Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas nėra apibrėžtas. Taip pat logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, nelygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2, gauname skaičių 4, bet tai nereiškia, kad 4 bazės -2 logaritmas yra 2.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Svarbu, kad šios formulės dešiniosios ir kairiosios dalių apibrėžimo sritys būtų skirtingos. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti DPV pasikeitimą.

Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.

Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Norėčiau perspėti moksleivius dėl neapgalvoto šių formulių taikymo sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybės. Kai jie naudojami „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o nuo logaritmų sumos arba skirtumo pereinant prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.

Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.

Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x) , esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Leidžiamų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.

Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ir vėl norėčiau paraginti tikslumo. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Išimdami galią iš logaritmo, vėl susiauriname ODZ. Taikant atvirkštinę procedūrą, leistinų verčių diapazonas išplečiamas. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lyginei galiai.

Persikėlimo į naują bazę formulė

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Tas retas atvejis, kai konvertuojant ODZ nepasikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.

Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų konkretų (8) formulės atvejį:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių

1 pavyzdys Apskaičiuokite: lg2 + lg50.
Sprendimas. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.

2 pavyzdys Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Naudojome naują bazinio perėjimo formulę (8).

Su logaritmais susijusių formulių lentelė

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

LN funkcija programoje „Excel“ skirta apskaičiuoti natūralusis logaritmas skaičių ir grąžina atitinkamą skaitinė reikšmė. Natūralusis logaritmas yra bazinis e logaritmas (Eulerio skaičius apytiksliai 2,718).

„Excel“ funkcija LOG naudojama skaičiaus logaritmui apskaičiuoti, o logaritmo pagrindas gali būti aiškiai nurodytas kaip antrasis šios funkcijos argumentas.

Funkcija LOG10 programoje „Excel“ skirta apskaičiuoti skaičiaus logaritmą su 10 baze (dešimtainis logaritmas).

LN, LOG ir LOG10 funkcijų naudojimo programoje „Excel“ pavyzdžiai

Archeologai aptiko senovės gyvūno liekanas. Jų amžiui nustatyti buvo nuspręsta naudoti radioaktyviosios anglies analizės metodą. Atlikus matavimus paaiškėjo, kad radioaktyvaus izotopo C 14 kiekis sudarė 17% to kiekio, kuris paprastai randamas gyvuose organizmuose. Apskaičiuokite liekanų amžių, jei anglies 14 izotopo pusinės eliminacijos laikas yra 5760 metų.

Originalios lentelės vaizdas:

Norėdami išspręsti, naudojame šią formulę:

Ši formulė buvo gauta remiantis formule x=t*(lgB-lgq)/lgp, kur:

• q – anglies izotopų kiekis pradiniu momentu (gyvūno žūties momentu), išreiškiamas vienetu (arba 100 %);
• B – izotopo kiekis likučių analizės metu;
• t – izotopo pusinės eliminacijos laikas;
• p yra skaitinė reikšmė, nurodanti, kiek kartų keičiasi medžiagos (anglies izotopo) kiekis per laikotarpį t.

Skaičiuodami gauname:

Rasti palaikai yra beveik 15 tūkstančių metų senumo.



Indėlių skaičiuoklė su sudėtinėmis palūkanomis programoje Excel

Banko klientas įnešė 50 000 rublių indėlį su 14,5% palūkanų norma (sudėtinės palūkanos). Nustatykite, kiek laiko užtruks padvigubinti investuotą sumą?

Įdomus faktas! Norėdami greitai išspręsti šią problemą, galite naudoti empirinį metodą grubus įvertinimas terminais (metais) padvigubinti investuotą investiciją su sudėtinėmis palūkanomis. Vadinamoji 72 taisyklė (arba 70 arba 69 taisyklė). Norėdami tai padaryti, turite naudoti paprastą formulę - skaičių 72 padalijus iš palūkanų normos: 72 / 14,5 \u003d 4,9655 metų. Pagrindinis „stebuklingo“ skaičiaus 72 taisyklės trūkumas yra klaida. Kuo didesnė palūkanų norma, tuo didesnė 72 taisyklės paklaida. Pavyzdžiui, kai palūkanų norma yra 100% per metus, paklaida metais siekia iki 0,72 (o procentais net 28%!).

Norėdami tiksliai apskaičiuoti investicijų padvigubėjimo laiką, naudosime funkciją LOG. Pirma, patikrinkime 72 taisyklės paklaidą, kai palūkanų norma yra 14,5% per metus.

Originalios lentelės vaizdas:

Norėdami apskaičiuoti būsimą investicijos vertę esant žinomai palūkanų normai, galite naudoti šią formulę: S=A(100%+n%) t , kur:

• S – numatoma suma termino pabaigoje;
• A yra užstato suma;
• n – palūkanų norma;
• t – indėlių lėšų laikymo banke terminas.

Šiame pavyzdyje šią formulę galima parašyti kaip 100000=50000*(100%+14.5%) t arba 2=(100%+14.5%) t . Tada, norėdami rasti t, galite perrašyti lygtį į t=log (114,5%) 2 arba t=log 1,1452 .

Norėdami rasti t reikšmę, programoje Excel parašome šią sudėtinių palūkanų už indėlį formulę:

LOG(B4/B2;1+B3)

Argumentų aprašymas:

• B4/B2 - numatomų ir pradinių sumų santykis, kuris yra logaritmo rodiklis;
• 1+B3 – palūkanų padidėjimas (logaritmo bazė).

Skaičiuodami gauname:

Indėlis padvigubės po kiek daugiau nei 5 metų. Norėdami tiksliai nustatyti metus ir mėnesius, naudojame formulę:

Funkcija SELECT atmeta viską po kablelio trupmeniniame skaičiuje, panašiai kaip funkcija INTEGER. Skirtumas tarp SELECT ir WHOLE funkcijų yra tik skaičiavimuose su neigiamais trupmeniniais skaičiais. Be to, OTBR turi antrą argumentą, kuriame galite nurodyti paliktinų skaičių po kablelio skaičių. Todėl šiuo atveju vartotojo pasirinkimu galite naudoti bet kurią iš šių dviejų funkcijų.

Paaiškėjo, kad 5 metai ir 1 mėnuo ir 12 dienų. Dabar palyginkime tikslius rezultatus su 72 taisykle ir nustatykime klaidos dydį. Šiame pavyzdyje formulė yra tokia:

Turime padauginti langelio B3 reikšmę iš 100, nes dabartinė jo reikšmė yra 0,145, kuri rodoma procentais. Kaip rezultatas:

Nukopijavę formulę iš langelio B6 į langelį B8 ir langelyje B9:

Apskaičiuokime klaidų terminus:

Tada langelyje B10 dar kartą nukopijuokite formulę iš langelio B6. Dėl to gauname skirtumą:

Ir galiausiai, apskaičiuokime procentinį skirtumą, kad patikrintume, kaip keičiasi nuokrypio dydis ir kaip reikšmingai palūkanų normos padidėjimas įtakoja 72 taisyklės ir fakto neatitikimo lygį:

Dabar, norėdami įsivaizduoti proporcingą paklaidos padidėjimo ir palūkanų normos padidėjimo priklausomybę, padidinsime palūkanų normą iki 100% per metus:

Iš pirmo žvilgsnio paklaidos skirtumas nėra reikšmingas lyginant su 14,5% per metus – tik apie 2 mėnesius ir 100% per metus – per 3 mėnesius. Tačiau klaidų dalis atsipirkimo laikotarpiu yra daugiau nei ¼, tiksliau, 28%.

Padarykite paprastą grafiką vizualiai analizei, kaip palūkanų normos pokyčio ir 72 taisyklės paklaidos procento priklausomybė koreliuoja su faktu:

Kuo didesnė palūkanų norma, tuo blogiau veikia taisyklė 72. Dėl to galime padaryti tokią išvadą: iki 32,2% per metus, galite drąsiai naudotis taisykle 72. Tada paklaida mažesnė nei 10 procentų. Tai tiks, jei nereikia atlikti tikslių, bet sudėtingų investicijų atsipirkimo laikotarpio skaičiavimų 2 kartus.

