เครื่องคิดเลขออนไลน์ การลดความซับซ้อนของพหุนาม การคูณพหุนาม พหุนาม รูปแบบมาตรฐาน ดีกรีและสัมประสิทธิ์ของพจน์

ในบรรดานิพจน์ต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของโมโนเมียลนั้นมีความสำคัญ นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

ผลรวมของโมโนเมียลเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าสมาชิกของพหุนาม คำนามเรียกอีกอย่างว่าพหุนาม โดยพิจารณาจากพหุนามเป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

เราแสดงเงื่อนไขทั้งหมดเป็น monomial ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

เราให้คำที่คล้ายกันในผลลัพธ์พหุนาม:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลที่ได้คือพหุนามซึ่งสมาชิกทั้งหมดเป็นโมโนเมียลของรูปแบบมาตรฐานและในหมู่พวกเขาไม่มีรูปแบบที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

ต่อ พหุนามดีกรีรูปแบบมาตรฐานใช้อำนาจที่ใหญ่ที่สุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b \) มีดีกรีที่สาม และไตรนาม \(2b^2 -7b + 6 \) มีดีกรีที่สอง

โดยปกติ เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามลำดับจากมากไปหาน้อยของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) เป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งสมาชิกของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่ม โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากวงเล็บอยู่ตรงข้ามวงเล็บ จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากเครื่องหมาย + อยู่หน้าวงเล็บ เงื่อนไขที่อยู่ในวงเล็บจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากวางเครื่องหมาย "-" ไว้หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายตรงข้ามกัน

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของโมโนเมียลและพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ เราสามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และพจน์แต่ละพจน์ของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดขึ้นตามกฎ

ในการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม เราต้องคูณโมโนเมียลนี้ด้วยพจน์แต่ละพจน์ของพหุนาม

เราใช้กฎนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกในการคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองพหุนามจะเท่ากันกับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่งเหมือนกัน

มักจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของอีกพจน์หนึ่ง แล้วบวกผลคูณที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ. ผลรวม ส่วนต่าง และส่วนต่างกำลังสอง

ด้วยการแสดงออกบางอย่างใน การแปลงพีชคณิตต้องรับมือกับคนอื่นมากกว่า บางทีนิพจน์ที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) นั่นคือกำลังสองของผลรวม กำลังสองของส่วนต่าง และส่วนต่างกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์ที่ระบุดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น \((a + b)^2 \) แน่นอน ไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ ก และ ข. อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองของผลรวมของ a และ b นั้นไม่ธรรมดา ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b มันมีนิพจน์ต่างๆ มากมาย บางครั้งค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) นั้นง่ายต่อการแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานที่จริงแล้วคุณได้พบกับงานดังกล่าวแล้วเมื่อคูณพหุนาม :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

ข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์มีประโยชน์ในการจดจำและนำไปใช้โดยไม่ต้องมีการคำนวณขั้นกลาง สูตรทางวาจาสั้นช่วยสิ่งนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวมเท่ากับผลรวมของกำลังสองและผลคูณสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างคือผลรวมของกำลังสองโดยไม่เพิ่มผลคูณ

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ช่วยให้ในการแปลงร่างสามารถแทนที่ส่วนด้านซ้ายด้วยส่วนที่ถูกต้อง และในทางกลับกัน - ส่วนด้านขวาเป็นส่วนด้านซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดในกรณีนี้คือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยอะไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

ในบทนี้ เราจะจำคำจำกัดความหลักของหัวข้อนี้และพิจารณางานทั่วไปบางอย่าง กล่าวคือ การนำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าตัวเลขสำหรับค่าตัวแปรที่กำหนด เราจะแก้ตัวอย่างต่างๆ ที่จะนำการลดรูปแบบมาตรฐานไปใช้ในการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ

หัวข้อ:พหุนาม การดำเนินการเลขคณิตบน monomials

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

จำคำจำกัดความพื้นฐาน: พหุนามเป็นผลรวมของโมโนเมียล โมโนเมียลแต่ละตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามตามคำศัพท์เรียกว่าสมาชิก ตัวอย่างเช่น:

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงตามมาจากที่นี่ - คุณต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จำไว้ว่าสำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - หาค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขแล้วคูณกำลังที่เกี่ยวข้อง - ได้ส่วนของตัวอักษร นอกจากนี้ มาดูทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อคูณกำลัง เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้น

พิจารณาการดำเนินการที่สำคัญ - นำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

ความคิดเห็น: เพื่อนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน คุณต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดที่เป็นส่วนหนึ่งของมันมาสู่รูปแบบมาตรฐาน หลังจากนั้น หากมีโมโนเมียลที่คล้ายกัน - และนี่คือโมโนเมียลที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ดำเนินการ กับพวกเขา.

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาปัญหาทั่วไปประการแรก นั่นคือ การนำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

งานทั่วไปต่อไปคือการคำนวณค่าเฉพาะของพหุนามสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ลองพิจารณาตัวอย่างก่อนหน้านี้และตั้งค่าตัวแปร:

ความคิดเห็น : จำได้ว่าหน่วยในใด ๆ องศาธรรมชาติเท่ากับหนึ่ง และศูนย์ของกำลังธรรมชาติใดๆ เท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ เราจำได้ว่าเมื่อคูณจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์

พิจารณาตัวอย่างจำนวนหนึ่งของการดำเนินการทั่วไปของการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าของมัน:

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

ความคิดเห็น: การกระทำแรก - เรานำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำอันที่หนึ่ง, ที่สองและที่หก; การกระทำที่สอง - เราให้สมาชิกที่คล้ายกันนั่นคือเราดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดกับพวกเขา: เราเพิ่มอันที่หนึ่งถึงห้า, ที่สองถึงสาม, เราเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 ให้ค่าของตัวแปร:

ข้อคิดเห็น: เมื่อคำนวณ ควรจำไว้ว่าหน่วยในระดับธรรมชาติใด ๆ เป็นหน่วย หากคำนวณกำลังสองได้ยาก คุณสามารถใช้ตารางกำลัง

ตัวอย่างที่ 3 - แทนที่จะใส่เครื่องหมายดอกจัน ให้ใส่โมโนเมียลดังกล่าวเพื่อให้ผลลัพธ์ไม่มีตัวแปร:

ความคิดเห็น: โดยไม่คำนึงถึงงาน การกระทำแรกจะเหมือนกันเสมอ - เพื่อนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้ลดเหลือเพียงการคัดเลือกสมาชิก หลังจากนั้นคุณควรอ่านเงื่อนไขนี้อย่างละเอียดอีกครั้งและคิดว่าเราจะกำจัดโมโนเมียลได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่มโมโนเมียลเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม - จากนั้นเราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยโมโนเมียลนี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าการตัดสินใจของเราถูกต้อง

หลังจากศึกษาโมโนเมียลแล้ว เราเปลี่ยนเป็นพหุนาม บทความนี้จะบอกคุณเกี่ยวกับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการดำเนินการกับข้อมูลเหล่านั้น เราจะกำหนดพหุนามพร้อมคำจำกัดความประกอบของคำศัพท์พหุนาม นั่นคือ การพิจารณาพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เป็นอิสระและคล้ายคลึงกัน แนะนำระดับและเรียนรู้วิธีหามัน ทำงานกับสัมประสิทธิ์ของมัน

Yandex.RTB R-A-339285-1

พหุนามและสมาชิก - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำเป็นต้องมีคำจำกัดความของพหุนามใน 7 ชั้นเรียนหลังจากเรียนโมโนเมียม มาดูคำจำกัดความแบบเต็มกัน

คำจำกัดความ 1

พหุนามพิจารณาผลรวมของโมโนเมียล และโมโนเมียลนั้นเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม

จากคำจำกัดความที่ว่าตัวอย่างพหุนามสามารถแตกต่างกันได้: 5 , 0 , − 1 , x, 5ab3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z เป็นต้น จากคำจำกัดความที่เรามีว่า 1+x, a 2 + b 2 และนิพจน์ x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x เป็นพหุนาม

มาดูคำจำกัดความเพิ่มเติมกัน

คำจำกัดความ 2

สมาชิกของพหุนามโมโนเมียมที่เป็นส่วนประกอบเรียกว่า

ลองพิจารณาตัวอย่างนี้ โดยที่เรามีพหุนาม 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก 4 ตัว: 3 x 4 , − 2 x y , 3 และ − y 3. โมโนเมียลดังกล่าวถือได้ว่าเป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยหนึ่งเทอม

คำจำกัดความ 3

พหุนามที่มี 2, 3 trinomials ในองค์ประกอบของพวกเขามีชื่อที่สอดคล้องกัน - ทวินามและ ไตรนาม.

จากนี้ไปการแสดงออกของรูปแบบ x+y– เป็นทวินาม และนิพจน์ 2 x 3 q − q x x + 7 b เป็นไตรนาม

ตามหลักสูตรของโรงเรียน พวกเขาทำงานกับทวินามเชิงเส้นของรูปแบบ a x + b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว และ x เป็นตัวแปร ลองพิจารณาตัวอย่างทวินามเชิงเส้นของรูปแบบ: x ​​+ 1 , x · 7 , 2 − 4 พร้อมตัวอย่างไตรโนเมียลกำลังสอง x 2 + 3 · x − 5 และ 2 5 · x 2 - 3 x + 11

สำหรับการเปลี่ยนแปลงและการแก้ปัญหา จำเป็นต้องค้นหาและนำคำที่คล้ายคลึงกันมาใช้ ตัวอย่างเช่น พหุนามของรูปแบบ 1 + 5 x − 3 + y + 2 x มีพจน์ที่คล้ายคลึงกัน 1 และ - 3, 5 x และ 2 x พวกมันถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มพิเศษที่เรียกว่าสมาชิกพหุนามที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 4

สมาชิกที่คล้ายกันของพหุนามเป็นเหมือนพจน์ในพหุนาม

ในตัวอย่างข้างต้น เรามี 1 และ - 3 , 5 x และ 2 x เป็นพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามหรือพจน์ที่คล้ายกัน เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ ให้ค้นหาและลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

พหุนามรูปแบบมาตรฐาน

โมโนเมียลและพหุนามทั้งหมดมีชื่อเฉพาะของตนเอง

คำจำกัดความ 5

พหุนามรูปแบบมาตรฐานพหุนามเรียกว่าซึ่งสมาชิกแต่ละคนมีโมโนเมียลของรูปแบบมาตรฐานและไม่มีสมาชิกที่คล้ายกัน

จะเห็นได้จากคำจำกัดความว่าสามารถลดพหุนามของรูปแบบมาตรฐานได้ เช่น 3 x 2 − x y + 1 และ __formula__ และบันทึกอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นิพจน์ 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z และ 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z ไม่ใช่พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากนิพจน์แรกมีพจน์คล้ายกันในรูปแบบ 3 x 2 และ − x2และอันที่สองมีโมโนเมียลของรูปแบบ x · y 3 · x · z 2 ซึ่งแตกต่างจากพหุนามมาตรฐาน

หากสถานการณ์จำเป็น บางครั้งพหุนามก็ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แนวคิดของพจน์อิสระของพหุนามก็ถือเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานด้วย

คำจำกัดความ 6

สมาชิกอิสระของพหุนามเป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่ไม่มีส่วนของตัวอักษร

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อสัญกรณ์ของพหุนามในรูปแบบมาตรฐานมีตัวเลข จะเรียกว่าสมาชิกอิสระ จากนั้นหมายเลข 5 เป็นสมาชิกอิสระของพหุนาม x 2 · z + 5 และพหุนาม 7 · a + 4 · a · b + b 3 ไม่มีสมาชิกฟรี

ดีกรีของพหุนาม - จะหาได้อย่างไร?

คำจำกัดความของดีกรีของพหุนามขึ้นอยู่กับนิยามของพหุนามรูปแบบมาตรฐานและองศาของโมโนเมียลที่เป็นส่วนประกอบ

คำจำกัดความ 7

ดีกรีของพหุนามรูปแบบมาตรฐานระบุชื่ออำนาจที่ใหญ่ที่สุดที่รวมอยู่ในสัญกรณ์

มาดูตัวอย่างกัน ดีกรีของพหุนาม 5 x 3 − 4 เท่ากับ 3 เนื่องจากโมโนเมียลที่รวมอยู่ในองค์ประกอบของมันมีองศา 3 และ 0 และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 ตามลำดับ นิยามของดีกรีจากพหุนาม 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x เท่ากับจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนนั้น นั่นคือ 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 และ 1 ดังนั้น 5

มีความจำเป็นต้องค้นหาวิธีการค้นพบระดับของตัวเอง

คำจำกัดความ 8

ดีกรีของพหุนามของจำนวนโดยพลการคือดีกรีของพหุนามที่สอดคล้องกันในรูปแบบมาตรฐาน

เมื่อพหุนามไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน แต่คุณจำเป็นต้องค้นหาดีกรีของมัน คุณต้องลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แล้วจึงหาดีกรีที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

หาดีกรีของพหุนาม 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

วิธีการแก้

อันดับแรก เรานำเสนอพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน เราได้รับนิพจน์เช่น:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

เมื่อได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เราพบว่าทั้งสองมีความแตกต่างกันอย่างชัดเจน - 2 · a 2 · b 2 · c 2 และ y 2 · z 2 . ในการหาองศา เราคำนวณแล้วได้ 2 + 2 + 2 = 6 และ 2 + 2 = 4 . จะเห็นได้ว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดมีค่าเท่ากับ 6 จากคำจำกัดความที่ว่า 6 คือดีกรีของพหุนาม − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 ดังนั้น ค่าดั้งเดิม

ตอบ: 6 .

สัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของพหุนาม

เมื่อพจน์ทั้งหมดของพหุนามเป็นโมโนเมียลของรูปแบบมาตรฐาน ในกรณีนี้จะมีชื่อ สัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของพหุนามกล่าวอีกนัยหนึ่งเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม

เมื่อพิจารณาจากตัวอย่าง จะเห็นได้ว่าพหุนามของรูปแบบ 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 มีพหุนาม 4 ตัวในองค์ประกอบ: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x และ 7 ตามลำดับ สัมประสิทธิ์ 2 , − 0 , 5 , 3 และ 7 ดังนั้น 2 , − 0 , 5 , 3 และ 7 ถือเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ของพหุนามที่กำหนดในรูปแบบ 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 เมื่อทำการแปลง สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปร

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

พหุนามเป็นผลรวมของโมโนเมียล หากเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามเขียนในรูปแบบมาตรฐาน (ดูข้อ 51) และดำเนินการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน จะได้รับพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

นิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานได้ - นี่คือจุดประสงค์ของการแปลง (การทำให้ง่ายขึ้น) ของนิพจน์จำนวนเต็ม

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องลดนิพจน์ทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

วิธีการแก้. อันดับแรก เรานำเงื่อนไขของพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน เราได้รับ หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราได้รับพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

วิธีการแก้. หากมีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บ สามารถละเว้นวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของข้อกำหนดทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บ การใช้กฎนี้ในการเปิดวงเล็บ เราได้รับ:

วิธีการแก้. หากมีเครื่องหมาย "ลบ" อยู่ด้านหน้าวงเล็บ วงเล็บสามารถละเว้นได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บ เมื่อใช้กฎการหลีกเลี่ยงวงเล็บนี้ เราจะได้:

วิธีการแก้. ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามตามกฎหมายการจำหน่าย เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของโมโนเมียลนี้และสมาชิกของพหุนามแต่ละตัว เราได้รับ

วิธีการแก้. เรามี

วิธีการแก้. เรามี

มันยังคงให้คำที่คล้ายกัน (มีการขีดเส้นใต้) เราได้รับ:

53. สูตรคูณแบบย่อ.

ในบางกรณี การลดนิพจน์ทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของพหุนามจะดำเนินการโดยใช้ข้อมูลเฉพาะตัว:

อัตลักษณ์เหล่านี้เรียกว่าสูตรคูณแบบย่อ

ลองพิจารณาตัวอย่างที่จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ที่กำหนดให้เป็น myogles ในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 1. .

วิธีการแก้. โดยใช้สูตร (1) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 2 .

วิธีการแก้.

ตัวอย่างที่ 3 .

วิธีการแก้. โดยใช้สูตร (3) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 4

วิธีการแก้. โดยใช้สูตร (4) เราได้รับ:

54. การแยกตัวประกอบของพหุนาม.

บางครั้งคุณสามารถแปลงพหุนามเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ - พหุนามหรือคำย่อย การแปลงเอกลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าการแยกตัวประกอบของพหุนาม ในกรณีนี้ พหุนามสามารถหารด้วยปัจจัยเหล่านี้แต่ละตัวลงตัว

ลองพิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม

1) นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นผลโดยตรงของกฎการกระจาย (เพื่อความชัดเจน จำเป็นต้องเขียนกฎหมายนี้ใหม่ "จากขวาไปซ้าย"):

ตัวอย่างที่ 1. การแยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีการแก้. .

โดยปกติ เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ตัวแปรแต่ละตัวที่รวมอยู่ในสมาชิกทั้งหมดของพหุนามจะถูกเอาออกด้วยเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดที่มีอยู่ในพหุนามนี้ หากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นจำนวนเต็ม โมดูโลที่ใหญ่ที่สุดจะถูกนำมาเป็นสัมประสิทธิ์ของปัจจัยร่วม ตัวหารร่วมสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม

2) การใช้สูตรคูณแบบย่อ สูตร (1) - (7) จากย่อหน้าที่ 53 อ่านว่า "จากขวาไปซ้าย ในหลายกรณีกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์สำหรับพหุนามแฟคตอริ่ง

ตัวอย่างที่ 2. แยกตัวประกอบ

วิธีการแก้. เรามี . ใช้สูตร (1) (ความแตกต่างของกำลังสอง) เราได้รับ . การสมัคร

ตอนนี้สูตร (4) และ (5) (ผลรวมของลูกบาศก์ ผลต่างของลูกบาศก์) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 3 .

วิธีการแก้. ลองเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บก่อน ในการทำเช่นนี้ เราจะหาตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์ 4, 16, 16 และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดที่ตัวแปร a และ b รวมอยู่ในโมโนเมียลที่ประกอบเป็นพหุนามนี้ เราได้รับ:

3) วิธีการจัดกลุ่ม มันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่ากฎการสลับและการเชื่อมโยงของการบวกอนุญาตให้คุณจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนาม วิธีทางที่แตกต่าง. บางครั้งการจัดกลุ่มดังกล่าวอาจเป็นไปได้ว่าหลังจากถ่ายคร่อมปัจจัยร่วมในแต่ละกลุ่มแล้ว พหุนามหนึ่งและพหุนามเดียวกันจะยังคงอยู่ในวงเล็บ ซึ่งสามารถวงเล็บเป็นปัจจัยร่วมได้ ลองพิจารณาตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 4. .

วิธีการแก้. มาจัดกลุ่มกันตามนี้

ในกลุ่มแรก เรานำตัวประกอบร่วมในกลุ่มที่สองออกมา - ตัวประกอบร่วม 5 เราจะได้พหุนามที่เป็นปัจจัยร่วมที่เรานำออกจากวงเล็บ: ดังนั้นเราจึงได้:

ตัวอย่างที่ 5

วิธีการแก้. .

ตัวอย่างที่ 6

วิธีการแก้. ในที่นี้ จะไม่มีการจัดกลุ่มใดทำให้เกิดพหุนามเดียวกันในทุกกลุ่ม ในกรณีเช่นนี้ บางครั้งอาจเป็นประโยชน์ในการแสดงพจน์ใดๆ ของพหุนามเป็นผลรวม แล้วลองใช้วิธีการจัดกลุ่มอีกครั้ง ในตัวอย่างของเรา ขอแนะนำให้แสดงเป็นผลรวมที่เราได้รับ

ตัวอย่าง 7

วิธีการแก้. เราบวกและลบโมโนเมียลเราจะได้

55. พหุนามในตัวแปรเดียว

พหุนามโดยที่ a, b เป็นตัวเลขผันแปรเรียกว่าพหุนามของดีกรีแรก พหุนามโดยที่ a, b, c เป็นตัวเลขผันแปร เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สองหรือพหุนามกำลังสอง พหุนามโดยที่ a, b, c, d เป็นตัวเลข ตัวแปรเรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สาม

