Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der Figur durch Linien begrenzt: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2

Lassen Sie uns eine Figur bauen (siehe Abb.). Wir bauen eine gerade Linie x + 2y - 4 \u003d 0 entlang zweier Punkte A (4; 0) und B (0; 2). Wenn wir y in x ausdrücken, erhalten wir y \u003d -0,5x + 2. Gemäß Formel (1), wobei f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, wir finden

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. Einheiten

Beispiel 2 Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 und y \u003d 0.

Lösung. Lass uns eine Figur bauen.

Lassen Sie uns eine gerade Linie x - 2y + 4 = 0 bilden: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruieren wir eine Gerade x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, indem Sie das Gleichungssystem lösen:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Um die benötigte Fläche zu berechnen, teilen wir das AMC-Dreieck in zwei Dreiecke AMN und NMC, denn wenn x von A nach N wechselt, wird die Fläche durch eine Gerade begrenzt, und wenn x von N nach C wechselt, ist es eine Gerade

Für das Dreieck AMN gilt: ; y \u003d 0,5x + 2, d.h. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Für das NMC-Dreieck gilt: y = - x + 5, also f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Wenn wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:

sq. Einheiten

sq. Einheiten

9 + 4, 5 = 13,5 qm Einheiten Prüfen: = 0,5 AC = 0,5 sq. Einheiten

Beispiel 3 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

In diesem Fall muss die Fläche eines krummlinigen Trapezes berechnet werden, das durch eine Parabel y = x begrenzt ist 2 , gerade Linien x \u003d 2 und x \u003d 3 und die Ox-Achse (siehe Abb.) Gemäß Formel (1) finden wir die Fläche eines krummlinigen Trapezes

= = 6 kV. Einheiten

Beispiel 4 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y \u003d - x 2 + 4 und y = 0

Lass uns eine Figur bauen. Der gewünschte Bereich ist zwischen der Parabel y \u003d - x eingeschlossen 2 + 4 und Achse Oh.

Finde die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Unter der Annahme von y \u003d 0 finden wir x \u003d Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das Ergebnis: \u003d + 4x] sq. Einheiten 2 = 2 qm Einheiten

Beispiel 5 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Hier ist es erforderlich, die Fläche des krummlinigen Trapezes zu berechnen, die vom oberen Ast der Parabel y begrenzt wird 2 \u003d x, die Ochsenachse und gerade Linien x \u003d 1x \u003d 4 (siehe Abb.)

Gemäß Formel (1), wo f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten

Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Der gewünschte Bereich wird durch eine Halbwellensinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abb.).

Wir haben - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 Quadratmeter. Einheiten

Beispiel 7 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d - 6x, y \u003d 0 und x \u003d 4.

Die Figur befindet sich unter der Ochsenachse (siehe Abb.).

Daher wird seine Fläche durch die Formel (3) gefunden

= =

Beispiel 8 Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y \u003d und x \u003d 2. Wir werden die Kurve y \u003d durch Punkte erstellen (siehe Abbildung). Somit wird die Fläche der Figur durch die Formel (4) ermittelt.

Beispiel 9 .

X 2 + j 2 = r 2 .

Hier müssen Sie die durch den Kreis x begrenzte Fläche berechnen 2 + j 2 = r 2 , d.h. die Fläche eines Kreises mit Radius r, der im Ursprung zentriert ist. Lassen Sie uns den vierten Teil dieses Bereichs finden, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 nehmen

dor; wir haben: 1 = = [

Folglich, 1 =

Beispiel 10 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d x 2 und y = 2x

Diese Zahl wird durch die Parabel y \u003d x begrenzt 2 und gerade Linie y \u003d 2x (siehe Abb.) Um die Schnittpunkte der gegebenen Linien zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2

Unter Verwendung von Formel (5), um die Fläche zu finden, erhalten wir

= \- -fl - G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Beispiel 2. Berechne die durch die Sinuskurve begrenzte Fläche y = sinXy Achse Ox und gerade ( Abb. 87). Durch Anwendung der Formel (I) erhalten wir L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf mit der Ox-Achse (zB zwischen dem Ursprung und dem Punkt mit der Abszisse i). Beachten Sie, dass es aus geometrischen Überlegungen klar ist, dass dieser Bereich doppelt sein wird mehr Fläche vorheriges Beispiel. Machen wir jedoch die Berechnungen: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Tatsächlich erwies sich unsere Annahme als fair. Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Sinuskurve und die ^-Achse Ox auf einer Periode begrenzt wird (Abb. 88). Vorläufige Ras-Zahl-Beurteilungen deuten darauf hin, dass sich die Fläche als viermal größer herausstellen wird als in Pr. 2. Nach den Berechnungen erhalten wir jedoch „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Dieses Ergebnis muss geklärt werden. Um das Wesentliche zu verdeutlichen, berechnen wir auch die Fläche, die von derselben Sinuskurve y \u003d sin l begrenzt wird: und die Ox-Achse, die von l bis 2n reicht. Wenden wir Formel (I) an, erhalten wir Wir sehen also, dass sich dieser Bereich als negativ herausgestellt hat. Beim Vergleich mit der in Bsp. 3 berechneten Fläche stellen wir fest, dass ihre absoluten Werte gleich sind, aber die Vorzeichen unterschiedlich sind. Wenden wir Eigenschaft V an (siehe Kap. XI, § 4), so erhalten wir zufällig. Immer die Fläche unterhalb der x-Achse, sofern sich die unabhängige Variable von links nach rechts ändert, erhält man durch Berechnung mit negativen Integralen. In diesem Kurs werden wir immer nicht signierte Bereiche betrachten. Daher lautet die Antwort in dem gerade analysierten Beispiel wie folgt: Die erforderliche Fläche ist gleich 2 + |-2| = 4. Beispiel 5. Berechnen wir die Fläche des BAB in Abb. 89. Dieser Bereich wird durch die Achse Ox, die Parabel y = - xr und die Gerade y - = -x + \ begrenzt. Fläche eines krummlinigen Trapezes Die gesuchte Fläche OAB besteht aus zwei Teilen: OAM und MAB. Da Punkt A der Schnittpunkt der Parabel und der Geraden ist, finden wir seine Koordinaten durch Lösen des Gleichungssystems 3 2 Y \u003d mx. (Wir müssen nur die Abszisse von Punkt A finden). Beim Lösen des Systems finden wir l; =~. Daher muss die Fläche in Teilen berechnet werden, zuerst pl. OAM, und dann pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (Basis eines krummlinigen Trapezes) in n gleiche Teile; diese Aufteilung ist mit Hilfe der Punkte x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 machbar. Lassen Sie uns Linien durch diese Punkte parallel zur y-Achse ziehen. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.

Betrachten Sie separat die k-te Spalte, d.h. krummliniges Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Basis und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ​​ist \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), wobei \(\Delta x_k \) die Länge des Segments ist; Es ist natürlich, das zusammengestellte Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten.

Wenn wir nun dasselbe mit allen anderen Säulen machen, dann kommen wir zu folgendem Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Hier gehen wir aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation davon aus, dass a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - Segmentlänge , \(\Delta x_1 \) - Segmentlänge usw.; während, wie oben vereinbart, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Also \(S \approx S_n \), und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die gewünschte Fläche des krummlinigen Trapezes gleich der Grenze der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Aufgabe 2(über das Verschieben eines Punktes)
Ein materieller Punkt bewegt sich auf einer geraden Linie. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Verschiebung eines Punktes über das Zeitintervall [a; b].
Lösung. Wäre die Bewegung gleichförmig, dann wäre das Problem ganz einfach gelöst: s = vt, d.h. s = v(b-a). Für ungleichmäßige Bewegungen muss man die gleichen Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie ein Zeitintervall und nehmen Sie an, dass während dieses Zeitintervalls die Geschwindigkeit konstant war, wie zum Beispiel zum Zeitpunkt t k . Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Finden Sie den Näherungswert der Punktverschiebung über das Zeitintervall , dieser Näherungswert wird mit sk bezeichnet
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Finden Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
\(s \approx S_n \) wobei
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Updelta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Updelta t_(n-1) \)
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich der Grenze der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Fassen wir zusammen. Lösungen mehrere Aufgaben auf dasselbe mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Daher sollte dieses mathematische Modell speziell untersucht werden.

Der Begriff eines bestimmten Integrals

Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung des Modells geben, das in den drei betrachteten Problemen für die stetige (aber nicht notwendigerweise nicht negative, wie in den betrachteten Problemen angenommene) Funktion y = f(x) auf der Strecke [ a; b]:
1) Splitte das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) berechne $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass diese Grenze im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Er heißt ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; b] und werden so bezeichnet:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen (untere bzw. obere).

Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 gegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hier ist S die Fläche des in der obigen Abbildung gezeigten krummlinigen Trapezes. Das ist was geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Die in Aufgabe 2 gegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über das Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, lässt sich wie folgt umschreiben:

Newton - Leibniz-Formel

Lassen Sie uns zunächst die Frage beantworten: Welche Beziehung besteht zwischen einem bestimmten Integral und einer Stammfunktion?

Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Zum einen wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich entlang einer Geraden mit der Geschwindigkeit v = v(t) über ein Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, berechnet und berechnet sich aus die Formel
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Andererseits ist die Koordinate des sich bewegenden Punktes die Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); daher wird die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt. Als Ergebnis erhalten wir:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
wobei s(t) die Stammfunktion für v(t) ist.

Der folgende Satz wurde im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Ist die Funktion y = f(x) auf der Strecke [a; b], dann die Formel
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
wobei F(x) die Stammfunktion für f(x) ist.

Diese Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren des englischen Physikers Isaac Newton (1643-1727) und des deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646-1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.

In der Praxis verwenden sie, anstatt F(b) - F(a) zu schreiben, die Notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (manchmal auch genannt doppelte Substitution) und dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form umschreiben:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Berechnen Sie ein bestimmtes Integral, finden Sie zuerst die Stammfunktion und führen Sie dann eine doppelte Substitution durch.

Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel kann man zwei Eigenschaften eines bestimmten Integrals erhalten.

Eigentum 1. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Berechnung der Flächeninhalte ebener Figuren mit einem bestimmten Integral

Mit dem Integral können Sie die Fläche nicht nur von krummlinigen Trapezen berechnen, sondern auch von komplexeren ebenen Figuren, wie der in der Abbildung gezeigten. Die Figur P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) begrenzt und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung \(g(x)\leq f(x)\). Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Also, die Fläche S der Figur, begrenzt durch die geraden Linien x = a, x = b und die Graphen der Funktionen y = f(x), y = g(x), stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x von das Segment [a; b] die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \) erfüllt ist, wird durch die Formel berechnet
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabelle der unbestimmten Integrale (Stammfunktionen) einiger Funktionen

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Die Funktion sei nichtnegativ und stetig auf dem Intervall . Dann wird gemäß der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals die Fläche eines krummlinigen Trapezes begrenzt von oben durch den Graphen dieser Funktion, von unten durch die Achse , von links und rechts durch gerade Linien und (siehe Abb. 2 ) wird durch die Formel berechnet

Beispiel 9 Finden Sie die Fläche einer Figur, die durch eine Linie begrenzt ist und Achse.

Lösung. Funktionsgraph ist eine Parabel, deren Äste nach unten zeigen. Lassen Sie es uns bauen (Abb. 3). Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen finden wir die Schnittpunkte der Geraden (Parabel) mit der Achse (Gerade). Dazu lösen wir das Gleichungssystem

Wir bekommen: , wo , ; Folglich, , .

Reis. 3

Die Fläche der Figur wird durch die Formel (5) ermittelt:

Ist die Funktion auf der Strecke kraftschlüssig und stetig, so ist die Fläche des krummlinigen Trapezes, von unten durch den Graphen dieser Funktion, von oben durch die Achse, von links und rechts durch Geraden und begrenzt nach der Formel berechnet

. (6)

Wenn die Funktion auf einem Segment stetig ist und an einer endlichen Anzahl von Punkten das Vorzeichen wechselt, dann ist die Fläche der schraffierten Figur (Abb. 4) gleich der algebraischen Summe der entsprechenden bestimmten Integrale:

Reis. vier

Beispiel 10 Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Achse und den Graphen der Funktion für begrenzt wird.

Reis. 5

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5). Die gewünschte Fläche ist die Summe der Flächen und . Lassen Sie uns jeden dieser Bereiche finden. Zuerst bestimmen wir die Integrationsgrenzen, indem wir das System lösen Wir bekommen , . Folglich:

;

.

Somit ist die Fläche der schraffierten Figur

(Quadrateinheiten).

Reis. 6

Lassen Sie schließlich das krummlinige Trapez von oben und unten durch die Funktionsgraphen begrenzt werden, die auf dem Segment stetig sind und ,
und links und rechts - gerade und (Abb. 6). Dann wird seine Fläche nach der Formel berechnet

. (8)

Beispiel 11. Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien und umschlossen ist.

Lösung. Diese Figur ist in Abb. 7. Wir berechnen seine Fläche mit Formel (8). Beim Lösen des Gleichungssystems finden wir , ; Folglich, , . Auf dem Segment haben wir: . Daher nehmen wir in Formel (8) als an x, und wie - . Wir bekommen:

(Quadrateinheiten).

Komplexere Probleme der Flächenberechnung werden gelöst, indem die Figur in sich nicht schneidende Teile zerlegt und die Fläche der gesamten Figur als Summe der Flächen dieser Teile berechnet wird.

