Unterricht und Präsentation zum Thema: "Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen"

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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen - Gleichungen, in denen die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .

Lösung:

Wir werden uns entscheiden Gesamtansicht unsere Gleichung: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment .
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Da Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): Es ist unmöglich, durch Kosinus zu dividieren, wenn es gleich Null ist, stellen wir sicher, dass dies nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a gleich ist, wenn a \u003d 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon ist oben gleiten

2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel #:3

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel #:4

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Lösen Sie Beispiel #:5

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Trigonometrische Gleichungen sind nicht das einfachste Thema. Leider sind sie vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Alle Ausdrücke mit x sind innerhalb dieser gleichen Funktionen. Und nur dort! Wenn x irgendwo vorkommt außen, zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird eine Gleichung vom gemischten Typ sein. Solche Gleichungen erfordern einen individuellen Ansatz. Hier werden wir sie nicht berücksichtigen.

Wir werden auch in dieser Lektion keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Wieso den? Ja, weil die Entscheidung irgendein trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Stufen. In der ersten Stufe wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Auf der zweiten - diese einfachste Gleichung wird gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also Probleme in der zweiten Stufe haben, macht die erste Stufe nicht viel Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

Hier a steht für eine beliebige Zahl. Irgendein.

Übrigens kann es innerhalb der Funktion kein reines x geben, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies macht das Leben komplizierter, beeinflusst jedoch nicht die Methode zur Lösung der trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: mit Logik und einem trigonometrischen Kreis. Wir werden diesen Weg hier erkunden. Der zweite Weg - mit Gedächtnis und Formeln - wird in der nächsten Lektion betrachtet.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen, Ungleichungen und allerlei kniffligen, nicht standardmäßigen Beispielen. Logik ist stärker als das Gedächtnis!

Wir lösen Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, einen trigonometrischen Kreis zu verwenden. Kannst du nicht!? Allerdings ... In Trigonometrie wird es schwierig für Sie ...) Aber es spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen "Trigonometrischer Kreis ...... Was ist das?" und "Winkel auf einem trigonometrischen Kreis zählen." Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern ...)

Ach, weißt du!? Und sogar „Praktische Arbeit mit einem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwünsche annehmen. Dieses Thema wird Ihnen nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens – für ihn ist alles gleich. Das Lösungsprinzip ist das gleiche.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das:

cos = 0,5

Ich muss X finden. In menschlicher Sprache sprechen, müssen Sie Finde den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 ist.

Wie haben wir den Kreis vorher benutzt? Wir haben eine Ecke darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Machen wir jetzt das Gegenteil. Zeichnen Sie einen Kosinus gleich 0,5 auf den Kreis und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Wir zeichnen einen Kreis und markieren den Kosinus gleich 0,5. Auf der Kosinusachse natürlich. So:

Lassen Sie uns nun den Winkel zeichnen, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie die Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf einem Tablet) und sehen diese selbe Ecke X.

Welcher Winkel hat einen Kosinus von 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche werden skeptisch grunzen, ja... Sie sagen, hat es sich gelohnt, den Kreis einzuzäunen, wenn sowieso alles klar ist... Da kann man natürlich grunzen...) Fakt ist aber, dass das ein Irrtum ist Antworten. Oder besser gesagt, unzureichend. Kenner des Kreises verstehen, dass es noch eine ganze Reihe von Winkeln gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen für eine volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. der winkel ändert sich 360° oder 2π Radiant und Kosinus ist es nicht. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, denn

Es gibt unendlich viele solcher vollen Drehungen ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen unserer trigonometrischen Gleichung sein. Und sie müssen alle irgendwie aufgeschrieben werden. Alle. Andernfalls wird die Entscheidung nicht berücksichtigt, ja ...)

Die Mathematik kann das einfach und elegant. Schreiben Sie in einer kurzen Antwort auf unendlicher Satz Lösungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde entziffern. Schreib trotzdem sinnvoll schöner, als dumm ein paar mysteriöse Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 ist der gleiche Winkel, dass wir gesehen auf dem Kreis u bestimmt nach der Kosinustafel.