โดยทั่วไป ถ้า o เป็นตัวแปร แสดงว่าเป็นพหุนาม

เรียกว่าระดับ lshomogeneal (เทียบกับ x); , m-terms ของพหุนาม, สัมประสิทธิ์, เทอมนำหน้าของพหุนาม, และเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์นำ, เทอมอิสระของพหุนาม โดยปกติ พหุนามจะเขียนด้วยกำลังกำลังลดลงของตัวแปร กล่าวคือ องศาของตัวแปรค่อยๆ ลดลง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เทอมอาวุโสอยู่ในตำแหน่งแรก และเทอมอิสระจะอยู่ท้ายสุด ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์นำ

ตัวอย่างเช่น พหุนามดีกรีห้าดีกรีโดยที่เทอมนำหน้าคือ 1 เป็นเทอมอิสระของพหุนาม

รากของพหุนามคือค่าที่พหุนามหายไป ตัวอย่างเช่น เลข 2 เป็นรากของพหุนามเพราะ

ตามคำจำกัดความ พหุนามคือนิพจน์พีชคณิตที่แสดงถึงผลรวมของโมโนเมียล

ตัวอย่างเช่น: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 เป็นพหุนาม และนิพจน์ z/(x - x*y^2 + 4) ไม่ใช่พหุนามเพราะไม่ใช่ผลรวมของโมโนเมียล พหุนามบางครั้งเรียกว่าพหุนามและโมโนเมียลที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นสมาชิกของพหุนามหรือโมโนเมียล

แนวคิดที่ซับซ้อนของพหุนาม

หากพหุนามประกอบด้วยสองเทอม จะเรียกว่า ทวินาม หากประกอบด้วยสาม - ไตรนาม ไม่ได้ใช้ชื่อสี่เทอม ห้าเทอมและอื่น ๆ และในกรณีเช่นนี้พวกเขาเพียงแค่พูดพหุนาม ชื่อดังกล่าวขึ้นอยู่กับจำนวนของคำศัพท์ใส่ทุกอย่างเข้าที่

และคำว่า monomial ก็กลายเป็นสัญชาตญาณ จากมุมมองของคณิตศาสตร์ โมโนเมียลเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม โมโนเมียลเป็นพหุนามที่มีพจน์เดียว

เช่นเดียวกับโมโนเมียล พหุนามก็มีของตัวเอง มุมมองมาตรฐาน. รูปแบบมาตรฐานของพหุนามเป็นสัญกรณ์ของพหุนามซึ่งโมโนเมียลทั้งหมดรวมอยู่ในพหุนามนั้นในรูปแบบมาตรฐานและให้คำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

ขั้นตอนในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานคือการนำโมโนเมียลแต่ละตัวมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แล้วจึงรวมโมโนเมียลดังกล่าวทั้งหมดเข้าด้วยกัน การเพิ่มสมาชิกที่คล้ายกันของพหุนามเรียกว่าการลดลงของพจน์ที่คล้ายกัน
ตัวอย่างเช่น ให้พจน์ที่คล้ายกันในพหุนาม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b

เงื่อนไข 4*a*b^2*c^3 และ 6*a*b^2*c^3 มีความคล้ายคลึงกันที่นี่ ผลรวมของเทอมเหล่านี้จะเป็นโมโนเมียล 10*a*b^2*c^3 ดังนั้น พหุนามดั้งเดิม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b สามารถเขียนใหม่เป็น 10*a*b^2*c^3 - a* ข. รายการนี้จะเป็นรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโมโนเมียลใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน มันก็ตามมาด้วยว่าพหุนามใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้

เมื่อพหุนามถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถพูดถึงแนวคิดเช่นดีกรีของพหุนามได้ ดีกรีของพหุนามคือดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของโมโนเมียลที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 เป็นพหุนามของดีกรีที่ห้า เนื่องจากดีกรีสูงสุดของโมโนเมียลรวมอยู่ในพหุนาม (5*x^3*y^ 2) เป็นที่ห้า