Investicinių sudėtinių palūkanų skaičiuoklė su kapitalizacija Excel

Banko klientui buvo pasiūlyta įnešti indėlį nuolat didinant bendrą sumą (kapitalizacija su sudėtinėmis palūkanomis). Palūkanų norma yra 13% per metus. Nustatykite, kiek laiko prireiks trigubai pradinei sumai (250 000 rublių). Kiek reikėtų padidinti palūkanas, kad laukimo laikas pailgėtų perpus?

Pastaba: kadangi šiame pavyzdyje mes patrigubiname investicijų sumą, 72 taisyklė čia neveikia.

Pradinės duomenų lentelės vaizdas:

Nuolatinį augimą galima apibūdinti formule ln(N)=p*t, kur:

• N – galutinės indėlio sumos ir pradinės sumos santykis;
• p yra palūkanų norma;
• t – metų skaičius, praėjęs nuo indėlio įnešimo.

Tada t=ln(N)/p. Remdamiesi šia lygybe, „Excel“ įrašome formulę:

Argumentų aprašymas:

• B3/B2 - galutinės ir pradinės indėlio sumos santykis;
• B4 – palūkanų norma.

Pradinio indėlio sumai patrigubinti prireiks beveik 8,5 metų. Norėdami apskaičiuoti normą, kuri sumažins laukimo laiką per pusę, naudojame formulę:

LN (B3 / B2) / (0,5 * B5)

Rezultatas:

Tai yra, būtina padvigubinti pradinę palūkanų normą.

LN, LOG ir LOG10 funkcijų naudojimo programoje „Excel“ ypatybės

Funkcija LN turi tokią sintaksę:

LN(skaičius)

• skaičius yra vienintelis privalomas argumentas, kuris priima realius skaičius iš diapazono teigiamas vertes.

Pastabos:

1. LN funkcija yra atvirkštinė EXP funkcija. Pastarasis grąžina reikšmę, gautą padidinus skaičių e iki nurodytos laipsnio. Funkcija LN nurodo laipsnį, iki kurio turi būti padidintas skaičius e (bazė), kad būtų gautas logaritmo eksponentas (skaičiaus argumentas).
2. Jei skaičiaus argumentas yra skaičius, esantis neigiamų reikšmių diapazone arba nulis, funkcijos LN rezultatas yra klaidos kodas #NUM!.

LOG funkcijos sintaksė yra tokia:

LOG(skaičius ;[bazė])

Argumentų aprašymas:

• skaičius - privalomas argumentas, apibūdinantis logaritmo eksponento skaitinę reikšmę, tai yra skaičių, gautą padidinus logaritmo bazę iki tam tikros laipsnio, kurį apskaičiuos funkcija LOG;
• [bazė] yra neprivalomas argumentas, apibūdinantis logaritmo pagrindo skaitinę reikšmę. Jei argumentas nėra aiškiai nurodytas, daroma prielaida, kad logaritmas yra dešimtainis (ty bazė yra 10).

Pastabos:

1. Nors funkcijos LOG rezultatas gali būti neigiamas skaičius (pavyzdžiui, funkcija =LOG(2;0,25) grąžins -0,5), šios funkcijos argumentai turi būti paimti iš teigiamų reikšmių diapazono. Jei kuris nors iš argumentų yra neigiamas skaičius, funkcija LOG pateiks klaidos kodą #NUM!.
2. Jei 1 perduodamas kaip [bazinis] argumentas, funkcija LOG pateiks klaidos kodą #DIV/0!, nes 1 padidinimo į bet kurią laipsnį rezultatas visada bus toks pat ir lygus 1.

Funkcija LOG10 turi tokią sintaksę:

LOG10(skaičius)

• skaičius yra vienintelis ir privalomas argumentas, kurio reikšmė identiška LN ir LOG funkcijų to paties pavadinimo argumentui.

Pastaba: jei skaičius buvo perduotas kaip argumentas neigiamas skaičius arba 0, funkcija LOG10 pateiks klaidos kodą #NUM!.

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte skaičių b.

Jei tada .

Logaritmas yra labai didelis svarbus matematinis dydis, kadangi logaritminis skaičiavimas leidžia ne tik išspręsti eksponentinės lygtys, bet ir operuoti su rodikliais, diferencijuoti eksponencines ir logaritmines funkcijas, jas integruoti ir sudaryti priimtinesnę skaičiuoti formą.

Susisiekus su

Visos logaritmų savybės yra tiesiogiai susijusios su eksponentinių funkcijų savybėmis. Pavyzdžiui, tai, kad reiškia kad:

Pažymėtina, kad sprendžiant konkrečias problemas logaritmų savybės gali būti svarbesnės ir naudingesnės nei darbo su galiomis taisyklės.

Štai keletas tapatybių:

Čia yra pagrindinės algebrinės išraiškos:

;

.

Dėmesio! gali egzistuoti tik esant x>0, x≠1, y>0.

Pabandykime suprasti klausimą, kas yra natūralūs logaritmai. Atskiras domėjimasis matematika atstovauja du tipus- pirmasis turi skaičių „10“ prie pagrindo ir vadinamas „dešimtainiu logaritmu“. Antrasis vadinamas natūraliu. Natūralaus logaritmo pagrindas yra skaičius e. Šiame straipsnyje mes išsamiai kalbėsime apie jį.

Pavadinimai:

• lg x – dešimtainis;
• ln x - natūralus.

Naudodami tapatybę matome, kad ln e = 1, taip pat kad lg 10 = 1.

natūralaus žurnalo grafikas

Naudodami standartą sudarome natūraliojo logaritmo grafiką klasikiniu būdu taškais. Jei norite, galite patikrinti, ar mes teisingai sukuriame funkciją, išnagrinėję funkciją. Tačiau prasminga išmokti jį sukurti „rankiniu būdu“, kad žinotumėte, kaip teisingai apskaičiuoti logaritmą.

Funkcija: y = log x. Parašykime taškų, per kuriuos eis grafikas, lentelę:

Paaiškinkime, kodėl pasirinkome tokias argumento x reikšmes. Viskas priklauso nuo tapatybės: Natūralaus logaritmo atveju ši tapatybė atrodys taip:

Patogumui galime paimti penkis atskaitos taškus:

;

;

.

;

.

Taigi natūralių logaritmų skaičiavimas yra gana paprasta užduotis, be to, supaprastina operacijų su laipsniais skaičiavimą, paverčiant juos į normalus dauginimas.

Sukūrę grafiką taškais, gauname apytikslį grafiką:

Natūralaus logaritmo sritis (ty visos galiojančios X argumento reikšmės) yra visi skaičiai, didesni už nulį.

Dėmesio! Natūralaus logaritmo apibrėžimo sritis apima tik teigiami skaičiai! Apimtis neapima x=0. Tai neįmanoma remiantis logaritmo egzistavimo sąlygomis.

Reikšmių diapazonas (ty visos galiojančios funkcijos y = ln x reikšmės) yra visi skaičiai intervale .

natūralaus žurnalo limitas

Studijuojant grafiką kyla klausimas – kaip elgiasi funkcija, kai y<0.

Akivaizdu, kad funkcijos grafikas linkęs kirsti y ašį, bet negalės to padaryti, nes x natūralusis logaritmas<0 не существует.

Natūrali riba žurnalas galima parašyti taip:

Logaritmo pagrindo keitimo formulė

Susitvarkyti su natūraliu logaritmu yra daug lengviau nei su logaritmu, kurio pagrindas yra savavališkas. Štai kodėl mes stengsimės išmokti bet kurį logaritmą sumažinti iki natūraliojo arba išreikšti jį savavališkai natūraliais logaritmais.

Pradėkime nuo logaritminės tapatybės:

Tada bet koks skaičius arba kintamasis y gali būti pavaizduotas kaip:

kur x yra bet koks skaičius (teigiamas pagal logaritmo savybes).

Ši išraiška gali būti logaritmizuota iš abiejų pusių. Padarykime tai su savavališka baze z:

Panaudokime savybę (tik vietoj "su" turime posakį):

Iš čia gauname universalią formulę:

.

Visų pirma, jei z = e, tada:

.

Mums pavyko pavaizduoti logaritmą į savavališką bazę per dviejų natūralių logaritmų santykį.

Mes sprendžiame problemas

Norėdami geriau naršyti natūraliuose logaritmuose, apsvarstykite kelių problemų pavyzdžius.

