IV. Elektrostatischer Induktionsvektor Induktionsfluss. Fluss des elektrischen Induktionsvektors Gaußsches Theorem für magnetische Induktion

Am schwierigsten ist die Untersuchung elektrischer Phänomene in einem inhomogenen elektrischen Medium. In einem solchen Medium hat ε unterschiedliche Werte und ändert sich abrupt an der Grenze von Dielektrika. Angenommen, wir bestimmen die Feldstärke an der Grenzfläche zwischen zwei Medien: ε 1 =1 (Vakuum oder Luft) und ε 2 =3 (Flüssigkeit - Öl). An der Grenzfläche nimmt beim Übergang vom Vakuum zum Dielektrikum die Feldstärke um den Faktor drei und der Fluss des Stärkevektors um den gleichen Betrag ab (Abb. 12.25, a). Eine abrupte Änderung des Vektors der elektrostatischen Feldstärke an der Grenzfläche zwischen zwei Medien bereitet gewisse Schwierigkeiten bei der Berechnung der Felder. Was das Gaußsche Theorem anbelangt, so verliert es unter diesen Bedingungen vollständig seine Bedeutung.

Da die Polarisierbarkeit und Intensität unterschiedlicher Dielektrika unterschiedlich sind, ist auch die Anzahl der Feldlinien in jedem Dielektrikum unterschiedlich. Diese Schwierigkeit kann beseitigt werden, indem man eine neue physikalische Eigenschaft des Feldes einführt, die elektrische Induktion D (oder den Vektor elektrische Verschiebung ).

Nach der Formel

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d const

Multipliziert man alle Teile dieser Gleichungen mit der elektrischen Konstante ε 0 erhält man

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = const

Führen wir die Notation ε 0 εµ=D ein, dann nimmt die vorletzte Relation die Form an

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Der Vektor D, gleich dem Produkt aus der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum und seiner absoluten Permittivität, wird genanntelektrischer Verschiebungsvektor

(12.45)

Die Einheit der elektrischen Verschiebung ist Anhänger pro Quadratmeter(C/m2).

Die elektrische Verschiebung ist eine vektorielle Größe, sie kann auch ausgedrückt werden als

D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Anders als die Spannung E ist die elektrische Verschiebung D in allen Dielektrika konstant (Abb. 12.25, b). Daher ist es zweckmäßig, das elektrische Feld in einem inhomogenen dielektrischen Medium nicht durch die Intensität E, sondern durch den Verschiebungsvektor D zu charakterisieren. Der Vektor D beschreibt das elektrostatische Feld, das durch freie Ladungen (d. h. im Vakuum) erzeugt wird, jedoch mit ihrer Verteilung im Raum, der sich in Gegenwart eines Dielektrikums befindet, da die in Dielektrika entstehenden gebundenen Ladungen eine Umverteilung freier Ladungen verursachen können, die ein Feld erzeugen .

Vektorfeld wird ebenso wie das Feld durch elektrische Verschiebungslinien grafisch dargestellt dargestellt durch Kraftlinien.

Elektrische Verschiebungsleitung sind Linien, deren Tangenten an jedem Punkt in Richtung mit dem elektrischen Verschiebungsvektor zusammenfallen.

Die Linien des Vektors E können mit beliebigen Ladungen beginnen und enden - frei und gebunden, während die Linien des VektorsD- nur auf kostenlose Gebühren. VektorlinienDim Gegensatz zu Spannungslinien sind kontinuierlich.

Da der elektrische Verschiebungsvektor an der Grenzfläche zwischen zwei Medien keine Diskontinuität erfährt, werden alle Induktionslinien, die von Ladungen stammen, die von einer geschlossenen Oberfläche umgeben sind, ihn durchdringen. Für den elektrischen Verschiebungsvektor behält das Gaußsche Theorem daher seine Bedeutung für ein inhomogenes dielektrisches Medium vollständig bei.

Satz von Gauß für ein elektrostatisches Feld in einem Dielektrikum : Der Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors durch eine beliebige geschlossene Fläche ist gleich der algebraischen Summe der in dieser Fläche eingeschlossenen Ladungen.

