Wie viel Prozent und wie. Zinsrechner online. So finden Sie den Prozentsatz einer Zahl
Mathematik ist nicht nur eine Wissenschaft, die in den Mauern der Schule lebt. Es wird täglich in Haushaltsgegenständen für verschiedene Berechnungen verwendet. Besonders oft müssen Sie Prozentsätze einer Zahl finden - dies ist erforderlich, wenn Sie Waren nach Gewicht kaufen, Steuern zahlen oder in ein Restaurant gehen. Es ist äußerst wichtig, solche Berechnungen schnell und korrekt durchführen zu können.
Mathematiker stellen den Wert als Ganzes dar, d.h. es ist volle 100%, und ein Bruchteil des gegebenen Werts ist sein hundertster Teil. Ein Prozentsatz ist also ein Hundertstel eines Gesamtwerts.. Zum Beispiel ist 1 Kilogramm 100 % und ein halbes Kilogramm 50 %.
Es ist wichtig zu wissen! Aktien auf Papier werden immer mit dem Zeichen „%“ geschrieben.
Anteile können immer als Dezimalzahlen dargestellt werden: 1 % = 1/100 Teile = 0,01, was beim manuellen Rechnen sehr praktisch ist. Um 1 % eines beliebigen Werts zu definieren, nehmen Sie ihn immer als 100 %, dann ist 1 % unbekannt, was 100-mal kleiner ist.
Es ist praktisch, den Prozentsatz einer Zahl anhand von Proportionen zu bestimmen. Lassen Sie es notwendig sein, 1 Prozent der Zahl 349 zu nehmen und zu finden, wobei:
Hier sollten Sie vorsichtig sein, da Sie verwechselt werden können, was was ist. Um dies zu vermeiden, sollten Sie Brüche (%) immer auf einer Seite schreiben. Es ist am besten, einen Anteil in einer Spalte zu machen - dann ist es bequemer, den Prozentsatz der Zahl zu bestimmen. Finden Sie x mit der Kreuzregel:
Wenn Sie das Verhältnis von Aktien zu Dezimalbrüchen kennen, ist das Zählen noch einfacher, da es ausreicht, zwei Dezimalstellen vom Ende der Zahl mit einem Komma zu trennen, um sie um 1% hervorzuheben. Zum Beispiel entspricht 1 % der Zahl 248 2,48, und um daraus 7 % zu berechnen, reicht es aus, die gefundenen 1 % mit 7 = 2,48 * 7 = 17,36 zu multiplizieren.
Grundlegende Formeln
Es gibt mehrere grundlegende Formeln zum Lösen von Gleichungen mit Brüchen.
Wie findet man eine Zahl anhand ihres Bruchs? Wenn der Wert von X bekannt ist, was ein paar Bruchteile von Y ist, und es notwendig ist, den Wert des unbekannten Y zu finden, wird der Ausdruck mit der Formel gelöst:
Wie findet man den Ausdruck eines Werts von einem anderen in %? Wenn die Werte von Y X bekannt sind und der Teil gefunden werden muss, aus dem die Zahl X besteht, kann dies als Ausdruck dargestellt werden:
Diese drei Formeln sind die häufigsten beim Lösen verschiedener Gleichungen mit Proportionen, daher ist es wichtig, sich an sie zu erinnern und zu lernen, wie man sie schnell anwendet.
Verwendung von Taschenrechnern
Moderne Technologien ermöglichen es Ihnen, Prozentsätze von Zahlen mithilfe von Technologie nicht selbst zu berechnen. Sie können einen normalen elektronischen Taschenrechner mit Prozentsätzen verwenden. Um sicherzustellen, dass das Gerät geeignet ist, müssen Sie darauf eine Schaltfläche mit dem Bild von % finden, diese befinden sich normalerweise unter den Multiplikations-Divisions-Aktionen. Danach können Sie mit den Berechnungen beginnen.
Gut zu wissen! Der Vorfahre des Taschenrechners war die von ihm geschaffene Rechenmaschine großer Mathematiker Blaise Paskal.
Das Gerät sah aus wie eine Kiste mit Zahnrädern darin.
Wie finde ich den Prozentsatz einer Zahl? Zum Beispiel ein Wert, der 17 % der Zahl 123 beträgt. Mit einem Taschenrechner können Sie Folgendes berechnen:
- Wählen Sie 123, damit sie auf der Anzeigetafel angezeigt wird.
- Wählen Sie die Multiplizieren-Aktion (X-Symbol).
- Geben Sie dann 17 ein und klicken Sie auf die entsprechende Schaltfläche (%).
- Die Anzeigetafel zeigt die Antwort an - 20.91.
Dieser Algorithmus wird verwendet, um Antworten auf beliebige Ausdrücke mit Bruch- und Hundertstelberechnungen zu finden. Aber eine andere bequeme Methode ist die Verwendung eines Online-Rechners. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, auf die Website eines solchen Rechners zu gehen, indem Sie seine Adresse in die Browserzeile eingeben oder eine Abfrage in eine Suchmaschine eingeben.
Ein Online-Rechner ist eine Website-Seite, auf der es Felder gibt, in die Sie Werte eingeben müssen. Normalerweise steht vor dem Fenster, welche Aktion der Taschenrechner ausführt (findet % der Menge, Menge nach % usw.), also müssen Sie die richtige auswählen. Es reicht aus, die Werte in die entsprechenden Fenster einzugeben und auf die Schaltfläche "Lösen" ("Finden", "Berechnen" usw.) zu klicken, der Taschenrechner gibt eine Antwort.
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Zusammenfassen
Vielleicht war Mathe nicht dein Lieblingsfach in der Schule, und Zahlen waren beängstigend und deprimierend. Aber im Erwachsenenalter gibt es kein Entkommen vor ihnen. Ohne Berechnungen kann man keine Quittung für die Zahlung von Strom ausfüllen, man kann kein Geschäftsprojekt erstellen, man kann einem Kind nicht bei den Hausaufgaben helfen. Oft ist es in diesen und anderen Fällen erforderlich, den Prozentsatz des Betrags zu berechnen. Wie macht man das, wenn es vage Erinnerungen gibt, wie viel Prozent aus der Schulzeit stammen? Lasst uns unser Gedächtnis schärfen und es herausfinden.
Methode eins: Prozentsatz des Betrags durch die Definition des Werts von einem Prozent
Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel einer Zahl und wird durch das Zeichen % gekennzeichnet. Wenn Sie den Betrag durch 100 teilen, erhalten Sie nur ein Prozent davon. Und dann ist alles einfach. Die resultierende Zahl wird mit dem gewünschten Prozentsatz multipliziert. Auf diese Weise ist es einfach, den Gewinn auf einer Bankeinlage zu berechnen.
Sie haben beispielsweise einen Betrag von 30.000 zu 9 % pro Jahr eingezahlt. Was wird der Gewinn sein? Wir teilen den Betrag von 30.000 durch 100. Wir erhalten den Wert von einem Prozent - 300. Wir multiplizieren 300 mit 9 und erhalten 2.700 Rubel - eine Erhöhung des ursprünglichen Betrags. Beträgt der Beitrag zwei oder drei Jahre, verdoppelt oder verdreifacht sich diese Zahl. Es gibt Einlagen, die monatlich verzinst werden. Dann müssen Sie 2700 durch 12 Monate teilen. 225 Rubel werden ein monatlicher Gewinn sein. Wenn die Zinsen kapitalisiert (dem allgemeinen Konto hinzugefügt) werden, erhöht sich der Betrag der Einzahlung jeden Monat. Das bedeutet, dass der Prozentsatz nicht aus dem ursprünglichen Beitrag berechnet wird, sondern aus dem neuen Indikator. Daher erhalten Sie am Ende des Jahres nicht mehr 2.700 Rubel Gewinn, sondern mehr. Wie viele? Versuchen Sie zu zählen.
