Gauß-Theorem. Elektrischer Feldinduktionsvektor. Flussvektoren e und d Elektrischer Induktionsvektor

Überlegen Sie, wie sich der Wert des Vektors E an der Grenzfläche zwischen zwei Medien ändert, beispielsweise Luft (ε 1) und Wasser (ε = 81). Die Feldstärke im Wasser nimmt schlagartig um den Faktor 81 ab. Dieses Vektorverhalten E verursacht gewisse Unannehmlichkeiten bei der Berechnung von Feldern in verschiedenen Umgebungen. Um diese Unannehmlichkeiten zu vermeiden, wird ein neuer Vektor eingeführt D ist der Vektor der Induktion oder elektrischen Verschiebung des Feldes. Kommunikation von Vektoren D Und E hat die Form

D = ε ε 0 E.

Für das Feld einer Punktladung ist die elektrische Verschiebung offensichtlich gleich

Es ist leicht zu erkennen, dass die elektrische Verschiebung in C/m 2 gemessen wird, nicht von den Eigenschaften abhängt und grafisch durch Linien dargestellt wird, die den Spannungslinien ähneln.

Die Richtung der Feldlinien charakterisiert die Richtung des Feldes im Raum (natürlich gibt es keine Kraftlinien, sie werden zur besseren Veranschaulichung eingeführt) oder die Richtung des Feldstärkevektors. Mit Hilfe von Spannungslinien lässt sich nicht nur die Richtung, sondern auch die Größe der Feldstärke charakterisieren. Zu diesem Zweck einigten wir uns darauf, sie mit einer bestimmten Dichte auszuführen, sodass die Anzahl der Spannungslinien, die eine Einheitsfläche senkrecht zu den Spannungslinien durchdringen, proportional zum Modul des Vektors war E(Abb. 78). Dann ist die Anzahl der Linien, die die Elementarfläche dS durchdringen, die Normale dazu N bildet mit dem Vektor einen Winkel α E, ist gleich E dScos α = E n dS,

wo E n - Vektorkomponente E in Richtung des Normalen N. Der Wert dФ Е = E n dS = E D S genannt Spannungsvektorfluss durch das Pad D S(D S= dS N).

Für eine beliebige geschlossene Oberfläche S der Fluss des Vektors E durch diese Oberfläche ist

Ein ähnlicher Ausdruck hat den Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors Ф D

.

Ostrogradsky-Gauss-Theorem

Mit diesem Satz können Sie den Fluss der Vektoren E und D aus einer beliebigen Anzahl von Ladungen bestimmen. Nehmen Sie eine Punktladung Q und definieren Sie den Fluss des Vektors E durch eine Kugeloberfläche mit dem Radius r, in deren Mittelpunkt es liegt.

Für eine sphärische Oberfläche α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 und

Ф E = E · 4 πr 2 .

Wenn wir E durch den Ausdruck ersetzen, erhalten wir

Somit ergibt sich aus jeder Punktladung der Fluss Ф E des Vektors E gleich Q/ ε 0 . Indem wir diese Schlussfolgerung auf den allgemeinen Fall einer beliebigen Anzahl von Punktladungen verallgemeinern, geben wir die Formulierung des Satzes an: den Gesamtfluss des Vektors E durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist numerisch gleich der algebraischen Summe der in dieser Oberfläche eingeschlossenen elektrischen Ladungen geteilt durch ε 0 , d.h.

Für den elektrischen Verschiebungsvektorfluss D Sie können eine ähnliche Formel erhalten

Der Fluss des Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der algebraischen Summe der von dieser Oberfläche abgedeckten elektrischen Ladungen.

Wenn wir eine geschlossene Fläche nehmen, die die Ladung nicht umschließt, dann jede Linie E Und D wird diese Oberfläche zweimal überqueren - am Eingang und am Ausgang, sodass sich herausstellt, dass der Gesamtfluss Null ist. Hierbei ist die algebraische Summe der eingehenden und ausgehenden Leitungen zu berücksichtigen.

