Toto je posledná a najdôležitejšia lekcia potrebná na riešenie problémov B11. Už vieme, ako previesť uhly z radiánovej miery na mieru stupňov (pozri lekciu „ Radiánová a stupňová miera uhla“) a tiež vieme, ako určiť znamienko goniometrickej funkcie so zameraním na štvrtiny súradníc (pozri lekciu "Znaky goniometrických funkcií").

Záležitosť zostáva malá: vypočítať hodnotu samotnej funkcie - samotné číslo, ktoré je napísané v odpovedi. Tu prichádza na pomoc základná trigonometrická identita.

Základná trigonometrická identita. Pre akýkoľvek uhol α platí tvrdenie:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tento vzorec spája sínus a kosínus jedného uhla. Teraz, keď poznáme sínus, môžeme ľahko nájsť kosínus - a naopak. Stačí vziať druhú odmocninu:

Všimnite si znak „±“ pred koreňmi. Faktom je, že zo základnej trigonometrickej identity nie je jasné, aký bol pôvodný sínus a kosínus: kladný alebo záporný. Koniec koncov, kvadratúra je rovnomerná funkcia, ktorá „vypáli“ všetky mínusy (ak nejaké sú).

Preto vo všetkých úlohách B11, ktoré sa nachádzajú v USE v matematike, musí byť dodatočné podmienky, ktoré pomáhajú zbaviť sa neistoty so znameniami. Zvyčajne ide o označenie súradnicovej štvrtiny, podľa ktorej možno znamenie určiť.

Pozorný čitateľ sa určite opýta: "A čo tangenta a kotangens?" Nie je možné priamo vypočítať tieto funkcie z vyššie uvedených vzorcov. Existujú však dôležité dôsledky zo základnej trigonometrickej identity, ktoré už obsahujú dotyčnice a kotangens. menovite:

Dôležitý dôsledok: pre akýkoľvek uhol α možno základnú trigonometrickú identitu prepísať takto:

Tieto rovnice sa dajú ľahko odvodiť zo základnej identity - obe strany stačí vydeliť cos 2 α (pre získanie dotyčnice) alebo sin 2 α (pre kotangens).

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch. Nižšie sú uvedené skutočné problémy B11, ktoré sú prevzaté zo štúdie POUŽÍVAŤ možnosti v matematike 2012.

Poznáme kosínus, ale nepoznáme sínus. Hlavná goniometrická identita (vo svojej „čistej“ podobe) spája práve tieto funkcie, preto s ňou budeme pracovať. Máme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Na vyriešenie problému zostáva nájsť znamenie sínusu. Keďže uhol α ∈ (π /2; π ), potom v mierke stupňov sa píše takto: α ∈ (90°; 180°).

Preto uhol α leží v súradnicovej štvrtine II - všetky sínusy sú tam kladné. Preto sin α = 0,1.

Takže poznáme sínus, ale musíme nájsť kosínus. Obe tieto funkcie sú v základnej goniometrickej identite. Nahrádzame:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Zostáva sa zaoberať znakom pred zlomkom. Čo si vybrať: plus alebo mínus? Podľa podmienky patrí uhol α intervalu (π 3π /2). Prevedieme uhly z radiánovej miery na mieru – dostaneme: α ∈ (180°; 270°).

Je zrejmé, že toto je súradnicový štvrťrok III, kde sú všetky kosínusy záporné. Preto cosα = -0,5.

Úloha. Nájdite tg α, ak poznáte nasledovné:

Tangent a kosínus sú spojené rovnicou, ktorá vychádza zo základnej goniometrickej identity:

Dostaneme: tg α = ±3. Znamienko dotyčnice je určené uhlom α. Je známe, že α ∈ (3π /2; 2π ). Prevedieme uhly z radiánovej miery na mieru stupňov - dostaneme α ∈ (270°; 360°).