Methode zwei: Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln
Wie Sie sich erinnern, ist ein Prozentsatz ein Hundertstel einer Zahl. Als Dezimalbruch es ist 0,01 (null Komma eine Zelle). Daher sind 17% 0,17 (Nullpunkt, siebzehn Hundertstel), 45% - 0,45 (Nullpunkt, fünfundvierzig Hundertstel) usw. Wir multiplizieren den resultierenden Dezimalbruch mit dem Betrag, dessen Prozentsatz wir berücksichtigen. Und wir finden die gewünschte Antwort.
Berechnen wir zum Beispiel die Höhe der Einkommensteuer aus einem Gehalt von 35.000 Rubel. Die Steuer beträgt 13 %. In Dezimalform wäre dies 0,13 (Nullpunkt, dreizehn Hundertstel). Multiplizieren Sie den Betrag von 35.000 mit 0,13. Es ergibt sich 4.550. Nach Abzug der Einkommensteuer erhalten Sie also ein Gehalt von 35.000 - 4.550 \u003d 30.050. Manchmal wird dieser Betrag, bereits ohne Steuern, als „praktisches Gehalt“ oder „Netto“ bezeichnet. Dagegen wird der Betrag zusammen mit dem „schmutzigen Lohn“ besteuert. Es ist das „schmutzige Gehalt“, das in den Stellenausschreibungen des Unternehmens und in angegeben ist Arbeitsvertrag. Den Händen wird weniger gegeben. Wie viele? Jetzt können Sie ganz einfach zählen.
Methode drei: Zählen auf einem Taschenrechner
Wenn Sie an Ihren mathematischen Fähigkeiten zweifeln, verwenden Sie einen Taschenrechner. Mit seiner Hilfe wird er schneller und genauer berechnet, besonders wenn es um große Beträge geht. Es ist einfacher, mit einem Taschenrechner zu arbeiten, der eine Schaltfläche mit einem Prozentzeichen hat. Multiplizieren Sie den Betrag mit dem Prozentsatz und drücken Sie die %-Taste. Die erforderliche Antwort wird auf dem Bildschirm angezeigt.
Sie möchten beispielsweise berechnen, wie hoch Ihr Zuschuss für die Betreuung eines Kindes bis 1,5 Jahre sein wird. Sie beträgt 40 % des Durchschnittsverdienstes der letzten beiden abgeschlossenen Kalenderjahre. Nehmen wir an, das Durchschnittsgehalt beträgt 30.000 Rubel. Multiplizieren Sie auf dem Taschenrechner 30.000 mit 40 und drücken Sie die %-Taste. Die Taste = muss nicht berührt werden. Auf dem Bildschirm wird die Antwort 12.000 angezeigt, dies ist die Höhe des Vorteils.
Wie Sie sehen können, ist alles sehr einfach. Außerdem befindet sich die Anwendung „Rechner“ jetzt in jedem Handy. Wenn das Gerät keine spezielle Taste % hat, verwenden Sie eine der beiden oben beschriebenen Methoden. Und führen Sie Multiplikationen und Divisionen auf einem Taschenrechner durch, was Ihre Berechnungen erleichtert und beschleunigt.
Nicht vergessen: Es gibt Online-Rechner, um die Berechnungen zu vereinfachen. Sie verhalten sich wie normale, sind aber immer zur Hand, wenn Sie an einem Computer arbeiten.
Methode vier: Machen Sie eine Proportion
Sie können den Prozentsatz des Betrags berechnen, indem Sie einen Anteil erstellen. Das ist noch einer beängstigendes Wort aus der Oberstufenmathematik. Proportion ist die Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen von vier Größen. Aus Gründen der Klarheit ist es besser, ein bestimmtes Beispiel sofort zu verstehen. Sie möchten Stiefel für 8.000 Rubel kaufen. Auf dem Preisschild steht, dass sie mit 25 % Rabatt angeboten werden. Wie viel ist es in Rubel? Von den 4 Werten kennen wir 3. Es gibt eine Summe von 8.000, was 100 % entspricht, und 25 %, die berechnet werden müssen. In der Mathematik wird eine unbekannte Größe normalerweise X genannt. Es stellt sich heraus, dass die Proportion:
Zur Vereinfachung der Berechnungen wandeln wir Prozentsätze in Dezimalbrüche um. Wir bekommen:
Der Anteil wird wie folgt gelöst: X \u003d 8.000 * 0,25: 1X \u003d 2.000
2.000 Rubel - ein Rabatt auf Stiefel. Ziehen Sie diesen Betrag vom alten Preis ab. 8.000 - 2.000 = 6.000 Rubel (neuer reduzierter Preis). Das ist so ein schönes Verhältnis.
Diese Methode kann auch verwendet werden, um den Wert von 100 % zu bestimmen, wenn Sie einen numerischen Indikator kennen - sagen wir 70 %. Bei einem unternehmensweiten Treffen gab der Chef bekannt, dass im Laufe des Jahres 46.900 Wareneinheiten verkauft wurden, während der Plan nur zu 70% erfüllt wurde. Wie viel müsste verkauft werden, um den Plan zu vervollständigen? Wir machen einen Anteil:
Wenn wir Prozente in Dezimalzahlen umwandeln, erhalten wir:
Wir lösen den Anteil: X \u003d 46.900 * 1: 0,7X \u003d 67.000 Dies sind die Ergebnisse der Arbeiten, die die Behörden erwartet haben.
Wie Sie vielleicht erraten haben, kann die Proportionsmethode verwendet werden, um den Prozentsatz eines numerischen Indikators für den Betrag zu berechnen. Beispielsweise haben Sie bei einem Test 132 von 150 Fragen richtig beantwortet: Wie viel Prozent der Aufgabe wurde erledigt?
Es ist nicht notwendig, diesen Anteil in Dezimalbrüche umzurechnen, Sie können sofort entscheiden.
X \u003d 100 * 132: 150. Als Ergebnis ist X \u003d 88%
Wie Sie sehen können, ist es nicht so beängstigend. Ein wenig Geduld und Aufmerksamkeit, und jetzt beherrschen Sie die Prozentrechnung.
Eines der Grundkonzepte der Mathematik ist der Prozentsatz. Um zu verstehen, was ein Prozentsatz ist, reicht es aus, den angegebenen ganzzahligen Wert durch hundert zu teilen. Ein Hundertstel entspricht einem Prozent (bezeichnet als 1 %). Wie in den exakten und wirtschaftlichen Wissenschaften werden auch in anderen Lebensbereichen Prozentsätze verwendet, um Anteile im Verhältnis zum Ganzen zu bezeichnen. In diesem Fall wird das Ganze selbst als 100 % bezeichnet. In einigen Fällen wird es beim Vergleich zweier Werte verwendet: Beispielsweise werden die Warenkosten manchmal nicht in Geldeinheiten verglichen, sondern geschätzt, um wie viel % der Preis eines Produkts über oder unter dem Preis eines anderen liegt. Auch im Bankwesen hat sich der Begriff verbreitet und wird in den meisten Fällen als Synonym für die Redewendung „Zinssatz“ verwendet.
Die Regel zum Ermitteln von Prozentzahlen einer Zahl
Das Berechnen von Prozenten eines Ganzen ist eine der grundlegenden mathematischen Operationen und wird auch häufig in verwendet Alltagsleben. Die Regel zum Ermitteln von Prozentsätzen einer Zahl besagt, dass sie zur Lösung eines solchen Problems mit dem in den Bedingungen angegebenen Betrag von % multipliziert werden muss, wonach das Ergebnis durch 100 geteilt werden muss. Sie können die Zahl auch durch 100 teilen und Multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem angegebenen Prozentsatz von %. Es ist wichtig, sich an eine weitere These zu erinnern: Wenn der durch die Bedingungen angegebene Prozentsatz 100% überschreitet, ist der resultierende Zahlenwert immer größer als der anfängliche (vorgegebene) Wert - und umgekehrt.
Die Regel zum Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes
Es gibt eine umgekehrte Regel, um eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu finden. Um das Ergebnis für eine solche mathematische Operation (die zweite der drei Grundtypen von Problemen für die Prozentrechnung) zu erhalten, muss die in den Bedingungen angegebene Zahl durch einen bestimmten Prozentsatz geteilt werden, wonach das Ergebnis mit 100 multipliziert wird In diesem Fall wird die Anzahl der Einheiten des ursprünglichen Werts in 1 als erster Aktionsprozentsatz und der zweite als allgemein (dh 100%) berechnet. Übersteigt der %-Anteil 100, so ist das Ergebnis immer kleiner als der durch die Problembedingungen vorgegebene Zahlenwert – und umgekehrt.
Die Regel zum Finden des prozentualen Ausdrucks einer Zahl aus einer anderen
Der dritte Grundtyp mathematischer Aufgaben zur Prozentrechnung sind Aufgaben, bei denen es notwendig ist, die Regel zum Ermitteln des prozentualen Ausdrucks einer Zahl aus einer anderen (oder des Verhältnisses zweier Größen) zu verwenden. Es besagt, dass Sie, um es zu lösen, die zweite Zahl durch die erste teilen müssen, wonach das Ergebnis mit hundert multipliziert werden sollte. Ein ähnliches Verhältnis zeigt, wie viel % ein numerischer Wert von einem anderen ist (das heißt, wir sprechen tatsächlich über die Beziehung zwischen zwei Zahlenwerte, ausgedrückt %).
Der Zinsrechner wurde entwickelt, um grundlegende mathematische Probleme im Zusammenhang mit Prozentsätzen zu berechnen. Insbesondere erlaubt es:
- Berechnen Sie den Prozentsatz einer Zahl.
- Bestimmen Sie den Prozentsatz einer Zahl von einer anderen.
- Addieren oder subtrahieren Sie einen Prozentsatz von einer Zahl.
- Finden Sie eine Zahl und kennen Sie ihren bestimmten Prozentsatz.
- Berechnen Sie, um wie viel Prozent eine Zahl größer ist als eine andere.
Das Ergebnis kann auf die gewünschte Dezimalstelle gerundet werden.
Interesse- eines der im Alltag oft anzutreffenden Konzepte der angewandten Mathematik. So kann man oft lesen oder hören, dass zum Beispiel 56,3 % der Wähler an den Wahlen teilgenommen haben, die Quote des Gewinners des Wettbewerbs 74 % beträgt, die Industrieproduktion um 3,2 % gestiegen ist, die Bank 8 % pro Jahr erhebt, Milch enthält 1,5 % Fett, der Stoff enthält 100 % Baumwolle usw. Es ist klar, dass das Verständnis solcher Informationen in der modernen Gesellschaft notwendig ist.
Ein Prozent eines beliebigen Wertes - der Geldbetrag, die Anzahl der Schüler in der Schule usw. - nannte ein Hundertstel davon. Der Prozentsatz wird durch das Zeichen % angegeben, also
1 % ist 0,01 oder \(\frac(1)(100) \) Teil des Wertes
Hier sind einige Beispiele:
- 1% des Mindestlohns 2300 Rubel. (September 2007) - das ist 2300/100 = 23 Rubel;
- 1 % der Bevölkerung Russlands, was ungefähr 145 Millionen Menschen (2007) entspricht, sind 1,45 Millionen Menschen;
- Eine 3%ige Konzentration einer Salzlösung entspricht 3 g Salz in 100 g einer Lösung (denken Sie daran, dass die Konzentration einer Lösung der Teil ist, der die Masse des gelösten Stoffes von der Masse der gesamten Lösung ausmacht).
Es ist klar, dass der gesamte betrachtete Wert 100 Hundertstel oder 100 % von sich selbst ist. So bedeutet beispielsweise die Aufschrift „Baumwolle 100 %“ auf dem Etikett, dass der Stoff aus reiner Baumwolle besteht, und 100 % Schulleistung bedeutet, dass es keine leistungsschwachen Schüler in der Klasse gibt.
Das Wort „Prozent“ kommt vom lateinischen pro centum und bedeutet „von hundert“ oder „von 100“. Dieser Satz ist in der modernen Sprache zu finden. Sie sagen zum Beispiel: "Von 100 Teilnehmern an der Lotterie haben 7 Teilnehmer Preise erhalten." Wenn dieser Ausdruck wörtlich genommen wird, dann ist diese Aussage natürlich falsch: Es ist klar, dass man 100 Personen auswählen kann, die an der Lotterie teilnehmen und keine Gewinne erhalten. Tatsächlich ist die genaue Bedeutung dieses Ausdrucks, dass 7 % der Lotterieteilnehmer Preise erhalten haben, und dies ist das Verständnis, das dem Ursprung des Wortes "Prozentsatz" entspricht: 7 % sind 7 von 100, 7 Personen von 100 Menschen.
Das Zeichen „%“ verbreitete sich Ende des 17. Jahrhunderts. 1685 erschien in Paris das Buch „Leitfaden zur Handelsarithmetik“ von Mathieu de la Porta. An einer Stelle ging es um Prozentzahlen, die damals für „cto“ (kurz für cento) standen. Der Setzer verwechselte dieses „c/o“ jedoch mit einem Bruch und tippte „%“ ein. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Zeichen zum Einsatz.
Jede Prozentzahl kann als Dezimalbruch geschrieben werden, der einen Teil des Wertes ausdrückt.
Um einen Prozentsatz als Zahl auszudrücken, teilen Sie den Prozentsatz durch 100. Zum Beispiel:
\(58\% = \frac(58)(100) = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac(4,5)(100) = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac (200)(100) = 2\)Für den umgekehrten Übergang wird die umgekehrte Aktion durchgeführt. Auf diese Weise, Um eine Zahl als Prozentsatz auszudrücken, müssen Sie sie mit 100 multiplizieren:
In der Praxis ist es hilfreich, die Beziehung zwischen den einfachsten Prozentwerten und den entsprechenden Brüchen zu verstehen: die Hälfte - 50 %, ein Viertel - 25 %, drei Viertel - 75 %, ein Fünftel - 20 %, drei Fünftel - 60 % usw.
Es ist auch nützlich zu verstehen verschiedene Formen Ausdrücke gleicher Größenänderung, ohne Prozentsätze und mit Hilfe von Prozentsätzen formuliert. Beispielsweise in den Meldungen „Minimum Lohn seit Februar um 50 % erhöht“ und „Der Mindestlohn wurde seit Februar um das 1,5-fache erhöht“ bedeuten dasselbe. Ebenso bedeutet eine Erhöhung um das Zweifache eine Erhöhung um 100 %, eine Erhöhung um das Dreifache eine Erhöhung um 200 %, um das 2-fache verringern - das bedeutet eine Verringerung um 50 %.
Ähnlich
- um 300% zu erhöhen - das bedeutet um das 4-fache zu erhöhen,
- um 80% reduzieren - das bedeutet um das 5-fache reduzieren.
Interessensaufgaben
Da Prozentsätze als Brüche ausgedrückt werden können, sind Probleme mit Prozentsätzen im Wesentlichen die gleichen Probleme mit Brüchen. Bei den einfachsten Prozentaufgaben wird ein Wert a als 100 % ("ganz") angenommen, und sein Teil b wird durch die Zahl p% ausgedrückt.
Je nachdem, was unbekannt ist - a, b oder p -, werden drei Arten von Zinsproblemen unterschieden. Diese Probleme werden auf die gleiche Weise gelöst wie die entsprechenden Bruchprobleme, aber bevor sie gelöst werden, wird die Zahl p% als Bruch ausgedrückt.