Anwendung des Ostrogradsky-Gauss-Theorems zur Berechnung elektrischer Felder, die von Ebenen, einer Kugel und einem Zylinder erzeugt werden

Eine Kugeloberfläche mit dem Radius R trägt eine gleichmäßig über die Oberfläche verteilte Ladung Q mit der Oberflächendichte σ

Nehmen wir einen Punkt A außerhalb der Kugel im Abstand r vom Mittelpunkt und zeichnen wir im Geiste eine Kugel mit dem Radius r, die symmetrisch zur geladenen Kugel ist (Abb. 79). Seine Fläche beträgt S = 4 πr 2 . Der Fluss des Vektors E wird gleich sein

Nach dem Ostrogradsky-Gauss-Theorem
, somit,
unter Berücksichtigung von Q = σ 4 πr 2 erhalten wir

Für Punkte auf der Oberfläche einer Kugel (R = r)

D Für Punkte innerhalb einer Hohlkugel (es gibt keine Ladung innerhalb der Kugel) ist E = 0.

2 . Hohlzylinderfläche mit Radius R und Länge l mit einer konstanten Oberflächenladungsdichte geladen
(Abb. 80). Zeichnen wir eine koaxiale Zylinderfläche mit dem Radius r > R.

Vektorfluss E durch diese Oberfläche

Nach dem Gauß-Theorem

Wenn wir die rechten Teile der gegebenen Gleichungen gleichsetzen, erhalten wir

.

Gegeben sei die lineare Ladungsdichte eines Zylinders (oder eines dünnen Fadens).
Das

3. Feld unendlicher Ebenen mit Oberflächenladungsdichte σ (Abb. 81).

Betrachten Sie das Feld, das von einer unendlichen Ebene erzeugt wird. Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass die Intensität an jedem Punkt des Feldes eine Richtung senkrecht zur Ebene hat.

An symmetrischen Punkten ist E gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Konstruieren wir gedanklich die Oberfläche eines Zylinders mit der Grundfläche ΔS. Dann tritt durch jede der Basen des Zylinders ein Strom aus

F E = E ∆S, und der Gesamtfluss durch die zylindrische Oberfläche ist gleich F E = 2E ∆S.

Im Inneren der Oberfläche befindet sich eine Ladung Q = σ · ΔS. Nach dem Gauß-Theorem gilt

Wo

Das erhaltene Ergebnis hängt nicht von der Höhe des ausgewählten Zylinders ab. Somit ist die Feldstärke E in jeder Entfernung gleich groß.

Für zwei entgegengesetzt geladene Ebenen mit gleicher Oberflächenladungsdichte σ ist nach dem Superpositionsprinzip außerhalb des Raums zwischen den Ebenen die Feldstärke gleich Null E = 0 und im Raum zwischen den Ebenen
(Abb. 82a). Werden die Ebenen mit gleichen Ladungen gleicher Oberflächenladungsdichte geladen, ergibt sich das umgekehrte Bild (Abb. 82b). Im Raum zwischen den Ebenen E=0 und im Raum außerhalb der Ebenen
.

Bei vielen Ladungen treten einige Schwierigkeiten bei der Berechnung der Felder auf.

Der Satz von Gauß hilft, sie zu überwinden. Wesen Gaußsche Theoreme reduziert sich auf Folgendes: Wenn eine beliebige Anzahl von Ladungen gedanklich von einer geschlossenen Fläche S umgeben ist, dann kann der elektrische Feldstärkefluss durch die Elementarfläche dS als dФ = Есоsα۰dS geschrieben werden, wobei α der Winkel zwischen der Flächennormalen und ist der Intensitätsvektor . (Abb.12.7)

Der Gesamtfluss durch die gesamte Oberfläche ist gleich der Summe der Flüsse aller darin willkürlich verteilten Ladungen und proportional zum Wert dieser Ladung

(12.9)

Bestimmen wir den Fluss des Spannungsvektors durch eine Kugeloberfläche mit dem Radius r, in deren Zentrum sich eine Punktladung +q befindet (Abb. 12.8). Die Spannungslinien verlaufen senkrecht zur Kugeloberfläche, α = 0, daher gilt сosα = 1. Dann

Wenn das Feld durch ein Ladungssystem gebildet wird, dann

Gauß-Theorem: Der Fluss des elektrostatischen Feldstärkevektors im Vakuum durch eine beliebige geschlossene Oberfläche ist gleich der algebraischen Summe der in dieser Oberfläche eingeschlossenen Ladungen geteilt durch die elektrische Konstante.

(12.10)

Wenn im Inneren der Kugel keine Ladungen vorhanden sind, dann ist Ф = 0.

Mit dem Gauß-Theorem lassen sich elektrische Felder für symmetrisch verteilte Ladungen relativ einfach berechnen.

Lassen Sie uns das Konzept der Dichte verteilter Ladungen einführen.

Die lineare Dichte wird mit τ bezeichnet und charakterisiert die Ladung q pro Längeneinheit ℓ. Im Allgemeinen kann es nach der Formel berechnet werden

(12.11)

Bei gleichmäßiger Ladungsverteilung ist die lineare Dichte gleich

Die Oberflächendichte wird mit σ bezeichnet und charakterisiert die Ladung q pro Flächeneinheit S. Allgemein ausgedrückt wird sie durch die Formel bestimmt

(12.12)

Bei gleichmäßiger Ladungsverteilung über die Oberfläche ist die Oberflächendichte gleich

Die Schüttdichte, bezeichnet mit ρ, charakterisiert die Ladung q pro Volumeneinheit V. Im Allgemeinen wird sie durch die Formel bestimmt

(12.13)

Bei gleichmäßiger Ladungsverteilung ist es gleich
.

Da die Ladung q gleichmäßig auf der Kugel verteilt ist, dann

σ = konst. Wenden wir den Satz von Gauß an. Zeichnen wir eine Kugel mit einem Radius durch den Punkt A. Der Fluss des Intensitätsvektors in Abb. 12.9 durch die Kugeloberfläche des Radius ist cosα = 1, da α = 0. Nach dem Satz von Gauß gilt
.

oder

(12.14)

Aus Ausdruck (12.14) folgt, dass die Feldstärke außerhalb der geladenen Kugel dieselbe ist wie die Feldstärke einer Punktladung, die in der Mitte der Kugel platziert ist. Auf der Oberfläche der Kugel, d.h. r 1 \u003d r 0, Spannung
.

Innerhalb der Kugel r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Ein Zylinder mit dem Radius r 0 ist gleichmäßig mit der Flächendichte σ beladen (Abb. 12.10). Bestimmen wir die Feldstärke an einem beliebig gewählten Punkt A. Zeichnen wir eine imaginäre Zylinderfläche mit Radius R und Länge ℓ durch Punkt A. Aufgrund der Symmetrie tritt die Strömung nur durch die Seitenflächen des Zylinders aus, da die Ladungen auf dem Zylinder mit dem Radius r 0 gleichmäßig über seine Oberfläche verteilt sind, d.h. Die Spannungslinien sind radiale Geraden senkrecht zu den Seitenflächen beider Zylinder. Da der Durchfluss durch die Basis der Zylinder Null ist (cos α = 0) und die Seitenfläche des Zylinders senkrecht zu den Kraftlinien steht (cos α = 1), dann

oder

(12.15)

Wir drücken den Wert von E durch σ aus – Oberflächendichte. A-Priorat,

somit,

Setze den Wert von q in die Formel (12.15) ein.

(12.16)

Per Definition der Liniendichte gilt
, Wo
; Wir setzen diesen Ausdruck in die Formel (12.16) ein:

(12.17)

diese. Die von einem unendlich langen geladenen Zylinder erzeugte Feldstärke ist proportional zur linearen Ladungsdichte und umgekehrt proportional zum Abstand.

Die Intensität des Feldes, das von einer unendlichen, gleichmäßig geladenen Ebene erzeugt wird

Bestimmen wir die Stärke des Feldes, das von einer unendlich gleichmäßig geladenen Ebene am Punkt A erzeugt wird. Die Oberflächenladungsdichte der Ebene sei σ. Als geschlossene Fläche ist es zweckmäßig, einen Zylinder zu wählen, dessen Achse senkrecht zur Ebene steht und dessen rechte Basis den Punkt A enthält. Die Ebene teilt den Zylinder in zwei Hälften. Es ist offensichtlich, dass die Kraftlinien senkrecht zur Ebene und parallel zur Seitenfläche des Zylinders verlaufen, sodass die gesamte Strömung nur durch die Böden des Zylinders verläuft. Auf beiden Stützpunkten ist die Feldstärke gleich, weil. Die Punkte A und B sind symmetrisch zur Ebene. Dann erfolgt die Strömung durch die Böden des Zylinders

Nach dem Gauß-Theorem gilt

Als
, Das
, Wo

(12.18)

Somit ist die Feldstärke einer unendlich geladenen Ebene proportional zur Oberflächenladungsdichte und hängt nicht vom Abstand zur Ebene ab. Daher ist das Feld der Ebene homogen.

Die Intensität des Feldes, das von zwei entgegengesetzt gleichmäßig geladenen parallelen Ebenen erzeugt wird

Das durch zwei Ebenen erzeugte resultierende Feld wird durch das Prinzip der Feldüberlagerung bestimmt:
(Abb.12.12). Das von jeder Ebene erzeugte Feld ist homogen, die Stärken dieser Felder sind im absoluten Wert gleich, aber in entgegengesetzter Richtung:
. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Stärke des Gesamtfeldes außerhalb der Ebene Null:

Zwischen den Ebenen haben die Feldstärken die gleiche Richtung, sodass die resultierende Stärke gleich ist

Somit ist das Feld zwischen zwei entgegengesetzt gleichmäßig geladenen Ebenen homogen und seine Intensität ist doppelt so groß wie die Feldstärke, die von einer Ebene erzeugt wird. Links und rechts der Flugzeuge gibt es kein Feld. Das Feld endlicher Ebenen hat die gleiche Form, die Verzerrung tritt nur in der Nähe ihrer Grenzen auf. Mit der erhaltenen Formel können Sie das Feld zwischen den Platten eines Flachkondensators berechnen.

Der Satz von Gauß für die elektrische Induktion (elektrische Verschiebung)[

Für ein Feld in einem dielektrischen Medium kann der elektrostatische Satz von Gauß auf andere Weise (alternativ) geschrieben werden – durch den Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors (elektrische Induktion). In diesem Fall lautet die Formulierung des Satzes wie folgt: Der Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors durch eine geschlossene Oberfläche ist proportional zur freien elektrischen Ladung innerhalb dieser Oberfläche:

In Differentialform:

Gaußscher Satz für magnetische Induktion

Der Fluss des magnetischen Induktionsvektors durch jede geschlossene Oberfläche ist Null:

oder in Differentialform

Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass es in der Natur keine „magnetischen Ladungen“ (Monopole) gibt, die ein Magnetfeld erzeugen würden, genauso wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen. Mit anderen Worten: Das Gaußsche Theorem für die magnetische Induktion zeigt, dass das Magnetfeld (vollständig) Wirbel.

Gaußscher Satz für die Newtonsche Schwerkraft

Für die Feldstärke der Newtonschen Schwerkraft (Beschleunigung des freien Falls) stimmt der Satz von Gauß praktisch mit dem in der Elektrostatik überein, mit Ausnahme der Konstanten (sie hängen jedoch immer noch von einer willkürlichen Wahl des Einheitensystems ab) und vor allem des Vorzeichens :

Wo G- Intensität des Gravitationsfeldes, M- Gravitationsladung (d. h. Masse) innerhalb der Oberfläche S, ρ - Massendichte, G ist die Newtonsche Konstante.

Leiter in einem elektrischen Feld. Das Feld im Inneren des Leiters und auf seiner Oberfläche.

Leiter sind Körper, durch die elektrische Ladungen von einem geladenen Körper zu einem ungeladenen Körper gelangen können. Die Fähigkeit von Leitern, elektrische Ladungen durch sie hindurchzuleiten, wird durch das Vorhandensein freier Ladungsträger in ihnen erklärt. Leiter sind Metallkörper in festem und flüssigem Zustand, flüssige Elektrolytlösungen. Die freien Ladungen eines Leiters, die in ein elektrisches Feld eingeführt werden, beginnen sich unter dessen Einwirkung zu bewegen. Die Umverteilung der Ladungen führt zu einer Änderung des elektrischen Feldes. Wenn die elektrische Feldstärke im Leiter Null wird, hören die Elektronen auf, sich zu bewegen. Das Phänomen der Trennung entgegengesetzter Ladungen in einem Leiter, der sich in einem elektrischen Feld befindet, wird als elektrostatische Induktion bezeichnet. Im Inneren des Leiters herrscht kein elektrisches Feld. Dies dient dem elektrostatischen Schutz – dem Schutz mit Metallleitern vor einem elektrischen Feld. Die Oberfläche eines leitenden Körpers beliebiger Form in einem elektrischen Feld ist eine Äquipotentialoberfläche.

Kondensatoren

Um Geräte zu erhalten, die bei einem kleinen Potential im Verhältnis zum Medium Ladungen spürbarer Größe auf sich selbst ansammeln (kondensieren), nutzen sie die Tatsache, dass die elektrische Kapazität eines Leiters zunimmt, wenn sich andere Körper ihm nähern. Tatsächlich entstehen unter der Einwirkung eines von geladenen Leitern erzeugten Feldes auf einem ihm zugeführten Körper induzierte (auf einem Leiter) oder gebundene (auf einem Dielektrikum) Ladungen (Abb. 15.5). Ladungen, deren Vorzeichen der Ladung des Leiters q entgegengesetzt ist, liegen näher am Leiter als gleichnamige Ladungen mit q und haben daher einen großen Einfluss auf dessen Potential.

Wenn daher ein Körper an einen geladenen Leiter gebracht wird, nimmt die Feldstärke ab und damit auch das Potenzial des Leiters. Nach der Gleichung bedeutet dies eine Erhöhung der Kapazität des Leiters.

Der Kondensator besteht aus zwei Leitern (Platten) (Abb. 15.6), die durch eine dielektrische Schicht getrennt sind. Wenn an einen Leiter eine bestimmte Potentialdifferenz angelegt wird, werden seine Platten mit gleichen Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens aufgeladen. Unter der elektrischen Kapazität eines Kondensators versteht man eine physikalische Größe, die proportional zur Ladung q und umgekehrt proportional zur Potentialdifferenz zwischen den Platten ist

Bestimmen wir die Kapazität eines Flachkondensators.

Wenn die Fläche der Platte S ist und die Ladung darauf q ist, dann ist die Feldstärke zwischen den Platten

Andererseits ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten bedingt

Die Energie eines Systems aus Punktladungen, einem geladenen Leiter und einem Kondensator.

Jedes Ladungssystem verfügt über eine gewisse potenzielle Wechselwirkungsenergie, die der für die Schaffung dieses Systems aufgewendeten Arbeit entspricht. Energie eines Systems von Punktladungen Q 1 , Q 2 , Q 3 ,… Q N ist wie folgt definiert:

Wo φ 1 – das Potenzial des elektrischen Feldes, das von allen Ladungen außer erzeugt wird Q 1 an der Stelle, an der die Ladung ist Q 1 usw. Wenn sich die Konfiguration des Ladungssystems ändert, ändert sich auch die Energie des Systems. Um die Konfiguration des Systems zu ändern, müssen Arbeiten durchgeführt werden.

Die potentielle Energie eines Systems von Punktladungen kann auf andere Weise berechnet werden. Potentielle Energie zweier Punktladungen Q 1 , Q 2 im Abstand voneinander ist gleich. Liegen mehrere Ladungen vor, so lässt sich die potentielle Energie dieses Ladungssystems als Summe der potentiellen Energien aller Ladungspaare definieren, die für dieses System zusammengestellt werden können. Für ein System mit drei positiven Ladungen ist die Energie des Systems also gleich

Energie eines geladenen Einzelleiters und Kondensators

Wenn ein einzelner Leiter eine Ladung q hat, dann gibt es um ihn herum ein elektrisches Feld, dessen Potential auf der Oberfläche des Leiters beträgt und dessen Kapazität C beträgt. Erhöhen wir die Ladung um dq. Bei der Übertragung der Ladung dq aus dem Unendlichen ist die Arbeit gleich . Aber das Potential des elektrostatischen Feldes eines gegebenen Leiters im Unendlichen ist gleich Null. Dann

Wenn die Ladung dq vom Leiter ins Unendliche übertragen wird, leisten die Kräfte des elektrostatischen Feldes die gleiche Arbeit. Folglich nimmt mit einer Erhöhung der Ladung des Leiters um dq die potentielle Energie des Feldes zu, d.h.

Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, finden wir die potentielle Energie des elektrostatischen Feldes eines geladenen Leiters, wenn seine Ladung von Null auf q ansteigt:

Unter Anwendung der Beziehung erhält man folgende Ausdrücke für die potentielle Energie W:

Bei einem geladenen Kondensator ist die Potentialdifferenz (Spannung) daher gleich dem Verhältnis zur Gesamtenergie seines elektrostatischen Feldes und hat die Form

Vektorfluss der elektrischen Feldstärke. Lassen Sie einen kleinen Spielplatz DS(Abb. 1.2) kreuzen die Kraftlinien des elektrischen Feldes, deren Richtung mit der Normalen verläuft N Ecke zu dieser Seite A. Unter der Annahme, dass der Spannungsvektor E ändert sich innerhalb der Website nicht DS, definieren Spannungsvektorflussüber die Website DS Wie

DFE =E DS cos A.(1.3)

Denn die Dichte der Feldlinien ist gleich dem Zahlenwert der Spannung E, dann die Anzahl der Kraftlinien, die das Gebiet durchquerenDS, ist numerisch gleich dem Wert des StreamsDFEdurch die OberflächeDS. Wir stellen die rechte Seite des Ausdrucks (1.3) als Skalarprodukt von Vektoren dar E UndDS= NDS, Wo Nist der Einheitsnormalenvektor zur OberflächeDS. Für den Grundbereich d S Ausdruck (1.3) nimmt die Form an

DFE = E D S

auf der gesamten Website S Der Intensitätsvektorfluss wird als Integral über die Oberfläche berechnet

Elektrischer Induktionsvektorfluss. Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors wird ähnlich wie der Fluss des elektrischen Feldstärkevektors bestimmt

DFD = D D S

Es gibt einige Unklarheiten bei den Definitionen von Flüssen, da für jede Oberfläche zwei angegeben werden können Normalen in die entgegengesetzte Richtung. Bei einer geschlossenen Fläche gilt die Außennormale als positiv.

Gauß-Theorem. In Betracht ziehen Punkt positiv elektrische Ladung Q, innerhalb einer beliebigen geschlossenen Oberfläche gelegen S(Abb. 1.3). Fluss des Induktionsvektors durch das Flächenelement d S gleicht
(1.4)

Komponente d S D = D S cos AFlächenelement d S in Richtung des InduktionsvektorsDals Element einer sphärischen Oberfläche mit Radius betrachtet R, in dessen Mitte sich eine Ladung befindetQ.

Angesichts dessen, dass d S D/ R 2 gleich elementar körperlich Ecke dw, unter dem ab dem Punkt, an dem die Gebühr erhoben wirdQFlächenelement d sichtbar S, transformieren wir den Ausdruck (1.4) in die Form D FD = Q D w / 4 P, woraus nach Integration über den gesamten die Ladung umgebenden Raum, also innerhalb des Raumwinkels von 0 bis 4P, wir bekommen

FD = Q.

Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist gleich der in dieser Oberfläche eingeschlossenen Ladung.

Wenn eine beliebige geschlossene Oberfläche S deckt keine Punktgebühr ab Q(Abb. 1.4) Nachdem wir dann eine konische Oberfläche mit einem Scheitelpunkt an dem Punkt gebaut haben, an dem sich die Ladung befindet, teilen wir die Oberfläche S in zwei Teile: S 1 und S 2. Vektorfluss D durch die Oberfläche S wir finden als algebraische Summe der Flüsse durch die Flächen S 1 und S 2:

.

Beide Oberflächen ab dem Punkt, an dem sich die Ladung befindet Q aus einem Raumwinkel sichtbar w. Die Ströme sind also gleich

Denn bei der Berechnung des Durchflusses durch eine geschlossene Fläche verwenden wir äußere Normale An der Oberfläche ist leicht zu erkennen, dass der Fluss Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Gesamtdurchfluss Ф D= 0. Das bedeutet das Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form hängt nicht von den Ladungen ab, die sich außerhalb dieser Oberfläche befinden.

Wenn das elektrische Feld durch ein System von Punktladungen erzeugt wird Q 1 , Q 2 ,¼ , q n, die von einer geschlossenen Oberfläche bedeckt ist S, dann wird gemäß dem Prinzip der Überlagerung der Fluss des Induktionsvektors durch diese Oberfläche als die Summe der Flüsse definiert, die von jeder der Ladungen erzeugt werden. Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist gleich der algebraischen Summe der von dieser Oberfläche abgedeckten Ladungen:

Es ist zu beachten, dass Gebühren anfallen Qi müssen nicht unbedingt punktförmig sein, eine notwendige Bedingung ist, dass der geladene Bereich vollständig von der Oberfläche bedeckt sein muss. Wenn in einem Raum, der durch eine geschlossene Fläche begrenzt ist S Verteilt sich die elektrische Ladung kontinuierlich, so ist zu berücksichtigen, dass jedes Elementarvolumen d V hat eine Gebühr. In diesem Fall wird auf der rechten Seite des Ausdrucks (1.5) die algebraische Summation der Ladungen durch die Integration über das in der geschlossenen Oberfläche eingeschlossene Volumen ersetzt S:

(1.6)

Ausdruck (1.6) ist die allgemeinste Formulierung Gaußsche Theoreme: Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist gleich der Gesamtladung in dem von dieser Oberfläche bedeckten Volumen und hängt nicht von den Ladungen ab, die sich außerhalb der betrachteten Oberfläche befinden. Der Satz von Gauß kann auch für den Fluss des elektrischen Feldstärkevektors geschrieben werden:

.

Eine wichtige Eigenschaft des elektrischen Feldes ergibt sich aus dem Gauß-Theorem: Kraftlinien beginnen oder enden nur bei elektrischen Ladungen oder gehen ins Unendliche. Wir betonen noch einmal, dass trotz der Tatsache, dass die elektrische Feldstärke E und elektrische Induktion D Die Flüsse dieser Vektoren durch eine beliebige geschlossene Oberfläche hängen von der Lage aller Ladungen im Raum ab S nur bestimmt jene Ladungen, die sich innerhalb der Oberfläche befinden S.

Differentialform des Gauß-Theorems. Beachten Sie, dass integrale Form Das Gaußsche Theorem charakterisiert die Beziehung zwischen den Quellen des elektrischen Feldes (Ladungen) und den Eigenschaften des elektrischen Feldes (Stärke oder Induktion) im Volumen V willkürlicher, aber für die Bildung integraler Beziehungen ausreichender Wert. Durch Aufteilung des Volumens V für kleine Mengen Vi, wir erhalten den Ausdruck

gilt sowohl allgemein als auch für jedes Semester. Den resultierenden Ausdruck transformieren wir wie folgt:

(1.7)

und betrachten Sie die Grenze, zu der der Ausdruck auf der rechten Seite der in geschweiften Klammern eingeschlossenen Gleichung bei unbegrenzter Volumenteilung tendiert V. In der Mathematik nennt man diesen Grenzwert Abweichungen Vektor (in diesem Fall der Vektor der elektrischen Induktion D):

Vektordivergenz D in kartesischen Koordinaten:

Somit wird Ausdruck (1.7) in die Form umgewandelt:

.

Berücksichtigt man, dass bei unbegrenzter Division die Summe auf der linken Seite des letzten Ausdrucks in ein Volumenintegral übergeht, erhalten wir

Die resultierende Beziehung muss für jedes beliebige Volumen gelten V. Dies ist nur möglich, wenn die Werte der Integranden an jedem Punkt im Raum gleich sind. Daher die Divergenz des Vektors D hängt durch die Gleichung mit der Ladungsdichte am gleichen Punkt zusammen

oder für den elektrostatischen Feldstärkevektor

Diese Gleichungen drücken den Satz von Gauß aus Differentialform.

Beachten Sie, dass beim Übergang zur Differentialform des Gaußschen Theorems eine Beziehung mit allgemeinem Charakter erhalten wird:

.

Der Ausdruck heißt Gauß-Ostrogradsky-Formel und verbindet das Volumenintegral der Divergenz eines Vektors mit dem Fluss dieses Vektors durch eine geschlossene Fläche, die das Volumen begrenzt.

Fragen

1) Was ist die physikalische Bedeutung des Gauß-Theorems für ein elektrostatisches Feld im Vakuum?