(12.47)

Vektorfluss der elektrischen Feldstärke. Lassen Sie einen kleinen Spielplatz DS(Abb. 1.2) kreuzen die Kraftlinien des elektrischen Feldes, deren Richtung mit der Normalen ist N Ecke zu dieser Seite A. Angenommen, der Spannungsvektor E ändert sich nicht innerhalb der Website DS, definieren Spannungsvektorfluss durch die Website DS Wie

DFE =E DS cos A.(1.3)

Denn die Feldliniendichte ist gleich dem Zahlenwert der Spannung E, dann die Anzahl der Kraftlinien, die die Fläche kreuzenDS, ist numerisch gleich dem Wert des StreamsDFEdurch die OberflächeDS. Wir stellen die rechte Seite des Ausdrucks (1.3) als Skalarprodukt von Vektoren dar E UndDS= NDS, Wo Nist der Einheitsnormalenvektor zur OberflächeDS. Für Grundstufe d S Ausdruck (1.3) nimmt die Form an

DFE = E D S

über die Website S der Intensitätsvektorfluss wird als Integral über die Fläche berechnet

Elektrischer Induktionsvektorfluss. Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors wird ähnlich wie der Fluss des elektrischen Feldstärkevektors bestimmt

DFD = D D S

Die Definitionen von Strömungen sind etwas mehrdeutig, da Sie für jede Oberfläche zwei angeben können Normalen in die entgegengesetzte Richtung. Bei einer geschlossenen Fläche wird die nach außen gerichtete Normale als positiv angesehen.

Satz von Gauß. In Betracht ziehen Punkt positiv elektrische Ladung Q, die sich innerhalb einer beliebigen geschlossenen Fläche befinden S(Abb. 1.3). Fluss des Induktionsvektors durch das Flächenelement d S gleich
(1.4)

Komponente d S D = D S cos AOberflächenelement d S in Richtung des InduktionsvektorsDals Element einer sphärischen Oberfläche mit Radius betrachtet R, in deren Mitte sich eine Ladung befindetQ.

Da d S D/ R 2 gleich elementar körperlich Ecke dw, unter denen von dem Punkt, an dem die LadungQFlächenelement d sichtbar S, transformieren wir den Ausdruck (1.4) in die Form D FD = Q D w / 4 P, also nach Integration über den gesamten Raum um die Ladung, also innerhalb des Raumwinkels von 0 bis 4P, wir bekommen

FD = Q.

Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist gleich der in dieser Oberfläche eingeschlossenen Ladung.

Wenn eine beliebige geschlossene Fläche S deckt keine Punktgebühr ab Q(Abb. 1.4), dann teilen wir die Oberfläche, nachdem wir eine konische Oberfläche mit einem Scheitelpunkt an der Stelle gebaut haben, an der sich die Ladung befindet S in zwei Teile: S 1 und S 2. Vektorfluss D durch die Oberfläche S finden wir als algebraische Summe der Flüsse durch die Flächen S 1 und S 2:

.

Beide Oberflächen von der Stelle, an der sich die Ladung befindet Q sichtbar aus einem festen Winkel w. Die Ströme sind also gleich

Denn bei der Berechnung der Strömung durch eine geschlossene Fläche verwenden wir Äußere Normalität an der Oberfläche ist leicht zu erkennen, dass der Fluss Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Gesamtdurchfluss Ô D= 0. Das bedeutet, dass der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form hängt nicht von den Ladungen ab, die sich außerhalb dieser Oberfläche befinden.

Wenn das elektrische Feld durch ein System von Punktladungen erzeugt wird Q 1 , Q 2 ,¼ , q n, die von einer geschlossenen Fläche bedeckt ist S, dann ist gemäß dem Superpositionsprinzip der Fluss des Induktionsvektors durch diese Oberfläche definiert als die Summe der Flüsse, die von jeder der Ladungen erzeugt werden. Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Fläche beliebiger Form ist gleich der algebraischen Summe der von dieser Fläche bedeckten Ladungen:

Es ist zu beachten, dass Gebühren qi nicht notwendigerweise spitz sein müssen, eine notwendige Bedingung ist, dass der aufgeladene Bereich vollständig von der Oberfläche bedeckt sein muss. Wenn in einem Raum, der durch eine geschlossene Fläche begrenzt ist S, verteilt sich die elektrische Ladung kontinuierlich, dann ist zu berücksichtigen, dass jedes Elementarvolumen d v hat eine Gebühr. In diesem Fall wird auf der rechten Seite des Ausdrucks (1.5) die algebraische Summierung der Ladungen durch Integration über das innerhalb der geschlossenen Fläche eingeschlossene Volumen ersetzt S:

(1.6)

Ausdruck (1.6) ist die allgemeinste Formulierung Gaußsche Theoreme: Der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche beliebiger Form ist gleich der Gesamtladung in dem von dieser Oberfläche bedeckten Volumen und hängt nicht von den Ladungen ab, die sich außerhalb der betrachteten Oberfläche befinden. Der Satz von Gauß lässt sich auch für den Fluss des elektrischen Feldstärkevektors schreiben:

.

Eine wichtige Eigenschaft des elektrischen Feldes folgt aus dem Satz von Gauß: Kraftlinien beginnen oder enden nur bei elektrischen Ladungen oder gehen ins Unendliche. Wir betonen noch einmal, dass trotz der Tatsache, dass die elektrische Feldstärke E und elektrische Induktion D hängen von der Lage aller Ladungen im Raum die Flüsse dieser Vektoren durch eine beliebige geschlossene Fläche ab S nur bestimmt jene Ladungen, die sich innerhalb der Oberfläche befinden S.

Differentialform des Satzes von Gauß. Beachten Sie, dass integrale Form Das Gaußsche Theorem charakterisiert die Beziehung zwischen den Quellen des elektrischen Felds (Ladungen) und den Eigenschaften des elektrischen Felds (Stärke oder Induktion) im Volumen v willkürlich, aber ausreichend für die Bildung von integralen Beziehungen, Wert. Durch Teilen des Volumens v für kleine Mengen VI, erhalten wir den Ausdruck

gelten sowohl allgemein als auch für jeden Begriff. Wir transformieren den resultierenden Ausdruck wie folgt:

(1.7)

und betrachten Sie die Grenze, bis zu der der Ausdruck auf der rechten Seite der in geschweiften Klammern eingeschlossenen Gleichheit bei unbegrenzter Volumenteilung strebt v. In der Mathematik heißt diese Grenze Abweichungen Vektor (in diesem Fall der Vektor der elektrischen Induktion D):

Vektordivergenz D in kartesischen Koordinaten:

Somit wird der Ausdruck (1.7) in die Form transformiert:

.

Berücksichtigt man, dass bei unbegrenzter Division die Summe auf der linken Seite des letzten Ausdrucks in ein Volumenintegral geht, erhalten wir

Die resultierende Beziehung muss für jedes willkürlich gewählte Volumen gelten v. Dies ist nur möglich, wenn die Werte der Integranden an jedem Raumpunkt gleich sind. Daher die Divergenz des Vektors D steht über die Gleichheit mit der Ladungsdichte an derselben Stelle in Beziehung

oder für den elektrostatischen Feldstärkevektor

Diese Gleichheiten drücken das Gaußsche Theorem in aus differentielle Form.

Beachten Sie, dass beim Übergang zur Differentialform des Satzes von Gauß eine Beziehung erhalten wird, die einen allgemeinen Charakter hat:

.

Der Ausdruck heißt Gauß-Ostrogradsky-Formel und verbindet das Volumenintegral der Divergenz eines Vektors mit dem Fluss dieses Vektors durch eine geschlossene Fläche, die das Volumen begrenzt.

Fragen

1) Was ist die physikalische Bedeutung des Gauß-Theorems für ein elektrostatisches Feld im Vakuum?

2) In der Mitte des Würfels befindet sich eine PunktladungQ. Was ist der Fluss des Vektors E:

a) durch die gesamte Oberfläche des Würfels; b) durch eine der Seiten des Würfels.

Ändern sich die Antworten, wenn:

a) Die Ladung befindet sich nicht in der Mitte des Würfels, sondern darin ; b) Die Ladung befindet sich außerhalb des Würfels.

3) Was ist lineare, Oberflächen-, Volumenladungsdichte?

4) Geben Sie den Zusammenhang zwischen Volumen und Oberflächenladungsdichte an.

5) Kann das Feld außerhalb entgegengesetzt und gleichförmig geladener paralleler unendlicher Ebenen von Null verschieden sein?

6) Ein elektrischer Dipol wird innerhalb einer geschlossenen Oberfläche platziert. Was ist der Fluss durch diese Oberfläche

Satz von Gauß für elektrische Induktion (elektrische Verschiebung)

Für ein Feld in einem dielektrischen Medium kann der elektrostatische Satz von Gauß (alternativ) auf andere Weise geschrieben werden - durch den Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors (elektrische Induktion). In diesem Fall lautet die Formulierung des Satzes wie folgt: Der Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors durch eine geschlossene Oberfläche ist proportional zur freien elektrischen Ladung innerhalb dieser Oberfläche:

In differentieller Form:

Der Satz von Gauß für die magnetische Induktion

Der Fluss des magnetischen Induktionsvektors durch jede geschlossene Oberfläche ist Null:

oder in differentieller Form

Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass es in der Natur keine „magnetischen Ladungen“ (Monopole) gibt, die ein Magnetfeld erzeugen würden, genauso wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen. Mit anderen Worten, der Satz von Gauß für die magnetische Induktion zeigt, dass das Magnetfeld (vollständig) Wirbel.

Der Satz von Gauß für die Newtonsche Gravitation

Für die Feldstärke der Newtonschen Gravitation (Beschleunigung des freien Falls) stimmt das Gaußsche Theorem praktisch mit dem der Elektrostatik überein, abgesehen von Konstanten (die aber immer noch von einer willkürlichen Wahl des Einheitensystems abhängen) und vor allem dem Vorzeichen :

Wo G- Intensität des Gravitationsfeldes, M- Gravitationsladung (d.h. Masse) innerhalb der Oberfläche S, ρ - Massendichte, G ist die Newtonsche Konstante.

Leiter im elektrischen Feld. Das Feld im Inneren des Leiters und auf seiner Oberfläche.

Leiter sind Körper, durch die elektrische Ladungen von einem geladenen Körper zu einem ungeladenen übergehen können. Die Fähigkeit von Leitern, elektrische Ladungen durch sie zu leiten, wird durch das Vorhandensein freier Ladungsträger in ihnen erklärt. Leiter - Metallkörper in festem und flüssigem Zustand, flüssige Lösungen von Elektrolyten. Die freien Ladungen eines in ein elektrisches Feld eingebrachten Leiters beginnen sich unter dessen Einwirkung zu bewegen. Die Umverteilung von Ladungen bewirkt eine Änderung des elektrischen Feldes. Wenn die elektrische Feldstärke im Leiter Null wird, hören die Elektronen auf, sich zu bewegen. Das Phänomen der Trennung entgegengesetzter Ladungen in einem Leiter, der sich in einem elektrischen Feld befindet, wird als elektrostatische Induktion bezeichnet. Innerhalb des Leiters gibt es kein elektrisches Feld. Dies dient dem elektrostatischen Schutz - Schutz mit metallischen Leitern vor einem elektrischen Feld. Die Oberfläche eines beliebig geformten leitenden Körpers in einem elektrischen Feld ist eine Äquipotentialfläche.

Kondensatoren

Um Geräte zu erhalten, die bei einem kleinen Potential relativ zum Medium Ladungen von merklicher Größe auf sich akkumulieren (kondensieren) würden, nutzen sie die Tatsache, dass die elektrische Kapazität eines Leiters zunimmt, wenn sich andere Körper ihm nähern. Tatsächlich entstehen unter der Einwirkung eines von geladenen Leitern erzeugten Feldes induzierte (auf einem Leiter) oder gebundene (auf einem Dielektrikum) Ladungen auf einem Körper, der ihm zugeführt wird (Abb. 15.5). Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen zur Ladung des Leiters q befinden sich näher am Leiter als gleichnamige mit q und haben daher einen großen Einfluss auf dessen Potential.

Wenn daher ein Körper zu einem geladenen Leiter gebracht wird, nimmt die Feldstärke ab und folglich nimmt das Potential des Leiters ab. Gemäß der Gleichung bedeutet dies eine Erhöhung der Kapazität des Leiters.

Der Kondensator besteht aus zwei Leitern (Platten) (Abb. 15.6), die durch eine dielektrische Schicht getrennt sind. Wenn an einen Leiter eine bestimmte Potentialdifferenz angelegt wird, werden seine Platten mit gleichen Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen aufgeladen. Die elektrische Kapazität eines Kondensators wird als physikalische Größe verstanden, die proportional zur Ladung q und umgekehrt proportional zur Potentialdifferenz zwischen den Platten ist

Lassen Sie uns die Kapazität eines flachen Kondensators bestimmen.

Wenn die Fläche der Platte S ist und die Ladung darauf q ist, dann ist die Feldstärke zwischen den Platten

Andererseits ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten woher

Die Energie eines Systems aus Punktladungen, einem geladenen Leiter und einem Kondensator.

Jedes Ladungssystem hat eine potentielle Wechselwirkungsenergie, die der Arbeit entspricht, die für die Erstellung dieses Systems aufgewendet wird. Energie eines Systems von Punktladungen Q 1 , Q 2 , Q 3 ,… Q N ist wie folgt definiert:

Wo φ 1 - das Potential des elektrischen Feldes, das von allen Ladungen außer erzeugt wird Q 1 an der Stelle, an der sich die Ladung befindet Q 1 usw. Ändert sich die Konfiguration des Ladungssystems, so ändert sich auch die Energie des Systems. Um die Konfiguration des Systems zu ändern, muss Arbeit geleistet werden.

Die potentielle Energie eines Systems von Punktladungen kann auf andere Weise berechnet werden. Potentielle Energie zweier Punktladungen Q 1 , Q 2 im Abstand voneinander gleich ist. Liegen mehrere Ladungen vor, so kann die potentielle Energie dieses Ladungssystems definiert werden als die Summe der potentiellen Energien aller Ladungspaare, die sich für dieses System zusammenstellen lassen. Für ein System aus drei positiven Ladungen ist die Energie des Systems also gleich

Energie eines geladenen Einzelleiters und Kondensators

Wenn ein einzelner Leiter eine Ladung q hat, dann gibt es um ihn herum ein elektrisches Feld, dessen Potential auf der Oberfläche des Leiters ist und dessen Kapazität C ist. Lassen Sie uns die Ladung um dq erhöhen. Beim Übertragen der Ladung dq aus dem Unendlichen arbeiten Sie gleich . Aber das Potential des elektrostatischen Feldes eines gegebenen Leiters im Unendlichen ist gleich Null. Dann

Wenn die Ladung dq vom Leiter ins Unendliche übertragen wird, wird die gleiche Arbeit von den Kräften des elektrostatischen Feldes verrichtet. Folglich steigt mit einer Erhöhung der Ladung des Leiters um dq die potentielle Energie des Feldes, d.h.

Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, finden wir die potentielle Energie des elektrostatischen Feldes eines geladenen Leiters, wenn seine Ladung von Null auf q ansteigt:

Unter Anwendung der Beziehung erhält man für die potentielle Energie W folgende Ausdrücke:

Bei einem aufgeladenen Kondensator hat die Potentialdifferenz (Spannung) also gleich dem Verhältnis zur Gesamtenergie seines elektrostatischen Feldes die Form

Der Zweck der Lektion: Der Ostrogradsky-Gauß-Satz wurde vom russischen Mathematiker und Mechaniker Michail Wassiljewitsch Ostrogradsky in Form eines allgemeinen mathematischen Theorems und vom deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß aufgestellt. Dieses Theorem kann beim Studium der Physik auf Profilebene verwendet werden, da es rationellere Berechnungen elektrischer Felder ermöglicht.

Um den Satz von Ostrogradsky-Gauß abzuleiten, müssen so wichtige Hilfsbegriffe wie der elektrische Induktionsvektor und der Fluss dieses Vektors Ф eingeführt werden.

Es ist bekannt, dass das elektrostatische Feld oft durch Kraftlinien dargestellt wird. Angenommen, wir bestimmen die Spannung an einem Punkt, der auf der Grenzfläche zwischen zwei Medien liegt: Luft (=1) und Wasser (=81). An diesem Punkt, beim Übergang von Luft zu Wasser, ist die elektrische Feldstärke gemäß der Formel wird um das 81-fache sinken. Wenn wir die Leitfähigkeit von Wasser vernachlässigen, nimmt die Anzahl der Kraftlinien um den gleichen Faktor ab. Beim Lösen verschiedener Probleme zum Berechnen von Feldern entstehen gewisse Unannehmlichkeiten aufgrund der Diskontinuität des Kraftvektors an der Grenzfläche zwischen Medien und auf Dielektrika. Um sie zu vermeiden, wird ein neuer Vektor eingeführt, der als elektrischer Induktionsvektor bezeichnet wird:

Der elektrische Induktionsvektor ist gleich dem Produkt aus dem Vektor und der elektrischen Konstante und der Permittivität des Mediums an einem gegebenen Punkt.

Offensichtlich ändert sich beim Durchgang durch die Grenze zweier Dielektrika die Anzahl der elektrischen Induktionslinien für das Feld einer Punktladung nicht (1).

Im SI-System wird der elektrische Induktionsvektor in Coulomb pro Quadratmeter (C / m 2) gemessen. Ausdruck (1) zeigt, dass der Zahlenwert des Vektors nicht von den Eigenschaften des Mediums abhängt. Das Vektorfeld wird ähnlich wie das Spannungsfeld grafisch dargestellt (zB für eine Punktladung, siehe Abb. 1). Für ein Vektorfeld gilt das Prinzip der Überlagerung:

Elektrischer Induktionsfluss

Der elektrische Induktionsvektor charakterisiert das elektrische Feld an jedem Punkt im Raum. Eine weitere Größe kann je nach den Werten des Vektors nicht an einem Punkt, sondern an allen Punkten der durch eine flache geschlossene Kontur begrenzten Oberfläche eingeführt werden.

Betrachten Sie dazu einen flachen geschlossenen Leiter (Stromkreis) mit einer Oberfläche S, der in einem gleichmäßigen elektrischen Feld angeordnet ist. Die Normale zur Leiterebene bildet einen Winkel mit der Richtung des elektrischen Induktionsvektors (Abb. 2).

Der elektrische Induktionsfluss durch die Oberfläche S wird als Wert bezeichnet, der gleich dem Produkt aus dem Modul des Induktionsvektors und der Fläche S und dem Kosinus des Winkels zwischen dem Vektor und der Normalen ist:

Mit diesem Satz können Sie den Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch eine geschlossene Oberfläche finden, in der sich elektrische Ladungen befinden.

Es sei zunächst eine Punktladung q im Zentrum einer Kugel mit beliebigem Radius r 1 platziert (Abb. 3). Dann ; . Lassen Sie uns den gesamten Induktionsfluss berechnen, der durch die gesamte Oberfläche dieser Kugel geht: ; (). Wenn wir eine Kugel vom Radius nehmen, dann ist auch Ä = q. Wenn wir eine Kugel zeichnen, die die Ladung q nicht umschließt, ist der Gesamtfluss Ф \u003d 0 (da jede Linie in die Oberfläche eintritt und sie ein anderes Mal verlässt).

Somit ist Ä = q, wenn sich die Ladung innerhalb der geschlossenen Fläche befindet, und Ä = 0, wenn sich die Ladung außerhalb der geschlossenen Fläche befindet. Der Fluss F hängt nicht von der Form der Oberfläche ab. Sie hängt auch nicht von der Anordnung der Ladungen innerhalb der Oberfläche ab. Das heißt, das erhaltene Ergebnis gilt nicht nur für eine Ladung, sondern für beliebig viele beliebig angeordnete Ladungen, wenn man unter q nur die algebraische Summe aller innerhalb der Oberfläche befindlichen Ladungen versteht.

Satz von Gauß: Der elektrische Induktionsfluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der algebraischen Summe aller Ladungen innerhalb der Oberfläche: .

Aus der Formel ist ersichtlich, dass die Dimension des elektrischen Flusses die gleiche ist wie die der elektrischen Ladung. Daher ist die Einheit des Flusses der elektrischen Induktion das Pendant (C).

Hinweis: Wenn das Feld inhomogen ist und die Oberfläche, durch die der Fluss bestimmt wird, keine Ebene ist, kann diese Oberfläche in infinitesimale Elemente ds unterteilt werden, und jedes Element kann als flach betrachtet werden, und das Feld in der Nähe ist homogen. Daher ist für jedes elektrische Feld der Fluss des elektrischen Induktionsvektors durch das Oberflächenelement: dФ=. Als Ergebnis der Integration ist der Gesamtfluss durch eine geschlossene Oberfläche S in jedem inhomogenen elektrischen Feld gleich: , wobei q die algebraische Summe aller Ladungen ist, die von einer geschlossenen Fläche S umgeben sind. Die letzte Gleichung drücken wir durch die elektrische Feldstärke (für Vakuum) aus: .

Dies ist eine von Maxwells fundamentalen Gleichungen für das elektromagnetische Feld, geschrieben in integraler Form. Es zeigt, dass die Quelle eines zeitlich konstanten elektrischen Feldes bewegungslose elektrische Ladungen sind.

Bestimmen wir nun mit Hilfe des Ostrogradsky-Gauß-Theorems die Feldstärke für eine Reihe von Fällen.

1. Elektrisches Feld einer gleichmäßig geladenen Kugeloberfläche.

Eine Kugel mit Radius R. Die Ladung +q sei gleichmäßig über eine Kugeloberfläche mit Radius R verteilt. Die Ladungsverteilung über die Oberfläche wird durch die Oberflächenladungsdichte charakterisiert (Abb. 4). Die Oberflächenladungsdichte ist das Verhältnis der Ladung zur Fläche, über die sie verteilt ist. . Im SI.

Bestimmen wir die Feldstärke:

a) außerhalb der Kugeloberfläche,
b) innerhalb einer Kugeloberfläche.

a) Nehmen wir den Punkt A, der im Abstand r>R vom Mittelpunkt der geladenen Kugeloberfläche liegt. Lassen Sie uns gedanklich eine sphärische Oberfläche S mit dem Radius r durchziehen, die einen gemeinsamen Mittelpunkt mit einer geladenen sphärischen Oberfläche hat. Aus Symmetrieüberlegungen ist ersichtlich, dass die Kraftlinien radiale Geraden senkrecht zur Fläche S sind und diese Fläche gleichmäßig durchdringen, d.h. die Spannung an allen Punkten dieser Oberfläche ist in ihrer Größe konstant. Wenden wir den Satz von Ostrogradsky-Gauß auf diese sphärische Oberfläche S mit dem Radius r an. Der Gesamtfluss durch die Kugel ist also N = E? S; N=E. Andererseits . Gleich: . Also: für r>R.

Also: Die Spannung, die eine gleichmäßig geladene Kugeloberfläche außerhalb erzeugt, ist die gleiche, als wenn sich die gesamte Ladung in ihrem Zentrum befände (Abb. 5).

b) Finden wir die Feldstärke an den Punkten, die innerhalb der geladenen Kugeloberfläche liegen. Nehmen wir einen Punkt B, der in einiger Entfernung vom Mittelpunkt der Kugel getrennt ist . Dann ist E = 0 für r

2. Feldstärke einer gleichmäßig geladenen unendlichen Ebene

Betrachten Sie das elektrische Feld, das von einer unendlichen Ebene erzeugt wird, die an allen Punkten der Ebene mit einer konstanten Dichte geladen ist. Aus Symmetriegründen können wir davon ausgehen, dass die Spannungslinien senkrecht zur Ebene stehen und von dieser in beide Richtungen gerichtet sind (Abb. 6).

Wir wählen einen rechts von der Ebene liegenden Punkt A und rechnen an diesem Punkt mit dem Satz von Ostrogradsky-Gauß. Als geschlossene Fläche wählen wir eine zylindrische Fläche, so dass die Seitenfläche des Zylinders parallel zu den Kraftlinien und seine Basen und parallel zur Ebene sind und die Basis durch Punkt A verläuft (Abb. 7). Berechnen wir den Spannungsfluss durch die betrachtete Zylinderfläche. Der Durchfluss durch die Seitenfläche ist 0, weil Spannungslinien verlaufen parallel zur Seitenfläche. Dann ist der Gesamtfluss die Summe der Flüsse und fließt durch die Basen des Zylinders und . Beide Flüsse sind positiv =+; =; =; ==; N=2.

- ein Ausschnitt der Ebene, der innerhalb der ausgewählten zylindrischen Fläche liegt. Die Ladung innerhalb dieser Oberfläche ist q.

Dann ; - kann als Punktladung angesehen werden) mit Punkt A. Um das Gesamtfeld zu finden, müssen alle von jedem Element erzeugten Felder geometrisch addiert werden: ; .

Überlegen Sie, wie sich der Wert des Vektors E an der Grenzfläche zwischen zwei Medien ändert, zum Beispiel Luft (ε 1) und Wasser (ε = 81). Die Feldstärke im Wasser nimmt schlagartig um den Faktor 81 ab. Dieses Vektorverhalten E verursacht bestimmte Unannehmlichkeiten beim Berechnen von Feldern in verschiedenen Umgebungen. Um diese Unannehmlichkeit zu vermeiden, wird ein neuer Vektor eingeführt D ist der Induktionsvektor oder die elektrische Verschiebung des Feldes. Kommunikation von Vektoren D Und E hat die Form

D = ε ε 0 E.

Offensichtlich ist für das Feld einer Punktladung die elektrische Verschiebung gleich

Es ist leicht zu erkennen, dass die elektrische Verschiebung in C/m 2 gemessen wird, nicht von Eigenschaften abhängt und grafisch durch Spannungslinien ähnliche Linien dargestellt wird.

Die Richtung der Feldlinien charakterisiert die Richtung des Feldes im Raum (natürlich gibt es keine Kraftlinien, sie werden zur besseren Veranschaulichung eingeführt) oder die Richtung des Feldstärkevektors. Mit Hilfe von Spannungslinien lässt sich nicht nur die Richtung, sondern auch die Größe der Feldstärke charakterisieren. Dazu haben wir uns darauf geeinigt, sie mit einer bestimmten Dichte auszuführen, so dass die Anzahl der Spannungslinien, die eine Einheitsfläche senkrecht zu den Spannungslinien durchdringen, proportional zum Modul des Vektors ist E(Abb. 78). Dann ist die Anzahl der Linien, die die Elementarfläche dS durchdringen, die Normale zu der N bildet mit dem Vektor einen Winkel α E, ist gleich E dScos α = E n dS,

wo E n - Vektorkomponente E in Richtung Normalität N. Der Wert dФ … = E n dS = E D S genannt Spannungsvektorfluss durch das Pad D S(D S= dS N).

Für eine beliebige geschlossene Fläche S der Fluss des Vektors E durch diese Oberfläche ist

Einen ähnlichen Ausdruck hat der Fluss des elektrischen Verschiebungsvektors Ф D

.

Satz von Ostrogradsky-Gauß

Mit diesem Satz können Sie den Fluss der Vektoren E und D aus einer beliebigen Anzahl von Ladungen bestimmen. Nimm eine Punktladung Q und definiere den Fluss des Vektors E durch eine sphärische Oberfläche mit Radius r, in deren Mitte sie sich befindet.

Für eine sphärische Oberfläche ist α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 und

Ä E = E · 4 πr 2 .

Durch Ersetzen des Ausdrucks für E erhalten wir

Somit kommt von jeder Punktladung der Fluss Ф E des Vektors E gleich Q/ ε 0 . Wir verallgemeinern diese Schlussfolgerung auf den allgemeinen Fall einer beliebigen Anzahl von Punktladungen und geben die Formulierung des Theorems an: den Gesamtfluss des Vektors E durch eine geschlossene Fläche beliebiger Form ist numerisch gleich der algebraischen Summe der in dieser Fläche eingeschlossenen elektrischen Ladungen dividiert durch ε 0 , d.h.

Für den elektrischen Verschiebungsvektorfluss D Sie können eine ähnliche Formel erhalten

der Fluss des Induktionsvektors durch eine geschlossene Fläche ist gleich der algebraischen Summe der von dieser Fläche bedeckten elektrischen Ladungen.

Wenn wir eine geschlossene Fläche nehmen, die die Ladung nicht umschließt, dann jede Linie E Und D wird diese Oberfläche zweimal überqueren - am Eingang und am Ausgang, so dass sich herausstellt, dass der Gesamtfluss Null ist. Hier muss die algebraische Summe der Linien ein- und ausgehend berücksichtigt werden.

Anwendung des Satzes von Ostrogradsky-Gauß zur Berechnung elektrischer Felder, die von Ebenen, einer Kugel und einem Zylinder erzeugt werden

Eine sphärische Oberfläche mit dem Radius R trägt eine gleichmäßig über die Oberfläche verteilte Ladung Q mit der Oberflächendichte σ

Nehmen wir einen Punkt A außerhalb der Kugel im Abstand r vom Mittelpunkt und zeichnen wir im Geiste eine Kugel mit Radius r, die symmetrisch zur geladenen ist (Abb. 79). Seine Fläche ist S = 4 πr 2 . Der Fluss des Vektors E wird gleich sein

Nach dem Satz von Ostrogradsky-Gauß
, somit,
unter Berücksichtigung von Q = σ 4 πr 2 erhalten wir

Für Punkte auf der Oberfläche einer Kugel (R = r)

D Für Punkte innerhalb einer Hohlkugel (es gibt keine Ladung innerhalb der Kugel) ist E = 0.

2 . Hohlzylindrische Fläche mit Radius R und Länge l mit einer konstanten Oberflächenladungsdichte geladen
(Abb. 80). Zeichnen wir eine koaxiale Zylinderfläche mit dem Radius r > R.

Vektorfluss E durch diese Oberfläche

Nach dem Satz von Gauß

Durch Gleichsetzen der rechten Teile der gegebenen Gleichungen erhalten wir

.

Wenn die lineare Ladungsdichte eines Zylinders (oder eines dünnen Fadens) gegeben ist
Das

3. Feld unendlicher Ebenen mit der Oberflächenladungsdichte σ (Abb. 81).

Betrachten Sie das Feld, das von einer unendlichen Ebene erzeugt wird. Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass die Intensität an jedem Punkt des Feldes eine Richtung senkrecht zur Ebene hat.

An symmetrischen Punkten hat E den gleichen Betrag und die entgegengesetzte Richtung.

Konstruieren wir gedanklich die Oberfläche eines Zylinders mit der Basis ΔS. Dann tritt durch jede der Basen des Zylinders ein Strom aus

F E = E ∆S, und der Gesamtdurchfluss durch die zylindrische Oberfläche ist gleich F E = 2E ∆S.

Innerhalb der Oberfläche befindet sich eine Ladung Q = σ · ΔS. Nach dem Satz von Gauß gilt

Wo

Das erzielte Ergebnis hängt nicht von der Höhe des ausgewählten Zylinders ab. Somit ist die Feldstärke E in jeder Entfernung gleich groß.

Für zwei entgegengesetzt geladene Ebenen mit gleicher Oberflächenladungsdichte σ ist nach dem Überlagerungsprinzip außerhalb des Ebenenzwischenraums die Feldstärke gleich Null E = 0 und im Ebenenzwischenraum
(Abb. 82a). Beladen sich die Ebenen mit gleichen Ladungen bei gleicher Flächenladungsdichte, so ergibt sich das umgekehrte Bild (Abb. 82b). Im Raum zwischen den Ebenen E = 0 und im Raum außerhalb der Ebenen
.