बीजगणित का अध्ययन करते समय सामान्य शिक्षा विद्यालय(ग्रेड 9) संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन महत्वपूर्ण विषयों में से एक है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम एक अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, विचाराधीन प्रगति को परिभाषित करना आवश्यक है, साथ ही मूल सूत्र देना भी आवश्यक है जो आगे चलकर समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमित परिमेय संख्याओं का ऐसा समुच्चय है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। संख्याओं का अगला क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) है। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के सेट को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 17-12)।

महत्वपूर्ण सूत्र

अब हम मूल सूत्र देते हैं जो अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक होंगे। n . चिन्ह से निरूपित करें नौवां कार्यकालअनुक्रम जहां n एक पूर्णांक है। अंतर को लैटिन अक्षर d द्वारा दर्शाया गया है। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ सत्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n + a 1)*n/2.

कक्षा 9 में एक समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि प्रश्न के प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। इसके अलावा, यह न भूलें कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1 ।

उदाहरण # 1: एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

हम एक अंकगणितीय प्रगति और उन सूत्रों का एक सरल उदाहरण देते हैं जिनका उपयोग हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

यह पहले से ही समस्या की शर्तों का अनुसरण करता है कि पहले 4 शब्द ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी तरह, कोई भी दो अन्य पदों को एक दूसरे के बगल में खड़ा कर सकता है। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d \u003d a n - a n-1, फिर d \u003d a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 \u003d a 4 + d। हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: ए एन \u003d (एन - 1) * डी + ए 1 \u003d (एन - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * एन। n = 5 को अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान एक ही परिणाम की ओर ले जाते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। ऐसे अनुक्रमों को घटते हुए कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले एक से छोटा होता है।

उदाहरण # 2: प्रगति अंतर

अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें, एक उदाहरण दें कि अंकगणितीय प्रगति के अंतर को कैसे खोजा जाए।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1 । हम स्थिति से ज्ञात डेटा को इसमें स्थानापन्न करते हैं, अर्थात संख्या 1 और 7, हमारे पास है: 18 \u003d 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया गया था।

7वें सदस्य के लिए अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2 = 8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16 और 7 = 18।

उदाहरण #3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। हम निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और शब्द होंगे, तो 1 \u003d -4 और 5 \u003d 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम उस कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं जो पिछले एक के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। प्रेषक: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, लेकिन यह है परिमेय संख्या, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब हम पाए गए अंतर को 1 में जोड़ते हैं और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करते हैं। हमें मिलता है: ए 1 = - 4, ए 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, ए 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, ए 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, ए 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, जो समस्या की स्थिति से मेल खाता है।

उदाहरण #4: प्रगति का पहला सदस्य

हम हल के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखते हैं। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक जो सूत्र प्रयोग किए गए हैं वे 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या की स्थिति में इन नंबरों के बारे में कुछ पता नहीं है। फिर भी, आइए प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखें जिसके बारे में हमें जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण मिले जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

निर्दिष्ट प्रणाली को हल करना सबसे आसान है यदि आप प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करते हैं। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: ए 1 \u003d ए 43 - 42 * डी \u003d 37 - 42 * डी। इन भावों की बराबरी करते हुए, हमें मिलता है: 50 - 14 * डी \u003d 37 - 42 * डी, जहाँ से अंतर d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d जानने के बाद, आप 1 के लिए ऊपर दिए गए 2 भावों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के 43 वें सदस्य को निर्धारित करें, जो कि स्थिति में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: एक 43 \u003d ए 1 + 42 * डी \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में गोलाई से हजारवें हिस्से का उपयोग किया गया था।

उदाहरण #5: योग

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। इन संख्याओं में से 100 के योग की गणना कैसे करें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल किया जा सकता है, अर्थात्, क्रमिक रूप से सभी नंबरों को जोड़ दें, जो कंप्यूटर तुरंत करेगा, जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, अभी भी केवल 10 वर्ष की आयु में, कुछ ही सेकंड में इसे अपने दिमाग में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर स्थित संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूंकि ये योग ठीक 50 (100 / 2) होंगे, तो सही उत्तर पाने के लिए, 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण #6: n से m . तक के पदों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक अन्य विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक के पदों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। दोनों स्थितियों के लिए, हम योग के लिए दो व्यंजक लिखते हैं:

1. एस एम \u003d एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन \u003d एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n > m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहली राशि शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द m जोड़ते हैं (अंतर लेने की स्थिति में, इसे योग S n से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन \u003d एस एन - एस एम + ए एम \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2 - एम * (ए 1 + ए एम) / 2 + ए एम \u003d ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए एन * एन / 2 + ए एम * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के लिए सूत्रों को स्थानापन्न करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2)/2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है, हालांकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इससे पहले कि आप इनमें से किसी भी समस्या को हल करना शुरू करें, यह अनुशंसा की जाती है कि आप शर्त को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आप क्या खोजना चाहते हैं, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, पर रुक सकता है। और विभाजित सामान्य कार्यअलग-अलग उप-कार्यों में (इस मामले में, पहले शब्द a n और a m खोजें)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। एक अंकगणितीय प्रगति कैसे खोजें, पता चला। एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं होता है।

हाँ हाँ: अंकगणितीय प्रगति- ये आपके लिए खिलौने नहीं हैं :)

ठीक है, दोस्तों, अगर आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक टोपी-स्पष्टता मुझे बताती है कि आप अभी भी नहीं जानते कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचय के साथ पीड़ा नहीं दूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन वास्तव में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए न्यायाधीश। पहला सेट केवल क्रमागत संख्या है, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, के बीच का अंतर स्थायी संख्यापहले से ही पाँच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। इस मामले में प्रत्येक अगला तत्व केवल $\sqrt(2)$ से बढ़ता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को केवल अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगली पिछली संख्या से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। जिस राशि से संख्याएँ भिन्न होती हैं उसे प्रगति अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ ही प्रगति है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उस क्रम में सख्ती से पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप नंबरों को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम स्वयं या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ ऐसा लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद का दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि काफी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। उदाहरण के लिए, असीम रूप से कई। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले से ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ पेश करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से बड़ा है;
2. घट रहा है, यदि, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...)

केवल एक ही प्रश्न शेष है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल $d$ संख्या के संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति अंतर:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए अंतर $d$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, यह किन्हीं दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेने के लिए पर्याप्त है और दाईं ओर की संख्या, बाईं ओर की संख्या से घटाएं। यह इस तरह दिखेगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों को आपस में बदला नहीं जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, और इसी तरह।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

संक्षेप में, प्रगति के $n$वें पद को खोजने के लिए, आपको $n-1$वें पद और अंतर $d$ को जानना होगा। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप किसी भी संख्या को पा सकते हैं, केवल पिछले एक (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक कठिन सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

आप शायद पहले भी इस सूत्र के बारे में जान चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह पहली में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1. अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पदों को लिखें $\left(((a)_(n)) \right)$ अगर $((a)_(1))=8,d=-5$।

समाधान। तो, हम पहले पद $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति घट रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले शब्द को पहले से ही जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने सुनिश्चित किया कि पहले कार्यकाल के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ केले के अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2. एक समांतर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद −40 है और इसका सत्रहवाँ पद −50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6डी \\ और ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित करें) \सही।\]

मैंने सिस्टम का संकेत दिया है क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ और 10d=-10; \\&d=-1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ए)_(1))=-40+6=-34. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरे और तीसरे पदों को खोजना बाकी है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें जो हमने खोजा था: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें प्रगति का अंतर $n-m$ संख्या से गुणा किया जाता है:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानना आवश्यक है - इसकी मदद से आप प्रगति में कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। इसका एक प्रमुख उदाहरण यहां दिया गया है:

टास्क नंबर 3. समांतर श्रेणी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूंकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की जरूरत है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5डी; \\ और ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त से $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ और ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कोई प्रणाली बनाने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ एक-दो पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसका पहला कार्यकाल नकारात्मक है, तो देर-सबेर इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" खोजना हमेशा संभव नहीं होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छांटना। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना में कई चादरें लग जाती हैं - हम तब तक सो जाते हैं जब तक हमें जवाब नहीं मिल जाता। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4. समांतर श्रेणी में कितने ऋणात्मक पद हैं -38.5; -35.8; …?

समाधान। तो, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए पता लगाने की कोशिश करें: कब तक (यानी, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10\दाएं। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ और 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमें सूट करेंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16.

