artikels haben wir das Konzept der trigonometrischen Funktionen besprochen. Der Hauptzweck ihres Zwecks ist das Studium der Grundlagen der Trigonometrie und das Studium periodischer Prozesse. Und den trigonometrischen Kreis haben wir nicht umsonst gezeichnet, denn in den meisten Fällen werden trigonometrische Funktionen als das Verhältnis der Seiten eines Dreiecks oder seiner bestimmten Segmente in einem Einheitskreis definiert. Ich erwähnte auch die unbestreitbar große Bedeutung der Trigonometrie in modernes Leben. Aber die Wissenschaft steht nicht still, daher können wir den Anwendungsbereich der Trigonometrie erheblich erweitern und ihre Bestimmungen auf reelle und manchmal auf komplexe Zahlen übertragen.
Formeln der Trigonometrie es gibt mehrere Arten. Betrachten wir sie der Reihe nach.
Beziehungen trigonometrischer Funktionen des gleichen Winkels
Ausdrücke trigonometrischer Funktionen durcheinander
(Die Wahl des Zeichens vor der Wurzel wird dadurch bestimmt, in welchem der Kreisviertel die Ecke liegt?)
Im Folgenden sind die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Winkeln aufgeführt:
Doppel-, Dreifach- und Halbwinkelformeln.
Ich stelle fest, dass sie alle aus den vorherigen Formeln folgen.
Formeln zum Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke:
Hier kommen wir zur Betrachtung eines solchen Konzepts wie grundlegende trigonometrische Identitäten.
Eine trigonometrische Identität ist eine Gleichheit, die aus trigonometrischen Beziehungen besteht und für alle Werte der darin enthaltenen Winkel gilt.
Betrachten Sie die wichtigsten trigonometrischen Identitäten und ihre Beweise:
Die erste Identität folgt aus der Definition der Tangente.
Lass uns nehmen rechtwinkliges Dreieck, bei der im Scheitelpunkt A ein spitzer Winkel x liegt.
Um die Identitäten zu beweisen, ist es notwendig, den Satz des Pythagoras zu verwenden:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Jetzt dividieren wir beide Teile der Gleichheit durch (AB) 2 und erinnern uns an die Definitionen von sin und cos des Winkels, wir erhalten die zweite Identität:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sin 2 x + cos 2 x = 1
Um die dritte und vierte Identität zu beweisen, verwenden wir den vorherigen Beweis.
Dazu dividieren wir beide Teile der zweiten Identität durch cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Basierend auf der ersten Identität tg x \u003d sin x / cos x erhalten wir die dritte:
1 + tg2x = 1/cos2x
Nun dividieren wir die zweite Identität durch sin 2 x:
Sünde 2 x/ Sünde 2 x + cos 2 x/ Sünde 2 x = 1/ Sünde 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x ist nichts anderes als 1/tg 2 x, also erhalten wir die vierte Identität:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
Es ist Zeit, sich an den Satz über die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks zu erinnern, der besagt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks \u003d 180 0 ist. Es stellt sich heraus, dass am Scheitelpunkt B des Dreiecks ein Winkel vorhanden ist, dessen Wert 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x beträgt.
Erinnern Sie sich noch einmal an die Definitionen für sin und cos und wir erhalten die fünfte und sechste Identität:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
Lassen Sie uns nun Folgendes tun:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
Wie Sie sehen, ist hier alles elementar.
Es gibt andere Identitäten, die beim Lösen mathematischer Identitäten verwendet werden, ich werde sie einfach in der Form angeben Hintergrundinformation, weil sie alle von oben stammen.
sin 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