1 užduotis. Būtina išspręsti lygtį ln x = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

2 užduotis. Išspręskite lygtį (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

.

Dar kartą taikome logaritmo apibrėžimą:

.

Šiuo būdu:

.

Galite apytiksliai apskaičiuoti atsakymą arba palikti jį šioje formoje.

3 užduotis. Išspręskite lygtį.

Sprendimas: Pakeiskime: t = ln x. Tada lygtis bus tokia:

.

Turime kvadratinę lygtį. Raskime jo diskriminatorių:

Pirmoji lygties šaknis:

.

Antroji lygties šaknis:

.

Prisimindami, kad atlikome pakeitimą t = ln x, gauname:

Statistikoje ir tikimybių teorijoje logaritminiai dydžiai yra labai dažni. Tai nenuostabu, nes skaičius e – dažnai atspindi eksponentinių reikšmių augimo tempą.

Informatikos moksle, programavime ir kompiuterių teorijoje logaritmai yra gana dažni, pavyzdžiui, norint atmintyje saugoti N bitų.

Fraktalų ir matmenų teorijose logaritmai naudojami nuolat, nes tik jų pagalba nustatomi fraktalų matmenys.

Mechanikoje ir fizikoje nėra skyriaus, kuriame nebūtų naudojami logaritmai. Barometrinis skirstinys, visi statistinės termodinamikos principai, Ciolkovskio lygtis ir panašiai yra procesai, kuriuos galima aprašyti tik matematiškai naudojant logaritmus.

Chemijoje logaritmas naudojamas Nernsto lygtyse, redokso procesų aprašymuose.

Nuostabu, kad net muzikoje, norint sužinoti oktavos dalių skaičių, naudojami logaritmai.

Natūralusis logaritmas Funkcija y=ln x jos savybės

Natūralaus logaritmo pagrindinės savybės įrodymas

Instrukcija

Užrašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada išraiška rašoma: ln b yra natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, iš dividendo išvestinės sandaugos, padauginto iš daliklio funkcijos, reikia atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš daliklio funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeigu duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau pateikta informacija, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat yra užduočių, skirtų išvestinei taške apskaičiuoti. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Susiję vaizdo įrašai

Naudingi patarimai

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Taip sutaupysite daug laiko.

Šaltiniai:

• pastovioji išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcija

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių pakėlimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmiausia reikia atsikratyti ženklo. Techniškai šis metodas nėra sunkus, tačiau kartais gali kilti problemų. Pavyzdžiui, lygtis v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Tokią lygtį nesunku išspręsti; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vienetą, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Tokia reikšmė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos dalių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis pradinėje lygtyje.

Apsvarstykite kitą.
2x+vx-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkėlimo junginiai lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vx=y. Atitinkamai gausite tokią lygtį kaip 2y2+y-3=0. Tai yra įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vx=1; vx \u003d -3/2. Antroji lygtis neturi šaknų, iš pirmosios matome, kad x=1. Nepamirškite apie būtinybę patikrinti šaknis.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas tikslas. Taigi, paprasčiausių aritmetinių veiksmų pagalba bus išspręsta užduotis.

Jums reikės

• - popierius;
• - Parkeris.

Instrukcija

Paprasčiausios tokios transformacijos yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos (skirtumo) kubas). Be to, yra daug trigonometrinių formulių, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo ir antrojo sandaugai plius antrojo kvadratui, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės arba aukštosios matematikos vadovėlio, kuris yra neabejotinas integralas. Kaip žinote, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinama antiderivatine. Pagal šį principą konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurios argumentas yra polinomas, pabandykite naudoti kintamųjų keitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi naujojo ir senojo kintamojo santykiu, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi gausite naują senojo integralo formą, artimą ar net atitinkančią bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrojo tipo integralas, vektoriaus integrando forma, tuomet turėsite naudoti taisykles, kaip pereiti nuo šių integralų prie skaliarinių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektorinės funkcijos rotoriaus srauto į trigubą integralą per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą numerį. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą apatinę antidarinio ribą. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinę funkciją, reikia pereiti prie ribos ir rasti, į ką linksta išraiška.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tuomet turėsite pavaizduoti geometrines integracijos ribas, kad suprastumėte, kaip apskaičiuoti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.