टास्क नंबर 5. अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस प्रगति के पहले धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह ठीक वैसी ही समस्या होगी जैसी पिछली समस्या थी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पांचवें पद को पहले और अंतर के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ और ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4डी; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ और ((ए)_(1))=-150-12=-162। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ और -162+3n-3 \gt 0; \\ और 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\दायां तीर ((n)_(\min ))=56. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस असमानता का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता के लिए कम कर दिया गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमें शोभा नहीं देगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति सीखें, जो हमें भविष्य में बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगा। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ की लगातार कई शर्तों पर विचार करें। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई $((a)_(1)) नहीं, \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ आदि। क्योंकि नियम, जो अब मैं आपको बताऊंगा, किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान कार्य करता है।

और नियम बहुत सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ और ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ और ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन))-3डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शब्द $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शब्दों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया जाता है। )$ समान दूरी से $2d$ के बराबर। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अर्थ को अच्छी तरह से दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप पड़ोसी संख्याएं ज्ञात हैं तो आप $((a)_(n))$ पा सकते हैं:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

हमने एक शानदार बयान निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

वे। अगर हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं तो हम आसानी से कुछ $((a)_(150))$ पा सकते हैं, क्योंकि $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणित माध्य के उपयोग के लिए कई कार्यों को विशेष रूप से "तेज" किया जाता है। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6. $x$ के सभी मान ज्ञात कीजिए कि संख्या $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, उनके लिए अंकगणितीय माध्य स्थिति संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ को पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ और x+1=7-((x)^(2)); \\ और ((x)^(2))+x-6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

यह क्लासिक निकला द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7. $$ का मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि संख्याएँ $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में व्यक्त करते हैं:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ और 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\दाएं।; \\ और 8x-6=((x)^(2))+x; \\ और ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत तरकीब है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लें कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले हैं। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर हैं ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$), जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ और 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित करें)\]

हमें संख्या -54 मिली; -2; 50 जो 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी यही बात होती है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ और 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित करें)\]

फिर से एक प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो चाहते हैं वे अपने आप दूसरे कार्य की जांच कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूंगा: वहां भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछले कार्यों को हल करते समय, हम दूसरे पर ठोकर खाते हैं रोचक तथ्य, जिसे भी याद रखने की जरूरत है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में शामिल हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे पहले से ही माना जा चुका है।

तत्वों का समूहन और योग

चलिए फिर से संख्या रेखा पर चलते हैं। हम वहाँ प्रगति के कई सदस्यों को नोट करते हैं, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "बाएं पूंछ" को व्यक्त करने का प्रयास करें, और "दाएं पूंछ" को $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ और ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग बराबर हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस। \end(संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के दो तत्वों को एक शुरुआत के रूप में मानते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), फिर जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$ एस $। इसे ग्राफिक रूप से सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

वही इंडेंट बराबर रकम देते हैं

इस तथ्य को समझना हमें उन समस्याओं की तुलना में मौलिक रूप से उच्च स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा जिन्हें हमने ऊपर माना था। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8. एक समान्तर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min । \end(संरेखित करें)\]

इसलिए, हम प्रगति $d$ के अंतर को नहीं जानते हैं। वास्तव में, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)। \end(संरेखित करें)\]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और f\बाएं(डी \दाएं)=11\बाएं(((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ और =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद पर गुणांक 11 है - यह है सकारात्मक संख्या, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

अनुसूची द्विघात फंक्शन- परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस एब्सिस्सा की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह बहुत अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष परवलय के अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू(संरेखित करें) और f\बाएं(डी\दाएं)=0; \\ और 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इसलिए मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ें बहुत, बहुत आसान थीं। इसलिए, भुज -66 और -6 संख्याओं के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजा गया नंबर क्या देता है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मूल्य लेता है (वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। इसी समय, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर:-36

टास्क नंबर 9. संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएं डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे एक अंकगणितीय प्रगति बनाएं।

समाधान। वास्तव में, हमें पांच संख्याओं का एक क्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। लापता संख्याओं को चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\(-\frac(1)(2));x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्याओं $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से समान दूरी पर है। (1)(6)$। और अगर संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणित माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने पर, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करने पर, हम शेष संख्या पाते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10. संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ डालें, जो दी गई संख्याओं के साथ, एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात हो कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित करनी हैं। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि डालने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

ध्यान दें, हालांकि, संख्या $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ एक दूसरे की ओर एक कदम से किनारों पर खड़े संख्या 2 और 42 से प्राप्त की जाती हैं , यानी। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब है कि

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

लेकिन फिर उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ और \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ और 44+((ए)_(3))=56; \\ और ((ए)_(3))=56-44=12। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ और 2d=10\दायां तीर d=5. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=2; \\ और ((ए)_(2))=2+5=7; \\ और ((ए)_(3))=12; \\ और ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ और ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ और ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ और ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ और ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ और ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9 वें चरण में हम अनुक्रम के बाएं छोर पर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याओं को सम्मिलित करना था: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा। ठीक है, साधारण लोगों के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और जो ऊपर लिखा है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसे कार्य हैं जो गणित में OGE और USE में आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे स्वयं को परिचित करें।

टास्क नंबर 11. टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक अगले महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जे तैयार किए?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=62;\क्वाड डी=14; \\ और ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(align)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पार्ट्स का निर्माण किया जाएगा।

टास्क नंबर 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 पुस्तकों को बाध्य किया, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 अधिक पुस्तकों को बाध्य किया। कार्यशाला ने दिसम्बर में कितनी पुस्तकों का बंधन किया?