1. Einen Prozentsatz einer Zahl finden.
Um \(\frac(p)(100) \) aus a zu finden, multiplizieren Sie a mit \(\frac(p)(100) \):
Um also p% einer Zahl zu finden, müssen Sie diese Zahl mit dem Bruch \(\frac(p)(100)\) multiplizieren. Zum Beispiel sind 20 % von 45 kg gleich 45 0,2 = 9 kg und 118 % von x gleich 1,18x
2. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Um eine Zahl durch ihren Teil b zu finden, ausgedrückt als Bruch \(\frac(p)(100) , \; (p \neq 0) \), dividiere b durch \(\frac(p)(100) \) :
\(a = b: \frac(p)(100) \)
3. Ermitteln des Prozentsatzes zweier Zahlen.
Um herauszufinden, wie viel Prozent die Zahl b von a \((a \neq 0) \ ist, müssen Sie zuerst herausfinden, welcher Teil von b von a stammt, und diesen Teil dann in Prozent ausdrücken:
Beispielsweise sind 9 g Salz in einer Lösung von 180 g \(\frac(9\cdot 100)(180) = 5%\) Lösung.
Der Quotient zweier Zahlen, ausgedrückt in Prozent, wird genannt Prozentsatz diese Nummern. Daher wird die letzte Regel aufgerufen Regel zum Ermitteln des Prozentsatzes zweier Zahlen.
Es ist leicht zu sehen, dass die Formeln
\(b = a \cdot \frac(p)(100), \;\; a = b: \frac(p)(100), \;\; p = \frac(b)(a) \cdot 100 \% \;\; (a,b,p \neq 0) \) sind miteinander verbunden, nämlich die letzten beiden Formeln werden aus der ersten erhalten, wenn wir die Werte a und p daraus ausdrücken. Daher wird die erste Formel als die Hauptformel betrachtet und aufgerufen Prozent Formel. Die Prozentformel kombiniert alle drei Arten von Bruchproblemen, und Sie können sie verwenden, wenn Sie eine der Unbekannten a, b und p finden möchten.Zusammengesetzte Probleme für Prozentsätze werden ähnlich gelöst wie Probleme für Brüche.
Einfaches prozentuales Wachstum
Wenn eine Person die Miete nicht rechtzeitig bezahlt, wird ihr eine Geldstrafe auferlegt, die "Geldstrafe" genannt wird (vom lateinischen poena - Strafe). Beträgt die Strafe also 0,1 % des Mietpreises für jeden Tag der Verspätung, dann beträgt die Strafe beispielsweise bei 19 Tagen Verspätung 1,9 % des Mietbetrages. Also zusammen, sagen wir, mit 1000 r. Miete, eine Person muss eine Strafe von 1000 0,019 \u003d 19 Rubel und insgesamt 1019 Rubel zahlen.
Es ist klar, dass in verschiedenen Städten und unterschiedliche Leute die Miete, die Höhe der Strafgebühr und die Verzögerungszeit sind unterschiedlich. Daher ist es sinnvoll, eine allgemeine Mietformel für schlampige Zahler aufzustellen, die unter allen Umständen anwendbar ist.
Sei S die monatliche Miete, die Strafe beträgt p % der Miete für jeden Tag der Verspätung, und n ist die Anzahl der überfälligen Tage. Den Betrag, den eine Person nach n Tagen Verspätung zahlen muss, bezeichnen wir mit S n .
Dann beträgt die Strafe für n Tage Verspätung pn% von S oder \(\frac(pn)(100)S \), und insgesamt müssen Sie \(S + \frac(pn)(100) zahlen )S = \left(1+ \frac(pn)(100) \right) S \)
Auf diese Weise:
\(S_n = \left(1+ \frac(pn)(100) \right) S \)
Diese Formel beschreibt viele spezifische Situationen und hat einen besonderen Namen: Formel für einfaches prozentuales Wachstum.
Eine ähnliche Formel erhält man, wenn ein bestimmter Wert über einen bestimmten Zeitraum um eine bestimmte Prozentzahl abnimmt. Wie oben, ist es in diesem Fall leicht zu überprüfen
\(S_n = \left(1- \frac(pn)(100) \right) S \)
Diese Formel wird auch genannt einfache prozentuale Wachstumsformel, obwohl der angegebene Wert tatsächlich abnimmt. Das Wachstum ist in diesem Fall "negativ".