2) In der Mitte des Würfels befindet sich eine PunktladungQ. Was ist der Fluss des Vektors? E:

a) durch die gesamte Oberfläche des Würfels; b) durch eine der Seiten des Würfels.

Ändern sich die Antworten, wenn:

a) Die Ladung befindet sich nicht in der Mitte des Würfels, sondern darin ; b) Die Ladung liegt außerhalb des Würfels.

3) Was ist lineare, Oberflächen- und Volumenladungsdichte?

4) Geben Sie die Beziehung zwischen Volumen und Oberflächenladungsdichte an.

5) Kann das Feld außerhalb entgegengesetzt und gleichmäßig geladener paralleler unendlicher Ebenen von Null verschieden sein?

6) Ein elektrischer Dipol wird innerhalb einer geschlossenen Oberfläche platziert. Wie ist die Strömung durch diese Oberfläche?

Die Hauptanwendungsaufgabe der Elektrostatik ist die Berechnung elektrischer Felder, die in verschiedenen Geräten und Geräten erzeugt werden. Im Allgemeinen wird dieses Problem mit dem Coulomb-Gesetz und dem Superpositionsprinzip gelöst. Allerdings wird dieses Problem sehr kompliziert, wenn man eine große Anzahl punktförmiger oder räumlich verteilter Ladungen betrachtet. Noch größere Schwierigkeiten ergeben sich beim Vorhandensein von Dielektrika oder Leitern im Raum, wenn unter Einwirkung eines externen Feldes E 0 eine Umverteilung mikroskopischer Ladungen erfolgt, die ihr eigenes zusätzliches Feld E erzeugen. Daher sind für die praktische Lösung dieser Probleme Hilfsstoffe erforderlich Dabei kommen Methoden und Techniken zum Einsatz, die einen komplexen mathematischen Apparat nutzen. Wir betrachten die einfachste Methode, die auf der Anwendung des Ostrogradsky-Gauss-Theorems basiert. Um diesen Satz zu formulieren, führen wir mehrere neue Konzepte ein:

A) Ladungsdichte

Wenn der geladene Körper groß ist, müssen Sie die Ladungsverteilung innerhalb des Körpers kennen.

Massenladungsdichte- wird anhand der Ladung pro Volumeneinheit gemessen:

Oberflächenladungsdichte- wird anhand der Ladung einer Einheitsoberfläche des Körpers gemessen (wenn die Ladung über die Oberfläche verteilt ist):

Lineare Ladungsdichte(Ladungsverteilung entlang des Leiters):

B) elektrostatischer Induktionsvektor

Vektorelektrostatische Induktion (elektrischer Verschiebungsvektor) ist eine Vektorgröße, die das elektrische Feld charakterisiert.

Vektor ist gleich dem Produkt des Vektors zur absoluten Permittivität des Mediums an einem bestimmten Punkt:

Lassen Sie uns die Dimension überprüfen D im SI-Einheitensystem:

, Weil
,

dann stimmen die Maße D und E nicht überein und auch ihre Zahlenwerte sind unterschiedlich.

Aus der Definition Daraus folgt das für das Vektorfeld Es gilt das gleiche Superpositionsprinzip wie für das Feld :

Feld wird grafisch durch Induktionslinien dargestellt, genau wie das Feld . Induktionslinien werden so gezeichnet, dass die Tangente an jedem Punkt mit der Richtung übereinstimmt , und die Anzahl der Zeilen ist gleich dem numerischen Wert von D an der angegebenen Stelle.

Um die Bedeutung der Einleitung zu verstehen Schauen wir uns ein Beispiel an.

V) elektrostatischer Induktionsvektorfluss

Betrachten Sie eine Oberfläche S in einem elektrischen Feld und wählen Sie die Richtung der Normalen

1. Wenn das Feld gleichmäßig ist, dann ist die Anzahl der Kraftlinien durch die Oberfläche S:

2. Wenn das Feld ungleichmäßig ist, wird die Oberfläche in unendlich kleine Elemente dS unterteilt, die als flach betrachtet werden und in deren Nähe das Feld homogen ist. Daher ist die Strömung durch das Flächenelement: dN = D n dS,

während der Gesamtfluss durch jede Oberfläche ist:

(6)

Der Induktionsfluss N ist ein Skalarwert; je nach  kann es > 0 sein oder< 0, или = 0.