Je zrejmé, že toto je IV súradnicová štvrť, kde sú všetky dotyčnice záporné. Preto tgα = −3.

Úloha. Nájdite cos α, ak poznáte nasledovné:

Opäť platí, že sínus je známy a kosínus nie je známy. Zapíšeme si hlavnú trigonometrickú identitu:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znamienko je určené uhlom. Máme: α ∈ (3π /2; 2π ). Prevedieme uhly zo stupňov na radiány: α ∈ (270°; 360°) je IV súradnicová štvrť, kosínusy sú tam kladné. Preto cos α = 0,6.

Úloha. Nájdite hriech α, ak poznáte nasledovné:

Napíšme vzorec, ktorý vyplýva zo základnej goniometrickej identity a priamo spája sínus a kotangens:

Odtiaľto dostaneme, že sin 2 α = 1/25, t.j. sin α = ±1/5 = ±0,2. Je známe, že uhol α ∈ (0; π /2). V stupňoch sa to píše takto: α ∈ (0°; 90°) - súradnice štvrtiny.

Uhol je teda v súradnicovej štvrtine I - všetky trigonometrické funkcie sú tam kladné, preto sin α \u003d 0,2.

Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia

|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Tangenta ( tgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .

Kotangens ( ctgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .

Tangenta

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.

Graf funkcie dotyčnice, y = tg x

Kotangens

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Prijala sa aj nasledujúca notácia:
;
;
.

Graf funkcie kotangens, y = ctg x

Vlastnosti dotyčnice a kotangens

Periodicita

Funkcie y= tg x a y= ctg x sú periodické s periódou π.

Parita

Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.

Domény definície a hodnôt, vzostupné, zostupné

Funkcie tangens a kotangens sú spojité na svojom definičnom obore (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangenty a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé číslo).

	y= tg x	y= ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnôt	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Vzostupne		-
Zostupne	-
Extrémy	-	-
Nuly, y= 0
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	-

Vzorce

Výrazy v zmysle sínus a kosínus

; ;
; ;
;

Vzorce pre tangens a kotangens súčtu a rozdielu

Zvyšok vzorcov sa dá ľahko získať napr

Súčin dotyčníc

Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre niektoré hodnoty argumentu.

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; .

.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >

Integrály

Rozšírenia do sérií

Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x a cos x a rozdeliť tieto polynómy na seba , . Výsledkom sú nasledujúce vzorce.

o .

v .
kde B n- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca:

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens.

Arctangens, arctg

, kde n- celý.

Arc tangens, arcctg

, kde n- celý.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre výskumníkov a inžinierov, 2012.

Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami je pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Navigácia na stránke.

Základné goniometrické identity

Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.

Odlievané vzorce

Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.

Vzorce na sčítanie

Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. rohu

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.

Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.

Redukčné vzorce

Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov navrhnutý tak, aby uľahčil prechod z prirodzené stupne goniometrické funkcie na sínus a kosínus na prvý stupeň, ale viac uhlov. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrické rovnice, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.

Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Referenčné údaje o goniometrických funkciách sínus (sin x) a kosínus (cos x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka sínusov a kosínusov, derivácie, integrály, radové expanzie, sekans, kosekans. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia sínusu a kosínusu

|BD|- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Definícia
Sinus je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.

Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.

Akceptované označenia

;
;
.

;
;
.

Graf funkcie sínus, y = sin x

Graf funkcie kosínus, y = cos x

Vlastnosti sínusu a kosínusu

Periodicita

Funkcie y= hriech x a y= cos x periodický s bodkou 2 π.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Funkcie sínus a kosínus sú spojité na svojom definičnom obore, teda pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).

	y= hriech x	y= cos x
Rozsah a kontinuita	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Vzostupne
Zostupne
Maximum, y= 1
Minimum, y = - 1
Nuly, y= 0
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	y= 1

Základné vzorce

Súčet druhej mocniny sínusu a kosínusu

Sínusové a kosínusové vzorce pre súčet a rozdiel

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu cez kosínus

;
;
;
.