2π ist eine volle Umdrehung im Bogenmaß.

n - dies ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz Revolutionen. Es ist klar, dass n kann 0, ±1, ±2, ±3 ... und so weiter sein. Wie der kurze Eintrag zeigt:

n ∈ Z

n gehört ( ∈ ) auf die Menge der ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens, anstelle des Briefes n Buchstaben können verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl nehmen können n . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was willst du. Wenn Sie diese Zahl in Ihre Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Blickwinkel, der mit Sicherheit die Lösung unserer harten Gleichung ist.)

Oder mit anderen Worten, x \u003d π / 3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Nullstellen zu erhalten, genügt es, π / 3 ( n ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alles? Nein. Ich dehne gezielt das Vergnügen aus. Um sich besser zu erinnern.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung wie folgt schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht eine Wurzel, es ist eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform geschrieben.

Aber es gibt auch andere Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, nach dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und sehen eine andere Ecke, die ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was denkst du, ist es gleich? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung aufgetragen. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x schon berechnet. π /3 bzw 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 \u003d - π / 3

Und natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) In einem trigonometrischen Kreis, wir gesehen(wer versteht natürlich)) alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und sie haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort sind zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dies ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Hilfe eines Kreises ist verständlich. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf dem Kreis, zeichnen die entsprechenden Winkel und schreiben das Ergebnis auf. Natürlich müssen Sie herausfinden, was für Ecken wir sind gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun, wie gesagt, hier ist Logik gefragt.)

Lassen Sie uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung analysieren:

Bitte beachten Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in den Gleichungen ist!) Es ist einfach bequemer für mich, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis, markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen sofort alle diesem Sinus entsprechenden Winkel. Wir erhalten dieses Bild:

Beschäftigen wir uns zuerst mit dem Winkel. X im ersten Quartal. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Die Sache ist einfach:

x \u003d π / 6

Wir erinnern uns an volle Umdrehungen und schreiben mit gutem Gewissen die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Jetzt müssen wir definieren zweite ecke... Das ist kniffliger als Kosinus, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich, und die rote Ecke X gleich dem Winkel X . Es wird nur ab dem Winkel π in negativer Richtung gezählt. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort brauchen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild und sehen Sie alles. Ich habe die erste Ecke entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der für uns interessante Winkel (grün gezeichnet) ist gleich:

π - x

x wir wissen es π /6 . Der zweite Winkel wird also sein:

π - π/6 = 5π/6

Wir erinnern uns wieder an die Addition von vollen Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Gleichungen mit Tangens und Kotangens können leicht gelöst werden, indem das gleiche allgemeine Prinzip zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet wird. Es sei denn natürlich, Sie wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Lassen Sie uns nun unsere Fähigkeiten erweitern alle anderen Werte. Entscheide dich, also entscheide dich!)

Nehmen wir also an, wir müssen die folgende trigonometrische Gleichung lösen:

In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Wert des Kosinus. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache kühl. Wir zeichnen einen Kreis, markieren 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen die entsprechenden Winkel. Wir bekommen dieses Bild.

Wir verstehen, für den Anfang, mit einem Winkel im ersten Viertel. Um zu wissen, was x gleich ist, würden sie sofort die Antwort aufschreiben! Wir wissen es nicht ... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik lässt sich in Schwierigkeiten nicht zurück! Für diesen Fall erfand sie Arkuskosinus. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus, es ist viel einfacher als Sie denken. Laut diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch über "umgekehrte trigonometrische Funktionen" ... Es ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie es wissen, sagen Sie sich einfach: "X ist ein Winkel, dessen Kosinus 2/3 ist." Und sofort, rein per Definition des Arkuskosinus, können wir schreiben:

Wir erinnern uns an zusätzliche Umdrehungen und schreiben ruhig die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Reihe von Wurzeln wird auch fast automatisch für den zweiten Winkel geschrieben. Alles ist gleich, nur x (arccos 2/3) wird mit einem Minus sein:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und alles! Dies ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Sie müssen sich nichts merken.) Übrigens werden die Aufmerksamsten bemerken, dass dieses Bild mit der Lösung durch den Arkuskosinus ist unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von dem Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Genau so! Allgemeines Prinzip deshalb ist es üblich! Ich habe speziell zwei fast identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Es ist ein tabellarischer Kosinus, oder nicht - der Kreis weiß es nicht. Was das für ein Winkel ist, π / 3, oder was für ein Arkuskosinus ist unsere Entscheidung.

Mit einem Sinus das gleiche Lied. Zum Beispiel:

Wieder zeichnen wir einen Kreis, markieren den Sinus gleich 1/3, zeichnen die Ecken. Es stellt sich dieses Bild heraus:

Und wieder ist das Bild fast dasselbe wie bei der Gleichung sin x = 0,5. Auch hier starten wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist x gleich, wenn sein Sinus 1/3 ist? Kein Problem!

Die erste Packung Wurzeln ist also fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Schauen wir uns den zweiten Winkel an. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Also hier wird es genau so sein! Nur x ist anders, arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher schreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dies ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr vertraut aussieht. Aber es ist verständlich, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mit einem Kreis gelöst. Dieser Weg ist klar und nachvollziehbar. Er spart in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall, in trigonometrischen Ungleichungen - sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas komplizierter sind als die Standardaufgaben.

Wissen in die Praxis umsetzen?

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Am Anfang ist es einfacher, direkt in dieser Lektion.

Jetzt ist es schwieriger.

Hinweis: Hier muss man an den Kreis denken. Persönlich.)

Und jetzt äußerlich unprätentiös ... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

Sünde = 0

Sünde = 1

cos = 0

cos = -1

Hinweis: Hier müssen Sie in einem Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen gibt und wo es eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen aufschreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus unendlich vielen verloren geht!)

Naja, ganz einfach):

Sünde = 0,3

cos = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus, Arkuskosinus ist? Was ist arc tangens, arc tangens? Die meisten einfache Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich durcheinander:

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nicht alles klappt? Es passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folge den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne es in der Trigonometrie - wie man die Straße mit verbundenen Augen überquert. Manchmal funktioniert es.)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Aufgaben umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, zu welcher Art das zu lösende Problem gehört, sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Durch Aussehen Gleichungen manchmal ist es schwierig, ihren Typ zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

In Betracht ziehen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Mit allen möglichen trigonometrische Formeln, bringen Sie diese Gleichung in die Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wurde.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

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Das Konzept der Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, konvertieren Sie sie in eine oder mehrere trigonometrische Grundgleichungen. Das Lösen der trigonometrischen Gleichung läuft letztlich darauf hinaus, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Lösung grundlegender trigonometrischer Gleichungen.

• Es gibt 4 Arten von grundlegenden trigonometrischen Gleichungen:
• Sünde x = a; cos x = a
• tan x = a; ctgx = a
• Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen beinhaltet das Betrachten der verschiedenen x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
• Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, dh ihre Werte werden wiederholt. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Die Antwort ist also so geschrieben:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Beispiel 2 cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Antwort: x \u003d π / 4 + πn.
• Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
• Antwort: x \u003d π / 12 + πn.

Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um trigonometrische Gleichungen umzuwandeln, verwenden Sie algebraische Transformationen(Faktorisierung, Kürzung homogene Mitglieder etc.) und trigonometrische Identitäten.
• Beispiel 5. Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Winkel aus bekannten Werten von Funktionen finden.

  • Bevor Sie lernen, wie man trigonometrische Gleichungen löst, müssen Sie lernen, wie man Winkel aus bekannten Werten von Funktionen findet. Dies kann mit einer Umrechnungstabelle oder einem Taschenrechner erfolgen.
  • Beispiel: cos x = 0,732. Der Taschenrechner gibt die Antwort x = 42,95 Grad. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.

• Lege die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.

  • Sie können Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis platzieren. Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis sind die Ecken des Quadrats.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis sind die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks.

• Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

  • Wenn die gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie diese Gleichung als trigonometrische Grundgleichung. Wenn eine gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Methoden zum Lösen einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
    • Methode 1
  • Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
  • Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung. Verwenden Sie die Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x und ersetzen Sie sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
  • Beispiel 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformiere diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
  • Beispiel 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0.
    • Methode 2
  • Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine Unbekannte, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t usw.).
  • Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösung. Ersetzen Sie in dieser Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (entsprechend der Identität). Die transformierte Gleichung sieht so aus:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetze sin x durch t. Jetzt sieht die Gleichung so aus: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Wertebereich der Funktion (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösung. Ersetze tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tg x.

Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen zum Beispiel lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische reduzieren. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, zu welcher Art das zu lösende Problem gehört, sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Es ist manchmal schwierig, seinen Typ durch das Auftreten einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

In Betracht ziehen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

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