Zinseszinswachstum
In russischen Banken wurde für bestimmte Arten von Einlagen (die sogenannten Termineinlagen, die nicht früher als nach einem vertraglich festgelegten Zeitraum, z. B. in einem Jahr, aufgenommen werden können) das folgende Einkommenszahlungssystem eingeführt: für die Im ersten Jahr ist der eingezahlte Betrag auf dem Konto, das Einkommen beträgt zB 10% von ihr. Am Ende des Jahres kann der Einleger das investierte Geld und die erzielten Erträge – „Zinsen“, wie es üblicherweise genannt wird – von der Bank abheben.
Wenn der Einleger dies nicht getan hat, wird die anfängliche Einzahlung verzinst (kapitalisiert), und daher werden am Ende des nächsten Jahres 10% von der Bank für einen neuen, erhöhten Betrag berechnet. Mit anderen Worten, bei einem solchen System werden „Zinsen auf Zinsen“ berechnet oder, wie sie gewöhnlich genannt werden, Zinseszins.
Lassen Sie uns berechnen, wie viel Geld der Einleger in 3 Jahren erhalten wird, wenn er 1000 Rubel auf ein Festgeldkonto einzahlt. und niemals innerhalb von drei Jahren kein Geld vom Konto abheben.
10% ab 1000 Rubel sind 0,1 1000 \u003d 100 Rubel, daher wird sein Konto in einem Jahr haben
1000 + 100 = 1100 (r.)
10% des neuen Betrags von 1100 Rubel. sind 0,1 1100 \u003d 110 Rubel, daher wird sein Konto nach 2 Jahren sein
1100 + 110 = 1210 (S.)
10% des neuen Betrags 1210 reiben. sind 0,1 1210 \u003d 121 Rubel, daher wird sein Konto nach 3 Jahren sein
1210 + 121 = 1331 (S.)
Es ist nicht schwer vorstellbar, wie viel Zeit bei einer solchen direkten, "frontalen" Berechnung benötigt würde, um die Höhe der Kaution in 20 Jahren zu finden. Inzwischen kann die Berechnung viel einfacher durchgeführt werden.
In einem Jahr erhöht sich nämlich der Anfangsbetrag um 10%, dh er beträgt 110% des Anfangsbetrags, oder mit anderen Worten, er erhöht sich um das 1,1-fache. Im nächsten Jahr wird der neue, bereits erhöhte Betrag ebenfalls um die gleichen 10 % steigen. Daher erhöht sich der Anfangsbetrag nach 2 Jahren um das 1,1 1,1 = 1,1 2-fache.
In einem weiteren Jahr erhöht sich dieser Betrag ebenfalls um das 1,1-fache, so dass sich der Anfangsbetrag um das 1,1 1,1 2 = 1,1 3-fache erhöht. Mit dieser Argumentationsmethode erhalten wir eine viel einfachere Lösung für unser Problem: 1,1 3 1000 \u003d 1,331 1000 - 1331 (r.)
Wir lösen dieses Problem jetzt in Gesamtansicht. Lassen Sie die Bank Einnahmen in Höhe von p% pro Jahr erzielen, der eingezahlte Betrag ist gleich S p. und der Betrag, der in n Jahren auf dem Konto sein wird, ist gleich S n p.
Der Wert von p% von S ist \(\frac(p)(100)S \) r., und in einem Jahr wird das Konto den Betrag haben
\(S_1 = S+ \frac(p)(100)S = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S \)
das heißt, die Anfangssumme wird sich um \(1+ \frac(p)(100) \) mal erhöhen.
Hinter nächstes Jahr der Betrag S 1 erhöht sich um denselben Betrag, und daher wird das Konto in zwei Jahren den Betrag haben
\(S_2 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S_1 = \left(1+ \frac(p)(100) \right) \left(1+ \frac(p)(100). ) \right)S = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^2 S \)
Ebenso \(S_3 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^3 S \) usw. Mit anderen Worten, die Gleichberechtigung
\(S_n = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^n S \)
Diese Formel heißt Zinseszins-Wachstumsformel, oder einfach Zinseszins Formel.