Vyjadrenie kosínusu cez sínus

;
;
;
.

Vyjadrenie z hľadiska dotyčnice

; .

Pre , máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre niektoré hodnoty argumentu.

Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných

;

Eulerov vzorec

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k sínusu a kosínusu sú arkzín a arkkozín.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Na samom začiatku tohto článku sme diskutovali o koncepte goniometrických funkcií. Hlavným účelom ich účelu je štúdium základov trigonometrie a štúdium periodických procesov. A nekreslili sme goniometrický kruh nadarmo, pretože vo väčšine prípadov sú goniometrické funkcie definované ako pomer strán trojuholníka alebo jeho určitých segmentov v jednotkovej kružnici. Spomenul som aj nepopierateľne veľký význam trigonometrie v moderný život. Veda však nestojí, v dôsledku toho môžeme výrazne rozšíriť rozsah trigonometrie a preniesť jej ustanovenia na skutočné a niekedy aj na komplexné čísla.

Trigonometrické vzorce existuje viacero druhov. Uvažujme ich v poradí.

1. Vzťahy goniometrických funkcií rovnakého uhla

Tu sa dostávame k úvahe o takom koncepte, ako je základné trigonometrické identity.

Trigonometrická identita je rovnosť, ktorá pozostáva z goniometrických vzťahov a ktorá platí pre všetky hodnoty uhlov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Zvážte najdôležitejšie trigonometrické identity a ich dôkazy:

Prvá identita vyplýva zo samotnej definície dotyčnice.

Vezmime správny trojuholník, v ktorom je vo vrchole A ostrý uhol x.



Na preukázanie totožnosti je potrebné použiť Pytagorovu vetu:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Teraz vydelíme (AB) 2 obe časti rovnosti a zapamätajúc si definície sin a cos uhla, dostaneme druhú identitu:

(BC)2/(AB)2 + (AC)2/(AB)2 = 1

hriech x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

hriech 2 x + cos 2 x = 1

Na preukázanie tretej a štvrtej totožnosti používame predchádzajúci dôkaz.

Aby sme to dosiahli, obe časti druhej identity vydelíme cos 2 x:

hriech 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

hriech 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Na základe prvej identity tg x \u003d sin x / cos x dostaneme tretiu:

1 + tg2x = 1/cos2x

Teraz vydelíme druhú identitu hriechom 2 x:

hriech 2 x/ hriech 2 x + cos 2 x/ hriech 2 x = 1/ hriech 2 x

1+ cos 2 x/ hriech 2 x = 1/ hriech 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nie je nič iné ako 1/tg 2 x, takže dostaneme štvrtú identitu:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Je čas zapamätať si vetu o súčte vnútorných uhlov trojuholníka, ktorá hovorí, že súčet uhlov trojuholníka \u003d 180 0. Ukazuje sa, že vo vrchole B trojuholníka je uhol, ktorého hodnota je 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Znova si spomeňte na definície hriechu a cos a dostaneme piatu a šiestu identitu:

hriech x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Teraz urobme nasledovné:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Ako vidíte, všetko je tu elementárne.

Existujú aj iné identity, ktoré sa používajú pri riešení matematických identít, uvediem ich jednoducho vo forme informácie o pozadí, pretože všetky vychádzajú z vyššie uvedeného.



2. Vyjadrenia goniometrických funkcií cez seba

   (výber znaku pred koreňom je určený tým, v ktorej štvrtine kruhu sa roh nachádza?)







3. Nasledujú vzorce na sčítanie a odčítanie uhlov:



4. Vzorce dvojitého, trojitého a polovičného uhla.

   Podotýkam, že všetky vyplývajú z predchádzajúcich vzorcov.

hriech 2x \u003d 2 hriech x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3 sin x - 4 sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Vzorce na prevod goniometrických výrazov: