Chcete-li vyřešit příklady se zlomky, musíte být schopni najít nejmenšího společného jmenovatele. Níže je podrobný návod.

Jak najít nejmenšího společného jmenovatele - koncept

Nejmenší společný jmenovatel (LCD) jednoduchými slovy je minimální číslo, které je v tomto příkladu dělitelné jmenovateli všech zlomků. Jinými slovy, nazývá se nejméně společný násobek (LCM). NOZ se používá pouze v případě, že se jmenovatelé zlomků liší.

Jak najít nejmenšího společného jmenovatele - příklady

Zvažme příklady hledání NOZ.

Vypočítejte: 3/5 + 2/15.

Řešení (Pořadí akcí):

• Podíváme se na jmenovatele zlomků, ujistíme se, že jsou různé a výrazy co nejvíce zredukujeme.
• Najdeme nejmenší číslo, které je dělitelné jak 5, tak 15. Toto číslo bude 15. Tedy 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Zjistili jsme jmenovatele. Co bude v čitateli? Dodatečný násobitel nám to pomůže zjistit. Dalším faktorem je číslo získané vydělením NOZ jmenovatelem konkrétního zlomku. Pro 3/5 je dodatečný faktor 3, protože 15/5 = 3. Pro druhý zlomek je doplňkový faktor 1, protože 15/15 = 1.
• Po zjištění dodatečného faktoru jej vynásobíme čitateli zlomků a výsledné hodnoty sečteme. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odpověď: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Pokud se v příkladu nesčítají nebo odečítají 2, ale 3 nebo více zlomků, pak je třeba hledat v NOZ tolik zlomků, kolik je zadáno.

Vypočítejte: 1/2 - 5/12 + 3/6

Řešení (pořadí akcí):

• Hledání nejmenšího společného jmenovatele. Minimální číslo dělitelné 2, 12 a 6 je 12.
• Dostaneme: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Hledáme další násobitele. Pro 1/2 - 6; pro 5/12 - 1; na 3/6 - 2.
• Vynásobíme čitateli a přiřadíme odpovídající znaménka: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Odpověď: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ale mnoho celá čísla jsou rovnoměrně dělitelné jinými přirozenými čísly.

Například:

Číslo 12 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, kterými je číslo dělitelné (pro 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), se nazývají číselné dělitele. Dělitel přirozeného čísla A je přirozené číslo, které dané číslo dělí A beze stopy. Přirozené číslo, které má více než dva činitele, se nazývá kompozitní .

Všimněte si, že čísla 12 a 36 mají společné dělitele. Jsou to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Největší dělitel těchto čísel je 12. Společný dělitel těchto dvou čísel A a b je číslo, kterým jsou obě daná čísla dělitelná beze zbytku A a b.

společný násobek několik čísel se nazývá číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Například, čísla 9, 18 a 45 mají společný násobek 180. Ale 90 a 360 jsou také jejich společné násobky. Mezi všemi jcommon násobky je vždy ten nejmenší, v tomto případě je to 90. Toto číslo se nazývá nejméněspolečný násobek (LCM).

LCM je vždy přirozené číslo, které musí být větší než největší z čísel, pro které je definováno.

Nejmenší společný násobek (LCM). Vlastnosti.

Komutativnost:

Asociativita:

Konkrétně, pokud a jsou druhá čísla , pak:

Nejmenší společný násobek dvou celých čísel m a n je dělitelem všech ostatních společných násobků m a n. Navíc množina společných násobků m,n se shoduje se sadou násobků pro LCM( m,n).

Asymptotiku for lze vyjádřit pomocí některých číselně-teoretických funkcí.

Tak, Čebyševova funkce. Stejně jako:

Vyplývá to z definice a vlastností Landauovy funkce g(n).

Co vyplývá ze zákona rozdělení prvočísel.

Hledání nejmenšího společného násobku (LCM).

NOC( a, b) lze vypočítat několika způsoby:

1. Pokud je znám největší společný dělitel, můžete použít jeho vztah s LCM:

2. Nechť je znám kanonický rozklad obou čísel na prvočinitele:

kde p 1,...,p k jsou různá prvočísla a d 1,...,dk a e 1 ,...,ek jsou nezáporná celá čísla (mohou být nula, pokud odpovídající prvočíslo není v rozšíření).

Poté LCM ( A,b) se vypočítá podle vzorce:

Jinými slovy, rozšíření LCM obsahuje všechny prvočísla, které jsou zahrnuty alespoň v jednom z rozšíření čísel a, b a vezme se největší ze dvou exponentů tohoto faktoru.

Příklad:

Výpočet nejmenšího společného násobku několika čísel lze zredukovat na několik po sobě jdoucích výpočtů LCM dvou čísel:

Pravidlo. Chcete-li najít LCM řady čísel, potřebujete:

- rozložit čísla na prvočinitele;

- přenést největší rozšíření na činitele požadovaného součinu (součin činitelů největšího počtu z daných), a poté přidat činitele z rozšíření dalších čísel, které se v prvním čísle nevyskytují nebo v něm jsou menší počet opakování;

- výsledným součinem prvočinitelů bude LCM daných čísel.

Libovolná dvě nebo více přirozených čísel mají svůj vlastní LCM. Pokud čísla nejsou navzájem násobky nebo nemají stejné faktory v rozšíření, pak se jejich LCM rovná součinu těchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) byla doplněna součinitelem 3 (číslo 21), výsledný součin (84) bude nejmenší číslo, který je dělitelný 21 a 28 .

Prvočísla největšího čísla 30 byly doplněny o faktor 5 čísla 25, výsledný součin 150 je větší než největší číslo 30 a je dělitelný všemi danými čísly beze zbytku. Toto je nejmenší možný součin (150, 250, 300...), kterého jsou všechna zadaná čísla násobky.

Čísla 2,3,11,37 jsou prvočísla, takže jejich LCM se rovná součinu daných čísel.

pravidlo. Chcete-li vypočítat LCM prvočísel, musíte všechna tato čísla vynásobit dohromady.

Jinou možnost:

K nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel potřebujete:

1) reprezentovat každé číslo jako součin jeho prvočinitelů, například:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapište mocniny všech prvočinitelů:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapište všechny prvočíselné dělitele (násobiče) každého z těchto čísel;

4) zvolte největší stupeň každého z nich, nalezený ve všech rozšířeních těchto čísel;

5) vynásobte tyto síly.

Příklad. Najděte LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Řešení. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme největší mocniny všech prvočíselných dělitelů a vynásobíme je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku pod hlavičkou LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, vztah mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), a Speciální pozornost Pojďme se podívat na příklady. Nejprve si ukažme, jak se počítá LCM dvou čísel z hlediska GCD těchto čísel. Dále zvažte nalezení nejmenšího společného násobku rozdělením čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří a více čísel a také se budeme věnovat výpočtu LCM záporných čísel.

Navigace na stránce.

Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí gcd

Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající vztah mezi LCM a GCD vám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známých největších společný dělitel. Odpovídající vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zvažte příklady nalezení LCM podle výše uvedeného vzorce.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70 .

Řešení.

V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme vztah mezi LCM a GCD vyjádřený vzorcem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme vypočítat LCM těchto čísel podle napsaného vzorce.

Najděte gcd(126, 70) pomocí Euklidova algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14, 56=14 4 , tedy gcd(126, 70)=14 .

Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Odpovědět:

LCM(126,70)=630.

Příklad.

Co je LCM(68, 34)?

Řešení.

Protože 68 je rovnoměrně dělitelné 34 , pak gcd(68, 34)=34 . Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

Odpovědět:

LCM(68,34)=68.

Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla aab: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a .

Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele

Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud uděláme součin všech prvočinitelů těchto čísel, načež z tohoto součinu vyloučíme všechny společné prvočinitele, které jsou přítomny v rozšířeních těchto čísel, pak se výsledný součin bude rovnat nejmenšímu společnému násobku těchto čísel.

Vyhlášené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. Gcd(a, b) se zase rovná součinu všech prvočinitelů, které jsou současně přítomny v expanzích čísel a a b (což je popsáno v části o nalezení gcd pomocí rozkladu čísel na prvočinitele ).

Vezměme si příklad. Víme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Sestavte součin všech faktorů těchto rozšíření: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory, které jsou přítomny jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (takovými faktory jsou 3 a 5), ​​pak bude mít součin tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Příklad.

Po rozkladu čísel 441 a 700 na prvočinitele najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Řešení.

Pojďme si čísla 441 a 700 rozložit na prvočinitele:

Dostaneme 441=3 3 7 7 a 700=2 2 5 5 7 .

Nyní udělejme součin všech faktorů podílejících se na rozšířeních těchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vynechme z tohoto produktu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (takový faktor je pouze jeden - je to číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Takto, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpovědět:

LCM(441, 700) = 44100.

Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Přičteme-li chybějící činitele z rozvoje čísla b k činitelům z rozvoje čísla a, bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.

Vezměme například všechna stejná čísla 75 a 210, jejich expanze na prvočinitele jsou následující: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorům 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 přičteme chybějící faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme součin 2 3 5 5 7, jehož hodnota je LCM(75 , 210).

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.

Řešení.

Nejprve získáme rozklad čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K činitelům 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 přičteme chybějící činitele 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme součin 2 2 2 3 3 3 3 7 , což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek čísel 84 a 648 je tedy 4 536.

Odpovědět:

LCM(84,648)=4536.

Nalezení LCM tří nebo více čísel

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Vybavte si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.

Teorém.

Nechť jsou dána celá čísla kladná čísla a 1 , a 2 , …, a k , nejmenší společný násobek m k těchto čísel zjistíme sekvenčním výpočtem m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (mk-1, ak) .

Zvažte aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.

Příklad.

Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.

Řešení.

V tomto příkladu a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Nejprve najdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tedy gcd( 140, 9)=1, odkud LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2=1260.

Nyní najdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Spočítejme to pomocí gcd(1 260, 54) , které je také určeno Euklidovým algoritmem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1 260, 54) = 18, odkud LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zbývá najít m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3 780, 250) pomocí Euklidova algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Proto gcd(3 780, 250)=10 , odkud gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.

Odpovědět:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnoha případech lze nejmenší společný násobek tří nebo více čísel pohodlně nalézt pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě je třeba dodržet následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k získaným faktorům a tak dále.

Zvažte příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí rozkladu čísel na prvočinitele.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Řešení.

Nejprve získáme rozšíření těchto čísel na prvočinitele: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočinitelů) a 143=11 13 .

Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6 . Rozšíření čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozšíření prvního čísla 84 . Dále k faktorům 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48 , dostaneme množinu faktorů 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V dalším kroku není nutné do této sady přidávat faktory, protože 7 je v ní již obsaženo. Nakonec k faktorům 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143 . Dostaneme součin 2 2 2 2 3 7 11 13 , který se rovná 48 048 .

Největší společný dělitel

Definice 2

Pokud je přirozené číslo a dělitelné přirozeným číslem $b$, pak $b$ se nazývá dělitel $a$ a číslo $a$ se nazývá násobek $b$.

Nechť $a$ a $b$ jsou přirozená čísla. Číslo $c$ se nazývá společný dělitel pro $a$ i $b$.

Množina společných dělitelů čísel $a$ a $b$ je konečná, protože žádný z těchto dělitelů nemůže být větší než $a$. To znamená, že mezi těmito děliteli je ten největší, který se nazývá největší společný dělitel čísel $a$ a $b$ a k jeho označení se používá zápis:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​nebo \ D \ (a;b)$

Chcete-li najít největšího společného dělitele dvou čísel:

1. Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným největším společným dělitelem.

Příklad 1

Najděte gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, která jsou součástí rozšíření těchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným největším společným dělitelem.

$gcd=2\cdot 11=22$

Příklad 2

Najděte GCD monomiálů $ 63 $ a $ 81 $.

Najdeme podle předloženého algoritmu. Pro tohle:

Pojďme si čísla rozložit na prvočinitele

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vybíráme čísla, která jsou zahrnuta v rozšíření těchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pojďme najít součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný největší společný dělitel.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvou čísel můžete najít jiným způsobem, pomocí množiny dělitelů čísel.

Příklad 3

Najděte gcd čísel $48$ a $60$.

Řešení:

Najděte množinu dělitelů $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Nyní najdeme sadu dělitelů $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Najdeme průnik těchto množin: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tato množina určí množinu společných dělitelů čísel $48$ a $60 $. Největší prvek v této sadě bude číslo $12$. Takže největší společný dělitel 48 $ a 60 $ je 12 $.

Definice NOC

Definice 3

společný násobek přirozených čísel$a$ a $b$ je přirozené číslo, které je násobkem $a$ a $b$.

Společné násobky čísel jsou čísla, která jsou beze zbytku dělitelná originálem. Například pro čísla $25$ a $50$ budou společnými násobky čísla $50,100,150,200 $ atd.

Nejmenší společný násobek se bude nazývat nejmenší společný násobek a bude označen LCM$(a;b)$ nebo K$(a;b).$

Chcete-li najít LCM dvou čísel, potřebujete:

1. Rozložte čísla na prvočinitele
2. Vypište faktory, které jsou součástí prvního čísla, a přidejte k nim faktory, které jsou součástí druhého čísla a nejděte k prvnímu

Příklad 4

Najděte LCM čísel $ 99 $ a $ 77 $.

Najdeme podle předloženého algoritmu. Pro tohle

Rozložte čísla na prvočinitele

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapište faktory zahrnuté v prvním

přidejte k nim faktory, které jsou součástí druhého a nejdou do prvního

Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný nejmenší společný násobek

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sestavování seznamů dělitelů čísel je často velmi zdlouhavé. Existuje způsob, jak najít GCD zvaný Euklidův algoritmus.

Prohlášení, na kterých je založen Euklidův algoritmus:

Pokud $a$ a $b$ jsou přirozená čísla a $a\vtečky b$, pak $D(a;b)=b$

Jestliže $a$ a $b$ jsou přirozená čísla taková, že $b

Pomocí $D(a;b)= D(a-b;b)$ můžeme postupně zmenšovat uvažovaná čísla, dokud nedosáhneme dvojice čísel tak, že jedno z nich je dělitelné druhým. Potom menší z těchto čísel bude požadovaným největším společným dělitelem pro čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

1. Jakýkoli společný násobek $a$ a $b$ je dělitelný K$(a;b)$
2. Pokud $a\vdots b$ , pak K$(a;b)=a$

Pokud K$(a;b)=k$ a $m$-přirozené číslo, pak K$(am;bm)=km$

Jestliže $d$ je společný dělitel pro $a$ a $b$, pak K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jestliže $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , pak $\frac(ab)(c)$ je společný násobek $a$ a $b$

Pro všechna přirozená čísla $a$ a $b$ je rovnost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Jakýkoli společný dělitel $a$ a $b$ je dělitel $D(a;b)$

Zvažte tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.

Zjištění faktoringem

Prvním způsobem je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.

Předpokládejme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložíme každé z těchto čísel na prvočinitele:

Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočinitele těchto čísel na nejvyšší vyskytující se mocninu a vynásobit je dohromady:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žádné jiné číslo menší než 13 860 není rovnoměrně dělitelné 99, 30 nebo 28.

Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, musíte je rozdělit na prvočinitele, pak vzít každý prvočinitel s největším exponentem, se kterým se vyskytuje, a tyto faktory vynásobit dohromady.

Protože prvočísla nemají žádné společné prvočinitele, jejich nejmenší společný násobek se rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou koprimá. Proto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

Totéž by mělo být provedeno při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hledání výběrem

Druhým způsobem je najít nejmenší společný násobek proložením.

Příklad 1. Když je největší z daných čísel rovnoměrně dělitelné jinými danými čísly, pak se LCM těchto čísel rovná většímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:

1. Určete největší číslo z uvedených čísel.
2. Dále najdeme čísla, která jsou násobky největšího čísla, vynásobíme je přirozenými čísly ve vzestupném pořadí a zkontrolujeme, zda jsou zbývající daná čísla dělitelná výsledným součinem.

Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určete největší z nich – toto je číslo 24. Dále najděte násobky 24 a zkontrolujte, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:

24 1 = 24 je dělitelné 3, ale není dělitelné 18.

24 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.

24 3 \u003d 72 - dělitelné 3 a 18.

Takže LCM(24; 3; 18) = 72.

Hledání sekvenčním hledáním LCM

Třetím způsobem je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.

LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.

Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:

Produkt rozdělujeme na jejich GCD:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:

1. Nejprve se najde LCM libovolných dvou z daných čísel.
2. Potom LCM nalezeného nejmenšího společného násobku a třetího dané číslo.
3. Potom LCM výsledného nejmenšího společného násobku a čtvrtého čísla a tak dále.
4. Hledání LCM tedy pokračuje, dokud existují čísla.

Příklad 2. Nalezneme LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek 24 a třetí dané číslo - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: gcd (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:

Produkt rozdělujeme na jejich GCD:

Takže LCM(12; 8; 9) = 72.