Reis. 7

Beispiel 12. Finden Sie den Bereich der Figur, der durch die Linien , , begrenzt ist.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 8). Diese Figur kann als krummliniges Trapez betrachtet werden, das von unten durch die Achse, von links und rechts durch gerade Linien und von oben durch Funktionsgraphen und begrenzt wird. Da die Figur von oben durch die Graphen zweier Funktionen begrenzt ist, teilen wir diese gerade Figur zur Berechnung ihrer Fläche in zwei Teile (1 ist die Abszisse des Schnittpunkts der Linien und). Die Fläche jedes dieser Teile wird durch die Formel (4) ermittelt:

(Quadrateinheiten); (Quadrateinheiten). Folglich:

(Quadrateinheiten).

Reis. acht

X= j( bei)

Reis. 9

Abschließend stellen wir fest, dass, wenn ein krummliniges Trapez durch gerade Linien und begrenzt wird, die Achse und kontinuierlich auf der Kurve (Abb. 9), dann wird seine Fläche durch die Formel gefunden

Volumen eines Rotationskörpers

Lassen Sie ein krummliniges Trapez, das durch einen Funktionsgraphen begrenzt ist, auf einem Segment, einer Achse, geraden Linien kontinuierlich und um die Achse rotieren (Abb. 10). Dann wird das Volumen des resultierenden Rotationskörpers nach der Formel berechnet

. (9)

Beispiel 13 Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, den Sie erhalten, indem Sie sich um die Achse eines krummlinigen Trapezes drehen, das durch eine Hyperbel, gerade Linien und die Achse begrenzt wird.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 11).

Aus der Bedingung des Problems folgt, dass . Durch Formel (9) erhalten wir

.

Reis. zehn

Reis. elf

Das Volumen eines Körpers, das durch Drehung um eine Achse erhalten wird OU krummliniges Trapez, das von geraden Linien begrenzt wird y = c und y = d, Achse OU und ein Graph einer auf einem Segment stetigen Funktion (Fig. 12), wird durch die Formel bestimmt

. (10)

X= j( bei)

Reis. 12

Beispiel 14. Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das durch Rotation um eine Achse entsteht OU krummliniges, durch Linien begrenztes Trapez X 2 = 4bei, y= 4, x= 0 (Abb. 13).

Lösung. Entsprechend der Problemstellung finden wir die Integrationsgrenzen: , . Durch Formel (10) erhalten wir:

Reis. 13

Bogenlänge einer flachen Kurve

Die durch die Gleichung gegebene Kurve , wobei , liege in einer Ebene (Abb. 14).

Reis. vierzehn

Definition. Unter der Länge eines Bogens wird die Grenze verstanden, zu der die Länge eines in diesen Bogen eingeschriebenen Polygonzugs tendiert, wenn die Anzahl der Glieder des Polygonzugs gegen unendlich und die Länge des größten Glieds gegen Null strebt.

Wenn die Funktion und ihre Ableitung auf dem Segment stetig sind, wird die Bogenlänge der Kurve durch die Formel berechnet

. (11)

Beispiel 15. Berechnen Sie die Länge des Bogens der Kurve, die zwischen den Punkten eingeschlossen ist .

Lösung. Von der Bedingung des Problems, das wir haben . Durch Formel (11) erhalten wir:

.

4. Uneigentliche Integrale
mit unendlichen Integrationsgrenzen

Bei der Einführung des Begriffs eines bestimmten Integrals wurde angenommen, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

a) Integrationsgrenzen a und sind endlich;

b) Der Integrand ist auf die Strecke beschränkt.

Wenn mindestens eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, wird das Integral aufgerufen unangemessen.

Betrachten wir zunächst uneigentliche Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen.

Definition. Die Funktion sei dann auf dem Intervall definiert und stetig und rechts unbeschränkt (Abb. 15).

Konvergiert das uneigentliche Integral, so ist dieser Bereich endlich; wenn das uneigentliche Integral divergiert, dann ist dieser Bereich unendlich.

Reis. fünfzehn

Ein uneigentliches Integral mit unendlicher unterer Integrationsgrenze ist ähnlich definiert:

. (13)

Dieses Integral konvergiert, wenn der Grenzwert auf der rechten Seite von Gleichheit (13) existiert und endlich ist; andernfalls heißt das Integral divergent.

Ein uneigentliches Integral mit zwei unendlichen Integrationsgrenzen ist wie folgt definiert:

, (14)

wobei с ein beliebiger Punkt des Intervalls ist. Das Integral konvergiert nur, wenn beide Integrale auf der rechten Seite der Gleichheit (14) konvergieren.

;

G) = [Wählen Sie das volle Quadrat im Nenner: ] = [Ersatz:

] =

Daher konvergiert das uneigentliche Integral und sein Wert ist gleich .