Das Konzept der Mengenlehre; Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die aus all jenen Elementen besteht, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Der Schnittpunkt der Mengen A und B wird mit A?B oder AB bezeichnet...

Das Konzept der Mengenlehre; Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die aus all jenen Elementen besteht, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Der Schnittpunkt der Mengen A und B wird mit A∩B oder AB bezeichnet. * * * SCHNITTSTELLE VON SETTS SCHNITTSTELLE VON SETTS ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Eine Menge, die aus allen Elementen besteht, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. P. m. A und B bezeichnen A∩B oder AB; P. m. Ak, in endlicher oder unendlicher Zahl angenommen, werden mit Ak bezeichnet. P.m. kann leer sein, also nicht... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Das Konzept der Mengenlehre; P. m. ist eine Menge, die aus allen Elementen besteht, zu denen sie gleichzeitig gehören. zu allen gegebenen Mengen. P.m...

Der Schnittpunkt von A und B Der Schnittpunkt von Mengen in der Mengenlehre ist eine Menge, die aus Elementen besteht, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Inhalt 1 Definition 2 Hinweis ... Wikipedia

Ein Zweig der Mathematik, der die allgemeinen Eigenschaften von Mengen untersucht, insbesondere von unendlichen Mengen. Der Begriff einer Menge ist der einfachste mathematische Begriff, er wird nicht definiert, sondern nur anhand von Beispielen erklärt: viele Bücher im Regal, viele Punkte... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Ein Zweig der Mathematik, der die allgemeinen Eigenschaften von Mengen untersucht, insbesondere von unendlichen Mengen. Der Begriff einer Menge ist der einfachste mathematische Begriff; er wird nicht definiert, sondern nur anhand von Beispielen erklärt: viele Bücher im Regal, viele... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Eine mathematische Theorie, die das Problem der Unendlichkeit mit präzisen Mitteln untersucht. Betreff M. l. Eigenschaften von Mengen (Sammlungen, Klassen, Ensembles), Kap. arr. endlos. Eine Menge A ist eine beliebige Sammlung definierter und unterscheidbarer Objekte ... Wörterbuch der Logikbegriffe

Die Mengenlehre ist ein Zweig der Mathematik, der die allgemeinen Eigenschaften von Mengen untersucht. Die Mengenlehre liegt den meisten mathematischen Disziplinen zugrunde; es hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf das Verständnis des Faches Mathematik selbst. Inhalt 1 Theorie ... ... Wikipedia

Ein Zweig der Mathematik, in dem insbesondere die allgemeinen Eigenschaften von Mengen untersucht werden. endlos. Der Begriff der Menge ist die einfachste Mathematik. Konzept, es wird nicht definiert, sondern nur anhand von Beispielen erklärt: viele Bücher auf einem Regal, viele Punkte auf einer Geraden... ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Bücher

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1 FRAGE:Viele ist eine Sammlung einiger Elemente, die durch ein gemeinsames Merkmal verbunden sind. Elemente einer Menge können Zahlen, Figuren, Gegenstände, Konzepte usw. sein.

Die Mengen werden bezeichnet in Großbuchstaben, und die Elemente werden in Kleinbuchstaben gesetzt. Elemente von Mengen werden in geschweifte Klammern eingeschlossen.

Wenn-Element X gehört zum Set X, dann schreibe X ∈ X (∈ - gehört). Wenn Menge A Teil von Menge B ist, dann schreiben Sie A⊂ IN (⊂ - enthalten).

Definition 1 (Definition der Mengengleichheit). Sets A und B sind gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen, das heißt, wenn x  A x  B impliziert und umgekehrt, x  B impliziert x  A.

Formal wird die Gleichheit zweier Mengen wie folgt geschrieben:

(A=B):= X((XA)  (XB)),

das bedeutet, dass für jedes Objekt x die Beziehungen x A und x B äquivalent sind.

Dabei ist  der universelle Quantor ( X lautet „für alle“ X").

Teilmenge

Definition: Die Menge X ist Teilmenge Y, wenn irgendein Element der Menge X zur Menge Y gehört. Dies wird auch genannt nicht strikte Inklusion.Einige Eigenschaften der Teilmenge:

1. ХХ – Reflexionsvermögen

2. X  Y & YZ  X  Z – Transitivität

3.   X d.h. Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Universelle Menge Definition: universelles Set- Dies ist eine Menge, die aus allen Elementen sowie Teilmengen der Objektmenge im Untersuchungsgebiet besteht, d.h.

1. Wenn M  ICH , Das M  ICH

2. Wenn M  ICH , Das Ώ(M)  ICH, wo unter Ώ(M) - alle möglichen Teilmengen von M, oder boolesches M, werden verstanden.

Die universelle Menge wird normalerweise bezeichnet ICH .

Das universelle Set kann unabhängig vom betrachteten Set und den zu lösenden Aufgaben ausgewählt werden.

Methoden zur Angabe von Mengen:

1. durch Auflisten seiner Elemente. Normalerweise werden endliche Mengen durch Aufzählung definiert.

2. durch die Beschreibung von Eigenschaften, die allen Elementen dieser Menge und nur dieser Menge gemeinsam sind. Diese Eigenschaft heißt charakteristische Eigenschaft, und diese Art der Angabe der Menge Beschreibung. Somit können Sie sowohl endliche als auch unendliche Mengen angeben. Wenn wir eine Menge mit einer Eigenschaft definieren, kann sich später herausstellen, dass nur ein Objekt diese Eigenschaft hat oder dass es überhaupt kein solches Objekt gibt. Diese Tatsache ist möglicherweise überhaupt nicht offensichtlich.

Thema 2.3 Operationen auf Mengen.

Definieren wir nun Operationen für Mengen.

1. Schnittmenge von Mengen.

Definition: Der Durchschnitt der Mengen X und Y ist eine Menge, die aus all jenen und nur solchen Elementen besteht, die sowohl zur Menge X als auch zur Menge Y gehören.

Zum Beispiel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) Schnittpunkt (2,4)

Definition: Mengen heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, d. h. ihr Durchschnitt ist gleich der leeren Menge.

Zum Beispiel : Disjunkte Mengen sind die Mengen ausgezeichneter und erfolgloser Schüler.

Dieser Vorgang kann auf mehr als zwei Sätze erweitert werden. In diesem Fall handelt es sich um eine Menge von Elementen, die gleichzeitig zu allen Mengen gehören.

Kreuzungseigenschaften:

1. X∩Y = Y∩X – Kommutativität

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - Assoziativität

3. X∩ = 

4. X∩ ICH = X

2. Vereinigung von Mengen

Definition: Die Vereinigung zweier Mengen ist eine Menge, die aus allen und nur solchen Elementen besteht, die zu mindestens einer der Mengen X oder Y gehören.

Zum Beispiel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) durch Kombination von (1,2,3,4,6)

Dieser Vorgang kann auf mehr als zwei Sätze erweitert werden. In diesem Fall handelt es sich um die Menge der Elemente, die zu mindestens einer dieser Mengen gehört.

Eigenschaften beitreten:

1. XUY= YUY - Kommutativität

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - Assoziativität

4.XU ICH = ICH

Aus den Eigenschaften der Schnitt- und Vereinigungsoperationen geht hervor, dass die leere Menge in der Zahlenalgebra der Null ähnelt.

3. Differenz einstellen

Definition: Im Gegensatz zu den Schnitt- und Vereinigungsoperationen ist diese Operation nur für zwei Mengen definiert. Der Unterschied zwischen den Mengen X und Y ist eine Menge, die aus allen und nur den Elementen besteht, die zu X gehören und nicht zu Y gehören.

Zum Beispiel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) Differenz (1,3)

Wie wir bereits gesehen haben, spielt die leere Menge die Rolle der Null in der Mengenalgebra. Definieren wir eine Menge, die in der Mengenalgebra die Rolle einer Einheit spielt

4. Stellen Sie den Abschluss ein

Das Komplement einer Menge X ist die Differenz zwischen I und X.

Zusatzeigenschaften:

1. Die Menge X und ihr Komplement haben keine gemeinsamen Elemente

2. Jedes Element I gehört entweder zur Menge X oder zu deren Komplement.

FRAGE 2 Zahlenmengen

Ganze Zahlen− Zahlen, die beim Zählen (Auflisten) von Elementen verwendet werden: N=(1,2,3,…)

Natürliche Zahlen inklusive Null− Zahlen zur Angabe der Anzahl der Elemente: N0=(0,1,2,3,…)

Ganze Zahlen− umfassen natürliche Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem negativen Vorzeichen) und Null. Positive ganze Zahlen: Z+=N=(1,2,3,…) Negative ganze Zahlen: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

Rationale Zahlen− Zahlen, die als gemeinsamer Bruch a/b dargestellt werden, wobei a und b ganze Zahlen sind und b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Bei Konvertierung in Dezimal Eine rationale Zahl wird durch einen endlichen oder unendlichen periodischen Bruch dargestellt.

Irrationale Zahlen− Zahlen, die als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Reale Nummern− Vereinigung rationaler und irrationaler Zahlen: R

Komplexe Zahlen C=(x+iy∣x∈R иy∈R), wobei i die imaginäre Einheit ist.

Modul und Eigenschaften reeller Zahlen

Modul einer reellen Zahl ist der absolute Wert dieser Zahl.

Einfach ausgedrückt: Wenn Sie den Modul berechnen, müssen Sie das Vorzeichen von der Zahl entfernen.

Der absolute Wert einer Zahl A bezeichnet durch |a|. Bitte beachten Sie: Der Modul einer Zahl ist immer nicht negativ: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Ziel: Führen Sie das Konzept der „Schnittmenge“ von Mengen und die entsprechenden grafischen Modelle in Form von Eulerkreisen ein. Führen Sie die Notation für den Durchschnitt von Mengen ein.

Wiederholung, d/z prüfen:

Was bedeutet das Wort „mehrere“?

Wie nennen wir ein Element einer Menge?

Was sind die Elemente einer Menge?

Wie werden Mengen durch die Anzahl der Elemente unterschieden?

Auf welche Weise kann man eine Menge definieren? (Liste der Elemente, charakteristische Eigenschaft)

Welche Eigenschaft wird als charakteristische Eigenschaft bezeichnet?

Welche Mengen heißen gleich?

Welche mathematischen „Hieroglyphen“ verwenden wir für die Kurzschrift?

Was ist eine Teilmenge?

Was sind Eulerkreise? Warum sind sie? (Eulerkreise sind ein geometrisches Diagramm, mit dem Sie die Beziehungen zwischen Teilmengen zur visuellen Darstellung darstellen können.)

Was ist eine Mengenvereinigung? Vereinigungszeichen.

Entscheiden Übung 1, 2, 3.Überprüfen Sie die Übungen 1, 2 von d/z.

Überprüfen Sie Übung 3 von d/z (alle Lösungsvorschläge)

Überprüfen Sie die Übungen von Hausaufgaben:

Gegebene Mengen: A = (2; 3; 8), B = (2; 3; 8; 11) und C = (5; 11).

Finden Sie: a) A ∪ B; b) A ∪ C; c) C ∪ B.

A – Satz von geraden natürliche Zahlen, B ist eine Menge zweistelliger Zahlen. Schreiben Sie eine charakteristische Eigenschaft der Vereinigung dieser Mengen. Nennen Sie Beispiele für Elemente dieser Menge.

Lösung: A ∪ B – eine Menge gerader natürlicher Zahlen oder zweistelliger Zahlen. Beispiele 4, 8, 11, 32, 51 usw.

Die Klasse besteht aus 30 Personen, von denen jeder singt oder tanzt. Es ist bekannt, dass 17 Personen singen und 19 Personen tanzen können. Wie viele Menschen singen und tanzen gleichzeitig?

Lösung: Beachten Sie zunächst, dass von 30 Personen (in Bild 1 – Set B) kann nicht singen 30 – 17 (in Bild 1 – Set A)= 13 Personen (In Abbildung 1 gibt es eine schattierte Menge).

Somit können 13 Personen nicht singen. Sie alle wissen, wie man tanzt, weil... Je nach Bedingung singt oder tanzt jeder Schüler der Klasse. Insgesamt können 19 Personen tanzen (in Abbildung 2 – Satz B), davon 13 (in Abbildung 2 – Satz A) Ich kann nicht singen, was bedeutet, dass 19-13 = 6 Personen gleichzeitig tanzen und singen können (in Abbildung 2 gibt es eine schattierte Menge).

Übung 1: Erstellen Sie eine Aufgabe mithilfe eines Bildes:

Aufgabe 2: Gegebene Mengen: A = (1; 2; 5; 7) und B = (3; 5; 7). Finden Sie die Vereinigung dieser Mengen.

Lösung: A∪ B = (1; 2; 5; 7; 3).

Übung 3:Gegebene Mengen: A = (3, 5, 0, 11, 12, 19), B = (2, 4, 8, 12, 18, 0). Finden Sie die Menge A U B.

Lösung: A∪ B = (3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

Entdeckung neuen Wissens: SCHNITTSTELLE DER MEHRHEIT

Wie sind die vielen „Früchte“ auf das Bild gekommen? (Vereinigung der Mengen „Äpfel“ und „Birnen“)

Wie kam es Ihrer Meinung nach zu der Gruppe der „Gelben“? Was ist in diesem Set enthalten, welche Elemente?

Das ist richtig, gelbe Birnen und gelbe Äpfel sind die Menge, die durch den Schnittpunkt der Menge „Äpfel“ und der Menge „Birnen“ gebildet wird.

Welche Elemente sind der Schnittpunkt dieser Mengen? (allgemein, identisch)

Aufgabe 1: Gegeben sind zwei Mengen A = (1; 2; 5; 7) und B = (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10). Welche Elemente dieser Mengen werden Ihrer Meinung nach ihre Schnittmenge sein?

Schauen Sie sich ein anderes Bild an und versuchen Sie, eine Definition des Schnittpunkts zweier Mengen zu formulieren.

Schnittmenge von MengenX UndY heißt eine Menge, die aus allen gemeinsamen (identischen) Elementen von Mengen bestehtX UndY , d.h. aller Elemente, die zur Menge gehörenX , und vieleY .

Welche arithmetische Operation entspricht Ihrer Meinung nach einer Schnittmenge? (Multiplikation, Produkt)

Bezeichnung:X ∩ Y .

Es ist praktisch, Mengen als Eulerkreise darzustellen.

Die Abbildung zeigt eine Menge von Schnittmengen von Mengen X Und Y schattiert orange Farbe.

Wie konstruieren wir den Durchschnitt zweier Mengen?

Um den Schnittpunkt von zwei zu machen Zahlensätze, müssen Sie nacheinander die Elemente der ersten Menge nehmen und prüfen, ob sie zur zweiten Menge gehören. Diejenigen von ihnen, die dazugehören, werden die Kreuzung bilden.

Übung 2:Finden Sie den Schnittpunkt von MengenAUndB, WennA=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) undB={2,4,6,8,10}.

A∩ B={2,4,6,8}.

Übung 3:Finden Sie den Schnittpunkt von MengenAUndB, WennA=(2,4,6) undB=(2,4,6,8,10). Zeichnen Sie die Lösung mithilfe von Eulerkreisen.

Lösung: Finden wir gemeinsame (identische) Elemente der Mengen.

A∩ B=(2,4,6,) = A.

Übung 4:Finden Sie den Schnittpunkt von MengenAUndB, WennA=(0,1,2,3,4,5) undB=(6,8,10). Zeichnen Sie die Lösung mithilfe von Eulerkreisen.

Lösung: Finden wir gemeinsame (identische) Elemente der Mengen. Sie sind nicht da.

A ∩ B =.

6-A

Wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, dann ist der Durchschnitt dieser Mengen die leere Menge.

Wie können wir den Schnittpunkt von drei Mengen finden?

Zeichnen Sie mithilfe von Eulerkreisen die Vereinigung dreier Mengen: A, B und C.

In welcher Reihenfolge hast du sie gekreuzt?

Wirklich, Das Ergebnis der Schnittmenge von Mengen hängt nicht von der Reihenfolge der Aktionen ab:

Eigenschaften der Schnittmenge von Mengen:

1. Die Operation der Schnittmenge von Mengen ist kommutativ: A ∩ B = B ∩ A;

2. Die Operation der Schnittmenge von Mengen ist transitiv: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

3. Die universelle Menge X ist ein neutrales Element der Operation der Schnittmenge von Mengen: A ∩ X = A;

4. Die Operation der Schnittmenge von Mengen ist idempotent: A ∩ A = A;

5. Wenn eine leere Menge ist, dann gilt: A ∩ = .

Zusammenfassung der Lektion, Reflexion

Ich war am erfolgreichsten...

Für mich war es eine Entdeckung, dass...

Wofür kannst du dich selbst loben?

Was hat Ihrer Meinung nach nicht funktioniert? Warum? Was ist für die Zukunft zu beachten?

Meine Erfolge im Unterricht.

Hausaufgaben: Zusammenfassung, Übungen:

Gegebene Mengen: A = (a; b; c; d), B = (c; d; e; f) und C = (c; e; q; k).

Finden Sie: (A ∪ B) ∪ C.

A ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B ist die Menge der zweistelligen Zahlen. Schreiben Sie die charakteristische Eigenschaft des Schnittpunkts dieser Mengen auf. Nennen Sie Beispiele für Elemente dieser Menge.

Lösung: A ∩ B – Menge gerader natürlicher Zahlen Und zweistellige Zahlen. Beispiele 42, 86, 12, 32, 50 usw.

Jeder Schüler der Klasse lernt Englisch oder Französisch. Englische Sprache 25 Studenten lernen Französisch, 27 Studenten lernen zwei Sprachen und 18 Studenten lernen zwei Sprachen. Wie viele Schüler sind in der Klasse?