समाधान। सब एक जैसे:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ और ((a)_(n))=216+\बाएं(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये है जवाब- 260 किताबें दिसंबर में बंधी होंगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अब तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने के लिए जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" को सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर आगे बढ़ सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

या अंकगणित - यह एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे प्राप्त किया जाए।

यह प्रगति क्या है?

प्रश्न पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले (एक अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने योग्य है कि क्या चर्चा की जाएगी।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या से कुछ मान जोड़कर (घटाना) प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणित) प्रगति कहलाता है। यह परिभाषा, गणित की भाषा में अनुवादित, रूप लेती है:

यहाँ i श्रंखला a i के अवयव की क्रमसूचक संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या जानने के बाद, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि संख्याओं की मानी गई श्रृंखला के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एन \u003d ए 1 + डी * (एन -1)।

अर्थात् n-वें तत्व का मान क्रम में ज्ञात करने के लिए पहले अवयव में d के अंतर को 1 n-1 बार जोड़ें।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि का सूत्र देने से पहले, यह एक साधारण विशेष मामले पर विचार करने योग्य है। दाना प्रगति प्राकृतिक संख्या 1 से 10 तक, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ शब्द हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, अर्थात सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55।

यह एक दिलचस्प बात पर विचार करने योग्य है: चूंकि प्रत्येक शब्द अगले एक से समान मूल्य d \u003d 1 से भिन्न होता है, फिर दसवें के साथ पहले का जोड़ीदार योग, दूसरा नौवें के साथ, और इसी तरह एक ही परिणाम देगा . सचमुच:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 राशियाँ हैं, यानी श्रृंखला में तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर प्रत्येक योग (11) के परिणाम से योगों की संख्या (5) को गुणा करने पर, आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर आ जाएंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करते हैं, तो हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं:

एस एन \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि सभी तत्वों को एक पंक्ति में जोड़ना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान जानने के लिए पर्याप्त है, और यह भी कुल गणनाशर्तें एन.

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा निर्धारित समस्या के समाधान की तलाश में थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग।

एम से एन तक के तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस सवाल का जवाब देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों का) का योग कैसे प्राप्त किया जाए, लेकिन अक्सर कार्यों में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला को जोड़ना आवश्यक होता है। यह कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि mth से nth तक के पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। ऐसे में प्रतिनिधित्व एम-थपद a m पहला होगा, और n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के मानक सूत्र को लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन \u003d (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

एक अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए, यह जानने के लिए, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके सदस्यों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें तक समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए व्यंजक का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 \u003d ए 1 + डी * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

ए 12 \u003d ए 1 + डी * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के सिरों पर संख्याओं के मूल्यों को जानने के साथ-साथ यह भी जानना कि वे किस श्रृंखला में हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। प्राप्त:

एस 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग तरह से प्राप्त किया जा सकता है: पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, और फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं .

कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को सावधानी से मानता है, उच्च गणित के वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी काउंटर (जहां वे अभी भी बनी हुई है) का काम है। और अंकगणितीय अनुक्रम के सार (और गणित में "सार को समझने के लिए" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) को समझना इतना मुश्किल नहीं है, कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण किया है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 अनुक्रम का सातवां सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई भी मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें n-वें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवें नंबर का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्य का मूल्य;

n इसका क्रमांक है;

f(n) एक फ़ंक्शन है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमसूचक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक की तुलना में उसी संख्या से अधिक (कम) होता है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य का सूत्र इस प्रकार है:

ए एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

a n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर धनात्मक (d>0) है, तो विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक अनुवर्ती सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जाएगी।

नीचे दिए गए ग्राफ में, यह देखना आसान है कि संख्या अनुक्रम को "वृद्धि" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी किसी अंकगणितीय श्रेणी के किसी मनमाना पद a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके पहले से वांछित तक ऐसा कर सकते हैं। हालाँकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पाँच हज़ारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। nवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य के मूल्य को प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा किया जा सकता है, घटा एक .

प्रगति को बढ़ाने और घटाने के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए एक समान्तर श्रेणी के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

शर्त: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 पदों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

हल: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए (एन) = ए 1 + डी (एन -1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वां सदस्य 258.6 के बराबर है।

इस गणना पद्धति के फायदे स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान 2 पंक्तियों से अधिक नहीं लेता है।

सदस्यों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसे प्रत्येक पद के मूल्यों की गणना करने और फिर उन्हें योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब उन पदों की संख्या जिनका योग ज्ञात किया जाना चाहिए, कम है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक की समांतर श्रेणी के सदस्यों का योग पहले और nवें सदस्यों के योग के बराबर होता है, जिसे सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-वें सदस्य के मान को लेख के पिछले पैराग्राफ से व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ किसी समस्या को हल करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, श्रृंखला के पदों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति के योग को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙ (101-1))∙101/2 = 2 525

जाहिर है, 56 वें से 101 वें तक की प्रगति की शर्तों का योग जानने के लिए, एस 55 को एस 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙ (55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, हम पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटेंगे - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए एक ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

एक टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में जाने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 किमी।

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या में पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए ब्याज की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1)वें सदस्य का मान - 27वें किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

ए 28 \u003d 50 + 22 (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड से तारे की दूरी पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या क्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति को अंकगणित की तुलना में परिवर्तन की उच्च दर की विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वें सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे कुछ स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - हर, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, क्रमशः 2 है, फिर:

n=1: 1 2 = 2

एन = 2: 2 2 = 4

एन = 3: 4 2 = 8

एन = 4: 8 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

बी एन+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

q एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का हर है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक मनमाना सदस्य के मूल्य के लिए एक सूत्र होता है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी n-वाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और n की घात की प्रगति का हर एक से घटाया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 3 के बराबर है और प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। प्रगति का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 क्यू (5-1) \u003d 3 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या के योग की गणना भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके की जाती है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य के गुणनफल और उसके हर और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जिसे हर से विभाजित करके एक से घटाया जाता है:

यदि ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके b n को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मानी गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप लेगा:

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति 1 के बराबर पहले पद से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया जाता है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी नहींगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम कहलाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
आवर्तक सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन ए एन + 1 = ए एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
nth टर्म फॉर्मूला	ए एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन \u003d बी 1 क्यू एन - 1, बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
पहले n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

अंकगणितीय प्रगति में ( एक) एक 1 = -6, एक 2

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21d

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, तो एक 22= -6 + 21d।

प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = ए 2 - ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर : एक 22 = -48.

टास्क 2

ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;...

पहला तरीका (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र के अनुसार:

बी 5 \u003d बी 1 क्यू 5 - 1 = बी 1 क्यू 4.

इसलिये ख 1 = -3,

दूसरा तरीका (पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

ख 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : ख 5 = -48.

टास्क 3

अंकगणितीय प्रगति में ( एक एन) एक 74 = 34; एक 76= 156. इस प्रगति का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

एक अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता गुण का रूप होता है .

इसलिए:

.

डेटा को सूत्र में बदलें:

उत्तर: 95.

टास्क 4

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन) ए एन= 3n - 4. प्रथम सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

.

इस मामले में आवेदन करने के लिए उनमें से कौन अधिक सुविधाजनक है?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र ज्ञात होता है ( एक) एक= 3n - 4. तुरंत पाया जा सकता है और एक 1, तथा एक 16डी खोजने के बिना। इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करते हैं।

उत्तर: 368.

टास्क 5

अंकगणितीय प्रगति में एक) एक 1 = -6; एक 2= -8। प्रगति का बाईसवां पद ज्ञात कीजिए।

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

ए 22 = ए 1 + डी (22 – 1) = एक 1+ 21डी।

शर्त के अनुसार, यदि एक 1= -6, तब एक 22= -6 + 21d। प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = ए 2 - ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : एक 22 = -48.

टास्क 6

एक ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार शब्द दर्ज किए गए हैं:

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

हल करते समय, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं बी एन \u003d बी 1 क्यू एन - 1ज्यामितीय प्रगति के लिए। प्रगति के पहले सदस्य। प्रगति q के हर को खोजने के लिए, आपको प्रगति के इन शब्दों में से कोई भी लेना होगा और पिछले एक से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, आप ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हमें वह q \u003d 3. मिलता है। n के बजाय, हम सूत्र में 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति का तीसरा पद खोजना आवश्यक है।

प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

उत्तर : ।

टास्क 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय प्रगति में से वह चुनें जिसके लिए शर्त संतुष्ट है एक 27 > 9:

चूँकि निर्दिष्ट शर्त प्रगति के 27वें पद के लिए संतुष्ट होनी चाहिए, हम चार क्रमों में से प्रत्येक में n के बजाय 27 को प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

.

उत्तर - 4।

टास्क 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, घ = -1.5। n का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए असमानता है एक > -6.